VARIÉTÉS DE SHIMURA

1. Données de Shimura et Variétés de Shimura

1.1. Définitions.

Definition 1.1. Une donnée de Shimura est une paire (G, X) où G est un groupe réductif sur Q et X une classe de G(R)-conjugaison de morphismes h : S → G_{R} vérifiant des conditions SV1, SV2, et SV3 explicitées ci-dessous. La variété de Shimura associée à (G, X) est le système projectif, indexé par les sous-groupes ouverts et compacts de G(A_{f}), des ensembles

Sh_{K}(G, X)(C) = G(Q)\ (G(A_{f})/K × X)

munis de l’action à droite du groupe G(A_{f}) définie par

σ : Sh_{K}(G, X)(C) → Sh_{K^{σ}}(G, X)(C) [g, h] ↦ [gσ, h]

où K^{σ} = σ^{−1}Kσ.

Definition 1.2. Un morphisme de donnée de Shimura ϕ : (G, X) → (G′, X′) est un morphisme de Q-schémas en groupes ϕ : G → G′ qui envoie X dans X′. Ce morphisme induit un morphisme entre les variétés de Shimura

ϕ : (Sh_{K}(G, X)(C))_{K} → (Sh_{K′}(G′, X′)(C))_{K′}

où pour ϕ(K) ⊂ K′,

ϕ_{K,K′} : Sh_{K}(G, X)(C) → Sh_{K′}(G′, X′)(C) [g, h] → [ϕ(g), ϕ(h)].

1.2. Structure Différentielle sur X. Soit Z_{G}(h) ⊂ G_{R} le centralisateur de h dans G_{R}. C’est un sous-schéma en groupe fermé de G_{R} qui est connexe, comme le sont les centralisateurs des tores, et K(h) = Z_{G}(h)(R) est le centralisateur de h dans G(R). En particulier, K(h) est un sous-groupe de Lie fermé de G(R), et

G(R)/K(h) ≃ G(R) · h = X

est donc muni d’une structure de variété lisse sur laquelle G(R) agit par difféomorphismes. Puisque G(R) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes, il en est de même de l’espace topologique X, et chacune de ces composantes connexes est de la forme G(R)^{+} · h où G(R)^{+} est la composante neutre de G(R). L’espace tangent de X en h s’identifie à

T_{h}X = LieG(R)/LieK(h) = LieG(R)/LieZ_{G}(h)(R)

et cette identification transporte l’action de K(h) = Stab_{G(R)}(h) sur T_{h}(x) sur l’action adjointe de K(h) sur les algèbres de Lie.

Lemma 1.3. Soit X^{ad} = G^{ad}(R) · h^{ad} la classe de G^{ad}(R)-conjugaison de

h^{ad} = ad ∘ h : S → G_{R}^{ad}.

Alors ad : X → X^{ad} identifie X à une réunion de composantes connexes de X^{ad}.

Démonstration. On sait que X = ∐_{h∈H} G(R)^{+} · h pour un ensemble fini H ≃ π_{0}(X) ⊂ X. Puisque ad : G(R) → G^{ad}(R) induit une surjection ad : G(R)^{+} ↠ G^{ad}(R)^{+}, on obtient

ad(X) = ad( ∐_{h∈H} G(R)^{+} · h) = ∐_{h∈H′} G^{ad}(R)^{+} · h^{ad}

pour un sous-ensemble fini H′ de H. Il reste à voir que ad : X → X^{ad} est injective (ce qui impliquera par ailleurs que H′ = H). Soit donc h ∈ X et g ∈ G(R) tel que ad(ghg^{−1}) = ad(h), i.e. ghg^{−1} ≡ h mod Z_{R}, ou encore ghg^{−1}h^{−1} : S → G_{R} se factorise par Z_{R}, donc aussi par Z_{R} ∩ G_{R}^{der} = Z(G_{R}^{der}) qui est fini. Puisque S est connexe, ghg^{−1}h^{−1} = 1 donc ghg^{−1} = h. □

On peut donc aussi décrire les espaces tangents comme

T_{h}X = T_{h^{ad}}X^{ad} = LieG^{ad}(R)/LieK(h^{ad})

où K(h^{ad}) est le stabilisateur de h^{ad} dans G^{ad}(R).

2. L’hypothèse SV1

2.1. Représentations de S. Puisque S = Res_{C/R}G_{m,C}, X^{⋆}(S) = Z[Gal(C/R)] avec l’action évidente de Gal(C/R). Les représentations de S → GL(V) (pour V un R-espace vectoriel) correspondent donc bijectivement aux bigraduations de V ⊗ C = ⊕V^{p,q} telles que \overline{V^{p,q}} = V^{q,p} - ce sont les structures de Hodge sur V. Le type d’une telle bigraduation est l’ensemble des couples (p, q) ∈ Z^{2} tels que V^{p,q} ≠ 0. Par convention, z ∈ S(R) agit sur V^{p,q} par z^{−p} · \overline{z}^{−q}. Les structures complexes correspondent donc aux bigraduations de type {(−1, 0), (0, −1)}.

2.2. L’hypothèse SV1. Revenant aux données de Shimura, on demande :

SV1: Pour tout h ∈ X, l’action de S sur LieG_{R} est de type {(−1, 1), 0, (1, −1)}

Du diagramme G ⟶^{ad} G^{ad} ↪^{Ad} GL(Lie(G)) on tire alors que

G_{m,R} ⟶^{h} Z_{R}
↓  ↓
S ⟶^{h} G_{R}

où Z est le centre de G. Le morphisme h : G_{m,R} → Z_{R} est un cocaractère qui ne dépend pas du choix de h ∈ X = G(R) · h. On note ω_{X} : G_{m,R} → Z_{R} son inverse. On note aussi C_{h} = h(i), qui est un élément de carré h(i^{2}) = h(−1) central dans G(R), et qui définit donc une involution IntC_{h} de G_{R}. On a bien sûr K(h) ⊂ K(C_{h}) où K(C_{h}) est le centralisateur (= le commutant) de C_{h} dans G(R).

On obtient aussi une factorisation de h^{ad} = ad ∘ h :

S ⟶^{h} G ⟶^{ad} G^{ad} = S ⟶^{π} S^{1} ⟶^{u_{h}} G^{ad}

où S^{1} = ker(N : S → G_{m,R}) et π(z) = z/\overline{z}. En particulier,

C_{h}^{ad} = h^{ad}(i) = u_{h}(−1) ∈ G^{ad}(R)

et K(h^{ad}) = K(u_{h}) ⊂ K(C_{h}^{ad}) où K(C_{h}) est le commutant de C_{h} dans G^{ad}(R).

2.3. La structure presque complexe. La représentation Ad∘h : S → GL(LieG_{R}) se décompose en partie de type (0, 0) et partie de type {(1, −1), (−1, 1)}, i.e. LieG(R) = L_{h}^{+} ⊕ L_{h}^{−} avec

L_{h}^{+} = LieG(R) ∩ LieG(C)^{0} = LieG(R)[C_{h} − 1]
L_{h}^{−} = LieG(R) ∩ (LieG(C)^{1,−1} ⊕ LieG(C)^{−1,1}) = LieG(R)[C_{h} + 1]

On a donc L_{h}^{+} = LieK(h) = LieK(C_{h}) (les groupes K(h) ⊂ K(C_{h}) ont donc la même composante neutre), et T_{h}X ≃ L_{h}^{−}, qui est une représentation de S de type {(−1, 1), (1, −1)}. On peut aussi procéder de même avec Ad ∘ h^{ad} → GL(LieG_{R}^{ad}), qui donne une décomposition

LieG^{ad}(R) = L_{h^{ad}}^{+} ⊕ L_{h^{ad}}^{−} où L_{h^{ad}}^{±} = LieG^{ad}(R)[C_{h}^{ad} ∓ 1].

Alors L_{h^{ad}}^{+} = LieK(h^{ad}) = LieK(C_{h}^{ad}) (les groupes K(h^{ad}) ⊂ K(C_{h}^{ad}) ont donc la même composante neutre), et T_{h}X ≃ L_{h^{ad}}^{−}, qui est une représentation de S de type {(−1, 1), (1, −1)}. En relabellisant la décomposition de Hodge de T_{h}X ⊗ C associée à cette décomposition, on obtient une représentation de type {(−1, 0), (0, −1)}, i.e. une structure complexe sur T_{h}X ≃ L_{h^{ad}}^{−}. Cette structure est caractérisée par la relation

∀z ∈ S^{1}(R) = U^{1} : Ad(u_{h}(z)) : L_{h^{ad}}^{−} ∋ v ↦ z · v ∈ L_{h^{ad}}^{−}.

Puisque K(h) centralise u_{h}, cette structure complexe est K(h)-invariante, et plus généralement pour tout g ∈ G(R) et x ∈ X, la différentielle T_{x}(g) : T_{x}X → T_{g·x}X est C-linéaire. On obtient donc sur X une structure presque complexe. Notant Hol(X) les difféomorphismes de X qui préservent cette structure complexe, on voit en particulier que :

Lemma 2.1. Pour tout x ∈ X, il existe un morphisme u_{x} : U^{1} → Hol(X) qui fixe x et vérifie ∀z ∈ U^{1}, T_{x}(u_{x}(z)) : T_{x}X ∋ v ↦ z · v ∈ T_{x}X

3. L’hypothèse SV2

3.1. Involutions de Cartan.

Definition 3.1. Soit G un groupe algébrique (affine, connexe) sur R. Une involution de Cartan est une involution θ ∈ Aut_{R}G telle que

G^{(θ)}(R) = \{g ∈ G(C) : g = θ(\overline{g})\} est compact.

Example 3.2. Sur G = GL_{n,R}, θ_{0}(g) = ^{t}g^{−1} est une involution de Cartan.

Theorem 3.3. Un groupe algébrique sur R possède une involution de Cartan si et seulement si il est réductif, et alors toutes les involutions de Cartan sont conjuguées.

Démonstration. [REF]. □

Si G est un groupe réductif, il existe une représentation fidèle G ↪ GL(V) et un produit scalaire sur V ≃ R^{n} tel que G soit stable sous la transposition définie par ce produit scalaire. Alors G est stable sous l’involution de Cartan θ_{0}(g) = ^{t}g^{−1} de GL(V), donc θ = θ_{0}|G est une involution de Cartan de G. Le théorème implique que toutes les involutions de Cartan sont de ce type, pour un produit scalaire convenable sur V.

Proposition 3.4. Soit θ une involution de Cartan de G_{R},

K = G^{θ}(R) = {g ∈ G(R) : θ(g) = g} et P = {x ∈ LieG(R) : θ(g) = −g}.

Alors K est un sous-groupe compact maximal de G(R) et

K × P → G(R) (k, p) ↦ k · exp p

est un homéomorphisme.

Démonstration. Supposons d’abord que θ = θ_{0} sur G = GL_{n,R}. Alors

K = {g ∈ G(R) : g^{t}g = 1} = O_{n}(R) et P = {x ∈ M_{n}(R) :^{t} x = x} = Sym_{n}(R)

Les matrices symétriques sont les matrices diagonalisables à valeurs propres réelles dans une base orthonormée, donc exp P est l’ensemble des matrices > 0, i.e. diagonalisables à valeurs propres réelles strictement positives dans une base orthonormée, et exp : P → exp(P) est un homéomorphisme (d’inverse le logarithme). Si g ∈ GL_{n}(R), alors ^{t}gg > 0 donc ^{t}gg = exp 2p = (exp p)^{2} pour un p ∈ P et exp(−p)^{t}gg exp(−p) = 1, i.e. g exp(−p) = k ∈ K : l’application est surjective. Inversement si g = k exp p, alors ^{t}gg = (exp p)^{2} = exp 2p, donc p = \frac{1}{2} ln(^{t}gg) et k = g · exp(−p), CQFD. Dans le cas général, on peut supposer que θ = θ_{0}|G pour un plongement G ↪ GL_{n,R} et il suffit de montrer que si g = k · exp p ∈ G(R) avec k ∈ O_{n}(R) et p ∈ Sym_{n}(R), alors k ∈ G(R) et p ∈ LieG(R). Or exp(2p) = θ(g)^{−1}g ∈ G(R) donc p ∈ LieG(R), et alors k = g · exp(−p) ∈ G(R). □

Corollary 3.5. K est un sous-groupe compact maximal de G(R) et

π_{0}(K) ⟶^{≃} π_{0}(G(R)).

3.2. L’hypothèse SV2. Revenant aux notations des données de Shimura, on demande :

SV2: Pour tout h ∈ X, Int(C_{h}^{ad}) est une involution de Cartan de G_{R}^{ad}.

Alors K(C_{h}^{ad}) est un sous-groupe compact maximal de G^{ad}(R), et son sous-groupe K(h^{ad}) est aussi compact. Puisque LieK(h^{ad}) = LieK(C_{h}^{ad}) = LieG^{ad}(R)[C_{h}^{ad} − 1], K(h^{ad}) et K(C_{h}^{ad}) ont la même composante neutre. Mais K(h^{ad}) est déja connexe, puisque c’est le groupe des R-points du R-schéma en groupe connexe Z_{G_{R}^{ad}}(h^{ad}) et que ce groupe est compact. On en déduit que le stabilisateur dans G^{ad}(R) de toute composante connexe G^{ad}(R)^{+} · h^{ad} de X^{ad} est la composante neutre G^{ad}(R)^{+} de G^{ad}(R), et donc d’après le lemme 1.3 :

Lemma 3.6. Les composantes connexes X^{+} = G(R)^{+} · h de X ont pour stabilisateur (commun) dans G(R) l’image inverse G(R)_{+} de G^{ad}(R)^{+} dans G(R).

3.3. Structure Hermitienne. Soit x ∈ X. Choisissons sur l’espace tangent T_{x}X une forme hermitienne définie positive. En intégrant cette forme sur le compact K(x) = Stab_{G^{ad}(R)}(x) (qui agit C-linéairement sur T_{x}X), on obtient une nouvelle forme qui est maintenant K(x)-invariante, et toujours définie positive. En transportant cette forme à T_{g·x}X par T_{x}(g) : T_{x}X → T_{g·x}X, on obtient sur X une forme Hermitienne G(R)-invariante, et notamment une métrique G(R)-invariante (donnée par la forme Riemanienne associée).

On peut d’ailleurs rendre la construction de cette forme encore plus canonique, en choisissant comme point de départ la forme de Killing sur LieG^{ad}(R), qui est donnée par

ϕ(x, y) = Tr_{R} ([x, [y, •] : LieG^{ad}(R)) .

Cette forme est en effet déjà invariante (à un caractère près) sous l’action adjointe de G(R), et elle est non-dégénérée puisque G_{R}^{ad} est semi-simple. Pour tout h ∈ X, la décomposition de LieG^{ad}(R) donnée par C_{h}^{ad} est une décomposition orthogonale pour ϕ, et en fait Lagrangienne, i.e.

L_{h^{ad}}^{+}⊥L_{h^{ad}}^{−} = LieG^{ad}(R)

avec ϕ|L_{h^{ad}}^{+} < 0 et ϕ|L_{ad}^{−} > 0 (on le voit par exemple en travaillant avec un plongement G_{R}^{ad} ↪ GL_{n,R} tel que IntC_{h}^{ad} soit g ↦ ^{t}g^{−1}). L’action du compact K(h^{ad}) sur T_{h}(X) ≃ L_{h^{ad}}^{−} préserve ϕ, et en particulier ϕ(ix, iy) = 1 puisque i = u_{h}(i) ∈ K(h^{ad}). Donc

ψ_{h}(x, y) = ϕ(x, y) + iϕ(x, iy)

est une forme hermitienne définie positive et K(h)-invariante sur T_{h}(X).

Proposition 3.7. Les composantes connexes X^{+} de X sont des espaces symétriques hermitiens, i.e. des variétés holomorphes connexes, munies d’une forme hermitienne définie positive ψ, et telle qu’en tout point x ∈ X^{+}, il existe une symétrie s_{x} ∈ Is(X , ψ) qui admet x pour point fixe isolé.

Démonstration. Il faut d’abord montrer que la structure presque complexe est intégrable (i.e. définit sur X une structure de variété holomorphe). Comme symétrie en h ∈ X, on prend bien sûr le difféomorphisme induit par C_{h}^{ad} = h^{ad}(i) ∈ G^{ad}(R). Ce difféomorphisme préserve la composante connexe G^{ad}(R)^{+} · h de h puisque C_{h}^{ad} ∈ G^{ad}(R)^{+} (car S est connexe), il préserve ψ et la structure presque complexe par construction, il fixe bien sûr le point h de G^{ad}(R) (puisque h^{ad}(S) ⊂ K(h^{ad}) car S est commutatif). Puisqu’il induit −1 sur l’espace tangent T_{h}X, h est un point fixe isolé. □

On peut montrer que de tels espaces sont totalement géodésiques, que s_{x} stabilise toutes les géodésiques qui passent par x, et induit sur chacune d’elles l’inversion : s_{x}γ(t) = γ(−t) si γ(0) = x. Les espaces symétriques hermitiens ont été totalement classifiés. Ceux que l’on obtient par la procédure ci-dessus sont exactement ceux qui sont de courbures négatives : on les appelle les domaines symétriques hermitiens.

3.4. Retour à la variété de Shimura. Soit X^{+} ⊂ X une composante connexe de X. Puisque G(Q) est dense dans G(R), G(Q) agit transitivement sur l’ensemble des composantes connexes, et le stabilisateur dans G(Q) de X^{+} est l’intersection G(Q)_{+} = G(R)_{+} ∩ G(Q). On obtient donc

Sh_{K}(G, X)(C) = G(Q)_{+}\ (G(A_{f})/K × X^{+}) .

Lemma 3.8. G(Q)_{+}\G(A_{f})/K est fini.

Démonstration. Cf. [REF], qui dit que G(Q)\G(A_{f})/K est fini. □

Soit C ⊂ G(A_{f}) un système de représentants pour G(Q)^{+}\G(A_{f})/K. Alors

Sh_{K}(G, X)(C) ≃ ∐_{g∈C} Γ_{gKg^{−1}}\X^{+} = ∐_{g∈C} Γ_{gKg^{−1}}^{ad}\X^{+}

où Γ_{gKg^{−1}} est le stabilisateur de g · K dans G(Q)_{+}, i.e. Γ_{gKg^{−1}} = G(Q)_{+} ∩ gKg^{−1}, et Γ(g)^{ad} son image dans G^{ad}(Q)^{+} ⊂ G^{ad}(R)^{+}.

3.5. La structure holomorphe sur Sh_{K}(G, X)(C).

Lemma 3.9. Pour tout compact K de G(A_{f}), le sous-groupe Γ_{K} = G(Q) ∩ K de G(Q) est discret dans G(R) et son image Γ_{K}^{ad} dans G^{ad}(Q) est discrète dans G^{ad}(R). Si K est suffisamment petit, alors Γ_{gKg^{−1}} et Γ_{gKg^{−1}}^{ad} sont sans torsion pour tout g ∈ G(A_{f}).

Démonstration. On choisit une représentation fidèle ρ : G ↪ GL(V) et un réseau L de V fixé par K. Une base de ce réseau identifie GL(V) à GL_{n,Q} et Γ_{K} à un sous-groupe de GL_{n}(Z). Puisque GL_{n}(Z) est discret dans GL_{n}(R), Γ_{K} est discret dans G(R). Si K agit trivialement sur L/ℓL pour un premier ℓ ≥ 3, Γ_{K} est contenu dans Γ(ℓ) = {g ∈ GL_{n}(Z) : g ≡ 1 mod ℓ} qui est sans torsion, donc Γ_{K} est sans torsion. Mais alors gKg^{−1} agit trivialement sur L′/ℓ · L′ où L′ = g · L, donc Γ_{gKg^{−1}} est à nouveau sans torsion. Pour G^{ad}, on procède de même avec une représentation fidèle de G^{ad}. □

Corollary 3.10. Si K est assez petit, Sh_{K}(G, X)(C) est une variété holomorphe.

Démonstration. On suppose que K est assez petit, i.e. tel que Γ_{gKg^{−1}}^{ad} est sans torsion pour tout g ∈ G(A_{f}). On a vu que

Sh_{K}(G, X)(C) = ∐_{g∈C} Γ_{K}^{ad}(g)\X^{+} où X^{+} ≃ G^{ad}(R)^{+}/K(h^{ad})

et le lemme suivant permet facilement de munir chacun des espaces Γ_{K}^{ad}(g)\X^{+} d’une structure holomorphe – telle que la projection X^{+} ↠ Γ_{K}^{ad}(g)\X^{+} soit un isomorphisme local. □

Lemma 3.11. Soit G un groupe localement compact, K un sous-groupe compact de G, Γ un sous-groupe discret de G. On munit X = G/K de la topologie quotient. Alors :

(1) Pour tout x ∈ X, Γ_{x} = {γ ∈ Γ : γx = x} est fini.

(2) Pour tout compact A, B ⊂ X, {γ ∈ Γ : γA ∩ B ≠ ∅} est fini.

(3) Pour tout x ∈ X, il existe un voisinage ouvert U de x tel que γU ∩ U ≠ ∅ ⇒ γx = x.

(4) Pour tout Γx ≠ Γy ∈ X, il existe des voisinages ouverts U de x et V de y tels que ΓU ∩ ΓV = ∅.

Démonstration. Puisque K est fermé, X est séparé. Pour tout x ∈ X, le stabilisateur K_{x} de x dans G est compact, car c’est un conjugué de K. Donc Γ_{x} = Γ ∩ K_{x} est compact et discret, i.e. fini, ce qui prouve (1). L’application π : G → G/K = X est ouverte par définition de la topologie de X, et elle est aussi rétro-compact : si A est un compact de X, π^{−1}(A) est un compact de G. En effet, si G = ∪U_{i} avec U_{i} ouvert et \overline{U}_{i} compact, alors X = ∪π(U_{i}) avec π(U_{i}) ouvert, donc A ⊂ ∪_{i∈I}π(U_{i}) avec I fini et π^{−1}(A) ⊂ ∪_{i∈I}U_{i}·K ⊂ ∪_{i∈I} \overline{U_{i}}·K qui est compact. Si A et B sont des compacts de X et γA∩B ≠ ∅, alors γπ^{−1}(A)∩π^{−1}(B) ≠ ∅, donc γ ∈ π^{−1}(B)·(π^{−1}(A))^{−1}∩Γ, qui est compact et discret donc fini, ce qui prouve (2). Pour (3), on commence par choisir un voisinage compact V de x, et on note que d’après (2), Γ_{V} = {γ ∈ Γ : γV ∩V ≠ ∅} est fini. Pour chaque γ ∈ Γ_{V} − Γ_{x}, on choisit des voisinages disjoints V_{γ} de x et W_{γ} de γx. On pose U = V ∩ ∩_{γ∈Γ_{V} −Γ_{x}}V_{γ} ∩ γ^{−1}W_{γ}, qui est un voisinage de x contenu dans V. On a donc Γ_{x} ⊂ Γ_{U} ⊂ Γ_{V}. Mais si γ ∈ Γ_{V} − Γ_{x}, γU ⊂ W_{γ} et U ⊂ V_{γ}, donc γU ∩ U = ∅ et γ ∉ Γ_{U} : donc Γ_{x} = Γ_{U}, i.e. (3). Pour (4), on commence de même par prendre des voisinages compacts A de x et B de y, puis on considère l’ensemble fini Γ(A, B) = {γ ∈ Γ : γA ∩ B ≠ ∅}, et on choisit pour tout γ ∈ Γ(A, B) des voisinages disjoints V_{γ} de γx et W_{γ} de y. On pose alors V = A ∩ ∩_{γ∈Γ(A,B)}γ^{−1}V_{γ} et W = B ∩ ∩_{γ∈Γ(A,B)}W_{γ}. Ce sont respectivement des voisinages de A et B. Si γ ∈ Γ(V, W), alors γ ∈ Γ(A, B), donc γV ⊂ V_{γ} tandis que W ⊂ W_{γ}, donc γV ∩ W = ∅, une contradiction. Donc Γ(V, W) = ∅, ce qui prouve (4). □

Ci-dessus, nous n’avons utilisé que la compacité des sous-groupes K de G(A_{f}), dont nous avons vu essentiellement qu’elle implique que les groupes de type Γ_{K} = G(Q) ∩ K sont petits, i.e. discret dans G(R). D’un autre côté, les sous-groupes K de G(A_{f}) considérés dans la définition des variétés de Shimura sont aussi assez gros : ils sont ouverts en plus d’être compacts. Cette hypothèse implique que les sous-groupes Γ_{K} ⊂ G(Q) sont aussi assez gros (en plus d’être discrets). Plus précisément, ces sous-groupes sont exactement ceux que l’on appelle les sous-groupes de congruences, qui sont eux-mêmes des sous-groupes arithmétiques. Pour donner un énoncé qualitatif, on peut noter que la métrique Riemannienne G^{ad}(R) -invariante sur X^{+} descend en une métrique Riemannienne sur chacun des Γ_{gKg^{−1}}^{ad}\X, lesquelles se recollent en une métrique Riemannienne sur Sh_{K}(G, X), d’où une notion de volume. Et bien :

Proposition 3.12. Le volume de Sh_{K}(G, X)(C) est fini.

Démonstration. Cf. [5, Theorem 4.13], qui implique que Γ\G^{ad}(R) est déjà de volume fini pour tout sous-groupe arithmétique Γ de G^{ad}(R). □

4. Les Autres Hypothèses

4.1. L’hypothèse SV3. Décomposons G^{ad} = ∏ G_{j} en produit de facteurs Qsimples et soient h_{j}^{ad} = S → G_{j,R} les projections correspondantes de h^{ad} : S → G_{R}^{ad}. Si h_{j}^{ad} = 1, l’identité est une involution de Cartan de G_{j,R}, donc G_{j}(R) est compact. Inversement, si G_{j}(R) est compact, l’involution de Cartan Inth_{j}^{ad}(i) est conjuguée à l’identité, donc est l’identité, c’est-à-dire que h_{j}^{ad}(i) est central donc trivial (puisque G_{j} est adjoint), donc K(h_{j}^{ad}) = G_{j}(R)^{+} = G_{j}(R), i.e. h_{j}^{ad} : S → G_{j,R} est central donc trivial.

SV3: h_{j}^{ad} ≠ 1 pour tout j, i.e. aucun des G_{j}(R) n’est compact^{1}.

Cette hypothèse est toujours requise pour les variétés de Shimura. Elle est utilisée en conjonction avec le théorème d’approximation forte, qui dit que

Theorem 4.1. Si G est semi-simple, simplement connexe et G(R) n’est pas compact, alors G(Q) est dense dans G(A_{f}), donc G(Q)\G(A_{f})/K = {•} pour tout sous-groupe ouvert K.

Démonstration. [5, Theorem 7.12]. □

Ce théorème permet de calculer par dévissage l’ensemble des composantes connexes π_{0}(Sh_{K}(G, X)) des variétés de Shimura. Pour le calcul lorsque G^{der} est semisimple, voir [4, Theorem 5.17]. Le calcul dans le cas général est plus ardu, cf. [2].

1On veut cependant que cette condition n’exclue pas les tores, dont le groupe adjoint est trivial : il faut donc convenir que le groupe trivial {1} est sans facteur simple.

Ce calcul est préliminaire à l’analyse de la loi de réciprocité pour les composantes connexes, dont nous ne parlerons pas.

4.2. Hypothèses auxiliaires. Le morphisme de poids ω_{X} : G_{m,R} → Z_{R} est un cocaractère de Z, il est donc défini sur \overline{Q}.

SV4: ω_{X} est défini sur Q.

SV5: Z(Q) est discret dans Z(A_{f}).

Ces axiomes correspondent aux variétés de Shimura dont on espère qu’elles classifient des objets de nature géométrique : les motifs.

5. Exemples

5.1. Exemple n°1 : courbes modulaires. On prend G = GL_{2,Q} et pour X la classe de G(R)-conjugaison du morphisme h : S → GL_{2,R} défini par

h(z) = ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) pour z = a + ib ∈ S(R) = C^{×}.

On a K(h) = K(C_{h}) = SO(2, R) mais

K(h^{ad}) = SO(2, R)/{±1} ⊊ K(C_{h}^{ad}) = O(2, R)/{±1}.

Puisque SO(2, R) est aussi le stabilisateur de i ∈ C − R pour l’action transitive

∀ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL(2, R) et z ∈ C − R : ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) · z = \frac{az + b}{cz + d} ∈ C − R,

cette action identifie X ≃ C − R, par g · h ↦ g · i. On a LieG = M_{2} avec l’action par conjugaison de G, et pour tout z = a + ib ∈ C^{×} = S(R),

h(z) ( \begin{matrix}x & y \\ −y & x \end{matrix} ) h(z)^{−1} = ( \begin{matrix}x & y \\ −y & x \end{matrix} ) et h(z) ( \begin{matrix}1 & ±i \\ ±i & −1 \end{matrix} ) h(z)^{−1} = \frac{(a ± ib)}{(a ∓ ib)} ( \begin{matrix}1 & ±i \\ ±i & 1 \end{matrix} )

donc LieG(C) = V^{0,0} ⊕ V^{1,−1} ⊕ V^{−1,1} avec

V^{0,0} = C · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ⊕ C · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) et V^{±1,∓1} = C · ( \begin{matrix}1 & ∓i \\ ∓i & 1 \end{matrix} )

i.e. (G, X) vérifie SV1. La décomposition de LieG(R) = L_{h}^{+} ⊕ L_{h}^{−} est

L_{h}^{+} = \{( \begin{matrix}x & y \\ −y & x \end{matrix} ) : x, y ∈ R\} L_{h}^{−} = \{( \begin{matrix}x & y \\ y & −x \end{matrix} ) : x, y ∈ R\} .

Le morphisme u_{h} : S^{1} → G^{ad}(R) = P GL_{2}(R) = GL_{2}(R)/R^{×} est

\frac{a + ib}{a − ib} ↦ R^{×} ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) donc i = \frac{1 + i}{1 − i} ↦ R^{×} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) .

La structure complexe I_{h} sur T_{h}X ≃ L_{h}^{−} est donc

I_{h} · ( \begin{matrix}x & y \\ y & −x \end{matrix} ) = u_{h}(i) ( \begin{matrix}x & y \\ y & −x \end{matrix} ) u_{h}(i)^{−1} = ( \begin{matrix}y & −x \\ −x & −y \end{matrix} ) .

Le difféomorphisme g · h ↦ g · i identifie L_{h}^{−} ≃ T_{h}X ≃ T_{i}(C − R) ≃ C par

( \begin{matrix}x & y \\ y & −x \end{matrix} ) ∈ L_{h}^{−} ↦ 2(y + ix) ∈ C

et envoie donc I_{h} sur [×i] = d_{i}(z ↦ \frac{z+1}{−z+1}). Puisque l’action de G(R) sur C − R est holomorphe, on en déduit que notre difféomorphisme X ≃ C−R est compatible avec les structures complexes, i.e. est holomorphe. La symétrie u_{h}(−1) sur X correspond à z ↦ \frac{−1}{z} sur C − R. Pour θ = IntC_{h},

G^{(θ)}(C) = \{( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) : a, b ∈ C, a\overline{a} + b\overline{b} ≠ 0\}
(G^{ad})^{(θ)}(C) ≃ \{( \begin{matrix}a & b \\ −\overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) : a\overline{a} + b\overline{b} = 1\} /\{±1\}

qui est compact, donc θ est une involution de Cartan de G_{R}^{ad} et (G, X) vérifie SV2. Pour la forme de Killing sur LieG(R), on a une décomposition orthogonale

LieG(R) = R · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ⊥R · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ⊥R · ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ⊥R · ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

et la forme quadratique associée vaut 0, −8, 8, 8 sur la base indiquée, qui induit

ϕ (( \begin{matrix}x & y \\ y & −x \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x′ & y′ \\ y′ & −x′ \end{matrix} )) = 8(xx′ + yy′) sur L_{h}^{−} ≃ T_{h}X .

Sur X ≃ C − R, la forme induite sur l’espace tangent C en i ∈ C − R est donc exactement la forme standard ϕ(z_{1}, z_{2}) = Tr_{C/R}(z_{1}\overline{z}_{2}). En z = x+iy, on transporte cette forme de l’espace tangent C de i ∈ C − R à l’espace tangent C de z = gi ∈ C − R avec

g = \binom{signe(y) · \sqrt{|y|} x/\sqrt{|y|}}{1/\sqrt{|y|}} qui donne dg = [y×] : C → C.

On obtient donc la métrique riemanienne \frac{dx·dy}{y^{2}} sur C − R. Il est clair que (G, X) vérifie aussi SV3, SV4 et SV5. Les variétés Sh_{K}(G, X) que l’on obtient sont les courbes modulaires.

Remark 5.1. Soit B un corps de quaternion sur Q tel que B_{R} ≃ M_{2}(R). On prend pour G le groupe multiplicatif de B, i.e G(R) = (B ⊗ R)^{×} pour toute Q-algèbre R. Et pour X, on prend la G(R)-classe de conjugaison de h... comme ci-dessus, puisque G(R) ≃ GL_{2}(R). Alors (G, X) est encore une donnée de Shimura. Les variétés que l’on obtient ainsi sont les courbes de Shimura.

5.2. Exemple n°2 : variétés de type PEL. Soit B une Q-algèbre semi-simple, ⋆ une involution positive sur B, (V, ψ) ∈ H_{Q}(B, ⋆, −1) un (B, ⋆)-module symplectique. On prend pour G le groupe des similitudes B-linéaires de (V, ψ) et pour X la classe de conjugaison d’un morphisme h_{I} : S → G(R) provenant d’une structure complexe (B, ⋆) linéaire I sur V_{R} telle que ψ_{R,I} > 0, i.e. h_{I} : S → G_{R} envoie a+bi ∈ C^{×} = S(R) sur la multiplication par a+bI dans V_{R}. Vérifions les axiomes.

Pour vérifier l’axiome SV1, on plonge G dans GL(V). Sur V_{R}, l’action de S est de type {(−1, 0), (0, −1)} puisqu’elle provient d’une structure complexe. Cela signifie que V_{C} = V^{+} ⊕ V^{−} avec h_{I}(z)(v) = zv pour v ∈ V^{+} et \overline{z}v pour v ∈ V^{−}. Donc sur

LieG(C) ⊂ LieGL(V)(C) = Hom_{C}(V_{C}, V_{C}) = ⊕_{±_{1},±_{2}}Hom_{C}(V^{±_{1}}, V^{±_{2}})

l’action adjointe est

Ad(h_{I}(z)) = \begin{cases}1 & sur Hom_{C}(V^{±}, V^{±}), \\ z/\overline{z} & sur Hom_{C}(V^{−}, V^{+}), \\ \overline{z}/z & sur Hom_{C}(V^{+}, V^{−}). \end{cases}

i.e., elles est de type {(1, −1), 0, (−1, 1)}, CQFD.

Pour l’axiome SV2, il faut vérifier que Int(ad(I)) est une involution de Cartan de G_{R}^{ad}. Il suffit pour cela de vérifier que θ = Int(I) est une involution de Cartan du groupe dérivé G_{R}^{der}. On plonge cette fois-ci G dans GSp(V, ψ), donc G^{der} dans Sp(V, ψ). Pour tout g ∈ Sp(V, ψ)(C) et v, w ∈ V_{C}, on a

(ψ_{R,I})_{C}(gv, \overline{gw}) = (ψ_{R})_{C}(Igv, \overline{g}\overline{w}) = ψ_{C}(gv, I^{⋆}\overline{g}\overline{w})

avec I^{⋆} = −I. Donc si I\overline{g} = gI, I^{⋆}\overline{g} = gI^{⋆} et

(ψ_{R,I})_{C}(gv, \overline{gw}) = ψ_{C}(gv, gI^{⋆}\overline{w}) = ψ_{C}(v, I^{⋆}\overline{w}) = ψ_{C}(Iv, \overline{w}) = (ψ_{R,I})_{C}(v, \overline{w}).

Mais ψ_{R,I} > 0, donc (ψ_{R,I})_{C}(v, \overline{w}) est une forme hermitienne Ψ > 0 sur V_{C}. Donc

(G^{der})^{θ}(R) ⊂ Sp(V, ψ)^{θ}(R) ⊂ U(Ψ) ⊂ Sp(V_{C}, ψ_{C})

est compact, CQFD.

Pour l’axiome SV3, il faut faire des hypothèses supplémentaires. Le composé du poids ω_{X} : G_{m,R} → Z_{R} avec l’inclusion Z_{R} → GL(V_{R}) correspond à l’inverse du morphisme évident G_{m,R} → GL(V_{R}), et ce poids est donc défini sur Q, i.e. (G, X) vérifie SV4.

5.3. Exemple n°2bis : Un cas PEL simple. Il y a un cas particulier qui a été abondamment étudié, notamment dans le cadre du programme de Langlands. C’est celui où le centre de B est un corps CM E. Alors B est simple et l’involution ⋆ de B induit l’involution canonique de E. Dans ce cas,

(B_{R}, ⋆) ≃ ∏_{ϕ}(M_{n}(C), ⋆)

Le choix d’un tel isomorphisme fournit un type CM Φ sur E, et une équivalence

H(B_{R}, ⋆, −) ≃ ∏_{ϕ} H(C, ⋆).

En particulier, G(R) ⊂ ∏ GU(V_{ϕ}) = GU(p_{ϕ}, q_{ϕ}) pour des signatures (p_{ϕ}, q_{ϕ}). Les domaines symétriques hermitiens associés à chacun des facteurs sont en bijection avec l’ensemble des décompositions V_{ϕ} = V_{ϕ}^{+}⊥V_{ϕ}^{−} en partie où la forme hermitienne est respectivement définie positive et définie négative. On peut de plus choisir Φ de sorte que le morphisme h_{ϕ} : S ↪ G_{R} correspondant à une telle décomposition envoie z sur (z sur V_{ϕ}^{+}, \overline{z} sur V_{Φ}^{−}).

5.4. Exemple n°3 : Tores. Si T est un tore et h : S → T_{R} un morphisme quelconque, alors h agit trivialement sur LieT_{R} et T_{R}^{ad} est trivial : les conditions SV1,2,3 sont donc automatiquement vérifiées. Les variétés de Shimura correspondantes sont de dimension 0 : juste un ensemble fini de points

Sh_{K}(T, {h})(C) = T (Q)\T (A_{f})/K.

5.5. Exemple n°4 : variétés de type B ou D. Soit F un corps totalement réel, (V, ϕ) un F -espace quadratique de dimension n ≥ 3 tel que pour tout plongement τ : F ↪ R, (V_{τ} , ϕ_{τ}) est de signature

(p_{τ} , q_{τ}) ∈ {(n, 0), (0, n), (2, n − 2), (n − 2, 2)}.

On suppose aussi qu’au moins une de ces signatures est dans {(2, n−2), (n−2, 2)}. On fixe dans chaque V_{τ} de signature (2, n−2) ou (n−2, 2) un sous-espace totalement anisotrope W_{τ} maximal et de dimension 2, et une orientation sur ce sous-espace.

On munit W_{τ} de la structure complexe déduite de cette orientation, i.e. de celle pour laquelle la multiplication par i est une rotation d’angle π/2. On prend alors G = Res_{F/Q}SO(V, ϕ) et pour X, la classe de G(R)-conjugaison du morphisme h : S → G_{R} qui envoie z ∈ C^{×} = S(R) sur l’élément qui agit par z/\overline{z} sur ⊕W_{τ} et qui est trivial sur (⊕W_{τ})^{⊥}.

Exercise 5.2. Vérifier les axiomes SV1-5.

6. Structure algébrique sur C

A ce stade, on a déjà une structure de variété holomorphe (ou analytique complexe) sur

Sh_{K}(G, X)(C) = G(Q)\ (G(A_{f})/K × X) ,

au moins lorsque K est assez petit. Si cette variété est projective, i.e. isomorphe à un fermé d’un P^{n}(C), on peut appliquer le théorème suivant pour obtenir une variété algébrique projective lisse sur C dont Sh_{K}(G, X)(C) est l’ensemble des points complexes :

Theorem 6.1. Le foncteur V ↦ V (C)^{an} est une équivalence de catégorie entre variété algébrique lisse projective sur C et variété analytique complexe projective.

En règle générale, Sh_{K}(G, X)(C) n’est cependant pas compacte. Mais un théorème de Bailly et Borel permet de compactifier chacune des composantes connexes Γ\X^{+}de Sh_{K}(G, X)(C) en la réalisant comme un ouvert de Zariski d’une variété algébrique projective (Γ\X^{+})^{⋆}. On obtient alors une variété algébrique lisse et quasi-projective Sh_{K}(G, X)_{C} sur C dont la variété analytique complexe sous-jacente Sh_{K}(G, X)_{C}(C)^{an} est bien ce qu’il faut, à savoir notre variété analytique complexe Sh_{K}(G, X)(C) ! Un théorème de Borel dit que la structure algébrique ainsi obtenue est universelle - donc unique à unique isomorphisme près :

Theorem 6.2. Pour toute variété algébrique quasi-projective lisse V sur C, tout morphisme analytique complexe V^{an}(C) → Sh_{K}(G, X)(C)^{an} est induit par un morphisme algébrique V → Sh_{K}(G, X)_{C}.

Pour les variétés qui nous concernent principalement - à savoir les variétés de Shimura de type PEL, nous verrons plus bas pourquoi ces résultats ne nous concernent guère, compte-tenu de ce que l’on a déjà fait dans ce cours : on sait déjà que Sh_{K}(G, X)(C) est l’ensemble des C-points d’une variété, celle qui représente le problème de module ad-hoc.

7. Modèles Canoniques

7.1. Le corps reflex d’une donnée de Shimura. Soit (G, X) une donnée de Shimura. Pour tout h ∈ X, on note

μ_{h} : G_{m,C} ↪ G_{m,C} × G_{m,C} ≃ S_{C} ⟶^{h_{C}} G_{C}

où le premier morphisme envoie z sur (z, 1) et l’inverse du second z ∈ S(R) ⊂ S(C) sur (z, \overline{z}) ∈ G_{m}(C) × G_{m}(C). On obtient ainsi un élément bien défini μ(G, X) ∈ C(G, C), où pour tout corps k ⊂ C, on note

C(G, k) = G(k)\Hom_{k−gr}(G_{m,k}, G_{k})

l’ensemble des classes de G(k)-conjugaison de cocaractères de G_{k}.

Lemma 7.1. Si G_{k} est décomposé, i.e. contient un tore maximal déployé T = G_{m,k}^{r}, alors

W (k)\Hom_{k−gr}(G_{m,k}, T) ≃ G(k)\Hom_{k−gr}(G_{m,k}, G_{k})

où W (k) = N_{G(k)}(T_{k})/Z_{G(k)}(T_{k}) est le groupe de Weyl.

Démonstration. L’application est surjective car deux tores déployés maximaux sont nécessairement conjugués. Elle est injective : si μ, μ′ : G_{m,k} ↪ T sont conjugués dans G_{k}, i.e. il existe g ∈ G(k) tel que μ = Int(g) ∘ μ′. Alors μ est à valeur dans T ∩ Int(g)(T), donc μ commute à T et Int(g)(T), i.e. T et Int(g)(T) sont deux tores maximaux dans le centralisateur Z_{μ}(G_{k}) de μ dans G_{k}, qui est un groupe connexe réductif, donc ils sont conjugués aussi par un élément h ∈ Z_{μ}(G_{k})(k). On a donc

Int(h) ∘ μ = μ = Int(h) ∘ Int(g) ∘ μ′ = Int(hg) ∘ μ′

avec maintenant Int(hg)(T) = T, i.e. hg ∈ N_{G(k)}(T_{k}), CQFD. □

On en déduit que μ(G, X) ∈ C(E) pour un corps de nombre E ⊂ C suffisamment gros.

Definition 7.2. Le corps reflex E(G, X) ⊂ C est le corps de définition de μ(G, X) ∈ C(\overline{Q}).

Lemma 7.3. Si (H, Y) ⊂ (G, X), alors E(H, Y) ⊃ E(G, X).

Démonstration. Immédiat. □

7.2. Les points spéciaux.

Definition 7.4. Un point h ∈ X est dit spécial si et seulement si il existe un Q-tore T ⊂ G tel que h : S ↪ G_{R} se factorise par T_{R}. Un point x ∈ Sh_{K}(G, X)(C) est dit spécial si et seulement si il existe un élément g ∈ G(A_{f}) et un point spécial h de X tel que

x = [g, h] ∈ G(Q)\ (G(A_{f})/K × X) = Sh_{K}(G, X)(C).

Remark 7.5. Si T est un Q-tore maximal (ce que l’on peut toujours supposer dans la définition ci-dessus), pour que h ∈ X se factorise par T_{R}, il faut et il suffit que h(C^{×}) et T (R) commutent. En effet, h se factorise alors par le centralisateur Z_{G_{R}}(T_{R}) = T_{R} de T_{R} dans G_{R}.

Remark 7.6. Pour tout h ∈ X, le groupe de Mumford-Tate MT(h) de h est le plus petit sous-groupe H de G qui est défini sur Q et tel que h : S → G_{R} se factorise par H_{R}. Presque par définition, h ∈ X est spécial si et seulement si MT(h) ⊂ G est un tore.

Soit h un point spécial de X et T ⊂ G un Q-tore tel que h : S → G_{R} se factorise par T_{R}. Alors (T, {h}) est une sous-donnée de Shimura de (G, X). Le corps reflex de (T, {h}) est le corps de définition du cocaractère μ_{h} : G_{m,C} → T_{C} ↪ G_{C} : il ne dépend pas du choix de T, mais seulement de h ∈ X. On le note E(h). Puisque pour tout corps k ⊂ \overline{Q},

Hom_{k−gr} (G_{m,k}, T_{/k}) = Hom_{Z[Gal_{k}]} (X^{⋆}(T), X^{⋆}(G_{m,k}))
= Hom_{Z[Gal_{Q}]} (X^{⋆}(T), Ind\begin{matrix}Gal & Q \\ Gal & k \end{matrix}X^{⋆}(G_{m,Q}))
= Hom_{Z[Gal_{Q}]} (X^{⋆}(T), X^{⋆}(T_{k}))
= Hom_{Q−gr} (T_{k}, T)

le cocaractère μ_{h} : G_{m,E(h)} → T_{/E(h)} induit à son tour un morphisme de Q-tores

r_{h} : T_{E(h)} = Res_{E(h)/Q}G_{m,E(h)} → T.

On obtient ainsi un morphisme

r_{h} : T_{E(h)}(A) → T (A) \underrightarrow{proj} T (A_{f}) ↪ G(A_{f})

qui ne dépend à nouveau pas du choix de T.

7.3. Le modèle canonique.

Definition 7.7. Soit (G, X) une donnée de Shimura et K un sous-groupe ouvert et compact de G(A_{f}).

(1) Un modèle M_{K} de Sh_{K}(G, X) sur E(G, X) est dit canonique si et seulement si il vérifie la propriété suivante : pour tout point spécial h de X et tout g ∈ G(A_{f}), le point [g, h] de M_{K}(C) est défini sur l’extension abélienne maximale E(h)^{ab} de E(h) ⊃ E(G, X) dans C, et pour tout σ ∈ Aut(C/E(h)), pour tout s ∈ T_{E(h)}(A) tel que σ|E(h)^{ab} = Art_{E(h)}(s),

σ · [g, h] = [r_{x}(s)g, h] dans Sh_{K}(G, X)(C).

(2) Un modèle de Sh(G, X) est un système projectif de modèles canoniques (Sh_{K}(G, X))_{K} sur E(G, X), indexé par les sous-groupes ouverts et compacts (suffisamment petits) K de G(A_{f}), muni d’une action à droite de G(A_{f}) qui induit celle que l’on a déjà sur (Sh_{K}(G, X)(C))_{K}.

Cette définition peut paraître bien singulière. Nous verrons plus bas pourquoi elle est au contraire tout à fait naturelle : la loi de réciprocité qui exprime l’action de Galois sur les points spéciaux est, tout au moins pour les variétés de Shimura de type PEL, rien d’autre qu’un avatar du théorème principal de la multiplication complexe.

7.4. Unicité des modèles canoniques. On veut montrer que

Theorem 7.8. Si Sh_{K}(G, X) a un modèle canonique, celui-ci est unique à isomorphisme unique près.

Démonstration. On applique le théorème suivant avec K = K′ et σ = 1. □

Theorem 7.9. Soit T (n) : Sh_{K}(G, X) → Sh_{K′}(G, X) un morphisme [g, h] ↦ [gn, h] avec donc n ∈ G(A_{f}), pour des sous-groupes ouverts et compacts K et K′ de G(A_{f}) tels que n^{−1}Kn ⊂ K′. Si Sh_{K}(G, X) et Sh_{K′}(G, X), ont un modèle canonique, alors T (n) est défini sur E(G, X).

Démonstration. Il suffit de voir que σ(T (n)) = T (n) pour tout σ ∈ Aut(C/E(G, X)) (par descente fpqc des morphismes), ou encore que

σ · T (n)(x) = T (n)(σ · x)

pour un ensemble Zariski dense de points x ∈ Sh_{K}(G, X)(C). Si x = [g, h] pour un point spécial h ∈ X de corps réflexe E(h) ⊃ E(G, X) et σ fixe E(h), alors pour tout s ∈ T_{E(x)}(A) tel que σ|E(h)^{ab} = Art_{E(h)}(s) ∈ Gal_{E(h)}^{ab}, on a

σ · T (n)([g, h]) = σ · [gn, h] = [r_{h}(s)gn, h] = T (n)[r_{h}(s)g, h] = T (n)(σ · [g, h]).

Le théorème résulte donc des deux lemmes suivants. □

Lemma 7.10. Pour tout h ∈ X, [G(A_{f}), h] est Zariski dense dans Sh_{K}(G, X)(C).

Démonstration. Exercice. □

Lemma 7.11. (1) Il existe un point spécial h ∈ X, et (2) Gal(\overline{Q}/E(G, X)) est engendré par les Gal(\overline{Q}/E(h)) pour h ∈ X spécial.

Démonstration. (1) On part d’un point h ∈ X, on choisit un tore maximal T ⊂ G_{R} à travers lequel h se factorise. Alors T est le centralisateur de tout point régulier t ∈ LieT (R). Mais si t_{0} ∈ LieG(Q) est suffisamment proche de t ∈ LieG(R) = LieG(Q) ⊗ R, alors t_{0} est encore régulier, donc son centralisateur T_{0} est encore un tore maximal dans G, qui est maintenant défini sur Q. Tous les tores maximaux de G_{R} ne sont malheureusement pas conjugués, mais il n’y a qu’un nombre fini de classes de conjugaisons - et si t_{0} est suffisamment proche de t, alors T_{0R} = gT g^{−1} pour un g ∈ G(R). Alors ghg^{−1} = g · h se factorise par T_{0} : c’est donc un point spécial de X. (2) Voir la version originale de [1, 5.1]. □

Remark 7.12. On montre de même que si tous les Sh_{K}(G, X) ont un modèle canonique, alors Sh(G, X) en a un aussi (i.e. les applications de transitions et l’action de G(A_{f}) sont données par des morphismes algébriques définis sur le corps reflex E(G, X).

Remark 7.13. On montre encore de même que les modèles canoniques sont fonctoriels en la donnée de Shimura : si ι : (G, X) → (G′, X′) est un morphisme de données de Shimura, si ι(K) ⊂ K′ sont des sous-groupes ouverts et compacts de G(A_{f}) et de G′(A_{f}), et si Sh_{K}(G, X) et Sh_{K′}(G′, X′) ont des modèles canoniques, alors ι : Sh_{K}(G, X) → Sh_{K}(G′, X′) est défini sur E(G, X) · E(G′, X′).

7.5. Existence des modèles canoniques. Il s’agit d’un problème de descente fpqc, le long de S = SpecC → S_{0} = SpecE où E = E(G, X). Dans ce contexte, une donnée de descente sur un SpecC-schéma X est - comme d’habitude - un isomorphisme p_{1}^{⋆}X ≃ p_{2}^{⋆}X de S′-schémas vérifiant une condition de cocycle, où p_{1}, p_{2} : S′ = S ×_{S_{0}} S → S sont les deux projections, et une telle donnée de descente est effective lorsque X est quasi-projectif. Malheureusement, le schéma S′ = SpecC ⊗_{E} C est nettement plus compliqué qu’il n’en a l’air. Cependant tout élément σ ∈ Aut(C/E) définit un morphisme C⊗_{E}C → C donné par x⊗y ↦ σ(x)y, donc un morphisme (σ, 1) : Spec(C) → S′. En faisant le pull-back de notre isomorphisme p_{1}^{⋆}X ≃ p_{2}^{⋆}X, par (σ, 1), on obtient un isomorphisme f_{σ} : σX ≃ X. La condition de cocycle implique alors que f_{στ} = f_{σ} ∘ σ(f_{τ}) : στX → σX → X, et la collection de ces isomorphismes est presque aussi bonne que la donnée de descente elle-même : Milne décrit dans [4] une condition suffisante, dite de continuité, pour qu’une telle (variante de) donnée de descente sur un schéma quasi-projectif X sur C soit effective. Si de plus X est lisse, on peut encore décrire les f_{σ} au moyen de l’action qu’ils induisent sur X(C) : σ · x = f_{σ}(σx). Une action de Aut(C/E) sur l’ensemble X(C) est dite régulière si elle provient de tels morphismes f_{σ}. Au final, une action régulière et continue sur X(C) est donc effective si X est quasi-projectif et lisse.

D’après l’unicité des modèles canoniques, il existe au plus une donnée de descente canonique sur Sh_{K}(G, X)(C), c’est-à-dire au plus une action régulière et continue telle que σ · [g, h] = [r_{h}(s)g, h] pour tout g ∈ G(A_{f}), tout h ∈ X spécial, tout σ ∈ Aut(C/E(h)) et tout s ∈ T_{E(h)}(A) tel que Art_{E(h)}(s) = σ|E(h)^{ab}. Il reste à construire une telle action de Aut(C/E) sur Sh_{K}(G, X), et à vérifier qu’elle est bien régulière et continue.

Lorsque les points de Sh_{K}(G, X)(C) classifient des objets algébriques sur C, comme c’est le cas pour les variétés de type PEL, l’action de Aut(C/E) sur les objets classifiés fournit déjà une action de Aut(C/E) sur Sh_{K}(G, X)(C) et Milne vérifie dans [4, §14] que cette action est bien régulière et continue. Nous n’avons pas besoin de vérifier cela pour les variétés qui nous intéressent : nous savons déjà que cette action est une donnée de descente effective, puisque c’est celle qui provient du modèle que nous avons construit dans le début du cours. En revanche, et comme Milne, nous devons vérifier que notre modèle est bien canonique, ce que l’on fait dans la section suivante.

Remark 7.14. La démonstration de l’existence des modèles canoniques pour toutes les variétés de Shimura est beaucoup plus fastidieuse, et les dernières ramifications de la preuve ne datent que d’une dizaine d’année.

8. Le cas des Variétés de Shimura de Type PEL

Soient B une Q-algèbre semi-simple, ⋆ une involution positive de B, (V, ψ) ∈ H_{Q}(B, ⋆, −1) un espace (B, ⋆)-symplectique, I une structure complexe (B, ⋆) linéaire sur (V_{R}, ψ_{R}) telle que ψ_{R,I} > 0, G le groupe des similitudes symplectiques Blinéaire de (V, ψ), X la classe de G(R)-conjugaison du morphisme h_{I} : S → G_{R} donné par la structure complexe I, et K un sous-groupe compact ouvert de G(A_{f}). On s’intéresse à la variété de Shimura Sh_{K}(G, X).

8.1. Les points complexes. L’ensemble des points complexes

Sh_{K}(G, X)(C) = G(Q)\ (G(A_{f})/K × X)

paramètre les classes d’isomorphismes de quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) où

(1) A est une variété abélienne à isogénie près sur C,

(2) ι : B → End^{0}(A) est une action de B telle que le B ⊗ C-module Lie(A) soit isomorphe à V_{R,I},

(3) [λ] = Qλ où λ : A → A^{t} est une polarisation (B, ⋆)-linéaire,

(4) [κ] = κK est une K-orbite d’isomorphismes B̂-linéaires κ : V̂ → V_{f}(A, C) tels qu’il existe un isomorphisme ν : A_{f} → V_{f}(μ, C) qui fait commuter le diagramme

ψ̂:  V̂ × V̂  →  A_{f}
κ ↓  ν ↓
⟨•, •⟩_{f}^{λ} : V_{f}(A, C) × V_{f}(A, C) → V_{f}(μ, C)

(les isomorphismes sont alors automatiquement B̂-linéaires),

Le tout étant de plus assujetti à la condition suivante :

(8.1)  [V, Q^{×}ψ] = [H_{1}(A, Q), Q^{×}ψ_{λ}] dans H_{Q}(B, ⋆, −1).

i.e. les (B, ⋆)-modules symplectiques (V, ψ) et (H_{1}(A, Q), ψ_{λ}) sont isomorphes à une similitude près. En effet, soit (A, ι, [λ], [κ]) un tel quadruplet. Choisissons un isomorphisme B-linéaire

ν : H_{1}(A, Q) → V

qui envoie Qψ_{λ} sur Qψ. Alors

ν̂ ∘ κ : V ⊗ A_{f} = V̂ → V_{f}(A, C) ≃ H_{1}(A, Q) ⊗ A_{f} → V ⊗ A_{f}

est un élément g ∈ G(A_{f}) et J = ν_{R} ∘ [i] ∘ ν_{R}^{−1} : V_{R} → V_{R}

J : V ⊗ R → H_{1}(A, R) ≃ Lie(A)(C) ⟶^{i} Lie(A)(C) ≃ H_{1}(A, R) → V ⊗ R

est une structure complexe (B, ⋆)-linéaire sur (V_{R}, ψ_{R}) telle que les B ⊗ C-modules V_{R,I} et W_{R,J} soient isomorphes, et ±ψ_{R,J} > 0, donc J est conjugué à I par un élément de G(R), i.e. h_{J} ∈ X. Puisque κK et G(Q)ν sont bien déterminés, on obtient

[g, h_{J}] ∈ Sh_{K}(G, X)(C) = G(Q)\ (G(A_{f})/K × X) .

Inversement, un tel élément détermine le quadruplet [A, ι, [λ], [κ]] où A = V_{R,J}/Λ, ψ_{λ} = ±ψ, κ = g et ι(b) ∈ End^{0}(A) = {α ∈ End_{Q}(V) : α_{R} ∘ J = J ∘ α_{R}} est la multiplication par b. Ici, Λ est un réseau quelconque de A sur lequel ψ est entier.

Remark 8.1. Si le groupe des similitudes de (V, ψ) vérifie le principe de Hasse, la condition (8.1) est superflue : la structure de niveau détermine la classe de similitude de (H_{1}(A, Q), ψ_{λ}) ⊗ Q_{p} pour tout nombre premier p, et la condition sur le déterminant détermine celle de (H_{1}(A, Q), ψ_{λ}) ⊗ R.

8.2. Le corps reflex. Pour h : S → G_{R} dans X, on note μ_{h} : G_{m,C} → G_{C} le cocaractère défini par

μ_{h} : G_{m,C} ⟶^{i_{1}} G_{m,C} × G_{m,C} ≃ S_{C} ⟶^{h_{C}} G_{C}.

Si ι : G ↪ GL_{B}(V) est l’inclusion naturelle, on obtient donc aussi

ιh : S → GL_{B}(V)_{R} et ιμ_{h} : G_{m,C} → GL_{B}(V)_{C}.

On note V ⊗ C = V_{h}^{−1,0} ⊕ V_{h}^{0,−1} la décomposition de Hodge associée à h. C’est une décomposition du B ⊗ C-module V ⊗ C en somme directe de deux B ⊗ C-sous-modules échangés par la conjugaison. Le morphisme h_{C} envoie (z_{1}, z_{2}) ∈ S(C) = C^{×} × C^{×} sur l’isomorphisme B ⊗ C-linéaire ([z_{1}], [z_{2}]) qui est la multiplication par z_{1} sur V_{h}^{−1,0} et la multiplication par z_{2} sur V_{h}^{0,−1}. Le cocaractère μ_{h} envoie donc z ∈ C^{×} sur ([z], [1]) tandis que (τμ_{h}) envoit z ∈ C^{×} sur ([1], [z]). D’autre part, l’inclusion V ⊗ R ↪ V ⊗ C induit un isomorphisme de B ⊗ R-module V ⊗ R ≃ V ⊗ C/V_{h}^{0,−1}, et cet isomorphisme envoie l’isomorphisme B ⊗ R-linéaire h(i) de V ⊗ R sur la multiplication par i. On peut donc voir cet isomorphisme comme un isomorphisme de B ⊗ C-module

V_{R,h(i)} ≃ V ⊗ C/V_{h}^{0,−1} ≃ V ⊗ C/(V ⊗ C)^{μ_{h}(C^{×})}.

On définit trois corps reflex :

– E_{Shi} est le corps de définition de la classe de G(C)-conjugaison C(μ_{h}),

– E_{Rep} est le corps de définition de la classe de GL_{B}(V)(C)-conjugaison C(ιμ_{h}),

– E_{Mod} est le corps de définition du déterminant d(X) : B ⊗ C → C de V_{R,h(i)}.

Lemma 8.2. On a E_{Mod} ⊂ E_{Rep} ⊂ E_{Shi}.

Démonstration. Soit σ ∈ Aut(C/E_{Shi}). Alors σμ_{h} = Int(g)∘μ_{h} pour un g ∈ G(C), donc

σ(ι ∘ μ_{h}) = ι ∘ (σμ_{h}) = ι ∘ Int(g) ∘ μ_{h} = Int(ι(g)) ∘ (ι ∘ μ_{h})

donc σC(ιμ_{h}) = C(ιμ_{h}), i.e. σ fixe E_{Rep} et E_{Rep} ⊂ E_{Shi}. Soit ensuite σ ∈ Aut(C/E_{Rep}). Alors σμ_{h} = Int(g) ∘ μ_{h} pour un g ∈ GL_{B⊗C}(V ⊗ C), i.e.

∀z ∈ C^{×} : (Id_{V} ⊗ σ) ∘ μ_{h}(σ^{−1}z) ∘ (Id_{V} ⊗ σ)^{−1} = g ∘ μ_{h}(z) ∘ g^{−1} sur V ⊗ C.

Alors (Id_{V} ⊗ σ)^{−1} ∘ g : V ⊗ C → V ⊗ C induit un isomorphisme B ⊗ C-linéaire

V ⊗ C/(V ⊗ C)^{μ_{h}(C^{×})} → σ^{⋆}(V ⊗ C/(V ⊗ C)^{μ_{h}(C^{×})})

où pour tout B ⊗ C-module W, σ^{⋆}W est le B ⊗ C-module dont le B-module sousjacent est W, et où λ ∈ C agit par σ^{−1}(λ). Donc σ^{⋆}(V_{R,h(i)}) ≃ V_{R,h(i)} comme B ⊗ C-module, donc σd(X) = d(X), i.e. σ fixe E_{Mod}. □

Remark 8.3. On doit pouvoir montrer que E_{Mod} = E_{Rep} = E_{Shi}.

8.3. Le problème de module. On a définit un problème de module

M_{K} : (Sch/E_{Mod})^{0} → Ens

qui à un E_{Mod}-schéma S associe l’ensemble des classes d’isomorphismes de quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) où

(1) A est un S-schéma abélien à isogénie près,

(2) ι : B → End^{0}(A) est un action de B sur A, telle que le déterminant du B ⊗ O_{S}-module Lie(A) soit égal à d(X).

(3) [λ] = Qλ où λ : A → A^{t} est une polarisation,

(4) [κ] est la donnée, pour un point géométrique s dans chacune des composantes connexes de S, d’une K-orbite κK d’isomorphismes B-linéaires κ : V̂ → V_{f}(A, s) tels qu’il existe un isomorphisme ν : A_{f} → V_{f}(μ, s) qui fait commuter le diagramme

ψ̂:  V̂ × V̂  →  A_{f}
κ ↓  ν ↓
⟨•, •⟩_{f}^{λ} : V_{f}(A, s) × V_{f}(A, s) → V_{f}(μ, s)

Notons que l’on ne peut pas imposer la condition (8.1), qui n’a aucun sens dans ce contexte plus général. On a vu que ce problème de module était représentable par un E_{Mod}-schéma que l’on note encore M_{K}. Sur les C-points, on obtient donc une inclusion

p : Sh_{K}(G, X)(C) ↪ M_{K}(C).

Remark 8.4. Si le groupe des similitudes G de (V, ψ) vérifie le principe de Hasse, cette inclusion est une bijection. En général, M_{K}(C) est la réunion d’un nombre fini de variétés de Shimura de même type, indexées par les classes de similitudes de couples (V′, ψ′) ∈ H_{Q}(B, ⋆, −1) qui sont partout localement isomorphes (=similaires) à (V, ψ).

8.4. Les points spéciaux. Soit x = [g, h] un point de Sh_{K}(G, X)(C) et p(x) = [A, ι, [λ], [κ]] le point correspondant de M_{K}(C). Soit MT(x) ⊂ GL(V) le groupe de Mumford-Tate de h, i.e. le plus petit sous-groupe algébrique H défini sur Q de GL(V) tel que h : S ↪ GL(V)_{R} se factorise par H_{R}. On a donc MT(x) ⊂ G, et :

Lemma 8.5. x est spécial ⟺ MT(x) est un tore ⟺ A est à multiplication complexe.

Démonstration. La première équivalence est tautologique, la seconde a déjà été démontrée. □

On suppose dorénavant que c’est le cas. Alors Lemma 8.6. Il existe une sous-Q-algèbre CM E de End^{0}(A) telle que (1) dim_{Q} E = 2 dim A et (2) l’involution de Rosati ⋆_{λ} induite par la polarisation λ stabilise E.

Démonstration. Si A ∼ ⊕A_{i}^{n_{i}} avec A_{i} simples et deux à deux non-isogènes, alors End^{0}(A) = ∏ M_{n_{i}}(E_{i}) où E_{i} = End^{0}A_{i} est un corps CM. Puisque l’involution ⋆_{λ} est positive, elle fixe chaque facteur simple M_{n_{i}}(E_{i}) et induit sur celui-ci une involution positive du centre E_{i} - qui est donc l’involution canonique de E_{i}. On a vu qu’une telle involution (de seconde espèce de M_{n_{i}}(E_{i})) était de la forme ⋆_{ψ_{i}} pour une forme hermitienne (définie positive) sur E_{i}^{n_{i}}. Une telle forme est diagonalisable dans une base β_{i} de E_{i}^{n_{i}}, et le produit E des sous-algèbres E_{i}^{n_{i}} ⊂ M_{n_{i}}(E_{i}) correspondant à ces choix de bases est la Q-algèbre CM recherchée. □

On fixe une telle sous-algèbre CM, de sorte que A a maintenant aussi multiplication complexe par E, et V est un E-module libre de rang 1, T_{E} un soustore de GL(V) défini sur Q, et h : S → GL(V)_{R} se factorise par T_{E,R}, donc T ⊂ G ∩ T_{E} ⊂ T_{E} :

T ↪ T_{E}
∩  ∩
G ↪ GL(V)

On a E(T, {h}) = E(T_{E}, {h}) = E(Φ) où Φ ⊂ Hom_{Q−alg}(E, C) est le type CM sur E défini par h, de sorte que le E ⊗ C-module V_{R,h(i)} ≃ LieA(C) est isomorphe à ⊕_{ϕ∈Φ}C(ϕ).

Lemma 8.7. Les morphismes r_{x} : T_{E(Φ)} → T ↪ T_{E} et N_{Φ} : T_{E(Φ)} → T_{E} coincident.

Démonstration. Il suffit de vérifier que les (σ, ϕ)-composantes des deux morphismes

r_{x}, N_{Φ} : (T_{E(Φ)}(C) = ∏_{σ:E(Φ)→C} C^{×}) → (T_{E}(C) = ∏_{ϕ:E→C} C^{×})

coïncident. En revenant aux définitions, on voit que

(r_{x})_{σ,ϕ} = (N_{Φ})_{σ,ϕ} = \begin{cases}Id & si ϕ ∈ Φ, \\ 1 & si ϕ ∉ Φ. \end{cases}

CQFD. □

Soit σ ∈ Aut(C/E(x)) et s ∈ T_{E(Φ)}(A_{f}) tel que σ|E(x)^{ab} = Art_{E(Φ)}(s). Soit α : A → σA l’unique E-isogénie telle que α(r_{x}(s) · v) = σv pour tout v ∈ V_{f}(A, C), qui existe d’après le théorème principal de la multiplication complexe et le lemme précédent.

Lemma 8.8. Avec ces notations, α est une B-isogénie, et

α^{−1}[σλ] = [λ] et α^{−1}[σκ] = [r_{x}(s)κ].

Démonstration. Pour (1), il suffit de vérifier que V_{f}(α) : V_{f}(A, C) → V_{f}(σA, C) est B̂-linéaire. Mais σ : V_{f}(A, C) → V_{f}(σA, C) l’est par définition de σι, et r_{x}(s) : V_{f}(A, C) → V_{f}(A, C) l’est aussi puisque r_{x}(T_{E(Φ)}) ⊂ G ⊂ GL_{B}(V), donc V_{f}(α) = σ ∘ r_{x}(s)^{−1} est B̂-linéaire. Pour (2), calculons la forme symplectique induite par la polarisation α^{−1}(σλ) = α^{t} ∘ σλ ∘ α sur V_{f}(A, C) :

⟨v, w⟩_{f}^{α^{t}∘σλ∘α} = ⟨α(v), α(w)⟩_{f}^{σλ} = ⟨σ(r_{x}(s)^{−1}v), σ(r_{x}(s)^{−1}w)⟩_{f}^{σλ}
= χ_{cyc}(σ) ⟨r_{x}(s)^{−1}v, r_{x}(s)^{−1}w⟩_{f}^{λ} = c ⟨v, w⟩_{f}^{λ}

où c = \frac{χ_{cyc}(σ)}{N_{Φ}(s)·N_{Φ}(s)^{⋆}} ∈ Q_{>}^{×}, donc α^{−1}(σλ) = cλ et α^{−1}[σλ] = [λ]. Pour (3),

choisissons κ : V̂ → V_{f}(A, C) ∈ [κ] = κK. Alors α^{−1} ∘ σ ∘ κ = r_{x}(s) · κ donc α^{−1}[κ] = [r_{x}(s) · κ]. □

Corollary 8.9. Pour tout point spécial x = [g, h] ∈ Sh_{K}(G, X)(C), pour tout σ ∈ Aut(C/E(x)) et s ∈ T_{E(x)}(A) tel que Art_{E(x)}(s) = σ|E(x)^{ab},

σp([g, h]) = p([r_{x}(s)g, h]) dans M_{K}(C)

Démonstration. Le lemme précédent montre que

σ[A, ι, [λ], [κ]] = [A, ι, [λ], [r_{x}(s)κ]] dans M_{K}(C).

On conclut aisément en revenant à la définition de p. □

8.5. Modèle canonique, I. Si l’on admet le théorème de Bailly-Borel, qui nous dit que Sh_{K}(G, X) existe en tant que variété algébrique sur C, on peut utiliser le corollaire ci-dessus pour construire le modèle canonique de cette variété, i.e. pour construire la donnée de descente (continue, régulière) canonique sur Sh_{K}(G, X)(C). On procède comme suit.

Le groupe Aut(C) agit sur les quadruplets (A, ι, [λ], [κ]) qui sont classifiés par nos variétés de Shimura. La condition sur le déterminant est préservée par Aut(C/E_{Mod}), mais il n’est pas clair (pour moi) que la condition (8.1) l’est aussi. On relâche donc d’abord cette condition, ce qui nous donne une action du groupe Aut(C/E_{Mod}) sur les C-points d’une réunion de variétés de Shimura (qui n’est autre que l’action naturelle de Aut(C/E_{Mod}) sur M_{K}(C)). On montre comme Milne dans [4, §14] que cette “donnée de descente” est continue et régulière, dans le sens de [4, §14]. Du corollaire, on déduit dans un premier temps que pour tout point spécial h de X, le sous-groupe Aut(C/E(x)) de Aut(C/E_{Mod}) stabilise le sous-ensemble Zariski dense [G(A_{f}), h] de Sh_{K}(G, X)(C). Ce sous-groupe stabilise donc tout Sh_{K}(G, X)(C). D’après le lemme 7.11, on obtient alors une action (régulière et continue) de Aut(C/E_{Shi}) sur Sh_{K}(G, X)(C), et le corollaire montre exactement que cette donnée de descente est canonique.

8.6. Modèle canonique, II. On peut aussi ne vouloir rien admettre du tout, et essayer de montrer directement que M_{K} est le modèle canonique recherché (de notre réunion de variétés de Shimura). Le corollaire nous dit en effet que l’action naturelle de Aut(C/E_{Mod}) sur M_{K}(C) donne bien ce qu’il faut sur les points spéciaux. Mais alors, que s’agit-il de démontrer ? Essentiellement ceci : que pour K suffisamment petit, le E_{Mod}-schéma M_{K} est lisse.

Dans ce cas : (1) une extension convenable de l’équivalence de catégorie entre (variétés abéliennes sur C) et (tores complexes polarisables) en une équivalence de catégorie entre (schémas abéliens sur une base S lisse sur C) et (objets analytiques complexes analogues sur S(C)^{an})^{2} permet de montrer que le morphisme

p : Sh_{K}(G, X)(C) → M_{K}(C)

est compatible avec les structures analytiques complexes. En particulier, il identifie Sh_{K}(G, X)(C) à une réunion de composantes connexes de M_{K}(C). Puis : (2) le théorème de Borel montre alors que ce morphisme est aussi compatible avec les structures algébriques sur C.

8.7. Autour de la lissité de M_{K}. Elle peut se vérifier directement sur le problème de module - comme il résulte de la définition Grothendieckienne de la lissité :

Definition 8.10. [3, IV, 17.1.1] Un morphisme localement de présentation finie f : X → S est lisse si et seulement si il est formellement lisse, i.e. pour tout anneau R, et tout idéal nilpotent I de R (ou même seulement pour tout idéal I de R tel que I^{2} = 0), l’application X(R) → X(R/I) est surjective.

La vérification de ce critère est alors un problème de déformation : si A_{0} est une variété abélienne sur R/I (avec des structures telles que polarisation, endomorphismes, structures de niveaux...), peut-on la relever en une variété abélienne sur R (avec ses structures) ? On peut d’ailleurs prolonger ce point de vue : pour un morphisme f : X → S localement de type fini (avec S noethérien), la propriété pour f d’être lisse en un point x est une propriété du morphisme entre les anneaux locaux complétés Ô_{S,f(x)} → Ô_{X,x}. Si par exemple f(x) et x ont le même corps résiduel k, il faut que Ô_{X,x} ≃ Ô_{S,f(x)}[[T_{1}, ⋯, T_{n}]], cf. [3, 17.5.3]. Or si X représente F = Hom_{S}(•, X), on peut calculer le Ô_{S,f(x)}-anneau local complété Ô_{X,x} comme l’anneau qui pro-représente le foncteur F_{x}(R) = {z ∈ F(R) : z mod m_{R} = x ∈ F(k(x))}, foncteur qui est défini sur la catégorie des O_{S,f(x)}-algèbres artiniennes locales R de corps résiduel R/m_{R} ≃ k. Les anneaux locaux complétés de nos schémas de modules sont donc les anneaux de déformation universels des objets classifiés.

Remark 8.11. Ce point de vue est surtout utile lorsqu’il s’agit d’étudier les anneaux locaux des problèmes de modules sur des anneaux d’entiers, en un point d’une fibre fermée (= spéciale). Si la caractéristique du corps résiduel k est p, la théorie de Serre-Tate ramène l’étude des déformations de variétés abéliennes A sur k à celle des déformations du groupe p-divisible A(p^{∞}). Pour ces derniers, on dispose de tout un éventail d’outils (groupes formels, modules de Dieudonné, théorie de Fontaine-Messing...) dont nous ne parlerons pas. C’est ainsi que l’on arrive finalement parfois à démontrer que ces anneaux locaux sont, par exemple, réguliers.

Références

[1] P. Deligne. Travaux de Shimura.

[2] P. Deligne, Variétés de Shimura : interprétation modulaire et techniques de construction de modèles canoniques, in Automorphic Forms, representations and L-functions (alias Corvallis). Proc. Symp. Pure Math. ,XXXIII, Amer. Math. Soc. Providence RI.

[3] J. Dieudonné et A. Grothendieck, Eléments de Géométrie Algébrique. Publications Scientifiques de l’IHES n°4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32.

[4] J. Milne, Shimura Varieties.

2Dans ce contexte, la notion pertinente est celle de variations de structures de Hodge, cf. [4, §2 et Theorem 14.8].

VARIÉTÉS DE SHIMURA 21

[5] V. Platonov et A. Rapinchuk, Algebraic Groups and Number Theory, Vol 139, de Pure and Applied Mathematcis, Academic Press.