POINTS DES VARIÉTÉS DE SHIMURA SUR LES CORPS FINIS

Table des matières

partie 1. La théorie de Honda-Tate 2 1. Le Frobenius 2 1.1. Rappels sur les polynômes caractéristiques 2 1.2. Compléments sur les polynômes caractéristiques 4 1.3. Le polynôme caractéristique du Frobenius 5 1.4. La conjecture de Weil pour les variétés abéliennes 7 1.5. Les q-nombres de Weil 7 2. Le théorème de Tate (ℓ ≠ p) & Milne-Waterhouse (ℓ = p) 7 2.1. Les énoncés 7 2.2. Structure des modules de Tate 9 2.3. Structure des modules de Dieudonné 10 2.4. Preuve du théorème 16 14 2.5. Conséquences, I 16 2.6. Conséquences, II 17 3. Le théorème de Honda 18 3.1. Préliminaires 18 3.2. Le corps F = ℚ(π) 18 3.3. Le corps gauche D = D(π) 19 3.4. Un corps CM E ⊂ D(π) 19 3.5. Un type CM Φ sur E 20 3.6. Conclusion 20 4. Exemples sur un corps fini 20 4.1. Cas où F est totalement réel 20 4.2. Les courbes elliptiques 22 4.3. Les surfaces abéliennes 22 4.4. Classe d’isogénie unique de la fibre spéciale d’une courbe de Shimura 23 5. La catégorie Ab_{𝔽}^{0} pour 𝔽 = \overline{𝔽}_{p} 23 5.1. Les germes 24 5.2. Le Frobenius 24 5.3. Les morphismes 24 5.4. Les groupes ℓ-divisibles 25 5.5. Les classes d’isogénie de variétés abéliennes simples 26 5.6. Une autre description de W(𝔽) 27 5.7. Les variétés abéliennes ordinaires 28 5.8. Les variétés abéliennes supersingulières 28 5.9. La conjecture de Manin 29

partie 2. Les relèvements CM 29 6. Le théorème de Zink 29 6.1. Enoncé 29 6.2. Construction d’un corps CM 29 C1 30 C2 30 C3 30 Le cas pair 31 Le cas impair 32 6.3. Construction d’un type CM 33 6.4. Conclusion 33 7. Suite 33 Références 34

Le but de ce chapitre est de donner les outils qui permettent d’étudier, et notamment de dénombrer l’ensemble des points d’une variété de Shimura de type PEL sur un corps fini. L’idée est basique : (1) on regroupe les points en classes d’isogénies, puis (2) on étudie séparément chaque classe d’isogénie.

Première partie 1. La théorie de Honda-Tate

Soit k un corps parfait. On a vu précédemment que la catégorie Ab_{k}^{0} des variétés abéliennes sur k à isogénie près est abélienne semi-simple, et que les algèbres d’endomorphismes y sont des ℚ-algèbres semi-simples de dimension finie. On a donc

Ab_{k}^{0} ≃ ⊕_{[A]∈S(k)}Mod_{End_{k}^{0}(A)}

où la somme porte sur l’ensemble S(k) des classes d’isogénies de variétés abéliennes simples sur k, et où Mod_{End_{k}^{0}(A)} est la catégorie des modules à gauche sur le corps

gauche End_{k}^{0}(A) =^{déf} End_{k}(A) ⊗ ℚ. Lorsque k = 𝔽_{q} est un corps fini, la théorie de Honda-Tate achève de décrire complètement cette catégorie, en ce sens qu’elle donne une description explicite de l’ensemble S(q) =^{déf} S(k) et une recette pour déterminer le corps gauche End_{k}^{0}(A) pour toute variété abélienne k-simple A.

1. Le Frobenius

1.1. Rappels sur les polynômes caractéristiques. Soit A une variété abélienne sur un corps parfait k. Nous avons vu que la fonction

deg : End_{k}(A) → ℤ, α ↦ deg(α)

est polynomiale, multiplicative et homogène de degré 2 dim A. Pour tout anneau commutatif R, on obtient donc une fonction

deg_{R} : End_{k}(A) ⊗ R → R.

Definition 1. Le polynôme caractéristique de α ∈ End_{k}(A) ⊗ R est

P_{α} = deg_{R[X]} (α ⊗ 1_{R[X]} − Id_{A} ⊗ X) ∈ R[X].

C’est donc un polynôme unitaire de degré 2 dim A, dont la définition est calquée sur celle du polynôme caractéristique de l’endomorphisme d’un R-module libre de rang fini Λ, disons β : Λ → Λ, pour lequel

P_{β} = det_{R[X]} (β ⊗ 1_{R[X]} − Id_{A} ⊗ X|Λ ⊗_{R} R[X]) ∈ R[X].

On sait qu’alors P_{β}(β) = 0 dans End_{R}(Λ) : c’est le théorème de Cayley-Hamilton, auquel nous allons nous ramener pour établir la proposition suivante.

Proposition 2. Pour tout α ∈ End_{k}(A) ⊗ R,

P_{α}(α) = 0 dans End_{k}(A) ⊗ R.

Puisque la formation de P_{α}(α) commute aux changements de base R → R′, on se ramène facilement pour prouver cette proposition, d’abord au cas où R est une algèbre de polynômes sur ℤ, puis, en utilisant le fait que End_{k}(A) est un ℤ-module libre, au cas où R = ℤ, donc α ∈ End_{k}(A). La proposition résulte alors aisément de l’un quelconque des trois énoncés que voici.

Proposition 3. Soit α ∈ End_{k}(A), P_{α} son polynôme caractéristique. Alors :

(1) Pour tout k ↪ ℂ, P_{α} est le polynôme caractéristique du morphisme induit par α sur le ℤ-module libre H_{1}(A(ℂ), ℤ).

(2) Pour tout nombre premier ℓ ≠ car(k), P_{α} est le polynôme caractéristique du morphisme induit par α sur le ℤ_{ℓ}-module libre T_{ℓ}(A, \overline{k}).

(3) Pour car(k) = p > 0, P_{α} est le polynôme caractéristique du morphisme induit par α sur le W (k)-module libre 𝔻(A).

Tous ces polynômes prennent en effet les mêmes valeurs sur ℤ :

Proposition 4. Soit α ∈ End_{k}(A).

(1) Pour tout k ↪ ℂ, deg(α) = det_{ℤ} (α|H_{1} (A(ℂ), ℤ)).
(2) Pour tout nombre premier ℓ ≠ car(k), deg(α) = det_{ℤ_{ℓ}} (α|T_{ℓ}(A, \overline{k})).
(3) Pour car(k) = p > 0, deg(α) = det_{W (k)} (α|𝔻(A)).

Posons E = End_{k}(A) ⊗ K avec K = ℚ, ou K = ℚ_{ℓ}, ou K = ℚ_{p} selon la formule

[E ⟶^{deg} K] =^{?} [E ⟶^{det} K]

que l’on souhaite démontrer. Ces deux fonctions sont polynomiales, multiplicatives, et homogènes de même rang 2 dim(A). Décomposons E = ∏ E_{i} en K-algèbres simples et notons nr_{i} : E_{i} → K la norme réduite sur E_{i}. D’après [9, p. 179], il existe des constantes a_{i}, b_{i} ∈ ℕ telles que pour tout α = (α_{i}) dans E = ∏ E_{i},

deg(α) = ∏ nr_{i}(α_{i})^{a_{i}} et det(α) = ∏ nr_{i}(α_{i})^{b_{i}}.

Il suffit donc de vérifier que, notant |−| : K → ℝ_{≥0} la norme usuelle de K,

[E ⟶^{|deg|} ℝ_{≥0}] =^{?} [E ⟶^{|det|} ℝ_{≥0}] .

Par homogénéité, il suffit même de tester cette égalité sur α ∈ End_{k}(A). Si α n’est pas une isogénie, |deg(α)| = 0 = |det(α)|. Supposons donc que α est une isogénie et traitons séparément les différents cas.

1. Pour la première formule, K = ℚ et

|deg(α)| = + deg(α) = cardinal de ker (A(ℂ) ⟶^{α} A(ℂ)) ,
|det(α)| = ± det(α) = cardinal de coker (H_{1}(A(ℂ), ℤ) ⟶^{α} H_{1}(A(ℂ), ℤ)) .

POINTS DES VARIÉTÉS DE SHIMURA SUR LES CORPS FINIS 4

Mais si A(ℂ) = ℂ^{g}/Λ pour un réseau Λ ≃ ℤ^{2g}, alors Λ ≃ H_{1}(A(ℂ), ℤ) et

ker (A(ℂ) →^{α} A(ℂ)) = α^{−1}Λ/Λ ≃ Λ/αΛ ≃ coker (H_{1}(A(ℂ), ℤ) →^{α} H_{1}(A(ℂ), ℤ))

donc en effet deg(α) = |det(α)|.

2. Pour la seconde formule, K = ℚ_{ℓ} avec ℓ ≠ car(k) et

|deg(α)|^{−1} = rang de ker (α) [ℓ^{∞}]
= cardinal de ker (A(\overline{k})[ℓ^{∞}] ⟶^{α} A(\overline{k})[ℓ^{∞}]) ,
|det(α)|^{−1} = cardinal de coker (T_{ℓ}(A, \overline{k}) →^{α} T_{ℓ}(A, \overline{k})) .

On conclut grâce au lemme suivant : Lemma 5. Si α : A → B est une isogénie et ℓ ≠ car(k) un nombre premier, alors

coker (T_{ℓ}(A, \overline{k}) →^{α} T_{ℓ}(B, \overline{k})) ≃ ker (A(\overline{k})[ℓ^{∞}] ⟶^{α} B(\overline{k})[ℓ^{∞}]) .

Démonstration. Soient A = A(\overline{k})[ℓ^{∞}], B = A(\overline{k})[ℓ^{∞}] et X = ker(A ⟶^{α} B). Alors

[T_{ℓ}(A, \overline{k}) →^{α} T_{ℓ}(B, \overline{k})] ≃ [Hom_{ℤ_{ℓ}} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, A) →^{α} Hom_{ℤ_{ℓ}} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, B)]

Appliquant Ext_{ℤ_{ℓ}}^{•}(ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, −) à la suite exacte 0 → X → A → B → 0, il vient

0 → Hom_{ℤ_{ℓ}} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, A) →^{α} Hom_{ℤ_{ℓ}} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, B) → Ext_{ℤ_{ℓ}}^{1} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, X) → 0

car X est fini et A injectif (car divisible). Puisque aussi Ext_{ℤ_{ℓ}}^{•}(ℚ_{ℓ}, X) = 0,

Ext_{ℤ_{ℓ}}^{1} (ℚ_{ℓ}/ℤ_{ℓ}, X) ≃ Hom_{ℤ_{ℓ}} (ℤ_{ℓ}, X) ≃ X.

Donc coker (T_{ℓ}(A, \overline{k}) →^{α} T_{ℓ}(B, \overline{k})) ≃ X, CQFD. □

3. Pour la troisième formule, K = ℚ_{p} et |det(α)|^{−1} = p^{v_{p}(det(α))}, avec

v_{p}(det(α)) = longueur du W (k)-module coker (𝔻(A[p^{∞}]) →^{α} 𝔻(A[p^{∞}]))
= longueur du W (k)-module 𝔻(ker (A[p^{∞}] →^{α} A[p^{∞}])
= longueur du W (k)-module 𝔻(ker(α)[p^{∞}])
= v_{p}(deg(α))

donc à nouveau |deg(α)| = |det(α)|. 1.2. Compléments sur les polynômes caractéristiques. On peut associer d’autres polynômes dans ℚ[X] à un élément α de E = End_{k}^{0}(A) : P_{min,α} le polynôme unitaire qui engendre {P ∈ ℚ[X] : P (α) = 0 dans E}. P_{car,α} le polynôme caractéristique de α agissant sur E par multiplication à

gauche (ou à droite),

P_{red,α} définit par P_{red,α}(X) = nr_{E/ℚ}(α − X) où nr_{E/ℚ} est la norme réduite de

E/ℚ.

Proposition 6. P_{α}, P_{min,α}, P_{car,α} et P_{red,α} ont les mêmes facteurs irréductibles.

Démonstration. Décomposons A ∼ ⊕A_{i}^{m_{i}} en composantes isotypiques, donc aussi E = ∏ E_{i} en composantes simples, avec E_{i} = M_{m_{i}}(D_{i}) où D_{i} = End_{k}^{0}(A_{i}) est un corps gauche, et α = (α_{i}). On a alors

P_{α} = ∏P_{α_{i}}, P_{min,α} = pgcd(P_{min,α_{i}}), P_{car,α} = ∏P_{car,α_{i}} et P_{red,α} = ∏P_{red,α_{i}}

ce qui nous ramène au cas isotypique, i.e. A ∼ A_{0}^{m} et E = M_{m}(D) où D est un corps gauche de centre F. Puisque les applications deg α, det(α|E) et nr_{E/ℚ}(α) sont polynomiales, multiplicatives et homogènes de degré respectivement égal à 2mg_{0}, m^{2}d^{2}f et mdf où g_{0} = dim A_{0}, d = [D : F] et f = [F : ℚ], on en déduit (comme dans la preuve de la proposition 4) que df | 2g_{0} et

deg = nr_{E/ℚ}^{2g_{0}/df} et det(−|E) = nr_{E/ℚ}^{md}

donc aussi P_{α} = P_{red,α}^{2g_{0}/df} et P_{car,α} = P_{red,α}^{md}. Il est enfin bien connu que P_{min,α} et P_{car,α} ont les mêmes facteurs irréductibles. □

Remark 7. Si A est simple, E = D est un corps, et tous les polynômes ci-dessus sont des puissances de P_{min,α}, qui est irréductible dans ℚ[X].

1.3. Le polynôme caractéristique du Frobenius. On suppose maintenant que A est une variété abélienne de dimension g sur un corps fini k = 𝔽_{q}. On note π_{A} ∈ End_{k}(A) le Frobenius de A et P_{A} ∈ ℤ[X] son polynôme caractéristique. On sait déjà que c’est un polynôme unitaire de degré 2g, de terme constant q^{g} = deg π_{A}, tel que P_{A}(ℤ) ⊂ ℕ et P_{A}(π_{A}) = 0 dans End_{k}(A).

Theorem 8. Si P_{A}(X) = ∏_{i=1}^{2g}(X − α_{i}) dans \overline{ℚ}[X] alors

(1) |A(𝔽_{q^{n}})| = ∏_{i=1}^{2g}(1 − α_{i}^{n}) pour tout n ≥ 1 et
(2) |α_{i}| = q^{\frac{1}{2}} pour tout i = 1, …, 2g.

Démonstration. (de (1)) Pour tout n ≥ 1, on a tout d’abord

|A(𝔽_{q^{n}})| =^{(a)} |ker (π_{A}^{n} − Id_{A} : A(\overline{𝔽}_{q}) → A(\overline{𝔽}_{q}))| =^{(b)} deg(π_{A}^{n} − Id_{A}) =^{déf} P_{π_{A}^{n}}(1)

car (a) π_{A} agit par Frob_{k} sur A(\overline{𝔽}_{q}) et (b) π_{A} agit par 0 sur LieA, donc π_{A}^{n} −Id_{A} est une isogénie étale. D’autre part, choisissons un plongement de \overline{ℚ} dans ℚ_{ℓ}. D’après la proposition 3,

P_{π_{A}^{n}}(X) = det_{ℚ_{ℓ}} (π_{A}^{n} − X · Id|V_{ℓ}(A, \overline{𝔽}_{q})) = ∏_{i=1}^{2g}(X − α_{i}^{n})

dans \overline{ℚ}_{ℓ}[X], donc aussi dans \overline{ℚ}[X], et |A(𝔽_{q^{n}})| = P_{π_{A}^{n}}(1) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − α_{i}^{n}). □

Example 9. Si A est une courbe elliptique, g = 1, et

P_{A} = (X − α_{1})(X − α_{2}) = X^{2} − a_{q}X + q

avec a_{q} = α_{1} + α_{2} ∈ ℤ. La partie déjà démontrée du théorème nous dit que

a_{q} = 1 + q − P_{A}(1) = |P^{1}(𝔽_{q})| − |A(𝔽_{q})| .

D’autre part, pour tout n, d ∈ ℤ avec d ≠ 0,

P_{A} (\frac{n}{d}) = deg (π_{A} − \frac{n}{d}) = \frac{1}{d^{2}} deg (dπ_{A} − n) ≧ 0

donc le discriminant Δ_{A} = a_{q}^{2} − 4q de P_{A} est inférieur ou égal à 0 :

|α_{1} + α_{2}| = |a_{q}| = ||P^{1}(𝔽_{q})| − |A(𝔽_{q})|| ≤ 2\sqrt{q}

Appliquant cette inégalité à A sur 𝔽_{q^{n}}, on obtient

|α_{1}^{n} + α_{2}^{n}| ≤ 2q^{n/2}

d’où l’on déduit facilement que |α_{1}| = |α_{2}| = q^{1/2}, ce qui démontre la deuxième partie du théorème lorsque g = 1.

Pour le cas général où g = dim A > 1, nous avons besoin du lemme suivant.

Lemma 10. Soit † une involution de Rosati sur End_{k}^{0}(A). Alors π_{A}^{†} ∘ π_{A} = q.

Démonstration. Soit L un faisceau inversible ample sur A, donnant une polarisation λ : A → A^{t} qui induit † sur End_{k}^{0}(A). Posant π = π_{A}, on doit montrer que q = π^{†} ∘ π = λ^{−1} ∘ π^{t} ∘ λ ∘ π, ou encore que

[A ⟶^{qλ} A^{t}] = [A ⟶^{π} A ⟶^{λ} A^{t} ⟶^{π^{t}} A^{t}]

Soit donc a ∈ A, de sorte que λ(a) = T_{a}^{∗}L ⊗ L^{−1} dans A^{t} = Pic_{A/k}^{0} et

π^{t} ∘ λ ∘ π(a) = [π]^{∗}(T_{π(a)}^{∗}L ⊗ L^{−1}) = π^{∗}T_{π(a)}^{∗}L ⊗ π^{∗}L^{−1} = T_{a}^{∗}π^{∗}L ⊗ π^{∗}L^{−1}.

Mais dans PicA, π^{∗}L = L^{q} (exercice !), donc

π^{t} ∘ λ ∘ π(a) = T_{a}^{∗}L^{q} ⊗ L^{−q} = (T_{a}^{∗}L ⊗ L^{−1})^{q} = qλ(a),

ce qu’il fallait démontrer. □

Montrons maintenant la deuxième partie du théorème.

Démonstration. (de (2)) Soit ℚ[π] la sous-algèbre engendrée par π = π_{A} dans E = End_{k}^{0}(A). C’est une sous-algèbre centrale, puisque π commute avec tous les morphismes de k-schémas, qui est donc réduite, puisque le centre de E est un produit de corps, et qui est donc elle-même un produit de corps. Puisque aussi

P_{A}(π) = 0 avec P_{A}(0) = deg(π) = q^{g} ≠ 0,

le Frobenius π est inversible dans ℚ[π], et puisque π^{†}π = q dans E, π^{†} = qπ^{−1} est également dans ℚ[π], qui est donc stable sous l’involution † de E. Admettons le résultat suivant, que l’on a démontré sur ℂ mais qui reste vrai sur tous les corps. Une preuve basée sur la théorie de l’intersection est dans [9, §21] :

Proposition 11. L’involution de Rosati † est positive, i.e.

∀0 ≠ x ∈ E, tr(x^{†}x) > 0.

La restriction de cette involution à ℚ[π] est encore positive, et ℚ[π] est finalement un produit de corps totalement réels (où † est trivial) et de corps CM (où † est l’involution canonique). Pour tout morphisme de ℚ-algèbres ϕ : E → ℂ, on a donc

q = ϕ(q) = ϕ(π · π^{†}) = ϕ(π) · \overline{ϕ}(π), donc |ϕ(π)| = q^{1/2}.

Mais les ϕ(π) sont exactement les racines du polynôme minimal P_{min,π} de π, i.e. d’après la proposition 6, les racines du polynôme P_{π} = P_{A}. Les racines de P_{A} dans ℂ ont donc toutes la même valeur absolue q^{1/2}, ce qu’il fallait démontrer. □

1.4. La conjecture de Weil pour les variétés abéliennes. On peut maintenant déterminer la fonction zêta de A/𝔽_{q},

Z(A, t) = exp (∑_{n≥1} |A(𝔽_{q^{n}})| \frac{t^{n}}{n} ) ∈ ℚ[[t]].

En effet, le théorème 8 nous dit que |A(𝔽_{q^{n}})| = F (α_{1}^{n}, …, α_{2g}^{n}) où

F (X_{1}, ⋯, X_{2g}) = (1 − X_{1}) ⋯ (1 − X_{2g}) = ∑_{J⊂{1,...,2g}}(−1)^{|J|}∏_{j∈J} X_{j}.

Un petit calcul dans ℂ[[t]] montre alors que

Z(A, t) = ∏_{J⊂{1,...,2g}} (1 − (∏_{j∈J} α_{j}) · t)^{−(−1)^{|J|}}

= \frac{P_{1}(t)P_{3}(t) ⋯ P_{2g−1}(t)}{P_{0}(t)P_{2}(t) ⋯ P_{2g}(t)}

avec P_{0}(t) = (1 − t), P_{2g}(t) = (1 − q^{g}t) et plus généralement

∀j ∈ {0, …, 2g} :  P_{j}(t) = ∏_{J⊂{1,··· ,2g},|J|=j} (1 − (∏_{j∈J} α_{j}) · t) .

On voit donc que Z(A, t) = ∏_{j=0}^{2g} P_{j}(t)^{−(−1)^{j}} est dans ℚ(t), pour des polynômes P_{j}(t) dans ℤ[t] dont toutes les racines dans ℂ sont les inverses d’entiers algébriques de modules q^{j/2} (des q-nombres de Weil de poids −j), et que Z(A, t) = Z(A, \frac{1}{q^{g}t}).

La conjecture de Weil, démontrée par Deligne [1], étend ces propriétés aux fonctions zêta de toutes les variétés propres et lisses sur k = 𝔽_{q}.

1.5. Les q-nombres de Weil.

Definition 12. Un q-nombre de Weil (de poids −1) est un entier algébrique π ∈ \overline{ℚ} tel que pour tout plongement ϕ : ℚ(π) ↪ ℂ, |ϕ(π)| = q^{1/2}. On note W(q) l’ensemble des q-nombres de Weil.

Si A est une variété abélienne sur k = 𝔽_{q}, π_{A} son Frobenius et P_{A} le polynôme caractéristique de π_{A}, toutes les racines de P_{A} dans \overline{ℚ} sont des q-nombres de Weil d’après le théorème 8 ci-dessus. Si A est simple, ℚ(π_{A}) est un corps et P_{A} est une puissance du polynôme minimal de π_{A}, qui est irréductible sur ℚ. Toutes les racines de P_{A} dans \overline{ℚ} sont alors conjuguées sous Gal(\overline{ℚ}/ℚ). Puisque enfin deux variétés isogènes définissent le même polynôme caractéristique, on obtient une application

w : S(q) → Gal(\overline{ℚ}/ℚ)\W(q)

où S(q) est l’ensemble des classes d’isogénies de variétés abéliennes simples sur k.

2. Le théorème de Tate (ℓ ≠ p) & Milne-Waterhouse (ℓ = p)

2.1. Les énoncés. Soit k un corps, ℓ un nombre premier. On montre facilement que le foncteur Ab_{k} ⊗ ℤ_{ℓ} → BT_{k}^{ℓ} induit par A ↦ A[ℓ^{∞}] est fidèle. Plus précisément :

Lemma 13. Soient A et B deux variétés abéliennes sur k. Le morphisme

ρ_{ℓ} : Hom_{k} (A, B) ⊗ ℤ_{ℓ} → Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}])

est injectif, et son conoyau est sans torsion.

Démonstration. Soit α_{1}, ⋯, α_{r} une base du ℤ-module libre de rang fini Hom_{k}(A, B). Considérons d’abord des éléments λ_{1}, ⋯, λ_{r} de ℤ_{ℓ} tels que

λ_{1}ρ_{ℓ}(α_{1}) + ⋯ + λ_{r}ρ_{ℓ}(α_{r}) = 0 dans Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}]) .

Pour tout entier s > 0, choisissons des entiers λ_{i,s} ∈ ℤ tels que

∀i ∈ {0, ⋯, r} λ_{i,s} ≡ λ_{i} dans ℤ/ℓ^{s}ℤ = ℤ_{ℓ}/ℓ^{s}ℤ_{ℓ}

et posons f_{s} = λ_{1,s}α_{1} + ⋯ + λ_{r,s}α_{r} ∈ Hom_{k}(A, B). Puisque

ρ_{ℓ}(f_{s}) = (λ_{1,s} − λ_{1})ρ_{ℓ}(α_{1}) + ⋯ + (λ_{r,s} − λ_{r})ρ_{ℓ}(α_{r})

est divisible par ℓ^{s} dans Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}]), on voit que f_{s} = 0 sur A[ℓ^{s}]. Mais alors f_{s} est divisible par ℓ^{s} dans Hom_{k}(A, B), donc λ_{i} ≡ λ_{i,s} ≡ 0 mod ℓ^{s} pour tout i et tout s > 0, donc λ_{i} = 0 pour tout i. L’application ρ_{ℓ} est donc injective.

Soit ensuite f un élément de Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}]) pour lequel il existe s > 0 et f′ dans Hom_{k} (A, B) ⊗ ℤ_{ℓ} tel que ℓ^{s}f = ρ_{ℓ}(f′). Choisissons f′′ dans Hom_{k} (A, B) avec f′′ ≡ f′ mod ℓ^{s}. Alors ρ_{ℓ}(f′′) = 0 mod ℓ^{s}, d’où l’on déduit comme précédemment que f′′ ≡ 0 mod ℓ^{s}, donc aussi f′ ≡ 0 mod ℓ^{s}, i.e. f′ = ℓ^{s}g pour un élément g de Hom_{k} (A, B) ⊗ ℤ_{ℓ}. Mais alors ℓ^{s}f = ρ_{ℓ}(f′) = ℓ^{s}ρ_{ℓ}(g), donc f = ρ_{ℓ}(g) car Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}]) est sans torsion. Le conoyau de ρ_{ℓ} est donc sans torsion. □

Le foncteur Ab_{k} ⊗ ℤ_{ℓ} → BT_{k}^{ℓ} n’est en revanche pas toujours plein, comme on voit par exemple en prenant k = ℂ. C’est néanmoins le cas lorsque

(1) k est un corps de nombres, d’après Faltings [3], ou lorsque

(2) k est un corps de type fini sur 𝔽_{p}, d’après de Jong [2].

Pour un corps fini k, c’est un théorème énoncé pour tout ℓ et démontré pour ℓ ≠ p par Tate dans [11], et démontré pour ℓ = p par Milne et Waterhouse dans [8] :

Theorem 14. Soient A et B deux variétés abéliennes sur un corps fini k. Alors

ρ_{ℓ} : Hom_{k} (A, B) ⊗ ℤ_{ℓ} ⟶^{≃} Hom_{k} (A[ℓ^{∞}], B[ℓ^{∞}]) .

Compte-tenu des équivalences de catégories ***, on peut reformuler ce théorème de la manière suivante, plus utile pour les applications que l’on a en vue.

Theorem 15. Soient k un corps fini de caractéristique p, ℓ ≠ p un nombre premier, A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

ρ_{ℓ} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℤ_{ℓ} → Hom_{ℤ_{ℓ}[Gal_{k}]} (T_{ℓ}(A), T_{ℓ}(B))
et ρ_{p} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℤ_{p} → Hom_{W (k)[F,V]} (𝔻(B), 𝔻(A))

sont des isomorphismes.

Rappelons que l’anneau de Dieudonné W (k)[F, V] est l’anneau des polynômes en F et V à coefficients dans l’anneau des vecteurs de Witt W (k), avec les relations

F V = V F = p, F x = σ(x)F et xV = V σ(x)

où σ est l’automorphisme de W (k) qui relève le Frobenius x ↦ x^{p} de k. On a

W (k)[F, V] ⊗ ℚ_{p} = L[F, F^{−1}]

où L = W (k)[\frac{1}{p}] est le corps des fractions de W (k). On déduit facilement du lemme 13 que le théorème de Tate est encore équivalent à l’énoncé qui suit.

Theorem 16. Soient k un corps fini de caractéristique p, ℓ ≠ p un nombre premier, A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

ρ_{ℓ} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℚ_{ℓ} → Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}(A), V_{ℓ}(B))
et ρ_{p} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℚ_{p} → Hom_{L[F,F^{−1}]} (𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}, 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p})

sont des isomorphismes.

La démonstration de ce théorème est également très instructive.

2.2. Structure des modules de Tate. On fixe un corps fini k de caractéristique p et de cardinal q = p^{ν}. On note Frob_{k} ∈ Gal_{k} le Frobenius arithmétique x ↦ x^{q}. C’est un générateur topologique du groupe profini Gal_{k} ≃ ℤ̂.

Une représentation ℓ-adique (V, ρ) de Gal_{k} est un ℚ_{ℓ}-espace vectoriel V de dimension finie muni d’une action continue ρ : Gal_{k} → GL_{ℚ_{ℓ}}(V). La catégorie de ces représentations est équivalente à la catégorie des ℚ_{ℓ}[Π, Π^{−1}]-modules de longueur finie, par le foncteur qui à (V, ρ) associe le ℚ_{ℓ}[Π, Π^{−1}]-module V où l’indéterminée Π agit par ρ(Frob_{k}). Les objets simples de cette catégorie sont donc les modules

V (𝔏) =^{déf} module sous-jacent au corps résiduel Z(𝔏) =^{déf} ℚ_{ℓ}[Π, Π^{−1}]/𝔏

pour les idéaux maximaux 𝔏 de ℚ_{ℓ}[Π, Π^{−1}]. On note ϕ_{𝔏}(X) ∈ ℚ_{ℓ}[X] le polynôme caractéristique de Π agissant sur V (𝔏). C’est donc un polynôme irréductible unitaire tel que ϕ_{𝔏}(Π) engendre l’idéal 𝔏 ∩ ℚ_{ℓ}[Π] de ℚ_{ℓ}[Π].

Proposition 17. Soient A une variété abélienne sur k, ℓ ≠ p un nombre premier, et P_{A} = _{∏𝔏}ϕ_{𝔏}^{a(𝔏)} la factorisation de P_{A} dans ℚ_{ℓ}[X]. Alors

V_{ℓ}(A) ≃ ⊕_{𝔏}V (𝔏)^{a(𝔏)}.

Démonstration. L’algèbre ℚ[π_{A}] engendrée par le Frobenius π_{A} dans End_{k}^{0}(A) est centrale, donc réduite : c’est un produit de corps. Puisque π_{A} agit sur V_{ℓ}A comme le Frobenius Frob_{k} de Gal_{k}, le morphisme End_{k}^{0}(A) ⊗ ℚ_{ℓ} ↪ End_{ℚ_{ℓ}} (V_{ℓ}A) identifie ℚ[π_{A}] ⊗ ℚ_{ℓ} à la ℚ_{ℓ}-algèbre ℚ_{ℓ}[Frob_{k}] engendrée par l’image de Frob_{k} (ou de Gal_{k}) dans End_{ℚ_{ℓ}} (V_{ℓ}A). En particulier, cette ℚ_{ℓ}-algèbre est semi-simple, et V_{ℓ}A est un donc un Gal_{k}-module semi-simple : il existe une fonction 𝔏 ↦ n(𝔏) à support fini telle que V_{ℓ}A = ⊕_{𝔏}V (𝔏)^{n(𝔏)}. Mais P_{A} est le polynôme caractéristique de π_{A}, Frob_{k} ou Π agissant sur V_{ℓ}A d’après la proposition 3, donc n(𝔏) = a(𝔏) pour tout 𝔏. □

Corollary 18. Soient A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}A, V_{ℓ}B) ≃ ⊕_{𝔏}M_{b(𝔏),a(𝔏)} (Z(𝔏))

où P_{A} = ∏ϕ_{𝔏}^{a(𝔏)} et P_{B} = ∏ϕ_{𝔏}^{b(𝔏)} dans ℚ_{ℓ}[X]. En particulier,

End_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}A) ≃ ∏_{a(𝔏)≠0} M_{a(𝔏)} (Z(𝔏))

est une ℚ_{ℓ}-algèbre de centre ℚ[π_{A}] ⊗ ℚ_{ℓ} ≃ _{∏a(𝔏)≠0}Z(𝔏).

Definition 19. Soient P_{A} et P_{B} deux polynômes à coefficients dans un corps K, et P_{A} = ∏ ϕ^{a(ϕ)} et P_{B} = ∏ ϕ^{b(ϕ)} leur factorisation en irréductibles. On pose

r(P_{A}, P_{B}) =^{déf} _{∑ϕ}a(ϕ)b(ϕ) deg(ϕ) ∈ ℕ.

C’est invariant par tout changement de base séparable K ↪ K′.

Corollary 20. Soient A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

dim_{ℚ_{ℓ}} Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}A, V_{ℓ}B) = r(P_{A}, P_{B})

est indépendant du choix de ℓ ∤ p.

2.3. Structure des modules de Dieudonné. On conserve les notations de la section précédente, où k est un corps fini de caractéristique p et de cardinal q = p^{ν}, mais on travaille maintenant en ℓ = p, c’est-à-dire que l’on se propose d’étudier la catégorie des modules sur l’algèbre non-commutative L[F, F^{−1}] des polynômes de Laurent ∑_{|i|≪∞} λ_{i}F^{i} à coefficients λ_{i} dans L, où L = W (k)[\frac{1}{p}]. La multiplication dans cette algèbre est caractérisée par F λ = σ(λ)F pour tout λ ∈ L, où l’on note σ le relèvement à W (k) (ou L) du Frobenius arithmétique x ↦ x^{p}, de sorte que

Gal(L/ℚ_{p}) = ⟨σ⟩ ≃ ℤ/νℤ.

On vérifie facilement que ℚ_{p}[F^{ν}, F^{−ν}] est le centre de L[F, F^{−1}]. On pose

Z = ℚ_{p}[F^{ν}, F^{−ν}] et C = L[F, F^{−1}].

Montrons tout d’abord que C est une Z-algèbre d’Azumaya de rang ν^{2}.

Lemma 21. L’algèbre L ⊗_{ℚ_{p}} C est isomorphe à M_{ν}(L ⊗_{ℚ_{p}} Z).

Démonstration. Considérons C comme un L ⊗_{ℚ_{p}} C-module à gauche par

∀λ ⊗ x ∈ L ⊗_{ℚ_{p}} C et y ∈ C, (λ ⊗ x) · y =^{déf} xyλ.

La restriction de ce module au centre L ⊗_{ℚ_{p}} Z = L[F^{ν}, F^{−ν}] de L ⊗_{ℚ_{p}} C est un L[F^{ν}, F^{−ν}]-module libre de base {1, F, ⋯, F^{ν−1}} : celui que l’on obtient à partir de la multiplication à droite dans C = L[F, F^{−1}] par restriction à la sous-algèbre L[F^{ν}, F^{−ν}]. On obtient ainsi un morphisme de L[F^{ν}, F^{−ν}]-algèbre

L ⊗_{ℚ_{p}} C ⟶ End_{L[F^{ν},F^{ν}]} (C) ≃ M_{ν} (L[F^{ν}, F^{−ν}])

qui est explicitement donné par

λ ⊗ (∑ F^{i}μ_{i}) ↦ λ ( ∑_{i≡a−b mod ν} (F^{ν})^{\frac{i+b−a}{ν}} σ^{−b}(μ_{i}))_{a,b∈\{0,...,ν−1\}}

et dont on vérifie facilement que c’est un isomorphisme. □

Pour tout idéal maximal 𝔓 de Z, on note

Z(𝔓) =^{déf} Z/𝔓 et C(𝔓) =^{déf} C/𝔓C.

Corollary 22. Pour tout 𝔓, C(𝔓) est une Z(𝔓)-algèbre centrale simple.

Pour déterminer les invariants de cette algèbre, commençons par remarquer que

C ≃ ⊕_{i=0}^{ν−1}Z_{L} · F^{i} où Z_{L} = Z ⊗_{ℚ_{p}} L = L[F^{ν}, F^{−ν}],

la multiplication étant donnée par

\begin{cases}F · (z ⊗ ℓ) = (z ⊗ σℓ) · F & pour z ∈ Z et ℓ ∈ L, \\ F^{ν} = F^{ν} & dans Z ⊂ Z_{L}. \end{cases}

On a donc avec les mêmes règles de multiplication

C(𝔓) = ⊕_{i=0}^{ν−1}Z(𝔓)_{L} · F^{i} où Z(𝔓)_{L} = Z(𝔓) ⊗_{ℚ_{p}} L

avec notamment

F^{ν} = π_{𝔓} =^{déf} F^{v} mod 𝔓 dans Z(𝔓) ⊂ Z(𝔓)_{L}.

Posons X (𝔓) = Spec (Z(𝔓)_{L}), de sorte que

Z(𝔓)_{L} = _{∏𝔔∈X (𝔓)}L(𝔔)

où le corps résiduel L(𝔔) = Z(𝔓)_{L}/𝔔 est une extension non ramifiée de Z(𝔓). L’action de Gal(L/ℚ_{p}) ≃ ⟨σ⟩ sur X (𝔓) est transitive, et σ induit des isomorphismes de Z(𝔓)-extensions \overline{σ} : L(𝔔) → L(σ𝔔). On note r le cardinal de X (𝔓) et d celui du sous-groupe d’isotropie. Donc ν = rd et pour tout 𝔔 ∈ X (𝔓),

Gal(L(𝔔)/Z(𝔓)) = \{1, \overline{σ}^{r}, \overline{σ}^{2r}, ⋯, \overline{σ}^{(d−1)r}\}.

Revenant à C(𝔓), on peut donc maintenant écrire

C(𝔓) = ⊕_{𝔔,ν}L(𝔔) · F^{ν} = ⊕_{𝔔,i,j}F^{i} · L(𝔔) · F^{rj} = ⊕_{𝔔}C(𝔓, 𝔔)

pour 𝔔 ∈ X (𝔓), 0 ≤ i < r et 0 ≤ j < d, où

C(𝔓, 𝔔) = ⊕_{i=0}^{r−1}F^{i} · D(𝔔) avec D(𝔔) = ⊕_{j=0}^{d−1}L(𝔔) · F^{rj}.

On vérifie alors que C(𝔓, 𝔔) est un idéal à gauche de C(𝔓). Plus précisément, c’est la composante 𝔔-primaire de C(𝔓), pour la structure de Z(𝔓)_{L}-module induite par la multiplication à droite dans C(𝔓) :

C(𝔓, 𝔔) = {x ∈ C(𝔓) : x · y = 0 pour tout y ∈ 𝔔 ⊂ Z(𝔓)_{L}} .

Considérons sur D(𝔔) = ⊕_{j=0}^{d−1}L(𝔔) · F^{rj} la structure de Z(𝔓)-algèbre donnée par

\begin{cases}F^{r} · λ = \overline{σ}^{r}(λ) · F^{r} & pour λ ∈ L(𝔔), et \\ F^{rd} = π_{𝔓} & dans Z(𝔓) ⊂ L(𝔔). \end{cases}

On obtient alors sur C(𝔓, 𝔔) = ⊕_{i}F^{i}·D(𝔔) une évidente structure de D(𝔔)-module à droite, dont on laisse au lecteur le soin de vérifier qu’elle commute à l’action à gauche de C(𝔓, 𝔔). Cette action induit donc un morphisme de Z(𝔓)-algèbre

C(𝔓) → End_{D(𝔔)} (C(𝔓, 𝔔)) = End_{D(𝔔)} (⊕_{i}F^{i}D(𝔔)) = M_{r} (D(𝔔)) .

Ce morphisme est injectif puisque C(𝔓) est simple, donc bijectif puisque

dim_{Z(𝔓)} C(𝔓) = ν^{2} = r^{2}d^{2} = dim_{Z(𝔓)} M_{r} (D(𝔔)) .

En particulier, [C(𝔓)] = [D(𝔔)] dans le groupe de Brauer Br(Z(𝔓)). Or D(𝔔) est presque donné sous la forme standard des Z(𝔓)-algèbres centrales simples cycliques, à ceci près que le générateur \overline{σ}^{r} de Gal (L(𝔔)/Z(𝔓)) n’est pas nécéssairement le Frobenius arithmétique de cette extension non-ramifiée.

Soit Z_{0}(𝔓) la plus grande sous-extension de Z(𝔓)/ℚ_{p} qui se plonge dans L. C’est donc une extension non-ramifiée de ℚ_{p} dont le degré est égal au plus grand diviseur commun des degrés ν et f_{𝔓} des corps résiduels de L et Z(𝔓). On a alors

Z(𝔓)_{L} = Z(𝔓) ⊗_{Z_{0}(𝔓)} (Z_{0}(𝔓) ⊗_{ℚ_{p}} L) = _{∏ι∈I(𝔓)}L(ι)

où I(𝔓) = Hom_{ℚ_{p}} (Z_{0}(𝔓), L) et L(ι) = Z(𝔓)⊗_{Z_{0}(𝔓),ι} L est un corps, puisque Z(𝔓) et L sont linéairement disjointes sur Z_{0}(𝔓). Il y a donc une bijection ι ↦ 𝔔 de I(𝔓) sur X (𝔓), telle que L(ι) = L(𝔔) comme quotient de Z(𝔓)_{L}. En particulier,

r = |X (𝔓)| = |I(𝔓)| = [Z_{0}(𝔓) : ℚ_{p}] = pgcd(ν, f_{𝔓}).

Par construction, \overline{σ}^{r} = Id ⊗ σ^{r} sur L(ι) = Z(𝔓) ⊗_{Z_{0}(𝔓),ι} L, qui agit donc sur le corps résiduel par l’élément Id ⊗ (x ↦ x^{p^{r}}) = (Id, Frob^{r}) du groupe de Galois

Gal (𝔽_{p^{f_{𝔓}}} ⊗_{𝔽_{p^{r}} ,ι} 𝔽_{p^{ν}} /𝔽_{p^{r}}) ≃ Gal (𝔽_{p^{f_{𝔓}}} /𝔽_{p^{r}}) × Gal (𝔽_{p^{ν}} /𝔽_{p^{r}}) ≃ ℤ/sℤ × ℤ/dℤ

où f_{𝔓} = rs et ν = rd, de sorte que pgcd(s, d) = 1. Le Frobenius arithmétique ϕ_{𝔓} de L(ι)/Z(𝔓) agit quant à lui par (x ↦ x^{p^{f_{𝔓}}}) = (Id, Frob^{f_{𝔓}}), donc ϕ_{𝔓} = (\overline{σ}^{r})^{s} = \overline{σ}^{f_{𝔓}}. Puisque s est inversible dans ℤ/dℤ, on peut alors réécrire

D(𝔔) = ⊕_{i=0}^{d−1}L(ι) · F^{f_{𝔓}i} avec F^{f_{𝔓}} = (F^{r})^{s}

où la structure multiplicative est maintenant donnée par

\begin{cases}F^{f_{𝔓}} · λ = ϕ_{𝔓}(λ) · F^{f_{𝔓}} & pour λ ∈ L(ι), et \\ F^{f_{𝔓}d} = π_{𝔓}^{s} & dans Z(𝔓) ⊂ L(𝔔). \end{cases}

D’après (***), l’invariant de D(𝔔) est donc donné par la formule

inv_{Z(𝔓)} [D(𝔔)] = \frac{v(π_{𝔓}^{s})}{d} = \frac{sv(π_{𝔓})}{d} ∈ ℚ/ℤ

où il faut prendre pour v la valuation normalisée de Z(𝔓), i.e. celle pour laquelle v(p) est l’indice de ramification absolu e_{𝔓} de Z(𝔓). Puisque alors

\frac{s}{d} = \frac{sr}{dr} = \frac{f_{𝔓}}{ν} = \frac{f_{𝔓}e_{𝔓}}{νe_{𝔓}} = \frac{[Z(𝔓) : ℚ_{p}]}{v(q)}

on obtient finalement la formule suivante pour l’invariant de C(𝔓), formule dans laquelle il n’est plus besoin de supposer que la valuation v est normalisée.

Proposition 23. Pour tout 𝔓, l’invariant de [C(𝔓)] ∈ Br(Z(𝔓)) est égal à

inv_{Z(𝔓)} [C(𝔓)] = [Z(𝔓) : ℚ_{p}] · λ(𝔓) ∈ ℚ/ℤ avec λ(𝔓) = \frac{v(π_{𝔓})}{v(q)} ∈ ℚ

où π_{𝔓} est l’image de F^{ν} dans Z(𝔓).

Definition 24. On note S(𝔓) ≠ 0 un C(𝔓)-module simple,

D(𝔓) = End_{C(𝔓)} (S(𝔓))^{opp} , r_{𝔓} = [S(𝔓) : D(𝔓)] et d_{𝔓}^{2} = [D(𝔓) : Z(𝔓)].

On a donc C(𝔓) ≃ M_{r_{𝔓}}(D(𝔓)), S(𝔓) ≃ D(𝔓)^{r_{𝔓}}. On sait aussi que

ν = r_{𝔓}d_{𝔓} et d_{𝔓} = ordre de [Z(𝔓) : ℚ_{p}] · λ(𝔓) dans ℚ/ℤ

où λ(𝔓) = v(π_{𝔓})/v(q) pour toute valuation v de Z(𝔓).

Remark 25. Nous verrons plus loin que λ(𝔓) est la pente du module de Dieudonné déduit de S(𝔓) par passage à une clôture algébrique de k = 𝔽_{q}.

Lemma 26. Tout C-module simple est isomorphe à un unique S(𝔓).

Démonstration. Soit M ≠ 0 un C-module simple. Alors M = C · m pour tout m ≠ 0 dans M, donc M est un Z-module de type fini puisque C l’est. Soit I ⊊ Z l’annulateur du Z-module M, et I ⊂ J ≠ Z un idéal. Alors JM est un sous-C-module de M, et JM ⊊ M d’après Nakayama, donc JM = 0 par simplicité du C-module M, et finalement I = J. Donc I = 𝔓 est un idéal maximal de Z, et M un C(𝔓)-module simple, i.e. M ≃ S(𝔓). □

Corollary 27. Soit M un C-module. Alors

M est C-semi-simple ⟺ M est Z-semi-simple.

Démonstration. Si M est Z-semi-simple, alors M = ⊕_{𝔓}M[𝔓] où chacun des

M[𝔓] = {m ∈ M : 𝔓m = 0}

est un C(𝔓)-module, donc un C-module semi-simple puisque tous les C(𝔓)-modules le sont. Inversement, si M est C-semi-simple, c’est une somme directe de C-modules simples S(𝔓), et chacun de ces modules est évidemment Z-semi-simple. □

Corollary 28. Pour tout C-module M, les conditions suivantes sont équivalentes : (1) M est de longueur finie,

(2) M est de ℚ_{p}-dimension finie,

(3) M est de L-dimension finie,

(4) M est un Z-module de torsion et de type fini.

Démonstration. C’est immédiat. □

Definition 29. Le polynôme caractéristique d’un tel C-module M est

P_{M}(X) = det_{L} (X · Id − F^{ν}|M) .

Ce polynôme est bien défini car M est de L-dimension finie et l’action de F^{ν} ∈ Z sur M est L-linéaire. C’est un polynôme unitaire, dont les coefficients sont à priori dans L, et c’est aussi le produit des polynômes caractéristiques des facteurs d’une filtration de Jordan-Hölder de M. On note P_{𝔓} le polynôme caractéristique de S(𝔓). Pour le calculer, notons que :

(1) C(𝔓) ≃ S(𝔓)^{r_{𝔓}} comme C(𝔓)-module, et

(2) C(𝔓) = Z(𝔓)_{L}^{ν} comme Z(𝔓)_{L} = Z(𝔓) ⊗_{ℚ_{p}} L-module.

On en déduit que

P_{𝔓}^{r_{𝔓}} = det_{L} (X · Id − F^{ν}|Z(𝔓)_{L})^{ν} = det_{ℚ_{p}} (X · Id − F^{ν}|Z(𝔓))^{ν}

Soit ϕ_{𝔓} ∈ ℚ_{p}[X] le polynôme irréductible unitaire tel que ϕ_{𝔓}(F^{ν}) engendre 𝔓 dans Z = ℚ_{p}[F^{ν}, F^{−ν}]. On a donc deg ϕ_{𝔓} = [Z(𝔓) : ℚ_{p}]. Puisque ν = d_{𝔓}r_{𝔓}, on obtient

P_{𝔓} = ϕ_{𝔓}^{d_{𝔓}} ∈ ℚ_{p}[X].

En particulier, P_{M} ∈ ℚ_{p}[X] pour tout C-module M de longeur finie.

Proposition 30. Soit A une variété abélienne sur k, P_{A} = ∏_{𝔓} ϕ_{𝔓}^{a(𝔓)} la décomposition de P_{A} dans ℚ_{p}[X]. Alors d_{𝔓} | a(𝔓) pour tout 𝔓 et

𝔻(A) ⊗ ℚ_{p} ≃ ⊕_{𝔓}S(𝔓)^{a(𝔓)/d_{𝔓}}.

Démonstration. On sait que π_{A} agit comme F^{ν} sur M_{A} = 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p}. On en déduit comme dans la proposition 17 que M_{A} est un module semi-simple sur le centre Z = ℚ_{p}[F^{ν}, F^{−ν}] de C, donc aussi un C-module semi-simple d’après le corollaire 27. On peut donc écrire M_{A} ≃ ⊕_{𝔓}S(𝔓)^{n(𝔓)} pour une fonction 𝔓 ↦ n(𝔓) à support fini. Mais la proposition 3 montre que P_{A} = P_{M_{A}} dans ℚ_{p}[X], i.e.

∏𝔓ϕ_{𝔓}^{a(𝔓)} = P_{A} = P_{M_{A}} = _{∏𝔓}P_{𝔓}^{n(𝔓)} = _{∏𝔓}ϕ_{𝔓}^{d_{𝔓}n(𝔓)}

donc a(𝔓) = d_{𝔓}n(𝔓) pour tout 𝔓. □

Corollary 31. Soient A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

Hom_{C} (𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}, 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p}) ≃ ⊕_{𝔓}M_{\frac{a(𝔓)}{d_{𝔓}} , \frac{b(𝔓)}{d_{𝔓}}} (D(𝔓)^{opp})

où P_{A} = ∏_{𝔓} ϕ_{𝔓}^{a(𝔓)} et P_{B} = ∏_{𝔓} ϕ_{𝔓}^{b(𝔓)} dans ℚ_{p}[X]. En particulier,

End_{C} (𝔻(A) ⊗ ℚ_{p})^{opp} ≃ _{∏a(𝔓)≠0}M_{\frac{a(𝔓)}{d_{𝔓}}} (D(𝔓))

est une ℚ_{p}-algèbre de centre ℚ[π_{A}] ⊗ ℚ_{p} ≃ ∏_{a(𝔓)≠0} Z(𝔓).

Corollary 32. Soient A et B deux variétés abéliennes sur k. Alors

dim_{ℚ_{p}} Hom_{C} (𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}, 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p}) = r(P_{A}, P_{B}).

2.4. Preuve du théorème 16. On sait déjà que les applications (pour ℓ ≠ p)

ρ_{ℓ} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℚ_{ℓ} → Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}(A), V_{ℓ}(B))
et ρ_{p} : Hom_{k}(A, B) ⊗ ℚ_{p} → Hom_{L[F,F^{−1}]} (𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}, 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p})

sont injectives, et il résulte des corollaires 20 et 32 que

r(P_{A}, P_{B}) = dim_{ℚ_{ℓ}} (Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}(A), V_{ℓ}(B))) ,
et r(P_{A}, P_{B}) = dim_{ℚ_{p}} (Hom_{L[F,F^{−1}]} (𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}, 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p})) .

Il suffit donc de démontrer le théorème de Tate pour un unique ℓ ≠ p! En outre, on peut toujours supposer que A = B, puisque pour C = A × B, le morphisme

ρ_{ℓ} : End_{k}^{0} (C) ⊗ ℚ_{ℓ} → End_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}C, V_{ℓ}C)

s’identifie évidemment à

( \begin{matrix}End_{k}^{0} (A) & Hom_{k}^{0} (B, A) \\ Hom_{k}^{0} (A, B) & End_{k}^{0} (B) \end{matrix} ) ⊗ ℚ_{ℓ} → ( \begin{matrix}End_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}A) & Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}B, V_{ℓ}A) \\ Hom_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}A, V_{ℓ}B) & End_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} (V_{ℓ}B) \end{matrix} )

Soit donc A une variété abélienne sur k, π = π_{A} son Frobenius. On pose F = ℚ[π] qui est centrale dans E = End_{k}(A). Pour tout ℓ ≠ p, on note V_{ℓ} = V_{ℓ}A et

F_{ℓ} =^{déf} F ⊗ ℚ_{ℓ} ⊂ E_{ℓ} =^{déf} E ⊗ ℚ_{ℓ} ⊂ D_{ℓ} =^{déf} End_{F_{ℓ}}(V_{ℓ}) ⊂ M_{ℓ} =^{déf} End_{ℚ_{ℓ}}(V_{ℓ}).

On veut montrer que E_{ℓ} = D_{ℓ} (pour un choix convenable de ℓ), i.e. que E_{ℓ} est le commutant de F_{ℓ} dans M_{ℓ}, ou encore que F_{ℓ} est le commutant de E_{ℓ} dans M_{ℓ}. Notons C_{ℓ} = End_{E_{ℓ}}(V_{ℓ}) ce commutant, de sorte que F_{ℓ} ⊂ C_{ℓ} et on veut montrer que F_{ℓ} = C_{ℓ} (pour un choix convenable de ℓ).

Décomposons F = ∏ F_{i} en produit de corps et choisissons pour ℓ un nombre premier qui se décompose totalement dans tous les F_{i} (il en existe une infinité). On a alors F_{ℓ} ≃ ℚ_{ℓ}^{r}, et V_{ℓ} = ⊕_{i=1}^{r}V_{ℓ}^{i} se décompose de même en espaces propres pour l’action de F_{ℓ}, où F_{ℓ} agit sur V_{ℓ}^{i} par la i-ème projection F_{ℓ} → ℚ_{ℓ}. Ces sous-espaces sont stables sous C_{ℓ}, puisque F_{ℓ} est centrale dans C_{ℓ}. Pour voir que F_{ℓ} = C_{ℓ}, il suffit donc de démontrer que l’action de C_{ℓ} y est scalaire, ou encore que

Claim 33. Toute ℚ_{ℓ}-droite W ⊂ V_{ℓ} qui est stable sous F_{ℓ} (c’est à dire contenue dans l’un des V_{ℓ}^{i}), est également stable sous C_{ℓ}.

Choisissons sur A une polarisation λ : A → A^{t}, disons de degré d^{2} et soit ψ_{ℓ} : V_{ℓ}A × V_{ℓ}A → V_{ℓ}μ la forme symplectique qu’elle induit sur V_{ℓ}. Il suffit alors de démontrer que

Claim 34. Tout sous-espace totalement isotrope maximal W de (V_{ℓ}, ψ_{ℓ}) qui est stable sous F_{ℓ}, est également stable sous C_{ℓ}.

Cette hypothèse implique en effet que tout sous-espace totalement isotrope (mais pas forcément maximal) W de (V_{ℓ}, ψ_{ℓ}) qui est stable sous F_{ℓ} (par exemple une ℚ_{ℓ}-droite stable sous F_{ℓ}) est encore stable sous C_{ℓ}. On le montre par récurrence descendante sur la dimension de W, le cas initial où dim_{ℚ_{ℓ}} W = g étant précisément notre hypothèse. Soit donc W un tel sous-espace, avec dim_{ℚ_{ℓ}} W = g − s, pour un s > 0. Puisque F est stable sous l’involution de Rosati † induite par λ, F_{ℓ} est stable sous l’involution † induite par ψ_{ℓ}, donc l’orthogonal W^{⊥} de W dans (V_{ℓ}, ψ_{ℓ}) est encore F_{ℓ}-stable, donc de la forme W^{⊥} = W ⊕ ⊕_{i=1}^{2s}D_{i} pour des ℚ_{ℓ}-droites D_{i} qui sont F_{ℓ}-stables ; alors W_{1} = W ⊕ D_{1} et W_{2} = W ⊕ D_{2} sont deux sous-espaces totalement isotropes et F_{ℓ}-stables de V_{ℓ}, ils sont stables sous C_{ℓ} d’après l’hypothèse de récurrence, et leur intersection W est donc également stable sous V_{ℓ}.

Le théorème de Tate résulte alors de la proposition suivante, dans laquelle il n’est plus nécessaire de supposer que F_{ℓ} ≃ ℚ_{ℓ}^{r}, mais où l’on demande en revanche que ℓ ∤ pd (concrètement, il faut donc choisir d’abord λ d’un degré d^{2} arbitraire, puis ensuite ℓ ∤ pd décomposant E).

Proposition 35. Pour tout sous-espace totalement isotrope maximal W de (V_{ℓ}, ψ_{ℓ}) qui est stable sous F_{ℓ}, il existe un élément e ∈ E_{ℓ} tel que e·V_{ℓ} = W. En particulier, W est stable sous le commutant C_{ℓ} de E_{ℓ} dans M_{ℓ}.

Démonstration. Dire que W est F_{ℓ}-stable revient à dire que c’est un sous-ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]- module. Pour tout n ≥ 0, on pose X_{n} = (T_{ℓ}A ∩ W) + ℓ^{n}T_{ℓ}A ⊂ T_{ℓ}A. C’est donc un ℤ_{ℓ}-sous-réseau d’indice ℓ^{ng} dans T_{ℓ}A qui est stable sous Gal_{k}. Soit α_{n} : A_{n} → A l’isogénie (de degré ℓ^{ng}) telle que α_{n}(T_{ℓ}A_{n}) = X_{n} dans T_{ℓ}A. Pour tout x, y ∈ T_{ℓ}A_{n}, on a donc

⟨x, (α_{n}^{∗}λ)(y)⟩_{ℓ}^{A_{n}} = ⟨x, y⟩_{ℓ}^{α_{n}^{∗}λ} = ⟨α_{n}(x), α_{n}(y)⟩_{ℓ}^{λ} ⊂ ℓ^{n}T_{ℓ}(μ)

puisque W ⊂ V_{ℓ}A est totalement isotrope, donc (α_{n}^{∗}λ)(T_{ℓ}A_{n}) ⊂ ℓ^{n}T_{ℓ}A_{n}^{t}, i.e.

α_{n}^{∗}λ = α_{n}^{t} ∘ λ ∘ α_{n} : A_{n} → A_{n}^{t} est triviale sur A_{n}[ℓ^{n}].

Soit λ_{n} : A_{n} → A_{n}^{t} telle que ℓ^{n}λ_{n} = α_{n}^{∗}λ. C’est encore une polarisation de A_{n}, et

(ℓ^{n})^{2g} deg(λ_{n}) = deg(ℓ^{n}λ_{n}) = deg(α_{n}^{∗}λ) = (ℓ^{ng})^{2} deg(λ)

puisque deg α_{n} = deg α_{n}^{t} = ℓ^{ng}. Donc deg λ_{n} = deg λ. D’après le lemme ci-dessous, il y a un ensemble infini I ⊂ ℕ tel que (A_{i}, λ_{i}) ≃ (A_{j}, λ_{j}) pour tout i, j ∈ I. Soit n le plus petit élément de I, et pour tout i ∈ I, choisissons arbitrairement un isomorphisme θ_{i} : A_{n} → A_{i}. Alors e_{i} = α_{i} ∘ θ_{i} ∘ α_{n}^{−1} ∈ E induit sur V_{ℓ}A un morphisme tel que e_{i}(X_{n}) = X_{i} ⊂ X_{n}. Vus dans E_{ℓ}, ces morphismes restent donc dans le compact E_{ℓ} ∩ End_{ℤ_{ℓ}}(X_{n}). On peut donc extraire de (e_{i}) une sous-suite (e_{ϕ(i)}) qui converge vers un élément e de E_{ℓ}. On montre facilement que

e(X_{n}) = ∩X_{i} = T_{ℓ}A ∩ W,

puis que e(V_{ℓ}A) = W. □

Lemma 36. L’ensemble M_{d,1}^{g}(k) des classes d’isomorphismes de paires (B, ν) où B est une variété abélienne de dimension g sur k et ν : B → B^{t} est une polarisation de degré d^{2} est fini.

Démonstration. Ce serait trivial si l’on savait qu’il s’agit là des k-points d’un schéma de type fini sur Spec(ℤ) (ou 𝔽_{p}). Malheureusement, M_{d,1}^{g} n’est pas représentable. On peut rajouter une structure de niveau N ≥ 3 premier à p : si B est une variété abélienne de dimension g sur k, le noyau de Gal_{k} → Aut(B[N](\overline{k})) est d’indice majoré par le cardinal de Aut(B[N](\overline{k})) ≃ GL_{2g}(ℤ/Nℤ), donc il existe une extension finie K de k telle que toute variété abélienne B sur k de dimension g admet une structure de niveau N sur K. Puisque M_{d,N}^{g}(K) est fini, on en déduit que l’ensemble M_{d,1}^{g}(k) est d’image finie dans M_{d,1}^{g}(K), mais il resterait alors à vérifier que les fibres de M_{d,1}^{g}(k) → M_{d,1}^{g}(K) sont finies (ce qui n’est pas très difficile). On peut aussi rajouter une rigidification : puisque k est un corps, RM_{d,1}^{g}(k) → M_{d,1}^{g}(k) est surjective : on conclut alors directement, puisqu’on a vu que RM_{d,N}^{g} est représentable (sans restriction sur N) par un schéma de type fini sur Spec(ℤ). □

2.5. Conséquences, I. Nous avons vu que le polynôme caractéristique du Frobénius détermine la structure des modules de Tate et du module de Dieudonné. Le théorème de Tate implique tout d’abord que ce polynôme détermine aussi la classe d’isogénie.

Proposition 37. Pour deux variétés abéliennes A et B sur k, les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) A est un sous-quotient de B dans Ab_{k}^{0},

(2) V_{ℓ}A est un sous-quotient de V_{ℓ}B dans Mod_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} pour un ℓ ≠ p,

(3) V_{ℓ}A est un sous-quotient de V_{ℓ}B dans Mod_{ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]} pour tout ℓ ≠ p,

(4) 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p} est un sous-quotient de 𝔻(B) ⊗ ℚ_{p} dans Mod_{W (k)[ \frac{1}{p}][F,F^{−1}]},

(5) P_{A} | P_{B} dans ℤ[Π]. De plus, les sous-quotients de (1 − 4) sont alors des facteurs directs.

Démonstration. La dernière remarque résulte de la semi-simplicité de la catégorie Ab_{k}^{0}, et de la semi-simplicité des objets V_{ℓ}B et 𝔻(B) ⊗ ℚ_{p}. Les implications (1) ⇒ (2 − 4) sont évidentes, et les équivalences (2 − 4) ⟺ (5) résultent des propositions 17 et 30. Pour (2) ⇒ (1), soit f : V_{ℓ}A ↪ V_{ℓ}B une injection Gal_{k}-équivariante. On peut d’après le théorème 15 approcher f par un élément ρ_{ℓ}(f′) ∈ ρ_{ℓ}(Hom_{k}^{0}(A, B)), et si ρ_{ℓ}(f′) est suffisamment proche de f, alors ρ_{ℓ}(f′) sera encore injective, donc f′ : A ↪ B dans Ab_{k}^{0}. Le même argument démontre aussi que (4) ⇒ (1). □

Corollary 38. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) A et B sont isogènes sur k, i.e. isomorphes dans Ab_{k}^{0},

(2) V_{ℓ}A ≃ V_{ℓ}B comme ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]-module pour un ℓ ≠ p,

(3) V_{ℓ}A ≃ V_{ℓ}B comme ℚ_{ℓ}[Gal_{k}]-module pour tout ℓ ≠ p,

(4) 𝔻(A) ⊗ ℚ_{p} ≃ 𝔻(B) ⊗ ℚ_{p} comme W (k)[\frac{1}{p}][F, F^{−1}]-module,

(5) P_{A} = P_{B} dans ℤ[Π].

Remark 39. Il en résulte que deux variétés abéliennes A et B sur k qui sont isogènes sur k ont le même nombre de points sur toutes les extensions finies de k, et donc aussi la même fonction Zêta (ce qui n’est à priori pas du tout évident). D’ailleurs, cette condition caractérise aussi le fait que A et B soient isogènes !

Corollary 40. L’application w : S(q) → Gal(\overline{ℚ}/ℚ)\W(q) est injective.

Démonstration. Ce n’est pas complètement tautologique. Si A et B sont simples et w(A) = w(B), les polynômes minimaux de π_{A} et π_{B} sont égaux donc P_{A}^{a} = P_{B}^{b} pour des entiers a et b convenables, donc A^{a} ∼ B^{b} dans Ab_{k}^{0} puis A ∼ B car A et B sont simples (donc aussi P_{A} = P_{B} et a = b). □

2.6. Conséquences, II. On peut ensuite utiliser les résultats qui précèdent pour déterminer entièrement les anneaux d’endomorphismes dans la catégorie Ab_{k}^{0}.

Proposition 41. Pour tout A ∈ Ab_{k}^{0} , le centre de End_{k}^{0}(A) est égal à ℚ[π_{A}].

Démonstration. Cela résulte du théorème de Tate et du corollaire 18 (ou 31). □

Proposition 42. Soient A une variété abélienne simple sur k, π son Frobenius, D = End_{k}^{0}(A) et F = ℚ(π) le centre de D. Alors

2 dim A = [D : F]^{\frac{1}{2}} [F : ℚ]

et pour toute place v de F, l’invariant de D en v est donné par

inv_{v}D = \begin{cases}0 & si v ∤ p∞ \\ \frac{1}{2} & si v est réelle \\ \frac{v(π)}{v(q)}[F_{v} : ℚ_{p}] & si v | p \end{cases} dans ℚ/ℤ.

Démonstration. Cela résulte à nouveau du théorème de Tate, des corollaire 18 et 31, et de la proposition 23 - sauf pour la valeur de l’invariant aux places réelles, s’il y en a. Mais si F a une place réelle, alors π = ±\sqrt{q} = ±p^{ν/2}, ce qui limite beaucoup les cas à considérer !

Si ν est pair, disons ν = 2ν′ avec ν′ ≠ 0 ∈ ℕ, alors π = ±p^{ν′} et F = ℚ. L’invariant de D en v est trivial si v ∤ p∞, égal à \frac{1}{2} si v = p, donc aussi égal à \frac{1}{2} en v = ∞ puisque la somme des invariants doit être nulle. Donc D est le corps de quaternion B_{p,∞} sur ℚ tel que Ram(B_{p,∞}) = {p, ∞}, et A est une courbe elliptique supersingulière.

Si ν est impair, disons ν = 2ν′ + 1 avec ν′ ∈ ℕ, alors π = ±p^{ν′} \sqrt{p} et F = ℚ(\sqrt{p}). Les invariants de D sont triviaux à toutes les places finies de F, ce qui ne laisse à priori que deux possibilités pour les invariants de D aux places archimédiennes ∞_{1} et ∞_{2} de F, à savoir (0, 0) ou (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}). Dans le premier cas, D = F = ℚ(\sqrt{p}), donc dim A = 1, i.e. A est une courbe elliptique ; mais puisque π^{2} = q est le Frobenius de A ×_{𝔽_{q}} 𝔽_{q^{2}}, l’extension quadratique réelle F de ℚ devrait alors se plonger dans le corps de quaternion B_{p,∞} sur ℚ, une contradiction. Donc D est le corps de quaternion B_{∞_{1},∞_{2}} sur F tel que Ram(B_{∞_{1},∞_{2}}) = {∞_{1}, ∞_{2}}, et A est une surface abélienne – simple sur 𝔽_{q}, mais qui devient isogène au produit de deux courbes elliptiques supersingulières sur l’extension quadratique 𝔽_{q^{2}} de 𝔽_{q}. □

Remark 43. Concrètement, supposons connu le polynôme caractéristique P_{A} ∈ ℤ[Π] d’une variété abélienne A sur un corps fini k. Les facteurs irréductibles Q_{i} de P_{A} correspondent alors bijectivement aux facteurs simples A_{i} de A. Le centre F_{i} du corps gauche D_{i} = End_{k}^{0}(A_{i}) est canoniquement isomorphe à ℚ[Π]/Q_{i}, par l’application Π ↦ π_{A_{i}}. C’est une extension de degré f_{i} = deg(Q_{i}) de ℚ. La classe de D_{i} dans le groupe de Brauer de F_{i} est entièrement déterminée par la proposition cidessus. L’ordre de cette classe est égal à d_{i} = [D_{i} : F_{i}]^{\frac{1}{2}} . Le polynôme caractéristique de A_{i} est donc P_{A_{i}} = Q_{i}^{d_{i}}, et P_{A} = ∏ Q_{i}^{d_{i}r_{i}} si A ∼ ⊕A_{i}^{r_{i}}. La multiplicité r_{i} de A_{i} dans A est ainsi donnée par la formule r_{i}d_{i} = ord_{Q_{i}}(P_{A}). On retrouve donc bien

deg(P_{A}) = ∑deg(Q_{i}^{d_{i}r_{i}}) = ∑r_{i} · f_{i}d_{i} = ∑r_{i} · 2 dim(A_{i}) = 2 dim(A).

Enfin, End_{k}^{0}(A) ≃ ∏ M_{r_{i}}(D_{i}).

3. Le théorème de Honda

Disons qu’un q-nombre de Weil π ∈ W(q) est effectif si et seulement si il est conjugué au Frobenius d’une variété abélienne simple A sur 𝔽_{q}. Le théorème de Honda dit tout simplement que

Theorem 44. [4, 12] Tous les nombres de Weil sont effectifs.

Corollary 45. L’application w : S(q) → Gal(\overline{ℚ}/ℚ)\W(q) est bijective.

3.1. Préliminaires.

Lemma 46. Soit π ∈ W(q) et n ≥ 1. Alors π^{n} ∈ W(q^{n}) et

π est effectif ⟺ π^{n} est effectif.

Démonstration. Soient k = 𝔽_{q} et k′ = 𝔽_{q^{n}}. Si π est effectif, il existe une variété abélienne A sur k telle que P_{A}(π) = 0. Alors P_{A′}(π^{n}) = 0 où A′ = A ×_{k} k′, donc π^{n} est effectif. Si inversement π^{n} est effectif, il existe une variété abélienne A′ sur k′ telle que P_{A′}(π^{n}) = 0. La restriction de Weil A = Res_{k}^{k′}A′ est une variété abélienne sur k avec P_{A}(X) = P_{A′}(X^{n}), donc P_{A}(π) = P_{A′}(π^{n}) = 0 et π est effectif. □

Pour montrer qu’un q-nombre de Weil π est effectif, il nous faut construire une variété abélienne simple A sur k = 𝔽_{q} dont le Frobenius soit conjugué à π. On sait déjà ce que doit être l’anneau des endomorphismes End_{k}^{0}(A) d’une telle variété abélienne : un corps gauche D = D(π) de centre F = ℚ(π) dont les invariants sont décrits dans la proposition 42. Nous reconstruirons ci-dessous ce corps ex-nihilo, puis nous choisirons dans D un corps CM E, et sur E un type CM Φ, puis une variété abélienne de type CM (E, Φ) sur un corps de nombres suffisamment large, ayant bonne réduction en une place convenable de ce corps de nombres, dont le corps résiduel soit une extension k′ = 𝔽_{q^{n}} de k, et telle que le Frobenius de la réduction de cette variété abélienne soit précisément égal à π^{n}. Alors A sera, d’après la preuve du lemme ci-dessus, l’un des facteurs simples de la restriction à la Weil (de k′ vers k) de la réduction de cette variété abélienne CM.

On fixe pour tout la suite de cette section un q-nombre de Weil π. On note P ∈ ℤ[X] son polynôme minimal (unitaire, irréductible).

3.2. Le corps F = ℚ(π). On pose F = ℚ(π). Pour tout plongement ϕ : F ↪ ℂ,

\overline{ϕ(π)} = \frac{ϕ(π) · \overline{ϕ(π)}}{ϕ(π)} = \frac{q}{ϕ(π)} = ϕ (\frac{q}{π} )

donc

0 = \overline{ϕ}(P (π)) = P (\overline{ϕ} (π)) = P (ϕ (\frac{q}{π} )) = ϕ (P (\frac{q}{π} ))

de sorte que \frac{q}{π} est encore une racine de P. Soit ⋆ l’automorphisme de F qui envoie π sur \frac{q}{π}. C’est évidemment une involution de F, et puisque \overline{ϕ(π)} = ϕ(π^{⋆}) pour tout plongement ϕ : F ↪ ℂ, on trouve l’une des deux possibilités suivantes :

(1) ⋆ ≠ Id sur F, donc F est un corps CM.

(2) ⋆ = Id sur F, i.e. π^{2} = q donc π = ±\sqrt{q}. Si q = p^{2a}, on obtient deux orbites galoisiennes triviales distinctes, à savoir celles de π = ±p^{a}, pour lesquelles F = ℚ et P = X ± p^{a}. Si q = p^{2a+1}, on obtient une seule orbite galoisienne non-triviale, π ∈ \{±p^{a}\sqrt{p}\}, pour laquelle F = ℚ(\sqrt{p}).

3.3. Le corps gauche D = D(π). Pour toute place v de F = ℚ(π) on note

∥−∥_{v} : F_{v} → ℝ_{≥}

la valuation normalisée en v et on définit i_{v}(π) ∈ ℝ par ∥π∥_{v} = q^{−i_{v}(π)}. Puisque ∥π∥_{v} = q^{\frac{[Fv:ℝ]}{2}} pour v | ∞, la formule du produit ∏ ∥−∥_{v} = 1 montre que

i_{v}(π) ≠ 0 ⟺ ∥π∥_{v} ≠ 1 ⟹ v | p∞.

On a d’autre part i_{v}(π) = −\frac{[F_{v}:ℝ]}{2} pour v | ∞, et

i_{v}(π) = \frac{v(π)}{v(q)} · [F_{v} : ℚ_{p}] ∈ ℚ pour v | p.

On note D(π) un corps gauche de centre F tel que

∀v de F : inv_{v}D(π) = i_{v}(π) dans ℚ/ℤ.

Vérifions qu’un tel corps existe bien. Si F = ℚ, donc π = ±p^{a} et q = p^{2a}, on a i_{v}(π) = \frac{1}{2} mod ℤ pour v | p∞ et 0 sinon : D(π) est alors le corps de quaternion B_{p,∞} sur ℚ tel que Ram(B_{p,∞}) = \{p, ∞\}. Si F = ℚ(\sqrt{p}), donc π = ±p^{a}\sqrt{p} et q = p^{2a+1}, on a i_{v}(π) = \frac{1}{2} mod ℤ pour v | ∞ et 0 sinon : D(π) est alors le corps de quaternion B_{∞_{1},∞_{2}} sur ℚ(\sqrt{p}) tel que Ram(B_{∞_{1},∞_{2}}) = \{∞_{1}, ∞_{2}\}. Dans tous les autres cas, F est un corps CM (donc sans place réelle), et il faut voir que

∑_{v|p} \frac{v(π)}{v(q)} · [F_{v} : ℚ_{p}] = ∑_{v≠v^{⋆}} \frac{v(π) + v^{⋆}(π)}{v(q)} · [F_{v} : ℚ_{p}] + ∑_{v=v^{⋆}} \frac{v(π)}{v(q)} · [F_{v} : ℚ_{p}] ∈ ℤ.

Or v(π) + v(π^{⋆}) = v(ππ^{⋆}) = v(q) dans tous les cas, et si v = v^{⋆}, alors 2 | [F_{v} : ℚ_{p}] : la somme ci-dessus est donc bien dans ℤ.

3.4. Un corps CM E ⊂ D(π). On note D = D(π), i_{v} = i_{v}(π) et d^{2} = [D : F], de sorte que d est le plus petit multiple commun des dénominateurs des i_{v}.

Lemma 47. Il existe des corps CM F ⊂ E ⊂ D avec [E : F] = d.

Démonstration. On traite à nouveau séparément les cas où F n’est pas CM, qui sont faciles. Si F est CM de sous-corps totalement réel F_{0}, on choisit une extension E_{0} de F_{0} qui est (1) de degré d, (2) totalement réelle, et (3) telle que pour toute place v ≠ v^{⋆} de F sur p, pour toute place w de E_{0} au-dessus de v|F_{0}, [E_{0,w} : F_{0,v}]·i_{v} ∈ ℤ. Alors E = E_{0} · F est un corps CM de degré d, et pour toute place w | p de E au dessus de v = w|F,

inv_{w}(D ⊗_{F} E) = inv_{w}(D_{v} ⊗_{F_{v}} E_{w}) = [E_{w} : F_{v}] · i_{v} ∈ ℤ,

car i_{v} = 0 si v = v^{⋆} tandis que [E_{w} : F_{v}] = [E_{0,w} : F_{0,v}] si v ≠ v^{⋆}. Donc E décompose D, et puisque [D : F] = d^{2} = [E : F]^{2}, E se plonge dans D. □

Remark 48. On peut aussi d’abord montrer que D(π) admet une involution positive, puis choisir dans D(π) un sous-corps commutatif maximal et stable par cette involution : un tel corps est automatiquement CM.

3.5. Un type CM Φ sur E. On fixe un plongement \overline{ℚ} ↪ \overline{ℚ}_{p}. On a alors :

Hom_{ℚ−alg}(E, ℂ) = Hom_{ℚ_{p}−alg}(E ⊗ ℚ_{p}, \overline{ℚ}_{p}) = _{∐w|p}H(w)

où w décrit les places de E au-dessus de p, donc E ⊗ ℚ_{p} = ∏_{w|p} E_{w}, avec

H(w) = Hom_{ℚ_{p}−alg}(E_{w}, \overline{ℚ}_{p}).

Lemma 49. Il existe un type CM Φ sur E tel que pour tout w | p,

\frac{w(π)}{w(q)} = \frac{|H(w) ∩ Φ|}{|H(w)|}.

Démonstration. On veut que pour tout w | p de E sur v de F,

|H(w) ∩ Φ| = |H(w)| · \frac{w(π)}{w(q)} = [E_{w} : ℚ_{p}] · \frac{v(π)}{v(q)} = [E_{w} : F_{v}] · i_{v}.

Si w^{⋆} = w, v^{⋆} = v et [E_{w} : F_{v}] · i_{v} = \frac{1}{2}[E_{w} : ℚ_{p}] = \frac{1}{2} |H(w)| : on choisit pour Φ ∩ H(w) un système de représentants (quelconque) des orbites de ⋆ dans H(w). Si w^{⋆} ≠ w, on a

[E_{w} : F_{v}] · i_{v} + [E_{w^{⋆}} : F_{v^{⋆}}] · i_{v^{⋆}} = [E_{w} : ℚ_{p}] = |H(w)| = |H(w^{⋆})| .

On choisit alors pour Φ ∩ (H(w) ∐ H(w^{⋆})) un système de représentant des orbites de ⋆ tel que Φ ∩ H(w) contienne [E_{w} : F_{v}] · i_{v} éléments, et alors Φ ∩ H(w^{⋆}) en contient bien [E_{w^{⋆}} : F_{v^{⋆}}] · i_{v^{⋆}}éléments. □

3.6. Conclusion. Soit (E, Φ) comme ci-dessus, k ⊂ \overline{ℚ} une extension finie de ℚ telle que ϕ(E) ⊂ k pour tout ϕ ∈ Φ. Quitte à agrandir k, on peut supposer que (1) il existe sur k une variété abélienne A de type CM (E, Φ) à multiplication complexe par O_{E}, que (2) A a bonne réduction en la place P de O_{k} déterminée par le plongement \overline{ℚ} ↪ ℚ_{p} fixé plus haut, et que (3) O_{k}/P = 𝔽_{q^{n}}. D’après la formule de Shimura-Tanyiama, le Frobenius de la réduction de A en P est un élément π_{1} de O_{E} tel que pour tout w | p de E,

\frac{w(π_{1})}{w(q^{n})} = \frac{|H(w) ∩ Φ|}{|H(w)|} = \frac{w(π^{n})}{w(q^{n})}.

Les idéaux engendrés dans O_{E} par π_{1} ∈ O_{E} et π^{n} ∈ O_{F} ⊂ O_{E} sont alors égaux, donc π_{1} = uπ^{n} pour une unité u de O_{E}^{×}. Puisque π_{1} et π^{n} sont des q^{n}-nombres de Weil, u est un q^{0} = 1-nombre de Weil, c’est-à-dire une racine de l’unité. Donc pour un entier m convenable, π_{1}^{m} = π^{nm}. Puisque enfin π_{1}^{m} est effectif, π l’est également.

4. Exemples sur un corps fini

Dans les exemples qui suivent, on note typiquement A une variété abélienne, le plus souvent simple, sur un corps fini k de cardinal q = p^{ν}, π son Frobenius, F = ℚ(π) le centre du corps gauche D = End_{k}^{0}(A), g la dimension de A, f = [F : ℚ] et d = [D : F]^{1/2}, de sorte que 2g = df.

4.1. Cas où F est totalement réel. Ce cas regroupe deux situations différentes.

4.1.1. Le cas pair. Si q = p^{2a} pour un entier a ≥ 1, alors

π = +p^{a} ou − p^{a}, F = ℚ, D = B_{p,∞} et g = 1,

où B_{p,∞} est le corps de quaternions ramifié en {p, ∞}. C’est donc le cas où A est une courbe elliptique supersingulière dont tous les endomorphismes sont définis sur k = 𝔽_{q}. On peut construire toutes ces courbes de la manière suivante.

Soit H l’extension abélienne partout non-ramifiée maximale de K = ℚ(\sqrt{−p}), O_{K} et O_{H} les anneaux d’entiers de K et H, P_{K} l’unique idéal maximal de O_{K} audessus de p, et P_{H} un idéal maximal de O_{H} au dessus de P_{K}. Puisque P_{K} = O_{K} \sqrt{−p} est un idéal principal de corps résiduel 𝔽_{p}, cet idéal est totalement décomposé dans O_{H}, et le corps résiduel de P_{H} est encore 𝔽_{p}. La théorie de la multiplication complexe montre que la courbe elliptique ℂ/O_{K} admet un modèle E sur H qui a partout bonne réduction. On note E_{0} la fibre spéciale en P_{H} du modèle de Néron de E sur O_{H}. C’est donc une courbe elliptique sur 𝔽_{p}, munie d’une action de O_{K}. La formule de Shimura-Tanyiama décrit l’idéal engendré par son Frobenius π_{0} dans O_{K} : c’est O_{K}π_{0} = P_{K}, d’où l’on déduit que π_{0} = μ\sqrt{−p} pour une unité μ ∈ O_{K}^{×}. Si p ≠ 3, on a donc μ ∈ {±1}. Si p = 3, on peut aussi supposer que cette condition est satisfaite – quitte à remplacer E_{0} par un twist convenable. On a alors, et dans tous les cas, π_{0}^{2a} = (−p)^{a}.

La classe d’isogénie déterminée par le q-nombre de Weil (−p)^{a} est donc celle de E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{p^{2a}}. L’autre classe d’isogénie, qui correspond au q-nombre de Weil −(−p)^{a}, est d’après la preuve du lemme 46 celle du noyau du morphisme trace

Res_{𝔽_{p^{2a}}}^{𝔽_{p^{4a}}} (E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{p^{4a}}) ↠ E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{p^{2a}}.

Si a = 2^{m}a′ avec 2 ∤ a′ et m ≥ 0, on note que ce morphisme s’identifie à

[Res_{𝔽_{p^{2^{m+1}}}}^{𝔽_{p^{2^{m+2}}}} (E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{p^{2^{m+2}}} ) ↠ E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{p^{2^{m+1}}} ] ×_{𝔽_{p^{2^{m+1}}}} 𝔽_{p^{2a}}.

Notant E_{m+1} la courbe elliptique sur 𝔽_{p^{2^{m+1}}} qui est le noyau du morphisme trace ci-dessus entre crochet, on voit donc que les {E_{m}, m ∈ ℕ} recouvrent toutes les classes d’isogénies ici considérées. Plus précisément :

Fact 50. Les deux classes d’isogénies de courbes elliptiques supersingulières sur 𝔽_{q} ayant tous leurs endomorphismes définis sur 𝔽_{q} sont représentées par

E_{0} ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{q} pour π = (−p)^{a} et E_{m+1} ×_{𝔽_{p^{2^{m+1}}}} 𝔽_{q} pour π = −(−p)^{a}

où q = p^{2a} et a = 2^{m}a′ avec 2 ∤ a′. Chacune de ces deux classes fusionne avec la classe d’isogénie où π = q après le changement de base quadratique 𝔽_{q} → 𝔽_{q^{2}}.

4.1.2. Le cas impair. Si q = p^{2a+1} pour un entier a ≥ 0, alors

π ∈ \{±p^{a}\sqrt{p}\}, F = ℚ(\sqrt{p}), D = B_{∞_{1},∞_{2}} et g = 2,

où B_{∞_{1},∞_{2}} est le corps de quaternions ramifié en {∞_{1}, ∞_{2}}. Avec les notations ci-dessus, cette classe d’isogénie est représentée par la surface abélienne simple

Res_{𝔽_{q}}^{𝔽_{q^{2}}} (E_{1} ×_{𝔽_{p^{2}}} 𝔽_{q^{2}}) = Res_{𝔽_{p}}^{𝔽_{p^{2}}} (E_{1}) ×_{𝔽_{p}} 𝔽_{q}.

Cette surface abélienne n’est pas absolument simple : elle devient isogène au carré de E_{1} ×_{𝔽_{p^{2}}} 𝔽_{q^{2}} sur l’extension quadratique 𝔽_{q^{2}} de 𝔽_{q}.

4.2. Les courbes elliptiques. Si A est une courbe elliptique, alors

[D : F]^{\frac{1}{2}} [F : ℚ] = 2

donc (1) D est un corps de quaternions sur F = ℚ, ou bien (2) D = F est une extension quadratique de ℚ. Le premier cas a déjà été traité ci-dessus : il n’existe que pour q = p^{2a}, et correspond aux deux classes d’isogénies de courbes elliptiques supersingulières dont tous les endomorphismes sont définis sur k = 𝔽_{q}.

Dans le second cas, auquel on se restreint désormais, l’extension quadratique F est forcément imaginaire, le cas d’une extension réelle étant exclu par la discussion précédente. Si p est inerte ou ramifié dans F, une puissance convenable de π est dans ℚ, donc A est une courbe elliptique supersingulière, mais qui n’acquiert tous ces endomorphismes qu’après une extension non-triviale du corps de base k. Si au contraire p est décomposé dans F, alors F ne se plonge pas dans B_{p,∞}, et A n’est pas supersingulière : on dit que la courbe elliptique A est ordinaire.

Considérons d’abord le cas supersingulier, où p est inerte ou ramifié dans F. Si ν = 2a, alors π = μp^{a} pour une racine de l’unité μ ≠ ±1 dans F = ℚ(π), donc F = ℚ(i) et μ ∈ {±i}, ou bien F = ℚ(ρ) et μ ∈ {±ρ, ±ρ^{2}}. Si au contraire ν = 2a+1, il faut que p soit ramifié dans F puisque π y engendre un idéal de norme q = p^{ν}. Donc (p) = 𝔓^{2} et (π) = 𝔓^{ν} pour l’unique idéal 𝔓 de O_{F} au-dessus de p, qui doit être principal puisque ν est impair. Si F ≠ ℚ(i), ℚ(ρ), il faut donc que F = ℚ(\sqrt{−p}) avec π ∈ \{±p^{a}\sqrt{−p}\}. Il reste enfin les cas pathologiques : F = ℚ(i) avec p = 2, et F = ℚ(ρ) = ℚ(\sqrt{−3}) avec p = 3 : ils sont décrits dans le tableau suivant, qui liste toutes les classes d’isogénie de courbes elliptiques supersingulières A dont l’anneau des endomorphismes End_{k}^{0}(A) ≃ F est commutatif, c’est-à-dire strictement contenu dans End0 ; \overline{k}(A) ≃ B_{p,∞}. On y donne aussi l’entier r qui est le degré de la plus petite extension k′ de k = 𝔽_{q} telle que End_{k′}^{0}(A) ≃ B_{p,∞}.

q  F  π  r
p^{2a} avec p = 2 ou p ≡ 3 mod 4 ℚ(i)  ip^{a}  2
p^{2a} avec p = 3 ou p ≡ 2 mod 3 ℚ(ρ)  ρp^{a}, ρ^{2}p^{a}  3
2^{2a+1}  ℚ(i)  2^{a}(i + 1), 2^{a}(i − 1) 4
3^{2a+1}  ℚ(ρ) 3^{a}(1 + ρ), 3^{a}(−1 − ρ) 6
p^{2a+1} ℚ(\sqrt{−p}) p^{a}\sqrt{−p} 2

Passant au cas ordinaire, notons 𝔓_{1} ≠ 𝔓_{2} les idéaux premiers de O_{F} au-dessus de p. Si (π) = 𝔓_{1}^{ν_{1}}𝔓_{2}^{ν_{2}} et q = p^{ν}, on sait que

ν_{1} + ν_{2} = ν et \frac{ν_{1}}{ν} ≡ \frac{ν_{2}}{ν} ≡ 0 dans ℚ/ℤ.

Donc (ν_{1}, ν_{2}) = (ν, 0) ou (0, ν). Inversement, soit F un corps quadratique imaginaire où p est décomposé, 𝔓 l’un des deux idéaux de O_{F} au-dessus de p, et ν_{p}(F) l’ordre de la classe de 𝔓 dans Pic(O_{F}). Alors pour tout entier ν divsible par ν_{p}(F), chaque générateur π de 𝔓^{ν} est un q = p^{ν}-nombre de Weil qui correspond à une classe d’isogénie de courbes elliptiques ordinaires sur k = 𝔽_{q}. Pour F ≠ ℚ(i), ℚ(ρ), on obtient ainsi exactement deux classes d’isogénie associées à F. On en obtient évidemment 4 pour F = ℚ(i) et 6 pour F = ℚ(ρ).

4.3. Les surfaces abéliennes. Lorsque A est (simple) et de dimension 2, on a

4 = [D : F]^{1/2}[F : ℚ].

Le seul cas où F est totalement réel est celui de π = ±p^{a}\sqrt{p} pour q = p^{2a+1}, qui correspond à une surface abélienne simple sur 𝔽_{q} qui devient isogène au produit de deux courbes elliptiques supersingulières de Frobenius π^{2} = p^{2a+1} sur 𝔽_{q^{2}}. On peut donc supposer que F est un corps CM, ce qui nous donne deux cas.

4.3.1. F est une extension quadratique imaginaire de ℚ et D est un corps de quaternion sur F. Puisque D ne peut être ramifié qu’aux places de F qui divisent p et que D est effectivement ramifié en un nombre strictement positif et pair de places de F, on voit donc que (p) = 𝔓_{1}·𝔓_{2} est décomposé dans F, et Ram(D) = {𝔓_{1}, 𝔓_{2}}. Si (π) = 𝔓_{1}^{ν_{1}}𝔓_{2}^{ν_{2}}, il faut alors que

\frac{ν_{1}}{ν} ≡ \frac{ν_{2}}{ν} ≡ \frac{1}{2} ∈ ℚ/ℤ avec ν_{1} + ν_{2} = ν

donc ν = 2a est pair, ν_{1} = ν_{2} = a, et π = μp^{a} pour une racine de l’unité μ ≠ ±1 dans F = ℚ(π). On trouve donc F = ℚ(i) avec p ≡ 1 mod 4 et π ∈ {±ip^{a}}, ou bien F = ℚ(ρ) avec p ≡ 1 mod 3, et π ∈ {ρp^{a}, −ρ^{2}p^{a}} ou π ∈ {ρ^{2}p^{a}, −ρp^{a}}. Dans ces trois cas, la surface abélienne devient isogène au produit de deux copies d’une même courbe elliptique supersingulière après une extension de degré 2 ou 3 du corps de base k = 𝔽_{q}.

4.3.2. F = D est une extension CM de degré 4 de ℚ. Si (π) = (\overline{π}), alors (π^{2}) = (q), donc π^{2} = μq pour une racine de l’unité dans F, et A devient isogène au produit de deux copies d’une même courbe elliptique supersingulière après une extension finie du corps de base. Si (π) ≠ (\overline{π}), il y a au moins un idéal premier 𝔓 | p de F tel que 𝔓 ≠ \overline{𝔓}, donc au moins un idéal 𝔭 | p du sous-corps totalement réel L = ℚ(π + \overline{π}) de F = ℚ(π) qui se décompose dans F, avec 𝔭O_{F} = 𝔓 · \overline{𝔓}. Il y a alors différents cas selon la décomposition de p dans F. Le cas le plus notable est celui où la variété A n’est pas ordinaire : cela arrive uniquement lorsque p est déployé dans L mais pas totalement déployé dans F (i.e. pO_{L} = 𝔭 · 𝔭′ avec 𝔭′ inerte ou ramifié dans L). Dans ce cas, l’extension F/ℚ n’est pas galoisienne, A est géométriquement simple, et son groupe p-divisible a trois pentes : 0 et 1 avec multiplicité 1, et \frac{1}{2} avec multiplicité 2. Pour les détails, voir [5, Thm 3.6, 3.7].

4.4. Classe d’isogénie unique de la fibre spéciale d’une courbe de Shimura. Soit A une surface abélienne sur k = 𝔽_{q} munie de l’action ι : B ↪ End_{k}^{0}(A) d’un corps de quaternions B sur ℚ qui est indéfini (i.e. déployé à l’infini) mais ramifié en p. Nous allons montrer que A devient isogène au carré d’une courbe elliptique supersingulière sur \overline{k}. C’est évidemment le cas si A est simple d’après la discussion ci-dessus, puisque la non-commutativité de B implique celle de D = End_{k}^{0}(A). Le même argument implique que A ×_{k} \overline{k} ne saurait être le produit de deux courbes elliptiques non-isogènes. Enfin si E est une extension quadratique imaginaire de ℚ où p est décomposé, il n’y a pas de plongement de B dans M_{2}(E), car B_{p} ne se plonge pas dans M_{2}(E_{p}) ≃ M_{2}(ℚ_{p}) × M_{2}(ℚ_{p}). Il ne reste donc qu’une possibilité pour A ×_{k} \overline{k} : c’est le carré d’une courbe elliptique supersingulière.

5. La catégorie Ab_{𝔽}^{0} pour 𝔽 = \overline{𝔽}_{p}

Soit 𝔽 = \overline{𝔽}_{p} une cloture algébrique de 𝔽_{p}. On note (I, ⊂) l’ensemble réticulé des sous-corps finis k de 𝔽, ordonné par l’inclusion. L’application k ↦ [k : 𝔽_{p}] est donc une bijection croissante de (I, ⊂) sur l’ensemble réticulé des entiers n ≥ 1 ordonné par la relation de divisibilité. Puisque 𝔽 = ∪_{k∈I}k, la théorie de la descente et les résultats de [6, IV.8] permettent de ramener l’étude de la catégorie (abélienne semi-simple) des variétés abéliennes à isogénie près sur 𝔽 à celle des catégories (abéliennes semi-simples) des variétés abéliennes à isogénie près sur les sous-corps finis k de 𝔽, c’est-à-dire essentiellement, à la théorie de Honda-Tate.

5.1. Les germes. Si (M, ×) est un monoïde (ou même seulement un magma), on note G(M) la limite inductive du foncteur (I, ⊂) → Ens qui envoit k sur M et l’inclusion k ⊂ k′ sur l’application x ↦ x^{[k′:k]}. C’est aussi le quotient de l’ensemble des couples (x, k) avec x ∈ M et k ∈ I pour la relation d’équivalence définie par (x, k) ∼ (x′, k′) si et seulement si il existe k′′ ∈ I contenant k et k′ tel que x^{[k′′:k]} = x^{′[k′′:k′]} dans M. On dit des éléments de G(M) que ce sont les germes d’éléments de M. Lorsque (M, ×) est le monoïde multiplicatif (R, ×) d’un anneau (R, +, ×), on note simplement G(R) = G(M). Si de plus R est une ℚ-algèbre et α ∈ G(R), on note ℚ[α] la sous-algèbre de R qui est l’intersection des sous-algèbres ℚ[x] engendrées dans R par les éléments x des représentants (x, k) de α. Si l’on fixe un tel représentant, on a donc ℚ[α] = ∩_{n>0}ℚ[x^{n}]. En particulier si R est de dimension finie sur ℚ, ℚ[α] = ℚ[x^{n}] pour tout n assez grand. Si enfin v est une place de ℚ[α] au dessus de p, le nombre rationnel v(x)/v(|k|) est indépendant du choix du représentant (x, k) de α tel que ℚ[α] = ℚ[x]. C’est la pente de α en v, que l’on note λ_{v}(α).

5.2. Le Frobenius. Soit maintenant A une variété abélienne sur 𝔽. Un modèle de A sur un sous-corps fini k de 𝔽 est une variété abélienne A_{k} sur k munie d’un isomorphisme A_{k} ×_{k} 𝔽 ≃ A. Puisque 𝔽 = ∪_{k∈I}k, on sait que de tels modèles existent sur les sous-corps finis suffisament gros k de 𝔽. De plus, si A_{1} et A_{2} sont des modèles de A définis respectivement sur des sous-corps finis k_{1} et k_{2} de 𝔽, il existe un sous-corps fini k de 𝔽 contenant k_{1} et k_{2} au-dessus duquel les modèles A_{1} ×_{k_{1}} k et A_{2} ×_{k_{2}} k sont isomorphes. Si π_{1} et π_{2} sont les images dans End_{𝔽}(A) des Frobenius π_{A_{1}} ∈ End_{k_{1}}(A_{1}) et π_{A_{2}} ∈ End_{k_{2}}(A_{2}), on a donc π_{1}^{[k:k_{1}]} = π_{2}^{[k:k_{2}]}, ce qui signifie encore que (π_{1}, k_{1}) et (π_{2}, k_{2}) définissent le même germe dans G(End_{𝔽}(A)).

Definition 51. Le Frobenius de A est le germe ainsi défini :

π_{A} = [π_{1}, k_{1}] ∈ G (End_{𝔽}(A)) ⊂ G (End_{𝔽}^{0}(A)) .

Remark 52. Si α : A → B est un morphisme de variétés abéliennes sur 𝔽, alors α ∘ π_{A} = π_{B} ∘ α. De même, si † est une involution de Rosati sur End_{𝔽}^{0}(A), alors π_{A}^{†} ∘ π_{A} = [p] dans G (End_{𝔽}^{0}(A)), où [p] est le germe réprésenté par (|k| , k) pour tout k ∈ I. On laisse au lecteur le soin de préciser le sens de ces deux assertions.

Proposition 53. Pour toute place v | p de ℚ[π_{A}] ⊂ End_{𝔽}^{0}(A), le groupe v-divisible A[v^{∞}] de A est isocline de pente λ_{v}(π_{A}) ∈ ℚ ∩ [0, 1].

Démonstration. Cela résulte immédiatement de ***. □

5.3. Les morphismes. Soient A_{1} et A_{2} des variétés abéliennes sur 𝔽, A_{1,k} et A_{2,k} des modèles de ces variétés sur un sous-corps fini k de 𝔽, I(k) l’ensemble cofinal dans I des extensions finies de k dans 𝔽. Pour k′ ∈ I(k), on note A_{1,k′} = A_{1,k} ×_{k} k′ et A_{2,k′} = A_{2,k} ×_{k} k′ les modèles sur k′ déduit de A_{1,k} et A_{2,k} .

Lemma 54. Pour k′ ∈ I(k) et k′ ⊂ k′′ ⊂ 𝔽, le morphisme de changement de base

α_{k′}^{k′′} : Hom_{k′} (A_{1,k′}, A_{2,k′}) → Hom_{k′′} (A_{1,k′′}, A_{2,k′′})

est injectif et son conoyau est sans torsion, nul si k′ est suffisament gros.

Démonstration. La démonstration de la trivialité du noyau et de la torsion du conoyau est élementaire. D’autre part, il résulte de [6, Théorème 8.8.2] que les morphismes de changement de base α_{k′}^{𝔽} induisent un isomorphisme

\underrightarrow{lim}Hom_{k′} (A_{1,k′}, A_{2,k′}) → Hom_{𝔽} (A_{1}, A_{2})

Puisque le second de ces deux groupes est un ℤ-module de type fini d’après ***, on en déduit que α_{k′}^{𝔽} est un isomorphisme pour tout k′ suffisament gros. □

Proposition 55. La sous-algèbre F = ℚ[π_{A}] est le centre de D = End_{𝔽}^{0}(A). Si A est simple, D est un corps gauche de centre F et pour toute place v de F,

inv_{v}D = \begin{cases}0 & si v ∤ p∞ \\ \frac{1}{2} & si v est réelle \\ λ_{v}(π_{A}) · [F_{v} : ℚ_{p}] & si v | p \end{cases} dans ℚ/ℤ.

Démonstration. Le lemme précédent nous ramène immédiatement au cas des corps fini, c’est-à-dire aux propositions 41 et 42. □

5.4. Les groupes ℓ-divisibles. Pour tout nombre premier ℓ, on vérifie facilement que le morphisme de changement de base

α_{k′}^{k′′} : Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′}[ℓ^{∞}]) → Hom_{k′′} (A_{1,k′′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′′}[ℓ^{∞}])

est encore injectif avec un conoyau sans torsion, mais le conoyau de

α_{k′}^{𝔽} : Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′}[ℓ^{∞}]) ↪ Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}])

peut être non-nul pour tout k′ ∈ I(k) : s’il est encore vrai que pour tout n ≥ 1,

\underrightarrow{lim}_{k′}Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{n}], A_{2,k′}[ℓ^{n}]) = Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{n}], A_{2}[ℓ^{n}])

d’après [6, Théorème 8.8.2], ces limites ne commutent généralement pas à celles de

\underleftarrow{lim}_{n}Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{n}], A_{2}[ℓ^{n}]) = Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]) .

On peut cependant décrire l’image

Hom_{𝔽}^{alg} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]) ⊂ Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}])

du morphisme injectif de ℤ_{ℓ}-module

\underrightarrow{lim}_{k′}(α_{k′}^{𝔽}) : \underrightarrow{lim}_{k′}Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′}[ℓ^{∞}]) ↪ Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]) .

Tout d’abord, les isomorphismes du théorème de Tate

ρ_{ℓ} : Hom_{k′} (A_{1,k′}, A_{2,k′}) ⊗ ℤ_{ℓ} ⟶^{≃} Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′}[ℓ^{∞}])

donnent par passage à la limite un isomorphisme

ρ_{ℓ} : Hom_{𝔽} (A_{1}, A_{2}) ⊗ ℤ_{ℓ} ⟶^{≃} Hom_{𝔽}^{alg} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]) .

En particulier, pour tout k′ ∈ I(k) tel que

α_{k′}^{𝔽} : Hom_{k′} (A_{1,k′}, A_{2,k′}) ⊗ ℤ_{ℓ} ⟶^{≃} Hom_{𝔽} (A_{1}, A_{2}) ⊗ ℤ_{ℓ}

on a aussi pour les groupes ℓ-divisibles

α_{k′}^{𝔽} : Hom_{k′} (A_{1,k′}[ℓ^{∞}], A_{2,k′}[ℓ^{∞}]) ⟶^{≃} Hom_{𝔽}^{alg} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]) .

Pour k′ ∈ I(k) et i ∈ {1, 2}, on note π_{i,k′} = α_{k′}^{𝔽}(π_{A_{i,k′}}) l’image du Frobenius.

Lemma 56. Pour tout morphisme f ∈ Hom_{𝔽} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]), les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Il existe k′ ∈ I(k) tel que f ∘ π_{1,k′} = π_{2,k′} ∘ f,
(2) Pour tout k′ ∈ I(k) suffisament gros, f ∘ π_{1,k′} = π_{2,k′} ∘ f,
(3) f appartient à Hom_{𝔽}^{alg} (A_{1}[ℓ^{∞}], A_{2}[ℓ^{∞}]),
(4) f appartient à ρ_{ℓ} (Hom_{𝔽} (A_{1}, A_{2}) ⊗ ℤ_{ℓ}).

Démonstration. L’équivalence de (3) et (4) est démontrée ci-dessus, celle de (1) et (2) est immédiate, de même que l’implication (3) ⇒ (1). Il reste à démontrer que (1) ⇒ (3), supposons donc que f ∘ π_{1,k′} = π_{2,k′} ∘ f pour un corps fini k′ ∈ I(k), et montrons qu’alors f = α_{k′}^{𝔽}(f_{1}) pour un morphisme f_{1} : A_{1,k′}[ℓ^{∞}] → A_{2,k′}[ℓ^{∞}]. On peut supposer que k′ = k. Si ℓ ≠ p, il s’agit de vérifier que le morphisme induit par f sur les modules de Tate commute à l’action de Gal(𝔽/k), ce qui résulte facilement de l’hypothèse. Si ℓ = p, on note 𝔻_{i} = 𝔻(A_{i,k}) le module de Dieudonné de A_{i,k}, un W (k)-module libre avec un Frobenius F_{i} et un Verschiebung V_{i}. Le morphisme de groupes p-divisibles f : A_{1}[p^{∞}] → A_{2}[p^{∞}] induit un morphisme W (𝔽)-linéaire

𝔻(f) : 𝔻_{2} ⊗_{W (k)} W (𝔽) → 𝔻_{1} ⊗_{W (k)} W (𝔽)

qui commute avec les Frobenius et les Verschiebung respectifs, i.e.

𝔻(f) ∘ (F_{2} ⊗ σ) = (F_{1} ⊗ σ) ∘ 𝔻(f)
𝔻(f) ∘ (V_{2} ⊗ σ^{−1}) = (V_{1} ⊗ σ^{−1}) ∘ 𝔻(f)

où σ est le Frobenius arithmétique de W (𝔽). Notre hypothèse implique aussi que

𝔻(f) ∘ (F_{2}^{[k:𝔽_{p}]} ⊗ Id) = (F_{1}^{[k:𝔽_{p}]} ⊗ Id) ∘ 𝔻(f).

On en déduit que 𝔻(f) commute aussi à Id ⊗ σ^{[k:𝔽_{p}]}, puisque

(F_{1}^{[k:𝔽_{p}]} ⊗ Id) [𝔻(f) ∘ (Id ⊗ σ^{[k:𝔽_{p}]}) − (Id ⊗ σ^{[k:𝔽_{p}]}) ∘ 𝔻(f)]
= 𝔻(f) ∘ (F_{2} ⊗ σ)^{[k:𝔽_{p}]} − (F_{1} ⊗ σ)^{[k:𝔽_{p}]} ∘ 𝔻(f) = 0

avec F_{1}^{[k:𝔽_{p}]} ⊗ Id injectif. Mais alors 𝔻(f) provient par extension des scalaires de W (k) à W (𝔽) d’un morphisme 𝔻(f_{1}) : 𝔻_{2} → 𝔻_{1}, pour un morphisme de groupes p-divisibles f_{1} : A_{1,k}[p^{∞}] → A_{2,k}[p^{∞}] tel que α_{k}^{𝔽}(f_{1}) = f. □

Example 57. Si E est une courbe elliptique ordinaire sur 𝔽 et ℓ ≠ p,

End_{𝔽}(E) ⊗ ℤ_{ℓ} ≃ End_{𝔽}^{alg} (E[ℓ^{∞}]) ⊊ End_{𝔽} (E[ℓ^{∞}]) ≃ M_{2}(ℤ_{ℓ}).

5.5. Les classes d’isogénie de variétés abéliennes simples. Pour k ⊂ k′ dans I, l’application x ↦ x^{[k′:k]} de \overline{ℤ} envoie W(k) sur W(k′). On pose

W(𝔽) = \underrightarrow{lim}_{k∈I}W(k) ⊂ G (\overline{ℤ}) ⊂ G (\overline{ℚ}) .

Ce sont les germes de [p]-nombres de Weil (de poids −1). L’action de Gal (\overline{ℚ}/ℚ) sur chacun des W(k) induit une action de Gal (\overline{ℚ}/ℚ) sur W(𝔽) et

\underrightarrow{lim}_{k∈I}Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(k) ≃ Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(𝔽).

Si A est une variété abélienne simple sur 𝔽, si A_{k} est un modèle de A sur k ∈ I, et si π est un élément de W(k) qui est conjugué au Frobenius de A_{k}, l’image de π dans Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(𝔽) ne dépend que de la classe d’isogénie de A sur 𝔽. En effet, si A′ est isogène à A, si A′_{k′} est un modèle de A sur k′ ∈ I, et si π′ est un élément de W(k′) qui est conjugué au Frobenius de A′_{k′}, il existe d’après le lemme 54 une extension finie k′′ de k et k′ telle que les variétés abéliennes A_{k} ×_{k} k′′ et A′_{k′} ×_{k′} k′′ sont isogènes sur k′′. Leurs Frobenius sont donc conjugués, i.e. π^{[k′′:k]} = π^{′[k′′:k′]} dans Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(k′′). On obtient ainsi une application bien définie

w : S(𝔽) → Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(𝔽)

où l’on rappelle que S(𝔽) est l’ensemble des classes d’isogénie de variétés abéliennes simples sur 𝔽, ou encore l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets simples dans la catégorie abélienne semi-simple Ab_{𝔽}^{0}.

Proposition 58. L’application w : S(𝔽) → Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(𝔽) est bijective.

Démonstration. La surjectivité résulte du théorème 44 (de Honda). Pour l’injectivité, considérons deux variétés abéliennes A_{1} et A_{2} simples sur 𝔽 telles que w(A_{1}) = w(A_{2}) dans Gal (\overline{ℚ}/ℚ) \W(𝔽). Soient A_{1,k} et A_{2,k} des modèles de A_{1} et A_{2} définis sur k ∈ I, et soient π_{1} et π_{2} des éléments de W(k) conjugués au Frobenius de ces modèles. Puisque w(A_{1}) = w(A_{2}), il existe k′ ∈ I(k) tel que π_{1}^{[k′:k]} et π_{2}^{[k′:k]} sont conjugués dans W(k′). Mais alors A_{1,k} ×_{k} k′ et A_{2,k} ×_{k} k′ sont isogènes sur k′ d’après le théorème de Tate, donc A_{1} et A_{2} sont isogènes sur 𝔽. □

5.6. Une autre description de W(𝔽). On considére les couples (F, (λ_{v})) qui sont formés d’un corps de nombres F ⊂ \overline{ℚ} et de la donnée, pour chaque place v | p de F, d’une pente λ_{v} ∈ ℚ ∩ [0, 1]. On note C(𝔽) ceux de ces couples pour lesquels (1) F = ℚ et λ_{p} = \frac{1}{2}, ou bien (2) F est un corps CM et λ_{v^{⋆}} + λ_{v} = 1 pour tout v | p, où ⋆ est l’involution canonique de F. Le groupe Gal (\overline{ℚ}/ℚ) agit sur C(𝔽) par σ · (F, (λ_{v})) = (σF, (λ_{σ^{−1}v})). Nous allons ici décrire deux applications Gal(\overline{ℚ}/ℚ)-équivariantes

c : W(𝔽) → C(𝔽) et ϖ : C(𝔽) → W(𝔽)

telles que ϖ ∘ c = Id_{W(𝔽)}.

Pour π ∈ W(𝔽), on pose c(π) = (F, (λ_{v})) où F = ℚ[π] et λ_{v} = λ_{v}(π). Choisissons un représentant (π_{k}, k) de π ∈ W(𝔽) avec k ∈ I, π_{k} ∈ W(k), et F = ℚ[π_{k}]. Soit ⋆ l’unique involution de de F telle que π_{k}^{⋆} = |k| /π_{k}, cf. ***. Si ⋆ = Id, alors π_{k} = ±\sqrt{|k|}, donc F = ℚ[π_{k}^{2}] = ℚ et λ_{p} = \frac{1}{2}. Sinon, F est un corps CM dont ⋆ est l’involution canonique. Puisque λ_{v} = v(π_{k})/v(|k|) par définition de λ_{v}(π), on a bien λ_{v} ∈ ℚ ∩ [0, 1] et λ_{v} + λ_{v^{⋆}} = 1 pour tout v | p, donc c(π) ∈ C(𝔽). On vérifie facilement que l’application c ainsi définie est Gal(\overline{ℚ}/ℚ)-équivariante.

Dans l’autre sens, on définit d’abord ϖ(ℚ, \frac{1}{2}) comme le germe qui correspond à la classe d’isogénie des courbes elliptiques supersingulières, c’est-à-dire celui qui est représenté par (|k|^{1/2} , k) pour tout k ∈ I. Soit ensuite (F, (λ_{v})) ≠ (ℚ, \frac{1}{2}) un autre élément de C(𝔽). On note ⋆ l’involution canonique de F, F_{0} le sous-corps totalement réel de F fixé par ⋆, 𝔓_{v} l’idéal maximal de O_{F} qui correspond à v | p, et e_{v} l’indice de ramification de F_{v} sur ℚ_{p}, de sorte que (p) = ∏_{v|p} 𝔓_{v}^{e_{v}}. On note également

(1) a ≥ 1 le plus petit dénominateur commun des e_{v}λ_{v} pour v | p,

(2) b ≥ 1 l’ordre de l’idéal I = ∏_{v|p} 𝔓_{v}^{ae_{v}λ_{v}} dans Pic(O_{F}),

(3) c ≥ 1 l’indice de O_{F_{0}}^{×} dans O_{F}^{×}, et

(4) k ∈ I le corps de cardinal q = p^{2abc}.

Par construction, I · I^{⋆} = (p^{a}) et I^{b} = (x) pour un x dans O_{F}, donc xx^{⋆} = up^{ab} pour une unité u dans O_{F_{0}}^{×}. Alors π_{x} = u^{−1}x^{2} est un p^{2ab}-nombre de Weil puisque π_{x} ∈ O_{F} et π_{x}π_{x}^{⋆} = p^{2ab}, et λ_{v} = v(π_{x})/v(p^{2ab}) pour tout v | p puisque

(π_{x}) = I^{2b} = _{∏v|p}𝔓_{v}^{2abe_{v}λ_{v}} et (p^{2ab}) = _{∏v|p}𝔓_{v}^{2abe_{v}}.

Si I^{b} = (y), alors y = vx pour une unité v de O_{F}, donc π_{y} = \frac{v}{v^{⋆}} π_{x} et π_{y}^{c} = π_{x}^{c} puisque v^{c} ∈ O_{F_{0}}^{×}. Donc π_{k} = π_{x}^{c} est un q-nombre de Weil qui est indépendant du choix du générateur x de I^{b}. On note ϖ(F, (λ_{v})) la classe de (π_{k}, k) dans W(𝔽).

On laisse au lecteur le soin de vérifier que l’application ϖ : C(𝔽) → W(𝔽) ainsi définie est Gal(\overline{ℚ}/ℚ)-equivariante. Par ailleurs, avec les notations précédentes, il est clair que c ∘ ϖ(F, (λ_{v})) = (F, (λ_{v})) si et seulement si F = ℚ[π_{k}^{n}] pour tout n ≥ 1. Inversement, supposons que (F, (λ_{v})) = c(ϖ) pour un germe ϖ ∈ W(𝔽) représenté par (ϖ_{k′}, k′) avec k′ ∈ I, ϖ_{k′} ∈ W(k′) et F = ℚ[ϖ_{k′}]. Alors

(ϖ_{k′}) = _{∏v|p}𝔓_{v}^{[k′:𝔽_{p}]e_{v}λ_{v}} puisque (|k′|) = _{∏v|p}𝔓_{v}^{[k′:𝔽_{p}]e_{v}}

donc [k′ : 𝔽_{p}] = abd pour un entier d ≥ 1, puis (ϖ_{k′}) = I^{bd} = (x^{d}) et donc ϖ_{k′}^{2} = νπ_{x}^{d} pour une unité ν ∈ O_{F}^{×} qui est un 1-nombre de Weil, c’est-à-dire une racine de l’unité. On en déduit immédiatement que ϖ(F, (λ_{v})) = ϖ, i.e. ϖ ∘ c = Id.

5.7. Les variétés abéliennes ordinaires. Une variété abélienne A sur un corps de caractéristique p est dite ordinaire si et seulement si toutes les pentes de son polygone de Newton sont entières, i.e. égales à 0 ou 1. C’est donc une notion géométrique, qui se lit sur le groupe p-divisible de A, et qui est stable par isogénie. De plus, si A ∼ ∏ A_{i} alors A est ordinaire si et seulement si tous les A_{i} le sont.

Soit A une variété abélienne simple sur 𝔽, π_{A} son Frobenius, F = ℚ[π_{A}] le centre de D = End_{𝔽}^{0}(A), ⋆ l’involution canonique de F, et λ_{v} = λ_{v}(A) pour toute place v | p de F. Alors A est ordinaire si et seulement si λ_{v} ∈ {0, 1} pour tout v | p. Dans ce cas, inv_{v}(D) = 0 pour toute place finie v de F, donc D = F est un corps CM et 2 dim A = [F : ℚ]. De plus, v ≠ v^{⋆} pour tout v | p puisque λ_{v} + λ_{v^{⋆}} = 1.

Inversement : soit F ⊂ \overline{ℚ} un corps CM, F_{0} le sous-corps totalement réel de F qui est fixé par l’involution canonique ⋆ de F. Supposons que toutes les places v_{0} | p de F_{0} sont décomposés dans F. Choisissons dans l’ensemble des places v | p de F un système de représentants V des orbites de F, et définissons λ_{v} = 1 si v ∈ V et λ_{v} = 0 sinon. Alors ϖ(F, (λ_{v})) ∈ W(𝔽) est un germe ordinaire, i.e. la classe d’isogénie de variétés abéliennes simples qui est déterminée par ce germe est ordinaire.

5.8. Les variétés abéliennes supersingulières. Une variété abélienne A sur un corps de caractéristique p est dite supersingulière si et seulement son polygone de Newton est isocline, i.e. de pente \frac{1}{2}. C’est donc à nouveau une notion géométrique, qui se lit sur le groupe p-divisible de A, et qui est stable par isogénie. Si A ∼ ∏ A_{i}, alors A est supersingulière si et seulement si tous les A_{i} le sont, mais on a maintenant beaucoup mieux.

Theorem. [10] Soit A une variété abélienne de dimension g sur un corps k de caractéristique p. Alors A est supersingulière si et seulement si A×_{k} \overline{k} est isogène à E^{g}, où \overline{k} est une cloture algébrique de k et E une courbe elliptique supersingulière.

Démonstration. Le lemme 4.5 de [10] ramène la démonstration de ce théorème au cas des corps finis, qui résulte facilement de la théorie de Honda-Tate. Soit en effet A une variété abélienne simple sur 𝔽, π_{A} son Frobenius, F = ℚ[π_{A}] et (π_{k}, k) un représentant de π_{A} avec k ∈ I et F = ℚ[π_{k}]. Alors A est supersingulière si et seulement si λ_{v}(π_{A}) = v(π_{k})/v(|k|) = \frac{1}{2} pour tout v | p. Dans ce cas, O_{F} π_{k}^{2} = O_{F} |k|, donc π_{k}^{2} = u |k| pour une unité u de O_{F} qui est aussi un 1-nombre de Weil, c’est-à-dire une racine de l’unité. Mais alors π_{k}^{2n} = |k|^{n} pour n ≫ 0, donc F = ℚ, λ_{p} = \frac{1}{2}, et A est une courbe elliptique supersingulière. □

5.9. La conjecture de Manin. Puisque toute variété abélienne A admet une polarisation, elle est en particulier isogène à son dual A^{t}. Si A est une variété abélienne sur un corps parfait k de caractéristique p, les modules de Dieudonné de A et A^{t} sont donc isogènes. En particulier, ils ont le même polygone de Newton. Puisque la dualité échange les pentes μ et 1 − μ, on en déduit que ce polygone est symétrique. Inversement, Manin a conjecturé dans [7] que tout polygone de Newton symétrique provenait d’une variété abélienne. La théorie de Honda-Tate fournit une démonstration très élémentaire de cette conjecture.

On sait déjà comment obtenir les segments de pentes \frac{1}{2} : avec des courbes elliptiques supersingulières. Pour le reste, il suffit de construire, pour tout couple d’entier (r, s) ≠ (0, 0) avec r < s et pgcd(r, s) = 1, une variété abélienne simple A sur 𝔽, de dimension r + s et de pentes \{\frac{r}{r+s}, \frac{s}{r+s}\}. On peut imposer au centre de D = End_{𝔽}^{0}(A) d’être une extension quadratique imaginaire donnée F de ℚ, à condition que p soit décomposé dans F (puisqu’il nous faut deux pentes). Il suffit alors de choisir A dans la classe d’isogénie qui est déterminée par ω(F, (λ_{v})) où

\{λ_{v} : v | p\} = \{\frac{r}{r + s}, \frac{s}{r + s}\} = \{inv_{v}(D) : v | p\} .

Puisque pgcd(r, s) = 1, on a bien r + s = [D : F]^{1/2} = dim(A).

On peut aussi se donner un nombre de Weil π qui a les bonnes pentes, en spécifiant son polynôme minimal P. Soit par exemple π une racine de

P = X^{2} + p^{r}X + p^{r+s} ∈ ℤ[X].

Alors π est un p^{r+s}-nombre de Weil qui engendre une extension quadratique imaginaire F = ℚ[π] de ℚ. Le polygone de Newton du polynôme P ∈ ℤ_{p}[X] a pour pentes r et s > r, donc p est décomposé dans F et

\{\frac{v(π)}{v(p^{r+s})} : v | p\} = \{\frac{r}{r + s}, \frac{s}{r + s}\} .

On conclut comme ci-dessus que toute variété abélienne A sur 𝔽_{p^{r+s}} de Frobenius conjugué à π est de dimension r + s, avec les pentes recherchées.

Deuxième partie 2. Les relèvements CM

6. Le théorème de Zink

6.1. Enoncé.

6.2. Construction d’un corps CM.

6.2.1. Préliminaires. Soit (B, ⋆) une ℚ-algèbre semi-simple à involution positive. On note E = E(B, ⋆) l’ensemble des sous-algèbres de B qui sont commutatives et stables sous ⋆. Tout élément E de E est une ℚ-algèbre commutative de dimension finie qui admet une involution positive, c’est donc un produit de corps totalement réels et de corps CM. On note E^{CM} l’ensemble des éléments de E qui sont des ℚ-algèbres CM, i.e. ceux qui n’ont aucune composante totalement réelle. On note E_{max} ≠ ∅ l’ensemble des élements maximaux de E, et E_{max}^{CM} = E^{CM} ∩ E_{max}. Pour tout E ∈ E, le commutant E′ de E dans B est encore stable sous ⋆. Si x appartient à l’un des sous-espaces propres E′_{±} de ⋆ agissant sur E′, l’algèbre E(x) engendré par E et x dans B est commutative et stable sous ⋆, donc E(x) ∈ E. Si E ∈ E_{max}, on a donc E(x) = E pour tout x ∈ E′_{±}, donc E′ = E′_{+} ⊕ E′_{−} ⊂ E, et E′ = E est une sous-algèbre commutative maximale de B. Si (B, ⋆) = ∏(B_{i}, ⋆_{i}), l’application

∏ E(B_{i}, ⋆_{i}) → E(B, ⋆) (E_{i}) ↦ ∏ E_{i}

n’est en général pas surjective, mais elle induit des bijections

∏ E_{max}(B_{i}, ⋆_{i}) ≃ E_{max}(B, ⋆) et ∏ E_{max}^{CM}(B_{i}, ⋆_{i}) ≃ E_{max}^{CM}(B, ⋆).

Supposons donc que (B, ⋆) est simple de centre F. Si l’involution est de seconde espèce, F est un corps CM qui est contenu dans chaque élément de E_{max}, donc E_{max} = E_{max}^{CM} ≠ ∅. Examinons les autres cas, où F est totalement réel :

C1. (B, ⋆) ≃ (End_{F} (V), ⋆_{φ}) avec 0 ≠ (V, φ) ∈ Q_{≫}(F). Si E ∈ E_{max}^{CM}, alors E = ∏ E_{i} où chacun des E_{i} est une extension CM de F, donc

dim_{F} V = [E : F] = ∑[E_{i} : F] ≡ 0 mod 2.

Inversement, supposons que 2 | dim_{F} V et écomposons arbitrairement (V, φ) en somme directe orthogonale de F -plans : (V, φ) = ⊥(V_{i}, φ_{i}) où dim_{F} V_{i} = 2. On sait alors que (V_{i}, φ_{i}) est le F -espace quadratique sous-jacent d’une E_{i}-droite hermitienne (W_{i}, ψ_{i}) (essentiellement unique), où E_{i} = F (\sqrt{δ_{i}}) est l’extension quadratique de F déterminée par le discriminant δ_{i} ∈ F^{×}/(F^{×})^{2} de (V_{i}, φ_{i}). Puisque (V_{i}, φ_{i}) ≫ 0, δ_{i} ≪ 0 et E_{i} est une extension CM de F. De plus, E_{i} ⊂ End_{F} (V_{i}) est stable sous l’involution ⋆_{φ_{i}}, donc E = ∏ E_{i} appartient à E_{max}^{CM}. On a ainsi démontré que E_{max}^{CM} ≠ ∅ si et seulement si 2 | dim_{F} V.

C2. (B, ⋆) ≃ (End_{D}(V), ⋆_{φ}) avec 0 ≠ (V, φ) ∈ A_{≫}(D) pour un corps de quaternion totalement indéfini D sur F. Décomposons arbitrairement (V, φ) = ⊥(V_{i}, φ_{i}) en somme directe orthogonale de D-droites. Alors (V_{i}, φ_{i}) ≃ (D, \overline{x}d_{i}y) avec d_{i} ∈ D^{×}, tr(d_{i}) = 0 et nr(d_{i}) ≫ 0. Donc E_{i} = F (d_{i}) ⊂ D = End_{D}(V_{i}) est une extension CM de F qui est stable sous ⋆_{φ_{i}} , et E = ∏ E_{i} appartient à E_{max}^{CM} ≠ ∅.

C3. (B, ⋆) ≃ (End_{D}(V), ⋆_{φ}) avec 0 ≠ (V, φ) ∈ Q_{≫}(D) pour un corps de quaternion totalement défini D sur F. Si E ∈ E_{max}, alors E = ∏ E_{i} où chacun des E_{i} est une extension de F qui décompose D et n’admet donc pas de plongement réel. Par conséquent E_{max}^{CM} = E_{max} ≠ ∅.

6.2.2. Multiplication complexe. Soient (A, λ) une variété abélienne polarisée sur k, (C, ⋆) = (End^{0}A, ⋆_{λ}) l’algèbre à involution qui s’en déduit, (B, ⋆) ⊂ (C, ⋆) une sous-algèbre semi-simple stable, et (B′, ⋆) ⊂ (C, ⋆) le commutant de B dans C, i.e. B′ = End_{B}^{0}(A), muni de l’involution positive induite par celle de C. On note E = E(B′, ⋆), et l’on cherche à déterminer les conditions qui garantissent que E_{max}^{CM} ≠ ∅.

Example 59. Donnons d’abord quelques contre-exemples.

(1) Soit A une courbe elliptique supersingulière sur k = 𝔽_{p^{2n}}. Alors C est le corps de quaternion sur ℚ tel que Ram(C) = {p, ∞}. Si B = C, on a B′ = ℚ et E = {ℚ} ne contient pas de ℚ-algèbre CM.

(2) Soient A = A_{+} ×A_{−} le produit de deux courbes elliptiques supersingulières non-isogènes sur k = 𝔽_{p^{2n}}. Alors C = D×D où D est le corps de quaternion sur ℚ décrit précédemment. Si B = D plongé diagonalement, alors B′ = ℚ × ℚ avec l’involution triviale, et E_{max} = {ℚ × ℚ} ne contient pas de ℚ-algèbre CM. Mais si l’on passe à une extension quadratique k′ de k sans changer B, les deux courbes deviennent isogènes, C s’agrandit en M_{2}(D), et B′ en M_{2}(ℚ), dans lequel on peut plonger toutes les ℚ-algèbres semi-simples de dimension 2, et en particulier tous les corps quadratiques imaginaires.

(3) Soit A une surface elliptique supersingulière sur k = 𝔽_{p^{n}} avec n impair. Alors C est le corps de quaternion sur ℚ(\sqrt{p}) tel que Ram(C) = \{∞_{1}, ∞_{2}\}. Soit B une algèbre de quaternion sur ℚ telle que B ⊗ ℚ(\sqrt{p}) ≃ C, et (B, ⋆) ⊂ (C, ⋆) le plongement déduit du choix d’un tel isomorphisme. Alors B′ = ℚ(\sqrt{p}), et E_{max} = \{ℚ(\sqrt{p})\} ne contient pas de ℚ-algèbre CM. Mais si l’on passe à une extension quadratique k′ de k sans changer B, A se décompose en produit de deux courbes elliptiques isogènes, C s’agrandit en M_{2}(D) où D est maintenant le corps de quaternion sur ℚ décrit en (1), et B′ devient l’algèbre de quaternion telle que B⊗D ≃ M_{2}(B′), qui à nouveau contient de nombreux corps CM.

Revenons maintenant à notre question de départ, en supposant pour commencer que B est simple de centre F. Puisque tout élément de E_{max} contient F, on peut tout de suite supposer que F est un corps totalement réel, donc B ≃ M_{b}(B_{0}) avec (C1) B_{0} = F, ou (C2) B_{0} est un corps de quaternion totalement indéfini sur F, ou (C3) B_{0} est un corps de quaternion totalement défini sur F.

Décomposons (C, ⋆) = ∏(C_{i}, ⋆_{i}) en composantes simples, ce qui revient à décomposer A ∼ ∏ A_{i} en composantes isotypiques, i.e. A_{i} ∼ A_{i,0}^{c_{i}} où les A_{i,0} sont des variétés abéliennes simples sur k qui sont deux à deux non-isogènes. On a donc C_{i} ≃ M_{c_{i}}(C_{i,0}) où C_{i,0} = End_{k}^{0}(A_{i,0}), et (B′, ⋆) = ∏(B′_{i}, ⋆_{i}) où B′_{i} est le commutant de l’image de B dans C_{i}. En particulier,

E_{max}^{CM}(B′, ⋆) ≠ ∅ ⟺ ∀i : E_{max}^{CM}(B′_{i}, ⋆_{i}) ≠ ∅.

Si le centre F_{i} = Z(C_{i}) = Z(C_{i,0}) est un corps CM, E_{max}^{CM}(B′_{i}) = E_{max}(B′_{i}) ≠ ∅. Si en revanche F_{i} est un corps totalement réel, la classification des variétés abéliennes simples sur k = 𝔽_{p^{n}} impose de sévères restrictions :

– Si n ≡ 0 mod 2, A_{i,0} est une courbe elliptique supersingulière, et C_{i,0} est le corps de quaternion C_{1} sur F_{i} = ℚ tel que Ram(C_{1}) = {p, ∞},

– Si n ≡ 1 mod 2, A_{i,0} est une surface elliptique supersingulière, et C_{i,0} est le corps de quaternion C_{2} sur F_{i} = ℚ(\sqrt{p}) tel que Ram(C_{2}) = \{∞_{1}, ∞_{2}\}.

Le cas pair. Supposons d’abord que n ≡ 0 mod 2. Alors

B ⊗ C_{i}^{opp} ≃ M_{bc_{i}}(B_{0} ⊗ C_{1}) ≃ M_{bc_{i}d_{i}}(D_{i}) où B_{0} ⊗ C_{1} ≃ M_{d_{i}}(D_{i})

pour un corps D_{i} de centre F. Si C_{i} ≃ (D_{i}^{bc_{i}d_{i}})^{e_{i}} comme B ⊗ C_{i}^{opp}-module,

B′_{i} = End_{B⊗C_{i}^{opp}}(C_{i}) ≃ M_{e_{i}}(D_{i}).

Dans les cas (C1) et (C2) pour B_{0}, on vérifie facilement que D_{i} est un corps de quaternion totalement défini sur F, donc E_{max}^{CM}(B′_{i}) = E_{max}(B′_{i}) ≠ ∅. Dans le cas (C3) pour B_{0}, il convient de distinguer encore deux situations. Si B_{0} n’est pas isomorphe à C_{1} ⊗ F, D_{i} est un corps de quaternion totalement indéfini sur F, et l’on sait à nouveau qu’alors E_{max}(B′_{i}) ≠ ∅. Si en revanche B_{0} est isomorphe à C_{1} ⊗ F, alors d_{i} = 4, D_{i} ≃ F et E_{max}^{CM}(B′_{i}) ≠ ∅ si et seulement si 2 | e_{i}. Puisque

4c_{i}^{2} = [C_{i} : ℚ] = 4bc_{i}e_{i}[F : ℚ]

on voit que 2 | e_{i} si et seulement si 2b[F : ℚ] divise c_{i} = dim A_{i}.

Supposons donc que B ≃ M_{b}(C_{1} ⊗ F), et soit I = {i : C_{i,0} ≃ C_{1}} l’ensemble des indices problématiques, i.e. ceux qui correspondent à des classes d’isogénies de courbes elliptiques supersingulières A_{i,0} (donc |I| = 0, 1 ou 2). Pour i ∉ I, on vient de voir que E_{max}^{CM}(B′_{i}, ⋆_{i}) ≠ ∅. Choisissons donc E_{i} ∈ E_{max}^{CM}(B′_{i}, ⋆_{i}), et fixons également E ∈ E_{max}(B). Alors E⊗_{F} E_{i} est une sous-algèbre commutative maximale de C_{i} = End^{0}(A_{i}) d’après ***, donc [E ⊗_{F} E_{i} : ℚ] = 2 dim A_{i} d’après ***. Mais [E ⊗_{F} E_{i} : ℚ] = [E : ℚ][E_{i} : F] avec [E : ℚ] = 2b[F : ℚ] et 2 | [E_{i} : F] (puisque E_{i} est une ℚ-algèbre CM), donc 2b[F : ℚ] divise dim A_{i}. Si l’on sait donc à priori que 2b[F : ℚ] divise dim A, alors 2b[F : ℚ] divise aussi ∑_{i∈I} c_{i}. Si |I| = 0 ou 1, on a donc bien E_{max}^{CM}(B′) ≠ ∅. Si en revanche I = {i_{1}, i_{2}}, comme dans le contre-exemple *** ci-dessus, E_{max}^{CM}(B′) ≠ ∅. Mais en passant à l’extension quadratique k′ = 𝔽_{p^{2n}} de k = 𝔽_{p^{n}}, les deux courbes elliptiques A_{i_{1},0} et A_{i_{2},0} deviennent isogènes, et aparaissent dans A ×_{k} k′ avec une multiplicité c = c_{i_{1}} + c_{i_{2}} que divise 2b[F : ℚ]. Pour le commutant B” ⊃ B′ de B dans End_{k′}^{0}(A ×_{k} k′), on a donc bien E_{max}^{CM}(B”) ≠ ∅.

Le cas impair. Supposons maintenant que n ≡ 0 mod 2, et concentrons nous à nouveau sur un indice i (il y en a maintenant au plus un) pour lequel A_{i,0} est une surface elliptique supersingulière, et C_{i,0} ≃ C_{2} sur F_{i} = ℚ(\sqrt{p}). Pour les applications que l’on a en vu, où B et F sont non ramifiés en p, on peut supposer que \sqrt{p} ∉ F. On a alors

B ⊗ C_{i}^{opp} ≃ M_{bc_{i}}(B_{0} ⊗ C_{2}) ≃ M_{bc_{i}d_{i}}(D_{i}) où B_{0} ⊗ C_{2} ≃ M_{d_{i}}(D_{i})

pour un corps D_{i} de centre F′ = F (\sqrt{p}). Si C_{i} = (D_{i}^{bc_{i}d_{i}})^{e_{i}} comme B ⊗ C_{i}^{opp}- module, alors

B′_{i} = End_{B⊗C_{i}^{opp}}(C_{i}) ≃ M_{e_{i}}(D_{i}).

Comme précédement, le seul cas qui pose problème est celui où D_{i} = F′ (où d_{i} = 4), c’est à dire lorsque B_{0} ⊗_{F} F′ ≃ C_{2} ⊗_{ℚ(\sqrt{p})} F′. Puisque

8c_{i}^{2} = [C_{i} : ℚ] = 8bc_{i}e_{i}[F : ℚ]

on voit que E_{max}^{CM}(B′_{i}) ≠ ∅ si et seulement si 2b[F : ℚ] divise c_{i}. Si l’on sait à priori que 2b[F : ℚ] divise dim A, le même argument que ci-dessus montre seulement que 2b[F : ℚ] divise dim A_{i} = 2c_{i}, et l’on peut rencontre des cas d’égalité, comme dans le contre-exemple *** ci-dessus. Mais en passant à l’extension quadratique k′ = 𝔽_{p^{2n}} de k = 𝔽_{p^{n}}, la variété abélienne A_{i} devient isogène au produit de 2c_{i} copies d’une meme courbe elliptique supersingulière, donc E_{max}^{CM}(B”) ≠ ∅ pour le commutant B” ⊃ B′ de B dans End_{k′}^{0}(A ×_{k} k′).

Nous avons donc démontré le résultat suivant...

6.2.3. Preuve.

6.3. Construction d’un type CM.

Proposition 60. Il existe un type CM Φ ∐ Φι = Hom_{ℚ}(E, \overline{ℚ}) tel que

∀w, ρ : |Φ_{w}| = dim A[w] et |Φ_{ρ}| = n_{ρ}.

Soit H = Hom_{ℚ−alg}(E, \overline{ℚ}). On note H_{w,ρ} l’ensemble des éléments E → \overline{ℚ} de H qui induisent la place w de E et le plongement ρ de F. Cet ensemble est non-vide si et seulement si w et ρ induisent la même place v de F, et alors |H_{w,ρ}| = [E_{w} : F_{v}]. Soit I l’ensemble de ces indices (w, ρ). Pour tout type CM Φ ⊂ H vérifiant les conditions de l’énoncé, les entiers n_{w,ρ} = |Φ ∩ H_{w,ρ}| vérifient donc les relations suivantes : pour (w, ρ) ∈ I sur v,

n_{w,ρ} + n_{\overline{w},\overline{ρ}} = [E_{w} : F_{v}], ∑_{ρ|v} n_{w,ρ} = dim A[w] et ∑_{w|v} n_{w,ρ} = n_{ρ}.

Inversement, supposons donné une telle collection d’entiers. Choisissons dans I un ensemble J de représentants des orbites de l’involution (w, ρ) ↦ (\overline{w}, \overline{ρ}), et choisissons également pour chaque (w, ρ) dans J un sous-ensemble Φ_{w,ρ} de H_{w,ρ} tel que |Φ_{w,ρ}| = n_{w,ρ}. Pour (w, ρ) ∉ I − J, on pose Φ_{w,ρ} = H_{w,ρ} − Φ_{\overline{w},\overline{ρ}} ∘ ι, de sorte qu’à nouveau |Φ_{w,ρ}| = n_{w,ρ}. Alors Φ = ∐_{I} Φ_{w,ρ} est un type CM qui vérifie évidemment les conditions de l’énoncé.

Il reste à construire une solution du système d’équation ***. Soit M_{w} le module de Dieudonné de A[w]. C’est un W (k)-module libre de rang 2 dim A[w] = [E_{w} : ℚ_{p}] sur lequel O_{E,w} agit. Quitte à élargir k, on peut découper M_{w} en sous-espaces caractéristiques pour la restriction de cette action à O_{F,v} : M_{w} = ⊕_{ρ|v}M_{w,ρ} où

M_{w,ρ} = {m ∈ M_{w}|∀x ∈ O_{F,v} : x · m = ρ(x) · m} .

On a alors F : M_{w,ρ} ↔ M_{w,σρ} : V. On en déduit facilement que chacun des M_{w,ρ} est libre de rang [E_{w} : F_{v}] sur W (k), et d’autre part que

M_{w}/V M_{w} = ⊕_{ρ|v}M_{w,ρ}/V M_{w,σρ}.

On pose n_{w,ρ} = dim_{k} M_{w,ρ}/V M_{w,σρ}. On a donc par construction

∑_{ρ|v} n_{w,ρ} = dim_{k} M_{w}/V M_{w} = dim A[w] et ∑_{w|v} n_{w,ρ} = n_{ρ}

D’autre part la dualité entre A[w] et A[\overline{w}] induit un accouplement parfait

⟨·, ·⟩_{w} : M_{w} × M\overline{w} → W (k)

tel que ψ(F x, F y) = pσψ(x, y). On en déduit un accouplement parfait induit

⟨·, ·⟩_{w,ρ} : M_{w,ρ} × M_{\overline{w},\overline{ρ}} → W (k).

Puisque σψ(V x, y) = ψ(x, F y), on obtient encore un accouplement parfait

⟨·, ·⟩_{w,ρ} : M_{w,ρ}/V M_{w,σρ} × p^{−1}V M_{\overline{w},σ\overline{ρ}}/M_{\overline{w},\overline{ρ}} → k

d’où l’on tire immédiatement que n_{w,ρ} +n_{\overline{w},\overline{ρ}} = [E_{w} : F_{v}], ce qu’il fallait démontrer.

6.4. Conclusion.

7. Suite

[Pour la suite, il faut savoir ce que l’on veut faire, et il faut avoir des notations stabilisés pour le problème de module...]

Références

[1] Deligne, Conjecture de Weil.

[2] de Jong, A. J. Homomorphisms of Barsotti-Tate groups and crystals in positive characteristic. Invent. Math. 134 (1998), no. 2, 301–333.

[3] Faltings

[4] Honda, ***, J. Math. Soc. Japan 20, 1968.

[5] Gonzalez, On the $p$p-rank of an abelian variety and its endomorphism algebra.

[6] Grothendieck, EGA IV

[7] Manin, the theory of Commutative Formal Groups

[8] J.S. Milne et W.C. Waterhouse, Abelian Varieties over Finite Fields.

[9] D. Mumford, Abelian Varieties.

[10] Oort, 1974

[11] J. Tate, Endomorphisms of Abelian Varieties over Finite Fields, Inventiones n°2.

[12] J. Tate, ***, Séminaire Bourbaki n°352, 1968-1969.