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NON-TRIVIALITÉ DES POINTS DE HEEGNER NON-TRIVIALITY OF HEEGNER POINTS THÉORIE DES NOMBRES/ NUMBER THEORY

CHRISTOPHE CORNUT

Résumé. Nous donnons ici une nouvelle preuve d’une conjecture de B. Mazur sur la non-trivialité des points de Heegner, en substituant au théorème de M. Ratner qui constituait l’ingrédient principal de notre première preuve [1] un cas démontré de la conjecture d’André-Oort. Conceptuellement plus simple, cette nouvelle approche ne permet toutefois pas de retrouver les renseignements plus fins précédemment obtenus.

We give here a second proof of Mazur’s conjecture on higher Heegner points, using a proven case of the André-Oort conjecture as a substitute for the main ingredient of our first proof [1], a theorem of M. Ratner.

1. Soit 𝔼_{/ℚ} une courbe elliptique de conducteur N, π : X_{0}(N) → 𝔼 une paramétrisation modulaire, K un corps quadratique imaginaire dans lequel tous les facteurs premiers de N sont décomposés. Soit N un idéal de O_{K} tel que O_{K}/N ≃ ℤ/Nℤ. Pour tout entier positif c, on note O_{c} = ℤ + cO_{K} l’ordre de conducteur c de K. Lorsque c est premier à N, N_{c} = N ∩ O_{c} est un idéal inversible de O_{c} et l’isogénie ℂ/O_{c} → ℂ/N_{c}^{−1} est cyclique de degré N. Le point correspondant de X_{0}(N) est un point de Heegner, dont la théorie de la multiplication complexe montre qu’il est défini sur K[c], le corps d’ordre de conducteur c de K.

2. Soit p ∤ N un nombre premier et, pour n ≥ 0, x_{n} = [ℂ/O_{p^{n}} → ℂ/N_{p^{n}}^{−1}] ∈ X_{0}(N)(K[p^{n}]). Le corps K[p^{∞}] = ∪_{n≥0}K[p^{n}] est une extension finie de la ℤ_{p}-extension anticyclotomique H_{∞} de K. Posant G_{0} = Gal(K[p^{∞}]/H_{∞}), le résultat dont nous allons donner une nouvelle preuve stipule que :

Théorème. Pour presque tout n ≥ 0, tr_{G_{0}}(π(x_{n})) est d’ordre infini dans 𝔼(H_{∞}).

Comme 𝔼(H_{∞})_{tors} est fini (cf. [1, Lemma 4.1]), il suffit de montrer que l’application suivante a des fibres finies :

(1)  \begin{matrix}ℕ & → & X_{0}(N)^{G_{0}} & ⟶^{π} & 𝔼^{G_{0}} & \underrightarrow{∑} & 𝔼 \\ n & ↦ & (σ · x_{n})_{σ∈G_{0}} & ⟼ & (σ · π(x_{n}))_{σ∈G_{0}} & ⟼ & tr_{G_{0}}(π(x_{n})) \end{matrix}

Je remercie Franz Oort, qui le premier m’a indiqué la pertinence de sa conjecture dans le cadre de celle de B.

Mazur.

3. Soient q_{1}, …, q_{g} les nombres premiers ramifiés dans K qui sont distinct de p et Q_{1}, …, Q_{g} les idéaux premiers correspondants de O_{K}. Les Frobénius des Q_{i} dans Gal(K[p^{∞}]/K), qui sont d’ordre 2, engendrent un sous-groupe G_{1} de G_{0} = Gal(K[p^{∞}]/K)_{tors} dont ils forment une 𝔽_{2}-base. Soient N′ = Nq_{1} ⋯ q_{g}, N′ = N Q_{1} ⋯ Q_{g} et pour n ≥ 0, x′_{n} = [ℂ/O_{p^{n}} → ℂ/N′_{p^{n}}^{−1}] ∈ X_{0}(N′)(K[p^{n}]). Les 2^{g} conjugués de x_{n} sous l’action de G_{1} sont précisément les images de x_{n′} par les 2^{g} applications de dégénerescence X_{0}(N′) → X_{0}(N). Notant D : X_{0}(N′) → X_{0}(N)^{G_{1}} le produit de ces applications, on définit une nouvelle paramétrisation π′ de 𝔼 par le diagramme commutatif suivant :

X_{0}(N)^{G_{1}}  ⟶^{π} 𝔼^{G_{1}}
D ↑  ↓ ∑
X_{0}(N′) ⟶^{π′} 𝔼

Par construction, π′(x′_{n}) = tr_{G_{1}}(π(x_{n})) de sorte que si R ⊂ G_{0} est un système de représentant de G_{0}/G_{1}, l’application (1) se réécrit :

(2)  \begin{matrix}ℕ & ⟶^{Δ} & X_{0}(N′)^{R} & ⟶^{π′} & 𝔼^{R} & \underrightarrow{∑} & 𝔼 \\ n & ⟼ & Δ(n) = (σ · x′_{n})_{σ} & ⟼ & (σ · π′(x′_{n}))_{σ} & ⟼ & tr_{G_{0}}(π(x_{n})) \end{matrix}

4. La stratégie adoptée dans [1] consistait à étudier la réduction de cette application en des places judicieusement choisies de K[p^{∞}]. Ici, nous allons démontrer que si 𝕀 est une partie infinie de ℕ, Δ(𝕀) ⊂ X_{0}(N′)^{R}(ℂ) est dense pour la topologie de Zariski. Comme les deux dernières flèches de (2) sont dominantes, cela implique bien que les fibres de (1) sont finies, d’où le théorème.

5. Soit donc Z une composante irréductible de l’adhérence de Δ(𝕀), dont on peut supposer qu’elle contient une infinité des points de Δ(𝕀). La conjecture d’André-Oort, démontrée dans le cas qui nous intéresse (cf. [4], [2] ou [3])^{1}, fournit sur Z les informations suivantes : il existe une partition R = R_{1} ⨿ ⋯ ⨿ R_{h}, des sous-variétés Z_{1} ⊂ X_{0}(N′)^{R_{1}}, …, Z_{h} ⊂ X_{0}(N′)^{R_{h}} et des éléments β_{σ} ∈ GL^{+}(2, ℚ) pour σ ∈ R tels que Z = Z_{1} × ⋯ × Z_{h} et Z_{i} est l’image de

H^{∗} → (Γ_{0}(N′) \ H^{∗})^{R_{i}} ≃ X_{0}(N′)^{R_{i}}(ℂ)
τ ↦ ([β_{σ} · τ])_{σ∈R_{i}}

où H^{∗} = {z ∈ ℂ | im(z) > 0} ∪ ℙ^{1}(ℚ). On veut montrer que Z = X_{0}(N′)^{R}, c’est-à-dire que la partition ci-dessus est triviale (h = |R|).

6. En définitive, on est ramené à établir la propriété suivante : si deux éléments σ_{1} et σ_{2} de G_{0} sont tels qu’il existe β ∈ GL^{+}(2, ℚ) pour lequel il existe une infinité de n ≥ 0 vérifiant

(σ_{1} · x′_{n}, σ_{2} · x′_{n}) ∈ {([τ], [β · τ]) | τ ∈ H^{∗}} ,

alors σ_{1} ≡ σ_{2} mod G_{1} (avec les notations de 5, β = β_{σ_{1}}^{−1}β_{σ_{2}}).

1La proposition 3.7 et le théorème 4.5 de [4] (ainsi que le théorème 1.2 et la remarque 7.3.2 de [3]) montrent que Z est une sous-variété de type Hodge de X_{0}(N′)^{R}. Le résultat ici mentionné résulte alors de la description explicite de ces sous-variétés dans [2].

NON-TRIVIALITÉ DES POINTS DE HEEGNERNON-TRIVIALITY OF HEEGNER POINTSTHÉORIE DES NOMBRES/ NUMBER THEORY3

Or, quitte à multiplier β par un élément de ℚ^{∗}, on peut supposer que

β = ( \begin{matrix}x & y \\ z & t \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ℤ) avec pgcd(x, y, z, t) = 1.

Si d = det β, les courbes elliptiques d’invariants j(τ) et j(βτ) sont alors liées par une isogénie cyclique de degré d. Notant E_{n} une courbe elliptique définie sur K[p^{∞}] qui, munie d’une structure de niveau ad-hoc, définit le point x′_{n}, notre hypothèse implique donc que pour une infinité de n ≥ 0, il existe une isogénie cyclique de degré d entre E_{n}^{σ_{1}} et E_{n}^{σ_{2}}.

7. D’après l’appendice, dont on reprend les notations, une telle isogénie se décompose selon le schéma (p^{n} → p^{n−a_{n}} ⟶^{M(n)} p^{n−a_{n}} → p^{n}) où M(n) est un idéal de O_{K} tel que O_{K}/M(n) soit cyclique d’ordre d/p^{2a_{n}}, premier à p^{n−a_{n}}. En particulier, a_{n} = a = v_{p}(d)/2 pour n ≫ 0 et les idéaux M(n) décrivant un ensemble fini lorsque n varie, on peut supposer que M(n) = M est constant. Pour une infinité de n, on obtient donc un diagramme

\begin{matrix}E_{n}^{σ_{1}} & ⟶^{d} & E_{n}^{σ_{2}} \\ p^{a} ↓ & & ↓ p^{a} \\ E_{n}^{(1)} & ⟶^{d′} & E_{n}^{(2)} \end{matrix} avec \{ \begin{matrix}E_{n}^{(1)} & ≃ & (E_{n}^{σ_{1}})^{O_{p^{n−a}}} ≃ (E_{n}^{O_{p^{n−a}}})^{σ_{1}} \\ E_{n}^{(2)} & ≃ & (E_{n}^{σ_{2}})^{O_{p^{n−a}}} ≃ (E_{n}^{O_{p^{n−a}}})^{σ_{2}} \\ & ≃ & (E_{n}^{(1)})^{M_{p^{n}}} \end{matrix}

où d′ = d/p^{2a} et M_{p^{n}} = M ∩ O_{p^{n}}. Si σ est l’élément de Gal(K[p^{∞}]/K) associé à M par la théorie du corps de classe, la théorie de la multiplication complexe montre alors que σσ_{1} = σ_{2} sur K[p^{n−a}]. Ceci étant valable pour une infinité de n, σ = σ_{2}σ_{1}^{−1} dans Gal(K[p^{∞}]/K).

8. En particulier, σ est d’ordre fini, disons r. Cela signifie que l’idéal M^{r} de O_{K} est principal, engendré par un élément de ⋂_{n≥0} O_{p^{n}} = ℤ. Pour tout idéal premier Q de O_{K} divisant M, l’idéal conjugué \overline{Q} divise donc également M. Comme O_{K}/M est cyclique, on en déduit facilement que M est produit d’idéaux premiers ramifiés dans K/ℚ, donc que σ = σ_{2}σ_{1}^{−1} ∈ G_{1}, ce qu’il fallait démontrer.

Appendice

Nous allons ici décrire une factorisation canonique des isogénies cycliques entre courbes elliptiques à multiplication complexe par K.

9. Au vu de la théorie analytique des courbes elliptiques, cela revient à étudier les réseaux de K compris entre deux réseaux a ⊂ b tel que le groupe b/a soit cyclique, disons d’ordre d. On notera cela : a ⊂_{d} b.

Soit c_{1} et c_{2} les conducteurs des ordres de a et b, c′_{1} et c′_{2} les plus petits entiers c ≥ 1 (pour l’ordre naturel ou la divisibilité, cela revient au même) tels que O_{c}a ⊂ b (resp. O_{c}b ⊂ d^{−1}a). Comme O_{c_{1}}a = a ⊂ b et O_{c_{2}}a ⊂ O_{c_{2}}b = b, c′_{1} divise c_{1} et c_{2}. De même c′_{2} divise c_{1} et c_{2}. Posons c_{1} = d_{1}c′_{1} et c_{2} = d_{2}c′_{2}, de sorte que

a ⊂_{d_{1}} O_{c′_{1}}a ⊂_{d/d_{1}} b et b ⊂_{d_{2}} O_{c′_{2}}b ⊂_{d/d_{2}} d^{−1}a.

Il en résulte que

b ⊂_{d/d_{1}} (d/d_{1})^{−1}O_{c′_{1}}a ⊂_{d_{1}} d^{−1}a et a ⊂_{d/d_{2}} d_{2}O_{c′_{2}}b ⊂ b.

En particulier, O_{c′_{1}}b ⊂ d^{−1}a et O_{c′_{2}}a ⊂ b, donc c′_{1} = c′_{2} = c, et avec d′ = d/d_{1}d_{2},

a ⊂_{d_{1}} O_{c}a ⊂_{d′} d_{2}O_{c}b ⊂_{d_{2}} b.

Soit enfin q un nombre premier. Si q divise c, il existe un unique réseau O_{c}-stable contenant O_{c}a avec un indice q, et ce réseau est O_{c/q}a. Si q divise d′, q^{−1}O_{c}a ∩ d_{2}O_{c}b est un tel réseau, de plus contenu dans b. La définition de c montre alors que q ne peut pas diviser à la fois c et d′, qui sont donc relativement premiers. Posant M = O_{K}(d_{2}b)^{−1}a, on a alors : M ⊂_{d′} O_{K}, M_{c} = M ∩ O_{c} est O_{c}-inversible et d_{2}O_{c}b = M_{c}^{−1}O_{c}a.

10. Pour décrire commodément le résultat ainsi obtenu en termes de courbes elliptiques, introduisons le formalisme suivant : si E_{/ℂ} est une courbe elliptique à multiplication complexe par O_{f} et M un O_{f}-module, on note E^{M} le ℂ-préfaisceau en groupe abélien défini par E^{M}(S) = Hom_{O_{f}} (M, E(S)) pour tout ℂ-schéma S. C’est un schéma en groupe propre lorsque M est de type fini, et une courbe elliptique lorsque M est un réseau de K.

11. Avec ces conventions, on a démontré :

Lemme. Toute isogénie cyclique E_{1} → E_{2} de courbes elliptiques à multiplication complexe par K se factorise de la manière suivante (avec les degrés indiqués) :

\begin{matrix}E_{1} & ⟶^{d} & E_{2} \\ d_{1} ↓ & & ↑ d_{2} \\ E_{1}^{O_{c}} & ⟶^{d′} & E_{1}^{M_{c}} ≃ E_{2}^{d_{2}O_{c}} \end{matrix} avec \{ \begin{matrix}d = d_{1}d_{2}d′ \\ c = c_{1}/d_{1} = c_{2}/d_{2} \\ pgcd(c, d′) = 1 \end{matrix}

où c_{1} et c_{2} sont les conducteurs des ordres End(E_{1}) et End(E_{2}) et M_{c} = M ∩ O_{c} pour un idéal M ⊂_{d′} O_{K}.

Pour dénoter les principaux invariants associés à cette décomposition, on écrit symboliquement

(c_{1} → c ⟶^{M} c → c_{2}).

Références

[1] Cornut C., A conjecture of B. Mazur on higher Heegner Points, à paraître dans Inventiones Math.

[2] Edixoven B., Special points on products of modular curves, en préparation.

[3] Edixoven B., Yafaev A., Subvarieties of Shimura varieties, soumis. Disponible à :

   http://arXiv.org/abs/math.AG/0105241.

[4] Moonen B., Linearity properties of Shimura varieties, II, Comp. Math. 114 (1998), 3-35.

   E-mail address: cornut@math.harvard.edu

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