NORMES p-ADIQUES ET EXTENSIONS QUADRATIQUES

CHRISTOPHE CORNUT

1. Introduction

1.1. On analyse dans cet article l’action de H ⊂ G sur l’immeuble de Bruhat-Tits de G pour les paires sphériques (G, H) suivantes, associées à une extension quadratique K/F de corps locaux p-adiques :

– G = GL(V) et H = GL(W) où W est un K-espace vectoriel de dimension finie et V est le F -espace vectoriel sous-jacent à W (section 3).

– G = SO(V, ϕ) et H = U(W, ψ) où (W, ψ) est un K-espace Hermitien et (V, ϕ) est le F -espace quadratique sous-jacent, avec ϕ = Tr_{K/F} ψ (section 4).

– G = SO(V, ϕ) et H = U(W, ψ) où (W, ψ) est un K-espace Hermitien, dont le F -espace quadratique sous-jacent est un F -hyperplan du F -espace quadratique (V, ϕ) (section 5).

Dans un article suivant, on en déduira quelques décompositions explicites de G, similaires aux décompositions de Cartan de [4], dont on espère qu’elles seront utiles à l’analyse harmonique des espaces homogènes sphériques G/H, en lien notamment avec la théorie récemment développée par Y. Sakellaridis [6] et A. Venkatesh.

1.2. On ne s’interesse ici qu’à la classification des orbites de H dans l’ensemble sous-jacent à l’immeuble de G : la très riche structure de cet immeuble ne jouera donc qu’un rôle tout à fait auxiliaire. Les méthodes utilisées sont élémentaires, et s’inspirent largement des techniques d’algèbre linéaire mises en oeuvre par H. Bass dans l’étude des anneaux de Gorenstein [1]. Illustrons ce lien par un bref interlude.

1.3. Soit O_{F} un anneau de Dedekind intègre, F son corps des fractions, K une F -algèbre semi-simple de dimension 2 (i.e. K ≃ F × F ou K est une extension quadratique de F) et O_{K} la clôture intégrale de O_{F} dans K. L’application qui à I associe O_{I} = O_{F} +IO_{K} induit une bijection entre l’ensemble des ideaux non nuls I de O_{F} et l’ensemble des O_{F} -ordres dans K, et il est bien connu que tous ces ordres sont des anneaux de Gorenstein.

1.4. Soit W un K-module libre de rang 1 et V le F -espace vectoriel sous-jacent à W. On note G = GL_{F} (V) ≃ GL_{2}(F) et H = GL_{K}(W) ≃ K^{×}. Soit L l’ensemble des O_{F} -réseaux de V. Si O_{F} est local, i.e. un anneau de valuation discrète, L n’est autre que l’ensemble des sommets de l’immeuble de Bruhat-Tits de G: on s’intéresse donc au quotient de L par l’action de H, c’est-à-dire à l’ensemble des classes de K^{×}-homothétie de O_{F} -réseau de V.

Pour tout réseau L de V, O(L) = {λ ∈ K|λL ⊂ L} est un O_{F} -ordre de K et il résulte de [1, 7.2] que L est un O(L)-module projectif de rang 1. Notons [L] ∈ PicO(L) la classe d’isomorphisme de ce module. Alors :

L’application L ↦ [L] induit une bijection H\L ⟶^{≃} ∐_{I} PicO_{I}.

1.5. Si O_{F} est local d’idéal maximal P_{F}, chacun des O_{n} = O_{P_{F}^{n}} est encore local (sauf O_{0} = O_{K} ≃ O_{F} × O_{F} si K ≃ F × F, qui est néanmoins semi-local) donc PicO_{n} = {1}. Notant O(L) = O_{n(L)}, on obtient alors :

L’application L ↦ n(L) induit une bijection H\L ⟶^{≃} N.

C’est ce résultat élémentaire que nous allons généraliser.

1.6. Prenons O_{F} = Z et W = K, une extension quadratique imaginaire de Q. Fixons un plongement ι : K ↪ C. Alors L ↦ C/ιL induit une bijection entre H\L et l’ensemble E des classes d’isomorphismes de courbes elliptiques de type CM (K, ι). Il est bien connu que ces classes d’isomorphismes sont définies sur l’extension abélienne maximale de ιK dans C (cf. par exemple [7]), et la décomposition

E ≃ H\L ≃ ∐_{n>0} PicO_{Zn}

obtenue ci-dessus n’est autre que la décomposition de E en orbites Galoisiennes.

1.7. Cette remarque est à l’origine de ce travail et justifie de l’attention que l’on porte au troisième cas de 1.1. En effet, les cycles associés aux sous-variétés de type U(n−1, 1) dans les variétés de Shimura de type SO(2n−1, 2) se comportent à bien des égards comme les points CM dans les courbes de Shimura, qui correspondent au cas où n = 1. Les résultats de cet article sont alors le prérequis nécessaire à l’analyse des relations de distributions qui entrelacent l’action Galoisienne et l’action de Hecke sur ces cycles, et font de ceux-ci la base d’un nouveau système Eulérien, pour les représentations Galoisiennes symplectiques de dimension 2n qui apparaissent dans la cohomologie médiane de ces variétés de Shimura. Ce thème sera développé dans un autre article.

1.8. Notations.

1.8.1. On fixe dans toute la suite de l’article un corps local p-adique^{1} F et une extension quadratique K de F. On note x ↦ \overline{x} l’automorphisme non trivial de K/F, Tr : K → F la trace, O_{F} l’anneau des entiers de F, P_{F} son idéal maximal, F = O_{F} /P_{F} son corps résiduel, q le cardinal de F, O_{K} l’anneau des entiers de K, D_{K} = {λ ∈ K|Tr(O_{K}λ) ⊂ O_{F} } la codifférente de K/F, D_{K}^{0} le sous-O_{F} -module des éléments de trace nulle dans D_{K}, v_{F} : F ↠ Z ∪ {∞} la valuation de F et |x| = q^{−v_{F} (z)} la norme de x ∈ F. On note π_{F} une uniformisante de F.

1.8.2. Pour tout n ≥ 0, on note O_{n} = O_{F} + P_{F}^{n}O_{K} l’ordre de conducteur n dans K et R_{n} l’idéal maximal de O_{n}, de sorte que O_{0} = O_{K} et R_{n} = P_{F} O_{n−1} si n > 0. Le conducteur d’un O_{F} -réseau L dans un K-espace vectoriel V est le plus petit entier n ≥ 0 tel que O_{n}L = L. Si dim_{K} V = 1, L est un O_{n}-module libre de rang 1.

1.8.3. Pour tout objet X d’une catégorie C, on note [X] la classe d’isomorphisme de X dans C et [C] l’ensemble de ces classes d’isomorphisme. Si C est une catégorie additive, la somme directe munit [C] d’une structure de monoïde commutatif et le groupe de Grothendieck K_{0}C de C est le groupe abélien associé à ce monoïde.

1.8.4. Pour tout x ∈ R, on note ⌈x⌉ = − ⌊−x⌋ = min{k ∈ Z : x ≤ k}.

1I.e. une extension finie de Q_{p} ou bien un corps de fonction F_{q}((T)) avec q = p^{n}.

2. Quelques Rappels

Références : [2, 3, 5].

2.1. Les F -normes.

2.1.1. Soit V un F -espace vectoriel de dimension finie. Une F -norme α sur V est une application α : V → R_{≥0} telle que (1) α(x) = 0 si et seulement si x = 0, (2) α(x + y) ≤ max {α(x), α(y)} et (3) α(λx) = |λ| α(x) pour tout x, y ∈ V et λ ∈ F. On note N (V) l’ensemble des F -normes sur V : c’est l’immeuble de Bruhat-Tits du groupe linéaire GL(V), cf. [2, Théorème 2.11]. On munit cet immeuble de la distance notée d dans [2, Remarque 2.12].

2.1.2. Si V = F ·v est de F -dimension 1, l’application qui à ρ ∈ R associe l’unique norme α ∈ N (V) telle que α(v) = q^{ρ} est une isométrie R ⟶^{≃} N (V).

2.1.3. On dit d’une F -décomposition V = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k} qu’elle est adaptée à α, ou encore que α se décompose selon V = V_{1} ⊕ ⋯ ⊕ V_{k} lorsque

∀(v_{1}, ⋯, v_{k}) ∈ V_{1} × ⋯ × V_{k} : α(v_{1} + ⋯ + v_{k}) = sup {α(v_{1}), ⋯, α(v_{k})} .

L’application α ↦ (α|V_{i})_{i=1}^{k} est une isométrie de l’ensemble des F -normes α de N (V) qui se décomposent selon V = V_{1}⊕⋯⊕V_{k} sur l’ensemble N (V_{1})×⋯×N (V_{k}). On note (α_{i}) ↦ sup {α_{i}} la réciproque de cette bijection.

2.1.4. On dit d’une F -base B = (e_{i}) de V qu’elle est adaptée à α, ou encore que α se décompose selon B lorsque α se décompose selon V = ⊕F e_{i}. Pour tout α ∈ N (V), il existe une F -base de V qui est adaptée à α [5, Proposition 1.1].

2.1.5. On note C la catégorie des F -espaces vectoriels F -normés (V, α). Un morphisme f : (V_{1}, α_{1}) → (V_{2}, α_{2}) est une application F -linéaire f : V_{1} → V_{2} telle que pour tout x ∈ V_{1}, α_{2}(f(x)) ≤ α_{1}(x). On dit que

f est une cofibration ⟺ ∀x ∈ V_{1} : α_{1}(x) = α_{2}(f(x)),
f est une fibration ⟺ ∀y ∈ V_{2} : α_{2}(y) = inf_{f(x)=y} α_{1}(x).

L’application linéaire sous-jacente à une cofibration (resp. fibration) est injective (resp. surjective). Une fibration ou cofibration bijective est un isomorphisme. On note ↪ les cofibrations et ↠ les fibrations. Les constructions de 2.1.3 munissent C d’une structure additive (et O_{F} -linéaire).

2.1.6. Pour tout (V, α) ∈ C, on note (V, α)^{∨} = (V^{∨}, α^{∨}) ∈ C l’objet défini par

V^{∨} = Hom_{F} (V, F) et α^{∨}(f) = sup_{x∈V, x≠0} \frac{|f(x)|}{α(x)}.

On obtient un endofoncteur J : C → C^{opp} qui échange fibration et cofibration. C’est une dualité : les isomorphismes de bidualité δ_{F,V} : V → V^{∨∨} pour les F -espaces vectoriels induisent un isomorphisme d’endofoncteur δ_{F} : Id_{C} → J ∘J [5, Prop. 1.2].

2.2. Les F -normes auto-duales. On suppose ici que 2 ∈ O_{F}^{×} (q est impair).

2.2.1. Soit (V, ϕ) un F -espace quadratique : V est un F -espace vectoriel de dimension finie et ϕ : V ×V → F est une forme F -bilinéaire symétrique et non dégénérée. Notant Δ_{ϕ} : V → V^{∨} l’isomorphisme x ↦ (y ↦ ϕ(x, y)), la formule

\overline{α}(x) = α^{∨}(Δ_{ϕ}(x)) = sup_{y∈V, y≠0} \frac{|ϕ(x, y)|}{α(y)}

définit une involution de N (V). On dit que α est auto-duale^{2} si \overline{α} = α et on note I(V, ϕ) le sous-ensemble ainsi défini de N (V) : c’est l’immeuble de Bruhat-Tits du groupe SO(V, ϕ), cf. [3, Théorème 2.12]. On munit cet immeuble de la distance notée d dans [3, §2.14].

2.2.2. Si (V, ϕ) est anisotrope, I(V, ϕ) = \{|Q|^{1/2}\} où Q(x) = \frac{1}{2}ϕ(x, x) est la forme quadratique associée à ϕ [5, Th. 4.1]. En particulier, si V = F v est de dimension 1 et α ∈ N (V), alors α ∈ I(V, ϕ) si et seulement si α(v)^{2} = |Q(v)|.

2.2.3. Si (V, ϕ) est un F -plan hyperbolique dont les droites isotropes sont F e_{+} et F e_{−}, I(V, ϕ) est l’ensemble des normes α ∈ N (V) qui se décomposent selon V = F e_{+} ⊕ F e_{−} avec α(e_{+}) · α(e_{−}) = |ϕ(e_{+}, e_{−})|. L’application qui à ρ ∈ R associe l’unique norme α ∈ I(V, ϕ) telle que α(e_{+}) = q^{ρ} est une bijection R ⟶^{≃} I(V, ϕ).

2.2.4. Si (V, ϕ) = (V_{1}, ϕ_{1})⊥(V_{2}, ϕ_{2}) et α ∈ I(V, ϕ), alors

α|V_{1} ∈ I(V_{1}, ϕ_{1}) ⟺ α|V_{2} ∈ I(V_{2}, ϕ_{2}) ⟺ α = sup {α|V_{1}, α|V_{2}} .

L’application α ↦ (α|V_{1}, α|V_{2}) est une bijection de l’ensemble des normes α de I(V, ϕ) qui se décomposent selon V = V_{1}⊥V_{2} sur l’ensemble I(V_{1}, ϕ_{1}) × I(V_{2}, ϕ_{2}).

2.2.5. Si V = V_{+} ⊕ V_{−} avec V_{±} isotrope, α ∈ N (V) et α_{±} = α|V_{±}, alors deux quelconques des conditions suivantes impliquent la troisième : (1) α ∈ I(V, ϕ),

(2) α = sup {α_{+}, α_{−}}, et (3) Δ_{ϕ} : (V_{−}, α_{−}) → (V_{+}, α_{+})^{∨} est un isomorphisme dans N. L’application α ↦ α_{+} est une isométrie de l’ensemble des normes α ∈ I(V, ϕ) qui se décomposent selon V = V_{+} ⊕ V_{−} sur l’ensemble N (V_{+}).

2.2.6. Pour tout α ∈ I(V, ϕ), il existe une F -base de Witt de V qui est adaptée à α [3, §2.9-12]. Si V = V_{0}⊥(V_{+} ⊕ V_{−}) est la décomposition de Witt associée, l’application α ↦ α|V_{+} est une isométrie de l’ensemble des normes α ∈ I(V, ϕ) qui se décomposent selon V = V_{0}⊥(V_{+} ⊕ V_{−}) sur l’ensemble N (V_{+}).

2.2.7. Soit α ∈ I(V, ϕ), D une F -droite anisotrope de V, W l’orthogonal de D dans V et ρ le réel défini par α(v) = q^{ρ} |Q(v)|^{1/2} pour tout v ∈ D. Alors ρ ≥ 0 et

ρ = 0 ⟺ α|D ∈ I(D) ⟺ α|W ∈ I(W) ⟺ V = D⊥W est adapté à α

d’après 2.2.2 et 2.2.4, où l’on a abrégé I(X, ϕ|X) en I(X). De plus :

Lemma 2.1. Si ρ > 0 et D = F v, il existe un vecteur w ∈ W tel que

Q(v) + Q(w) = 0, α(v + w) = q^{+ρ} |Q(v)|^{1/2} et α(v − w) = q^{−ρ} |Q(v)|^{1/2} .

Soit w un tel vecteur. Alors H = F v⊥F w est un F -plan hyperbolique de V dont les droites isotropes sont F (v − w) et F (v + w), la restriction de α à H est auto-duale et la décomposition V = H⊥H^{⊥} est adaptée à α.

2Ce sont les normes maxi-minorantes pour ϕ de [3, §2] cf. [3, Proposition 2.5].

Démonstration. Soit V = V_{0}⊥ (⊥_{i∈|I|}(V_{i} ⊕ V_{−i})) une F -décomposition de Witt adaptée à α : V_{0} est anisotrope, I = {±1, ⋯, ±r} et |I| = {1, ⋯, r} où r est l’indice de Witt de (V, ϕ), et V_{±i} sont les droites isotropes du plan hyperbolique V_{i} ⊕ V_{−i}. Soit v = v_{0} + ∑_{i∈I} v_{i} = v_{0} + v_{+} + v_{−} la décomposition correspondante de v, avec v_{±} = ∑_{i∈|I|} v_{±i} de sorte que

α(v) = max {α(v_{0}), α(v_{i})|i ∈ I} et Q(v) = Q(v_{0}) + ϕ(v_{+}, v_{−}).

Si α(v) > α(v_{i}) pour tout i ∈ I, alors α(v) = α(v_{0}) et

|ϕ(v_{+}, v_{−})| ≤ α(v_{+})α(v_{−}) < α(v_{0})^{2} = |Q(v_{0})|

donc |Q(v)| = |Q(v_{0})| = α(v_{0})^{2} = α(v)^{2} (d’après 2.2.2), ce qui contredit notre hypothèse ρ > 0. Il existe donc un indice i ∈ I tel que α(v) = α(v_{i}). En particulier, v_{i} ≠ 0. Soit d l’unique vecteur de V_{−i} tel que ϕ(v_{i}, d) = ϕ(v, v). Si w = v − d ∈ V,

ϕ(v, w) = ϕ(v, v) − ϕ(v, d) = ϕ(v, v) − ϕ(v_{i}, d) = 0

donc w ∈ W et Q(v) + Q(w) = Q(v − w) = Q(d) = 0. D’autre part,

α(v)α(v − w) = α(v_{i})α(d) = |ϕ(v_{i}, d)| = |Q(v)|

car α|V_{i} ⊕ V_{−i} est auto-duale. Puisque α(v) = q^{ρ} |Q(v)|^{1/2}, on en déduit que

α(v − w) = q^{−ρ} |Q(v)|^{1/2} < α(v) donc α(w) = α(v) = α(v + w) = q^{ρ} |Q(v)|^{1/2}

et w convient. La seconde partie de l’énoncé résulte de 2.2.3 et 2.2.4. □

2.2.8. Avec les notations de la section précédente, I(W) s’identifie au sousensemble convexe de I(V) formé des α pour lesquelles ρ = 0. Soit s ∈ O(V, ϕ) la symétrie orthogonale fixant W. Pour tout α ∈ I(V), on note prα le milieu du segment [α, sα] de I(V) où sα = α∘s ∈ I(V). Si ρ = 0, sα = α = prα. Sinon, soient v, w et H = F v⊥F w comme dans le lemme 2.1. La décomposition V = H⊥H^{⊥} est alors adaptée à α, sα et prα, ces trois normes coïncident sur H^{⊥} et pour ϵ ∈ {±1},

α(v + ϵw) = q^{r+ϵρ}, sα(v + ϵw) = q^{r−ϵρ} et prα(v + ϵw) = q^{r}

où |Q(v)| = q^{2r}. Dans tous les cas, on a donc prα ∈ I(W) et dist(α, prα) = ρ. Il résulte alors du lemme suivant que prα est la projection convexe de α sur I(W).

Lemma 2.2. Pour x ∈ {1, 2}, soient α_{x} ∈ I(V) et ρ_{x} ∈ R tels que α_{x}(v) = q^{r+ρ_{x}}. Alors : dist(α_{1}, α_{2}) ≥ |ρ_{1} − ρ_{2}|.

Démonstration. Soient V = V_{0}⊥ (⊥_{i∈|I|}(V_{i} ⊕ V_{−i})) une F -décomposition de Witt simultanément adaptée à α_{1} et α_{2} (dont l’existence est un corollaire de [3, Th. 2.12]), e_{i} une F -base de V_{i} telle que ϕ(e_{i}, e_{−i}) = 1, v = v_{0} + ∑_{i∈I} λ_{i}e_{i} les coordonnées de v dans cette base, ℓ_{0} et ℓ_{i} ∈ Z∪{∞} les valuations de Q(v_{0}) et λ_{i}, et α_{x,i} = −α_{x,−i} le réel défini par α_{x}(e_{i}) = q^{α_{x,i}}. Alors

α_{x}(v) = max {α_{x}(v_{0}), max {|λ_{i}| α_{x}(e_{i}) : i ∈ I}} avec α_{x}(v_{0}) = |Q(v_{0})|^{1/2}

donc r + ρ_{x} = max \{\frac{−ℓ_{0}}{2} , max \{α_{x,i} − ℓ_{i}|i ∈ I\}\} et

|ρ_{1} − ρ_{2}| ≤ max \{|α_{1,i} − α_{2,i}| : i ∈ I\} ≤ \sqrt{_{∑i∈|I|}(α_{1,i} − α_{2,i})^{2}}

qui n’est autre que la distance dist(α_{1}, α_{2}). □

3. Les K-espaces vectoriels F -normés

3.1. La catégorie N.

3.1.1. Définition. Un K-espace vectoriel F -normé est un K-espace vectoriel V, de dimension finie, muni d’une F -norme α : V → R_{+}. Un morphisme de K-espace vectoriel F -normé f : (V_{1}, α_{1}) → (V_{2}, α_{2}) est une application K-linéaire f : V_{1} → V_{2} compatible avec les normes : α_{2}(f(x)) ≤ α_{1}(x) pour tout x ∈ V_{1}. On note N la catégorie ainsi définie. C’est une catégorie additive et O_{F} -linéaire.

3.1.2. Filtration. Pour tout 0 ≠ (V, α) ∈ N, on note n(V, α) le plus petit entier n ≥ 0 tel que O_{n} ⊂ End(V, α) : c’est le conducteur de (V, α). On convient de ce que n(0) = 0. On note N_{n} la sous-catégorie pleine de N formée des objets de conducteur inférieur ou égal a n. C’est une catégorie additive et O_{n}-linéaire.

3.1.3. Hom internes. Si (V_{1}, α_{1}) et (V_{2}, α_{2}) sont deux objets de N, on définit

\underline{Hom} ((V_{1}, α_{1}), (V_{2}, α_{2})) = (Hom_{K}(V_{1}, V_{2}), α) ∈ N

où pour tout f ∈ Hom_{K}(V_{1}, V_{2}),

α(f) = sup_{x∈V_{1}, x≠0} \frac{α_{2}(f(x))}{α_{1}(x)}.

Cette construction définit un bifoncteur bi-additif et O_{F} -bilinéaire

\underline{Hom}(•, •) : N^{opp} × N → N .

Pour tout (V, α) ∈ N, le foncteur \underline{Hom} (•, (V, α)) transforme les fibrations en cofibrations tandis que le foncteur \underline{Hom} ((V, α), •) préserve les cofibrations. En effet, soit ϕ : (X_{1}, α_{1}) ↠ (X_{2}, α_{2}) et f : X_{2} → V. Alors

α_{Hom(X_{2},V)}(f) = sup_{x_{2}≠0} \frac{α(f(x_{2}))}{α_{2}(x_{2})} = sup_{x_{2}≠0} sup_{ϕ(x_{1})=x_{2}} \frac{α(f ∘ ϕ(x_{1}))}{α_{1}(x_{1})} = α_{Hom(X_{1},V)}(f ∘ ϕ).

De même, si ϕ : (X_{1}, α_{1}) ↪ (X_{2}, α_{2}) et f : V → X_{1},

α_{Hom(V,X_{1})}(f) = sup_{x∈V, x≠0} \frac{α_{1}(f(x))}{α(x)} = sup_{x∈V, x≠0} \frac{α_{2}(ϕ ∘ f(x))}{α(x)} = α_{Hom(V,X_{2})}(ϕ ∘ f).

3.1.4. Projection. Pour tout (V, α) ∈ N et n ∈ N, on note (V, α)_{n} = (V, α_{n}) l’objet de N défini par α_{n}(v) = sup_{λ∈O_{n}^{×}} α(λ·v). Nous verrons plus bas que ce foncteur est une rétraction de l’inclusion N_{n} ↪ N. D’ores et déjà, il est clair que (V, α)_{n} = (V, α) si (V, α) ∈ N_{n}, puisque alors O_{n}^{×} ⊂ Aut(V, α). De même,

(W, β) ∈ N_{n} ⟹ \underline{Hom} ((W, β), (V, α)) = \underline{Hom} ((W, β), (V, α)_{n})

car pour toute application K-linéaire f : W → V,

sup_{w∈W} \frac{α(f(w))}{β(w)} = sup_{λ∈O_{n}^{×},w∈W} \frac{α(λ · f(w))}{β(λ · w)} = sup_{w∈W} \frac{α_{n}(f(w))}{β(w)}

si O_{n}^{×} ⊂ Aut(W, β).

3.2. Les objets de dimension 1.

3.2.1. Analyse. Soit (L, α) un K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1. Alors l’ensemble des boules fermées centrées en 0 de α est un drapeau de O_{F} -réseaux dans L qui est la réunion d’une ou deux classes de F -homothétie.

Considérons d’abord le second cas, celui d’un drapeau de la forme

⋯ ⊊ P_{F}^{i+1}B_{1} ⊊ P_{F}^{i+1}B_{0} ⊊ P_{F}^{i} B_{1} ⊊ P_{F}^{i} B_{0} ⊊ ⋯ (i ∈ Z).

Soit n_{0} et n_{1} les conducteurs de B_{0} et B_{1}, et δ_{0} > δ_{1} > δ_{0} − 1 les réels définis par q^{δ_{0}} = α(B_{0}−B_{1}) et q^{δ_{1}} = α(B_{1}−P_{F} B_{0}). Quitte à changer B_{1} ⊂ B_{0} en P_{F} B_{0} ⊂ B_{1}, on peut supposer que (n_{0} > n_{1}) ou (n_{0} = n_{1} et δ_{0} − δ_{1} ≤ \frac{1}{2}). Alors B_{1} = R_{n_{0}}B_{0} et

(n_{0} = n_{1} + 1) ou (n_{0} = n_{1} = 0 et K/F est ramifiée) .

Ces conditions déterminent uniquement la classe de F -homothétie de B_{0}, sauf dans le cas où n_{0} = n_{1}(= 0) et δ_{0} − δ_{1} = \frac{1}{2}. Posant

\{ \begin{matrix}ρ & = & n_{0} + δ_{1} \\ c & = & n_{0} − δ_{0} + δ_{1} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}n_{0} & = & ⌈c⌉ \\ δ_{0} & = & ρ − c \\ δ_{1} & = & ρ − ⌈c⌉ \end{matrix}

on dira d’un O_{n_{0}}-générateur e de B_{0} = O_{n_{0}} · e qu’il est typique de type (ρ, c). Dans le premier cas, le drapeau de boules est de la forme

⋯ ⊊ P_{F}^{i+1}B ⊊ P_{F}^{i} B ⊊ ⋯ (i ∈ Z)

Soit n le conducteur de B, et ρ le réel défini par q^{ρ−n} = α(B − P_{F} B). On dira d’un O_{n}-générateur e de B = O_{n} · e qu’il est typique de type (ρ, n).

3.2.2. Définitions. Soit L̃ l’ensemble des types : les couples (ρ, c) ∈ R^{2} tels que

c ≥ δ = \begin{cases}0 & si K/F n’est pas ramifiée, \\ −\frac{1}{2} & si K/F est ramifiée. \end{cases}

A un tel type, on associe la F -norme q^{ρ} ∥·∥_{c} sur K telle que

q^{ρ} ∥λ∥_{c} = q^{ρ+k} \begin{cases}q^{−c} & si π_{F}^{k} λ ∈ O_{n} − R_{n} \\ q^{−⌈c⌉} & si π_{F}^{k} λ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n} \end{cases} où n = ⌈c⌉ .

On dit d’un vecteur non nul e d’un K-espace vectoriel F -normé (V, α) qu’il est typique de type (ρ, c) ∈ L̃ si et seulement si pour tout λ ∈ K, α(λ · e) = q^{ρ} ∥λ∥_{c}. Lorsque dim_{K} V = 1, les vecteurs e de type (ρ, c) dans V sont en bijection avec les isomorphismes f : (K, q^{ρ} ∥·∥_{c}) → (V, α) via f ↦ e = f(1). Le réel c = c(V, α) est un invariant de (V, α) qui est plus fin que le conducteur : n(V, α) = ⌈c(V, α)⌉.

3.2.3. Synthèse. On note (L, ≺) l’ensemble des classes d’isomorphismes de K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1, muni du préordre total défini par

[L, α] ≺ [L′, α′] ⟺ c(L, α) ≤ c(L′, α′).

Proposition 3.1. L’application qui à [L, α] ∈ L associe l’ensemble des types des vecteurs typiques de (L, α) induit une bijection de L sur l’ensemble quotient de L̃ pour la relation d’équivalence engendrée par les relations (ρ, c) ∼ (ρ+1, c) ainsi que (ρ, −\frac{1}{2}) ∼ (ρ + \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}) si K/F est ramifiée.

3.2.4. Propriétés. Soit (1, γ_{K}) une O_{F} -base de O_{K} telle que γ_{K} soit une uniformisante de O_{K} si K/F est ramifiée.

Lemma 3.2. Soit (L, α) un K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1 et 0 ≠ e ∈ L. Pour tout (ρ, c) ∈ L̃, les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) (L, α) est de type (ρ, c) relativement à la K-base e de L.

(2) La F -base (e, γ_{K}e) de L est adaptée à α, α(e) = q^{ρ−c} et α(γ_{K}e) = q^{ρ}.

Démonstration. Cela résulte des décompositions

O_{n} − P_{F} O_{n} = (O_{F} ⊕ P_{F}^{n}γ_{K}) − (P_{F} ⊕ P_{F}^{n+1}γ_{K})
ainsi que R_{n} − P_{F} O_{n} = (P_{F} ⊕ P_{F}^{n}γ_{K}) − (P_{F} ⊕ P_{F}^{n+1}γ_{K})

si n ≥ 1, ou si K/F est ramifiée. □

Lemma 3.3. Soit (L, α) un K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1 et de conducteur inférieur ou égal à n ∈ N. Soit e un vecteur non nul de L. Si

(1) n = 0 et K/F n’est pas ramifiée, ou

(2) n = 0, K/F est ramifiée et α(μe) ≥ q^{− \frac{1}{2}} α(e) pour un μ ∈ R_{0} − P_{F} O_{0}, ou

(3) n > 0 et α(μe) > q^{−1}α(e) pour un μ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n},

alors e est un vecteur typique de (L, α) et n(L, α) = n.

Démonstration. Les cas (1) et (2) sont immédiats. Supposons donc que la condition (3) est vérifiée. Soit B la boule fermée de rayon α(e) dans (L, α), de sorte que e ∈ B mais μe ∉ P_{F} B. On sait que le conducteur de B est inférieur ou égal à n. Mais d’autre part, B n’est pas stable par O_{n−1}, car sinon μe ∈ R_{n}B serait contenu dans P_{F} B puisque R_{n} = P_{F} O_{n−1}. Donc B est de conducteur n. Enfin, e est un O_{n}-générateur de B (i.e. e ∉ R_{n}B) car sinon μe ∈ R_{n}^{2}B serait contenu dans P_{F} B puisque R_{n}^{2} = P_{F}^{2}O_{n−1} = P_{F} R_{n} ⊂ P_{F} O_{n}. □

Corollary 3.4. Soit f : (L_{1}, α_{1}) → (L_{2}, α_{2}) un morphisme entre deux K-espaces vectoriels F -normés de K-dimension 1. On suppose que c(L_{1}, α_{1}) ≤ c(L_{2}, α_{2}). Alors f est un isomorphisme si et seulement si il existe un vecteur e_{1} de L_{1} tel que e_{2} = f(e_{1}) soit un vecteur typique de (L_{2}, α_{2}) avec α_{1}(e_{1}) = α_{2}(e_{2}).

Démonstration. Soit e_{1} un vecteur de L_{1} tel que e_{2} = f(e_{1}) est un vecteur typique de (L_{2}, α_{2}), disons de type (ρ_{2}, c_{2}). Soit n = ⌈c_{2}⌉ le conducteur de (L_{2}, α_{2}), qui est par hypothèse supérieur ou égal à celui de (L_{1}, α_{1}). Si f est un isomorphisme, α_{1}(e_{1}) = α_{2}(e_{2}). Inversement, supposons que α_{1}(e_{1}) = α_{2}(e_{2}). Alors

∀μ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n} : α_{1}(μe_{1}) ≥ α_{2}(μe_{2}) > q^{−1}α_{2}(e_{2}) = q^{−1}α_{1}(e_{1}).

D’après le lemme 3.3, e_{1} est donc un vecteur typique de (L_{1}, α_{1}) et n(L_{1}, α_{1}) = n. Soit (ρ_{1}, c_{1}) le type de e_{1}, de sorte que c_{1} ≤ c_{2} et n = ⌈c_{1}⌉. Mais alors

\begin{aligned}& α_{1}(e_{1}) = α_{2}(e_{1}) & et & α_{1}(μe_{1}) ≥ α_{2}(μe_{2}) (∀μ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n}) \\ ⟹ & q^{ρ_{1}−c_{1}} = q^{ρ_{2}−c_{2}} & et & q^{ρ_{1}−n} ≥ q^{ρ_{2}−n} \end{aligned}

donc 0 ≤ ρ_{1} − ρ_{2} = c_{2} − c_{1} ≤ 0 et finalement (ρ_{1}, c_{1}) = (ρ_{2}, c_{2}). □

Corollary 3.5. Soit I ≠ ∅ un ensemble fini et (L, α) ↪ ⊕_{i∈I}(L_{i}, α_{i}) une cofibration avec dim_{K} L = dim_{K} L_{i} = 1 et c(L, α) ≥ c(L_{i}, α_{i}) pour tout i ∈ I. Il existe alors j ∈ I tel que (L, α) ↪ ⊕_{i∈I}(L_{i}, α_{i}) ↠ (L_{j}, α_{j}) est un isomorphisme dans N.

Démonstration. Soient e un vecteur de type (ρ, c) dans (L, α) et n = ⌈c⌉ le conducteur de (L, α), de sorte que (L_{i}, α_{i}) ∈ N_{n} pour tout i ∈ I par hypothèse. Identifiant L à son image par la cofibration, on écrit e = ∑ e_{i} avec e_{i} ∈ L_{i}, donc α(μe) = sup α_{i}(μe_{i}) pour tout μ ∈ K. Supposons d’abord que P_{F} O_{n} ⊊ R_{n} et choisissons μ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n} et j ∈ I tel que α_{j}(μe_{j}) = α(μe). Alors

α_{j}(μe_{j}) = α(μe) > q^{−1}α(e) ≥ q^{−1}α_{j}(e_{j}).

D’après le lemme 3.3, e_{j} est donc un vecteur typique de (L_{j}, α_{j}) et n(L_{j}, α_{j}) = n. Soit (ρ′, c′) le type de e_{j}, de sorte que c′ ≤ c et n = ⌈c′⌉. Alors

\begin{aligned}& α(e) ≥ α_{j}(e_{j}) & et & α(μe) = α_{j}(μe_{j}) \\ ⟹ & q^{ρ−c} ≥ q^{ρ′−c′} & et & q^{ρ−n} = q^{ρ′−n} \end{aligned}

donc ρ = ρ′, c = c′ et (L, α) → (L_{j}, α_{j}) est un isomorphisme dans N. Lorsque enfin P_{F} O_{n} = R_{n}, on a n = 0 = c et K/F n’est pas ramifiée. Alors (L, α) → (L_{j}, α_{j}) est un isomorphisme dans N pour tout j ∈ I tel que α_{j}(e_{j}) = α(e). □

Lemma 3.6. Pour i ∈ {1, 2}, soit (L_{i}, α_{i}) un K-espace vectoriel F -normé de Kdimension 1 et de type (ρ_{i}, c_{i}) relativement à une K-base e_{i} de L_{i}. On suppose que (L_{1}, α_{1}) et (L_{2}, α_{2}) ont le même conducteur n = ⌈c_{1}⌉ = ⌈c_{2}⌉ et on note e : L_{1} → L_{2} l’application K-linéaire qui envoit e_{1} sur e_{2}. Alors (L, α) = \underline{Hom} ((L_{1}, α_{1}), (L_{2}, α_{2})) est de type (ρ_{2} − ρ_{1} + c_{1}, min(c_{1}, c_{2})) relativement à la K-base e de L.

Démonstration. Pour tout λ ∈ O_{n} − P_{F} O_{n},

α(λ · e) = sup_{μ∈K−\{0\}} \frac{α_{2}(λμ · e_{2})}{α_{1}(μ · e_{1})}

= q^{ρ_{2}−ρ_{1}} sup_{μ∈O_{n}−P_{F} O_{n}} \begin{matrix}∥λμ∥ & c_{2} \\ ∥μ∥ & c_{1} \end{matrix}
= q^{ρ_{2}−ρ_{1}} max {q^{c_{1}} sup_{μ∈O_{n}−R_{n}} ∥λμ∥_{c_{2}} , q^{⌈c_{1}⌉} sup_{μ∈R_{n}−P_{F} O_{n}} ∥λμ∥_{c_{2}}}

= q^{ρ_{2}−ρ_{1}+c_{1}} \begin{cases}q^{− min(c_{1},c_{2})} & si λ ∈ O_{n} − R_{n} \\ q^{−⌈min(c_{1},c_{2})⌉} & si λ ∈ R_{n} − P_{F} O_{n} \end{cases}

puisque O_{n} − R_{n} = O_{n}^{×}, O_{n}^{×} · O_{n}^{×} = O_{n}^{×}, O_{n}^{×} · (R_{n} − P_{F} O_{n}) = R_{n} − P_{F} O_{n} et

(R_{n} − P_{F} O_{n}) · (R_{n} − P_{F} O_{n}) ⊂ \begin{cases}P_{F}^{2}O_{n} & si n > 0, \\ P_{F} O_{K} & si n = 0 et K/F est ramifiée, \\ ∅ & si n = 0 et K/F est inerte. \end{cases}

Donc e est bien un vecteur typique du type indiqué dans (L, α). □

Lemma 3.7. Soit (L, α) un K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1 et de type (ρ, c) relativement à une K-base e de L. Alors pour tout entier n < c, (L, α)_{n} est de type (ρ, n) relativement à cette même K-base e de L.

Démonstration. Soit m = ⌈c⌉ > n. On doit calculer sup ∥O_{n}^{×}λ∥_{c} pour λ ∈ O_{n} − P_{F} O_{n}. Posons κ_{i} = O_{i}^{×} − O_{i+1}^{×} pour i ≥ 0, et

κ_{−1} = \begin{cases}π_{F}^{−1}(R_{0} − P_{F} O_{0}) & si K/F est ramifiée, \\ ∅ & sinon \end{cases}

On a donc

O_{m} − P_{F} O_{m} = O_{m}^{×}∐ ∐_{i=1}^{m+1}π_{F}^{i} κ_{m−i}
O_{n} − P_{F} O_{n} = O_{n}^{×}∐ ∐_{i=1}^{n+1}π_{F}^{i} κ_{n−i}
et O_{n}^{×} = O_{m}^{×}∐ ∐_{i=1}^{m−n}κ_{m−i}

D’après la première de ces trois formules, ∥κ_{m−i}∥_{c} = q^{i−m} pour tout i ≤ m + 1. D’après la troisième, sup ∥O_{n}^{×}∥_{c} = q^{−n}. Enfin, la seconde montre que λ ∈ O_{n}^{×} ou λ ∈ π_{F}^{i} κ_{n−i} pour un certain indice 1 ≤ i ≤ n + 1. Dans le premier cas,

sup ∥O_{n}^{×}λ∥_{c} = sup ∥O_{n}^{×}∥_{c} = q^{−n}.

Dans le second cas, on peut écrire n − i = m − j avec j = m − n + i ≤ m + 1. Comme O_{n}^{×}κ_{n−i} ⊂ κ_{n−i} (puisque i ≥ 1) on obtient

∥O_{n}^{×}λ∥_{c} = ∥π_{F}^{i} κ_{n−i}∥_{c} = q^{−i} ∥κ_{m−j}∥_{c} = q^{j−m−i} = q^{−n}.

Donc sup ∥O_{n}^{×}λ∥_{c} = q^{−n} pour tout λ ∈ O_{n} − P_{F} O_{n}. □

3.3. Dualité. Pour tout n ∈ N, on note 1_{n} l’objet (K, ∥•∥_{n}) de N_{n}, où l’on rappelle que ∥•∥_{n} est l’unique F -norme sur K telle que ∥O_{n} − P_{F} O_{n}∥_{n} = q^{−n}. D’après le lemme 3.7, (1_{n})_{m} = 1_{m} si m ≤ n. Il résulte alors de 3.1.4 que la formule

(V, α)^{⋆} = (V^{⋆}, α^{⋆}) = \underline{Hom} ((V, α), 1_{n}) si n ≥ n(V, α)

définit un foncteur N^{opp} → N. On dit que (V, α)^{⋆} est le dual de (V, α).

Proposition 3.8. Ce foncteur est exact : il échange fibration et cofibration.

Démonstration. Compte tenu des résultats de 3.1.3, il suffit de vérifier que le dual d’une cofibration ϕ : (V_{1}, α_{1}) ↪ (V_{2}, α_{2}) est une fibration, c’est-à-dire que pour tout λ > 0, l’application induite sur les boules

ϕ_{≤λ}^{⋆} : B(α_{2}^{⋆} ≤ λ) → B(α_{1}^{⋆} ≤ λ)

est surjective. Le lemme suivant identifie ϕ_{≤λ}^{⋆} au O_{n}-dual de l’injection

ϕ_{<μ} : B(α_{1} < μ) ↪ B(α_{2} < μ)

avec μ = q^{1−n}λ^{−1}, pour un entier n suffisament grand. Puisque ϕ est une cofibration, le conoyau M de ϕ_{<μ} est un O_{n}-module de type fini sans torsion, qui s’injecte donc dans un O_{n}-module libre L. Alors

cokerϕ_{≤λ}^{⋆} ⊂ Ext_{O_{n}}^{1}(M, O_{n}) ⊂ Ext_{O_{n}}^{2}(L/M, O_{n}) = 0

car dim inj_{O_{n}}O_{n} = dim O_{n} = 1, cf. [1]. □

Lemma 3.9. Pour tout (V, α) ∈ N_{n} et λ ∈ R_{>0},

B(α^{⋆} ≤ λ) ≃ Hom (B(α < q^{1−n}λ^{−1}), O_{n}) .

Démonstration. Pour toute forme linéaire f : V → K,

α^{⋆}(f) ≤ λ ⟺ ∀x : ∥f(x)∥_{n} ≤ λα(x).

Donc α^{⋆}(f) ≤ λ implique que f(x) ∈ O_{n} pour tout x ∈ V tel que λα(x) < q^{1−n}. Inversement, supposons que f vérifie cette condition. Soit L_{1} ⊂ L_{2} ⊂ ⋯ ⊂ L_{k} ⊂ V les boules fermées de rayon compris dans [q^{−n}λ^{−1}, q^{1−n}λ^{−1}[ et L_{0} = P_{F} L_{k}, de sorte que L_{k} = B(α < q^{1−n}λ^{−1}) et f(L_{i}) ⊂ O_{n} pour tout i. Pour tout x ∈ V − {0}, il existe k ∈ Z et 1 ≤ i ≤ k tels que π_{F}^{k} x ∈ L_{i} − L_{i−1}, donc

α(x) = q^{k}α(L_{i} − L_{i−1}) ∈ [q^{k−n}λ^{−1}, q^{k+1−n}λ^{−1}[

tandis que f(x) ∈ π^{−k}f(L_{i}) ⊂ π^{−k}O_{n}, donc

∥f(x)∥_{n} ≤ q^{k−n} ≤ λα(x)

et finalement α^{⋆}(f) ≤ λ. □

Lemma 3.10. Soit (L, α) un K-espace vectoriel F -normé de K-dimension 1 et de type (ρ, c) relativement à une K-base e de L. Alors (L^{⋆}, α^{⋆}) est de type (c − ρ, c) relativement à la K-base duale e^{⋆} de L^{⋆}.

Démonstration. Cela résulte immédiatement du lemme 3.6. □

Theorem 3.11. Le foncteur (V, α) ↦ I(V, α) = (V, α)^{⋆} est une dualité sur N. Plus précisément, les isomorphismes de bidualité δ_{K,V} : V → V^{⋆⋆} pour les Kespaces vectoriels induisent un isomorphisme d’endofoncteur δ_{K} : Id_{N} → I ∘ I.

Démonstration. On vérifie d’abord aisément que l’endofoncteur δ_{K} est bien défini : pour tout (V, α) ∈ N, δ_{K,V} : (V, α) → (V, α)^{⋆⋆} est un morphisme de N. Si dim_{K} V = 1 et (V, α) est de type (ρ, c) relativement à une K-base e de V, (V^{⋆}, α^{⋆}) est de type (c − ρ, c) relativement à la K-base duale e^{⋆} de V^{⋆} et (V^{⋆⋆}, α^{⋆⋆}) est à nouveau de type (ρ, c) relativement à la K-base biduale e^{⋆⋆} = δ_{K,V} (e) de V^{⋆⋆}. Donc δ_{K,V} est un isomorphisme dans N lorsque V est de dimension 1, ou plus généralement lorsque (V, α) est une somme directe d’objets de dimension 1. Or d’après le lemme suivant, tout objet (V, α) de N est le but d’une fibration (E, γ) ↠ (V, α) dont la source est une telle somme directe. On obtient alors un diagramme commutatif

(E, γ) ↠ (V, α)
δ_{K,E} ↓≃  ↓ δ_{K,V}
(E, γ)^{⋆⋆} ↠ (V, α)^{⋆⋆}

où la deuxième ligne est encore une fibration par exactitude de ⋆. On en déduit que la bijection δ_{K,V} est une fibration, donc un isomorphisme dans N. □

Lemma 3.12. Pour tout (V, α) ∈ N, il existe une fibration

(W, β) = ⊕_{i=1}^{dim_{F} V} (L_{i}, α_{i}) ↠ (V, α)

avec (L_{i}, α_{i}) ↪ (V, α) et dim_{K} L_{i} = 1 pour tout 1 ≤ i ≤ dim_{F} V.

Démonstration. Soit (e_{i}) une F -base de V adaptée à α (2.1.4), α_{i} la restriction de α à Ke_{i}, W = ⊕Ke_{i} et β = sup{α_{i}} ∈ N (W). L’application qui envoie l’élément ∑ λ_{i}e_{i} de W sur ∑ λ_{i}e_{i} ∈ V est alors une fibration, car pour tout v = ∑ λ_{i}e_{i} ∈ V (avec les λ_{i} ∈ F), on a α(v) = sup{α(λ_{i}e_{i})} = sup{α_{i}(λ_{i}e_{i})} = β(∑ λ_{i}e_{i}). □

3.4. Théorème de structure. Soit x = (V, α) un K-espace vectoriel F -normé. On note S(x) l’ensemble des K-droites de V et on plonge S(x) dans N en munissant chacune de ces droites L ⊂ V de la norme α_{L} induite par α, qui donne donc une cofibration (L, α_{L}) ↪ (V, α). De même, on note Q(x) l’ensemble des quotients de K-dimension 1 de V, plongé dans N en munissant chacun de ces quotients V ↠ L de la norme α_{L} induite par α, de sorte que (V, α) ↠ (L, α_{L}) est une fibration. On note \overline{S}(x) et \overline{Q}(x) les images de S(x) et Q(x) dans l’ensemble L des classes d’isomorphisme de K-droites F -normées. Pour Z ∈ \{S, Q\} et θ ∈ \overline{Z}(x), on note enfin Z(x, θ) la fibre de Z(x) → \overline{Z}(x) au-dessus de θ.

Proposition 3.13. Soit x ≠ 0 un K-espace vectoriel F -normé et Z ∈ {S, Q}. Alors \overline{Z}(x) est fini et pour tout élément maximal θ de \overline{Z}(x) (pour l’ordre induit par ≺ sur \overline{Z}(x) ⊂ L), tout élément y ∈ Z(x, θ) est un facteur direct de x.

Démonstration. Soit x = (V, α). Pour tout y = (L, α_{L}) ∈ Z(x), l’image de la norme α_{L} : L → R_{≥0} est incluse dans celle de α : V → R_{≥0}, qui est elle-même une réunion finie d’ensembles de la forme {0} ∪ q^{ρ+Z} avec ρ ∈ R. De plus, le conducteur de y est inférieur ou égal à celui de x. Au regard de la classification établie en 3.2.3, il est donc clair que \overline{Z}(x) est fini. Soit θ un élément maximal de \overline{S}(x) ∪ \overline{Q}(x) et supposons d’abord que θ ∈ \overline{Q}(x). D’après le lemme 3.12, il existe une fibration ⊕y_{i} ↠ x avec y_{i} ∈ S(x). Pour tout y ∈ Q(x, θ), on obtient donc une fibration ⊕y_{i} ↠ x ↠ y dont le dual est une cofibration y^{⋆} ↪ ⊕y_{i}^{⋆} (proposition 3.8). Puisque c(y^{⋆}) = c(y) ≥ c(y_{i}) = c(y_{i}^{⋆}), il résulte du lemme 3.5 qu’il existe un indice i tel que cette cofibration induit un isomorphisme y_{i}^{⋆} ≃ y^{⋆}. Appliquant à nouveau le foncteur de dualité, on en déduit que le sous-objet y_{i} de x scinde la cofibration x ↠ y, donc y est un facteur direct de x. Si θ ∈ \overline{S}(x) et y = (L, α) ∈ S(x, θ) on démontre de même que y est un facteur direct de x, en utilisant le dual du lemme 3.12 pour produire une cofibration x ↪ ⊕y_{i} (il suffit d’appliquer ce lemme à x^{⋆}, puis de redualiser). On peut aussi appliquer le résultat précédent à y^{⋆} ∈ Q(x^{⋆}, θ^{⋆}), puisque θ^{⋆} est encore un élément maximal de \overline{S}(x^{⋆}) ∪ \overline{Q}(x^{⋆}). On a ainsi démontré que pour tout élément maximal θ de \overline{S}(x) ∪ \overline{Q}(x), les éléments correspondants de S(x, θ) ou Q(x, θ) sont des facteurs directs de x. Donc θ ∈ \overline{S}(x)∩\overline{Q}(x) et \overline{S}(x) et \overline{Q}(x) ont les mêmes éléments maximaux, ce qui achève la démonstration de la proposition. □

Theorem 3.14. (1) Tout objet de N est une somme directe de sous-objets de dimension 1. (2) Si ⊕_{i∈I}(L_{i}, α_{i}) ≃ ⊕_{j∈J}(M_{j}, β_{j}) avec dim_{K} L_{i} = dim_{K} M_{j} = 1, il existe une bijection σ : I → J telle que pour tout i ∈ I, (L_{i}, α_{i}) ≃ (M_{σ(i)}, β_{σ(i)}).

Démonstration. Pour (1), cela résulte de la proposition précédente par récurrence sur la dimension des objets. Pour (2), soit c = max {c(L_{i}, α_{i}), c(M_{j}, β_{j}); i ∈ I, j ∈ J} et supposons par exemple que c = c(L_{i_{0}}, α_{i_{0}}). Si f : ⊕_{i∈I}(L_{i}, α_{i}) → ⊕_{j∈J}(M_{j}, β_{j}) est un isomorphisme, il résulte du corollaire 3.5 qu’existe un indice j_{0} ∈ J tel que f induit un isomorphisme

(L_{i_{0}}, α_{i_{0}}) ↪ ⊕_{i∈I}(L_{i}, α_{i}) ⟶^{f} ⊕_{j∈J}(M_{j}, β_{j}) ↠ (M_{j_{0}}, β_{j_{0}}).

On conclut par récurrence sur la dimension |I| = |J| grace au lemme suivant. □

Lemma 3.15. Soit a : x → x′, b : x → y′, c : y → x′ et d : y → y′ des morphismes de N. Si f = ( \begin{matrix}ac \\ bd \end{matrix}) : x ⊕ y → x′ ⊕ y′ et a : x → x′ sont des isomorphismes, alors e = (−ba^{−1}c + d) est un isomorphisme e : y → y′.

Démonstration. Notant g = ( \begin{matrix}a′c′ \\ b′d′ \end{matrix} ) : x′ ⊕ y′ → x ⊕ y l’inverse de f, on a

( \begin{matrix}ab \\ cd \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}a′b′ \\ c′d′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1_{x′} \\ 1_{y′} \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}a′b′ \\ c′d′ \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}ab \\ cd \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1_{x} \\ & 1_{y} \end{matrix} )

d’où l’on déduit que e ∘ d′ = 1_{y′} et d′ ∘ e = 1_{y}. □

3.5. Produit tensoriel. Soient (V_{1}, α_{1}) et (V_{2}, α_{2}) deux K-espaces vectoriels F - normés. On vérifie facilement que la transposition

t : \underline{Hom} ((V_{1}, α_{1}), (V_{2}, α_{2})) → \underline{Hom} ((V_{2}, α_{2})^{⋆}, (V_{1}, α_{1})^{⋆})

est un morphisme dans N. Comme t ∘ t est un isomorphisme dans N d’après le théorème 3.11, t est une cofibration bijective, donc un isomorphisme dans N. On peut donc définir un produit tensoriel

(V_{1}, α_{1}) ⊗ (V_{2}, α_{2}) = (V_{1} ⊗_{K} V_{2}, α_{1} ⊗ α_{2})

où α_{1} ⊗ α_{2} est la norme sur l’espace sous-jacent V_{1} ⊗_{K} V_{2} de

\underline{Hom} ((V_{1}, α_{1})^{⋆}, (V_{2}, α_{2})) ≃ \underline{Hom} ((V_{2}, α_{2})^{⋆}, (V_{1}, α_{1})) .

On laisse au lecteur le soin de vérifier les formules d’adjonction entre \underline{Hom} et ⊗.

Ce produit tensoriel envoie N_{n} ×N_{m} dans N_{min(n,m)}. En particulier, il munit N_{n} d’un produit tensoriel O_{n} -bilinéaire N_{n}×N_{n} → N_{n} qui admet 1_{n} pour objet neutre. En fait, l’isomorphisme évident entre l’endofoncteur V ↦ K⊗V et l’identité V ↦ V de la catégorie des K-espaces vectoriels induit un isomorphisme entre les foncteurs N → N_{n} qui envoient respectivement x = (V, α) sur 1_{n} ⊗ x et x_{n} = (V, α_{n}). Il suffit de le vérifier pour les objets de K-dimension 1 (d’après le théorème 3.14), pour lesquels cela résulte du lemme 3.7 et du formulaire ci-dessous.

Lemma 3.16. Pour i = 1, 2, soit (L_{i}, α_{i}) un K-espace vectoriel F -normé de Kdimension 1 et de type (ρ_{i}, c_{i}) relativement à une K-base e_{i} de L_{i}. Alors e_{1} ⊗ e_{2} est un vecteur typique de type (ρ_{1} + ρ_{2}, min(c_{1}, c_{2})) de (L_{1}, α_{1}) ⊗ (L_{2}, α_{2}).

Démonstration. Compte tenu de 3.1.4, cela résulte des lemmes 3.6 et 3.7. □

3.6. Groupe de Grothendieck. Le théorème 3.14 montre que K_{0}N s’identifie au groupe abélien libre Z[L] engendré par l’ensemble L qui est décrit dans la proposition 3.1. Le produit tensoriel et le conducteur munissent ce groupe libre d’une structure d’anneau commutatif (non unitaire) et d’une filtration. Le lemme 3.16 montre que le n-ième étage de cette filtration est l’idéal principal engendré par l’idempotent [1_{n}] de K_{0}N ; c’est un sous-anneau unitaire de K_{0}N qui s’identifie au groupe de Grothendieck K_{0}N_{n} de la sous-catégorie N_{n} de N.

3.7. F -dualité et K-dualité. On dispose maintenant de deux dualités sur N :

J(V, α) = (V^{∨}, α^{∨}) et I(V, α) = (V^{⋆}, α^{⋆})

où V^{⋆} = Hom_{K}(V, K) et V^{∨} = Hom_{F} (V, F) est muni de la structure de K-espace vectoriel définie par (λϕ)(v) = ϕ(λv). Pour comparer ces dualités, nous aurons besoin de l’endofoncteur S de N qui à (V, α) associe (V, v ↦ α(ω_{K}v)) où ω_{K}^{−1} est un O_{F} -générateur de D_{K}^{0}. Ce foncteur est bien défini puisque O_{F}^{×}ω_{K} l’est.

Proposition 3.17. Les isomorphismes de K-espaces vectoriels

Tr : V^{⋆} = Hom_{K}(V, K) ⟶^{≃} V^{∨} = Hom_{F} (V, F)

induisent un isomorphisme d’endofoncteur Tr : S ∘ I ⟶^{≃} J. Concrètement, cela signifie que pour tout (V, α) ∈ N et ϕ ∈ V^{⋆}, α^{∨}(Trϕ) = α^{⋆}(ω_{K}ϕ).

Démonstration. Soit (1, γ_{K}) une O_{F} -base de O_{K} telle que γ_{K} soit une uniformisante de O_{K} si K/F est ramifiée. On note (1^{∨}, γ_{K}^{∨}) la O_{F} -base duale de D_{K} relativement à Tr : O_{K} ⊗ D_{K} → O_{F}, de sorte que D_{K}^{0} = O_{F} γ_{K}^{∨}. On prend ω_{K}^{−1} = γ_{K}^{∨}.

D’après le théorème 3.14, il suffit de démontrer la proposition lorsque (V, α) est de K-dimension 1 et de type (ρ, c) relativement à une K-base e de V. Soient β_{1} et β_{2} les normes sur V^{⋆} définies par β_{1}(ϕ) = α^{⋆}(ω_{K}ϕ) et β_{2}(ϕ) = α^{∨}(Tr(ϕ)). D’après le lemme 3.10, (V^{⋆}, α^{⋆}) est de type (c−ρ, c) relativement à la K-base duale e^{⋆} de V^{⋆}, donc (V^{⋆}, β_{1}) est de type (c − ρ, c) relativement à e′ = γ_{K}^{∨}e^{⋆}. D’autre part, le lemme 3.2 montre que (e, γ_{K}e) est une F -base de V adaptée à α avec α(e) = q^{ρ−c} et α(γ_{K}e) = q^{ρ}. La F -base duale (e^{∨}, (γ_{K}e)^{∨}) est donc adaptée à α^{∨} avec α^{∨}(e^{∨}) = q^{c−ρ} et α^{∨}((γ_{K}e)^{∨}) = q^{−ρ}. Puisque

(e^{∨}, (γ_{K}e)^{∨}) = (Tr(1^{∨}e^{⋆}), Tr(γ_{K}^{∨}e^{⋆})) = (Tr(−\overline{γ}_{K} · e′), Tr(e′)) ,

on en déduit que (e′, −\overline{γ}_{K}e′) est une F -base de V^{⋆} adaptée à β_{2} = α^{∨} ∘ Tr avec β_{2}(e′) = q^{−ρ} et β_{2}(−\overline{γ}_{K}e′) = q^{c−ρ}. Une nouvelle application du lemme 3.2 montre enfin que (V^{⋆}, β_{2}) est de type (c − ρ, c) relativement à e′, donc β_{1} = β_{2} sur V^{⋆}. □

4. Les K-espaces Hermitiens F -normés

On suppose dorénavant que 2 ∈ O_{F}^{×}. On fixe une O_{F} -base (1, η) de O_{K} telle que Trη = 0. Alors η est une uniformisante de O_{K} si K/F est ramifiée et η^{−1} est un O_{F} -générateur de D_{K}^{0}. On peut donc prendre γ_{K} = η dans le lemme 3.2 et ω_{K} = η dans la proposition 3.17. On note μ = η^{−2} et |μ| = q^{2δ}, de sorte que δ = 0 si K/F est inerte et δ = \frac{1}{2} si K/F est ramifiée.

Pour tout K-espace vectoriel V, on note V^{ι} le K-espace vectoriel d’espace sousjacent V muni de l’action de K tordue par l’automorphisme λ ↦ \overline{λ} de K/F. On étend cela en un endofoncteur de N en posant (V, α)^{ι} = (V^{ι}, α). On vérifie aisément que (V, α) ≃ (V, α)^{ι} lorsque dim_{K} V = 1, donc aussi pour tout (V, α) ∈ N d’après le théorème 3.14.

4.1. La catégorie M.

4.1.1. Définition. Un K-espace Hermitien F -normé est un K-espace Hermitien (V, ψ)^{3} muni d’une F -norme α ∈ I(V, ϕ), où ϕ = Trψ est la forme F -bilinéaire symétrique et non dégénérée associée à ψ. Un morphisme de K-espace Hermitien F -normé f : (V_{1}, ψ_{1}, α_{1}) → (V_{2}, ψ_{2}, α_{2}) est une application K-linéaire f : V_{1} → V_{2} telle que

∀x, y ∈ V_{1} : ψ_{2}(f(x), f(y)) = ψ_{1}(x, y) et α_{2}(f(x)) ≤ α_{1}(x).

On note M la catégorie ainsi définie. C’est une catégorie additive :

(V_{1}, ψ_{1}, α_{1}) ⊕ (V_{2}, ψ_{2}, α_{2}) = (V_{1}⊥V_{2}, ψ_{1}⊥ψ_{2}, sup {α_{1}, α_{2}}) .

4.1.2. Soit (V, ψ) un K-espace hermitien et α ↦ \overline{α} l’involution de N (V) définie par ϕ = Trψ. Soient Δ_{ϕ} : V → V^{∨ι} et Δ_{ψ} : V → V^{⋆ι} les K-isomorphismes définis par Δ_{ϕ}(x)(y) = ϕ(x)(y) et Δ_{ψ}(x)(y) = ψ(x)(y). Pour tout α ∈ N (V), \overline{α} est l’image inverse de la norme α^{∨} de V^{∨ι} par la flèche Δ_{ϕ} du diagramme commutatif

\xymatrix{ & V \ar[dl]_{Δ_{ψ}} \ar[dr]^{Δ_{ϕ}} \\ V^{⋆ι} = Hom_{K}(V, K)^{ι} \ar[rr]^{Tr} &  & V^{∨ι} = Hom_{F} (V, F)^{ι}.}

D’après la proposition 3.17, c’est aussi l’image inverse par Δ_{ψ} de la norme α^{⋆}(η•) de V^{⋆ι}, ou encore l’image inverse par Δ_{ηψ} de la norme α^{⋆} de V^{⋆ι}. En particulier,

α ∈ I(V, ϕ) ⟺ Δ_{ηψ} : (V, α) → (V^{⋆}, α^{⋆})^{ι} est un isomorphisme de N.

3Par convention : V est de dimension finie, ψ est non dégénérée et pour tout x, y ∈ V et λ ∈ K, ψ(λx, y) = \overline{λ}ψ(x, y), ψ(x, λy) = λψ(x, y) et ψ(y, x) = \overline{ψ(x, y)}.

4.1.3. Conservant les notations ci-dessus, supposons que V = V_{+} ⊕ V_{−} est la somme directe de deux sous-K-espaces vectoriels totalement isotropes (maximaux). Soient α ∈ N (V), α_{+} = α|V_{+} et α_{−} = α|V_{−}. Alors deux quelconques des trois conditions suivantes impliquent la troisième : (1) α ∈ I(V, ϕ), (2) α = sup{α_{+}, α_{−}} (i.e. α se décompose selon V = V_{+} ⊕ V_{−}), et (3) Δ_{ηψ} : (V_{−}, α_{−}) → (V_{+}, α_{+})^{⋆ι} est un isomorphisme dans N. Cela résulte en effet de 2.2.5, compte tenu de la proposition 3.17. L’application α ↦ α_{+} est une isométrie de l’ensemble des normes α ∈ I(V, ϕ) qui se décomposent selon V = V_{+} ⊕ V_{−} sur l’ensemble N (V_{+}).

4.1.4. Si (V, ψ) est anisotrope, I(V, ϕ) = {|Q(•)|^{1/2}} où Q(x) = ψ(x, x) est la forme quadratique associée à ψ (cf. 2.2.2). Il y a exactement quatre classes d’isomorphismes de K-espaces Hermitiens anisotropes, représentées par 0,

A_{1} = (K, \overline{x}y), A_{ν} = (K, ν\overline{x}y) et B = \begin{cases}A_{1}⊥A_{ν} & si − 1 ∈ NK^{×} \\ A_{1}^{2} ≃ A_{ν}^{2} & si − 1 ∉ NK^{×} \end{cases}

où ν est un élément quelconque de F^{×} − NK^{×}. Les classes d’isomorphismes des K-espaces vectoriels F -normés sous-jacents sont donc 0, a_{1}, a_{ν} et b = a_{1} + a_{ν} ou b = 2a_{1} = 2a_{ν} dans N[L], où pour tout f ∈ F, on note a_{f} l’image dans L du type (r − δ, −δ) ∈ L̃ déterminé par |f| = q^{2r}.

4.1.5. Une K-décomposition de Witt de (V, ψ) est une décomposition

(4.1)  (V, ψ) = (V_{0}, ψ_{0})⊥ (⊥_{i=1}^{r} (D_{i} ⊕ D_{−i}, ψ_{i}))

où (V_{0}, ψ_{0}) est anisotrope et H_{i} = D_{i} ⊕ D_{−i} est une décomposition du K-plan hyperbolique H_{i} de V en somme directe de deux K-droites isotropes. La classe d’isomorphisme de (V_{0}, ψ_{0}) est uniquement determinée par celle de (V, ψ) et r est le K-indice de Witt de (V, ψ). L’application α ↦ (α|D_{1}, ⋯, α|D_{r}) est une bijection de l’ensemble des normes α ∈ I(V, ϕ) qui se décomposent selon (4.1) sur l’ensemble N (D_{1}) × ⋯ × N (D_{r}).

4.2. Théorème de structure.

Theorem 4.1. Soit (V, ψ) un K-espace Hermitien et ϕ = Trψ. Pour toute norme α ∈ I(V, ϕ), il existe une K-décomposition de Witt adaptée à α.

Démonstration. On fixe α ∈ I(V, ϕ). Pour des sous-K-espaces vectoriels W_{2} ⊂ W_{1} de V, on munit X = W_{1}/W_{2} de la norme induite α_{X}(w_{1} + W_{2}) = inf α(w_{1} + W_{2}), et le K-dual X^{⋆} de ce sous-quotient de la norme duale α_{X}^{⋆}. Si X = W_{1}/W_{2} et Y = W_{2}^{⊥}/W_{1}^{⊥}, on sait donc d’après 4.1.2 que Δ_{ηψ} : (X, α_{X}) → (Y, α_{Y})^{⋆ι} est un isomorphisme dans N.

Si (V, ψ) est anisotrope, il n’y a rien à démontrer. Sinon, il existe dans V des K-droites isotropes. Soit D une telle droite, choisie grâce à la première partie de la proposition 3.13 parmi celles dont la classe d’isomorphisme [D, α_{D}] dans L est maximale pour le préordre ≺.

Soit (ρ, c) le type de (D, α_{D}) relativement à une K-base e de D. Alors (D^{⋆}, α_{D}^{⋆}) est de type (c−ρ, c) relativement à la K-base duale e^{⋆} de D^{⋆}, donc (V/D^{⊥}, α_{V/D^{⊥}}) est de type (c − ρ, c) relativement à la K-base ϵ = e′ + D^{⊥} de V/D^{⊥}, et cela pour tout vecteur e′ de V tel que ηψ(e′, e) = 1. Comme inf α(e′ + D^{⊥}) = q^{−ρ}, on peut de plus supposer que α(e′) = q^{−ρ}. Mais alors

|ψ(e′, e′)| = |\frac{1}{2}ϕ(e′, e′)| ≤ α(e′)^{2} = q^{−2ρ}

puisque α ∈ I(V, ϕ), donc

α(\frac{η}{2} ψ(e′, e′)e) = |ψ(e′, e′)| α(ηe) ≤ q^{−ρ}

puisque α(ηe) = q^{ρ} d’après le lemme 3.2, de sorte que

q^{−ρ} ≤ α(e′ − \frac{η}{2} ψ(e′, e′)e) ≤ sup \{α(e′), α (\frac{η}{2} ψ(e′, e′)e)\} ≤ q^{−ρ}

et finalement α(e′ − \frac{η}{2} ψ(e′, e′)e) = q^{−ρ} : quitte à changer e′ en e − \frac{η}{2} ψ(e′, e′)e, on peut donc également supposer que e′ est un vecteur isotrope de V.

Soit D′ la K-droite isotrope de V engendrée par e′. Compte tenu des hypothèses sur D, il résulte du corollaire 3.4 que (D′, α_{D′}) ↪ (V, α) ↠ (V/D^{⊥}, α_{V/D^{⊥}}) est un isomorphisme de N. On obtient donc une K-décomposition D^{⊥} ⊕ D′ de V qui est adaptée à α. A fortiori, la K-décomposition H = D⊕D′ du K-plan hyperbolique H de V est adaptée à α|H. Puisque Δ_{ηψ} : (D′, α_{D′}) → (D, α_{D})^{⋆ι} est le composé des isomorphismes (D′, α_{D′}) → (V/D^{⊥}, α_{V/D^{⊥}}) et Δ_{ηψ} : (V/D^{⊥}, α_{V/D^{⊥}}) → (D, α_{D})^{⋆ι}, c’est encore un isomorphisme dans N. Donc α|H ∈ I(H, ϕ|H) d’après 4.1.3 et V = H⊥H^{⊥} est adaptée à α d’après 2.2.4. Finalement, V = (D ⊕ D′)⊥H^{⊥} est une K-décomposition de V qui est adaptée à α, et le théorème en résulte par récurrence sur l’indice de Witt de (V, ψ). □

4.3. Invariants.

4.3.1. On note ⋆ l’involution de L ou Z[L] ≃ K_{0}N induite par la dualité ⋆ de N, \overline{L} le quotient de L par cette involution, I l’image de l’endomorphisme (Id + ⋆) de Z[L] et s : Z[\overline{L}] → I l’isomorphisme défini par le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{Z[L] \ar[r]^{Id+⋆} \ar@{->>}[d]_{can} & Z[L] \\ Z[\overline{L}] \ar[r]^{s} & I \ar@{^{(}->}[u]_{incl}}

On peut bien sûr décrire \overline{L} comme un quotient de l’ensemble L̃ de 3.2.3, mais il est préférable ici d’appliquer aux coordonnées (ρ, c) de L̃ la transformation linéaire

( \begin{matrix}θ \\ c \end{matrix}) = ( \begin{matrix}2 −1 \\ 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ρ \\ c \end{matrix}) ⟺ ( \begin{matrix}ρ \\ c \end{matrix}) = ( \begin{matrix}1/2 1/2 \\ 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}θ \\ c \end{matrix})

Dans ces nouvelles coordonnées (θ, c), les relations de la proposition 3.10 deviennent (θ, c) ∼ (θ+2, c) et (θ, \frac{−1}{2}) ∼ (θ+1, \frac{−1}{2}) (si K/F est ramifiée), tandis que la formule du lemme 3.10 qui décrit l’action de ⋆ sur L s’écrit plus simplement [θ, c]^{⋆} = [−θ, c]. Un système de représentants pour \overline{L} est donc

– (θ, c) ∈ [0, 1] × [0, ∞[ si K/F est non ramifiée,

– (θ, c) ∈ ([0, 1]×] − \frac{1}{2}, ∞[) ∪ ([0, \frac{1}{2}] × \{\frac{−1}{2}\}) si K/F est ramifiée.

4.3.2. A tout K-espace Hermitien F -normé (V, ψ, α), on peut attacher les deux invariants que sont (1) la classe d’isomorphisme [V, ψ] du K-espace Hermitien (V, ψ), et (2) la classe d’isomorphisme [V, α] du K-espace F -normé (V, α). Soit d’autre part (V, ψ) = (V_{0}, ψ_{0})⊥ (⊥_{i=1}^{r}(V_{i} ⊕ V_{−i}, ψ_{i})) une K-décomposition de Witt adaptée à α et α_{i} = α|V_{i}. Alors [V, ψ] détermine la classe d’isomorphisme [V_{0}, ψ_{0}] du K-espace Hermitien anisotrope (V_{0}, ψ_{0}), qui à son tour détermine (d’après 4.1.4) la classe d’isomorphisme [V_{0}, α_{0}] du K-espace F -normé (V_{0}, α_{0}). On sait aussi que Δ_{ηψ_{i}} induit un isomorphisme dans N entre (V_{−i}, α_{−i}) et (V_{i}, α_{i})^{⋆ι}. On obtient donc un nouvel invariant ω[V, ψ, α] ∈ N[\overline{L}] défini par

ω[V, ψ, α] = s^{−1}([V, α] − [V_{0}, α_{0}]) = can (∑_{i=1}^{r}[V_{i}, α_{i}]) .

Il est clair que le couple ([V_{0}, ψ_{0}], ω[V, ψ, α]) détermine uniquement la classe d’isomorphisme [V, ψ, α] de (V, ψ, α) dans M. On obtient ainsi une bijection de [M] sur [A] × N[\overline{L}], où [A] est l’ensemble à quatre éléments des classes d’isomorphismes de K-espaces Hermitiens anisotropes.

4.3.3. La discussion qui précède montre également que les invariants [V, ψ] et [V, α] déterminent uniquement [V, ψ, α]. On sait d’autre part que les K-espaces Hermitiens sont classifiés par deux invariants : le déterminant det(V, ψ) ∈ F^{×}/NK^{×} et la Kdimension de V. Donc det(V, ψ) et [V, α] suffisent encore à déterminer [V, ψ, α], puisque dim_{K} V est aussi le degré de [V, α] ∈ Z[L]. Ces deux invariants induisent un plongement de K_{0}M dans F^{×}/NK^{×} × Z[L] dont on laisse au lecteur le soin d’expliciter l’image. Mentionnons en revanche deux conséquences immédiates de cette classification : (1) si α_{1}, α_{2} ∈ I(V, ϕ) sont conjuguées par un élément de GL_{K}(V), elles le sont aussi par un élément de U(V, ψ) ; (2) si X, Y et Z sont trois objets de M, alors X ⊕ Z ≃ Y ⊕ Z ⟹ X ≃ Y.

4.3.4. Lorsque K/F n’est pas ramifiée, les classes d’isomorphisme des K-espaces F -normés sous-jacents aux quatre classes d’isomorphisme de K-espaces Hermitiens anisotropes sont distinctes modulo le sous-groupe I de Z[L] ≃ K_{0}N, cf. 4.1.4. On en déduit que l’invariant [V, α] ∈ N[L] suffit alors à determiner [V, ψ, α].

4.4. Un exemple.

4.4.1. Soit n ∈ N, (V, ψ) un K-espace Hermitien de K-dimension n+1 et ϕ = Trψ. On suppose qu’il existe dans (V, ϕ) une F -base orthogonale

B = (v_{0}, w_{1}, v_{1}, w_{2}, ⋯, v_{n}, w_{n+1}) avec \begin{cases}v_{i} = ηw_{i+1} & (i = 0, ⋯, n) \\ Q(v_{i}) + Q(w_{i}) = 0 & (i = 1, ⋯, n) \end{cases}

Une telle base nous fournit donc deux décompositions orthogonales de (V, ϕ) :

V = Kw_{1}⊥ ⋯ ⊥Kw_{n+1} = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n}⊥F w_{n+1}

où H_{i} = F w_{i} ⊕ F v_{i} est un F -plan hyperbolique de V, dont les droites isotropes sont engendrées par les vecteurs e_{±i} = \frac{1}{2}(v_{i} ± w_{i}). On considère sur V une norme auto-duale α ∈ I(V, ϕ) qui est adaptée à cette seconde décomposition. Alors α|F v_{0}, α|F w_{n+1} et chacune des α|H_{i} sont auto-duales. Pour i ∈ {1, ⋯, n}, on note s_{i} et r_{i} les nombres réels définis par

α(e_{±i}) = q^{r_{i}±s_{i}} où |Q(v_{i})| = |Q(w_{i})| = |ϕ(e_{i}, e_{−i})| = q^{2r_{i}}

(donc r_{i+1} = r_{i} + δ) et on suppose que

0 ≤ s_{1} ≤ s_{3} ≤ ⋯ ≤ s_{2⌊\frac{n−1}{2}⌋+1} et 0 ≤ s_{2} ≤ s_{4} ≤ ⋯ ≤ s_{2⌊\frac{n}{2}⌋}.

On note alors que α(v_{i}) = q^{r_{i}+s_{i}} = α(w_{i}) pour tout i, où l’on a posé s_{0} = s_{n+1} = 0, |Q(w_{n+1})| = q^{2r_{n+1}} et |Q(v_{0})| = q^{2r_{0}} (donc r_{i} = r_{0} + iδ pour tout i).

4.4.2. La classe d’isomorphisme [V, ψ] du K-espace Hermitien (V, ψ) est uniquement déterminée par la K-dimension n + 1 de V et le déterminant

det_{K}(V, ψ) = ∏_{i=1}^{n+1} Q(w_{i}) ∈ F^{×}/NK^{×}.

Or Q(w_{i}) = −Q(v_{i}) = −N(η)Q(w_{i+1}) donc

det_{K}(V, ψ) ≡ (−1)^{\frac{n(n+1)}{2}} Q(v_{n})^{n+1} ∈ F^{×}/NK^{×}.

Le F -indice de Witt de (V, ϕ) est n ou n + 1, et le K-indice de Witt de (V, ψ) est donc exactement ⌊\frac{n+1}{2}⌋, qui est congru à \frac{n(n+1)}{2} modulo 2. On en déduit que la “partie anisotrope” de (V, ψ) est triviale si n est impair, et isomorphe à A_{Q(v_{n})} = (K, Q(v_{n})\overline{x}y) sinon. La “partie anisotrope” de (V, α) est donc triviale si n est impair, de type (r_{n} − δ, −δ) ∼ (−r_{0}, −δ) sinon.

4.4.3. Pour i = 0, ⋯, n, on note x_{i} l’élément de L ou \overline{L} représenté par

(ρ_{i}, c_{i}) ∈ L̃ avec ρ_{i} = s_{i} − r_{i} et c_{i} = s_{i} + s_{i−1} − δ

où s_{−1} = s_{0} = 0, donc (ρ_{0}, c_{0}) = (−r_{0}, −δ).

Proposition 4.2. Avec ces notations,

[V, α] = \{ \begin{matrix}x_{0} & + & (Id + ⋆)(x_{2} + x_{4} + ⋯ + x_{n}) & si n est pair \\ & & (Id + ⋆)(x_{1} + x_{3} + ⋯ + x_{n}) & si n est impair \end{matrix} dans N[L]

tandis que

ω(V, ψ, α) = \begin{cases}x_{2} + x_{4} + ⋯ + x_{n} & si n est pair, \\ x_{1} + x_{3} + ⋯ + x_{n} & si n est impair \end{cases} dans N[\overline{L}]

Démonstration. Compte tenu des calculs de la section précédente, il suffit de démontrer la seconde formule. Si n = 0, V est anisotrope donc ω[V, ψ, α] = 0. Si n = 1, on pose

E_{+} = w_{1} − v_{1} et E_{−} = \frac{1}{2Q(w_{1})}(μv_{0} + w_{2}).

Alors Q(E_{+}) = Q(E_{−}) = 0, ηψ(E_{+}, E_{−}) = 1 et

\{ \begin{matrix}α(E_{+}) & = & q^{r_{1}−s_{1}} & et & α(ηE_{+}) & = & q^{r_{0}}, \\ α(E_{−}) & = & q^{δ−r_{1}} & et & α(ηE_{−}) & = & q^{s_{1}−r_{1}}. \end{matrix}

On vérifie facilement que (E_{±}, ηE_{±}) est une F -base de KE_{±} qui est adaptée à la restriction α_{±} = α|KE_{±} de α. Le lemme 3.2 montre alors que

\begin{cases}α_{+} & est de type (r_{0}, s_{1} − δ) = (ρ_{1}, c_{1})^{⋆} relativement à E_{+}, \\ α_{−} & est de type (s_{1} − r_{1}, s_{1} − δ) = (ρ_{1}, c_{1}) relativement à E_{−}. \end{cases}

D’après 4.1.3 (et le lemme 3.10), la décomposition hyperbolique V = KE_{+} ⊕ KE_{−} est donc adaptée à α et ω[V, ψ, α] = x_{1} dans N[\overline{L}]. Supposons maintenant que n ≥ 2. On pose

E_{+} = w_{n} − v_{n} et E_{−} = \frac{1}{Q(v_{n−1})}(w_{n−1} − v_{n−1}).

Alors Q(E_{+}) = Q(E_{−}) = 0, ηψ(E_{+}, E_{−}) = 1 et

\{ \begin{matrix}α(E_{+}) & = & q^{r_{n}−s_{n}} & et & α(ηE_{+}) & = & q^{r_{n−1}+s_{n−1}} \\ α(E_{−}) & = & q^{−r_{n−1}−s_{n−1}} & et & α(ηE_{−}) & = & q^{s_{n}−r_{n}} \end{matrix}

Soit β_{±} la restriction de α à KE_{±} et β la norme sup β_{±} sur le K-plan hyperbolique H = KE_{+} ⊕ KE_{−} de V. Comme précédemment, on voit que

\{ \begin{matrix}β_{+} est de type (r_{n−1} + s_{n−1}, s_{n−1} + s_{n} − δ) = (ρ_{n}, c_{n})^{⋆} relativement à E_{+}, \\ β_{−} est de type (s_{n} − r_{n}, s_{n−1} + s_{n} − δ) = (ρ_{n}, c_{n}) relativement à E_{−}, \end{matrix}

donc β ∈ I(H, ϕ|H) d’après 4.1.3. On en déduit que β = α|H : on sait déjà que β(x) ≥ α(x) pour tout x ∈ H, donc aussi

α(x) = sup_{y∈V} \frac{|ϕ(x, y)|}{α(y)} ≥ sup_{y∈H} \frac{|ϕ(x, y)|}{α(y)} ≥ sup_{x∈H} \frac{|ϕ(x, y)|}{β(y)} = β(x).

En particulier, V = H^{⊥}⊥H est une K-décomposition orthogonale adaptée à α. Si n = 2, H^{⊥} est anisotrope et ω[V, ψ, α] = x_{2} dans N[\overline{L}]. Si n ≥ 3, on obtient une décomposition

V = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n−3}⊥V′⊥H

qui est adaptée à α, avec V′ = F w_{n−2}⊥W′ où W′ est une K-droite anisotrope, à savoir le complémentaire orthogonal du K-plan hyperbolique H dans le Kespace Hermitien Kw_{n−1}⊥Kw_{n}⊥Kw_{n+1}. D’après le lemme 2.2.7, on peut trouver un vecteur v′_{n−2} dans W′ tel que Q(w_{n−2}) + Q(v′_{n−2}) = 0 et α(v′_{n−2} ± w_{n−2}) = q^{r_{n−2}±s_{n−2}}. Alors H′_{n−2} = F w_{n−2} ⊕ F v′_{n−2} est un F -plan hyperbolique de V′ dont les droites isotropes sont F (v′_{n−2} ± w_{n−2}), l’orthogonal de H′_{n−2} dans V′ est la F -droite engendrée par w′_{n−1} = η^{−1}v′_{n−2} et la décomposition

V = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n−3}⊥H′_{n−2}⊥F w′_{n−1}⊥H

est adaptée à α, ce qui nous permet enfin de conclure par récurrence. □

5. Les K-espaces quasi-Hermitiens F -normés

On conserve les hypothèses et les notations de la section 4.

5.1. La catégorie M′.

5.1.1. Définition. Un K-espace quasi-Hermitien est un F -espace quadratique muni d’un F -hyperplan qui est un K-espace Hermitien. Concrètement, se donner un Kespace quasi-Hermitien x revient à se donner un F -espace quadratique non dégénéré (V_{x}, ϕ_{x}) de F -dimension impaire, une F -droite anisotrope D_{x} de V_{x} et une structure de K-espace Hermitien (W_{x}, ψ_{x}) sur l’orthogonal W_{x} de D_{x} dans V_{x} telle que Tr_{K/F} ∘ ψ_{x} = ϕ_{x}|W_{x}. Un K-espace quasi-Hermitien F -normé est un K-espace quasi-Hermitien x muni d’une norme auto-duale α_{x} ∈ I(V_{x}, ϕ_{x}). Un morphisme de K-espace quasi-Hermitien F -normés f : x → y est une application F -linéaire f : V_{x} → V_{y} qui préserve toutes les structures. On note M′ la catégorie ainsi définie.

5.1.2. La somme directe z = x ⊕ y d’un K-espace Hermitien F -normé x et d’un K-espace quasi-Hermitien F -normé y est le K-espace quasi-Hermitien F -normé z defini par les relations suivantes, où x = (W_{x}, ψ_{x}, α_{x}) :

(V_{z}, ϕ_{z}, α_{z}) = (W_{x}, Trψ_{x}, α_{x})⊥(V_{y}, ϕ_{y}, α_{y}) et (W_{z}, ψ_{z}) = (W_{x}, ψ_{x})⊥(W_{y}, ψ_{y}).

On obtient ainsi un bifoncteur ⊕ : M × M′ → M′.

5.1.3. Si l’on fixe un K-espace quasi-Hermitien z, l’ensemble des décompositions de z en somme directe z = x⊕y avec x ∈ M et y ∈ M′ est en bijection avec l’ensemble des K-sous-espaces W_{x} de W_{z} qui sont réguliers (i.e. ψ_{z}|W_{z} est non-dégénérée) et tels que α_{z}|W_{x} ∈ I(W_{x}, ϕ_{z}|W_{x}). On dit de z que c’est un objet essentiel de M′, ou encore que la norme auto-duale α_{z} du K-espace quasi-Hermitien sous-jacent à z est essentielle lorsque W_{x} = 0 est l’unique tel sous-espace, c’est-à-dire lorsque l’équation z = x ⊕ y implique x = 0.

5.1.4. La projection y = prx d’un K-espace quasi-Hermitien F -normé x est le K-espace Hermitien F -normé y défini par

y = (W_{x}, ψ_{x}, pr_{W_{x}}α_{x})

où pr_{W_{x}}α_{x} est la projection convexe de α_{x} ∈ I(V_{x}, ϕ_{x}) sur I(W_{x}, ϕ_{x}|W_{x}), cf. 2.2.8. On obtient ainsi un foncteur pr : M′ → M que l’on note aussi x ↦ \underline{x}.

5.1.5. L’extension y = exx d’un K-espace quasi-Hermitien F -normé x est le Kespace Hermitien F -normé y = (W_{y}, ψ_{y}, α_{y}) défini par

(W_{y}, ψ_{y}) = (W_{x}, ψ_{x})⊥(K ⊗_{F} D_{x}, ψ) et (W_{y}, α_{y}) = (V_{x}, α_{x})⊥(ηD_{x}, α)

où pour tout λ_{1}, λ_{2} ∈ K, d_{1}, d_{2} ∈ D_{x} et d ∈ ηD_{x},

ψ(λ_{1} ⊗ d_{1}, λ_{2} ⊗ d_{2}) = \frac{1}{2}\overline{λ}_{1}λ_{2}ϕ_{x}(d_{1}, d_{2}) et α(d) = |Q(d)|^{1/2}

si Q(ℓ) = ψ(ℓ, ℓ) (pour ℓ ∈ K ⊗_{F} D_{x}) est la forme quadratique (anisotrope) associée à ψ. On obtient ainsi un foncteur ex : M′ → M que l’on note aussi x ↦ \overline{x}.

5.1.6. Pour tout x_{1}, x_{2} ∈ M et y ∈ M′,

(x_{1} ⊕ x_{2}) ⊕ y = x_{1} ⊕ (x_{2} ⊕ y) dans M′.

Pour tout x ∈ M et y ∈ M′,

pr(x ⊕ y) = x ⊕ pr(y) et ex(x ⊕ y) = x ⊕ ex(y) dans M.

5.2. Objets spéciaux. On fixe dans cette section un K-espace quasi-Hermitien F -normé y dont on note (V, ϕ) l’espace quadratique, (W, ψ) le K-espace Hermitien, D = W^{⊥} ⊂ V la droite anisotrope, α la norme et 2n + 1 la F -dimension.

5.2.1. Une base spéciale de V est une F -base orthogonale de V,

B = (v_{0}, w_{1}, v_{1}, w_{2}, ⋯, w_{n}, v_{n})

telle que F v_{n} = D, v_{i−1} = ηw_{i} et Q(v_{i}) + Q(w_{i}) = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n. Une telle base fournit donc deux décompositions orthogonales de V,

V = Kw_{1}⊥ ⋯ ⊥Kw_{n}⊥D = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n}

où H_{i} = F w_{i}⊥F v_{i} est un F -plan hyperbolique de V dont les droites isotropes sont engendrées par les vecteurs e_{±i} = \frac{1}{2}(v_{i} ± w_{i}).

5.2.2. On dit que y (ou α) est spécial s’il existe une base spéciale B de V comme ci-dessus qui est strictement adaptée à α, c’est-a-dire telle que (1) la décomposition V = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n} définie par B est adaptée à α, et (2) les réels s_{i} définis comme dans la section 4.4.1 par

α(e_{±i}) = q^{r_{i}±s_{i}} où |Q(v_{i})| = |Q(w_{i})| = |ϕ(e_{i}, e_{−i})| = q^{2r_{i}}

vérifient les inégalités strictes

0 < s_{1} < s_{3} < ⋯ < s_{2⌊\frac{n−1}{2}⌋+1} et 0 < s_{2} < s_{4} < ⋯ < s_{2⌊\frac{n}{2}⌋}.

Si tel est le cas, α(v_{i}) = q^{r_{i}+s_{i}} = α(w_{i}) pour tout i, avec s_{0} = 0 et |Q(v_{0})| = q^{2r_{0}} (donc r_{i} = r_{0} + iδ). On dit que (s_{1}, ⋯, s_{n}) est le type de α relativement à B.

5.2.3. Conservant les hypothèses et notations ci-dessus, notons

\underline{y} = pry = (W, ψ, \underline{α}) et \overline{y} = exy = (\overline{W} , \overline{ψ}, \overline{α}).

Il résulte de 2.2.8 que la norme auto-duale \underline{α} de W se décompose selon

W = H_{n}^{⊥}⊥F w_{n} = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n−1}⊥F w_{n}

avec \underline{α}|H_{i} = α|H_{i} pour i = 1, ⋯, n − 1. De même, notant w_{n+1} l’élément de \overline{W} = W ⊥K ⊗_{F} D défini par ηw_{n+1} = v_{n}, on vérifie immédiatement que la norme auto-duale \overline{α} de \overline{W} se décompose selon

\overline{W} = V ⊥F w_{n+1} = F v_{0}⊥H_{1}⊥ ⋯ ⊥H_{n}⊥F w_{n+1}

avec \overline{α}|H_{i} = α|H_{i} pour i = 1, ⋯, n.

Proposition 5.1. Pour tout 0 ≤ i ≤ n, on note y_{i} l’élément de L ou \overline{L} representé par (ρ_{i}, c_{i}) ∈ L̃ avec c_{i} = s_{i} + s_{i−1} − δ et ρ_{i} = s_{i} − r_{i} (où s_{−1} = 0). Alors

ω(\overline{y}) = ∑_{i≡n mod 2} y_{i} et ω(\underline{y}) = ∑_{i≢n mod 2} y_{i} dans N[\overline{L}]

où les sommes portent sur i ∈ {1, ⋯, n}, et les K-espaces F -normés sous-jacents aux “parties anisotropes” de \overline{y} et \underline{y} sont respectivement de type y_{0} et 0 ou 0 et y_{0} selon que n est pair ou impair.

Démonstration. Cela résulte immédiatement de la proposition 4.2. □

5.2.4. Puisque c(y_{1}) < ⋯ < c(y_{n}), les invariants ω(\overline{y}) et ω(\underline{y}) déterminent le nuplet (y_{1}, ⋯, y_{n}) ∈ \overline{L}, qui à son tour détermine les c_{i} = c(y_{i}), qui enfin déterminent le n-uplet (s_{1}, ⋯, s_{n}) d’après les formules de récurrence s_{0} = 0 et s_{i} = c_{i} +δ−s_{i−1}. Ce n-uplet ne dépend donc pas du choix de la base B strictement adaptée à α : on l’appelle le type de l’objet spécial y (ou de la norme spéciale α ∈ I(V, ϕ)).

5.2.5. A tout objet spécial y de M′, on peut associer les deux invariants que sont (1) le déterminant (= la classe d’isomorphisme) de (D_{y}, ϕ_{y}|D_{y}) et (2) le type de y tel qu’on vient de le définir. On obtient ainsi une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets spéciaux de M′ sur le produit de F^{×}/(F^{×})^{2} et de S = ∐_{n∈N} S_{n} où S_{n} est l’ensemble des suites (s_{1}, ⋯, s_{n}) ∈ R_{>0}^{n} telles que s_{i} < s_{i+2} pour tout 1 ≤ i ≤ n − 2 (par convention : S_{0} = {∅} ≠ ∅ correspond aux objets spéciaux de F -dimension 1).

5.3. Théorème de structure.

Theorem 5.2. Pour tout objet y de M′, les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) y est essentiel, (2) y est spécial, (3) les supports des images de \overline{y} et \underline{y} dans K_{0}N ≃ Z[L] sont disjoints.

Démonstration. (2) ⇒ (3) résulte facilement de la proposition 5.1 et (3) ⇒ (1) est trivial. Montrons (1) ⇒ (2). Soit donc y un K-espace quasi-Hermitien F -normé dont on note (V, ϕ) l’espace quadratique, (W, ψ) le K-espace Hermitien, D = W^{⊥} la droite anisotrope distinguée et α la norme. On suppose que α est essentielle et on raisonne par récurrence sur l’entier n tel que 2n + 1 = dim V. Si n = 0, il n’y a rien à démontrer. Supposons donc que n > 0. Soit v_{n} un vecteur non nul de la F -droite anisotrope D de V et r_{n} et s_{n} les réels définis respectivement par |Q(v_{n})| = q^{2r_{n}} et α(v_{n}) = q^{r_{n}+s_{n}}. Alors s_{n} > 0 et l’ensemble

W_{n} := {w_{n} ∈ W |Q(v_{n}) + Q(w_{n}) = 0 et α(v_{n} ± w_{n}) = q^{r_{n}±s_{n}}}

est non vide d’après le lemme 2.1. Notant que la fonction w ↦ α(ηw) est minorée sur W_{n} par la constante q^{r_{n}−δ} > 0, on choisit dans W_{n} un élément w_{n} tel que α(ηw_{n}) = inf α(ηW_{n}). Soit V′ l’orthogonal dans V du F -plan hyperbolique H_{n} = F w_{n} ⊕ F v_{n}, D′ la F -droite de V′ engendrée par ηw_{n} et W′ l’orthogonal de D′ dans V′. Alors W′ est aussi l’orthogonal de Kw_{n} dans W, et c’est donc un F - hyperplan K-Hermitien de V′. Puisque w_{n} ∈ W_{n}, la décomposition V = V′⊥H_{n} est adaptée à α et la restriction α′ de α à V′ est donc une norme auto-duale de V′, dont on vérifie immédiatement qu’elle est encore essentielle. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe une base spéciale B′ = (v_{0}, w_{1}, v_{1}, w_{2}, ⋯, v_{n−1}) de V′ qui est strictement adaptée à α′. Quitte à multiplier cette base par un scalaire convenable, on peut supposer que v_{n−1} = ηw_{n}. Alors B = (v_{0}, w_{1}, v_{1}, w_{2}, ⋯, v_{n−1}, w_{n}, v_{n}) vérifie toutes les conditions de la section 5.2.2 (dont on reprend les notations), sauf peut-être l’inégalité s_{n−2} < s_{n}. Supposons donc que n ≥ 3 et s_{n−2} ≥ s_{n}. Soit w′_{n} = w_{n} − μv_{n−2} + μw_{n−2} (où μ = η^{−2} ∈ F). Alors

Q(v_{n}) + Q(w′_{n}) = Q(v_{n}) + Q(w_{n}) + μ^{2} (Q(v_{n−2}) + Q(w_{n−2})) = 0

car Q(v_{n}) + Q(w_{n}) = 0 = Q(v_{n−2}) + Q(w_{n−2}) et pour ϵ ∈ {±1}

α(v_{n} + ϵw′_{n}) = α (v_{n} + ϵw_{n} − ϵμ(v_{n−2} − w_{n−2}))
= max {α(v_{n} + ϵw_{n}), |μ| α(v_{n−2} − w_{n−2})}
= max {q^{r_{n}+ϵs_{n}}, q^{2δ}q^{r_{n−2}−s_{n−2}}}
= q^{r_{n}+ϵs_{n}}

car r_{n} = r_{n−2} + 2δ et s_{n} ≤ s_{n−2}, donc w′_{n} ∈ W_{n}. Mais

α(ηw′_{n}) = α(v_{n−1} − w_{n−1} + μv_{n−3})
= max {α(v_{n−1} − w_{n−1}), |μ| α(v_{n−3})}
= max {q^{r_{n−1}−s_{n−1}}, q^{2δ}q^{r_{n−3}+s_{n−3}}}
= q^{r_{n−1}+s_{n−3}}

car r_{n−1} = r_{n−3} + 2δ (avec s_{0} = 0 si n = 3), donc

α(ηw′_{n}) = q^{r_{n−1}+s_{n−3}} < q^{r_{n−1}+s_{n−1}} = α(v_{n−1}) = α(ηw_{n})

car s_{n−3} < s_{n−1}. Cette derniere inégalité contredit la minimalité de α(ηw_{n}), donc s_{n−2} < s_{n}, la base B est strictement adaptée à α, et y est spécial. □

Theorem 5.3. Tout objet z de M′ admet une décomposition z = x ⊕ y avec x ∈ M et y ∈ M′ essentiel, et cette décomposition est essentiellement unique : si x ⊕ y ≃ x′ ⊕ y′ dans M′ avec x, x′ ∈ M et y, y′ ∈ M′ essentiels, alors x ≃ x′ dans M et y ≃ y′ dans M′.

Démonstration. L’existence d’une décomposition z = x ⊕ y avec x ∈ M et y ∈ M′ essentiel résulte immédiatement des définitions : si z n’est pas déjà essentiel, il s’écrit z = x_{1} ⊕ z_{1} avec x_{1} ∈ M non nul et z_{1} ∈ M′, et on conclut par récurrence sur la dimension de z, en affirmant l’existence d’une telle décomposition pour z_{1}.

Fixons une telle décomposition z = x ⊕ y avec y essentiel, donc spécial d’après le théorème 5.2. Formons la différence Δ(z) = \overline{z} − \underline{z} dans le groupe de Grothendieck K_{0}N ≃ Z[L]. C’est aussi la différence Δ(y) = \overline{y} − \underline{y}, dont on voit comme dans la section 5.2.4 qu’elle détermine le type (dans S) de y. Puisque d’autre part (D_{y}, ϕ_{y}|D_{y}) = (D_{z}, ϕ_{z}|D_{z}), il résulte donc de 5.2.5 que z détermine uniquement la classe d’isomorphisme de y dans M′. Si x ⊕ y ≃ z ≃ x′ ⊕ y′ dans M′ avec y et y′ essentiels, on a donc y ≃ y′ dans M′. Mais alors \overline{y} ≃ \overline{y}′ dans M, donc x ⊕ \overline{y} ≃ \overline{z} ≃ x′ ⊕ \overline{y}′ ≃ x′ ⊕ \overline{y} dans M, et finalement x ≃ x′ dans M d’après la remarque finale de 4.3.3. □

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