Conjecture de Mazur pour les corps totalement réels.

C. Cornut (CNRS-FR) & V. Vatsal (UBC-CA)

Soit F un corps de nombre totalement réel, π une représentation automorphe cuspidale de GL_{2}/F, ω son caractere central, K une extension quadratique imaginaire de F, χ un caractere de Hecke de K, et L(π, χ, s) la fonction de Rankin attachée à π et χ. Lorsque χ · ω = 1 sur les idèles de F, cette fonction L vérifie une équation de la forme

L(π, χ, s) = ϵ(π, χ, s)L(π, χ, 1 − s).

La parité de l’ordre en 1/2 de L(π, χ, s) est alors determinée par le signe

ϵ(π, χ) = ϵ(π, χ, 1/2) ∈ {±1}

de l’équation fonctionnelle. On s’attend à ce que cet ordre soit en general minimal (c’est-à-dire 0 ou 1), étant donnée les contraintes de parité imposées par l’équation fonctionnelle.

Dans cet exposé, on considère un π fixé, de poids (2, ⋯, 2) et de niveau N premier au discriminant D de K/F, et on fait varier χ parmis les ring class characters de conducteur P^{n} de K, où P est un ideal maximal fixé de O_{F} ne divisant ni D ni N. On montre essentiellement que pour tout n assez grand, il y a beaucoup de χ pour lesquels

ord_{s=1/2}L(π, χ, s) = \{ \begin{matrix}0 & si ϵ(π, χ) = +1 \\ 1 & si ϵ(π, χ) = −1 \end{matrix}

Ces résultats ont des applications en théorie d’Iwasawa. Combinés avec les méthodes de Kolyvagin, et la théorie des complexes de Selmer de Nekovar, ils permettent de démontrer de nouveaux cas de parité dans la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, pour les représentations Galoisiennes attachées aux formes de Hilbert de poids (2k, ⋯, 2k), avec k ≥ 1.