Une méthode de construction de types induits et son application à G_{2}

Corinne Blondel

17 février 1998

I - Une méthode de construction de paires couvrantes I.1 - Des critères d’injectivité I.2 - Exemple d’application : SL(2) I.3 - Démonstrations II - Application au groupe G_{2}

II.1 - Description du problème

II.2 - Fonctions concaves, décomposition d’Iwahori II.3 - Application des critères d’injectivité II.4 - Paires couvrantes pour la série ramifiée II.5 - Appendice

Un des problèmes d’actualité dans l’étude des représentations des groupes réductifs p-adiques est la décomposition de la catégorie des représentations lisses d’un tel groupe selon la théorie des types. Cette approche, de nature essentiellement algébrique, est très utile dans l’étude des représentations modulaires des groupes p-adiques ([Vi]). Le calcul de conducteurs de paires ([BHK]) en fournit une application remarquable.

L’introduction de [BK] donne un exposé complet de ce qu’on entend par décomposition de la catégorie ℜ(G) des représentations lisses complexes d’un groupe réductif p-adique G selon la théorie des types, et de ce qu’on en attend. Disons ici qu’il s’agit d’interpréter chaque composante ℜ^{𝔰}(G) de la décomposition de Bernstein de ℜ(G) en produit direct de sous-catégories pleines stables par sous-quotient, comme sous-catégorie pleine des représentations lisses de G engendrées par leur composante isotypique de type τ sous K, où K est un sous-groupe ouvert compact de G et τ une représentation lisse irréductible complexe de K : lorsque c’est possible on dit que la paire (K, τ) est un 𝔰-type dans G.

Lorsque le paramètre de Bernstein 𝔰 est attaché à une représentation supercuspidale de G, le problème s’apparente à celui de la construction des représentations supercuspidales par induction à partir d’un sous-groupe ouvert compact de G ([BK], §5). Lorsqu’il est attaché à une représentation supercuspidale d’un sous-groupe de Levi propre M de G, le problème est étudié et formalisé dans [BK] comme suit. Partant d’une représentation supercuspidale irréductible σ de M et des paramètres de Bernstein [M, σ]_{M} et [M, σ]_{G} qui lui sont respectivement attachés dans la décomposition des catégories ℜ(M) et ℜ(G)^{1}, supposons trouvé un [M, σ]_{M}-type dans M : une paire (J_{M}, τ_{M}) telle que les représentations lisses irréductibles de M appartenant à la classe [M, σ]_{M} soient précisément celles dont la restriction à J_{M}, sous-groupe ouvert compact de M, contient τ_{M}, représentation lisse irréductible de J_{M}. Le théorème suivant est une version restreinte du théorème 8.3 de [BK] :

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1Il s’agit des classes d’équivalence respectives de la paire (M, σ) pour une relation d’équivalence combinant la conjugaison - dans M pour [M, σ]_{M}, dans G pour [M, σ]_{G} - et la torsion par les caractères non ramifiés de M ; ces classes d’équivalence sont appelées classes d’inertie.

Théorème ( [BK] ) : Soit J un sous-groupe ouvert compact de G et τ une représentation lisse irréductible de J tels que la paire (J, τ) soit une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à tout sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M. Alors la paire (J, τ) est un [M, σ]_{G}-type dans G.

La définition d’une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à un sous-groupe parabolique P de G de facteur de Levi M est rappelée en I.1 : il s’agit de l’objet appelé G-cover dans [BK], si ce n’est qu’on a trouvé plus commode d’inclure un sous-groupe parabolique de référence dans la définition^{2}. L’idée est de prolonger τ_{M} à un sousgroupe ouvert compact J de G produit de ses intersections avec M, N et N̄ (radical unipotent de P et son opposé par rapport à M), de façon triviale sur J ∩ N et J ∩ N̄, et d’imposer en un certain sens une condition de maximalité sur J ; parmi les conditions équivalentes fournies dans [BK], nous avons choisi celle qui s’exprime en termes d’injectivité du foncteur de Jacquet sur certaines composantes isotypiques.

Le théorème ci-dessus constitue la motivation du présent article, consacré à la construction de paires couvrantes.

Nous indiquons dans la première partie, pour un groupe réductif quelconque, une méthode de construction de paires couvrantes qui illustre bien l’idée de maximalité attachée à une telle paire : les critères donnés se rapportent non pas à une paire, mais à une suite infinie de paires, chacune étant en quelque sorte maximale par rapport à la suivante.

Dans la deuxième partie nous appliquons cette méthode à G = G_{2}(F), F corps local non archimédien de caractéristique résiduelle différente de 2 et de 3, et au sousgroupe de Levi M ≃ GL_{2}(F) attaché à la racine simple longue de G_{2}. Pour toute représentation irréductible supercuspidale σ de M, la classe [M, σ]_{M} possède un type (J_{M}, τ_{M}), où J_{M} est soit le sous-groupe compact maximal standard Gl_{2}(𝔒) soit le sous-groupe d’Iwahori ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔒 \\ 𝔓 & 𝔒^{×} \end{matrix} ), et où le comportement de τ_{M} relativement au sousgroupe unipotent supérieur est fixé par [Ku], Théorème 4.3. Nous construisons une paire couvrante - en fait une suite de paires couvrantes - dans G pour chacune de ces paires (J_{M}, τ_{M}), d’où, aux restrictions précédentes près concernant le changement de parabolique, un type pour la classe [M, σ]_{G} dans G. L’étude des algèbres de Hecke attachées à ces types est, bien entendu, fondamentale et fera l’objet d’un prochain article.

Remerciements. Ce travail a été entrepris sur le conseil de P. Kutzko : j’ai largement bénéficié de ses explications sur le contenu de [BK] et de nombreuses discussions, en particulier lors d’un séjour à Iowa City en juillet 1996. Le soutien et les encouragements constants de Guy Henniart y ont joué un rôle essentiel. Des discussions avec A.-M. Aubert, L. Blasco, P. Broussous, C. Bushnell, B. Lemaire, L. Morris, et l’intérêt amical de P. Gérardin, C. Gruson, C. Moeglin, F. Sauvageot, M.-F. Vignéras, m’ont fourni une stimulation très appréciée.

2Cette distinction devrait disparaître rapidement : elle est due à l’absence de référence publiée pour des résultats sur l’induction parabolique impliquant que le théorème cité reste valide si (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M} , τ_{M}) relativement à un seul sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M (voir [BK], remarques 8.8).

I - Une méthode de construction de paires couvrantes

I.1 - Des critères d’injectivité

Soit G le groupe des points sur un corps local non archimédien F, d’un groupe algébrique réductif connexe défini sur F. Soit P un sous-groupe parabolique propre de G, de radical unipotent N, et soit P = MN une décomposition de Levi de P. On note N̄ l’opposé de N par rapport à M et P̄ = MN̄ le sous-groupe parabolique opposé de P. Pour toute représentation lisse (π, V) de G on note V_{N} le module de Jacquet de V relativement à P et r_{N} l’application canonique de V sur V_{N}. On fixe un sous-groupe ouvert compact J_{M} de M et une représentation irréductible lisse τ_{M} de J_{M} dans un espace vectoriel complexe W. La définition suivante est une synthèse des définitions fondamentales de Bushnell et Kutzko ([BK], 6.1, 8.1, 7.14, 7.9) sous une forme bien adaptée à nos besoins :

Définition 1. - On appelle paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P toute paire (J, τ) formée d’un sous-groupe ouvert compact J de G et d’une représentation lisse τ de J vérifiant les conditions suivantes :

a) J est le produit des trois sous-groupes J^{−} = J ∩ N̄, J_{M} = J ∩ M, J^{+} = J ∩ N ;

b) la restriction de τ à J_{M} est τ_{M}, et τ est triviale sur J^{−} et J^{+} ;

c) pour toute représentation lisse (π, V) de G, la restriction de r_{N} à V^{τ} (la composante isotypique de type τ de V sous l’action de J) est injective.

Gardant le point de vue adopté dans [Bl], nous allons donner dans ce paragraphe des conditions suffisantes pour qu’une suite (J_{i} , τ_{i}) soit une suite de paires couvrantes de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P. On considère donc deux suites (J_{i}^{+})_{i⩾0} et (J_{i}^{−})_{i⩾0} de sous-groupes ouverts compacts de N et N̄ respectivement, vérifiant les conditions suivantes :

(1) le produit J_{i} = J_{i}^{−}J_{M}J_{i}^{+} est un groupe pour tout i ⩾ 0 ;

(2) la représentation τ_{M} se prolonge pour tout i ⩾ 0 en une représentation τ_{i} de J_{i} triviale sur J_{i}^{−} et J_{i}^{+} et égale à τ_{M} sur J_{M} ;

(3) la suite (J_{i}^{+})_{i⩾0} est croissante et ⋃_{i⩾0} J_{i}^{+} = N, la suite (J_{i}^{−})_{i⩾0} est décroissante.

Soit (π, V) une représentation lisse de G ; pour tout w ∈ V^{τ_{i}} on définit :

𝔑_{i}^{π} (w) = ∫_{J_{i}^{−}} π(y) dy ∫_{J_{i+1}^{+}} π(n)w dn.

Proposition 1. - Soit (π, V) une représentation lisse de G. Si 𝔑_{i}^{π} est injectif sur V^{τ_{i}} pour tout i ⩾ 0, alors la restriction de r_{N} à V^{τ_{i}} est pour tout i ⩾ 0 un homomorphisme injectif : V^{τ_{i}} → V_{N}^{τ_{M}}.

Il s’agit maintenant de déterminer des conditions suffisantes sur les données ci-dessus pour assurer l’injectivité de l’application 𝔑_{i}^{π} pour chaque i ⩾ 0 ; comme on le verra dans l’application à G_{2}, on peut, pour une suite (J_{i}, τ_{i}) donnée, utiliser des critères d’injectivité de 𝔑_{i}^{π} distincts pour des i distincts. Fixons donc un entier i ⩾ 0. Le premier critère, démontré dans [Bl], est le plus simple :

Théorème 1. - Supposons que pour tout x ∈ J_{i+1}^{+}, x ∉ J_{i}^{+}, il existe un sous-groupe fermé H_{i,x} de J_{i}^{−} dont le conjugué x^{−1}H_{i,x} x soit un sous-groupe de J_{i} n’ayant aucun vecteur fixe non nul dans la représentation τ_{i}. Alors pour toute représentation lisse (π, V) de G et pour tout w ∈ V^{τ_{i}} on a :

𝔑_{i}^{π} (w) = vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+} w.

L’application de ce théorème est facilitée par la remarque suivante :

Remarque 1. - L’ensemble des x ∈ J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+} vérifiant la condition du théorème 1 est stable par conjugaison par J_{M}.

Pour énoncer le second critère il nous faut introduire davantage de notations. Soit K_{i} le sous-groupe de G engendré par J_{i} et J_{i+1} ; on note E_{i} l’espace de la représentation induite compacte Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}. Les espaces vectoriels suivants sont canoniquement isomorphes (voir [BK], §2) :

- H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) - l’algèbre de convolution des fonctions Φ de K_{i} dans End_{ℂ} W, à support compact modulo J_{i}, qui vérifient Φ(hkl) = τ_{i}(h)Φ(k)τ_{i}(l) pour h, l ∈ J_{i}, k ∈ K_{i} ;

- Hom_{K_{i}} (E_{i}, E_{i}) - l’algèbre des endomorphismes de E_{i} commutant à la représentation Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} ;

- Hom_{J_{i}} (W, E_{i}) - l’espace vectoriel des homomorphismes de W dans E_{i} entrelaçant les représentations τ_{i} et Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} de J_{i} ; il contient l’injection canonique j_{i} : W → E_{i} qui à w ∈ W associe la fonction j_{i}(w) sur K_{i} définie par

\{ \begin{matrix}j_{i}(w)(k) = 0 & si k ∉ J_{i}, \\ j_{i}(w)(k) = τ_{i}(k) w & si k ∈ J_{i}. \end{matrix}

Théorème 2. On définit 𝔑_{i} : W → E_{i} par :

𝔑_{i} (w)(x) = ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{J_{i+1}^{+}} j_{i}(w)(xyn) dn, x ∈ K_{i} , w ∈ W.

a) L’opérateur 𝔑_{i} appartient à Hom_{J_{i}} (W, E_{i}) et 𝔑_{i} (w)(1) = vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+} w.

b) Soit (π, V) une représentation lisse de G, soit f ∈ Hom_{J_{i}} (W, V), et soit F l’élément de Hom_{K_{i}} (E_{i}, V) caractérisé par F ∘ j_{i} = f. Alors 𝔑_{i}^{π} ∘ f = F ∘ 𝔑_{i}.

c) Supposons que l’image de 𝔑_{i} engendre la représentation Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} de K_{i} dans E_{i}. Alors 𝔑_{i}^{π} est injectif sur V^{τ_{i}} pour toute représentation lisse (π, V) de G.

d) Soit 𝔑̃_{i} l’élément de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) défini par 𝔑̃_{i} (x)(w) = 𝔑_{i} (w)(x), x ∈ K_{i}, w ∈ W. Si K_{i} est compact, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) l’image de 𝔑_{i} engendre la représentation Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} de K_{i} dans E_{i} ; (ii) 𝔑̃_{i} est un élément inversible de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}).

Il est commode d’énoncer des corollaires de ce théorème en forme de critères d’injectivité. Le premier combine d) et c) :

Corollaire 1. Si le sous-groupe K_{i} de G engendré par J_{i} et J_{i+1} est compact, et si 𝔑̃_{i} est un élément inversible de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}), alors 𝔑_{i}^{π} est injectif sur V^{τ_{i}} pour toute représentation lisse (π, V) de G.

Le second combine a) et b) :

Corollaire 2. Si la représentation Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} de K_{i} est irréductible, alors pour toute représentation lisse (π, V) de G et pour tout w ∈ V^{τ_{i}} on a :

𝔑_{i}^{π} (w) = vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+} w.

Remarque - On peut démontrer le corollaire 2 directement à la manière de [Bl], comme me l’a fait remarquer P. Kutzko.

Pour i donné, l’usage du corollaire 1 ramène le problème d’injectivité à une étude d’inversibilité dans une algèbre de Hecke de dimension finie. Dans le cas de G_{2} détaillé plus loin, cette étude suit toujours le même modèle, décrit ci-dessous :

Proposition 2. On suppose que le sous-groupe K_{i} de G engendré par J_{i} et J_{i+1} est compact et que le support de l’algèbre H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) est contenu dans la réunion de deux doubles classes modulo J_{i}, soit J_{i} ∪ J_{i} σJ_{i} , où σ vérifie les conditions suivantes :

σ^{−1}J_{M} σ = J_{M} ; σ^{−1}J_{i}^{−} σ = J_{i+1}^{+} ; σ^{−1}J_{i}^{+} σ = J_{i+1}^{−} .

Alors 𝔑̃_{i} est un élément inversible de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}).

Mentionnons enfin le fait élémentaire suivant grâce auquel, dans la pratique, on est ramené à l’étude d’une suite de paires finie :

Lemme 1. Soit i ⩾ 0. Soit ξ un élément du centre de M tel que ξJ_{i}ξ^{−1} = J_{i+k} et ξJ_{i+1}ξ^{−1} = J_{i+k+1} , pour un k ⩾ 0. Alors pour toute représentation lisse (π, V) de G on a 𝔑_{i+k}^{π} = π(ξ) 𝔑_{i}^{π} π(ξ^{−1}), de sorte que 𝔑_{i+k}^{π} est injectif sur V^{τ_{i+k}} si et seulement si 𝔑_{i}^{π} l’est sur V^{τ_{i}}.

I.2 - Exemple d’application : SL(2)

Prenons G = SL_{2}(F), P le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures, M le sous-groupe des matrices diagonales, et J_{M} = \{ ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) / a ∈ 𝔒^{×}\} ≃ 𝔒^{×} (on note 𝔒 l’anneau des entiers de F, 𝔓 son idéal maximal, ω une uniformisante). La représentation τ_{M} de J_{M} est associée à un caractère χ de 𝔒^{×} : τ_{M}(( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} )) = χ(a), a ∈ 𝔒^{×}. On

définit l’entier n = inf { i ⩾ 1 / χ est trivial sur 1 + 𝔓^{i}}. On voit aisément que la suite (J_{i}, τ_{i})_{i⩾0} définie par :

J_{i} = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔓^{n−i} \\ 𝔓^{i} & 𝔒^{×} \end{matrix} ) ∩ SL_{2}(F), τ_{i} (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )) = χ(a), ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ J_{i} ,

vérifie les conditions (1), (2), (3) de I.1. On va utiliser les critères de I.1 pour établir que les paires (J_{i}, τ_{i}) sont des paires couvrantes dans G, relativement à P, de la paire

(𝔒^{×}, χ) dans F^{×}. Posons ξ = ( \begin{matrix}ω^{−1} & 0 \\ 0 & ω \end{matrix} ) ; comme J_{i+2k} = ξ^{k}J_{i} ξ^{−k} pour i, k ⩾ 0, le

lemme 1 permet de se restreindre aux cas i = 0 et i = 1.

Proposition 3. -

a) Soit n ⩾ 2 ; le conjugué par x = ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ), val u = n − i − 1, de ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 𝔓^{i} & 1 \end{matrix} ) est un sous-groupe de J_{i} dont τ_{i} est un caractère non trivial.

b) Si n = 1, le sous-groupe engendré par J_{0} et J_{1} est K_{0} = SL_{2}(𝔒) et 𝔑̃_{0} est un élément inversible de H (K_{0}, J_{0}, τ̃_{0}) . Soit K_{1} le sous-groupe engendré par J_{1} et J_{2} ; il est compact et 𝔑̃_{1} est un élément inversible de H(K_{1}, J_{1}, τ̃_{1}).

Démonstration.

a) On a pour u, t ∈ F tels que 1 + ut ≠ 0 :

( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −u \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1+ut & −u^{2}t \\ t & 1−ut \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1+ut & 0 \\ 0 & (1+ut)^{−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ t(1+ut) & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −u^{2}t(1+ut)^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix} )

Si val u = n − i − 1 et val t ⩾ i on a val ut ⩾ n − 1 ⩾ 1 et val u^{2}t ⩾ n − 2 + n − i ⩾ n − i donc le produit ci-dessus est un élément de J_{i} agissant dans τ_{i} via le caractère χ(1+ut) ; comme 1 + ut décrit 1 + 𝔓^{n−1}, ceci établit a).

b) La décomposition de Bruhat de K_{0} s’écrit K_{0} = J_{0} ∪ J_{0} σJ_{0} en posant σ = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ). La proposition 2, dont σ vérifie évidemment les hypothèses, permet de conclure. La conjugaison par l’élément ( \begin{matrix}ω & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) de GL_{2}(F) transforme J_{0} en J_{1}, J_{1} en J_{2}, K_{0} en

K_{1} ; l’inversibilité de 𝔑̃_{1} s’en déduit. □

Comme la proposition 3 énonce exactement les conditions suffisantes des théorèmes 1 et 2, on a immédiatement :

Corollaire 3. - Les paires (J_{i}, τ_{i}) sont des paires couvrantes dans G, relativement à P, de la paire (𝔒^{×}, χ) dans F^{×}.

I.3 - Démonstrations

Proposition 1. - Soit V (N) le sous-espace de V formé des éléments v de V pour lesquels il existe un sous-groupe ouvert compact N_{v} de N tel que ∫_{N_{v}} π(n)v dn = 0 ; par définition V_{N} est le quotient V/V (N). Par translation d’indices il suffit de montrer que r_{N} : V^{τ_{0}} → V_{N}^{τ_{M}} est injective, c’est-à-dire que V^{τ_{0}} ∩ V (N) = {0}. Soit v ∈ V^{τ_{0}}, v ≠ 0 ; on pose w_{i} = ∫_{J_{i}^{+}} π(n)v dn ; comme ⋃_{i⩾0} J_{i}^{+} = N il suffit de montrer que w_{i} est non nul pour tout i. Or w_{i} appartient à V^{τ_{i}} (voir [Bl], lemme 2) et on a :

𝔑_{i}^{π} (w_{i}) = ∫_{J_{i}^{−}} π(y)dy ∫_{J_{i+1}^{+}} π(n) w_{i} dn = vol J_{i}^{+} ∫_{J_{i}^{−}} π(y) w_{i+1} dy.

Si 𝔑_{i}^{π} est injectif sur V^{τ_{i}} la non-nullité de w_{i} entraîne celle de w_{i+1}. □

Théorème 1. - Il est démontré dans [Bl].

Théorème 2. - a) Soit H_{M} le noyau de τ_{M} : le produit H_{i} = J_{i}^{−}H_{M}J_{i}^{+} est un groupe, noyau de τ_{i} (voir [Bl], lemme 1). En utilisant le fait que j_{i}(w) est invariante à droite par H_{M}, lequel normalise J_{i+1}^{+}, et un changement de variable en n, on écrit :

𝔑_{i} (w)(x) = ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{J_{i+1}^{+}} j_{i}(w)(xyn) dn  (x ∈ K_{i}, w ∈ W)
= (vol H_{M})^{−1}(vol J_{i}^{+})^{−1} ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{H_{M}} dh ∫_{J_{i}^{+}} dt ∫_{J_{i+1}^{+}} j_{i}(w)(xyhtn) dn
= (vol H_{M})^{−1}(vol J_{i}^{+})^{−1} ∫_{H_{i}} dh ∫_{J_{i+1}^{+}} j_{i}(w)(xhn) dn.

On lit sur cette expression le fait que x ↦ 𝔑_{i} (w)(x) est invariante à droite par H_{i}. Par ailleurs on y lit aussi, pour m ∈ J_{M}, que : 𝔑_{i} (τ_{i}(m)w)(x) = 𝔑_{i} (w)(xm), car j_{i} est un J_{i} -entrelacement et J_{M} normalise H_{i} et J_{i+1}^{+}. D’où la conclusion puisque J_{i} = J_{M}H_{i}. La valeur en 1 s’obtient en remarquant que la fonction (y, n) ↦ j_{i}(w)(yn) sur J_{i}^{−} ×J_{i+1}^{+} a pour support J_{i}^{−} × J_{i}^{+} et vaut w sur son support. □

Théorème 2. - b) Soit w ∈ W ; notons T_{i} = Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}. On calcule alors :

\begin{aligned}𝔑_{i}^{π} (f(w)) & = ∫_{J_{i}^{−}} π(y)dy ∫_{J_{i+1}^{+}} π(n)f(w) dn = ∫_{J_{i}^{−}} π(y)dy ∫_{J_{i+1}^{+}} π(n)F (j_{i}(w)) dn \\ & = F (∫_{J_{i}^{−}} ∫_{J_{i+1}^{+}} T_{i}(y)T_{i}(n)j_{i}(w) dn dy) = F (𝔑_{i}(w)) □ \end{aligned}

Théorème 2. - c) Dans les notations de b), l’homomorphisme F ∘ 𝔑_{i} = 𝔑_{i}^{π} ∘ f appartient à Hom_{J_{i}} (W, V) ; comme V^{τ_{i}} est engendré par les images des éléments f de Hom_{J_{i}} (W, V) on en déduit que 𝔑_{i}^{π}(V^{τ_{i}}) est contenu dans V^{τ_{i}}. On utilise maintenant l’isomorphisme de [BK], §2.13 :

\begin{matrix}ℭ : Hom_{J_{i}} (W, V) ⊗_{ℂ} W & ⟶ V^{τ_{i}} \\ f ⊗ w & ⟼ f(w) \end{matrix}

L’homomorphisme 𝔑_{i}^{π} : V^{τ_{i}} → V^{τ_{i}} est injectif si et seulement si 𝔑_{i}^{π} ∘ ℭ est injectif, c’est-à-dire si et seulement si l’homomorphisme f ↦ 𝔑_{i}^{π} ∘ f de Hom_{J_{i}} (W, V) dans lui-même est injectif. Or pour que 𝔑_{i}^{π} ∘ f = F ∘ 𝔑_{i} soit nul, il faut et il suffit que F ∈ Hom_{K_{i}} (E_{i}, V) soit nul sur l’image de 𝔑_{i} donc aussi sur le sous-K_{i}-module qu’elle engendre ; si l’image de 𝔑_{i} engendre E_{i} cela entraîne F = 0 donc f = 0. □

Théorème 2. - d) Remarquons que le support de 𝔑̃_{i} est contenu dans l’ensemble produit J_{i} J_{i+1}^{+}J_{i}^{−} qui est compact ; l’appartenance à H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) découle alors de a).

(ii) ⇒ (i) Soit X le sous-K_{i}-module de E_{i} engendré par 𝔑_{i}(W). Si K_{i} est compact la représentation T_{i} = Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i} est semi-simple : il existe un sous-K_{i}-module Y de E_{i} tel que E_{i} = X ⊕ Y, et le projecteur Q de E_{i} sur Y de noyau X est un élément de Hom_{K_{i}} (E_{i}, E_{i}). On va montrer que Q ∘ 𝔑̃_{i} = 0, en explicitant l’élément de Hom_{K_{i}} (E_{i}, E_{i}) canoniquement associé à 𝔑̃_{i} :

\begin{aligned}𝔑̃_{i}(Φ)(k) & = ∫_{K_{i}} 𝔑̃_{i}(kx^{−1})Φ(x) dx = ∫_{K_{i}} 𝔑_{i}(Φ(x))(kx^{−1}) dx (Φ ∈ E_{i}, k ∈ K_{i}) \\ & = ∫_{K_{i}} T_{i}(x^{−1})𝔑_{i}(Φ(x))(k) dx = (∫_{K_{i}} T_{i}(x^{−1})𝔑_{i}(Φ(x)) dx) (k). \end{aligned}

Comme ∫_{K_{i}} T_{i}(x^{−1})𝔑_{i}(Φ(x))dx appartient à X, l’image de 𝔑̃_{i} est contenue dans X et Q ∘ 𝔑̃_{i} = 0. Si 𝔑̃_{i} est inversible cela implique Q = 0 soit X = E_{i}.

(i) ⇒ (ii) Appliquons le calcul ci-dessus à Φ = j_{i}(w), w ∈ W :

\begin{aligned}𝔑̃_{i}(j_{i}(w))(k) & = (∫_{K_{i}} T_{i}(x^{−1})𝔑_{i}(j_{i}(w)(x)) dx) (k) \\ & = (∫_{J_{i}} T_{i}(x^{−1})𝔑_{i}(τ_{i}(x)w) dx) (k) = vol J_{i} 𝔑_{i}(w) (k) \end{aligned}

Ainsi l’image de 𝔑̃_{i} comme élément de Hom_{K_{i}} (E_{i}, E_{i}) est le sous-K_{i}-module engendré par l’image de 𝔑_{i}. En dimension finie, si ce sous-module est E_{i}, 𝔑̃_{i} est inversible. □

Proposition 2. - Les hypothèses sur σ entraînent σ^{−1}J_{i} σ = J_{i+1} et J_{i} ∩ σ^{−1}J_{i} σ = J_{i} ∩ J_{i+1} = J_{i+1}^{−}J_{M}J_{i}^{+}. L’application du critère de Mackey, dans laquelle seule deux doubles classes peuvent donner une contribution, fournit :

Hom_{K_{i}}(Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}, Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}) ≃ ⨁_{x ∈ J_{i}\K_{i}/J_{i}} Hom_{J_{i} ∩ x^{−1}J_{i}x} (τ_{i}, τ_{i}^{x})
≃ Hom_{J_{i}} (τ_{i}, τ_{i}) ⊕ Hom_{J_{i} ∩ σ^{−1}J_{i} σ} (τ_{i} , τ_{i}^{σ})
≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}) ⊕ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}).

La dimension sur ℂ de l’algèbre H = H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) est donc 1 ou 2. Si cette dimension est 1 tout élément non nul, et en particulier 𝔑̃_{i} - non nul par le théorème 2, a) -, est inversible. Si cette dimension est 2, autrement dit si τ_{M} est équivalente à τ_{M}^{σ}, une base de l’algèbre est formée de son élément unité 1_{H} et d’un élément non nul en σ. En particulier, si 𝔑̃_{i}(σ) = 0, alors 𝔑̃_{i} est un multiple non nul de 1_{H} (théorème 2, a) ) donc est inversible.

Reste à examiner le cas où 𝔑̃_{i}(σ) ≠ 0 ; dans cette situation 1_{H} et 𝔑̃_{i} forment une base de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}). Pour établir l’inversibilité de 𝔑̃_{i} il suffit de montrer que 𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i} = λ𝔑̃_{i} + μ1_{H} avec λ, μ ∈ ℂ et μ ≠ 0. Soit g ∈ K_{i} ; on a :

\begin{aligned}𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(g) & = ∫_{K_{i}} 𝔑̃_{i}(x)𝔑̃_{i}(x^{−1}g)dx \\ & = ∫_{J_{i}} 𝔑̃_{i}(j)𝔑̃_{i}(j^{−1}g)dj + ∫_{J_{i}σJ_{i}} 𝔑̃_{i}(x)𝔑̃_{i}(x^{−1}g)dx. \end{aligned}

Dans le premier terme la fonction à intégrer est constante sur J_{i} ; par le théorème 2 a) on a 𝔑̃_{i}(1) = CI_{W}, en posant C = vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+}, soit pour le premier terme :

vol J_{i} 𝔑̃_{i}(1) 𝔑̃_{i}(g) = C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(g).

Dans le deuxième terme la fonction à intégrer est invariante à droite par J_{i} ; or j ↦ jσ détermine une bijection de J_{i} / (J_{i} ∩ σJ_{i}σ^{−1}) sur J_{i} σJ_{i} / J_{i} , et on a

J_{i} ∩ σJ_{i} σ^{−1} = σ(J_{i+1} ∩ J_{i}) σ^{−1} = σ (J_{i+1}^{−}J_{M}J_{i}^{+}) σ^{−1} = J_{i}^{+}J_{M} σJ_{i}^{+}σ^{−1}

d’où J_{i} / (J_{i} ∩ σJ_{i} σ^{−1}) ≃ J_{i}^{−}/ σJ_{i}^{+}σ^{−1}. Il reste ainsi :

𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(g) = C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(g) + vol J_{i} ∑_{j∈ J_{i}^{−}/σJ_{i}^{+}σ^{−1}} 𝔑̃_{i}(σ)𝔑̃_{i}(σ^{−1}j^{−1}g)

= C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(g) + vol J_{i} 𝔑̃_{i}(σ) ∑_{j∈ J_{i+1}^{+}/J_{i}^{+}} 𝔑̃_{i}(j^{−1}σ^{−1}g)

= C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(g) + \frac{vol J_{i}}{vol J_{i}^{+}} 𝔑̃_{i}(σ) ∫_{J_{i+1}^{+}} 𝔑̃_{i}(jσ^{−1}g) dj.

Or l’élément non nul 𝔑̃_{i}(σ) de Hom_{J_{i} ∩ σ^{−1}J_{i} σ} (τ_{i}, τ_{i}^{σ}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}) est inversible en tant qu’endomorphisme de W, puisque τ_{M} est irréductible. Le scalaire λ est donc entièrement déterminé par l’égalité 𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(σ) = λ𝔑̃_{i}(σ), d’où :

λI_{W} = C vol J_{i} I_{W} + \frac{vol J_{i}}{vol J_{i}^{+}} ∫_{J_{i+1}^{+}} 𝔑̃_{i}(j) dj.

Calculons l’intégrale de 𝔑̃_{i} sur J_{i+1}^{+}. L’intersection de J_{i+1}^{+} avec le support de 𝔑̃_{i} est réunion de J_{i}^{+} et de J_{i+1}^{+} ∩ J_{i} σJ_{i}. Or :

Lemme 2. - Tout élément x de la double classe J_{i}σJ_{i} s’écrit de manière unique sous la forme ϕ(x)μ(x)σψ(x) avec ϕ(x), ψ(x) ∈ J_{i}^{−} et μ(x) ∈ J_{M}.

Preuve du lemme. On a en effet

J_{i}σJ_{i} = J_{i}^{−}J_{M}J_{i}^{+}σJ_{i} = J_{i}^{−}J_{M}σJ_{i}  car σ^{−1}J_{i}^{+}σ ⊂ J_{i}^{−},

= J_{i}^{−}J_{M}σJ_{i}^{+}J_{M}J_{i}^{−} = J_{i}^{−}J_{M}σJ_{i}^{−} car σJ_{i}^{+}σ^{−1} ⊂ J_{i}^{−} et σ normalise J_{M}.

L’unicité d’une telle écriture provient de J_{i}^{−} ∩ σ^{−1}J_{i}^{−}J_{M}σ = {1}. □

Cela donne

∫_{J_{i+1}^{+}} 𝔑̃_{i}(j)dj = ∫_{J_{i}^{+}} 𝔑̃_{i}(j)dj + ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} 𝔑̃_{i}(x) dx
= vol J_{i}^{+} 𝔑̃_{i}(1) + ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} 𝔑̃_{i}(ϕ(x)μ(x)σψ(x)) dx
= vol J_{i}^{+} 𝔑̃_{i}(1) + ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} 𝔑̃_{i}(μ(x)σ) dx
= vol J_{i}^{+} 𝔑̃_{i}(1) + 𝔑̃_{i}(σ) ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} τ_{M}(σ^{−1}μ(x)σ) dx.

Pour montrer que 𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(1) − λ𝔑̃_{i}(1) = μI_{W} est non nul, il nous faut encore évaluer 𝔑̃_{i}(σ^{−1}) : 𝔑̃_{i}(σ^{−1})(w) = ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{J_{i+1}^{+}} j_{i}(w)(σ^{−1}yn) dn (w ∈ W). Puisque le support de j_{i}(w) est J_{i}, le support de l’intégrale en n est contenu dans J_{i}σJ_{i} ∩ J_{i+1}^{+}, ce qui donne par le lemme 2 :

\begin{aligned}𝔑̃_{i}(σ^{−1})(w) & = ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} j_{i}(w)(σ^{−1}yϕ(x)μ(x)σψ(x)) dx \\ & = ∫_{J_{i}^{−}} dy ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} j_{i}(w)(σ^{−1}yϕ(x)μ(x)σ) dx. \end{aligned}

10 Corinne Blondel

Le support en y de la fonction à intégrer est formé des y tels que yϕ(x) appartienne à σJ_{i} σ^{−1} ∩ J_{i}^{−} = σJ_{i}^{+}σ^{−1} ; c’est la classe à gauche σJ_{i}^{+}σ^{−1}ϕ(x)^{−1}. Il reste :

𝔑̃_{i}(σ^{−1})(w) = vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1}) ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} j_{i}(w)(σ^{−1}μ(x)σ) dx
soit 𝔑̃_{i}(σ^{−1}) = vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1}) ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}} τ_{M}(σ^{−1}μ(x) σ) dx
ou encore ∫_{J_{i+1}^{+}∩J_{i} σJ_{i}}τ_{M}(σ^{−1}μ(x) σ) dx = \frac{1}{vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1})} 𝔑̃_{i}(σ^{−1}).

On reporte cette expression dans le calcul de λI_{W} :

λI_{W} = C vol J_{i} I_{W} + \frac{vol J_{i}}{vol J_{i}^{+}} (vol J_{i}^{+} 𝔑̃_{i}(1) + 𝔑̃_{i}(σ) \frac{1}{vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1})} 𝔑̃_{i}(σ^{−1}))

= 2C vol J_{i} I_{W} + \frac{vol J_{i}}{vol J_{i}^{+} vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1})} 𝔑̃_{i}(σ) 𝔑̃_{i}(σ^{−1}).

Finalement :

𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(1) − λ𝔑̃_{i}(1) = C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(1) + vol J_{i} [J_{i}^{−} : σJ_{i}^{+}σ^{−1}] 𝔑̃_{i}(σ)𝔑̃_{i}(σ^{−1})

− 2C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(1) − \frac{C vol J_{i}}{vol J_{i}^{+} vol (σJ_{i}^{+}σ^{−1})} 𝔑̃_{i}(σ) 𝔑̃_{i}(σ^{−1}).

Comme C = vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+}, il reste

𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i}(1) − λ𝔑̃_{i}(1) = − C vol J_{i} 𝔑̃_{i}(1) ≠ 0

On a établi que 𝔑̃_{i} ⋆ 𝔑̃_{i} = λ𝔑̃_{i} + μ1_{H} avec μ = −C^{2} = −(vol J_{i}^{−} vol J_{i}^{+})^{2}. □

II - Application au groupe G_{2}

Dans cette partie on suppose que la caractéristique résiduelle de F est différente de 2 et 3 ; on note 𝔒 l’anneau des entiers de F, 𝔓 son idéal maximal, ω une uniformisante.

II.1 - Description du problème

Soit G un groupe de Chevalley de type G_{2} sur F. On fixe une base α (racine courte) et β (racine longue) de son système de racines Φ, réunion de

\begin{aligned}Φ^{+} & = \{α, β, α + β, 2α + β, 3α + β, 3α + 2β\} \\ et Φ^{−} & = \{−α, −β, −α − β, −2α − β, −3α − β, −3α − 2β\}. \end{aligned}

On utilise les notations de [BT], 6.1.3.b : pour tout r ∈ Φ on dispose d’homomorphismes ζ_{r} de SL_{2}(F) dans G, x_{r} et x_{−r} de F dans G, h_{r} de F^{×} dans G tels que

\begin{aligned}x_{r}(u) & = ζ_{r} (( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & 1 \end{matrix} )) et x_{−r}(u) = ζ_{r} (( \begin{matrix}1 & 0 \\ u & 1 \end{matrix} )) (u ∈ F), \\ h_{r}(x) & = ζ_{r} (( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{−1} \end{matrix} )) (x ∈ F^{×}). \end{aligned}

On note H_{r} (resp. H_{r}(n), n ∈ ℕ) le sous-groupe de G formé des h_{r}(a) pour a ∈ F^{×} (resp. a ∈ 1 + 𝔓^{n} si n > 0 et a ∈ 𝔒^{×} si n = 0) ; le sous-groupe H engendré par les H_{r} est un tore déployé maximal de G. On note X_{r} (resp. X_{r}(n), n ∈ ℤ) le sous-groupe de G formé des x_{r}(t) pour t ∈ F (resp. t ∈ 𝔓^{n}). Ainsi (H, (X_{r})_{r∈Φ}) est une donnée radicielle génératrice dans G ([BT] (6.1)).

Soit M le sous-groupe engendré par ζ_{β}(SL_{2}(F)) et le tore déployé maximal de G, c’est-à-dire par H, X_{β} et X_{−β} ; il a pour centre h_{2α+β}(F^{×}), et ζ_{β} se prolonge en un isomorphisme ζ̄_{β} de GL_{2}(F) sur M grâce auquel on identifie dans toute la suite M à GL_{2}(F). Deux sous-groupes paraboliques de G exactement ont pour facteur de Levi M: P = MN et son opposé P̄ = MN̄, avec

N = ∏_{r∈Φ^{+}−{β}} X_{r}, N̄ = ∏_{r∈Φ^{+}−{β}} X_{−r}.

Dans ce contexte, on cherche à appliquer les idées de [BK] à l’étude des représentations de G induites du prolongement à P (trivial sur N) d’une représentation supercuspidale irréductible de M, c’est-à-dire, l’isomorphisme ζ̄_{β} étant fixé, de GL_{2}(F). La seule classification des représentations supercuspidales irréductibles de GL_{2}(F) dont nous aurons besoin ici est celle de [Ku]. Rappelons-en les principes et notations.

Z = \{ ( \begin{matrix}ω & 0 \\ 0 & ω \end{matrix} )^{i} / i ∈ ℤ\} , Z′ = \{ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ ω & 0 \end{matrix} )^{i} / i ∈ ℤ\} ,

K = GL_{2}(𝔒), K′ = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔒 \\ 𝔓 & 𝔒^{×} \end{matrix} ) , K_{0} = K,

K_{n} = ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{n} & 𝔓^{n} \\ 𝔓^{n} & 1 + 𝔓^{n} \end{matrix} ) (n > 0) , K′_{n} = ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{n+1} & 𝔓^{n} \\ 𝔓^{n+1} & 1 + 𝔓^{n+1} \end{matrix} ) (n ⩾ 0) ,

U_{r} = ( \begin{matrix}1 & 𝔓^{r} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (r ∈ ℤ).

Le quasi-conducteur d’une représentation lisse irréductible τ de ZK (resp. Z′K′) est le plus petit des entiers n ⩾ 0 tels que la restriction de τ à K_{n} ∩ SL_{2}(𝔒) (resp. K′_{n} ∩ SL_{2}(𝔒)) soit triviale. La représentation τ est dite de défaut 0 si le plus petit des entiers r ⩾ 0 tels que la restriction de τ à U_{r} contienne la représentation triviale de U_{r} est le quasi-conducteur de τ. Le théorème suivant est le théorème 4.3 de [Ku] :

Théorème 3. (P.C. Kutzko) - Soit S (resp. S′) un système complet de représentants des classes d’équivalence de représentations lisses irréductibles de défaut 0 et de quasiconducteur strictement positif de ZK (resp. Z′K′). L’induction compacte réalise une correspondance bijective de S ∪ S′ sur un système complet de représentants des classes d’équivalence de représentations supercuspidales irréductibles de GL_{2}(F).

Soit τ un élément de S ∪ S′. Il découle de [BK], (5.4), que la classe d’inertie [M, π]_{M} de la représentation supercuspidale irréductible π induite compacte de τ à M ≃ GL_{2}(F) possède un type dans M, à savoir :

- la paire (K, τ_{|K}) si τ appartient à S,

- la paire (K′, τ′), où τ′ est une composante irréductible de la restriction de τ à K′, si τ appartient à S′.

Nous construisons dans cette partie un type pour la classe d’inertie [M, π]_{G} dans G, à l’aide des résultats de [BK], en particulier le théorème 8.3 cité dans l’introduction, c’est-à-dire en fabriquant une paire couvrante dans G, relativement à P, de la paire (K, τ_{|K}) ou (K′, τ′) dans M.

Le cas des représentations dites de la série non ramifiée, c’est-à-dire des paires (K, τ_{|K}), avec τ ∈ S, est traité en détail dans les deux prochains paragraphes : le théorème 4 décrit une paire couvrante remarquable en fonction du quasi-conducteur de τ et du conducteur de son caractère central ; la définition 3 décrit une suite de paires couvrantes - voir la conclusion du paragraphe II.3. Le cas des représentations dites de la série ramifiée, c’est-à-dire des paires (K′, τ′), où τ′ est une composante irréductible de la restriction de τ, élément de S′, à K′, est semblable et traité plus brièvement dans le paragraphe II.4 : là encore la paire couvrante remarquable décrite dans le théorème 5 ne dépend que du quasi-conducteur de τ et du conducteur de son caractère central, mais sa forme n’est pas commune à tous les cas ; la définition 5 décrit une suite de paires couvrantes.

Remarque : L’application de [BK], théorème 8.3, requiert en principe de prouver que la paire obtenue dans G est couvrante relativement à tout sous-groupe parabolique ayant pour facteur de Levi M ; nous admettons ici (voir [BK], remarques (8.8)) qu’un seul sous-groupe parabolique suffit. Quoi qu’il en soit P et P̄ sont dans la situation présente les seuls sous-groupes paraboliques de facteur de Levi M, et on pourrait aussi démontrer que les paires obtenues sont couvrantes relativement à P̄.

II.2 - Fonctions concaves, décomposition d’Iwahori

Pour commencer, nous fixons les hypothèses et notations et décrivons des types induits pour la série non ramifiée, extraits de la conclusion :

Théorème 4. - Considérons un type dans M de la forme (J_{M}, τ_{M}) où, moyennant l’identification fixée de M avec GL_{2}(F), la représentation τ_{M} est une représentation lisse irréductible de J_{M} = GL_{2}(𝔒), de défaut 0 et de quasi-conducteur n, n ⩾ 1. Notons χ le caractère central de τ_{M} et posons l = inf {r ⩾ 1 / χ _{| 1+𝔓^{r}} = 1}. Posons enfin k = [ max(n, l)/2] et κ = max(n, l) − k = [(max(n, l) + 1)/2].

Le produit J^{−}J_{M}J^{+} défini par

\begin{aligned}J^{−} & = X_{−α}(κ) X_{−α−β}(κ) X_{−2α−β}(l) X_{−3α−β}(κ) X_{−3α−2β}(κ) , \\ J_{M} & = GL_{2}(𝔒) , \\ J^{+} & = X_{+α}(k) X_{+α+β}(k) X_{+2α+β}(0) X_{+3α+β}(k) X_{+3α+2β}(k) , \end{aligned}

est un sous-groupe ouvert compact J de G auquel τ_{M} se prolonge en une représentation τ triviale sur J^{−} et J^{+}, égale à τ_{M} sur J_{M}. La paire (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P.

Une paire couvrante (J, τ) doit d’abord être décomposée par rapport à (J_{M}, τ_{M}), c’està-dire vérifier les conditions a) et b) de la définition 1 (voir [BK], (6.1)). Commençons par construire des sous-groupes ouverts compacts J de G possédant une décomposition d’Iwahori J = J^{+}J_{M}J^{−} avec J^{+} = J ∩ N et J^{−} = J ∩ N̄ de la forme :

J^{+} = ∏_{r∈Φ^{+}−{β}} X_{r}(p_{r}) et J^{−} = ∏_{r∈Φ^{+}−{β}} X_{−r}(m_{r}) (p_{r}, m_{r} ∈ ℤ).

D’après [BT] (6.4), une condition suffisante pour que le produit J = J^{+}J_{M}J^{−} ainsi défini soit un groupe, et en particulier possède une décomposition d’Iwahori par rapport à P, est que la fonction v définie sur Φ par :

\{ \begin{matrix}v(r) = p_{r} \\ v(r) = m_{−r} \\ v(β) = v(−β) = 0. \end{matrix}

si r appartient à Φ^{+}, r ≠ β,
si r appartient à Φ^{−}, r ≠ −β,

soit concave , et que β soit la seule racine positive pour laquelle v(r) + v(−r) = 0 ; autrement dit v doit vérifier ([BT] (6.4.5)) :

\{ \begin{matrix}v(r) + v(s) ≥ v(r + s) \\ v(r) + v(−r) > 0 \end{matrix}

si r, s et r + s appartiennent à Φ; si r appartient à Φ, r ≠ ±β.

Les relations de concavité faisant intervenir ±β, ou le fait que J_{M} = GL_{2}(𝔒) doit normaliser J^{+} et J^{−}, entraînent p_{α} = p_{α+β}, p_{3α+β} = p_{3α+2β}, m_{α} = m_{α+β}, m_{3α+β} = m_{3α+2β}. Posant alors :

\{ \begin{matrix}p_{1} = p_{α} = p_{α+β}, \\ p_{2} = p_{2α+β}, \\ p_{3} = p_{3α+β} = p_{3α+2β}, \end{matrix} \begin{matrix}m_{1} = m_{α} = m_{α+β}, \\ m_{2} = m_{2α+β}, \\ m_{3} = m_{3α+β} = m_{3α+2β}, \end{matrix}

les conditions de concavité suffisant à conclure que J est un groupe se réduisent à :

\{ \begin{matrix}p_{1} + m_{1} > 0, p_{2} + m_{2} > 0, p_{3} + m_{3} > 0, \\ p_{3} ⩽ p_{1} + p_{2}, m_{3} ⩽ m_{1} + m_{2}, \\ p_{2} ⩽ 2p_{1}, m_{2} ⩽ 2m_{1}, \\ p_{1} ⩽ m_{1} + p_{2}, m_{1} ⩽ p_{1} + m_{2}, \\ p_{2} ⩽ m_{1} + p_{3}, m_{2} ⩽ p_{1} + m_{3}, \\ p_{1} ⩽ m_{2} + p_{3}, m_{1} ⩽ p_{2} + m_{3}. \end{matrix}

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

Définition 2. - Si les entiers p_{1}, p_{2}, p_{3}, m_{1}, m_{2}, m_{3} vérifient les conditions (i) à (vi)

ci-dessus, on désigne par J = [ \begin{matrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix} ] le sous-groupe ouvert compact de G égal

au produit J^{−}J_{M}J^{+} avec :

\begin{aligned}J^{−} & = X_{−α}(m_{1}) X_{−α−β}(m_{1}) X_{−2α−β}(m_{2}) X_{−3α−β}(m_{3}) X_{−3α−2β}(m_{3}) , \\ J_{M} & = GL_{2}(𝔒) , \\ J^{+} & = X_{α} (p_{1}) X_{α+β} (p_{1}) X_{2α+β} (p_{2}) X_{3α+β} (p_{3}) X_{3α+2β} (p_{3}) . \end{aligned}

La deuxième étape consiste à obtenir un prolongement de τ_{M} à J, trivial sur J^{+} et J^{−}, ce qui équivaut à trouver un sous-groupe H_{M} du noyau de τ_{M} tel que le produit J^{−}H_{M}J^{+} soit un groupe ([Bl], Lemme 1). Par définition du quasi-conducteur, la restriction de τ_{M} à K_{n} factorise par un caractère χ_{0} du déterminant qui vérifie χ_{0}(x^{2}) = χ(x) pour tout x ∈ 1 + 𝔓^{n} ; en particulier χ_{0} est trivial sur 1 + 𝔓^{n} si l ⩽ n, et χ_{0} est trivial sur 1 + 𝔓^{l} si l ⩾ n. On travaillera avec le sous-groupe suivant du noyau de τ_{M} :

\begin{matrix}H_{M} = H_{M}(n, l) = (1 + 𝔓^{l}) ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{n} & 𝔓^{n} \\ 𝔓^{n} & 1 + 𝔓^{n} \end{matrix} ) si l ⩽ n, \\ H_{M} = H_{M}(n, l) = ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{l} & 0 \\ 0 & 1 + 𝔓^{l} \end{matrix} ) K_{n} ∩ SL_{2}(𝔒) si l ⩾ n. \end{matrix}

Il s’agit alors d’assurer la concavité d’une fonction sur Φ qui ne diffère de la précédente que par sa valeur n en ±β, et de restreindre les composantes en H des commutateurs [X_{r}(p_{r}), X_{−r}(m_{r})], r ∈ Φ^{+}, r ≠ ±β, au sous-groupe H_{r}(l) si l ⩾ n ou si r = 2α + β, H_{r}(n) si l ⩽ n, r ≠ ±(2α + β). Ainsi le produit J^{−}H_{M}(n, l) J^{+} est un groupe si on a en plus des conditions précédentes :

p_{1} + m_{1} ⩾ max(n, l), p_{2} + m_{2} ⩾ l, p_{3} + m_{3} ⩾ max(n, l). (vii)

Comme on cherche à construire un sous-groupe J aussi grand que possible avec ces conditions, on transforme les inégalités de la condition (vii) ci-dessus en égalités. Les conditions (i) et (vii) se trouvent ainsi renforcées en :

p_{1} + m_{1} = max(n, l), p_{2} + m_{2} = l, p_{3} + m_{3} = max(n, l). (i bis)

Remarque 2. - Si (J, τ) est une paire décomposée par rapport à (J_{M}, τ_{M}), alors pour tout élément ξ du centre de M, la paire (ξ^{−1}Jξ, τ^{ξ}) l’est aussi. Posons ξ = h_{2α+β}(ω) ; la matrice d’entiers associée à ξ^{−1}Jξ est

ξ^{−1}Jξ = [ \begin{matrix}p_{1} − 1 & p_{2} − 2 & p_{3} − 3 \\ m_{1} + 1 & m_{2} + 2 & m_{3} + 3 \end{matrix} ]

de sorte qu’on peut se restreindre à construire J avec p_{1} fixé.

Fixons donc p_{1} = k, m_{1} = max(n, l) − k. En y reportant (i bis) les conditions de concavité (ii) à (vi) ci-dessus deviennent :

− k ⩽ p_{2} − p_{3} ⩽ l − k,  (ii bis)
2k − 2 max(n, l) + l ⩽ p_{2} ⩽ 2k,  (iii bis)
2k − max(n, l) ⩽ p_{2} ⩽ 2k − max(n, l) + l,  (iv bis)
l − max(n, l) − k ⩽ p_{2} − p_{3} ⩽ max(n, l) − k,  (v bis)
− k ⩽ p_{2} − p_{3} ⩽ l − k.  (vi bis)

Regroupant (ii bis), (v bis) et (vi bis) d’une part, (iii bis) et (iv bis) d’autre part, on obtient en résumé :

Lemme 3. - Soit τ_{M} une représentation de J_{M} triviale sur H_{M}(n, l) avec n ⩾ 1, l ⩾ 1. Posons L = max(n, l) et fixons un entier k. Soit p_{2} et p_{3} des entiers vérifiant :

\{ \begin{matrix}− k ⩽ p_{2} − p_{3} ⩽ l − k, & (1) \\ 2k − L ⩽ p_{2} ⩽ 2k − L + l. & (2) \end{matrix}

Alors τ_{M} se prolonge en une représentation τ de

J = [ \begin{matrix}k & p_{2} & p_{3} \\ L − k & l − p_{2} & L − p_{3} \end{matrix} ]

triviale sur J^{−} et J^{+}, égale à τ_{M} sur J_{M}: la paire (J, τ) est décomposée par rapport à (J_{M}, τ_{M}).

Le lemme 3 fournit (l + 1)^{2} paires décomposées (J, τ) pour chaque valeur de k. Dans la suite on aura effectivement besoin de travailler sur plusieurs de ces paires : les calculs sur G_{2} deviennent vite inextricables si on n’a pas de moyen d’isoler les racines, et ce moyen va être de passer d’un J à un autre aussi voisin que possible et de se ramener à l’utilisation des résultats de I.1. On choisit donc parmi les sous-groupes J fournis par le lemme 3 avec k = [L/2], une suite de sous-groupes pour laquelle les sous-groupes J^{+} puis leurs conjugués ξ^{−i}J^{+}ξ^{i}, i ⩾ 1, vont en croissant, deux sous-groupes J^{+} successifs ne différant que par les valuations d’un des sous-ensembles de racines {α, α + β}, {2α + β}, {3α + β, 3α + 2β}, et des racines opposées (voir l’appendice, II.5.3). C’est possible si l ⩾ 2 :le lemme 3 fournit une suite de longueur 6. Si l = 1 on doit se contenter d’une suite de longueur 4. On produira alors une suite infinie en utilisant la remarque 2 (à rapprocher du lemme 1).

Cas l ⩾ 2 et L = max(n, l) = 2k, k ⩾ 1 :

\begin{aligned}J_{0} & = [ \begin{matrix}k & 2 & k + 2 \\ k & l − 2 & k − 2 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k & 2 & k + 1 \\ k & l − 2 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k + 1 \\ k & l − 1 & k − 1 \end{matrix} ] \end{aligned}  \begin{aligned}J_{3} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k \\ k & l − 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k \\ k & l & k \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k − 1 \\ k & l & k + 1 \end{matrix} ] \end{aligned}

Cas l ⩾ 2 et L = max(n, l) = 2k + 1, k ⩾ 0 :

\begin{aligned}J_{0} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k + 1 \\ k + 1 & l − 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k \\ k + 1 & l − 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k \\ k + 1 & l & k + 1 \end{matrix} ] \end{aligned}  \begin{matrix}J_{3} = [ \begin{matrix}k & 0 & k − 1 \\ k + 1 & l & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{4} = [ \begin{matrix}k & −1 & k − 1 \\ k + 1 & l + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{5} = [ \begin{matrix}k & −1 & k − 2 \\ k + 1 & l + 1 & k + 3 \end{matrix} ] \end{matrix}

Cas l = 1 et L = n = 2k, k ⩾ 1 :

\begin{aligned}J_{0} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k + 1 \\ k & 0 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k & 1 & k \\ k & 0 & k \end{matrix} ] \end{aligned}  \begin{matrix}J_{2} = [ \begin{matrix}k & 0 & k \\ k & 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{3} = [ \begin{matrix}k & 0 & k − 1 \\ k & 1 & k + 1 \end{matrix} ] \end{matrix}

Cas l = 1 et L = n = 2k + 1, k ⩾ 0 :

\begin{aligned}J_{0} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k \\ k + 1 & 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k − 1 \\ k + 1 & 1 & k + 2 \end{matrix} ] \end{aligned}  \begin{matrix}J_{2} = [ \begin{matrix}k & −1 & k − 1 \\ k + 1 & 2 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{3} = [ \begin{matrix}k & −1 & k − 2 \\ k + 1 & 2 & k + 3 \end{matrix} ] \end{matrix}

Définition 3. - Soit τ_{M} une représentation de J_{M} triviale sur H_{M}(n, l) avec n ⩾ 1, l ⩾ 1. On définit une suite (J_{i}, τ_{i})_{i⩾0} de paires décomposées par rapport à (J_{M}, τ_{M}) en posant, avec ξ = h_{2α+β}(ω) :

\{ \begin{matrix}J_{i+6t} = ξ^{−t}J_{i}ξ^{t}, t ∈ ℕ, 0 ⩽ i ⩽ 5,  si l ⩾ 2, \\ J_{i+4t} = ξ^{−t}J_{i}ξ^{t}, t ∈ ℕ, 0 ⩽ i ⩽ 3,  si l = 1. \end{matrix}

Cette suite vérifie les hypothèses de I.1 : la suite (J_{i}^{+})_{i⩾0} est croissante de réunion N, la suite (J_{i}^{−})_{i⩾0} est décroissante.

Signalons une propriété de ces paires décomposées qui nous sera utile par la suite ; la démonstration figure dans l’appendice (II.5.4).

Lemme 4. - Si l ⩾ 2 et i ⩾ 0, ou si l = 1 et i n’est pas congru à 3 modulo 4, l’action par conjugaison de J_{M} sur le quotient (J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+})/J_{i}^{+} est transitive.

II.3 - Application des critères d’injectivité

L’objectif de ce paragraphe est d’établir que les paires décomposées (J_{i}, τ_{i}) de la définition 3 sont des paires couvrantes de la paire (J_{M}, τ_{M}) si τ_{M} vérifie les hypothèses du théorème 4, c’est-à-dire est de quasi-conducteur n et de défaut 0. La méthode employée est de montrer pour tout i ⩾ 0, et pour toute représentation lisse π de G, l’injectivité de 𝔑_{i}^{π} (cf proposition 1) en utilisant soit le théorème 1, soit le théorème 2. Vu la définition périodique de la suite (J_{i}, τ_{i}), l’usage du lemme 1 montre qu’il suffit de prouver l’injectivité de 𝔑_{i}^{π} pour 0 ⩽ i ⩽ 5 si l ⩾ 2, pour 0 ⩽ i ⩽ 3 si l = 1. Une partie de ces cas peut être traitée au moyen du théorème 1.

Proposition 4. - Supposons l ⩾ 2 et 0 ⩽ i ⩽ 5, ou bien l = 1 et i = 0 ou 2. Alors pour tout x ∈ J_{i+1}^{+} , x ∉ J_{i}^{+} , il existe un sous-groupe fermé H_{i,x} de J_{i}^{−} dont le conjugué x^{−1}H_{i,x} x est un sous-groupe de J_{i} n’ayant aucun vecteur fixe non nul dans la représentation τ_{i}.

Démonstration.

Cas i = 1 ou 3, l ⩾ 2.

Ici J_{i+1}^{+} = X_{2α+β}(r)J_{i}^{+}, avec r = 1 si i = 1 et L pair, r = 0 si i = 3 et L pair ou si i = 1 et L impair, enfin r = −1 si i = 3 et L impair. Un élément x de J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+} peut s’écrire, modulo J_{i}^{+}, sous la forme x = x_{2α+β}(u) avec val u = r. Soit t ∈ F tel que val t ⩾ l − r − 1 : x_{−2α−β}(t) appartient à J_{i}^{−}. On utilise la décomposition d’Iwahori classique dans SL_{2} :

(⋆) x_{2α+β}(u)^{−1}x_{−2α−β}(t)x_{2α+β}(u) = x_{−2α−β}(\frac{t}{1 − ut})h_{2α+β}(1 − ut)x_{2α+β}(\frac{−u^{2}t}{1 − ut})

Comme val u^{2}t ⩾ r + l − 1 ⩾ r + 1, le terme en x_{2α+β} du membre de droite appartient à J_{i}^{+} ; le terme en x_{−2α−β} appartient à J_{i}^{−}. Donc le conjugué par x du sous-groupe X_{−2α−β}(l − r − 1) = H_{i,x} de J_{i}^{−} est contenu dans J_{i} et son action via τ_{i} est celle de H_{2α+β}(l − 1) via τ_{M}, c’est-à-dire la restriction à 1 + 𝔓^{l−1} du caractère central de τ_{M}, non triviale par définition de l.

Cas i = 0, 2, 4 ou 5, l > n.

Comme J_{M} opère transitivement sur le quotient (J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+})/J_{i}^{+} (lemme 4) il suffit (remarque 1) d’obtenir la propriété voulue pour un élément x bien choisi de J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+}. Dans chaque cas on choisit une racine γ (γ = 3α + 2β si i est pair, γ = α + β si i = 5) comportant un changement de valuation entre J_{i}^{+} et J_{i+1}^{+} ; il y a un entier r parfaitement déterminé par J_{i} (par exemple r = k + 1 si i = 0 et L pair) tel que tout élément x = x_{γ}(u) avec val u = r appartienne à J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+} et que tout élément x_{−γ}(t) avec val t ⩾ l − r − 1 appartienne à J_{i}^{−}. Alors la décomposition d’Iwahori (⋆) ci-dessus s’applique en remplaçant 2α + β par γ et montre que le conjugué par x du sous-groupe X_{−γ}(l − r − 1) = H_{i,x} de J_{i}^{−} est contenu dans J_{i}, et que son action via τ_{i} est celle de H_{γ}(l − 1) via τ_{M}. Comme l − 1 ⩾ n, H_{γ}(l − 1) agit par un caractère χ_{0} du déterminant. Mais χ_{0}^{2} = χ sur 1 + 𝔓^{n}, et le déterminant de h_{γ}(λ) est λ^{±1} (voir l’appendice, II.5.3) : H_{γ}(l − 1) n’a pas de vecteur fixe non nul dans τ_{M}.

Cas i = 0, 2 ou 4, l ⩽ n.

Comme précédemment il suffit d’obtenir la propriété voulue pour x = x_{3α+2β}(u) avec val u = r, où l’entier r est déterminé par X_{3α+2β}(r) ⊂ J_{i+1}^{+}, X_{3α+2β}(r) ⊊ J_{i}^{+}. Alors tout élément h = x_{−3α−β}(t) avec val t ⩾ n − r − 1 appartient à J_{i}^{−}. La relation de commutation de Chevalley (voir l’appendice, II.5.1) donne :

x^{−1}h x = [x, h^{−1}] h = x_{β}(± tu) x_{−3α−β}(t) .

Comme val tu ⩾ n−1, le sous-groupe X_{−3α−β}(n−r −1) = H_{i,x} de J_{i}^{−} a pour conjugué par x un sous-groupe de J_{i} dont l’action via τ_{i} est celle de X_{β}(n−1) via τ_{M}, qui n’a pas de vecteur fixe non nul par hypothèse (τ_{M} est de défaut 0 et de quasi-conducteur n).

Cas i = 5, 2 ⩽ l ⩽ n.

La démonstration est semblable à celle du cas précédent, en choisissant x = x_{α+β}(u), val u = k − 1, dans J_{6}^{+} − J_{5}^{+} ; pour h = x_{−α}(t), val t ⩾ n − k, élément de J_{5}^{−}, on a :

x^{−1}h x = [x, h^{−1}] h = x_{β}(± 3tu) x_{−α}(t).

Le sous-groupe X_{−α}(n − k) = H_{5,x} de J_{5}^{−} a donc pour conjugué par x un sous-groupe de J_{5} dont l’action via τ_{5} est celle de X_{β}(n − 1) via τ_{M}, qui n’a pas de vecteur fixe non nul par hypothèse. □

Si l ⩾ 2, la proposition 4 suffit à établir que chacune des paires (J_{i}, τ_{i}) de la définition 3 est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}), grâce au théorème 1. Si l = 1 il nous faut travailler davantage sur les cas i = 1 et i = 3, pour lesquels on fera appel au théorème 2.

Proposition 5. - Supposons l = 1 et i = 1. Alors 𝔑_{1}^{π} est injectif sur V^{τ_{1}} pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G.

Démonstration. Cette fois J_{2}^{+} ∩ X_{2α+β} = X_{2α+β}(r) et J_{1}^{−} ∩ X_{−2α−β} = X_{−2α−β}(−r), avec r = 0 ou −1 selon la parité de n : la décomposition d’Iwahori utilisée pour l ⩾ 2 ne s’applique pas. Examinons 𝔑_{1}^{π}, en utilisant le fait que le produit J_{2}^{−}H_{M}J_{2}^{+}, où H_{M} est le noyau de τ_{M}, est un groupe ([Bl], lemme 1).

𝔑_{1}^{π} (w) = ∫_{J_{1}^{−}} π(y) dy ∫_{J_{2}^{+}} π(n)w dn  (w ∈ V^{τ_{1}})

= ∑_{y∈J_{1}^{−}/J_{2}^{−}} π(y) ∫_{J_{2}^{−}} π(h) dh ∫_{J_{2}^{+}} π(n)w dn

= ∑_{y∈J_{1}^{−}/J_{2}^{−}} π(y) ∫_{J_{2}^{−}} π(h) dh ∫_{J_{2}^{+}} π(n) dn ∮_{H_{M}} π(m)w dm

= ∑_{y∈J_{1}^{−}/J_{2}^{−}} π(y) ∫_{J_{2}^{+}} π(n) dn ∫_{J_{2}^{−}} π(h) dh ∮_{H_{M}} π(m)w dm

= vol J_{2}^{−} ∑_{y∈J_{1}^{−}/J_{2}^{−}} π(y) ∫_{J_{2}^{+}} π(n)w dn (car J_{2}^{−}H_{M} ⊂ Ker τ_{1})

= vol J_{2}^{−} vol J_{1}^{+} ∑_{y∈J_{1}^{−}/J_{2}^{−}} π(y) ∑_{n∈J_{2}^{+}/J_{1}^{+}} π(n)w.

Or le quotient J_{2}^{+}/J_{1}^{+} est isomorphe à X_{2α+β}(r)/X_{2α+β}(r + 1), tandis que J_{1}^{−}/J_{2}^{−} est isomorphe à X_{−2α−β}(−r)/X_{−2α−β}(−r + 1). Il nous reste :

𝔑_{1}^{π} (w) = vol J_{2}^{−} vol J_{1}^{+} ∑_{y ∈ 𝔓^{−r}/𝔓^{−r+1}} π(x_{−2α−β}(y)) ∑_{n ∈ 𝔓^{r}/𝔓^{r+1}} π(x_{2α+β}(n)) w,

soit 𝔑_{1}^{π} (w) = c 𝔑π̃ ; 1 (w)  (c constante non nulle),

où 𝔑π̃ ; 1 est cette fois associé à la représentation lisse π̃ de SL_{2}(F) obtenue en composant π avec l’homomorphisme ζ_{2α+β} de SL_{2}(F) dans G, et aux paires (J̃_{1}, τ̃_{1}) et (J̃_{2}, τ̃_{2}) dans SL_{2}(F) définies par :

\begin{aligned}J̃_{1} & = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔓^{r+1} \\ 𝔓^{−r} & 𝔒^{×} \end{matrix} ) ∩ SL_{2}(F), \\ et J̃_{2} & = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔓^{r} \\ 𝔓^{−r+1} & 𝔒^{×} \end{matrix} ) ∩ SL_{2}(F), \end{aligned}  \begin{matrix}τ̃_{1} = τ_{1} ∘ ζ_{2α+β}, \\ τ̃_{2} = τ_{2} ∘ ζ_{2α+β}. \end{matrix}

Or τ̃_{1} et τ̃_{2} sont triviales sur les intersections de J̃_{1} et J̃_{2} avec les sous-groupes unipotents supérieurs et inférieurs, et leur restriction au sous-groupe \{ ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) / a ∈ 𝔒^{×}\} est le

caractère ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) ↦ χ(a) de ce sous-groupe (rappelons que χ est le caractère central de τ_{M} et que h_{2α+β}(F^{×}) est le centre de M). Il résulte alors de la proposition 3 de I-2 et du théorème 2 que l’application 𝔑π̃ ; 1 est injective. Il en est de même de 𝔑_{1}^{π}. □

Proposition 6. - On suppose l = 1 et i = 3. Le sous-groupe K_{3} de G engendré par J_{3} et J_{4} est compact, et l’élément 𝔑̃_{3} de H(K_{3}, J_{3}, τ̃_{3}) y est inversible. En particulier 𝔑_{3}^{π} est injectif sur V^{τ_{3}} pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G.

Démonstration. Le passage de J_{3} à J_{4} fait intervenir un changement de valuation pour toutes les racines, c’est pourquoi la méthode développée précédemment ne s’y applique pas. Comme le résultat annoncé est invariant par conjugaison par ξ on s’autorise, pour n impair, à remplacer J_{3} et J_{4} par leurs conjugués J_{−1} (notation évidente) et J_{0} et on posera dans cette démonstration, pour faciliter une présentation homogène :

\{ \begin{matrix}J_{3} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k − 1 \\ k & 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k − 1 & −1 & k − 2 \\ k + 1 & 2 & k + 2 \end{matrix} ] \end{matrix} (n pair)  \{ \begin{matrix}J_{3} & = [ \begin{matrix}k + 1 & 1 & k + 1 \\ k & 0 & k \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & 0 & k \\ k + 1 & 1 & k + 1 \end{matrix} ] \end{matrix} (n impair)

La construction du sous-groupe K_{3} repose sur l’action d’un élément σ du normalisateur de M échangeant J_{3} et J_{4} :

σ = σ_{1} = ζ_{2α+β} ( ( \begin{matrix}0 & ω^{−1} \\ −ω & 0 \end{matrix} )) (n pair) σ = σ_{0} = ζ_{2α+β} ( ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )) (n impair)

On pose j = 1 si n est pair, j = 0 si n est impair. Dans ce qui suit toute assertion relative à σ ou σ_{j} s’entend comme valide avec σ = σ_{1} et les sous-groupes J_{3}, ..., du cas n pair, et avec σ = σ_{0} et les sous-groupes J_{3}, ..., du cas n impair. La démonstration du lemme 5 est reportée à l’appendice (II.5.5).

Lemme 5. - a) Comme β et 2α + β sont des racines orthogonales, l’élément

\begin{aligned}σ_{j} = ζ_{2α+β} ( ( \begin{matrix}0 & ω^{−j} \\ −ω^{j} & 0 \end{matrix} )) & = x_{+2α+β}(ω^{−j}) x_{−2α−β}(−ω^{j}) x_{+2α+β}(ω^{−j}) \\ & = x_{−2α−β}(−ω^{j}) x_{+2α+β}(ω^{−j}) x_{−2α−β}(−ω^{j}) \end{aligned}

commute à ζ_{β} (SL_{2}(F)) et normalise M et J_{M}.

b) On a σ^{2} = h_{2α+β}(−1), et l’action de σ sur M ≃ GL_{2}(F) est donnée par : σ g σ^{−1} = (det g)^{−1}g, g ∈ GL_{2}(F).

c) Le conjugué par σ d’un sous-groupe J de la définition 2 est :

\begin{matrix}σ_{1} [ \begin{matrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix} ] σ_{1}^{−1} = [ \begin{matrix}m_{1} − 1 & m_{2} − 2 & m_{3} − 3 \\ p_{1} + 1 & p_{2} + 2 & p_{3} + 3 \end{matrix} ] , \\ σ_{0} [ \begin{matrix}p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} \end{matrix} ] σ_{0}^{−1} = [ \begin{matrix}m_{1} & m_{2} & m_{3} \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} \end{matrix} ] . \end{matrix}

En particulier σJ_{3} σ^{−1} = J_{4} , σJ_{3}^{+}σ^{−1} = J_{4}^{−}, σJ_{3}^{−}σ^{−1} = J_{4}^{+}.

d) Un sous-groupe de G contient J_{3} et J_{4} si et seulement si il contient J_{3} et σ. Lemme 6. - Supposons n > 1.

a) On définit par :

H_{3} = [ \begin{matrix}k − 1 & 0 & k − 2 \\ k & 1 & k + 1 \end{matrix} ] (n pair), H_{3} = [ \begin{matrix}k & 1 & k \\ k & 0 & k \end{matrix} ] (n impair, n > 1),

un groupe avec décomposition d’Iwahori H_{3} = H_{3}^{−}J_{M} H_{3}^{+} = J_{3}^{−}J_{M} H_{3}^{+}. On a H_{3} = J_{3} H_{3}^{+} et J_{4}^{+} = X_{2α+β}(−j) H_{3}^{+}.

b) Le groupe engendré par J_{3} et J_{4} est K_{3} = H_{3} ∪ H_{3} σH_{3} , et on a :

H_{3} σH_{3} = J_{3} σJ_{3} = J_{3} σJ_{3}^{−} = J_{3}^{−}J_{M} σJ_{3}^{−}.

c) La représentation Ind_{J_{3}}^{H_{3}}τ_{3} est irréductible, et :

Hom_{K_{3}}(Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}, Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}) ⊕ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}).

Démonstration.

a) Les conditions de concavité de la définition 2 sont vérifiées.

b) Vu le lemme 5 il suffit de montrer que H_{3} ∪ H_{3} σH_{3} est stable par produit, c’està-dire que σH_{3} σ ⊂ H_{3} ∪ H_{3} σH_{3}. Par a) on a :

\begin{aligned}σH_{3} σ & = σH_{3}^{+}σ σJ_{M}σ σJ_{3}^{−}σ = (σH_{3}^{+}σ^{−1}) J_{M}J_{4}^{+} \\ soit σH_{3} σ & ⊂ J_{3}^{−}J_{M} (H_{3}^{+} ∪ H_{3}^{+} x_{2α+β}(ω^{−j}𝔒^{×})) ⊂ H_{3} ∪ H_{3} x_{2α+β}(ω^{−j}𝔒^{×}). \end{aligned}

Comme x_{2α+β}(ω^{−j}𝔒^{×}) est contenu dans J_{3}^{−}J_{M} σJ_{3}^{−} par le lemme 5 a), le résultat suit. En outre, comme σH_{3}^{+}σ^{−1} est contenu dans J_{3}^{−}, on a :

H_{3}σH_{3} = J_{3}^{−}J_{M}H_{3}^{+}σH_{3} = J_{3}^{−}J_{M}σH_{3} = J_{3}^{−}J_{M}σH_{3}^{+}J_{M}J_{3}^{−} = J_{3}^{−}J_{M}σJ_{3}^{−}. c) On décompose l’induction de J_{3} à K_{3} en trois étapes. On définit d’abord :

L_{3} = [ \begin{matrix}k − 1 & 0 & k − 1 \\ k & 1 & k + 1 \end{matrix} ] (n pair), L_{3} = [ \begin{matrix}k & 1 & k + 1 \\ k & 0 & k \end{matrix} ] (n impair, n > 1).

C’est un groupe avec décomposition d’Iwahori L_{3} = L_{3}^{−}J_{M}L_{3}^{+} = J_{3}^{−}J_{M}L_{3}^{+}, et tel que L_{3} = J_{3} L_{3}^{+} : les conditions de concavité de la définition 2 sont vérifiées. Comme l’action de J_{M} sur le quotient (L_{3}^{+} − J_{3}^{+})/J_{3}^{+} est transitive (voir l’appendice, II.5.4), on a :

L_{3} = J_{3}^{−}J_{M}J_{3}^{+} ∪ J_{3}^{−}J_{M} (L_{3}^{+} − J_{3}^{+}) = J_{3} ∪ J_{3} x_{α+β}(ω^{k−j}) J_{M}.

La représentation Ind_{J_{3}}^{L_{3}}τ_{3} = τ′_{3} de L_{3} est irréductible : vu la décomposition en doubles classes de L_{3}, il suffit de montrer que x_{0} = x_{α+β}(ω^{k−j}) n’entrelace pas τ_{3}. Or cela résulte de la formule de commutation de Chevalley x_{0}^{−1}hx_{0} = h [h, x_{0}] = h x_{β}(±3tω^{k−j}), avec h = x_{−α}(t), val t ⩾ k : en effet X_{−α}(k) agit trivialement dans τ_{3} tandis que X_{β}(n − 1) n’a pas de vecteur fixe non nul.

Etudions maintenant l’induction à H_{3}. De l’action transitive de J_{M} sur le quotient (H_{3}^{+} − L_{3}^{+})/L_{3}^{+}, on tire :

H_{3} = L_{3} ∪ L_{3} x_{3α+2β}(ω^{k−2j}) L_{3} = L_{3} ∪ L_{3} x_{3α+2β}(ω^{k−2j}) J_{M}.

On veut montrer comme précédemment que x_{1} = x_{3α+2β}(ω^{k−2j}) n’entrelace pas τ′_{3} à l’aide de la formule x_{1}^{−1}h x_{1} = h [h, x_{1}] = h x_{β} (± t ω^{k−2j}), où h = x_{−3α−β}(t) avec val t ⩾ k + j. Pour cela il suffit d’établir :

- que X_{β}(n − 1) n’a pas de vecteur fixe non nul dans la représentation τ′_{3} ; or β commute à α + β, et le commutateur [x_{β}(u), x_{α}(v)] est de la forme x_{α+β} (cuv) avec c ∈ 𝔒, donc X_{β}(n − 1) agit trivialement par conjugaison sur le quotient J_{3}\L_{3} et agit sur une fonction f de l’espace de τ′_{3} (fonction sur L_{3} à valeurs dans l’espace de τ_{3}) par τ′_{3}(x_{β}(u))f(k) = τ_{M}(x_{β}(u))f(k), k ∈ L_{3}, val u ⩾ n − 1.

- que X_{−3α−β}(k + j) agit trivialement dans τ′_{3} ; or −3α − β commute à α + β, et le commutateur [x_{−3α−β}(t), x_{α}(v)] est de la forme n x_{−β} (ctv^{3}) avec n ∈ N̄, donc n ∈ J_{3}^{−}, et c ∈ 𝔒: il appartient à J_{3}^{−}X_{−β}(k+j+3(k−j)), contenu dans le noyau de τ_{3}, si x_{α}(v) appartient à L_{3}^{+}.

L’irréductibilité de Ind_{L_{3}}^{H_{3}}τ′_{3} = Ind_{J_{3}}^{H_{3}}τ_{3} étant établie, passons à K_{3} ; on a par le critère de Mackey :

Hom_{K_{3}}(Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}, Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}) ≃ ⨁_{x ∈ J_{3}\K_{3}/J_{3}} Hom_{J_{3} ∩ x^{−1}J_{3}x} (τ_{3}, τ_{3}^{x}).

Les termes en x ∈ H_{3} se regroupent en Hom_{H_{3}}(Ind_{J_{3}}^{H_{3}}τ_{3}, Ind_{J_{3}}^{H_{3}}τ_{3}) ≃ ℂ. Par b) il n’y a qu’un terme en x ∉ H_{3} : le terme en x = σ qui, par le lemme 5, c), vaut

Hom_{J_{3}∩J_{4}} (τ_{3}, τ_{3}^{σ}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}).
□

Lemme 7. - On suppose n = 1.

a) Le groupe K_{3} = G(𝔒) engendré par les H_{r}(0) et X_{r}(0), r ∈ Φ, est le groupe engendré

par J_{3} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] et J_{4} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] .

b) K_{3} est réunion de quatre doubles classes modulo J_{3} : celle de 1, celle de σ, celle de

s_{α} = ζ_{α} (( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )) et celle de s_{3α+β} = ζ_{3α+β} (( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )).

c) On a : Hom_{K_{3}} (Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}, Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}) ⊕ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}).

Démonstration.

a) est bien connu.

b) C’est la décomposition de Bruhat sur le corps résiduel, ramenée aux quatre doubles classes du groupe de Weyl modulo le sous-groupe \{1, s_{β} = ζ_{β} (( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ))\}.

c) On applique le critère de Mackey à la représentation Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3} :

Hom_{K_{3}}(Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}, Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3}) ≃ ⨁_{x ∈ J_{3}\K_{3}/J_{3}} Hom_{J_{3} ∩ x^{−1}J_{3}x} (τ_{3}, τ_{3}^{x})

Des relations s_{α} x_{−β} (u) s_{α}^{−1} = x_{−3α−β} (±u) et s_{3α+β} x_{−β} (u) s_{3α+β}^{−1} = x_{−3α−2β} (±u) pour u ∈ 𝔒 on tire que Hom_{J_{3} ∩ x^{−1}J_{3} x} (τ_{3}, τ_{3}^{x}) = {0} pour x = s_{α} ou x = s_{3α+β}, car le sous-groupe x_{−β}(𝔒) de J_{M} n’a pas de vecteur fixe non nul dans τ_{M} (qui est de défaut 0 ainsi que sa conjuguée par s_{β} ∈ J_{M}) tandis que x_{−3α−β}(𝔒) et x_{−3α−2β}(𝔒) agissent trivialement dans τ_{3}. Reste le terme en σ qui, par le lemme 5, c), vaut

Hom_{J_{3}∩J_{4}} (τ_{3}, τ_{3}^{σ}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ})
□

Lemme 8. - Si χ^{2} ≠ 1 la représentation Ind_{J_{3}}^{K_{3}}τ_{3} est irréductible. Dans tous les cas 𝔑̃_{3} est inversible dans H(K_{3}, J_{3}, τ̃_{3}).

Démonstration. Par le lemme 5, b), la représentation τ_{M}^{σ} est équivalente à la torsion de τ_{M} par le caractère χ^{−1} du déterminant, qui ne peut être équivalente à τ_{M} si χ^{2} ≠ 1. On conclut par le lemme 6 ou 7, c), à l’irréductibilité de l’induite de τ_{3} à K_{3}. D’autre part les lemmes 5, 6 et 7 établissent que l’élément σ vérifie les hypothèses de la proposition 2, d’où la conclusion. □

Le lemme 8 achève bien entendu la démonstration de la proposition 6. □

Les propositions 4, 5 et 6 et les résultats de I.1 impliquent immédiatement :

Conclusion : Soit τ_{M} une représentation de J_{M} vérifiant les hypothèses du théorème 4. Chacune des paires décomposées (J_{i}, τ_{i}) de la définition 3 est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P. La paire choisie dans l’énoncé du théorème 4 correspond à i = 4 si l ⩾ 2 et max(n, l) pair, à i = 2 si l ⩾ 2 et max(n, l) impair, à i = 2 si l = 1 et n pair, à i = 0 si l = 1 et n impair.

II.4 - Paires couvrantes pour la série ramifiée

Théorème 5. - Considérons un type dans M de la forme (J_{M}, τ_{M}), où τ_{M} est une composante irréductible de la restriction à J_{M} = K′ = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔒 \\ 𝔓 & 𝔒^{×} \end{matrix} ) d’une représentation lisse irréductible de Z′K′ de défaut 0 et de quasi-conducteur n, n ⩾ 1. Notons χ le caractère central de τ_{M} et posons l = inf {r ⩾ 1 / χ _{| 1+𝔓^{r}} = 1}. Posons enfin k = [ max(n, l)/2] , κ = max(n, l) − k = [(max(n, l) + 1)/2] , et :

si l ⩾ n + 1  \{ \begin{matrix}J^{−} & = X_{−α}(κ) X_{−α−β}(κ) X_{−2α−β}(l) X_{−3α−β}(κ) X_{−3α−2β}(κ) \\ J^{+} & = X_{α}(k) X_{α+β}(k) X_{2α+β}(0) X_{3α+β}(k) X_{3α+2β}(k) \end{matrix}

si 2 ⩽ l ⩽ n  \{ \begin{matrix}J^{−} & = X_{−α}(κ)X_{−α−β}(κ + 1)X_{−2α−β}(l)X_{−3α−β}(κ)X_{−3α−2β}(κ + 1) \\ J^{+} & = X_{α}(k) X_{α+β}(k) X_{2α+β}(0) X_{3α+β}(k) X_{3α+2β}(k) \end{matrix}

si l = 1, n pair \{ \begin{matrix}J^{−} & = X_{−α}(κ)X_{−α−β}(κ + 1)X_{−2α−β}(1)X_{−3α−β}(κ)X_{−3α−2β}(κ + 1) \\ J^{+} & = X_{α}(k) X_{α+β}(k) X_{2α+β}(0) X_{3α+β}(k) X_{3α+2β}(k) \end{matrix}

si l = 1, n impair \{ \begin{matrix}J^{−} & = X_{−α}(κ) X_{−α−β}(κ) X_{−2α−β}(1) X_{−3α−β}(κ) X_{−3α−2β}(κ) \\ J^{+} & = X_{α}(k + 1) X_{α+β}(k) X_{2α+β}(0) X_{3α+β}(k + 1) X_{3α+2β}(k) \end{matrix}

Le produit J^{−}J_{M}J^{+} est un sous-groupe ouvert compact J de G auquel τ_{M} se prolonge en une représentation τ triviale sur J^{−} et J^{+}, égale à τ_{M} sur J_{M}. La paire (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P.

La démonstration de ce théorème est semblable à celle du théorème 4 : nous en indiquons ci-dessous les étapes, sans détailler les calculs. Comme au paragraphe II.2, commençons par étudier les produits J^{−}J_{M}J^{+} :

Définition 4. - Soit v une fonction concave sur Φ vérifiant v(β) = 0, v(−β) = 1 et v(r) + v(−r) > 0 si r appartient à Φ, r ≠ ±β. On désigne par

J = [ \begin{matrix}v(α) & v(α + β) & v(2α + β) & v(3α + β) & v(3α + 2β) \\ v(−α) & v(−α − β) & v(−2α − β) & v(−3α − β) & v(−3α − 2β) \end{matrix} ]

le sous-groupe ouvert compact de G égal au produit J^{−}J_{M}J^{+} avec :

J^{−} = ∏_{r∈Φ^{−}, r≠−β} X_{r}(v(r)), J_{M} = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔒 \\ 𝔓 & 𝔒^{×} \end{matrix} ) , J^{+} = ∏_{r∈Φ^{+}, r≠β} X_{r}(v(r)).

Remarquons que les relations de concavité faisant intervenir ±β imposent :

(I) \{ \begin{matrix}v(α + β) ⩽ v(α) ⩽ v(α + β) + 1, v(−3α − β) ⩽ v(−3α − 2β) ⩽ v(−3α − β) + 1, \\ v(−α) ⩽ v(−α − β) ⩽ v(−α) + 1, v(3α + 2β) ⩽ v(3α + β) ⩽ v(3α + 2β) + 1. \end{matrix}

Il découle de [Ku], Lemme 4.6, que la restriction de τ_{M} à K′′_{n} = ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{n} & 𝔓^{n} \\ 𝔓^{n+1} & 1 + 𝔓^{n} \end{matrix} )

factorise par un caractère χ_{0} du déterminant qui vérifie χ_{0}(x^{2}) = χ(x) pour x ∈ 1+𝔓^{n} ; en particulier χ_{0} est trivial sur 1 + 𝔓^{n} si l ⩽ n, et χ_{0} est trivial sur 1 + 𝔓^{l} si l ⩾ n + 1. On peut donc travailler avec le sous-groupe suivant du noyau de τ_{M} :

\begin{matrix}H_{M} = H′_{M}(n, l) = (1 + 𝔓^{l}) ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{n} & 𝔓^{n} \\ 𝔓^{n+1} & 1 + 𝔓^{n} \end{matrix} ) si l ⩽ n, \\ H_{M} = H′_{M}(n, l) = ( \begin{matrix}1 + 𝔓^{l} & 0 \\ 0 & 1 + 𝔓^{l} \end{matrix} ) K′′_{n} ∩ SL_{2}(𝔒) si l ⩾ n + 1. \end{matrix}

Parmi les sous-groupes de la définition 4, on recherche ceux pour lesquels le produit J^{−}H′_{M}(n, l)J^{+} est un groupe, donc les fonctions concaves v sur Φ comme dans la définition 4 telles que :

- la fonction v′ sur Φ définie par v′(β) = n, v′(−β) = n + 1 et v′(r) = v(r) si r appartient à Φ, r ≠ ±β, soit concave ;

- v(2α + β) + v(−2α − β) ⩾ l ;

- v(r) + v(−r) ⩾ max(l, n) si r appartient à Φ, r ≠ ±β, r ≠ ±(2α + β). Pour obtenir un sous-groupe aussi grand que possible avec ces conditions, on exige :

(II) \begin{aligned}& si l ⩽ n \\ \{ & \begin{matrix}v(2α + β) + v(−2α − β) = l \\ v(α + β) + v(−α) = n \\ v(−α − β) + v(α) = n + 1 \\ v(3α + 2β) + v(−3α − β) = n \\ v(−3α − 2β) + v(3α + β) = n + 1 \end{matrix} \end{aligned}  \begin{aligned}& si l ⩾ n + 1 \\ \{ & \begin{matrix}v(2α + β) + v(−2α − β) = l \\ v(α) + v(−α) = l \\ v(α + β) + v(−α − β) = l \\ v(3α + β) + v(−3α − β) = l \\ v(3α + 2β) + v(−3α − 2β) = l \end{matrix} \end{aligned}

Notons que les conditions (I) et (II) entraînent

\begin{matrix}si l ⩽ n : \{ \begin{matrix}v(−α − β) − v(−α) = 1 − (v(α) − v(α + β)), \\ v(−3α − 2β) − v(−3α − β) = 1 − (v(3α + β) − v(3α + 2β)), \end{matrix} \\ si l ⩾ n + 1 : \{ \begin{matrix}v(−α − β) − v(−α) = v(α) − v(α + β), \\ v(−3α − 2β) − v(−3α − β) = v(3α + β) − v(3α + 2β). \end{matrix} \end{matrix}

Tenant compte de la remarque 2 convenablement adaptée, on fixe v(α + β) = k :

Lemme 9. - Soit τ_{M} une représentation de J_{M} triviale sur H′_{M}(n, l) avec n ⩾ 1, l ⩾ 1. Soit e, f ∈ {0, 1}, et k, p_{2} et p_{3} des entiers vérifiant :

\{ \begin{matrix}− k − min(0, e − f) ⩽ p_{2} − p_{3} ⩽ l − k − max(0, e − f) & (1) \\ 2k − max(n, l) ⩽ p_{2} − e ⩽ 2k − max(n + 1, l) + l & (2) \end{matrix}

Alors τ_{M} se prolonge en une représentation τ du sous-groupe

\begin{matrix}J = [ \begin{matrix}k + e & k & p_{2} & p_{3} + f & p_{3} \\ n − k & n + 1 − k − e & l − p_{2} & n − p_{3} & n + 1 − p_{3} − f \end{matrix} ] si l ⩽ n, \\ J = [ \begin{matrix}k + e & k & p_{2} & p_{3} + f & p_{3} \\ l − k − e & l − k & l − p_{2} & l − p_{3} − f & l − p_{3} \end{matrix} ] si l ⩾ n + 1, \end{matrix}

triviale sur J^{−} et J^{+} et égale à τ_{M} sur J_{M} ; la paire (J, τ) est décomposée par rapport à (J_{M}, τ_{M}).

On choisit maintenant parmi les sous-groupes J du lemme 9, avec k = [max(n, l)/2], une suite telle que les sous-groupes J^{+} puis leurs conjugués ξ^{−i}J^{+}ξ^{i}, i ⩾ 1, aillent en croissant, avec des quotients successifs aussi simples que possible sous l’action de J_{M} ; on fabrique une suite de longueur 7 si l ⩾ 2, de longueur 6 si l = 1.

\begin{aligned}& Cas l ⩾ n + 1, l = 2k, k ⩾ 1 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 2 & k + 2 & k + 2 \\ k − 1 & k & l − 2 & k − 2 & k − 2 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 2 & k + 1 & k + 1 \\ k − 1 & k & l − 2 & k − 1 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k − 1 & k & l − 1 & k − 1 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k & k \\ k − 1 & k & l − 1 & k & k \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & 1 & k & k \\ k & k & l − 1 & k & k \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k & k & l & k & k \end{matrix} ] \\ J_{6} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k & k & l & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \end{aligned} \begin{aligned}& Cas l ⩾ n + 1, l = 2k + 1, k ⩾ 1 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k & k + 1 & l − 1 & k & k \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k & k \\ k & k + 1 & l − 1 & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k & k \\ k & k + 1 & l & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k + 1 & k + 1 & l & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & l & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & l + 1 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{6} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 2 & k − 2 \\ k + 1 & k + 1 & l + 1 & k + 3 & k + 3 \end{matrix} ] \end{aligned}

\begin{aligned}& Cas 2 ⩽ l ⩽ n, n = 2k, k ⩾ 1 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 2 & k + 2 & k + 2 \\ k & k & l − 2 & k − 2 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 2 & k + 1 & k + 1 \\ k & k & l − 2 & k − 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k & k & l − 1 & k − 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k & k \\ k & k & l − 1 & k & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & 1 & k & k \\ k & k + 1 & l − 1 & k & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k & k + 1 & l & k & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{6} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k & k + 1 & l & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \end{aligned} \begin{aligned}& Cas 2 ⩽ l ⩽ n, n = 2k + 1, k ⩾ 0 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k + 1 & k + 1 & l − 1 & k & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k & k \\ k + 1 & k + 1 & l − 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k & k \\ k + 1 & k + 1 & l & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k + 1 & k + 2 & l & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 2 & l & k + 2 & k + 3 \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 2 & l + 1 & k + 2 & k + 3 \end{matrix} ] \\ J_{6} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 2 & k − 2 \\ k + 1 & k + 2 & l + 1 & k + 3 & k + 4 \end{matrix} ] \end{aligned}

\begin{aligned}& Cas l = 1, n = 2k, k ⩾ 1 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 2 & k + 1 \\ k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k & k & 0 & k − 1 & k \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k \\ k & k & 0 & k & k \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k & k + 1 & 1 & k & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k − 1 \\ k & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \end{aligned} \begin{aligned}& Cas l = 1, n = 2k + 1, k ⩾ 0 \\ J_{0} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k + 1 & k \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ] \\ J_{1} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k & k \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{2} & = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ] \\ J_{3} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 2 & 2 & k + 2 & k + 3 \end{matrix} ] \\ J_{4} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 1 & k − 2 \\ k + 1 & k + 2 & 2 & k + 3 & k + 3 \end{matrix} ] \\ J_{5} & = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 2 & k − 2 \\ k + 1 & k + 2 & 2 & k + 3 & k + 4 \end{matrix} ] \end{aligned}

Définition 5. - Soit τ_{M} une représentation de J_{M} triviale sur H′_{M}(n, l) avec n ⩾ 1, l ⩾ 1. On définit une suite (J_{i}, τ_{i})_{i⩾0} de paires décomposées par rapport à (J_{M}, τ_{M}) en posant :

\{ \begin{matrix}J_{i+7t} = ξ^{−t}J_{i}ξ^{t}, t ∈ ℕ, 0 ⩽ i ⩽ 6,  si l ⩾ 2, \\ J_{i+6t} = ξ^{−t}J_{i}ξ^{t}, t ∈ ℕ, 0 ⩽ i ⩽ 5,  si l = 1. \end{matrix}

Cette suite vérifie les hypothèses de la partie I : la suite (J_{i}^{+})_{i⩾0} est croissante de réunion N, la suite (J_{i}^{−})_{i⩾0} est décroissante.

Lemme 10. - Si l ⩾ 2 et i ⩾ 0, ou si l = 1 et i n’est pas congru à 2 ou 5 modulo 6, l’action par conjugaison de J_{M} sur le quotient (J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+})/J_{i}^{+} a au plus deux orbites, dont chacune possède un représentant de la forme x_{γ}(u), γ ∈ Φ, u ∈ F.

La démonstration de ce lemme figure dans l’appendice. On suppose à partir de maintenant que τ_{M} vérifie les hypothèses du théorème 5.

Proposition 7. - Supposons l ⩾ 2 et 0 ⩽ i ⩽ 6, ou bien l = 1 et i non congru à 2 ou 5 modulo 6. Alors pour tout x ∈ J_{i+1}^{+} , x ∉ J_{i}^{+}, il existe un sous-groupe fermé H_{i,x} de J_{i}^{−} dont le conjugué x^{−1}H_{i,x} x est un sous-groupe de J_{i} n’ayant aucun vecteur fixe non nul dans la représentation τ_{i}.

Démonstration. Les détails sont identiques à ceux de la proposition 4. On choisit (lemme 10) un représentant x = x_{γ}(u) (γ ∈ Φ^{+}, val u = r) d’une orbite non triviale de J_{M} dans J_{i+1}^{+}/J_{i}^{+}.

- Si l ⩾ n + 1 ou si l ⩾ 2 et i = 1 ou 4, le sous-groupe H_{i,x} = X_{−γ}(l − (r + 1)) de J_{i}^{−} convient : on utilise la décomposition d’Iwahori dans SL_{2} (voir proposition 4, premier cas) et le fait que la restriction de τ_{M} à ( \begin{matrix}1+𝔓^{n} & 0 \\ 0 & 1+𝔓^{n} \end{matrix} ) factorise par un caractère du

déterminant non trivial sur 1 + 𝔓^{l−1}.

- Si 2 ⩽ l ⩽ n et i ≠ 1, 4 ou si l = 1 et i = 0, 1, 3, 4, le sous-groupe H_{i,x} = X_{w(γ)} ∩ J_{i}^{−}, où w est la réflexion associée à 2α + β, convient :

Si γ = α + β ou 3α + 2β, on a H_{i,x} = X_{−α}(n − (r + 1)) ou X_{−3α−β}(n − (r + 1)) de sorte que la composante sur J_{M} de x^{−1}H_{i,x} x décrit X_{β}(n − 1) (proposition 4, troisième et quatrième cas), qui n’a pas de vecteur fixe non nul sous τ_{M} vu l’hypothèse de défaut.

Si γ = α ou 3α+β, on a H_{i,x} = X_{−α−β}((n+1)−(r+1)) ou X_{−3α−2β}((n+1)−(r+1)) et la composante sur J_{M} de x^{−1}H_{i,x}x décrit X_{−β}(n) (utiliser directement la formule de Chevalley ou conjuguer celle du cas précédent par la réflexion associée à β), qui n’a pas de vecteur fixe non nul sous τ_{M} vu l’hypothèse de défaut : τ_{M} est une composante irréductible de la restriction à J_{M} = K′ d’une représentation lisse irréductible de Z′K′ de défaut 0 et quasi-conducteur n ; la conjuguée de τ_{M} par ( \begin{matrix}0 & 1 \\ ω & 0 \end{matrix} ) ∈ Z′ est elle-même de défaut 0 donc n + 1 est le plus petit des entiers s tels que X_{−β}(s) possède un vecteur fixe non nul sous τ_{M}. □

Proposition 8. - On suppose l = 1 et i = 2 ou 5. Le sous-groupe K_{i} de G engendré par J_{i} et J_{i+1} est compact, et l’élément 𝔑̃_{i} de H(K_{i}, J_{i}, τ̃_{i}) y est inversible. En particulier 𝔑_{i}^{π} est injectif sur V^{τ_{i}} pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G.

Démonstration. Là encore les détails sont identiques à ceux de la proposition 6. Ecrivons pour mémoire les paires de sous-groupes en jeu (dans le cas B0 on se ramène par conjugaison par ξ à la paire plus commode J_{−1}, J_{0}) :

Cas A0 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 2
J_{2} = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k \\ k & k & 0 & k & k \end{matrix} ]
J_{3} = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k \\ k & k + 1 & 1 & k & k + 1 \end{matrix} ]

Cas A1 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 5
J_{5} = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ]
J_{6} = [ \begin{matrix}k & k − 1 & −1 & k − 1 & k − 2 \\ k + 1 & k + 1 & 2 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ]

Cas B0 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = −1
J_{−1} = [ \begin{matrix}k + 1 & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k & k + 1 & 0 & k & k + 1 \end{matrix} ]
J_{0} = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k + 1 & k \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 1 \end{matrix} ]

Cas B1 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = 2
J_{2} = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 0 & k & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ]
J_{3} = [ \begin{matrix}k & k & −1 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 2 & 2 & k + 2 & k + 3 \end{matrix} ]

Lemme 11. - Posons j = 0 dans les cas A0 et B0 et j = 1 dans les cas A1 et B1. Soit σ = σ_{j} = ζ_{2α+β} (( \begin{matrix}0 & ω^{−j} \\ −ω^{j} & 0 \end{matrix} )) comme dans le lemme 5.

a) Le conjugué par σ d’un sous-groupe J de la définition 4 est :

\begin{matrix}σ_{1} [ \begin{matrix}p′_{1} & p_{1} & p_{2} & p′_{3} & p_{3} \\ m_{1} & m′_{1} & m_{2} & m_{3} & m′_{3} \end{matrix} ] σ_{1}^{−1} = [ \begin{matrix}m′_{1} − 1 & m_{1} − 1 & m_{2} − 2 & m′_{3} − 3 & m_{3} − 3 \\ p_{1} + 1 & p′_{1} + 1 & p_{2} + 2 & p_{3} + 3 & p′_{3} + 3 \end{matrix} ] , \\ σ_{0} [ \begin{matrix}p′_{1} & p_{1} & p_{2} & p′_{3} & p_{3} \\ m_{1} & m′_{1} & m_{2} & m_{3} & m′_{3} \end{matrix} ] σ_{0}^{−1} = [ \begin{matrix}m′_{1} & m_{1} & m_{2} & m′_{3} & m_{3} \\ p_{1} & p′_{1} & p_{2} & p_{3} & p′_{3} \end{matrix} ] . \end{matrix}

En particulier σJ_{i}σ^{−1} = J_{i+1}, σJ_{i}^{+}σ^{−1} = J_{i+1}^{−}, σJ_{i}^{−}σ^{−1} = J_{i+1}^{+}.

b) Un sous-groupe de G contient J_{i} et J_{i+1} si et seulement si il contient J_{i} et σ. c) On définit par :

Cas A0 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 2
H_{2} = [ \begin{matrix}k & k & 1 & k & k \\ k & k & 0 & k & k \end{matrix} ]

Cas A1 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 5
H_{5} = [ \begin{matrix}k & k − 1 & 0 & k − 1 & k − 2 \\ k & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ]

Cas B0 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = −1
H_{−1} = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k \\ k & k + 1 & 0 & k & k + 1 \end{matrix} ]

Cas B1 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = 2
H_{2} = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ]

un groupe avec décomposition d’Iwahori H_{i} = H_{i}^{−}J_{M}H_{i}^{+} = J_{i}^{−}J_{M}H_{i}^{+}. On a H_{i} = J_{i} H_{i}^{+} et J_{i+1}^{+} = X_{2α+β}(−j) H_{i}^{+}.

d) Le groupe engendré par J_{i} et J_{i+1} est K_{i} = H_{i} ∪ H_{i} σH_{i}, et on a :

H_{i}σH_{i} = J_{i}σJ_{i} = J_{i}σJ_{i}^{−} = J_{i}^{−}J_{M}σJ_{i}^{−}.

e) La représentation Ind_{J_{i}}^{H_{i}}τ_{i} est irréductible, et :

Hom_{K_{i}}(Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}, Ind_{J_{i}}^{K_{i}}τ_{i}) ≃ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}) ⊕ Hom_{J_{M}} (τ_{M}, τ_{M}^{σ}).

Démonstration.

a) et b) Voir en appendice la démonstration du lemme 5.

c) On peut vérifier directement la concavité ou passer par l’intermédaire du cas non ramifié (les fonctions qui définissent les deux sous-groupes H_{2} figuraient dans le cas non ramifié pour définir J_{1} avec les mêmes paramètres, celles qui définissent les sous-groupes H_{5} et H_{−1} sont minorées par celles qui définissent les H_{3} du lemme 6).

d) et e) Voir lemme 6, b). Les sous-groupes intermédiaires sont ici :

Cas A0 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 2
L_{2} = [ \begin{matrix}k & k & 1 & k + 1 & k \\ k & k & 0 & k & k \end{matrix} ]
Cas A1 : n = 2k, k ⩾ 1, i = 5
L_{5} = [ \begin{matrix}k & k − 1 & 0 & k − 1 & k − 1 \\ k & k + 1 & 1 & k + 1 & k + 2 \end{matrix} ]

Cas B0 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = −1
L_{−1} = [ \begin{matrix}k + 1 & k & 1 & k + 1 & k + 1 \\ k & k + 1 & 0 & k & k + 1 \end{matrix} ]
Cas B1 : n = 2k + 1, k ⩾ 0, i = 2
L_{2} = [ \begin{matrix}k & k & 0 & k & k − 1 \\ k + 1 & k + 1 & 1 & k + 2 & k + 2 \end{matrix} ]

De ce lemme et de la proposition 2 découle la proposition 8. □ □

Les propositions 7 et 8 et les résultats de I.1 impliquent immédiatement :

Conclusion : Soit τ_{M} une représentation de J_{M} vérifiant les hypothèses du théorème 5. Chacune des paires décomposées (J_{i}, τ_{i}) de la définition 5 est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) dans G relativement à P. La paire choisie dans l’énoncé du théorème 5 correspond à i = 5 si l ⩾ 2 et max(n, l) pair, à i = 3 si l ⩾ 2 et max(n, l) impair, à i = 3 si l = 1 et n pair, à i = 0 si l = 1 et n impair.

Construction de types induits 29

II.5 - Appendice La référence essentielle pour cet Appendice est [Ca]. Les notations sont celles de II.1. II.5.1 - Formule de commutation de Chevalley Soit r ∈ Φ, s ∈ Φ deux racines linéairement indépendantes, soit u, t ∈ F. On pose [x_{s}(u), x_{r}(t)] = x_{s}(u)^{−1}x_{r}(t)^{−1}x_{s}(u)x_{r}(t). Alors :

[x_{s}(u), x_{r}(t)] = ∏_{\begin{matrix}i, j >0 \\ ir+js ∈ Φ \end{matrix}} x_{ir+js}(C_{i,j,r,s}(−t)^{i}u^{j}) dans l’ordre des i + j croissants.

Les coefficients C_{i,j,r,s} appartiennent à {±1, ±2, ±3} ([Ca] - 5.2.2), et peuvent être calculés au signe près. Les formules qui jouent un rôle essentiel dans ce qui précède sont :

\begin{matrix}[x_{−α}(u), x_{α+β}(t)] = x_{β}(±3tu) , \\ [x_{−α−β}(u), x_{α}(t)] = x_{−β}(±3tu) , \end{matrix} \begin{matrix}[x_{−3α−β}(u), x_{3α+2β}(t)] = x_{β}(±tu) , \\ [x_{−3α−2β}(u), x_{3α+β}(t)] = x_{−β}(±tu) . \end{matrix}

II.5.2 - Structure de N et M Le radical unipotent N du parabolique attaché à la racine simple β est le produit des sous-groupes radiciels X_{α}, X_{α+β}, X_{2α+β}, X_{3α+β} et X_{3α+2β}. Avec la formule de commutation ci-dessus on trouve le sous-groupe de N engendré par les commutateurs :

[N, N] = X_{2α+β} X_{3α+β} X_{3α+2β}.

Le sous-groupe engendré par les commutateurs de [N, N] est le centre de N :

Z(N) = X_{3α+β} X_{3α+2β}.

On prolonge ζ_{β} : SL_{2}(F) ⟶ M en ζ̄_{β} : GL_{2}(F) ⟶^{∼} M par ζ̄_{β} (( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = h_{3α+2β}(λ),

λ ∈ F^{×}. Alors ζ̄_{β} (( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} )) = h_{3α+β}(λ) , ζ̄_{β} (( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} )) = h_{2α+β}(λ),

ζ̄_{β} (( \begin{matrix}λ^{2} & 0 \\ 0 & λ^{−1} \end{matrix} )) = h_{α+β}(λ) , ζ̄_{β} (( \begin{matrix}λ^{−1} & 0 \\ 0 & λ^{2} \end{matrix} )) = h_{α}(λ).

II.5.3 - Action de M sur N L’action par conjugaison de M sur N conserve les sous-groupes caractéristiques [N, N] et Z(N), d’où une action sur les quotients N/[N, N] et [N, N]/Z(N). On identifie N/[N, N] à F ⊕F par x_{α+β}(u) x_{α}(v) ↦ (u, v). L’action de M sur N/[N, N] s’identifie alors via ζ̄_{β} à la représentation standard de GL_{2}(F) (éventuellement conjuguée par ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )). En effet :

- les actions de x_{β}(t) et x_{−β}(t), t ∈ F, dans cet espace, calculées à l’aide de la formule II.5.1, s’expriment respectivement par les matrices ( \begin{matrix}1 & et \\ 0 & 1 \end{matrix} ) et ( \begin{matrix}1 & 0 \\ et & 1 \end{matrix} ), avec e = ±1.

- l’action d’un élément du tore h_{r}(λ) (avec r ∈ Φ, λ ∈ F), est donnée ([Ca] - 6.4, 7.1) par h_{r}(λ) x_{s}(t) h_{r}(λ)^{−1} = x_{s}(λ^{<ř,s>}t) (t ∈ F). On vérifie que l’action de h_{3α+2β}(λ) sur N/[N, N] a pour matrice ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), et que celle de h_{2α+β}(λ) a pour matrice ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ).

On établit de la même manière que l’action de M sur [N, N]/Z(N) ≃ X_{2α+β}, identifié à F par x_{2α+β}(u) ↦ u, est le produit par le déterminant, et que l’action de M sur Z(N) identifié à F ⊕ F par x_{3α+2β}(u) x_{3α+β}(v) ↦ (u, v) est équivalente à la torsion par le déterminant de la représentation standard de GL_{2}(F).

II.5.4 - Démonstration du lemme 4

Dans chacun des cas indiqués, le quotient J_{i+1}^{+}/J_{i}^{+} est isomorphe, pour un entier r bien déterminé, à l’un des trois groupes suivants :

x_{α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}) ⊕ x_{α}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}),
x_{2α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}),
x_{3α+2β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}) ⊕ x_{3α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}).

Comme GL_{2}(𝔒) opère transitivement sur 𝔓^{r}/𝔓^{r+1} ×𝔓^{r}/𝔓^{r+1} −{0, 0} par la représentation standard, la transitivité de l’action de J_{M} sur (J_{i+1}^{+} − J_{i}^{+})/J_{i}^{+} découle de II.5.3.

II.5.5 - Démonstration du lemme 5

a) est clair puisque β et 2α + β commutent.

b) σ commute à ζ_{β}(SL_{2}(F)) et conjugue ζ_{2α+β}(x), x ∈ F^{×}, en son inverse.

c) découle de la formule suivante ([Ca], 6.4.4, 7.2.1), où w est la réflexion associée à s :

ζ_{s}(( \begin{matrix}0 & u \\ −u^{−1} & 0 \end{matrix} )) x_{r}(t) ζ_{s}(( \begin{matrix}0 & u \\ −u^{−1} & 0 \end{matrix} ))^{−1} = x_{w(r)}(±u^{\frac{−2<s,r>}{<s,s>}} t) (u ∈ F^{×}, t ∈ F, r, s ∈ Φ).

d) c) dit que σJ_{3}σ^{−1} = J_{4} et a) exprime σ comme élément du produit J_{4}^{+}J_{3}^{−}J_{4}^{+}.

II.5.6 - Démonstration du lemme 10

Dans chacun des cas indiqués, le quotient J_{i+1}^{+}/J_{i}^{+} est isomorphe, pour un entier r bien déterminé, à l’un des groupes suivants :

x_{α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}) (pour l ⩾ 2 et i congru à 6 modulo 7),
x_{α}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}),
x_{2α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}),
x_{3α+2β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}) ⊕ x_{3α+β}(𝔓^{r}/𝔓^{r+1}).

Dans les trois premiers cas l’action de ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 0 \\ 0 & 𝔒^{×} \end{matrix} ) elle-même n’a qu’une orbite non triviale.

L’action de J_{M} = ( \begin{matrix}𝔒^{×} & 𝔒 \\ 𝔓 & 𝔒^{×} \end{matrix} ) sur 𝔓^{r}/𝔓^{r+1} × 𝔓^{r}/𝔓^{r+1} − \{0, 0\} par la représentation

standard a deux orbites : (𝔓^{r}/𝔓^{r+1} − {0}) × {0} et 𝔓^{r}/𝔓^{r+1} × (𝔓^{r}/𝔓^{r+1} − {0}), d’où le résultat dans le dernier cas.

Références

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