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fax : 33 1 44 27 78 18 22 novembre 2001

Quelques propriétés des paires couvrantes

Corinne Blondel

Soit F un corps local non archimédien et soit G le groupe des points sur F d’un groupe algébrique réductif et connexe défini sur F. Soit M un sous-groupe de Levi de G et P un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M.

C.J. Bushnell et P.J. Kutzko rappellent dans [BK2] la décomposition de Bernstein de la catégorie des représentations lisses complexes de G et la définition d’un type pour un facteur direct minimal de cette catégorie. Ils y définissent la notion de paire couvrante (G-cover) et démontrent qu’une paire couvrante d’un type de M est un type de G, l’induction parabolique de P à G se trouvant alors décrite en termes de modules sur les algèbres de Hecke attachées à ces types.

M.-F. Vignéras étend dans [V2] certaines propriétés des paires couvrantes à la catégorie des représentations lisses de G sur un corps R dans lequel le cardinal du corps résiduel de F est inversible.

Par définition, une paire couvrante (J, τ) dans G, relativement à P, d’une paire (J_{M}, τ_{M}) dans M (voir les notations ci-dessous ; τ_{M} est ici irréductible), est en particulier une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. L’intuition dicte que c’est même une paire décomposée maximale et cette conviction est sous-jacente aux constructions de paires couvrantes effectuées jusqu’à présent, aussi bien d’ailleurs qu’aux constructions de représentations antérieures partant de strates — de fait une strate définit un caractère d’un sous-groupe de congruence que l’on tâche de prolonger à un sous-groupe aussi gros que possible, au prix si nécessaire d’une construction d’Heisenberg.

Je montre au paragraphe I qu’une paire couvrante est effectivement une paire décomposée maximale, lorsque la représentation τ_{M} est projective et le corps R algébriquement clos.

Noter qu’une paire décomposée maximale n’est pas nécessairement couvrante ; de fait l’existence de paires décomposées maximales va de soi, mais pas celle de paires couvrantes. Par exemple le choix, pour une classe d’inertie donnée dans M, d’un type associé dans M duquel on cherche une paire couvrante dans G, influe sur l’existence de celle-ci - voir [BB], Théorème III.9.1. A l’heure actuelle, seuls les groupes GL_{n}(F) et SL_{n}(F) disposent, quelle que soit la caractéristique résiduelle de F, d’une description complète de leur dual lisse complexe au moyen de types qui sont des paires couvrantes de types cuspidaux de leurs sous-groupes de Levi.

D’autre part, j’ai donné dans [B2] une condition suffisante pour qu’une paire décomposée soit couvrante : il suffit qu’elle s’insère dans une suite de paires décomposées telle que le passage d’une paire à la suivante vérifie une condition d’entrelacement convenable. Il est naturel de se demander si cette condition est aussi nécessaire. La réponse est oui dans le cas complexe comme on le verra à la fin du paragraphe III.

De fait, une paire décomposée (J, τ) peut s’insérer dans la suite de paires décomposées (z^{−k}Jz^{k}, τ^{z^{k}})_{k∈ℤ}, où z est un élément fortement positif fixé du centre de M, et cette suite permet de transformer l’action, sur la représentation induite compacte ind_{J}^{G}τ, de l’élément Φ_{z} de H_{R}(G, J, τ) de support JzJ et valeur identité en z, en un opérateur d’entrelacement de ind_{J}^{G}τ dans ind_{z^{−1}Jz}^{G}τ^{z}. L’itération de ce procédé débouche sur la construction d’un G-homomorphisme Ψ^{+} de ind_{J}^{G}τ dans la représentation induite compacte ind_{J_{M} N}^{G}τ_{M} ⊗ 1.

Je montre au paragraphe II que si (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement au sous-groupe parabolique opposé P̄, alors Ψ^{+} est un isomorphisme. La composition de l’inclusion naturelle

End_{RM}(ind_{J_{M}}^{M} τ_{M}) ↪ End_{RG}(ind_{J_{M} N}^{G}τ_{M} ⊗ 1)

avec l’isomorphisme de End_{RG}(ind_{J_{M} N}^{G}τ_{M} ⊗1) sur End_{RG}(ind_{J}^{G}τ) induit par Ψ^{+} fournit alors un homomorphisme d’algèbres injectif :

H_{R}(M, J_{M}, τ_{M}) ↪ H_{R}(G, J, τ)

qui se trouve être exactement l’homomorphisme t de [BK2], Théorème 7.2. Ainsi le paragraphe II fait vraiment apparaître la théorie des paires couvrantes comme une déformation de l’induction parabolique.

Le fait que Ψ^{+} soit un isomorphisme de ind_{J}^{G}τ sur ind_{J_{M} N}^{G}τ_{M} ⊗ 1 a été démontré de façon très différente par J.-F. Dat dans [D], Théorème 4.3, sous des hypothèses assez contraignantes qui sont levées ici. L’article de J.-F. Dat explique par ailleurs quelles sont les conséquences de ce résultat dans le contexte modulaire.

La proposition 2 du paragraphe III, c’est-à-dire l’admissibilité des représentations lisses irréductibles de G sur R et le fait que les H_{R}(G, J, τ)-modules à droite simples sont de dimension finie, est un résultat de M.-F. Vignéras. Je la remercie vivement de m’avoir communiqué ce résultat et de m’avoir autorisée à reproduire ici sa démonstration.

Je remercie Guy Henniart pour ses encouragements et ses conseils. Merci également à Bertrand Lemaire et Jean-François Dat pour des discussions constructives.

Notations et définitions.

Dans toute la suite, F est un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle p, G est le groupe des points sur F d’un groupe algébrique réductif et connexe défini sur F, M est un sous-groupe de Levi propre de G et P un sous-groupe parabolique de G de facteur de Levi M et radical unipotent N. On note P̄ le sous-groupe parabolique de G opposé de P par rapport à M et N̄ son radical unipotent.

Soit R un corps (commutatif) de caractéristique différente de p (de façon que G possède une mesure de Haar à valeurs dans R, voir [V1]). Pour toute représentation lisse (π, V) de G dans un espace vectoriel V sur R, on note (π_{N}, V_{N}) le module de Jacquet de V relativement à P et r_{N} l’application canonique de V sur V_{N}.

Soit J un sous-groupe ouvert compact de G et τ une représentation lisse irréductible de J dans un espace vectoriel W sur R. Notons ι l’injection canonique de W dans l’espace de la représentation induite compacte ind_{J}^{G}τ, qui à w ∈ W associe la fonction de support J et valeur w en 1. L’algèbre End_{RG} (ind_{J}^{G}τ) s’identifie à l’algèbre de convolution H_{R}(G, J, τ) des fonctions lisses à support compact de G dans End_{R}W vérifiant Φ(kxh) = τ(k)Φ(x)τ(h) pour tous éléments h, k de J et x de G, à la manière indiquée dans [V1], §I.8.5 :

(0.1)  Φ̃ ⟼ Φ définie par Φ(x)(w) = Φ̃(ι(w))(x) (x ∈ G, w ∈ W).

Cette identification transforme composition des endomorphismes en convolution donnée par la formule :

(0.2)  Φ ∗ Ψ(x) = ∑_{g∈G/J} Φ(xg) Ψ(g^{−1}) = ∑_{g∈G/J} Φ(g) Ψ(g^{−1}x)

et transforme l’action de Φ̃ ∈ End_{RG} (ind_{J}^{G}τ) sur un élément f de l’espace de la représentation ind_{J}^{G}τ en une convolution donnée par la même formule où l’on remplace Ψ par f, soit Φ̃(f) = Φ ∗ f.

On fixe un sous-groupe ouvert compact J_{M} de M et une représentation lisse irréductible τ_{M} de J_{M} dans un espace vectoriel W sur R. Les définitions indispensables qui suivent sont extraites de [BK2] dans le cas complexe.

Soit J un sous-groupe ouvert compact de G et τ une représentation lisse irréductible de J. On pose J^{+} = J ∩ N et J^{−} = J ∩ N̄ ; ce sont des prop-groupes. On dira que (J, τ) est une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P si :

(i) J ∩ M = J_{M} et J = J^{−}J_{M}J^{+} ; (ii) la restriction de τ à J_{M} est égale à τ_{M} et les restrictions de τ à J^{+} et J^{−}

sont triviales. Dans ces conditions, un élément z du centre de M est dit fortement positif

relativement à P et J si zJ^{+}z^{−1} ⊂ J^{+}, zJ^{−}z^{−1} ⊃ J^{−} et pour tous sous-groupes compacts H_{1}, H_{2} de N (resp. N̄) il existe un entier m positif (resp. négatif) tel que z^{m}H_{1}z^{−m} ⊂ H_{2}. On notera Z^{++} l’ensemble de ces éléments ; il est non vide.

On dira que (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P si c’est une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P vérifiant : (0.3) il existe un élément z de Z^{++} tel que la double classe Jz^{−1}J supporte un

élément inversible de H_{R}(G, J, τ). Si la condition (0.3) est vérifiée, elle est alors valide pour tout élément de Z^{++}

(voir [BK2] et [V2]). Elle entraîne par [BK2] et [V1], §II.3.1 : (0.4) pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G, la restriction de

r_{N} à V^{τ}, la composante isotypique de type τ de V sous l’action de J, est injective.

(0.5) pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G, l’application

q_{N,τ} : V_{τ} = Hom_{J}(τ, π) ⟶ (V_{N})_{τ_{M}} = Hom_{J_{M}} (τ_{M}, π_{N})

définie par q_{N,τ} (f) = r_{N} ∘ f, f ∈ V_{τ}, est injective.

On verra en III que les conditions (0.4) et (0.5) sont en fait équivalentes à (0.3), non seulement pour R = ℂ comme cela découle de [BK2], mais pour tout corps R comme ci-dessus.

Remarque. La condition (0.3) dans [BK2], §7, demande qu’un élément de support JzJ soit inversible ; le changement de z en z^{−1} est dû au fait que nous travaillons ici avec l’algèbre des fonctions τ-variantes sur G tandis que C. Bushnell et P. Kutzko travaillent avec celle des fonctions τ̌-variantes sur G.

I – Paires couvrantes et maximalité.

La question de savoir si une paire couvrante est nécessairement une paire décomposée maximale se posait déjà dans [BB] où nous avions donné une réponse partielle qui nous suffisait alors (§I.4). Le théorème ci-dessous répond à cette question de manière totalement satisfaisante si R est le corps des nombres complexes. Pour un corps R algébriquement clos (on utilise le lemme de Schur), de caractéristique différente de p, quelconque, nous nous restreignons à des représentations projectives ; c’est dans la démonstration du lemme 1 que la projectivité est utilisée à plusieurs reprises.

Théorème 1. Soit (J, τ) une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. On suppose que R est algébriquement clos et que la représentation τ_{M} est projective. Alors (J, τ) est une paire décomposée maximale au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P.

Démonstration. Il s’agit de montrer que si (J′, τ′) est une autre paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P telle que J soit contenu dans J′, alors J est égal à J′. Commençons par une constatation.

(1.1)

dim Hom_{J′} (τ′, ind_{J}^{J′}τ) = 1,
dim Hom_{J} (τ, Res_{J}(ind_{J}^{J′}τ) ) ⩾ |J\J′/J|.

Le premier point découle de la réciprocité de Frobenius : τ est irréductible et la restriction de τ′ à J est égale à τ. Pour le deuxième point, on décompose comme suit la restriction à J de la représentation induite :

Res_{J}(ind_{J}^{J′}τ) ≃ ⨁_{w∈J\J′/J} ind_{wJw^{−1}∩J}^{J} τ^{w}

et il suffit de montrer que τ apparaît dans chacun des morceaux de cette décomposition. Comme J′ = J_{M}J^{′+}J^{′−} = JJ^{′+}J^{′−}, on peut choisir des représentants w de J\J′/J dans J^{′+}J^{′−} qui est contenu dans Ker τ′. Comme τ′ est un prolongement de τ à J′, on a alors, pour tout élément x de wJw^{−1} ∩ J :

τ^{w}(x) = τ(w^{−1}xw) = τ′(w^{−1}xw) = τ′(w^{−1})τ′(x)τ′(w) = τ(x).

Or par réciprocité de Frobenius, τ figure dans ind_{wJw^{−1}∩J}^{J}τ, cqfd.

Pour toute représentation lisse (π, V) de G, l’espace V_{τ′} = Hom_{J′}(τ′, π) est inclus dans V_{τ} et on a évidemment

(1.2)  ker q_{N,τ′} ⊂ ker q_{N,τ} .

Le point crucial est alors le suivant :

Lemme 1. Supposons J strictement contenu dans J′. Alors il existe une représentation lisse irréductible (π, V) de G pour laquelle

dim ker q_{N,τ′} < dim ker q_{N,τ} .

Démonstration du lemme. Il nous faut deux résultats préliminaires : (1.3) Le sous-groupe de J engendré par J^{+} et J^{−} est un pro-p-groupe.

Le groupe J = J^{−}J_{M}J^{+} est profini : le pro-p-sous-groupe J^{+} de J est donc contenu dans un pro-p-sous-groupe de Sylow S de J ([W] 2.2.2). Nous allons montrer que S contient aussi J^{−}.

L’ensemble quotient J/S est fini ([V1] I.6), de cardinal premier à p. L’action du pro-p-groupe J^{−} sur J/S par translations à gauche possède donc au moins un point fixe, que l’on peut écrire sous la forme aS avec a ∈ J^{−}J_{M}. Mais alors J^{−}aS = aS implique a^{−1}J^{−}a ⊂ S, d’où l’assertion puisque a normalise J^{−}. ∘ (1.4) Si la représentation τ_{M} est projective, alors pour toute paire décomposée

(J, τ) au-dessus de (J_{M}, τ_{M}), la représentation τ est projective. En effet, le sous-groupe H du noyau de τ engendré par J^{+} et J^{−} est de

pro-ordre inversible dans R par (1.3), donc par [V1] I.4.6, pour toute suite exacte

0 → E′ → E → E′′ → 0

de J-modules, la suite des H-invariants 0 → (E′)^{H} → E^{H} → (E′′)^{H} → 0 est exacte, et c’est une suite exacte de J_{M}-modules. La projectivité de τ_{M} donne alors l’exactitude de la suite

0 → Hom_{J_{M}} (τ_{M}, (E′)^{H}) → Hom_{J_{M}} (τ_{M}, E^{H}) → Hom_{J_{M}} (τ_{M}, (E′′)^{H}) → 0 et il n’y a plus qu’à remarquer que Hom_{J}(τ, E) = Hom_{J_{M}} (τ_{M}, E^{H}) pour tout J-module E. ∘

Ainsi les représentations τ, τ′ et ind_{J}^{J′}τ sont projectives. Dans ces conditions, ind_{J}^{J′}τ possède un quotient irréductible τ′′ tel que Hom_{J′} (τ′, τ′′) = {0} et Hom_{J} (τ, τ′′) ≠ {0} (tout quotient par un sous-module propre maximal de ind_{J}^{J′}τ contenant l’unique sous-module isomorphe à τ′ convient, puisque l’image de l’injection canonique ι de τ dans ind_{J}^{J′}τ engendre cette induite ; par projectivité de τ′ ce quotient ne peut être équivalent à τ′).

Soit (π, V) une représentation lisse irréductible de G telle que V^{τ′′} soit non nul (par exemple, un quotient irréductible de la représentation induite compacte ind_{J′}^{G}τ′′, qui est de type fini). Soit ϕ un élément non nul de Hom_{J} (τ, τ′′). L’application Φ : V_{τ′′} → V_{τ} définie par Φ(f) = f ∘ ϕ est injective, puisque les éléments non nuls de V_{τ′′} sont des homomorphismes injectifs de W dans V. En outre Φ(V_{τ′′}) et V_{τ′} sont en somme directe dans V_{τ} car V^{τ′} ∩ V^{τ′′} = {0}. Notons que V_{τ} est de dimension finie car (π, V) est admissible ([V1], II.2.8) et τ est de dimension finie ([V1], I.4.16). Ainsi:

dim V_{τ} > dim V_{τ′}.

Or les applications q_{N,τ} et q_{N,τ′} ont pour image (V_{N})_{τ_{M}} ([V1], II.3.5), de sorte que dim V_{τ} = dim(V_{N})_{τ_{M}} + dim ker q_{N,τ} et dim V_{τ′} = dim(V_{N})_{τ_{M}} + dim ker q_{N,τ′}. Il en résulte l’inégalité stricte annoncée. □

Le théorème découle immédiatement du lemme : si J est strictement contenu dans J′, le lemme fournit une représentation lisse irréductible (π, V) de G pour laquelle q_{N,τ} n’est pas injective. □

II – Paires couvrantes et induction parabolique.

Soit (J, τ) une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. Fixons un élément z de Z^{++} et posons pour tout k ∈ ℤ :

(2.1)  J_{k} = z^{−k}Jz^{k}, τ_{k}(x) = τ(z^{k}xz^{−k}) (x ∈ J_{k}).

Comme z est central dans M et fortement positif, les paires (J_{k}, τ_{k}) sont décomposées au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P et la suite des J_{k}^{+} est croissante de réunion N, celle des J_{k}^{−} décroissante d’intersection {1}. On définit pour tout k un G-entrelacement

L(z) : ind_{J_{k}}^{G}τ_{k} ⟶ ind_{J_{k+1}}^{G}τ_{k+1}, L(z)(f)(x) = f(zx);

c’est un isomorphisme d’inverse L(z^{−1}), qui induit un isomorphisme d’algèbres de End_{RG} (ind_{J_{k}}^{G}τ_{k}) sur End_{RG} (ind_{J_{k+1}}^{G}τ_{k+1}).

Notons Φ_{z} et Φ_{z^{−1}} les éléments de H_{R}(G, J, τ) de supports respectifs JzJ et Jz^{−1}J et tels que Φ_{z}(z) = Φ_{z^{−1}}(z^{−1}) = I_{W}, puis Φ_{z}^{(k)} et Φ_{z^{−1}}^{(k)} les éléments analogues de H_{R}(G, J_{k}, τ_{k}). On vérifie aisément que Φ_{z}^{(k+1)} et Φ_{z^{−1}}^{(k+1)} sont les images de Φ_{z}^{(k)} et Φ_{z^{−1}}^{(k)} par l’isomorphisme induit par L(z), i.e. :

{ \atop Φ_{z^{−1}}^{(k+1)}} = L(z) ∘ { \atop Φ_{z^{−1}}^{(k)}} ∘ L(z^{−1}) et { \atop Φ_{z}^{(k+1)}} = L(z) ∘ Φ̃_{z}^{(k)} ∘ L(z^{−1}).

Il en résulte :

(2.2) Φ_{z} est inversible dans H_{R}(G, J, τ) si et seulement si Φ_{z}^{(k)} est inversible dans H_{R}(G, J_{k}, τ_{k}); en d’autres termes, (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M},τ_{M}) relativement à P̄ si et seulement si (J_{k}, τ_{k}) en est une pour tout k ∈ ℤ.

Les endomorphismes de ind_{J}^{G}τ correspondant à Φ_{z} et Φ_{z^{−1}} sont donnés par les formules suivantes, où f appartient à l’espace de la représentation ind_{J}^{G}τ :

(2.3)  \begin{aligned}Φ̃_{z}f(x) & = ∑_{g∈ JzJ/J} Φ_{z}(g)f(g^{−1}x) = ∑_{j∈ J^{+}\z^{−1}J^{+}z} f(jz^{−1}x), \\ { \atop Φ_{z^{−1}}}f(x) & = ∑_{g∈ Jz^{−1}J/J} Φ_{z}(g)f(g^{−1}x) = ∑_{j∈ J^{−}\zJ^{−}z^{−1}} f(jzx). \end{aligned}

Fixant des mesures de Haar sur N et N̄ normalisées de telle sorte qu’il existe un sous-groupe ouvert compact de volume 1 (voir [V1], §I.2.4 et II.1.3), on pose pour f ∈ ind_{J_{k}}^{G}τ_{k} :

Ψ_{k}^{+}(f)(x) = \frac{1}{|J_{k}^{+}|} ∫_{z^{−1}J_{k}^{+}z} f(jx)dj , Ψ_{k}^{−}(f)(x) = \frac{1}{|J_{k}^{−}|} ∫_{zJ_{k}^{−}z^{−1}} f(jx)dj,

où l’on note |H| le volume d’un sous-groupe ouvert compact de N ou N̄ pour la mesure choisie ; c’est une puissance de p. Les applications Ψ_{k}^{+} et Ψ_{k}^{−} sont des homomorphismes de G-modules de ind_{J_{k}}^{G}τ_{k} dans ind_{J_{k+1}}^{G}τ_{k+1} et ind_{J_{k−1}}^{G}τ_{k−1} respectivement, puisqu’on vérifie immédiatement :

(2.4) Ψ_{k}^{+} = L(z) ∘ Φ̃_{z}^{(k)} et Ψ_{k}^{−} = L(z^{−1}) ∘ { \atop Φ_{z^{−1}}^{(k)}}.

Ainsi Ψ_{k}^{+} est un isomorphisme si et seulement si Φ_{z} est inversible. Cette remarque joue un rôle essentiel dans l’établissement du théorème suivant :

Théorème 2. Soit (J, τ) une paire couvrante de (J_{M},τ_{M}) relativement à P̄. L’application :

Ψ^{+} : ind_{J}^{G}τ ⟶ ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1, Ψ^{+}(f)(x) = \frac{1}{|J^{+}|} ∫_{N} f(nx)dn,

est un isomorphisme de G-modules.

Démonstration. Remarquons tout d’abord que si (J, τ) est seulement une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P̄ (ou à P, c’est la même chose), l’application Ψ^{+} ainsi définie est un homomorphisme de G-modules : elle commute aux translations à droite et, comme f elle-même est à support compact, l’intégrale converge et définit une fonction invariante à gauche sous N, τ_{M}-variante à gauche sous J_{M} et de support contenu dans N Supp(f) qui est bien compact modulo J_{M}N. L’application Ψ^{+} coïncide du reste avec le morphisme Φ

de [D], §2.1.

Pour continuer nous avons besoin d’introduire un nouvel opérateur I_{k} :

I_{k}(f)(x) = ∫_{J_{k}^{+}} f(nx)dn,

dans l’espace des fonctions lisses à support compact de G dans W qui vérifient f(mx) = τ_{M}(m)f(x) pour tous m ∈ J_{M}, x ∈ G. On a, pour f ∈ ind_{J_{i}}^{G}τ_{i} :

I_{k}(f) = |J_{k}^{+}| f si i ⩾ k, I_{k}(f) = |J_{i}^{+}| Ψ_{k−1}^{+} ∘ Ψ_{k−2}^{+} ⋯ ∘ Ψ_{i}^{+}(f) si i < k.

Il résulte alors de (2.2), (2.4) que

(2.5) I_{k} se restreint, pour i ⩽ k, en un G-isomorphisme de ind_{J_{i}}^{G}τ_{i} sur ind_{J_{k}}^{G}τ_{k}.

Montrons à présent l’injectivité de Ψ^{+}. Soit f ∈ ind_{J}^{G}τ, de support contenu dans Ω, compact de G. La condition Ψ^{+}(f) = 0 équivaut à Ψ^{+}(f)(x) = 0 pour tout x appartenant au support de f (en effet, si c’est le cas, Ψ^{+}(f) est nulle en tout point de N Supp(f), or elle est déjà nulle en dehors de cet ensemble). Or pour tout x de Ω, le support de l’intégrale ∫_{N} f(nx)dn est contenu dans N ∩ΩΩ^{−1} qui est compact dans N, donc contenu dans J_{k}^{+} pour k assez grand. Ainsi, pour x ∈ Ω : Ψ^{+}(f)(x) = \frac{1}{|J^{+}|} I_{k}(f)(x). Si donc Ψ^{+}(f) est nulle, la fonction I_{k}(f) est nulle pour tout x de Ω donc nulle sur J_{k}^{+}Ω qui contient son support : alors I_{k}(f) = 0 donc f = 0 par (2.5).

Passons à la surjectivité de Ψ^{+}. La représentation ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1 est lisse et formée de fonctions à support compact modulo J_{M}N ; il suffit donc de montrer que l’image de Ψ^{+} contient toute fonction de support contenu dans J_{M}NgK et invariante à droite par K, pour g ∈ G arbitraire et K sous-groupe ouvert compact de G arbitrairement petit. Comme l’image par g d’une telle fonction est de support contenu dans J_{M}N(gKg^{−1}) et est invariante à droite par gKg^{−1}, il suffit d’atteindre toute fonction de la forme ci-dessous, où K est un sous-groupe ouvert compact de G arbitraire et w ∈ W :

f_{w,K}(x) = \{ \begin{matrix}τ_{M}(m)w & si x = mnk, m ∈ J_{M}, n ∈ N, k ∈ K, \\ 0 & si x ∉ J_{M}NK. \end{matrix}

L’existence d’une telle fonction avec w ≠ 0 implique : K ∩ J_{M}N ⊂ J_{M}(w)N où J_{M}(w) est le fixateur de w dans la représentation τ_{M}. Comme K est compact et ouvert on peut choisir k ⩾ 0 de sorte que :

K ∩ J_{M}N ⊂ J_{M}(w)J_{k}^{+} et K ∩ N̄ ⊃ J_{k}^{−}.

Définissons alors une fonction f_{k} ∈ ind_{J_{k}}^{G}τ_{k} par

f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}τ_{k}(j) w & si x = jk, j ∈ J_{k}, k ∈ K, \\ 0 & si x ∉ J_{k}K. \end{matrix}

Elle est bien définie car J_{k} ∩ K = J_{k}^{−}(J_{M}J_{k}^{+} ∩ K) est contenu dans J_{k}^{−}J_{M}(w)J_{k}^{+} qui est le fixateur de w dans la représentation τ_{k}. Considérons maintenant la fonction Ψ^{+,k}(f_{k}) ∈ ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1 définie par

Ψ^{+,k}(f_{k})(x) = \frac{1}{|J_{k}^{+}|} ∫_{N} f_{k}(nx)dn.

Son support est contenu dans NJ_{k}K = J_{M}NK, elle est invariante à droite par K et sa valeur en 1 est _{\frac{1}{|J_{k}^{+}|}} ∫_{N} f_{k}(n)dn = _{\frac{1}{|J_{k}^{+}|}} ∫_{J_{k}^{+}} f_{k}(n)dn = w car N ∩ J_{k}K =

N ∩ J_{k}^{+}J_{M}K = J_{k}^{+}(N ∩ J_{M}K) ⊂ J_{k}^{+}.

Ainsi Ψ^{+,k}(f_{k}) = f_{w,K}. Par (2.5) il existe f_{0} ∈ ind_{J}^{G}τ telle que I_{k}(f_{0}) = f_{k}, soit finalement f_{w,K} = Ψ^{+,k} ∘ I_{k}(f_{0}) = |J^{+}| Ψ^{+}(f_{0}) : Ψ^{+} est surjective. □

L’isomorphisme Ψ^{+} induit un isomorphisme d’algèbres :

Ψ_{+} : End_{RG} (ind_{J}^{G}τ) ⟶ End_{RG} (ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1) .

D’autre part, l’isomorphisme canonique

θ : ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1 ⟶ ind_{P}^{G} ((ind_{J_{M}}^{M} τ_{M}) ⊗ 1) ,

défini par θ(f)(g)(p) = f(pg) (g ∈ G, p ∈ P), détermine un homomorphisme injectif d’algèbres à unité

Θ_{P} : End_{RM}(ind_{J_{M}}^{M} τ_{M}) ↪ End_{RG}(ind_{J_{M} N}^{G} τ_{M} ⊗ 1)

via Θ_{P} (ϕ)(f) = θ^{−1} (g ↦ ϕ(θ(f)(g))). Noter que ind_{P}^{G} désigne ici la représentation induite parabolique non normalisée ; elle est en l’occurrence isomorphe à la représentation induite normalisée, car le module est trivial sur J_{M}, mais la définition de Θ_{P} dépend de ce choix.

On obtient par composition un homomorphisme injectif d’algèbres à unité :

Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} : End_{RM}(ind_{J_{M}}^{M} τ_{M}) ↪ End_{RG} (ind_{J}^{G}τ) ,

soit via les identifications habituelles :

Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} : H_{R}(M, J_{M}, τ_{M}) ↪ H_{R}(G, J, τ).

Soit m ∈ M ; on note ϕ_{m} un élément de H_{R}(M, J_{M}, τ_{M}) de support contenu dans J_{M}mJ_{M}, et Φ_{m} l’élément de H_{R}(G, J, τ) de support contenu dans JmJ et valeur en m : Φ_{m}(m) = ϕ_{m}(m). On veut comparer les endomorphismes Φ̃_{m} et Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} (ϕ̃_{m}) de ind_{P}^{G}τ. Il suffit de comparer leurs valeurs sur les générateurs ι(w), w ∈ W, ou encore de comparer

A(w) = Ψ_{+}(Φ̃_{m})(Ψ^{+}(ι(w))) = Ψ^{+}(Φ̃_{m}(ι(w))) et B(w) = Θ_{P} (ϕ̃_{m})(Ψ^{+}(ι(w))),

qui valent respectivement, pour x ∈ G :

(2.6)  A(w)(x) = \frac{1}{|J^{+}|} ∑_{j∈J/J∩mJm^{−1}} τ(j)Φ_{m}(m) ∫_{N} ι(w)(m^{−1}j^{−1}nx)dn,

(2.7) B(w)(x) = \frac{1}{|J^{+}|} ∑_{j∈J_{M} /J_{M} ∩mJ_{M} m^{−1}} τ_{M}(j)ϕ_{m}(m) ∫_{N} ι(w)(nm^{−1}j^{−1}x)dn.

Si m est quelconque on ne peut rien conclure, mais si m est (P, J)-positif, i.e. si mJ^{+}m^{−1} ⊂ J^{+} et mJ^{−}m^{−1} ⊃ J^{−}, alors on peut trouver un système de représentants de J/J ∩ mJm^{−1} formé d’éléments uj où u appartient à J^{+} et j décrit un système de représentants de J_{M}/J_{M} ∩ mJ_{M}m^{−1}, le nombre de classes distinctes à j ∈ J_{M} fixé étant [J^{+} : mJ^{+}m^{−1}]. Ceci, plus un changement de variable n ↦ m^{−1}nm dans (2.6), dont le module compense le nombre de classes ci-dessus, permet de montrer l’égalité des expressions 2.6 et 2.7. En résumé :

Corollaire. L’homomorphisme injectif d’algèbres à unité Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} vérifie, pour tout élément (P, J)-positif m de M : Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} (ϕ_{m}) = Φ_{m}.

Bien entendu, vu l’unicité prouvée dans [BK2], Ψ_{+}^{−1} ∘ Θ_{P} est exactement l’homomorphisme t de [BK2], 7.2 : on retrouve ainsi une partie du théorème 7.2 de [BK2] en même temps qu’une interprétation de l’homomorphisme donné par ce théorème. Noter que le corollaire ci-desssus est aussi une conséquence immédiate du théorème 2 et de [D], §2.2, où la H_{R}(M, J_{M}, τ_{M})-équivariance du morphisme Ψ^{+} est démontrée. Les conventions de [D] étant différentes, on a préféré donner les grandes lignes de la démonstration.

III – Suites de paires décomposées.

Poursuivons l’étude de la suite (J_{k}, τ_{k})_{k∈ℤ} définie en (2.1) en commençant par deux lemmes bien commodes.

Lemme 2. Soit (J′, τ′) une autre paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P telle que J′^{+} ⊃ J^{+} et J′^{−} ⊂ J^{−}. On pose pour f ∈ ind_{J}^{G}τ et f′ ∈ ind_{J′}^{G}τ′ :

Δ^{+}(f)(x) = \frac{1}{|J^{+}|} ∫_{J′_{+}} f(jx)dj , Δ^{−}(f′)(x) = \frac{1}{|J′^{−}|} ∫_{J^{−}} f′(jx)dj.

Pour tout w ∈ W et tout x ∈ G, on a les identités :

\begin{matrix}Δ^{+}(ι(w))(x) = \frac{1}{|J^{+}|} ∫_{J′_{+}} ι(w)(jx)dj = \frac{1}{|J′^{−}|} ∫_{J^{−}} ι′(w)(xy)dy ; \\ Δ^{−}(ι′(w))(x) = \frac{1}{|J′^{−}|} ∫_{J^{−}} ι′(w)(jx)dj = \frac{1}{|J^{+}|} ∫_{J′_{+}} ι(w)(xy)dy. \end{matrix}

Les applications Δ^{+} et Δ^{−} sont des homomorphismes de G-modules :

Δ^{+} : ind_{J}^{G}τ ⟶ ind_{J′}^{G}τ′ et Δ^{−} : ind_{J′}^{G}τ′ ⟶ ind_{J}^{G}τ.

Démonstration. Démontrons la première égalité, la seconde s’obtient de façon identique. Le support en x de la première expression est contenu dans J′^{+}J, celui de la seconde dans J′J^{−} et ces deux sous-ensembles sont égaux à J′^{+}J_{M}J^{−}. Les deux intégrales représentent des fonctions de x invariantes à gauche par J′^{+}, à droite par J^{−}. Reste à vérifier l’identité des valeurs pour x ∈ J_{M} : la première vaut ι(w)(x) = τ_{M}(x)(w) et la seconde aussi.

Soit f ∈ ind_{J}^{G}τ ; Δ^{+}(f) est une fonction lisse à support compact de G dans W et Δ^{+} commute visiblement aux translations à droite par G. La représentation ind_{J}^{G}τ est engendrée par l’image ι(W) de ι, or les identités précédentes montrent que pour tout w ∈ W, Δ^{+}(ι(w)) vérifie Δ^{+}(ι(w))(jx) = τ′(j)Δ^{+}(ι(w))(x) pour tous x ∈ G et j ∈ J′, i.e. appartient à ind_{J′}^{G}τ′. □

Lemme 3. Gardons les hypothèses du lemme 2 et posons :

𝔑_{J}^{J′}(x)(w) = ∫_{J^{−}} dy ∫_{J′_{+}} ι(w)(xyn) dn (x ∈ G , w ∈ W).

Alors 𝔑_{J}^{J′} appartient à H_{R}(G, J, τ) et vérifie : 𝔑̃_{J}^{J′} = |J′^{−}||J^{+}| Δ^{−} ∘ Δ^{+}.

Démonstration. Il suffit par (0.1) d’établir que pour tous w ∈ W, x ∈ G on a bien : 𝔑_{J}^{J′}(x)(w) = |J′^{−}||J^{+}| Δ^{−} ∘ Δ^{+}(ι(w))(x) , ce que l’on fait à l’aide du lemme 2 :

𝔑_{J}^{J′}(x)(w) = ∫_{J^{−}} dy ∫_{J′_{+}} ι(w)(xyn) dn = \frac{|J^{+}|}{|J′^{−}|} ∫_{J^{−}} dy ∫_{J^{−}} ι′(w)(nxy) dn

= \frac{|J^{+}|}{|J′^{−}|} ∫_{J^{−}} dn ∫_{J^{−}} ι′(w)(nxy) dy

= \frac{|J^{+}|}{|J′^{−}|} \frac{|J′^{−}|}{|J^{+}|} ∫_{J^{−}} dn ∫_{J′_{+}} ι(w)(ynx) dy

= |J′^{−}||J^{+}| Δ^{−} ∘ Δ^{+}(ι(w))(x). □

Revenant à notre suite (J_{k}, τ_{k}), on applique les lemmes précédents à J′ = J_{1}. Alors Δ^{+} = Ψ_{0}^{+} et Δ^{−} = Ψ_{1}^{−} et on a par (2.4) :

Δ^{−} ∘ Δ^{+} = L(z^{−1}) ∘ { \atop Φ_{z^{−1}}^{(1)}} ∘ L(z) ∘ Φ̃_{z}^{(0)} = { \atop Φ_{z^{−1}} ∗ Φ_{z}}, d’où

Proposition 1. Soit (J, τ) une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. Fixons un élément z de Z^{++} et posons pour x ∈ G, w ∈ W:

𝔑_{z}(x)(w) = ∫_{J^{−}} dy ∫_{z^{−1}J^{+}z} ι(w)(xyn) dn..

Alors 𝔑_{z} appartient à H_{R}(G, J, τ) et vérifie : 𝔑_{z} = |z^{−1}J^{−}z||J^{+}| Φ_{z^{−1}} ∗ Φ_{z}.

Cette proposition va nous permettre de relier l’inversibilité de 𝔑_{z} à celle de Φ_{z^{−1}} et Φ_{z}. Bien entendu l’inversibilité de 𝔑_{z} entraîne l’inversibilité à droite de Φ_{z^{−1}} et à gauche de Φ_{z}. Pour en déduire l’inversibilité bilatère nous avons besoin du résultat de finitude ci-dessous ; rappelons que R est, dans tout cet article, un corps commutatif dans lequel p est inversible.

Proposition 2 (M.-F. Vignéras).

(i) Toute représentation lisse irréductible de G sur R est admissible.

(ii) Soient K un sous-groupe ouvert compact de G et ρ une représentation lisse irréductible de K dans un espace vectoriel X sur R. Alors les H_{R}(G, K, ρ)- modules à droite (ou à gauche) simples sont de dimension finie.

Démonstration (M.-F. Vignéras). (i) Si R est algébriquement clos, c’est [V1], II.2.8 ; pour le cas général il faut lire entre les lignes de [V1], II.4, comme suit.

Soit (π, V) une représentation lisse irréductible de G sur R et soit R̄ une clôture algébrique de R. La représentation (πR̄, VR̄ = R̄⊗_{R}V) de G sur R̄ obtenue par extension des scalaires est monogène, donc possède un quotient irréductible (π′, V′), qui par [V1], II.4.7 est réalisable sur une extension finie E de R, c’est-à-dire : V′ ≃ R̄ ⊗_{E} V′_{E} pour une représentation (π_{E}, V_{E}) de G sur E.

Soit donc f un R̄G-homomorphisme non nul de R̄ ⊗_{R} V dans R̄ ⊗_{E} V′_{E} et soit v ≠ 0, v ∈ V. Puisque v engendre R̄ ⊗_{R} V comme R̄G-module, son image f(v) est non nulle et appartient à F ⊗_{E} V′_{E} = V′_{F} pour une extension finie F de E. En composant avec l’injection naturelle de V dans R̄ ⊗_{R} V, on trouve un RG-homomorphisme injectif i : V ↪ V′_{F}.

On a donc, pour tout sous-groupe ouvert compact H de G : V^{H} ↪ (V′_{F})^{H}. Or R̄ ⊗_{F} (V′_{F})^{H} est contenu dans (V′)^{H} qui est de dimension finie sur R̄, donc (V′_{F})^{H} est de dimension finie sur F et sur R.

(ii) Soit Y l’espace de la représentation induite compacte ind_{K}^{G}ρ. Comme l’algèbre H = H_{R}(G, K, ρ) s’identifie à End_{RG} (ind_{K}^{G}ρ), l’espace Y est naturellement un (H, RG)-bimodule, de type fini comme RG-module.

Soit M un H-module à droite simple. Alors M ⊗_{H} Y est un RG-module lisse, de type fini comme Y ; il possède donc un quotient simple V. On a :

Hom_{RG}(M ⊗_{H} Y, V) ≃ Hom_{H}(M, Hom_{RG}(Y, V)),

de sorte qu’il existe un H-homomorphisme non nul, donc injectif, de M dans Hom_{RG}(Y, V), isomorphe à Hom_{K}(X, V) = V_{ρ}. Par admissibilité de V, ce dernier espace est de dimension finie et M également. □

Cette proposition, jointe aux résultats de [V2], §II (en particulier II.10.3), permet d’adapter la démonstration de [BK2], Proposition 7.14, pour obtenir :

Corollaire. Soit (J, τ) une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. Les conditions (0.3), (0.4) et (0.5) sont équivalentes.

La proposition 2 assure que pour un élément Φ de H_{R}(G, J, τ), inversibilité et inversibilité à droite sont équivalentes ([V2], II.10.3), d’où l’équivalence des trois premières conditions ci-dessous :

Proposition 3. Soit (J, τ) une paire décomposée au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P et à P̄.

(ii) Pour un z de Z^{++}, l’élément 𝔑_{z} de H_{R}(G, J, τ) est inversible.

(iii) Pour tout z de Z^{++}, l’élément 𝔑_{z} de H_{R}(G, J, τ) est inversible.

Si R = ℂ, elles sont aussi équivalentes à chacune des suivantes :

(iv) (J, τ) est une paire couvrante de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P.

(v) Il existe une suite (J_{k}, τ_{k})_{k∈ℕ} de paires décomposées au-dessus de (J_{M}, τ_{M}) relativement à P, contenant (J, τ), telle que la suite (J_{k}^{+})_{k∈ℕ} soit croissante avec ⋃_{k∈ℕ} J_{k}^{+} = N et la suite (J_{k}^{−})_{k∈ℕ} décroissante, et telle que pour toute représentation lisse irréductible (π, V) de G et tout k ∈ ℕ, l’application :

𝔑_{k}^{π} : V^{τ_{k}} ⟶ V^{τ_{k}}, w ⟼ ∫_{J_{k}^{−}} π(y) dy ∫_{J_{k+1}^{+}} π(n)w dn,

soit injective.

Démonstration. Restons tout d’abord sur un corps R quelconque. Alors :

(v) ⇒ (iv) : c’est [B2], proposition 1, qui reste valide grâce au corollaire de la proposition 2, puisque c’est l’injectivité de r_{N} sur V^{τ} qui y est montrée. Pour étendre la démonstration au cas d’un corps quelconque, il suffit d’y remplacer l’usage de [B1], lemme 2, par celui du lemme 2 ci-dessus.

(ii) ⇒ (v) : on insère (J, τ) dans la suite (J_{k}, τ_{k})_{k∈ℤ} définie en (2.1), où z ∈ Z^{++} est celui de (ii). Or pour toute suite comme en (v), le lien entre 𝔑_{J_{0}}^{J_{1}} et 𝔑_{0}^{π} est donné par 𝔑_{0}^{π} ∘ f = F ∘ 𝔑_{J_{0}}^{J_{1}}, si f ∈ Hom_{J}(τ, π) et F ∈ Hom_{G}(ind_{J}^{G}τ, π) sont reliées par F ∘ ι = f ([B2], théorème 2,b ; d’où le fait que 𝔑_{k}^{π} envoie V^{τ_{k}} dans lui-même). L’inversibilité de 𝔑_{z} = 𝔑_{J_{0}}^{J_{1}} entraîne l’injectivité de f ↦ 𝔑_{0}^{π} ∘ f sur V_{τ} ; on en déduit l’injectivité sur V^{τ} par l’argument de [V1], II.3.1, puis par périodicité celle des 𝔑_{k}^{π} ([B2], lemme 1).

Supposons maintenant R = ℂ ; alors (i) est équivalente à (iv). En effet, une paire décomposée relativement à P l’est aussi relativement à P̄, et l’algèbre H_{R}(G, J, τ) est munie d’une involution F ↦ F̄ telle que : F (x) ≠ 0 ⟺ F̄(x^{−1}) ≠ 0 (voir [BK1], §4), donc l’inversibilité de Φ_{z^{−1}} pour un z de Z^{++} équivaut à celle de Φ_{z}. □

Références

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[B1] C. Blondel, ’Critère d’injectivité pour l’application de Jacquet’, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Série I (1997), 1149–1152.

[B2] C. Blondel, ’Une méthode de construction de types induits et son application à G_{2}’, J. of Algebra 213 (1999), 231–271.

[BK1] C. J. Bushnell and P. C. Kutzko, The admissible dual of GL_{n} over a local field via compact open subgroups, Ann. Math. Studies 129 (Princeton, 1993).

[BK2] C.J. Bushnell and P.C. Kutzko, ’Smooth representations of reductive p-adic groups: structure theory via types’, Proc. London Math. Soc., Vol. 77 (1998), 582–634.

[D] J.-F. Dat, ’Types et induction pour les représentations modulaires de groupes p-adiques’, Ann. Scient. E.N.S., Vol. 32 (1999), 1–38.

[V1] M.-F. Vign^{}éras, Représentations l-modulaires d’un groupe p-adique avec l différent de p, Progress in Math. 137 (Birkhäuser, 1996).

[V2] M.-F. Vign^{}éras, ’Induced R-representations of p-adic reductive groups’, Selecta Math. (N.S.) 4 (1998), 549–623.

[W] J. S. Wilson, Profinite Groups, London Math. Society Monographs 19 (Oxford University Press, 1998).

C.N.R.S. - Théorie des Groupes - Case 7012, Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris 7, F-75251 PARIS Cedex 05. blondel@math.jussieu.fr