Licence 2ème année : 2M270 - Cours
Algèbre linéaire 2, espaces affines.
Cours 1 (13 septembre 2017)
- Rappels d'algèbre linéaire : notion d'espace vectoriel, lien entre matrices et applications linéaires, formules de changement de bases, somme (directe) de sous-espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels supplémentaires.
- Formes linéaires, espace dual.
- Base duale, base préduale, changement de bases duales.
Cours 2 (20 septembre 2017)
- Changement de bases duales.
- Transposée d'une application linéaire.
- Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Matrices échelonnées. Applications au calcul du noyau et de l'image. Exemples.
- Codimension d'un sous-espace vectoriel. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel.
Cours 3 (27 septembre 2017)
- Dimension de l'orthogonal.
- Exemples de calculs d'orthogonal en dimension 2 et 3.
- Notion abstraite d'espace affine.
- Exemples d'espaces affines. Un espace vectoriel est naturellement un espace affine.
- Repère affine, coordonnées, formule de changement de repères.
- Applications affines : version abstraite et traduction dans ℝn. Expression en coordonnées.
Cours 4 (4 octobre 2017)
- Groupe des translations.
- La composée de deux applications affines est affine.
- Groupe des transformations affines d'un espace affine.
- Notion de barycentre.
- Associativité du barycentre.
- Les médianes d'un triangle sont concourantes en le centre de gravité.
- Une application affine préserve le barycentre.
Cours 5 (11 octobre 2017)
- Sous-espaces affines.
- Sous-espaces affines et stabilité par barycentre.
- Exemples de sous-espaces affines : points, droites affines, plans affines.
- Équations de sous-espaces affines; Exemples.
- Parallélisme de sous-espaces affines. Intersection de sous-espaces affines.
- Exemples d'applications affines : translations, projections, symétries.
Cours 6 (18 octobre 2017)
- Applications multilinéaires.
- Exemples.
- Rappels rapides sur le groupe symétrique.
- Applications multilinéaires symétriques, antisymétriques, alternées.
- Lien entre "alternée" et "antisymétrique".
- L'ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n est une droite vectorielle.
- Définition du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base.
Cours 7 (25 octobre 2017)
- Déterminant et changement de bases.
- Interprétation du déterminant comme volume.
- Déterminant d'une matrice carrée : définition et propriétés.
- Méthode de calcul du déterminant : opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour rendre la matrice triangulaire, puis calcul du déterminant d'une matrice triangulaire (par blocs). Complexité de cette méthode.
- Formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne. Complexité de cette méthode.
- Comatrice : définition et propriétés.
- Un exemple de calcul de détérminant pour une matrice de taille 4.
Cours 8 (8 novembre 2017)
- Rappels sur les polynômes : définition, opérations, degré, racines, division euclidienne, multiplicité des racines, corps algébriquement clos, théorème de d'Alembert-Gauss.
- Déterminant d'un endomorphisme, polynôme caractéristique, trace d'un endomorphisme.
- Notions de valeur propre, vecteur propre, espace propre.
- Les espaces propres sont en somme directe. Exemples d'espaces propres.
- Définition d'un endomorphisme diagonalisable.
- Si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors l'endomorphisme est diagonalisable. La réciproque est fausse.
Cours 9 (15 novembre 2017)
- Multiplicités algébrique et géométrique des valeurs propres. Un endomorphisme complexe est diagonalisable si et seulement ces deux multiplicités sont égales.
- Notion d'endomorphisme trigonalisable.
- Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.
- Calcul de déterminant et de la trace en fonction des valeurs propres.
- Notion de polynôme d'endomorphisme.
- Théorème de Cayley-Hamilton sur un corps algébriquement clos. Puis sur un sous-corps quelconque du corps des nombres complexes.
- Rappels sur le théorème de Bézout pour les polynômes.
- Décomposition en sous-espaces caractéristiques.
Cours 10 (29 novembre 2017)
- Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
- Exemples : les endomorphismes d'ordre fini dans un espace vectoriel complexe de dimension finie; les symétries sur un corps de caractéristique différente de 2.
- Notion d'endomorphisme (et de matrice) nilpotent(e).
- Les matrices triangulaires strictes sont nilpotentes.
- Notion de partitions d'un entier. Exemples.
- Suite des noyaux itérés d'un endomorphisme nilpotent. Partition associée è cette suite.
- Matrices de Jordan nilpotentes.
- Énoncé du théorème sur la forme normale de Jordan d'un endomorphisme nilpotent. Traduction matricielle. Preuve de l'existence de cette forme normale.
Cours 11 (13 décembre 2017)
- Preuve de l'uncité de la décomposition de Jordan nilpotente.
- Dénombrement des classes de similitude de matrices nipotentes.
- Matrices de Jordan.
- Forme normale de Jordan d'un endomorphisme.
- Interprétation matricielle : condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices complexes soient semblables.
- Calcul de la forme normale de Jordan et d'une base adaptée pour une matrice 4 x 4 explicite.
- Endomorphismes diagonalisables (resp. nilpotents) qui commutent.
- Énoncé du théorème de décomposition de Dunford.
Cours 12 (20 décembre 2017)
- Preuve de la décomposition de Dunford.
- Application de Dunford pour calculer des puissances de matrices.
- Exemple explicite de calcul des décompositions de Jordan et Dunford. Application au calcul des puissance de cette matrice.