Licence 1ère année : 1M002 - CS 24
Suites et intégrales, algèbre linéaire.
Cours 1 (21 janvier 2019)
- Éléments de logique mathématique.
- Énoncés mathématiques; conjonction, disjonction, implication, équivalence, négation, variables, quantificateurs.
- Raisonnements classiques : récurrence, contraposée, absurde. Exemples.
Cours 2 (25 janvier 2019)
- Notion de suite à valeurs réelles ou complexes.
- Construction de suites par récurrence; récurrence étendue.
- Opérations sur les suites.
- Suites arithmétiques. Exemple et illustration dans le cas complexe.
- Suites géométriques. Exemple et illustration dans le cas complexe.
- Suites arithmético-géométriques. Exemple : prêts bancaires.
Cours 3 (28 janvier 2019)
- Suites réccurentes linéaires d'ordre supérieur. Définition et exemples.
- Rappels sur le module d'un nombre complexe, inégalité triangulaire et multiplicativité.
- Suites bornées et suites majorées. Exemples. Stabilité par combinaison linéaire. Une suite complexe est bornée si et seulement si ses parties réelles et imaginaires le sont.
- Suites (strictement) croissantes, décroissantes, monotones. Définitions et exemples.
- Suites convergentes et divergentes. Définition. Unicité de la limite. Une suite convergente est bornée et la différence entre deux termes successifs tend vers 0.
- Étude de la convergence des suites géométriques complexes.
Cours 4 (1er février 2019)
- Convergence d'une suite complexe : lien avec la convergence de la partie réelle et de la partie imaginaire.
- Une suite réelle croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge. Preuve.
- Combinaison linéaire et produit de suites convergente. Calcul de la limite dans chaque cas. Preuve dans un cas.
- Rappel : passage à la limite dans les inégalités; théorème dit "des gendarmes"; théorème des suites adjacentes.
- Techniques de calcul de limites : cas des quotients de polynôomes; fonction continue appliquée à une suite convergente; composition de limites; utilisation des développements limités. Exemples : la suite ((1+1/n)n) converge vers e.
- Notion de sous-suite (ou suite extraite).
- Théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. Preuve dans le cas réel.
Cours 5 (4 février 2019)
- Preuve de Bolzano-Weierstrass dans le cas complexe.
- Exemple : suite (in); suite (e2 i n π √ 2) : sans preuve.
- Applications de Bolzano-Weierstrass : une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes. Preuve; une fonction continue sur un tel intervalle est uniformément continue (sans preuve).
- Représentation graphique d'une suite numérique récurrente un+1 = f(un). Deux exemples.
- Intervalle stable par une fonction. Lien avec les suites récurrentes bien définies.
- Si f(x) ≥ x pour tout x, alors (un) est croissante.
- Si f est croissante, alors (un) est monotone. Si f est décroissante, alors (u2n) et (u2n+1) sont monotones de sens contraires. Preuve.
Cours 6 (8 février 2019)
- Notion de point fixe. Lien avec les suites réccurentes convergentes.
- Une fonction continue sur un intervalle fermé borné a un point fixe.
- Dans le cas C1, si une suite récurrente converge vers un point fixe où la dérivée est > 1, alors elle est stationnaire.
- Notion de fonction contractante. Lien avec le sup de la dérivée.
- Théorème du point fixe pour les fonctions contractantes. Convergence exponentielle de la suite récurrente associée.
- Exemple avec le calcul approché de √ 3.
- Méthode de Newton.
Cours 7 (11 février 2019)
- Définition des matrices de taille p x q à coefficients dans R ou C. Vecteurs lignes, vecteurs colonnes, matrices carrées.
- Exemples : la matrice d'adjacence et la matrice de transition associées à un graphe. Motivation : le graphe du web.
- Somme de deux matrices. Produit d'une matrice par un scalaire. Propriétés de ces opérations (et mention informelle de la notion d'espace vectoriel).
- Quelques matrices importantes : matrice nulle; matrices élémentaires.
- Produit de matrices. Premier cas : (vecteur ligne) x (vecteur colonne). Cas général : définition du produit matriciel.
Cours 8 (15 février 2019)
- Exemples de calcul de produits matriciels.
- Explication informelle de la définition du produit matriciel sur un exemple, via le lien avec la composition de fonctions linéaires.
- Le produit matriciel est bilinéaire et associatif.
- Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général, A.B n'est pas égal à B.A.
- Transposée d'une matrice.
- Puissances d'une matrice carrée. Exemples : puissances de la matrice d'adjacence d'un graphe, lien avec le nombres de chemin de longueur donnée entre deux sommets.
- Matrice identité.
Cours 9 (18 février 2019)
- Matrices diagonales. Puissances d'une matrice diagonale.
- Matrices triangulaires.
- Matrices inversibles. Exemples de matrices inversibles ou non. Lien avec le déterminant pour les matrices 2 x 2.
- Trace d'une matrice. La trace de tA est égale à celle de A.
- Notion de système linéaire de p équations à n inconnues.
- Interprétation matricielle d'un système linéaire. Matrice d'un système, matrice augmentée. Système homogène associé.
- Notion de lignes liées / indépendantes dans un système. Rang d'un système.
- Si la matrice du système est inversible, on a existence et unicité de la solution, avec une formule. Inconvénient : nécessite de savoir calculer explicitement l'inverse de la matrice.
Cours 10 (22 février 2019)
- Liens entre les solutions d'un système et les solutions du système homogène associé.
- Opérations élémentaires sur les lignes d'un système ou d'une matrice : dilatations, transvections, permutations. Traductions matricielles.
- L'ensemble des soltutions d'un système ne change pas quand on effectue de telles opérations.
- Algorithme du pivot de Gauss; exemple.
- Notion de matrice échelonnée et de matrice échelonnée réduite.
- Théorème : l'algorithme du pivot de Gauss permet d'échelonner les matrices; conditions de compatibilité d'un système; unicité de la solution si le nombre de pivots est égal au nombre de variables; notion de variables libres sur le nombre de pivots est strictement plus petit que le nombre de variables.
Cours 11 (25 février 2019)
- Conséquences du pivot de Gauss : algorithme pour dé si une matrice est inversible et pour calculer son éventuelle inverse; toute matrice inversible est produit de matrices élémentaires (transvections, dilatations, permutations).
- Déterminant des matrices 2x2 : motivations (systèmes linéaires 2x2, aire d'un parallélogramme), définition.
- Déterminant des matrices 2x2 : lien avec l'inversibilité; caractère multinlinéaire et alterné; déterminant d'un produit.
- Définition générale d'une application multilinéaire alternéee Mn(K) → K.
- Notion de cofacteur d'indice (i,j) d'une matrice carrée.
- Théorème (admis) sur l'existence et l'unicité du déterminant. Formules de développement par rapport à une ligne ou à une colonne.
Cours 12 (1er mars 2019)
- Formule explicite du déterminant d'une matrice 3x3 (règle de Sarrus), à partir des propriétées du déterminant.
- Le déterminant change de signe quand on échange deux colonnes.
- Déterminant des matrices triangulaires.
- Le déterminant d'un produit est le produit des déterminants; le déterminant de la transposée est égal au déterminant de la matrice.
- Notion de comatrice (matrice des cofacteurs). Formule de la comatrice.
- Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul; formule donnant l'inverse à l'aide de la transposée de la comatrice.
Cours 13 (4 mars 2019)
- Comment calculer un déterminant en faisant des opérations sur les lignes et les colonnes ? Exemple.
- Notion de groupe abélien; exemples.
- Notion de corps; exemples : Q, R, C, Z/2Z = {0; 1}.
- Notion d'espace vectoriel; exemples : R, R2, Rn, RN, R[X], F(R;R), Mp,q(R)...
- Notion de combinaison linéaire; exemples.
- Notion de sous-espace vectoriel; exemples dans R2.
- Notion de sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs.
- Intersection de sous-espaces vectoriels.
- Notion d'application linéaire (définition seule).
Cours 14 (8 mars 2019)
- Exemples d'applications linéaires : rotations planes, homothéties de centre 0, limite de suites convergentes.
- Vocabulaire : isomorphisme d'espaces vectoriels, endomorphisme, automorphisme.
- La composée de deux applications linéaires est linéaires.
- Application linéaire associée à une matrice; exemple.
- Noyau et image d'une application linéaire. Ce sont des sous-espaces vectoriels.
- f est injective ssi Ker(f) = 0.
- Lien entre image/noyau et résolution des systèmes linéaires.
- Familles liées, libres, génératrices, bases. Exemple : la base canonique de Rn.
- De toute famille génératrice, on peut extraire une base.
- Toute famille libre non génératrice peut s'étendre en une famille libre plus grande.
Cours 15 (11 mars 2019)
- Notion de coordonnées dans une base.
- Le choix d'une base (de n vecteurs) permet d'identifier un K-espace vectoriel à Kn.
- Espace vectoriel de dimension finie. Exemple et contre-exemple.
- Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base.
- En dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal, appelé la dimension de l'espace; cardinal d'une famille libre et d'une famille génératrice.
- Exemples : dimension de Rn; dimension de l'espace des polynômes complexes de degré inférieur à d.
- Théorème de la base incomplète.
- Rang d'une application linéaire.
- Théorème du rang : énoncé et application (une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie est injective ssi elle est surjective).
Cours 16 (15 mars 2019)
- Théorème du rang : preuve.
- Traductions matricielles : noyau et image d'une matrice, rang d'une matrice, théorème du rang pour une matrice; application aux systèmes linéaires : le rang de la transposée est égal au rang de la matrice.
- Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants : définition, notion de solution homogène.
- Rappels sur l'exponentielle complexe.
- Polynôme caractéristique d'une telle équation.
- L'ensemble des solutions complexes (resp. réelles) de l'équation homogène est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace des fonctions C∞, avec description d'une base explicite de ce sous-espace. Preuve presque complète.
Cours 17 (18 mars 2019)
- Fin de la preuve du théorème sur les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants.
- Cas des équations non homogènes; sans preuve.
- Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base.
- Matrice d'une application linéaires dans des bases; exemples.
- La matrice d'une somme d'applications linéaires est la somme des matrices de chaque application linéaire.
- La matrice d'une composée d'applications linéaires est le produit des matrices de chaque application linéaire (dans le même ordre).
- Une application linéaire est un isomorphisme si et seulement si sa matrice est inversible.
- Les coordonnées de l'image d'un vecteur par une application linéaire sont données par le produit de la matrice de l'application linéaire par le vecteur des coordonnées du vecteur initial; application au calcul du noyau d'une application linéaire par pivot de Gauss.
Cours 18 (22 mars 2019)
- Matrice de passage d'une base dans une autre; exemple.
- Une matrice de passage est inversible, et l'inverse est la matrice de passage dans l'autre sens.
- Expression des coordonnées d'un vecteur dans une base en fonction de ses coordonnées dans une autre.
- Formule de changement de bases pour un endomorphisme; exemple.
- Applications : le déterminant d'un endomorphisme ne dépend pas de la base; calcul des puissances d'une matrice (avec un exemple concret).
- Notions de valeur propre, vecteur propre, espace propre, spectre (pour un endomorphisme, et pour une matrice); exemple.
- Notion de matrice diagonalisable.
Cours 19 (25 mars 2019)
- Notion de polynôme caractéristique; exemple.
- Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique; application sur une matrice 2x2.
- Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
- Si le polynôme caractéristique d'une matrice de taille n a n racines distinctes, alors la matrice est diagonalisable.
- Multiplicité algébrique d'une valeur propre.
- Une matrice est diagonalisable si et seulement si le nombre de racines (comptées avec multiplicité) du polynôme caractéristique est égal à son degré et pour chaque valeur propre, la dimension de l'espace propre est égale à la multiplicité algébrique.
- Remarque sur la notion de somme directe; les espaces propres sont toujours en somme directe; A est diagonalisable si et seulement l'espace vectoriel Kn est la somme (directe) des espaces propres.
- Esquisse d'une application à l'évolution d'un système probabiliste linéaire élémentaire.
Cours 20 (29 mars 2019)
- Notion de primitive d'une fonction.
- Les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante.
- Explication intuitive : l'aire sous le graphe d'une fonction continue donne une primitive de cette fonction.
- Théorème (admis) sur l'existence d'une primitive pour une fonction continue (preuve au prochain chapitre).
- Intégrale d'une fonction continue entre deux points, via une primitive.
- Exemple avec une fonction affine (et lien avec le calcul de l'aire).
- Relation de Chasles; linéarité de l'intégrale; positivité de l'intégrale.
- Liste des primitives usuelles.
Cours 21 (1er avril 2019)
- Intégration par parties; exemples.
- Changement de variables : par translation; par une fonction affine; cas général. Exemples.
- Applications du changement de variables pour les primitives usuelles.
Cours 22 (5 avril 2019)
- Un exemple de changement de variables.
- Intégration des fractions rationnelles : d'abord deux exemples.
- Théorèeme de décomposition en éléments simples (admis). Explication de l'algorithme de décomposition.
- Exemples de décomposition en éléments simples.
- Application au calcul d'intégrales de fractions rationnelles.
Cours 23 (8 avril 2019)
- Notion de subdivision d'un intervalle.
- Notion de fonction en escalier; exemples.
- Les fonctions en escaliers forment un espace vectoriel.
- Intégration des fonctions en escalier. Indépendance de la subdivision adaptée.
- Relation de Chasles, linéarité et positivité pour l'intégrale des fonctions en escalier.
- Intégrale supérieure et inférieure d'une fonction borné; lien entre ces intégrales, et lien avec les bornes de la fonction.