Licence 2ème année : 2M270 - CS A

Algèbre linéaire 2, espaces affines.

Rappels d'algèbre linéaire : notion de corps, d'espace vectoriel, exemples, sous-espace vectoriel, applications linéaires, familles libres/génératrices, bases, dimension d'un espace vectoriel, théorème du rang.
Lien entre matrices et applications linéaires.

Formules de changement de bases, somme (directe) de sous-espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exemples.
Formes linéaires, espace dual. Exemples.
Base duale. Lien entre un espace vectoriel muni d'une base (resp. son dual muni de la base duale) et les vecteurs lignes (resp. colonnes).
Transposée d'une application linéaire. Lien avec la transposée d'une matrice.

Le rang de la transposée est égal au rang de l'application linéaire. Traduction matricielle.
Codimension d'un sous-espace vectoriel. Orthogonal d'un sous-espace vectoriel.
Dimension de l'orthogonal.
L'orthogonal de l'image de u est le noyau de la transposée de u.
Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Matrices échelonnées. Algorithme de calcul d'une base (resp. d'un système d'équations) du noyau et de l'image. Exemples.
Définition d'un sous-espace affine d'un espace vectoriel.

Exemples de sous-espaces affines. Lien avec la résolution des équations affines A.X = B.
Intersection de sous-espaces affines. Sous-espace affine engendré. Dimension.
Repère affine, coordonnées, formule de changement de repères.
Applications affines : version abstraite et expression matricielle en coordonnées.
Exemples : les applications linéaires, les translations, les composées de telles applications.

Exemples d'applications affines : translations, projections, symétries, homothéties.
Définition du barycentre.
Associativité du barycentre.
Les médianes d'un triangle sont concourantes en le centre de gravité.
Rappels sur les permutations (sans preuves) : cycles, longueur des cycles, théorème de la décomposition en cycles, définition de la signature, la signature est un morphisme de groupes.

Déterminant d'une matrice. Exemples 2x2 et 3x3.
Applications multi-linéaires alternées. Exemples: déterminant, produit vectoriel.
L'espace vectoriel des n-formes linéaires alternées sur un espace vectoriel de dim n est de dim 1.
Propriétés du déterminant : effet des opérations sur les lignes/colonnes, déterminant de la transposée, multiplicativité, une matrice est inversible ssi son déterminant est non nul.
Déterminant des matrices diagonales, triangulaires supérieures.

Formule de développement par rapport à une ligne ou une colonne. Exemples. Complexité de la méthode.
Comatrice : définition et propriétés.
Méthode de calcul du déterminant : opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour rendre la matrice triangulaire, puis calcul du déterminant d'une matrice triangulaire (par blocs). Exemple. Complexité de la méthode.
Interprétation du déterminant comme volume.
Déterminant d'un endomorphisme, polynôme caractéristique.

Polynôme caractéristique, trace d'un endomorphisme.
Rappels sur les polynômes : définition, opérations, degré, racines, division euclidienne, multiplicité des racines, corps algébriquement clos, théorème de d'Alembert-Gauss, pgcd, théorème de Bézout.
Notions de valeur propre, vecteur propre, espace propre.

Les espaces propres sont en somme directe. Exemples d'espaces propres.
Définition d'un endomorphisme diagonalisable.
Caractérisations équivalentes de la diagonalisabilité; stabilité par restriction; stabilité par restriction.
Si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors l'endomorphisme est diagonalisable. La réciproque est fausse.
Multiplicités algébrique et géométrique des valeurs propres. Un endomorphisme complexe est diagonalisable si et seulement ces deux multiplicités sont égales.
Exemples de matrices 2x2 réelles et complexes, diagonalisables ou non.
Notion d'endomorphisme trigonalisable.
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé (Énoncé).

Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé (Preuve).
Calcul de déterminant et de la trace en fonction des valeurs propres.
Notion de polynôme d'endomorphisme. Notion de polynôme annulateur et de polynôme minimal.
Théorème de Cayley-Hamilton sur un corps quelconque.
Lemme des noyaux.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Exemple : les endomorphismes d'ordre fini dans un espace vectoriel complexe de dimension finie.

Notion d'endomorphisme (et de matrice) nilpotent(e).
Les matrices triangulaires strictes sont nilpotentes.
Notion de partitions d'un entier. Exemples.
Suite des noyaux itérés d'un endomorphisme nilpotent. Partition associée è cette suite.
Matrices de Jordan nilpotentes.
Théorème sur la forme normale de Jordan d'un endomorphisme nilpotent. Traduction matricielle. Preuve de l'existence de cette forme normale.
Matrices de Jordan.
Théorème sur la forme normale de Jordan d'un endomorphisme.

Calcul de la forme normale de Jordan et d'une base adaptée pour une matrice 3 x 3 explicite non diagonalisable.
Endomorphismes diagonalisables (resp. nilpotents) qui commutent.
Théorème de décomposition de Dunford.
Preuve de la décomposition de Dunford.
Applications "concrètes" de la réduction pour calculer des puissances de matrices.
Suites récurrentes linéaires, exemple de la suite de Fibonacci.
Matrices de Leslie et dynamique de population, via la réduction de Jordan.