Espaces, groupes et algèbres de lacets 2011

CIRM, Luminy

Du 30 mai au 3 juin 2011

Poster

Liste préliminaire des orateurs :

A. Alekseev
P. Bressler
A. Caldararu
D. Chataur
P. Cheung
R. Cohen
B. Enriquez
D. Gaitsgory
R. Grady
D. Kaledin
M. Kapranov

S. Khoroshkin
F. Malikov
N. Markarian
P. Papi
V. Rubtsov
D. Tamarkin
J-C. Thomas
B. Toen
V. Toledano Laredo
E. Vasserot

Programme


On sait depuis les travaux de Drinfeld-Sokolov (et avant eux Zakharov-Shabat) dans les années 80 que les algèbres de lacets et algèbres de Lie affines jouent un rôle important dans l'étude des solitons et des systèmes intégrables. Un des ingrédients majeurs de la théorie développée depuis, la propriété de factorisation dans les groupes de lacets correspondants, a des relations profondes avec le problème de Riemann-Hilbert ainsi que certains espaces de modules (G-fibrés, connexions), et par là avec les théories des champs en physique théorique. Par ailleurs, les algèbres de lacets classiques et quantiques, ainsi que leurs généralisations diverses (algèbres de courant, algèbres toroïdales), jouent un rôle croissant en théorie des représentations et apparaissent naturellement dans le programme de Langlands géométrique.

La théorie des représentations de ces algèbres de dimension infinie fait fréquemment intervenir des opérateurs vertex, inspirés des théories des champs. Un bon cadre mathématique qui a émergé ici est celui des algèbres vertex (Borcherds) et chirales (Beilinson-Drinfeld). Un exemple est donné par le complexe de de Rham chiral d'une variété algébrique, introduit par Malikov-Schechtman-Vaintrob, qui a une interprétation géométrique naturelle en termes de l'espace des lacets formels de Kapranov-Vasserot. Ce complexe de de Rham chiral s'est avéré être un candidat sérieux pour formuler mathématiquement certaines manifestations de la symétrie miroir en théorie des champs (Kapustin), et de ses liens avec le programme de Langlands géométrique (Frenkel et al.).

Enfin, la topologie des espaces de lacets a connu récemmment un regain d'intérêt depuis les travaux de Chas-Sullivan en 2000, qui mettent en exergue les riches structures algébriques sur l'homologie de l'espace des lacets d'une variété orientée, ainsi que sur son quotient par l'action du cercle. Plus précisément, l'homologie de l'espace des lacets est munie d'une structure d'algèbre BV, structure qu'on retrouve également sur la cohomologie d'une algèbre vertex. En réalité, c'est une structure de théorie conforme homologique des champs qu'on obtient. Les liens de cette ''topologie des cordes'' avec diverses théories des champs, notament la théorie symplectique des champs et l'homologie de Floer, sont le sujet d'intenses recherches : par exemple, on sait aujourd'hui que l'homologie de Floer d'un cotangent s'identifie à l'homologie de l'espace des lacets de la base. Développer ces liens implique parfois de travailler à définir des structures à homotopie prêt sur les chaînes, comme dans le cas de la conjecture de Deligne pour la cohomologie de Hochschild. Ici, la géométrie homotopique dérivée de Töen, Lurie et al. livre d'intéressantes promesses : homotopiquement, l'homologie de Hochschild du faisceau structural d'une variété est le faisceau structural de l'espace des lacets dérivé.

L'objectif de ce colloque est avant tout de faire se rencontrer les différentes communautés qui étudient les lacets sous leurs différents aspects : algébrique, géométrique, topologique. Ensuite, on s'attachera à mettre en lumière la richesse de ces objets étendus (lacets, cordes, mais aussi membranes), qui semblent prendre de plus en plus d'importance en géométrie (nouveaux invariants, programme de Langlands géométrique), en algèbre (structures algébriques supérieures, théorie des représentations), ou en physique mathématique (théories des champs, symétrie miroir).

Conférence de l'ANR Géométrie et structures algébriques quantiques

Organisateurs : Damien Calaque, Grégory Ginot, Gilles Halbout, David Hernandez.

Informations pratiques : site du CIRM.

English version

Page de la conférence au CIRM