Groupes et algebres de Lie - 2025

References :

1) J. Faraut ; Analyse sur les groupes de Lie: Une introduction. Edition Calvage et Mounet 2018.

2) Un polycopié.

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cours 13/01 :
1) Définition de groupes topologiques et propriétés générales.
2) Exemples de sous groupes de GL(n,R).

cours 20/01 :
1) Décomposition polaire de GL(n,R).
2) Décomposition de Gram pour GL(n,R).
3) Définition et quelques propriétés des espaces homogènes.
4) Action de SO(n) sur la sphère.

cours 27/01 :
1) Définition de l'application exponentielle.
2) Propriétés de l'application exponentielle. Quelques calculs d'exponentielles.
3) det(exp (X))=exp(tr(X)).
4) L'application exponentielle de Sym(n,R) sur P(n,R) (les matrices symétriques positives définies) est un homéomorphisme.
5) L'application exponentielle est un diffeomorphisme local à l'origine.

cours 03/02 :
1) Formule de la dérivée de l'application exponentielle en un point de M(n,R).
2) Logarithme d'une matrice.
3) Formules pour log(exp(tX)exp(tY)) et log(exp(tX)exp(tY)exp(-tX)exp(-tY)) à l'ordre 2.
4) Le groupe de Heisenberg.
5) Groupes linéaires (i.e. sous-groupes fermés de GL(n,R)).
6) Groupes à un paramètre.
7) Algèbre de Lie d'un groupe de Lie linéaire.
8) Définition d'algèbre de Lie abstraite.

cours 10/02:
1) Algèbre de Lie d'un groupe de Lie linéaire et exemples classiques d'algèbres de Lie.
2) L'application adjointe.
3) Exp(ad_X)=Ad_exp(X).
4) Un sous-groupe de Lie linéaire est une sous-variétée plongé.

cours 17/02:
1) Formule intégrale pour log(exp(X)exp(Y))
2) Endomorphismes, automorphismes et dérivations d'une algèbre de Lie.
3) Der(g)=Lie(Aut(g)).
4) Relation entre morphisme d'un groupe de Lie et morphisme de son algèbre de Lie.

cours 03/03:
1) Représentations d'un groupe et d'une algèbre.
2) Relation entre morphismes des groupes et les morphismes de leur algèbres plus en détail. En particulier, si G et H sont connexes et df:Lie(G)-->Lie(H) est un isomorphisme alors f:G-->H est un revetement.
3) SU(2)-->SO(3) (représentation adjointe) est un revetement de degré deux.

cours 10/03:
1) Algèbres résolubles et nilpotentes. Exemples.
2) Définitions d'algèbres simples. Exemple : sl(2,C) est simple.
3) Énoncé du théorème d'Engel.
4) Énoncé du théorème de Lie pour les algèbres résolubles.

cours 17/03:
1) Définition de la forme de Killing.
2) Exemple : forme de Killing de gl(n,K).
3) La décomposition de Jordan T=T_s+T_n correspond la décomposition de Jordan ad(T)=ad(T_s) + ad(T_n).
4) Énoncé du critère de Cartan pour la résolubilitée : si la forme de Killing d'une algèbre de Lie est nulle alors elle est résoluble (admis).
5) Énoncé : Une algèbre de Lie est semi-simple si et seulement son radical est trivial et si et seulement si sa forme de Killing est non-dégénérée (critère de Cartan pour la semi-simplicitée).
6) Déemonstration du critère de Cartan pour la semi-simplicitée
7) Décomposition d'une algèbre semi-simple en idéaux simples.

cours 24/03 :
1) Complexification d'une algèbre de Lie.
2) Une algèbre de Lie est résoluble si et seulmement si sa complexifiée est résoluble.
3) Algèbres de Lie réductives. g est réductive ssi g est la somme directe d'un idéal semi-simple et du centre de l'algèbre.
4) Une algébre de Lie de matrices invariante par l'adjointe (transposée conjuguée) est réductive. Exemples classiques.
5) Énoncé : classification des algèbres de Lie semi-simples complexes.

cours 31/03 :
1) Les représentations irréductibles de Lie(SL(2,C)).

cours 7/04 :
1) Les représentations irréductibles de SU(2).
2) Mesure de Haar (hors examen).
4) Exemple : la mesure de Haar dans le groupe affine (hors examen).
5) Décomposition en représentations irréductibles d'une représentation d'un groupe compact -Théorème de Peter-Weyl (hors examen).

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