SEMINAIRE de GEOMETRIE

Institut de Mathématiques de
Jussieu-Paris Rive Gauche
(UMR 7586)

Laboratoire d'Analyse et de
Mathématiques Appliquées
(UMR 8050)

Hébergé par le projet Géométrie et Dynamique de l'IMJ-PRG, contact

Organisateurs : Giada Franz - Laurent Hauswirth - Paul Laurain - Rabah Souam - Eric Toubiana

Lundi à 11h00
Bâtiment Sophie Germain (Comment y aller ?), premier étage, salle 1013

2024 - 2025

Prochaines séances :

Le 9 décembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Marco GUARACO (Imperial College)

On the Plateau problem and the Allen-Cahn equation

Résumé : I will discuss recent progress on the approach to the Plateau problem via the Allen- Cahn equation.
After presenting the setting, which was introduced by Frohlich and Struwe, I will briefly talk about the boundary
regularity result, in joint work with Stephen Lynch, to then discuss more recent results and related open problems.

Le 16 décembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Mario GAUVRIT (Université Paris Cité)

Résumé :

Séances précédentes :

Le 2 décembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : David TEWODROSE (Vrije Universiteit Brussels)

Propriétés spectrales du laplacien AMV symétrisé

Résumé : Le laplacien AMV (Asymptotic Mean Value) symétrisé étend l'opérateur laplacien de Rⁿ au contexte des espaces
métriques mesurés. Il est défini comme limite de valeurs moyennes sur des boules de rayon infinitésimalement petits.
Dans cet exposé, je présenterai un travail en commun avec Manuel Dias (VUB) où nous décrivons comment cet opérateur
se comporte sur les espaces métriques mesurés compacts et localement Ahlfors réguliers et en particulier sur les variétés
riemanniennes compactes à bord.
Nos résultats apportent un éclairage nouveau à l'approximation spectrale d'espaces singuliers par des graphes.

Le 25 novembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Alessandro PIGATI (Università Bocconi)

Diffuse improvement of flatness in codimension two

Résumé : The Allen-Cahn energy is by now a well-understood way to approximate the area functional for hypersurfaces.
Critical points of it converge to minimal hypersurfaces as we send the scaling parameter to zero, and the same holds for
the gradient flow. Inspired by this parallel, De Giorgi proposed a conjecture which is analogous to the Bernstein problem
for minimal graphs: given an entire critical point in dimension n < 9, monotone in one direction, is it necessarily a function
of just one coordinate?
Savin solved this conjecture assuming local minimality, which can be seen to be implied by a mild additional assumption.
We present an analogue in codimension two, for the abelian Yang-Mills-Higgs energy, which is known to approximate area
in codimension two. The result is based on an improvement of flatness in the style of Allard and is partly inspired by an
alternative proof of Savin's theorem by Wang. It also uses recent stability results in dimension two by Halavati. We also
discuss some open questions.
This is joint work with Guido De Philippis (NYU Courant) and Aria Halavati (NYU Courant).

Le 18 novembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Stefano BORGHINI (Università de Trento)

On the mass of initial data with positive cosmological constant

Résumé : The concept of mass for time-symmetric initial data has been extensively explored and is now a cornerstone in the study of
contemporary Mathematical General Relativity, especially in relation to spacetimes with zero or negative cosmological constants.
However, the case of a positive cosmological constant presents a distinct challenge: the renowned counterexamples to the Min-Oo
conjecture by Brendle, Marques, and Neves highlight that even the rigidity statement in a potential positive mass theorem has not been
correctly identified yet in this context.
In this presentation, I will propose a novel approach to overcome this issue, leading to insights on a new notion of mass and to a
characterization of the de-Sitter spacetime.
This is a joint work with Virginia Agostiniani and Lorenzo Mazzieri.

Le 4 novembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : David WIYGUL (ETH Zurich)

Morse index of minimal hypersurfaces in S³ and S⁴

Résumé : I will start by reviewing older work, joint with Nicos Kapouleas, on the calculation of the Morse index of an infinite subfamily
of Lawson's embedded minimal surfaces in the round 3-sphere. Then I will present recent bounds, obtained in collaboration with Alessandro Carlotto
and Mario Schulz, concerning the Morse index of Hsiang's embedded rotationally invariant minimal hypersurfaces in the round 4-sphere.
Both projects make critical use of Courant's nodal domain theorem and related arguments applied by Montiel and Ros to the estimation
of the index of complete minimal surfaces of finite total curvature in R³.
For the Lawson surfaces we employ such arguments in conjunction with a careful analysis of the Jacobi fields induced by ambient Killing
fields. For the Hsiang hypersurfaces we instead exploit their relationship with a certain conformal Killing field.

Le 14 octobre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Bruno PREMOSELLI (Université Libre de Bruxelles)
Non-existence de minimiseurs pour la deuxième valeur propre conforme du laplacien conforme

Résumé : Soit (M,g) une variété compacte sans bord de dimension n ≥ 3. Le laplacien conforme de g est l'opérateur L_g = Δ_g + c_nS_g,
où S_g est la courbure scalaire de (M,g) et c_n est une constante numérique. Nous considérons dans cet exposé la deuxième valeur propre
conforme de (M, [g]) qui est définie comme l'infimum, sur toutes les métriques h parcourant la classe conforme [g], de la deuxième valeur
propre renormalisée de L_h. En dimensions 11 et plus, et lorsque (M,g) n'est pas localement conformément plate, Ammann et Humbert ont
montré que la deuxième valeur propre conforme est atteinte.
Dans cet exposé nous nous intéressons au cas des petites dimensions 3 ≤ n ≤ 10. Nous montrons qu'il existe un voisinage ouvert de la
métrique ronde sur la sphère dans lequel la seconde valeur propre conforme n'est jamais atteinte. Ce résultat fournit le premier résultat de
non-existence de valeurs propres conformes en dimensions plus grandes que trois, en dehors des cas des sphères rondes.
Les résultats dans cet exposé ont été obtenus en collaboration avec J. Vétois (Mc Gill).

Le 07 octobre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Laurent Mazet (Université de Tours)
Hypersurfaces minimales stable dans R⁶

Résumé : On appelle problème de Bernstein stable la question suivante : une hypersurface minimale stable de Rⁿ⁺¹ est-elle
un hyperplan euclidien ? On sait que la réponse est non si n ≥ 7.
Dans cet exposé, j'expliquerai les éléments qui amènent à une réponse positive lorsque n=5 et la surface est bilatère (two-sided).

Le 30 septembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Alex MORIANI (Université de Nice)
Surfaces à bord polygonal dans l'espace pseudo-hyperbolique

Résumé : Une surface polygonale dans l'espace pseudo-hyperbolique H^(2,n) est une surface maximale complète bordée par un
polygone de type lumière (dans le bord BH^(2,n) de H^(2,n)) ayant un nombre fini de côtés.
Nous donnerons plusieurs caractérisations de ces surfaces. Les surfaces polygonales sont caractérisées par la finitude de leur
courbure totale et par le fait d'être asymptotiquement plates.
Le but de l'exposé est d'expliquer certaines constructions de géométrie en courbure inférieure ou égale à 0 pour
démontrer l'équivalence entre être une surface polygonale et avoir courbure totale finie.

Le 23 septembre 2024 :
- à 11h00, Salle 1016 : Luca MARTINAZZI (Università di Roma La Sapienza)
Some variational Problems under topological constraints

Résumé : The seminal work of Brezis-Coron for 2-dimensional harmonic maps introduced an estimate that leads to the existence
of minimisers of the Dirichlet energy in different homotopy classes. This had important consequences in the study of 3-dimensional
harmonic maps, leading to the celebrated result of Tristan Rivière about the existence of everywhere discontinuous harmonic maps
and the partial regularity result of Hardt- Lin-Poon for minimisers of the axially symmetric relaxed Dirichlet energy.
We will discuss what analogies and differences arise when following a similar path for the 1-dimensional half-harmonic map case
and for the 4-dimensional Yang-Mills functional.
The talk will be based on joint works with Ali Hyder (TIFR Bangalore) and Tristan Rivière (ETH Zurich), and it is supported by
Fondazione Cariplo and CDP.

Ce séminaire est répertorié par l'Agenda des Conférences en Mathématiques.

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