Page du cours Équivalence orbitale et coût (M2)

Le cours a lieu tous les lundis de 8h30 à 10h30 en salle 280F (halle aux farines) et tous les jeudis de 8h30 à 10h30 en salle 2018 (bât. Sophie Germain). Il commence le lundi 14 janvier.

Exercices

• TD1 - Introduction à l'équivalence orbitale.
• TD2 - Espaces de probabilité (quasi) standards, algèbre de mesure.
• TD3 - Théorème de Feldman-Moore.
• TD4 - Autour du théorème de Dye.
• TD5 - Moyennabilité.
• TD6 - Coût et arborages.

Références

• Around the orbit equivalence theory of the free group, cost and ℓ²-Betti numbers, notes de cours de Damien Gaboriau
• Topics in orbit equivalence, de Alexander Kechris et Ben Miller
• A short proof of the Connes-Feldmann-Weiss theorem de Andrew Marks

Progression

• Lundi 14 janvier: Actions pmp, liberté, ergodicité. Un exemple d'équivalence orbitale: l'odomètre et la somme directe infinie des Z/2Z.
• Jeudi 17 janvier: Isomorphismes et automorphismes d'espaces de probabilité, espaces de probabilité (quasi)-standards, algèbres de mesure et leurs morphismes
• Lundi 21 janvier: Isomorphimes d'algèbres de mesure, conjugaison, caractérisation des conjugués de l'odomètre avec les échelles. Théorème de Feldman-Moore.
• Jeudi 24 janvier: Ergodicité des relations d'équivalce pmp, définition de l'équivalence orbitale, énoncé du théorème de Dye et début de la preuve: comment trouver des échelles dont les algèbres contiennent presque un élément de l'algèbre de mesure.
• Lundi 28 janvier: Fin de la preuve du théorème de Dye: comment trouver des échelles dont la relation d'équivalence capture presque les T-orbites. Équivalence entre être hyperfini et provenir d'une action de Z
• Jeudi 31 janvier: Une réunion croissante de relations µ-hyperfinies est µ-hyperfinie. Moyennabilité des groupes, astuce de Namioka.
• Lundi 4 février: Moyennabilité des relations d'équivalence, induction, début de la preuve du théorème de Connes-Feldman Weiss (utilisation de l'astuce de Namioka)
• Jeudi 7 février: Fin de la preuve: condition de Folner, argument de maximalité. Coût: définition en termes de graphes et de graphages, exemples de base
• Lundi 11 février: Équivalence définitions graphe/graphage, formule d'induction et applications (coût des relations finies, le coût d'une relation apériodique est au moins 1)
• Jeudi 14 février: Coût d'un produit, notion d'arborage, seuls les arborages peuvent atteindre le coût, début de la preuve du théorème de Gaboriau (construction du graphage adapté).