Page du cours Sous-algèbres maximales abéliennes et équivalence orbitale (M2)

Voici le sujet corrigé de l'examen, ainsi que des notes de cours (dernière mise à jour le 5 février).

Résumé des séances

• 8 janvier: Définition des masas, premiers exemples dans les algèbres de groupes, masas réguliers.
• 10 janvier: Masas semi-réguliers, masas singuliers, exemples en provenance des groupes.
• 13 janvier: Mesure de Haar sur les groupes compacts. Exemples d'actions pmp: par translation sur les groupes compacts, par automorphisme sur les groupes compacts, décalages de Bernoulli. Cas de l'odomètre.
• 15 janvier: Ergodicité des exemples précédents, caractérisations de l'ergodicité. Représentations unitaires compactes: définition, équivalence avec la précompacité de l'image du groupe dans U(H).
• 20 janvier: Décomposition en somme directe de sous-représentations finies des représentations compactes. Représentations faiblement mélangeantes, caractérisations.
• 22 janvier: Produit croisé, décomposition en Fourier, caractérisation de la liberté et de l'ergodicité, le masa L^∞.
• 27 janvier: Calcul du normalisateur de L^∞, groupe plein. Début de la preuve du théorème de Dye: caractérisation des transformations conjuguées à l'odomètre à l'aide des échelles.
• 3 février: Suite de la preuve du théorème de Dye: construire une échelle dont l'algèbre est suffisament grande, transformation induite.
• 5 février: Fin de la preuve du théorème de Dye: construire une échelle telle que (x,T(x)) est très souvent dans la relation engendrée par l'échelle. Commentaires sur le cas moyennable. Retour sur le masa LZ, et calcul de son normalisateur sur des exemples (singulier, régulier, semi-régulier, aucun des trois).