Page du cours Mathématiques 3 (L2 CUPGE)
Cours
Les cours ont lieu
lundi de 15h45 à 17h45 (Halle - 227C) et
vendredi de 15h45 à 17h45 (Halle - 265E).
- Lundi 6 septembre : rappels sur les limites et la continuité, notation o, propriétés de base. Définition des développements limités, unicité.
- Vendredi 10 septembre : lien des DL avec la continuité et la dérivabilité. Opérations sur les développements limités: somme, produit, composition, intégration. Formule de Taylor-Young. Développements limités de fonctions usuelles.
- Lundi 13 septembre : Équivalents, deux fonctions équivalentes ont le même o, produit d'équivalents, quotient d'équivalents.
- Vendredi 17 septembre : Somme d'équivalents de même signe, composition d'équivalents, contre-exemples. Intégrales généralisées: définition, premiers exemples avec les fonctions puissances (intégrabilité en 0 et en +∞).
- Lundi 20 septembre : Propriétés de base des intégrales généralisées, IPP et changement de variable (se ramener au cas d'un segment !). Caractérisation de la convergence des intégrales généralisées de fonctions positives : borne uniforme sur les intégrales sur les sous-segments équivaut à intégrale convergente.
- Vendredi 24 septembre : Convergence absolue, convergence semi-simple. Intégrales de Bertrand.
- Lundi 27 septembre : Intégration des fonctions à valeurs complexes, caractérisation séquentielle de la convergence d'une intégrale de fonction positive. Séries numériques : définition, convergence, conséquences de la convergence (terme qui tend vers 0, Chasles sur les restes, reste qui tend vers zéro).
- Vendredi 1er octobre : Séries télescopiques, séries alternées, critères de comparaison, convergence absolue critère de comparaison série-intégrale.
- Lundi 4 octobre : Preuve du critère de comparaison série-intégrale, séries de Riemann, séries de Bertrand, critère de Cauchy, de d'Alembert et série exponentielle.
- Vendredi 8 octobre : Équivalent dans le cas de divergence en comparaison série-intégrale, produit de Cauchy.
- Lundi 11 octobre : Application du produit de Cauchy: exponentielle d'une somme. Début du chapitre sur les suites et séries de fonctions: convergence simple et convergence uniforme.
- Vendredi 15 octobre : Convergence uniforme et produit. Continuité d'une limite uniforme de fonctions continues, contre-exemple pour la dérivabilité. Intégration de limites uniformes.
- Lundi 18 octobre : Dérivation et limites uniformes. Séries de fonctions, convergence normale. Début du cours sur les séries entières: lemme d'Abel, définition du rayon de convergence.
- Vendredi 22 octobre : Caractérisation de la convergence d'une série entière à partir du rayon de convergence. Exemples.
- Lundi 25 octobre : Formule de Cauchy, formule de d'Alembert, exemples. Opérations sur les séries entières: combinaison linéaire, produit.
- Vendredi 29 octobre : Série entière dérivée, la somme d'une série entière est de classe C∞, dérivée de l'exponentielle, dérivée de cos et sin définies par leurs séries entières.
Notion de fonction développable en série entière, unicité des coefficients.
- Samedi 30 octobre : Partiel. En voici le sujet et le corrigé.
- Lundi 8 novembre : Exemple de fonction C∞ pas développable en série entière, formule de Taylor avec reste intégral, conséquences pour les fonctions développables en série entière.
Dérivée et primite d'une fonction développable en série entière. Exemples fondamentaux de fonctions développables en série entière.
- Vendredi 12 novembre : formes k-linéaires, exemples, formes alternée, toute forme alternée est antisymétrique. Cas du déterminant en dimension 2.
- Lundi 15 novembre : Retour sur le partiel, injectivité de l'application qui a une forme n-linéaire alternée associe sa valeur sur une base. Début de la construction du déterminant.
- Vendredi 19 novembre : Fin de la construction du déterminant par récurrence sur la dimension, avec la formule de développement sur une ligne. Formule de changement de base. Déterminant d'un endomorphisme et propriétés.
- Lundi 22 novembre : Rappels sur le lien entre matrice et application linéaire. Déterminant d'une matrice: définition, opérations sur les colonnes, formule de développement sur une ligne, exemples.
- Vendredi 26 novembre : Déterminant et transposition, formule de développement sur une colonne. Début de la réduction: retour sur les sommes directes, espaces propres, vecteurs propres. Les espaces propres sont en somme directe, diagonalisabilité d'un endomorphisme.
- Lundi 29 novembre : Diagonalisabilité d'une matrice. Polynôme caractéristique, degré, les racines sont des valeurs propres, la dimension d'un espace propre est bornée par la multiplicité de la valeur propre.
TD
Les TD sont assurés par
Cosmin Burtea et moi-même .
Programmes de colles
Devoirs maison
Interros