\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\fin{\nolinebreak \raise-0.1em\hbox{$\Box$}}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\dual{ ^{\rm v}}
\def\bidual{ ^{\rm vv}}
\def\primedual{ ^{\prime \rm v}}
\def\ideal{{\cal J}}
\def\LL{{\cal L}}
\def\max{{\cal M}}
\def\quot#1#2{\mbox{\raise 0.1cm\hbox{$#1$}{\big /}\raise -0.1cm\hbox{$#2$}}}
\def\danger{{\Large \bf
    $\bigtriangleup$}\kern-0.32cm\raise0.05cm\hbox{\small
    !}\kern0.32cm\lower0.05cm\hbox{}}
%%%%%%%
\newlength{\largeurtmp}
\def\rela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.6\largeurtmp
  \raise 0.05cm\hbox{\tiny{\it /}}\kern 0.6\largeurtmp}
\def\petitrela{\settoheight{\largeurtmp}{Z}{\rm Z} \kern -0.4\largeurtmp
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\def\petitcomplex{{
    \settoheight{\largeurtmp}{$_C$}{\rm C}\kern -\largeurtmp
    \rule{0.25pt}{1.3\largeurtmp}\kern \largeurtmp}}
\def\complex{{
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\newcommand{\proj}{{\rm I} \! {\rm P}}
\newcommand{\reel}{{\rm I} \! {\rm R}}
\newcommand{\Fp}{{\rm I} \! {\rm F}_p}
\newcommand{\nat}{{\rm I} \! {\rm N}}
%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\exotitre#1{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}: #1}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}

%%reference pour exos,squ \`a placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%%macros taille page
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\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        
\everymath={\displaystyle}
\begin{document}
\noindent{\bf Universit\'e de Paris 7 \hfill \framebox{\Large \bf
    \hspace{ 1cm} TP15 G\'eom\'etrie\hspace{1cm}}\hfill   agreg 2008 (F.Han\footnote{http://www.math.jussieu.fr/$\sim$han/agreg})}\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\code#1{{\tt #1}}
%% 
\columnsep 0.7cm
\begin{multicols}{2}
% restart;maple_mode(1);cas_setup(0,0,0,1,0,1e-10,10,[1,50,0,25],0,0,0); #radians,pas de cmplx, pas de  Sqrt

\exotitre{Param\'etrisation d'une conique projective.}
\qu Cr\'eer une conique ${\cal C}$ lisse de $\proj_2$ au hasard passant
par le point $(1,1,1)$.
% !s!<c>
%On prend une conique passant par (0,0,1),  puis on change de variable.
%!s!
% C:=add(add(rand(20)()*x[i]*x[j],i=1..3),j=1..2);
% C:=normal(subs(x[1]=x[1]-x[3],x[2]=x[2]-x[3],C));
% !s!<c>
% On cree la fonction associee a l'equation de la conique. On verifie qu'elle
% contient: (1,1,1)
%!s!
% c:=unapply(C,x);c([1,1,1])
\qu En d\'eduire une param\'etrisation de ${\cal C}$ par $\proj_1$.
% purge(u,v,a);M:=[1,1,1]+a*[u,v,0];
% s:=simplify(c(M)/a);
% para:=-coeff(s,a,1)*[1,1,1]+coeff(s,a,0)*[u,v,0];
% normal(c(para));  # verification:

\qusqu Trouver une forme param\'etrique de la tangente en un point g\'en\'eral
de ${\cal C}$.
% !s!<c>
% la tangente au point para est la droite AB
%!s!
% A1:=[seq(diff(para[i],u),i=1..3)];
%  B1:=[seq(diff(para[i],v),i=1..3)];
% AB:=simplify(a*A1+b*B1);
% factor(c(AB));   # On trouve bien une racine double
\squ Trouver son \'equation cart\'esienne.
% tgte:=add(subs(x[1]=para[1],x[2]=para[2],x[3]=para[3],diff(C,x[i]))*x[i],i=1..3);
% !s!<c>
%verification: ca doit etre nul.
%!s!
% simplify(subs(seq(x[i]=A1[i],i=1..3),tgte));
% simplify(subs(seq(x[i]=B1[i],i=1..3),tgte));
\squ Dessiner une partie affine de ces constructions. On
pourra cr\'eer une fonction \code{paff} qui converti des coordonn\'ees homog\`enes en
l'affixe du point affine correspondant.
%paff:=w->(subs(v=1,(w[1]+I*w[2])/w[3]));
% DC:=plotparam(paff(para),u=-5..5,affichage=bleu+line_width_2):
% !s!<g>
% DC;
% u:=element(-3..3);
% droite(paff(A1),paff(B1));
%!s!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  
%!s!<c>
%-------------------------------------------------------------------------------------
%!s!
\exotitre{G\'en\'eration ponctuelle des coniques}
On notera $\proj_2$ le compl\'et\'e projectif de $\reel^2$. On note $O_1$ le
point $(0,0,1)$ et $O_2$ le point $(0,1,0)$ (on pourra pr\'evoir de
pouvoir changer facilement $O_2$, pour ensuite essayer
de le faire pour  $O_2=(1,0,1)$).
\qusqu Donner deux fa\c cons de param\'etrer par $\proj_1$ les droites passant
par un point. (L'une adapt\'ee aux \'equations cart\'esienne, l'autre
adapt\'ee \`a une forme param\'etrique)
%!s!<c>
% On peut param\'etrer les equations cart\'esiennes, ie on en choisit 2
%  ind\'ependantes et on regarde leur combinaisons lineaires, ou bien on
% considere une droite projective d ne passant pas par le point O, et
% l'on  identifie les droites passant par O aux droites (OM) lorsque M decrit D
%!s!
\squ On consid\`ere une homographie $h$ du faisceau des droites passant par $O_1$
dans celui des droites passant par $O_2$. Mod\'eliser cette homographie en
utilisant des coefficients formels.\footnote{On pourra repr\'esenter le pinceau en
$O_1$ sous forme cart\'esienne, et celui en $O_2$ sous forme param\'etrique.}
%purge(s,t)
% A:=matrix(2,2,(i,j)->a[i,j]);
%!s!<c>
% On modelise les droites passant par O1 par leur equations cartesiennes, ie les
% combinaisons lineaires de x et y, et celles passant par O2 comme les droites
% (O2,V) ou V bouge sur une droite ne passant pas par O2. Ex on a choisi pour V
% la droite: y=z. On cree maintenant l'homographie h: (s,t)->(s',t'), qui a la
% droite d'equation  sx+ty=0 associe la  droite passant par O2 et (s',t',t')
%!s!
% tmpV:=A*[[s],[t]]; #On veut que tmpV[i] represente les colonnes de A(s,t).
% V:=[tmpV[1,1],tmpV[2,1],tmpV[2,1]]; #On met le point V sur la droite y=z choisie.
\qusqu D\'eterminer (sous forme param\'etrique) l'intersection d'une droite et de son image par
$h$. (On choisira bien la fa\c con de param\'etrer les droites passant par $O_1$, resp $O_2$)
% !s!<c>
%c'est plus simple de prendre 1 forme cartesienne, et une parametrique.
% On etudie O_2+l.V inter sx+ty=0
%!s!
% O2:=[0,1,0]; # les coordonees de O_2
% [X,Y,Z]:=O2+l*V
% L:= solve(s*X+t*Y=0,l);
%!s!<c>
% Attention solve travaille generiquement: par exemple si a(1,1) est nul, il faudrait simplifier par t
%  NB det(A) n'est pas nul, donc sa seconde ligne non plus.
%  Pb solve a suppose que l'un des 2 coeffs de la seconde ligne est nul en s=0 ou t=0
%  le point d'intersection est:
%!s!
% S:=O2+L*V;
% !s!<c>
% Il aurait mieux valu ne pas utiliser solve. par exemple rester en homog\`ene ainsi:
% !s!
% L1:=-coeff(s*X+t*Y,l,1);L2:=coeff(s*X+t*Y,l,0);
% S:=L1*O2+L2*V; 
\squ Quels cas de matrice $A$ inversible vous pose probl\`eme?
% !s!<c>
% le cas a(1,1)=0 pose PB. si a(1,1)=0 ca n'est pas bon, il faut simplifier par t
%!s!
\qu En d\'eduire l'\'equation homog\`ene du lieu d\'ecrit par ce point;
Commentez.
% purge(X,Y,Z);
% !s!<c>
% On passe maintenant en version affine  z=1
% Moralement X:=S[1]/S[3];Y:=S[2]/S[3];
%!s!
% P:=subs(t=1,X*S[3]-S[1]);Q:=subs(t=1,Y*S[3]-S[2]);
% R:=resultant(P,Q,s);
% eq:=factor(Z^2*subs(X=X/Z,Y=Y/Z,R)); #On recupere l'equation homogene.
% eq:=simplify(eq/det(A));  #detA se factorise. On peut simplifiler car il  est non nul
% f:=unapply(eq,X,Y,Z);
\squ Donner des solutions \'evidentes.
% f(0,0,1);f(op(O2));#sont solutions evidentes.
\squ Que se passe t'il si $h(O_1O_2)=(O_1O_2)$? Donner une CNS pour que
cette condition soit r\'ealis\'ee. 
%!s!<c>
% la droite (O_1O_2) a pour equation yo2.x-xo2.y=0, ie (s,t)=(yo2,-xo2) dans le
% faisceau sx+ty=0. En revanche on a parametre le faisceau en O_2
% grace au point (s',t',t') qui est sur la droite (O_1O_2) ssi s'.yo2-xo2.t'=0.
%  on doit donc exprimer h(yo2,-xo2) proportionnel a (xo2,yo2).
%  !s!
%[xo2,yo2,zo2]:=O2;
% V1:=A*matrix([[yo2],[-xo2]]);
% V2:=matrix([[xo2],[yo2]]);
% casparticulier:=det(concat(V1,V2));
% factor(subs(casparticulier=0,f(x,y,z)));
%!s!<c>
%l'equation de degre 2 se  factorise par  x ssi A[1,1]=0 ssi h(O_1O_2)=(O_1O_2)
%  on recommence avec un autre O_2
%!s!
% xo2:=1;yo2:=0;zo2:=1;# les coordonees de O_2
% O2:=[xo2,yo2,zo2];
% [X,Y,Z]:=O2+l*V;
% L1:=-coeff(s*X+t*Y,l,1);L2:=coeff(s*X+t*Y,l,0);
% S:=L1*O2+L2*V; 
%% #ici ca n'est pas correct si a(2,2)=0, et s=0.
\qu Recommencer avec $O_2=(1,0,1)$, mais cette fois en n'utilisant que les
\'equations cart\'esiennes pour d\'ecrire les deux pinceaux de droites.
% !s!<c>
%pour calculer le resultant on travaille a une variable: ex on fait t=1
% cette fois, On parametre les droites passant par O_2 via les equations
% les droites passant par (1,0,1) sont: s'*(x-z)+t'*y
%!s!
% L1:=s*x+y;
% L2:=op([x-z,y]*A*[[s],[1]]);
% eq:=resultant(L1,L2,s); #On a l'equation cartesienne tout de suite
\qusqu Montrer que la conique est lisse si et seulement si
$h(O_1O_2)\neq (O_1O_2)$.
\squ En d\'eduire le th\'eor\`eme de {\bf g\'en\'eration ponctuelle des coniques}. (On
n'oubliera pas le cas d\'eg\'en\'er\'e). 
%!s!<c>
%On a donc montr\'e que si h est une homographie entre deux faisceaux de droites
%disctincts le lieu de points d'intersection entre d et h(d) decrit une conique
%non degeneree passant par O1 et O2 si h(O1O2) est different de (O1O2), et
%decrit une droite si  h(O1O2)=(O1O2)
%!s!
\qu Choisir une homographie, et faire un dessin, de la conique, d'une droite et
de son image et du point d'intersection. (On pourra mettre un bouton pour le
param\`etre,  on remarquera aussi que l'on peut d\'essiner les droites directement
par \'equation cart\'esienne).
% a:=[[1,1],[2,3]];
%!s!<g>
% implicitplot(subs(z=1,eq),x=-5..5,y=-5..5,couleur=bleu+line_width_2);
% s:=element(-2..2)
% d:=droite(L1=0);
% hd:=droite(subs(z=1,L2)=0);
% inter(d,hd,couleur=red+point_width_3)
% !s!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
% !s!<c>
%------------------------------------------------------------------------------------------------
%!s!
\newpage
\end{multicols}

\end{document}
pas fait!
\exotitre{points rationnels sur une surface cubique}
Choisir au hasard un \'el\'ement $P$ de $\rela[x,y,z]$ de degr\'e 3 \`a coefficients
entiers, nul en $(0,0,0)$. Calculer le plan tangent \`a la surface d'\'equation $P=0$. 
En \'etudiant l'intersection avec le plan tangent, trouver d'autres points \`a
coordonn\'ees rationnelles annulant $P$.
%% C:=normal(add(add(add(add(rand(20)*x[i]*x[j]*x[k]*x[l],i=1..4),j=1..4),k=1..4),l=1..3)));
%% T:=[seq(diff(C,x[i]),i=1..4)]

