Frédéric Hélein

Séminaire de géométrie et physique mathématique


organisé par Serguei Barannikov, Daniel Bennequin, Christian Brouder,
Frédéric Hélein et Volodya Roubtsov



Bâtiment Sophie Germain, Paris 13ème
(voir le plan d'accès)

Salle 1016
Année 2015-2016



Vendredi 16 juin 2017, 14 h
salle 1016 :

Frédéric Hélein

IMJ-PRG et Université Paris 7 - Paris Diderot

Une petite introduction à la théorie de Cartan-Kähler

Résumé : la théorie de Cartan-Kähler, déjà bien ancienne, permet d'étudier l'existence de solutions de pratiquement n'importe quel système d'équations aux dérivées partielles dont les coefficients sont suffisamment réguliers (analytique en général). Cette théorie est particulièrement utile pour analyser de façon systématique la structure de systèmes qui sont à la fois sous- et surdéterminés. Le premier pas est de traduire géométriquement le problème sous la forme d'un système différentiel extérieur, ensuite on cherche à construire la solution en appliquant de façon récurrente le théorème de Cauchy-Kowalevski. En suivant cette démarche la notion importante dégagée par Cartan est celle de système en involution, que je tenterai d'expliquer.

Prochaines séances :

Séances précédentes :

Vendredi 9 juin 2017, 14 h
salle 1016 :

Wei-Min Wang

CNRS, Université de Cergy-Pontoise

Supersymétrie et l'évolution en temps des systèmes quantiques

Résumé : Nous discutons l'approche avec fonctions de Green pour les équations d'évolutions linéaires. On montre comment les variables de Grassmann (supersymétrie) entrent dans le problème quand le système depends des paramètres aléatoires. On mention également une generalisation de cet approche aux équations non-linéaires.

Vendredi 2 juin 2017, 14 h
salle 1016 :

Nabil Kahouadji

Northeastern Illinois University, Chicago

Immersions isométriques des surfaces pseudo-sphériques via des équations différentielles

Résumé : Les surfaces pseudo-sphériques sont des surfaces à courbure de Gauss constante et négative. Une telle surface peut être réaliser dans l'espace 3D comme une surface de révolution par rotation du graph d'une courbe dite tractrice autour de l'axe \(z\). Un lien remarquable existe entre les solutions de l'équation de Sine-Gordon \(u_{xt}=\sin u\) et les surfaces pseudo-sphériques, au sens suivant: Chaque solution générique de cette équation donne lieu à une surface pseudo-sphérique. De plus, les surfaces pseudo-sphériques obtenues via les solutions de l'équation de Sine-Gordon ont la propriété que la manière dans laquelle ces surfaces pseudo-sphériques sont réaliser dans l'espace 3D peut être décrite par une formule explicite et "fermée". L'équation de Sine-Gordon n'est qu'une équation parmi une vaste classe d'équations différentielles dont les solutions définissent des surfaces pseudo-sphériques. Ces équations différentielles ont été définies et classifiées par Chern, Tenenblat et autres, et elles incluent presque tous les exemples connus des EDP intégrables. Une question naturelle est de savoir quelle sont les autres équations différentielles qui jouissent de la même propriété remarquable que l'équation de Sine-Gordon par rapport à la manière de les réaliser dans l'espace 3D. Nous montrerons que la réponse à cette question est négative, et nous donnerons une classification complète des équations hyperboliques du second ordre et d'évolution de tout ordre. Nous monterons, entre autres, que vue sous le prisme des immersions isométriques, l'équation de Sine-Gordon est unique parmi les équations intégrables.

Vendredi 26 mai 2017,
11 h (attention : horaire inhabituel !)
Jussieu, 4e étage, Tour 22-23, Salle 401 (attention : lieu inhabituel !) :


Nguyen Viet Dang

Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1

Régularisation zeta spectrale à plusieurs variables et renormalisation en théories des champs Euclidiennes

Résumé : Ceci est un travail en commun avec Bin Zhang de l'université du Sichuan. Nous montrerons dans un exemple comment renormaliser les fonctions de partition de Lagrangiens quadratiques en théorie des champs et nous décrirons quelles informations sur la géométrie de la variété sont contenues dans les amplitudes de Feynman à 1 boucle. Ensuite nous présenterons une généralisation de la régularisation zeta spectrale classique à des amplitudes de Feynman générales utilisant plusieurs variables complexes et montrons qu'elles se prolongent analytiquement dans les fonctions méromorphes à poles linéaires. Nous donnerons enfin des applications à la renormalisation perturbative des théories Euclidiennes.

Vendredi 19 mai 2017, 14 h
salle 1016 :

Patrick Iglesias

LATP, Marseille

Constructions difféologiques

Résumé : À travers un certain nombre d'exemples, j'essaierai de montrer comment le cadre difféologique permet de transformer des heuristiques du folklore mathématique en théorèmes pas trop difficiles. Par exemple, pourquoi peut on affirmer que toute variété symplectique est une orbite coadjointe ? Comment les caractéristiques d'une forme pré-symplectique sont les composantes connexes des pré-images du moment universel ? Aussi, comment parle-t-on de variétés à bord ou à coins en difféologie ? Qu'est ce qu'une singularité dans ce cadre ? J'évoquerai aussi un passage de la difféologie vers la géométrie non commutative dans le cas particulier des orbifolds. J'essaierai de présenter aussi quelques questions encore ouvertes qui méritent d'être approfondies et résolues.

Vendredi 28 avril 2017, 14 h
salle 1016 :

Xiaonan Ma

Université Paris Diderot, IMJ-PRG

Generalized Bergman kernels on symplectic manifolds and applications

Résumé : A suitable notion of holomorphic section of a prequantum line bundle on a compact symplectic manifold is the eigensections of low energy of the Bochner Laplacian acting on high \(p\)-tensor powers of the prequantum line bundle. We explain the asymptotic expansion of the corresponding kernel of the orthogonal projection as the power \(p\) tends to infinity. This implies the compact symplectic manifold can be embedded in the corresponding projective space. With extra effort, we show the Fubini-Study metrics induced by these embeddings converge at speed rate \(1/p^{2}\) to the symplectic form. We explain also its implication on Bezerin-Toeplitz quantizations.

Vendredi 21 avril 2017, 14 h
salle 1016 :

Chiara Esposito

Université de Würzburg

Formality and Poisson actions

Résumé : In this talk we present the idea that formality can give a classification of quantum actions. Classically, we consider a Poisson action of a triangular Lie algebra on a Poisson manifold. It is known that Lie algebras and smooth manifolds can be quantized via formality theorem. We make use of Dolgushev twisting procedure by Maurer-Cartan elements in order to obtain a quasi-isomorphism which would encode all the quantized Poisson actions. This is a joint project with N. de Kleijn.

Vendredi 24 mars 2017, 14 h
salle 1016 :

Marc Lachièze-Rey

AstroParticules et Cosmologie, Université Paris Diderot

Dynamique des Histoires

Résumé : Travailler dans l'espace des histoires (possibles) permet une formulation universelle qui s'applique aussi bien à la dynamique temporelle (par exemple une particule dans l'espace) et à la théorie des champs (incluant l'électromagnétisme et la relativité générale). Elle reste parfaitement covariant dans ce dernier cas, que l'on adopte une approche Lagrangienne ou Hamiltonienne. Je montre l'existence d'une structure symplectique généralisée (covariante), qui se confond avec la structure habituelle pour la dynamique temporelle; et dont découle le multisymplectique pour la théorie des champs. Elle conduit à des lois d'évolution et de conservation universelles. J'appliquerai à la relativité générale.
Les planches de l'exposé

Vendredi 17 mars 2017, 14 h
salle 1016 :

Leonid Ryvkin

Université de la Ruhr à Bochum

The absence of Darboux theorems for multisymplectic manifolds

Résumé : The Darboux theorem in symplectic geometry states, that locally all symplectic manifolds of a given dimension are equivalent. In this talk we will explore, how the naive generalization of this statement fails to be true for general multisymplectic manifolds.

Vendredi 3 février 2017, 14 h
salle 1016 :

Pierre Clavier

Université de Postdam

Branched discrete sums

Résumé : We generalise renormalised multizeta values associated to ladder trees to renormalised branched zeta values associated to general rooted trees. For this, we introduce an "independence" relation on sets, which is reminiscent of independence of events in quantum field theory and we show that Birkhoff--Hopf factorisation by means of coproducts that preserve independence, also preserves rationality. The universal property
for decorated forests is generalised to forests decorated by mutually independent elements, which we call properly decorated forests. This allows to lift maps on a set of decorations to their branched counterpart associated with forests properly decorated by the set. Applied to decorations by symbol-valued meromorphic maps, this approach yields regularised branched discrete sums of symbols which generalise regularised nested sums of symbols. The pole structure of the regularised branched zeta values reflects the structure of the tree they are built from, and their renormalised values are shown to be rational numbers for suitable renormalisation schemes.

Vendredi 27 janvier 2017, 14 h
salle 1016 :

Jordan Francois

CPT, Université d'Aix-Marseille

Réduction des symétries de jauge par habillage; application au modèle électrofaible et aux twistors locaux de Penrose

Résumé : Extraire le contenu physique d'une théorie de jauge ou la rendre à même de décrire la phénoménologie demande souvent de réduire ses symétries de jauge. Ceci est le plus souvent fait par choix d'une jauge ou par implémentation d'un mécanisme de brisure de symétrie. Il est proposé ici d'introduire une autre approche: la méthode d'habillage. On montrera qu'appliquée au modèle électrofaible, cette méthode permet de se passer de la notion de brisure spontanée de symétrie. On montrera aussi que cette approche permet de caractériser les twistors locaux de Penrose comme des champs de jauge d'une nature géométrique différente de celle usuellement rencontré en théories de Yang-Mills.

Vendredi 20 janvier 2017, 14 h
salle 1016 :

Jae-Suk Park

Université Technologique de Pohang, Corée du Sud

Fundamental group in quantum field theory, II

Résumé : In the second talk, I will quantize the first talk.

Vendredi 13 janvier 2017, 14 h
salle 1016 :

Jae-Suk Park

Université Technologique de Pohang, Corée du Sud

Fundamental group in quantum field theory, I

Résumé : In the first talk, I will discuss the classical part of the story to define functors from the homotopy category of homotopy commutative algebras (\(C_\infty\)-algebras) to the category of unipotent groups and the category of completed commutative Hopf algebras such that the group is the unipotent fundamental group of connected smooth manifold M and the Hopf algebra is that of homotopy functional defined by Chen's iterated path integrals on M if the \(C_\infty\)-algebra is quasi-isomorphic to the algebra of differential forms on M. The above construction is viewed as doing "classical field theory" in the sense that the space of equivalence classes of classical expectations forms a unipotent group and the space of equivalence classes of classical observables forms a completed commutative Hopf algebras.

Vendredi 9 décembre 2016, 14 h
salle 1016 :

Tilmann Wurzbacher

Université de Lorraine, Metz

Applications moment en géométrie multisymplectique

Résumé : La géométrie multisymplectique tente de jouer pour les champs classiques le role que la géométrie symplectique joue pour la mécanique classique. Partant de cette idée nous introduirons cette géométrie et leurs systèmes Hamiltoniens, observables et symétries. Par la suite nous arriverons aux applications co-moment (dites homotopiques ou supérieures) et discuterons leurs existence et unicite, ainsi que la question de savoir quand celles-ci fournissent des quantités préservées pour un système Hamiltonien (multisymplectique).

Vendredi 2 décembre 2016, 14 h
salle 1016 :

Lorenzo Zambotti

LPMA, UPMC

Renormalisation algébrique des structures de régularité

Résumé : La théorie des structures de régularité, qui a valu à Martin Hairer la médaille Fields en 2014, permet de résoudre des EDP stochastiques où apparaissent des non-linéarités de distributions de Schwarz (aléatoires), comme par exemple la quantisation stochastique de Parisi et Wu. Cette théorie se base sur plusieurs techniques : l'analyse des EDP, les probabilités et l'algèbre. je présenterai les idées principales de la partie algébrique, que j'ai récemment aidé à développer dans un travail en collaboration avec Yvain Bruned et M.H.

Vendredi 25 novembre 2016, 14 h
salle 1016 :

Frédéric Barbaresco

Groupe Thalès

Modèle de la "Thermodynamique des groupes de Lie" de Jean-Marie Souriau: cohomologie symplectique de l'Information et métrique de Fisher-Souriau

Résumé détaillé, quelques planches succinctes, les planches complètes
Voir aussi la prépublication : Geometric Theory of Heat from Souriau Lie Groups Thermodynamics and Koszul Hessian Geometry: Applications in Information Geometry for Exponential Families et les références dans le numéro spécial de Differential Geometrical Theory of Statistics.

Cette conférence fait suite à la conférence donnée par Charles-Michel Marles dans le même séminaire, le 28 octobre. Pour accéder à des documents sur la conférence de C.-M. Marles, voir ici.

Vendredi 4 novembre 2016, 14 h
salle 1016 :

Juan Pablo Vigneaux

IMJ-PRG

Cohomologie de l'information

Résumé : Baudot et Bennequin [1] ont introduit une cohomologie adaptée à la théorie de l'information. Cette cohomologie suit les constructions générales décrites dans le SGA IV (théorie des topos) ; le topos de l'information est le topos de préfaisceaux sur un site défini par des variables aléatoires.

On peut définir une famille des faisceaux \(F_q\) (pour \(q>0\)), telle que l'entropie de Shannon génère le groupe \(H^1(F_1)\) et les entropies de Tsallis génèrent \(H^1(F_q)\), pour \(q\) différent de 1. D'autres fonctions d'information apparaissent aussi comme cocycles et la théorie s'étend au cas quantique.

L'axiomatisation usuelle de l'entropie, due à Shannon, peut être interprété dans le cadre d'extensions (des faisceaux) d'algèbres et correspond au cas scindé. Cela suggère des interprétations possibles pour les classes d'ordre supérieur.

[1] Baudot, P.; Bennequin, D. The Homological Nature of Entropy. Entropy 2015, 17, 3253-3318.

Vendredi 28 octobre 2016, 14 h
salle 1016 :

Charles-Michel Marle,

IMJ-PRG

Les travaux de Jean-Marie Souriau en mécanique statistique et en thermodynamique, et en particulier sa généralisation de la notion d'état de Gibbs aux actions hamiltoniennes d'un groupe de Lie

Résumé : Après un bref rappel des principes de la mécanique statistique classique et de la notion d'état de Gibbs, et la présentation de quelques résultats qui s'en déduisent (équation d'état d'un gaz parfait monoatomique, lois de distribution de l'impulsion de Maxwell-Boltzmann pour un gaz non relativiste et de Maxwell-Jüttner pour un gaz relativiste, loi de Dulong et Petit pour la chaleur spécifique des solides), je présenterai la généralisation de la notion d'état de Gibbs aux actions hamiltoniennes d'un groupe de Lie sur une variété symplectique, due à Jean-Marie Souriau. La notion d'état de Gibbs usuelle apparaît comme un cas particulier dans lequel le groupe de Lie, de dimension 1, est le groupe des translations temporelles. Mon exposé sera une préparation à celui de Frédéric Barbaresco qui aura lieu le 25 novembre 2016.

Pour plus de détails, voici les planches de la conférence de C.-M. Marles et des liens vers l'article From Tools in Symplectic and Poisson Geometry to Souriau's theories of Statistical Mechanics and Thermodynamics (version HAL, version arXiv).
Cette conférence précède la conférence qui sera donnée par Frédéric Barbaresco le 25 novembre. Pour accéder à des documents sur cette conférence, voir ici.

Vendredi 14 octobre 2016, 14 h
salle 1016 :

Penka Vasileva Giorgieva

IMJ-PRG

Théorie de Gromov-Witten réelle

Résumé :

Vendredi 7 octobre 2016, 14 h
salle 1016 :

Vincent Caudrelier

Université de Leeds (Royaume-Uni)

Lagrangian and Hamiltonian structures in an integrable hierarchy

Résumé : The classical and quantum versions of the R matrix are the cornerstones in classical and quantum integrable systems, typically formulated in 1+1 dimensions. They are the heart of the theory developed by the Fields medallist V. Drinfeld. However, they traditionally concentrate all the attention on only one of the independent variables: the space one while time evolution is encoded more or less trivially. The latter point is in fact deeply related to the boundary conditions imposed on the system. A big success of the theory of classical integrable systems is the systematic Hamiltonian formulation of the corresponding PDEs. The essential object capturing the Hamiltonian properties (infinite number of conserved quantities, etc) is the so-called classical r-matrix. Motivated originally by the question of integrability of certain field theories in the presence of defects, we will show how a dual Hamiltonian structure naturally emerges which gives a fully fledged r-matrix structure to the time variable. This is inspired and related to the notion of covariant field theory. The interplay between the standard classical r-matrix structure and the dual one raises many questions and begs for a "multisymplectic r-matrix theory". Time permitting, we will speculate on other related open questions: quantization and out-of-equilibrium systems.



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