Une famille ergodique :

on calcule :


Comme  est irrationnel, l'action des translations  sur le cercle unité est ergodique.
Conséquences:
Le spectre de  est indépendant de . (Pastur)
Le spectre absolument continu de  est indépendant de . (Last-Simon)
Il n'y a pas de spectre discret. (Pastur)
L'exposant de Liapounoff existe presque sûrement


Le spectre absolument continu est la clôture essentiel de l'ensemble des énergies auxquelles s'annule
l'exposant de Liapounoff (Ishii - Pastur - Kotani).
La densité d'état intégrée existe presque sûrement (c'est le conjugué harmonique de l'exposant de
Liapounoff - formule de Thouless). 
Le spectre est le lieu des points de croissance de la densité d'état intégrée.