Une famille ergodique :

Comme  est irrationel, la famille d'opérateurs est ergodique.
Conséquences :
Le spectre de  ne dépend pas de . (Pastur)
Le spectre absolument continu de  ne dépend pas de . (Last-Simon)
Le spectre discret est vide. (Pastur)
L'exposant de Lyapounoff existe presque sûrement


Le spectre absolument continu est la clôture essentielle de l'ensemble des énergies
où l'exposant de Lyapounoff s'annule (Ishii - Pastur - Kotani).
La densité d'états intégrée existe presque sûrement (c'est la conjuguée harmonique
de l'exposant de Lyapounoff - formule de Thouless). 
Le spectre est l'ensemble des points de croissance de la densité d'états intégrée.