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Licence: Analyse 2
2001-2002
Plan du cours
  1. Fonctions d'une variable complexe :
    1. Séries entières :
      1. Rayon de convergence.
        • Lemme d'Abel : si $ (\vert a_n\vert r^n)_n$ bornée, alors $ \sum a_nz^n$ converge pour $ \vert z\vert<r$.
        • Définition : rayon de convergence est la borne supérieure de l'ensemble des $ r\geq0$ tel que $ (\vert a_n\vert r^n)_n$ bornée.
        • Propriétés :
          • si $ R$ est le rayon de convergence de $ \sum a_nz^n$, alors, pour $ \vert z\vert< R$, $ \sum a_nz^n$ converge absolument, et pour $ \vert z\vert>R$, $ \sum a_nz^n$ diverge.
          • la propriété ci-dessus défini le rayon de convergence.
        • Formule d'Hadamard :

              $\displaystyle R=\frac{1}{\limsup\vert a_n\vert^{1/n}}.$

        • Supposons que, pour un point $ z$ fixé sur la frontière du disque de convergence, la série $ \sum a_nz^n$ converge, alors $ \sum a_n(tz)^n$ tends vers $ \sum a_nz^n$ quand $ t\to1$, $ t<1$.
        • Rayon de convergence et opérations :

              % latex2html id marker 1496
$\displaystyle R(a+b)\left\vert\begin{split}&=\min(R...
...)\text{ si }R(a)\not=R(b),\\  &\geq R(a)\text{ si }R(a)=R(b),\end{split}\right.$   et$\displaystyle \quad R(a\cdot b)\geq\min(R(a),R(b)).$

        • Dérivée d'une série dérivée : la série dérivée se calcule en dérivant terme à terme ; son rayon de convergence est égal à celui de la série que l'on dérive.
        • La convergence de la série entière est uniforme dans tout compact du disque de convergence.
        • Une série entière est indéfiniment dérivable dans son disque de convergence (que l'on suppose centré en 0) ; ses coefficients sont donnés par la formule de Taylor : $ \displaystyle
a_n=\frac{a^{(n)}(0)}{n!}$.
    2. Fonctions analytiques.
      1. Définitions et premières propriétés :
        • Définition : soit $ \Omega\subset\mathbb{C}$, un ouvert. Une fonction $ f: \Omega\to\mathbb{C}$ est analytique sur $ \Omega$ si et seulement si, pour chaque point $ z$ de $ \Omega$, il existe une série entière de rayon de convergence non nul coïncidant avec $ f$ sur un voisinage de $ z$.
        • L'ensemble des fonctions analytiques sur $ \Omega$ forme une algèbre pour les lois usuelles.
        • Si $ f$ est analytique sur $ \Omega$ et que $ f$ ne s'annule pas sur $ \Omega$, alors $ 1/f$ est analytique sur $ \Omega$.
        • Une fonction analytique sur $ \Omega$ est indéfiniment dérivable sur $ \Omega$. Toutes ses dérivées sont analytiques sur $ \Omega$.
      2. Principe du prolongement analytique :
        • Soit $ f$ analytique sur $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{C}$ (i.e. un ouvert connexe). Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
          • $ f$ est identiquement nulle sur $ \Omega$.
          • $ f$ est identiquement nulle au voisinage d'un point de $ \Omega$.
          • Il existe un point $ z_0\in\Omega$ auquel tous les coefficients de Taylor de $ f$ sont nuls.
        • Deux fonctions analytiques sur $ \Omega$, un domaine, coïncident si elles coïncident au voisinage d'un point.
      3. Zéros d'une fonction analytique :
        • Soit $ f$ analytique sur $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{C}$, et $ z_0\in\Omega$. Supposons que $ f(z_0)=0$. Alors, soit $ f$ est identiquement nulle sur $ \Omega$, soit il existe $ n\in\mathbb{N}^*$ et $ g$, analytique sur $ \Omega$ telle que $ g(z_0)\not=0$ tels que

              $\displaystyle f(z)=(z-z_0)^ng(z).$

          $ n$ et $ g$ sont uniques. $ n$ est l'ordre de $ z_0$ comme zéro de $ f$.
        • Les zéros d'une fonction analytique sont isolés.
        • Soit $ \Omega$, un domaine. L'algèbre des fonctions analytiques est intègre.
      4. Un exemple de fonction analytique : la fonction $ z\mapsto
e^z$. Étude de ses propriétés.
    3. Fonctions holomorphes :
      1. Différentiabilité au sens complexe
        • Définition. Exemple des fonctions analytiques.
        • Relation avec la différentiabilité au sens des réels : conditions de Cauchy-Riemann.
      2. Conséquences géométriques : la notion d'holomorphie.
        • Exemples : homographies.
      3. Intégrale sur un chemin et indice d'un point par rapport à un lacet.
        • Définition d'un chemin, d'un lacet. Définition de l'intégrale sur un chemin. Indépendance de la paramétrisation du chemin.
        • Propriétés : linéarité, relation de Chasles.
        • L'intégrale d'une fonction le long d'un chemin est majorée par la longueur du chemin multipliée par le maximum du module de la fonction.
        • Définition de l'indice d'un point par rapport à un lacet : soit $ \gamma$ un lacet dans $ \mathbb{C}$ et $ z$ un point par lequel le lacet ne passe pas. L'indice de $ z$ par rapport à $ \gamma$ est le nombre $ \displaystyle$   Ind$ _\gamma(z)=\frac1{2i\pi}\int_\gamma\frac1{\zeta-z}dz$.
        • L'indice d'un point par rapport à un lacet est un entier relatif. Il est nul dans la composante connexe infinie du complémentaire de l'image de $ \gamma$.
        • Exemple de l'indice d'un point par rapport à un cercle parcouru une fois. Il vaut 0 si le point se trouve à l'extérieur du disque délimité par le cercle, $ 1$ s'il est à l'intérieur et que le cercle est parcouru positivement, et $ -1$ si le point est à l'extérieur et que le cercle est parcouru négativement.
    4. Formule de Cauchy locale :
      1. Théorèmes de Cauchy local (dans un ouvert convexe) : soit $ f$ une fonction holomorphe dans un ouvert convexe $ \Omega$. L'intégrale de $ f$ le long de n'importe quel lacet dans $ \Omega$ est nulle.
      2. Formule de Cauchy locale (dans un ouvert convexe) : soit $ f$ holomorphe dans $ \Omega$, on ouvert convexe. Soit $ \gamma$ un lacet dans $ \Omega$ et $ z$, un point de $ \Omega$ par lequel le lacet ne passe pas. Alors

        (1) $\displaystyle f(z)\cdot$Ind$\displaystyle _\gamma(z)= \frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}dz.$

        Cette formule peut se dériver terme à terme sous le signe de sommation.
    5. Propriétés fondamentales des fonctions holomorphes :
      1. Toute fonction holomorphe sur $ \Omega$ est analytique sur $ \Omega$. Ainsi elle est indéfiniment dérivable et toutes ses dérivées sont également holomorphes.
      2. Une fonction holomorphe vérifie le principe des zéros isolés et du prolongement analytique.
      3. Théorème de Morera : une fonction continue dans $ \Omega$ dont l'intégrale sur tout triangle de $ \Omega$ est nulle, est holomorphe dans $ \Omega$.
      4. Théorème de Liouville : une fonction entière de croissance au plus polynomiale est un polynôme.
      5. Principe du maximum (sur un disque) : dans un disque fermé, le maximum du module d'une fonction holomorphe est atteint sur le bord du disque uniquement sauf si la fonction est constante.
      6. Inégalités de Cauchy : soit $ f$ holomorphe dans le disque de centre 0 de rayon $ R$; supposons, de plus, que $ \vert f\vert$ est majoré par $ M$ sur ce disque. Alors on a

            $\displaystyle \vert f^{(n)}(0)\vert\leq\frac{M\cdot n!}{R^n}.$

      7. Convergence de suites de fonctions holomorphes :
        • Définition de la convergence localement uniforme.
        • Soit $ (f_j)_j$ une suite de fonction holomorphe sur $ \Omega$ ouvert qui converge localement uniformément vers $ f$. Alors $ f$ est holomorphe sur $ \Omega$ et le suite des dérivées $ (f_j')_j$ converge localement uniformément vers $ f'$.
      8. Théorème de l'application ouverte :
        • Théorème d'inversion locale analytique : soit $ f$ holomorphe sur $ \Omega$ et $ z\in\Omega$ tel que $ f'(z)\not=0$. Alors il existe $ U$, un voisinage de $ z$, tel que $ f$ est une bijection d'inverse holomorphe de $ U$ dans $ f(U)$.
        • Soit $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{C}$, et $ f$, holomorphe sur $ \Omega$ qui n'est pas constante. Soit $ z\in\Omega$ tel que $ f(z)=w$, et soit $ m$, l'ordre de $ z$ comme zéro de $ f-w$. Alors, il existe $ U$, un voisinage de $ z$, et $ g: U\to g(U)$, un bijection biholomorphe dont la dérivée ne s'annule pas dans $ U$ tels que

              $\displaystyle \forall \zeta\in U,\quad f(\zeta)=w+(g(\zeta))^m.$

        • Soit $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{C}$, et $ f$, holomorphe sur $ \Omega$. Si $ f$ est injective sur $ \Omega$ alors $ f'$ ne s'annule en aucun point de $ \Omega$ et $ f$ est une bijection biholomorphe de $ \Omega$ dans $ f(\Omega)$.
        • Théorème de l'application ouverte : Soit $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{C}$, et $ f$, holomorphe sur $ \Omega$. Alors, soit $ f(\Omega)$ est réduite à un point, soit $ f(\Omega)$ est un domaine de $ \mathbb{C}$.
      9. Théorème de Cauchy :
        • Définition des cycles et de l'indice d'un point par rapport à un cycle. Invariance par homotopie de l'indice. Définition de la simple connexité.
        • Théorème de Cauchy : soit $ f$ holomorphe sur $ \Omega$, un ouvert de $ \mathbb{C}$. Soit $ \gamma$ un cycle de $ \Omega$ tel que l'indice par rapport à $ \gamma$ de tout point hors de $ \Omega$ soit nul. Alors, si $ z$ est un point de $ \Omega$ par lequel $ \gamma$ ne passe pas, la formule (1) est vraie.
    6. Fonctions méromorphes :
      1. Définition d'une singularité isolée.
      2. Si $ f$ admet une singularité isolé et qu'elle reste bornée au voisinage de cette singularité, alors $ f$ est prolongeable en cette singularité.
      3. Théorème de Weierstraß : soit $ f$ holomorphe sur $ \Omega\setminus\{z_0\}$. Alors, l'une des trois alternatives suivantes est vraie :
        • $ f$ est prolongeable en $ z_0$ ;
        • il existe des complexes $ c_1,\dots,c_n$, $ c_n\not=0$ tels que la fonction $ \displaystyle z\mapsto f(z)-\sum_{k=1}^nc_k(z-z_0)^{-k}$ soit prolongeable en $ z_0$ ;
        • l'image par $ f$ de tout disque centré en $ z_0$ privé de $ z_0$ est dense dans $ \mathbb{C}$.
        Si l'alternative 2 est vraie, on dit que $ f$ a un pôle d'ordre $ n$ en $ z_0$, la somme $ \displaystyle \sum_{k=1}^nc_k(z-z_0)^{-k}$ étant la partie polaire (ou principale) de $ f$ en $ z_0$. Le coefficient $ c_1$ est le résidu de $ f$ en $ _0$ ; on le note $ c_1=$Rés$ (f,z_0)$. Si $ f$ admet un pôle en $ z_0$, on définit également la série de Laurent de $ f$ au voisinage de $ z_0$. Si l'alternative 3 est vraie, on dit que $ f$ a une singularité essentielle en $ z_0$.
      4. Une fonction est méromorphe dans $ \Omega$ s'il existe un ensemble $ \mathcal{P}$ discret tel que $ f$ est holomorphe sur $ \Omega\setminus\mathcal{P}$ et qu'en chaque point de $ \mathcal{P}$, $ f$ admet un pôle.
      5. Théorème des résidus : soit $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{C}$ et $ f$ méromorphe sur $ \Omega$. Soit $ \mathcal{P}$, l'ensemble des pôles de $ f$. Soit $ \gamma$ un cycle de $ \Omega\setminus\mathcal{P}$ tel que l'indice par rapport à $ \gamma$ de tout point hors de $ \Omega$ soit nul. Alors on a

            $\displaystyle \frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}dz= \sum_{p\mathcal{P}}$Rés$\displaystyle (f,p)\cdot$Ind$\displaystyle _\gamma(p).$

      6. Théorème de Rouché : soit $ \Omega$ un domaine simplement connexe, et $ \gamma$, un lacet tel que pour un point $ z$ par lequel ne passe pas $ \gamma$, l'indice Ind $ _\gamma(z)$ vaut soit 0 soit $ 1$. Soit $ \Omega_1$, l'ensemble des points de $ \gamma$ pour lesquels cet indice vaut $ 1$.
        On appelle $ N_f$ le nombre de zéros de $ f$ dans $ \Omega_1$ comptés avec leur multiplicité.
        Alors on a
        • si $ \gamma$ ne passe par aucun zéros de $ f$ alors

              $\displaystyle N_f=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}dz =$Ind$\displaystyle _\Gamma(0)$   où$\displaystyle \quad \Gamma=f\circ\gamma.$

        • Si $ g$, holomorphe sur $ \Omega$, est telle qu'en tout point $ z$ par lequel passe $ \gamma$, $ \vert f(z)-g(z)\vert<\vert f(z)\vert$, alors $ N_f=N_g$.
      7. Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales.
    7. Primitive d'une fonction holomorphe - logarithme complexe :
      1. Le problème : existence de primitives d'un fonction holomorphe dans un domaine $ \Omega$ de $ \mathbb{C}$. Si des primitives existent, elles diffèrent deux à deux par une constante additive.
      2. Le cas des ouverts simplement connexes : si $ \Omega$ est une domaine simplement connexe et $ f\in H(\Omega)$, alors $ f$ admet une primitive dans $ \Omega$.
      3. Théorème : soit $ f\in H(D(0,R))^*$, $ R>0$ admettant un pôle en 0. Alors $ f$ admet une primitive dans $ H(D(0,R))^*$ si et seulement si le résidu de $ f$ en 0 est nul.
        Donc, $ z\mapsto 1/z$ n'admet pas de primitive dans $ \mathbb{C}^*$.
      4. Déterminations du logarithme. Détermination principale du logarithme. Détermination des puissances complexes.
    8. Fonctions harmoniques :
      1. Équations de Cauchy-Riemann. Opérateur de Cauchy-Riemann : $ \displaystyle \overline{\partial}=\frac12(\partial_x+i\partial_y)$. Définition du Laplacien: $ \Delta=\partial^2_x+\partial^2_y$. Définition d'une fonction harmonique sur un domaine de $ \mathbb{R}^2$ : $ \Delta f=0$.
        Théorème : si $ f$ est holomorphe sur $ \Omega$, alors $ f$ est harmonique sur $ \Omega$.
      2. Noyau de Poisson sur le disque : $ \displaystyle P_r(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}
r^{\vert n\vert}e^{int}$ pour $ 0\leq r<1$ et $ t\in\mathbb{R}$.
        Lemme : $ P_r(t)$ est une approximation de l'identité quand $ r\to1$.
        Intégrale de Poisson : pour $ f$ continue sur $ \mathbb{T}$, le cercle unité, on définit

            $\displaystyle P[f](z)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\Pi}P_r(\theta-t)f(e^{it})dt,\quad z=r^{i\theta}.$

        Théorème : pour $ f$ continue sur $ \mathbb{T}$, on définit $ H(f):\
\overline{D(0,1)}\to\mathbb{C}$ par

            % latex2html id marker 1982
$\displaystyle H(f)(re^{i\theta})= \begin{cases}f(e^{i\theta})&\text{ si }r=1,\\  P[f](re^{i\theta})&\text{ si }r<1. \end{cases}$

        Alors $ H(f)$ est continue sur $ \overline{D(0,1)}$.
      3. Représentation locale des fonctions harmoniques.
        Théorème : soit $ u$ continue sur $ \overline{D(0,1)}$, à valeur réelle telle que $ u$ soit harmonique dans $ D(0,1)$. Alors, la fonction $ f$ définie par

            $\displaystyle f(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\pi}\frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}u(e^{it})dt$

        est holomorphe dans $ D(0,1)$, et vérifie $ u=$Re$ (f)$ (formule de Poisson).
        Théorème : toute fonction harmonique réelle sur $ \Omega$, un domaine de $ \mathbb{R}^2$, est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe.
      4. Théorème d'Harnack :
        • Une limite localement uniforme de fonctions harmoniques est harmonique.
        • Une suite croissante de fonctions harmoniques soit converge localement uniformément, soit diverge en tout point.
      5. Propriété de la moyenne : on dit qu'une fonction $ f: \Omega\to\mathbb{C}$ vérifie la propriété de la moyenne si, en tout point $ z$ de $ \Omega$, il existe une suite de cercles centré en $ z$ et de rayon tendant vers 0 tels que, la moyenne de $ f$ sur chacun de ces cercles soit égale à $ f(z)$.
        Par la formule de Poisson, les fonctions harmoniques vérifient la propriété de la moyenne.
        Théorème : si $ f: \Omega\to\mathbb{C}$ est continue et vérifie la propriété de la moyenne, alors $ f$ est harmonique sur $ \Omega$.
      6. Principe de réflexion de Schwarz : prolongement d'une fonction holomorphe par réflexion par rapport à l'axe réel.
  2. Espaces de Hilbert :
    1. Produit scalaire :
      1. Définition d'un produit scalaire.
      2. Inégalité de Cauchy-Schwartz.
      3. Inégalité triangulaire ; norme associée au produit scalaire.
      4. Théorème de Pythagore. Identité du parallélogramme.
    2. Espaces de Hilbert : définition. Orthogonalité.
    3. Projections orthogonales :
      1. Théorème : soit $ \mathcal{C}$, un convexe fermé non vide de $ \mathcal{H}$ un espace de Hilbert. Alors il existe un unique vecteur minimisant la norme dans $ \mathcal{C}$.
      2. Théorème de projection orthogonal sur un sous-espace vectoriel fermé.
      3. Théorème de projection orthogonale sur un convexe fermé : tout vecteur $ v$ de $ \mathcal{H}$ admet un unique projeté sur $ \mathcal{C}$. Ce projeté est le vecteur minimisant la distance à $ v$. Il est l'unique vecteur $ c\in\mathcal{C}$ vérifiant Re $ (\langle v-c,u-c\rangle)\leq0$ pour tout $ v\in\mathcal{C}$.
    4. Orthogonale d'un sous-ensemble de $ \mathcal{H}$ :
      1. L'orthogonal est fermé. Si $ \mathcal{V}\subset\mathcal{H}$ est une sous-espace vectoriel, alors l'orthogonal de l'orthogonal de $ \mathcal{V}$ est égal à l'adhérence de $ \mathcal{V}$.
    5. Théorème de représentation de Riesz : soit $ l$ est une forme linéaire continue sur $ \mathcal{H}$. Il existe un unique $ v\in\mathcal{H}$ tel que, pour $ u\in\mathcal{H}$, $ l(u)=\langle
v,u\rangle$.
    6. Bases hilbertiennes :
      1. Définition. Inégalité de Bessel.
      2. Méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
      3. Existence et unicité de la décomposition d'un vecteur dans une base hilbertienne.
      4. Théorème : toute espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable.
        Corollaire : les espaces de Hilbert séparables sont deux à deux isométriques.
  3. Séries de Fourier :
  4. Équations différentielles ordinaires :




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Frederic Klopp 2002-03-14