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Licence: Analyse 2
2001-2002
Plan du cours
- Fonctions d'une variable complexe :
- Séries entières :
- Rayon de convergence.
- Lemme d'Abel : si
bornée, alors
converge pour .
- Définition : rayon de convergence est la borne supérieure
de l'ensemble des tel que
bornée.
- Propriétés :
- si est le rayon de convergence de
,
alors, pour ,
converge absolument, et
pour ,
diverge.
- la propriété ci-dessus défini le rayon de convergence.
- Formule d'Hadamard :
- Supposons que, pour un point fixé sur la frontière du
disque de convergence, la série
converge, alors
tends vers
quand ,
.
- Rayon de convergence et opérations :
|
et |
- Dérivée d'une série dérivée : la série dérivée se calcule
en dérivant terme à terme ; son rayon de convergence est égal
à celui de la série que l'on dérive.
- La convergence de la série entière est uniforme dans tout
compact du disque de convergence.
- Une série entière est indéfiniment dérivable dans son
disque de convergence (que l'on suppose centré en 0) ; ses
coefficients sont donnés par la formule de Taylor :
.
- Fonctions analytiques.
- Définitions et premières propriétés :
- Définition : soit
, un ouvert. Une
fonction
est analytique sur si et
seulement si, pour chaque point de , il existe une
série entière de rayon de convergence non nul coïncidant avec
sur un voisinage de .
- L'ensemble des fonctions analytiques sur forme
une algèbre pour les lois usuelles.
- Si est analytique sur et que ne s'annule
pas sur , alors est analytique sur .
- Une fonction analytique sur est indéfiniment
dérivable sur . Toutes ses dérivées sont analytiques
sur .
- Principe du prolongement analytique :
- Soit analytique sur , un domaine de
(i.e.
un ouvert connexe). Les trois propriétés suivantes sont
équivalentes :
- est identiquement nulle sur .
- est identiquement nulle au voisinage d'un point de
.
- Il existe un point
auquel tous les
coefficients de Taylor de sont nuls.
- Deux fonctions analytiques sur , un domaine,
coïncident si elles coïncident au voisinage d'un point.
- Zéros d'une fonction analytique :
- Un exemple de fonction analytique : la fonction
. Étude de ses propriétés.
- Fonctions holomorphes :
- Différentiabilité au sens complexe
- Définition. Exemple des fonctions analytiques.
- Relation avec la différentiabilité au sens des réels :
conditions de Cauchy-Riemann.
- Conséquences géométriques : la notion d'holomorphie.
- Intégrale sur un chemin et indice d'un point par rapport à
un lacet.
- Définition d'un chemin, d'un lacet. Définition de
l'intégrale sur un chemin. Indépendance de la paramétrisation
du chemin.
- Propriétés : linéarité, relation de Chasles.
- L'intégrale d'une fonction le long d'un chemin est majorée
par la longueur du chemin multipliée par le maximum du module
de la fonction.
- Définition de l'indice d'un point par rapport à un lacet :
soit un lacet dans
et un point par lequel le
lacet ne passe pas. L'indice de par rapport à est
le nombre
Ind.
- L'indice d'un point par rapport à un lacet est un entier
relatif. Il est nul dans la composante connexe infinie du
complémentaire de l'image de .
- Exemple de l'indice d'un point par rapport à un cercle
parcouru une fois. Il vaut 0 si le point se trouve à
l'extérieur du disque délimité par le cercle, s'il est à
l'intérieur et que le cercle est parcouru positivement, et
si le point est à l'extérieur et que le cercle est
parcouru négativement.
- Formule de Cauchy locale :
- Théorèmes de Cauchy local (dans un ouvert convexe) : soit
une fonction holomorphe dans un ouvert convexe .
L'intégrale de le long de n'importe quel lacet dans
est nulle.
- Formule de Cauchy locale (dans un ouvert convexe) : soit
holomorphe dans , on ouvert convexe. Soit un
lacet dans et , un point de par lequel le
lacet ne passe pas. Alors
(1) |
Ind |
Cette formule peut se dériver terme à terme sous le signe de
sommation.
- Propriétés fondamentales des fonctions holomorphes :
- Toute fonction holomorphe sur est analytique sur
. Ainsi elle est indéfiniment dérivable et toutes ses
dérivées sont également holomorphes.
- Une fonction holomorphe vérifie le principe des zéros isolés
et du prolongement analytique.
- Théorème de Morera : une fonction continue dans
dont l'intégrale sur tout triangle de est nulle, est
holomorphe dans .
- Théorème de Liouville : une fonction entière de croissance
au plus polynomiale est un polynôme.
- Principe du maximum (sur un disque) : dans un disque fermé,
le maximum du module d'une fonction holomorphe est atteint sur
le bord du disque uniquement sauf si la fonction est constante.
- Inégalités de Cauchy : soit holomorphe dans le disque de
centre 0 de rayon ; supposons, de plus, que est
majoré par sur ce disque. Alors on a
- Convergence de suites de fonctions holomorphes :
- Définition de la convergence localement uniforme.
- Soit une suite de fonction holomorphe sur
ouvert qui converge localement uniformément vers . Alors
est holomorphe sur et le suite des dérivées
converge localement uniformément vers .
- Théorème de l'application ouverte :
- Théorème d'inversion locale analytique : soit
holomorphe sur et
tel que
.
Alors il existe , un voisinage de , tel que est une
bijection d'inverse holomorphe de dans .
- Soit , un domaine de
, et , holomorphe sur
qui n'est pas constante. Soit
tel que
, et soit , l'ordre de comme zéro de .
Alors, il existe , un voisinage de , et
,
un bijection biholomorphe dont la dérivée ne s'annule pas dans
tels que
- Soit , un domaine de
, et , holomorphe sur
. Si est injective sur alors ne
s'annule en aucun point de et est une bijection
biholomorphe de dans .
- Théorème de l'application ouverte : Soit , un
domaine de
, et , holomorphe sur . Alors, soit
est réduite à un point, soit est un
domaine de
.
- Théorème de Cauchy :
- Définition des cycles et de l'indice d'un point par
rapport à un cycle. Invariance par homotopie de l'indice.
Définition de la simple connexité.
- Théorème de Cauchy : soit holomorphe sur , un
ouvert de
. Soit un cycle de tel que
l'indice par rapport à de tout point hors de
soit nul. Alors, si est un point de par lequel
ne passe pas, la formule (1) est vraie.
- Fonctions méromorphes :
- Définition d'une singularité isolée.
- Si admet une singularité isolé et qu'elle reste bornée
au voisinage de cette singularité, alors est prolongeable en
cette singularité.
- Théorème de Weierstraß : soit holomorphe sur
. Alors, l'une des trois alternatives
suivantes est vraie :
- est prolongeable en ;
- il existe des complexes
, tels
que la fonction
soit prolongeable en ;
- l'image par de tout disque centré en privé de
est dense dans
.
Si l'alternative 2 est vraie, on dit que a un pôle d'ordre
en , la somme
étant la
partie polaire (ou principale) de en . Le coefficient
est le résidu de en ; on le note
Rés. Si admet un pôle en , on définit
également la série de Laurent de au voisinage de .
Si l'alternative 3 est vraie, on dit que a une
singularité essentielle en .
- Une fonction est méromorphe dans s'il existe un
ensemble
discret tel que est holomorphe sur
et qu'en chaque point de
, admet un pôle.
- Théorème des résidus : soit un ouvert de
et
méromorphe sur . Soit
, l'ensemble des
pôles de . Soit un cycle de
tel que l'indice par rapport à
de tout point hors de soit nul. Alors on a
- Théorème de Rouché : soit un domaine simplement
connexe, et , un lacet tel que pour un point par
lequel ne passe pas , l'indice Ind
vaut soit
0 soit . Soit , l'ensemble des points de
pour lesquels cet indice vaut .
On appelle le nombre de zéros de dans
comptés avec leur multiplicité.
Alors on a
- Applications du théorème des résidus au calcul d'intégrales.
- Primitive d'une fonction holomorphe - logarithme complexe :
- Le problème : existence de primitives d'un fonction
holomorphe dans un domaine de
. Si des primitives
existent, elles diffèrent deux à deux par une constante
additive.
- Le cas des ouverts simplement connexes : si est une
domaine simplement connexe et
, alors admet
une primitive dans .
- Théorème : soit
, admettant un pôle
en 0. Alors admet une primitive dans
si et
seulement si le résidu de en 0 est nul.
Donc,
n'admet pas de primitive dans
.
- Déterminations du logarithme. Détermination principale du
logarithme. Détermination des puissances complexes.
- Fonctions harmoniques :
- Équations de Cauchy-Riemann. Opérateur de Cauchy-Riemann :
.
Définition du Laplacien:
.
Définition d'une fonction harmonique sur un domaine de
:
.
Théorème : si est holomorphe sur , alors est
harmonique sur .
- Noyau de Poisson sur le disque :
pour et
.
Lemme : est une approximation de l'identité quand
.
Intégrale de Poisson : pour continue sur
, le cercle
unité, on définit
Théorème : pour continue sur
, on définit
par
Alors est continue sur
.
- Représentation locale des fonctions harmoniques.
Théorème : soit continue sur
, à valeur
réelle telle que soit harmonique dans . Alors, la
fonction définie par
est holomorphe dans , et vérifie Re (formule de
Poisson).
Théorème : toute fonction harmonique réelle sur , un
domaine de
, est localement la partie réelle d'une
fonction holomorphe.
- Théorème d'Harnack :
- Une limite localement uniforme de fonctions harmoniques
est harmonique.
- Une suite croissante de fonctions harmoniques soit
converge localement uniformément, soit diverge en tout point.
- Propriété de la moyenne : on dit qu'une fonction
vérifie la propriété de la moyenne si, en tout point
de , il existe une suite de cercles centré en et
de rayon tendant vers 0 tels que, la moyenne de sur chacun
de ces cercles soit égale à .
Par la formule de Poisson, les fonctions harmoniques vérifient
la propriété de la moyenne.
Théorème : si
est continue et vérifie la
propriété de la moyenne, alors est harmonique sur .
- Principe de réflexion de Schwarz : prolongement d'une
fonction holomorphe par réflexion par rapport à l'axe réel.
- Espaces de Hilbert :
- Produit scalaire :
- Définition d'un produit scalaire.
- Inégalité de Cauchy-Schwartz.
- Inégalité triangulaire ; norme associée au produit scalaire.
- Théorème de Pythagore. Identité du parallélogramme.
- Espaces de Hilbert : définition. Orthogonalité.
- Projections orthogonales :
- Théorème : soit
, un convexe fermé non vide de
un espace de Hilbert. Alors il existe un unique
vecteur minimisant la norme dans
.
- Théorème de projection orthogonal sur un sous-espace
vectoriel fermé.
- Théorème de projection orthogonale sur un convexe fermé :
tout vecteur de
admet un unique projeté sur
. Ce projeté est le vecteur minimisant la distance
à . Il est l'unique vecteur
vérifiant
Re
pour tout
.
- Orthogonale d'un sous-ensemble de
:
- L'orthogonal est fermé. Si
est une sous-espace vectoriel, alors l'orthogonal de
l'orthogonal de
est égal à l'adhérence de
.
- Théorème de représentation de Riesz : soit est une forme
linéaire continue sur
. Il existe un unique
tel que, pour
,
.
- Bases hilbertiennes :
- Définition. Inégalité de Bessel.
- Méthode d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
- Existence et unicité de la décomposition d'un vecteur dans
une base hilbertienne.
- Théorème : toute espace de Hilbert séparable admet une base
hilbertienne
dénombrable.
Corollaire : les espaces de Hilbert séparables sont deux à deux
isométriques.
- Séries de Fourier :
- Équations différentielles ordinaires :
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Frederic Klopp
2002-03-14