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Cours de D.E.A
Opérateurs de Schrödinger aléatoires
1999-2000
Plan du cours
- Introduction.
- Opérateurs auto-adjoints non bornés.
- Opérateurs non bornés : domaine, adjoint, spectre.
- Opérateurs symétriques, fermés. Clôture.
- Opérateurs auto-adjoints.
- Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints.
- Perturbations relativement compactes. Théorème de
Kato-Rellich.
- Théorie analytique des perturbations.
- Les opérateurs de Schrödinger servent d'exemples. Quelques
exemples discrets.
- Estimée de type Combes-Thomas pour le noyau de la résolvante.
- Notions de Théorie ergodique.
- Généralités probabilistes : espace de probabilité, variables
aléatoires, processus ergodiques, systèmes dynamiques ergodiques
...
- Exemples : variables aléatoires indépendantes, fonctions
quasi-périodiques.
- Théorème ergodique de Birkhoff.
- Théorème ergodique sous-additif.
- Opérateurs ergodiques.
- Opérateurs ergodiques bornés.
- Opérateurs ergodiques non bornés.
- Propriétés spectrales des opérateurs ergodiques : spectres
presque sûr.
- Opérateurs de Schrödinger aléatoires : différents modèles.
- Modèle d'Anderson et de Poisson continus.
- Modèles discrets.
- Modèles quasi-périodiques.
- Détermination du spectre d'un opérateur de Schrödinger
aléatoire de type Anderson ou Poisson (continu et discret).
- Densité d'états des opérateurs aléatoires.
- Définition : indépendance des conditions aux bords.
- Formule en terme du noyau de Green.
- Le support de la densité d'états est égal au spectre presque
sûr.
- Régularité de la densité d'états : estimée de Wegner.
- Comportement asymptotique de la densité d'états :
- asymptotique de Weyl.
- asymptotique de Lifshitz.
- Opérateurs de Schrödinger aléatoires en dimension 1.
- Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger en dimension
1 : fonction de Weyl, ...
- Exposant de Lyapounoff.
- Exposant de Lyapounoff et densité d'états : formule de
Thouless.
- Exposant de Lyapounoff et spectre absolument continu.
- Exposant de Lyapounoff et spectre purement ponctuel.
- Localisation pour les opérateurs aléatoires : méthode de
Fröhlich-Spencer (analyse multi-échelle), méthode
d'Aizenman-Molchanov.
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Frederic Klopp
2000-05-10