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Cours de D.E.A
Opérateurs de Schrödinger aléatoires
1999-2000
Plan du cours
  1. Introduction.
  2. Opérateurs auto-adjoints non bornés.
    1. Opérateurs non bornés : domaine, adjoint, spectre.
    2. Opérateurs symétriques, fermés. Clôture.
    3. Opérateurs auto-adjoints.
    4. Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints.
    5. Perturbations relativement compactes. Théorème de Kato-Rellich.
    6. Théorie analytique des perturbations.
    7. Les opérateurs de Schrödinger servent d'exemples. Quelques exemples discrets.
    8. Estimée de type Combes-Thomas pour le noyau de la résolvante.
  3. Notions de Théorie ergodique.
    1. Généralités probabilistes : espace de probabilité, variables aléatoires, processus ergodiques, systèmes dynamiques ergodiques ...
    2. Exemples : variables aléatoires indépendantes, fonctions quasi-périodiques.
    3. Théorème ergodique de Birkhoff.
    4. Théorème ergodique sous-additif.
  4. Opérateurs ergodiques.
    1. Opérateurs ergodiques bornés.
    2. Opérateurs ergodiques non bornés.
    3. Propriétés spectrales des opérateurs ergodiques : spectres presque sûr.
  5. Opérateurs de Schrödinger aléatoires : différents modèles.
    1. Modèle d'Anderson et de Poisson continus.
    2. Modèles discrets.
    3. Modèles quasi-périodiques.
    4. Détermination du spectre d'un opérateur de Schrödinger aléatoire de type Anderson ou Poisson (continu et discret).
  6. Densité d'états des opérateurs aléatoires.
    1. Définition : indépendance des conditions aux bords.
    2. Formule en terme du noyau de Green.
    3. Le support de la densité d'états est égal au spectre presque sûr.
    4. Régularité de la densité d'états : estimée de Wegner.
    5. Comportement asymptotique de la densité d'états :
      1. asymptotique de Weyl.
      2. asymptotique de Lifshitz.
  7. Opérateurs de Schrödinger aléatoires en dimension 1.
    1. Théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger en dimension 1 : fonction de Weyl, ...
    2. Exposant de Lyapounoff.
    3. Exposant de Lyapounoff et densité d'états : formule de Thouless.
    4. Exposant de Lyapounoff et spectre absolument continu.
    5. Exposant de Lyapounoff et spectre purement ponctuel.
  8. Localisation pour les opérateurs aléatoires : méthode de Fröhlich-Spencer (analyse multi-échelle), méthode d'Aizenman-Molchanov.



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Frederic Klopp 2000-05-10