Next: Bibliographie
Cours de Mathématiques
DEUG SM2 1er semestre
2004-2005
Frédéric Klopp
Dans tout le cours,
désigne
ou
.
- Déterminants :
- Déterminants des matrices ; interprétation en tant
que volume d'un parallélogramme orienté.
- constatation des propriétés suivantes :
- det ;
- le déterminant est linéaire par rapport aux lignes ;
- le déterminant est nul si deux lignes sont identiques.
- Matrice extraite. Définition par récurrence du déterminant
d'une matrice ; vérification des trois propriétés énoncées
ci-dessus et de quelques conséquences (interversion de lignes,
remplacement d'une ligne par elle-même augmentée d'une autre
ligne, cas où une ligne est nulle)
- Usage des matrices élémentaires (opérations sur les lignes par
multiplication à gauche) :
- Rappels sur les matrices élémentaires ;
- vérification de detdetdet pour
une matrice élémentaire et
;
- calcul du déterminant par décomposition en produit de
matrices élémentaires.
- Th. : Il existe une unique application det
qui vérifie les trois propriétés
énoncées ci-dessus.
- Autres propriétés du déterminant :
- Th. : det si et seulement si est inversible,
et, dans ce cas, det
det.
- Th. : detdetdet.
- Th. : detdet où désigne la transposée
de .
- Développement total d'un déterminant :
- Définition d'une permutation des entiers et de la
permutation des coordonnées (associée).
- Matrice de la permutation (des coordonnées) .
- Prop. : Ces matrices forment un groupe multiplicatif
isomorphe au groupe des permutations ; on a
.
- Prop. et déf. : le déterminant d'une matrice de permutation
vaut ou ; c'est la signature de la permutation.
- Développement total d'un déterminant
- Formule de Cramer :
- Définition des mineurs.
- Matrice des cofacteurs.
- Formule de Cramer : l'inverse de est égal à la matrice
des cofacteurs de divisée par le déterminant de .
- Applications :
- Rang d'une matrice, d'un système de vecteurs ;
- Rappels sur les espaces vectoriels :
- Sous-espaces supplémentaires.
- Bases.
- Matrice d'une application linéaire dans deux bases.
- Changement de base ; matrice semblables.
- Déterminant d'une application linéaire.
- Réduction des endomorphismes :
- Polynôme caractéristique et valeurs propres d'une application
linéaire :
- Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme;
sous-espaces propres.
- Th. : les sous-espaces propres associés à des valeurs
propres distinctes sont supplémentaires.
- Définition du polynôme caractéristique d'une matrice ;
écriture en terme de trace, déterminant, etc.
- Invariance par similitude.
- Polynôme caractéristique d'une application linéaire.
- Th. : les valeurs propres sont les racines du polynôme
caractéristique. Cas des matrices triangulaires.
- Th. : la dimension du sous-espace propre associé à
est inférieure ou égale à la multiplicité de en tant que
zéro du polynôme caractéristique.
- Trigonalisation d'une matrice :
- Définition de la trigonalisation.
- Th. : toute matrice
est trigonalisable.
- Diagonalisation d'une matrice :
- Th. : si
a valeurs propres
distinctes, alors est diagonalisable.
- Th. :
est diagonalisable s et
seulement si
est la somme directe des sous-espaces
propres de .
- Th. : une matrice
est diagonalisable
si et seulement si pour chacune de ses valeurs propres la
dimension de l'espace propre associé est égale à sa multiplicité
en tant que racine du polynôme caractéristique de .
- Applications de la réduction des endomorphismes :
- Puissance d'une matrice.
- Systèmes d'équations aux différences finies linéaires (en
particulier, récurrences linéaires).
- Systèmes d'équations différentielles linéaires.
- Espaces euclidiens (de dimension finie) :
- Produit scalaire et orthogonalité :
- Définition d'une forme bilinéaire ; exemple dans
.
- Définition d'un produit scalaire ; exemples dans
.
- Orthogonalité.
- Inégalité de Cauchy-Schwartz ; norme ; inégalité de
Minkowski.
- Théorème de Pythagore ; formule de la médiane (explications
géométrique dans
) ; formule de polarisation.
- Orthogonal d'un sous-espace :
- Définition.
- Th. : un sous-espace est égal à l'orthogonal de son
orthogonal.
- Th. : un sous-espace et son orthogonal sont en somme
directe.
- Projection orthogonale : définition par le sous-espace
orthogonal.
- Caractérisation variationelle du projeté orthogonal.
- Exemples : calcul dans le cas d'une droite.
- Symétrie orthogonale : définition. Propriétés géométriques.
- Bases orthonormées :
- Définition. Développement sur une base orthonormée.
- Th. : tout espace euclidien de dimension fini admet une base
orthonormée.
- Procédure d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
- Changement de bases orthonormées.
- Diagonalisation des matrices réelles symétriques.
- Séries numériques :
- Définitions et premiers exemples (série géométrique, série
exponentielle).
- Séries à termes complexes.
- Convergence, convergence absolue.
- Inégalité triangulaire.
- Opérations sur les séries.
- Séries à termes positifs :
- Comparaison ; cas particulier de la série géométrique.
- Séries de Riemann ; comparaison avec une série de Riemann.
- Comparaison avec les intégrales (sans parler encore
d'intégrales impropres).
- Séries alternées réelles :
- Lemme d'Abel.
- Critère de convergence.
- Intégrales impropres :
- Définitions (différents types de singularités en des points
finis ainsi qu'à l'infini).
- Les intégrales de la fonction
() en 0
et .
- Intégrales absolument et simplement convergentes ; utilisation
de l'intégration par partie.
- Comparaison avec une série.
- Séries entières :
- Définition.
- Rayon de convergence. Exemples de calculs. Formule d'Hadamard
simplifiée (?).
- Opérations sur les séries entières : somme, produit,
dérivation :
- le rayon de convergence d'une somme (resp. d'un produit) des
deux séries entières est supérieur ou égal au minimum des deux
rayons de convergence des deux séries entières ;
- le rayon de convergence de la série dérivée d'une série
entière est égal à celui de la série entière que l'on dérive.
- Fonctions développables en séries entières :
- Définition.
- Lien avec le développement limité.
- Le développement en série entière dépend de l'endroit où
l'on développe.
- Développement en série entière de fonctions usuelles.
- Applications à la résolution d'équations différentielles.
- Séries de Fourier :
- Un exemple : le circuit RLC forcé ; résolution à l'aide de
séries de Fourier.
- Définition et théorème : pour une fonction continuement
dérivable, la série des coefficients de Fourier converge
absolument. La série de Fourier converge absolument vers la
fonction considérée (point par point).
- Théorème : une fonction continue est déterminée par ses
coefficients de Fourier. Elle est paire (resp. impaire) si et
seulement si ses coefficients en sinus (resp. cosinus) s'annulent
tous.
- Décroissance des coefficients de Fourier d'une fonction
régulière : cas d'une fonction fois continuement dérivable.
- Théorème de Dirichlet. Dans ce cas, la convergence n'est pas
absolue.
- Équations différentielles linéaires :
- Définitions (équation homogène, avec second membre).
- Théorème : l'espace vectoriel des solutions d'une équation
différentielle linéaire homogène d'ordre est un espace
vectoriel de dimension .
- Un exemple concret : .
- Réduction à un système.
- Équations linéaires d'ordre 1 : résolution explicite
- Équations linéaires à coefficients constants :
- Cas du système d'ordre 1 : si est un vecteur
propre de associé à la valeur propre , alors
est solution de .
- Théorème : si est diagonalisable, l'espace des solutions
de admet pour base
où
est une base de vecteurs
propres de et
sont les valeurs
propres associées.
- Cas de l'équation scalaire d'ordre . Forme spéciale du
polynôme caractéristique de . Forme générale des solutions
lorsque les racines du polynôme caractéristiques sont deux à
deux distinctes.
- Étude détaillée du cas de l'équation scalaire d'ordre .
- Méthode de la variation de la constante :
- Cas de l'équation d'ordre 1.
- Cas de l'équation d'ordre 2 :
- Définition et propriétés du wronskien.
- Calcul de la solution.
Next: Bibliographie
Frédéric Klopp
2005-01-10