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Licence: Intégration - Probabilités
1999-2000
Plan du cours
1.
Préliminaires
(a)
Théorie naïve des ensembles et fonctions.
i.
Ensembles.
ii.
Produit cartésiens, graphes.
iii.
Relations: relations d'ordre et relations d'équivalence
iv.
Fonctions, image directe, image réciproque, composée, injection, surjection, bijection.
v.
Cardinal d'un ensemble.
(b)
Dénombrement ou analyse combinatoire élémentaire.
i.
Cardinal d'un produit cartésien.
ii.
Tirage avec remise - arrangements avec répétitions.
iii.
Tirage sans remise - arrangements sans répétitions.
iv.
Combinaison sans répétitions.
2.
Probabilités discrètes ou finies:
(a)
Evénements et probabilités.
i.
Algèbre des événements. Exemples: $ \mathcal{P}(\Omega)$ si $ \Omega$ fini, algèbre des reunions d'intervalles sur $ [0,1]$.
ii.
Définition d'une probabilité, espace probabilisé. Exemples: probabilité sur $ \mathcal{P}(\Omega)$ (quand $ \Omega$ fini), probabilité uniforme sur l'algèbre des reunions d'intervalles sur $ [0,1]$.
iii.
Probabilités conditionelles: formule des probabilités totales, formule de Bayes.
iv.
Evénements indépendants.
(b)
Variables aléatoires simples
i.
Définition. Loi d'une v.a. simple.
ii.
Fonction de répartition. Propriétés générales. La fonction de répartition détermine la loi.
iii.
V.a. de Bernoulli, binômiale.
iv.
V.a. indépendantes.
v.
Espérance. Propriétés (linéarité, espérance du module)
vi.
Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
vii.
Si $ X$ et $ Y$ indépendantes, $ EXY=EX\cdot EY$. Egalité de Bienaymé.
viii.
Variance et écart type.
ix.
Calcul des espérance et variance pour v.a. de Bernoulli et binômiale.
(c)
V.a. de Bernoulli indépendantes:
i.
Loi de la somme: loi binômiale.
ii.
Loi faible des grands nombres.
(d)
Insuffisance des v.a. simples et des probabilités discrètes:
i.
Théorème limite de Poisson: v.a. prenant un nombre dénombrable de valeurs.
ii.
Théorème limite de De Moivre : v.a. prenant un nombre continu de valeurs.
3.
Intégration d'une fonction en escalier sur $ \mathbb{R}^d$:
(a)
Pavés et fonctions en escalier:
i.
Définition des pavés fermés et des fonctions en escalier.
ii.
Stabilité par produit et par combinaison linéaire finie.
iii.
Stabilité par composition avec une application $ g$: $ \mathbb{C}\to
\mathbb{C}$ valant 0 en 0.
iv.
Pour une réunion de pavés fermés, on peut trouver un pavage plus fin.
(b)
Définition de l'intégrale d'une fonction en escalier:
i.
Indépendance de la représentation choisie pour la fonction en escalier.
ii.
Propriétés: linéarité, invariance par translation, continuité (en tant que forme linéaire), conjugaison, positivité et croissance.
iii.
Théorème de Fubini pour les fonctions en escalier.
(c)
Définition de l'intégrale de Riemann sur un pavé $ P$:
i.
Définitions équivalentes.
ii.
Propriétés: linéarité, invariance par translation, continuité (en tant que forme linéaire), conjugaison, positivité et croissance.
iii.
En exercices: exemple de fonction non Riemann intégrable, toute fonction continue sur un pavé est Riemann intégrable.
(d)
Convergence en moyenne et convergence presque partout:
i.
Suite de Cauchy (pour la cv en moyenne).
ii.
Quelques rappels sur les familles (réelles positives) sommables.
iii.
Ensembles négligeables.
iv.
Lemme de Borel-Lebesgue.
v.
Lemme d'Egorov (sur la convergence pp) (sans démonstration).
4.
Intégrale de Lebesgue sur $ \mathbb{R}^d$:
(a)
Définition de l'intégrale sur $ \mathbb{R}^d$:
i.
$ f$ est intégrable si elle est limite p.p. d'une suite de Cauchy de fonction en escalier. Définition de l'intégrale de $ f$ et indépendance de l'intégrale de $ f$ de la suite de Cauchy de fonctions en escaliers approchant $ f$.
ii.
Définition de l'intégrale sur un sous-ensemble de $ \mathbb{R}^d$.
iii.
Théorème: Si $ f$ est Riemann intégrable sur un pavé $ P$ alors $ f$ est Lebesgue intégrable sur $ P$ et les intégrales sont égales. La réciproque est fausse.
iv.
Propriétés: linéarité, invariance par translation, continuité (en tant que forme linéaire), conjugaison, positivité et croissance.
v.
Proposition:
  • si $ f$ intégrable et $ (f_n)_n$ suite de Cauchy de fonctions en escalier telle que $ f_n\to f$ p.p. alors $ \displaystyle \int\mid f_n-f\mid dx\to0$ en moyenne.
  • si $ f\geq0$ est intégrable et $ \displaystyle \int f dx=0$ alors $ f=0$ p.p.
vi.
Définition de la convergence en moyenne.
vii.
Proposition: les fonctions continues à support compact sont denses (pour la cv en moyenne) dans l'ensemble des fonctions intégrables.
viii.
Théorème: l'ensemble des fonctions intégrables est complet pour la convergence en moyenne.
(b)
Théorèmes de convergence:
i.
Théorème de convergence monotone ou de Beppo-Levi.
ii.
Application:
  • dans $ \mathbb{R}^d$, la fonction indicatrice d'un compact est intégrable.
  • intégrabilité des séries à termes positifs.
iii.
Théorème de convergence dominée.
iv.
Applications: critères d'intégrabilité sur $ \mathbb{R}^d$:
  • si $ f$ est intégrable sur tout pavé de $ \mathbb{R}^d$ alors $ f$ est intégrable sur $ \mathbb{R}^d$ si et seulement si $ \mid f\mid$ est majorée par une fonction intégrable.
  • si $ f$ est Riemann intégrable sur tout pavé de $ \mathbb{R}^d$ et que l'intégrale de Riemann généralisée $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}\mid
f(x)\mid dx$ est finie, alors $ f$ est Lebesgue intégrable sur $ \mathbb{R}^d$ et son intégrale de Lebesgue est égale à son intégrale de Riemann.
(c)
Intégrales dépendant d'un paramètre:
i.
Théorème de continuité sous le signe somme.
ii.
Théorème de dérivabilité sous le signe somme.
iii.
Exemple et application: la transformée de Fourier d'une fonction intégrable est continue et tend vers 0 à l'infini
iv.
Théorème de Fubini (avec démonstration): c'est une version faible où l'on part d'une fonction intégrable sur l'espace produit et on montre que les sections sont intégrables presque partout et que l'on peut intervertir les intégrales. Le critère de Fubini-Tonelli sera donné plus tard.
(d)
Changement de variable:
i.
Définition d'un $ \mathcal{C}^1$-difféomorphisme, de la matrice jacobienne et du jacobien.
ii.
Le cas du changement de variable affine pour la fonction caractéristique d'un pavé.
iii.
Deux lemmes (que je ne démontrerai pas):
a.
Premier lemme: estimation de la mesure de l'image d'un pavé par la mesure du pavé et des valeurs maximale et minimale du jacobien.
b.
Second lemme: l'image par un $ \mathcal{C}^1$-difféomorphisme d'un ensemble négligeable est négligeable.
iv.
Théorème du changement de variable.
v.
Applications:
a.
Le cas des coordonnées polaires.
b.
Calculs sur les gaussiennes: masse totale, transformée de Fourier.
5.
Mesurabilité (au sens de Lebesgue) dans $ \mathbb{R}^d$:
(a)
Définition des fonctions mesurables (à valeurs dans $ \mathbb{C}$ et dans $ \overline{
\mathbb{R}^+}$. Définition des ensembles mesurables (par la fonction indicatrice). Définition de l'intégrale d'une fonction mesurable positive.
(b)
Proposition: $ f$ est mesurable si et seulement si, restreinte à tout pavé, elle est mesurable.
(c)
Applications:
i.
une fonction intégrable sur tout pavé est mesurable.
ii.
une fonction continue sur $ \mathbb{R}^d$ est mesurable.
iii.
Tout compact est mesurable. Donc tout fermé et tout ouvert est mesurable.
(d)
Propriétés des fonctions mesurables:
i.
Stabilité par combinaison linéaire, par le produit, par passage à l'inverse, par la valeur absolue.
ii.
Une limite presque partout de fonctions mesurables est mesurable.
iii.
L'infimum et le supremum de fonctions mesurables (réelles) le sont.
(e)
Fonctions mesurables positives:
i.
Conventions de calcul avec $ +\infty$.
ii.
Croissance de l'intégrale.
iii.
Stabilité par combinaisons linéaires positives.
iv.
Théorème de Beppo-Levi pour les fonctions mesurables positives.
(f)
Ensembles mesurables:
i.
$ \mathbb{R}^d$ est mesurable de mesure $ \infty$.
ii.
Le complément d'un ensemble mesurable est mesurable.
iii.
La réunion et l'intersection dénombrable d'ensembles mesurables est mesurable. La mesure de la réunion est majorée par la somme des mesures avec égalité si la réunion est disjointe.
(g)
Caractérisation des fonctions intégrables: $ f$ intégrable si et seulement si $ f$ mesurable et $ \vert f\vert$ intégrable.
(h)
Théorème de Fubini-Tonelli dans le cas des fonctions mesurables positives.
(i)
Théorème du changement de variable dans le cas des fonctions mesurables positives.
(j)
Applications:
i.
La convolution.
ii.
La formule d'inversion de Fourier.
6.
Espaces $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$ (où $ X\subset
\mathbb{R}^d$ est mesurable et $ 1\leq p\leq+\infty$).
(a)
Rappels des inégalités de convexité pour des réels positifs.
(b)
Inégalité de Hölder et de Minkowski pour des fonctions mesurables positives.
(c)
Définition des espaces $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$, et de le norme correspondante $ \Vert\cdot \Vert_p$.
(d)
Propriétés:
  • $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$ sont des $ \mathbb{C}$-espaces vectoriels et $ \Vert\cdot \Vert_p$ est une semi-norme sur $ \mathcal{L}^p(X)$ et une norme sur $ L^p(X)$.
  • Inégalité de Hölder dans $ L^p(X)$.
  • Si $ X$ de mesure finie et $ q\leq p$ alors $ \mathcal{L}^p(X)\subset\mathcal{L}^q(X)$ et $ L^p(X)\subset
L^q(X)$
(e)
Si $ 1\leq p<+\infty$, les fonctions en escalier sont dense dans $ L^p(X)$.
(f)
Théorème: $ L^p(X)$ est un espace de Banach.
(g)
Corollaire: $ L^2(X)$ est un espace de Hilbert.
(h)
Applications:
i.
$ L^p(
\mathbb{R}^d)$ et convolution:
  • $ L^2(
\mathbb{R}^d)*L^2(
\mathbb{R}^d)\subset L^\infty(
\mathbb{R}^d)$ continue.
  • $ L^1(
\mathbb{R}^d)*L^2(
\mathbb{R}^d)\subset L^2(
\mathbb{R}^d)$ continue.
ii.
Transformée de Fourier d'une fonction de carré intégrable:
  • Inégalité de Parseval pour $ f\in L^1(
\mathbb{R}^d)\cap L^2(
\mathbb{R}^d)$ tq $ \hat f\in L^1(
\mathbb{R}^d)$.
  • L'ensemble des fonctions $ \{f\in L^1(
\mathbb{R}^d)\cap L^2(
\mathbb{R}^d)$ tq $ \hat f\in L^1(
\mathbb{R}^d)\}$ est dense dans $ L^2(
\mathbb{R}^d)$.
  • Définition de la transformée de Fourier d'une fonction de carré intégrable par prolongement.
7.
Théorie de la mesure abstraite:
(a)
$ \sigma$-algèbre sur $ X$:
i.
Définitions équivalentes. Exemples: $ \sigma$-algèbre des Boréliens, $ \sigma$-algèbre de Lebesgue.
ii.
Proposition: une intersection quelconque de $ \sigma$-algèbre sur $ X$ est une $ \sigma$-algèbre sur $ X$.
iii.
$ \sigma$-algèbre engendrée par une partie.
iv.
Image inverse et trace d'une $ \sigma$-algèbre.
(b)
Mesures:
i.
Définition. Exemples: mesure de Lebesgue, mesure de proba sur $ \mathbb{N}$.
ii.
Propriétés:
  • Croissance et $ \sigma$-sous-additivité.
  • Convergence monotone.
iii.
Espaces mesurés. Exemples: mesures de proba sur $ \mathbb{R}$.
iv.
Extension des mesures:
  • Théorème d'extension d'une mesure $ \sigma$-additive sur une algèbre à la $ \sigma$-algèbre engendrée (sans démonstration).
  • Théorème d'unicité de l'extension d'une mesure à partir un système d'ensemble stable par intersections finies (sans démonstration). Contre-exemple si non stable par intersections finies.
8.
Fonctions mesurables et variables aléatoires:
(a)
Définition générale.
(b)
Définition dans les cas des fonctions à valeurs dans $ \mathbb{C}$ et $ \overline{
\mathbb{R}^+}$. Caractérisations équivalentes. Un résultat d'approximation pour les fonctions mesurables positives.
(c)
Théorème: cette définition donne la même classe de fonctions que celles déjà définie si $ X\subset
\mathbb{R}^d$ mesurable.
(d)
Fonctions mesurables et opérations.
(e)
Mesure induite : image réciproque d'une mesure par une fonction mesurable.
(f)
Variables aléatoires réelles:
i.
Variables aléatoires discrètes et continues.
ii.
Loi d'une variable aléatoire. Exemples classiques.
iii.
Fonction de répartition. Théorème: la fonction de répartition détermine la loi.
iv.
Propriétés des fonctions de répartitions: limites en $ \pm \infty$, croissance et continuité à droite.
v.
Théorème: Si $ F$ vérifie les trois propriétés ci-dessus alors $ F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire (admis).
vi.
Densité. Exemples classiques.
vii.
Calcul de lois et de densités.
(g)
Familles de variables aléatoires réelles - variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}^n$:
i.
Loi jointe et marginales. Exemples gaussiens.
ii.
Indépendance.
(h)
Suites de variables aléatoires indépendantes: lemme de Borel-Cantelli
(i)
Probabilités conditionelles: loi conditionnelle.
9.
Intégrale et espérance:
(a)
Définition de l'intégrale d'une fonction mesurable positive. Propriétés. Théorème de convergence croissante.
(b)
Fonctions intégrables. Propriétés.
(c)
Théorème de convergence dominée et Lemme de Fatou.
(d)
Applications aux probabilités: l'espérance. Moments.
(e)
Version probabiliste du Théorème de changement de variable: calcul de l'espérance à partir de la loi.
(f)
Cas des variables aléatoires indépendantes. Espérance du produit.
10.
Mesures produits et théorème de Fubini (sans démonstrations).
(a)
$ \sigma$-algèbre produit. Sections d'ensembles et d'applications: les sections d'ensembles ou d'applications mesurables (pour la $ \sigma$-algèbre produit) sont mesurables.
(b)
Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini.
11.
Espaces $ L^p(X)$:
(a)
Rappels des principaux résultats (inégalté de Hölder, de Jensen, complétude) sans preuves, les preuves ayant déja été faites.
(b)
Applications au probabilités: inégalité de Bienaymé-Tchebicheff.
12.
Différentes notions de convergence.
(a)
Convergence en loi et en probabilité.
(b)
Relations entre les différentes notions de convergence.
(c)
Loi faible des grands nombres.
13.
Fonction caratéristique d'une variable aléatoire:
(a)
Définition.
(b)
Propriétés:
i.
La fonction caratéristique d'une variable aléatoire est bornée, continue, de type positif.
ii.
Lemme de Riemann-Lebesgue.
(c)
Développement de Taylor de la fonction caratéristique au voisinage de 0. Rapport entre le régularité de la fonction caratéristique et l'existence de moments de la variable aléatoire.
(d)
Théorème:
  • la convergence en loi équivaut à la convergence vague.
  • la fonction caratéristique détermine la loi.
  • la convergence en loi équivaut à la convergence des fonctions caratéristiques.
(e)
Fonction caratéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
(f)
Théorème central limite.



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1999-04-11