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MACS
Proba - Stat 1.1 - Intégration et Probabilités
2004-2005
Calendrier des cours (prévisionnel)
Plan du cours
  1. Préliminaires
    1. Théorie naïve des ensembles et fonctions.
      1. Ensembles.
      2. Produit cartésiens, graphes.
      3. Relations: relations d'ordre et relations d'équivalence
      4. Fonctions, image directe, image réciproque, composée, injection, surjection, bijection.
      5. Cardinal d'un ensemble.
    2. Dénombrement ou analyse combinatoire élémentaire.
      1. Cardinal d'un produit cartésien.
      2. Tirage avec remise - arrangements avec répétitions.
      3. Tirage sans remise - arrangements sans répétitions.
      4. Combinaison sans répétitions.
  2. Probabilités discrètes ou finies:
    1. Evénements et probabilités.
      1. Algèbre des événements. Exemples: $ \mathcal{P}(\Omega)$ si $ \Omega$ fini, algèbre des reunions d'intervalles sur $ [0,1]$.
      2. Définition d'une probabilité, espace probabilisé. Exemples: probabilité sur $ \mathcal{P}(\Omega)$ (quand $ \Omega$ fini), probabilité uniforme sur l'algèbre des reunions d'intervalles sur $ [0,1]$.
      3. Probabilités conditionelles: formule des probabilités totales, formule de Bayes.
      4. Evénements indépendants.
    2. Variables aléatoires simples
      1. Définition. Loi d'une v.a. simple.
      2. Fonction de répartition. Propriétés générales. La fonction de répartition détermine la loi.
      3. V.a. de Bernoulli, binômiale.
      4. V.a. indépendantes.
      5. Espérance. Propriétés (linéarité, espérance du module)
      6. Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff
      7. Si $ X$ et $ Y$ indépendantes, $ EXY=EX\cdot EY$. Egalité de Bienaymé.
      8. Variance et écart type.
      9. Calcul des espérance et variance pour v.a. de Bernoulli et binômiale.
    3. V.a. de Bernoulli indépendantes:
      1. Loi de la somme: loi binômiale.
      2. Loi faible des grands nombres.
    4. Insuffisance des v.a. simples et des probabilités discrètes:
      1. Théorème limite de Poisson: v.a. prenant un nombre dénombrable de valeurs.
      2. Théorème limite de De Moivre : v.a. prenant un nombre continu de valeurs.
  3. Théorie de la mesure abstraite:
    1. $ \sigma$-algèbre sur $ X$:
      1. Définitions équivalentes. Exemples: $ \sigma$-algèbre des Boréliens, $ \sigma$-algèbre de Lebesgue.
      2. Proposition: une intersection quelconque de $ \sigma$-algèbre sur $ X$ est une $ \sigma$-algèbre sur $ X$.
      3. $ \sigma$-algèbre engendrée par une partie.
      4. Image inverse et trace d'une $ \sigma$-algèbre.
    2. Mesures:
      1. Définition. Exemples: mesure de Lebesgue, mesure de proba sur $ \mathbb{N}$.
      2. Propriétés:
        • Croissance et $ \sigma$-sous-additivité.
        • Convergence monotone.
      3. Espaces mesurés. Exemples: mesures de proba sur $ \mathbb{R}$.
      4. Fonctions mesurables :
        1. Définition générale.
        2. Définition dans les cas des fonctions à valeurs dans $ \mathbb{C}$ et $ \overline{\mathbb{R}^+}$. Caractérisations équivalentes. Un résultat d'approximation pour les fonctions mesurables positives.
        3. Théorème: cette définition donne la même classe de fonctions que celles déjà définie si $ X\subset\mathbb{R}^d$ mesurable.
        4. Fonctions mesurables et opérations.
        5. Mesure induite : image réciproque d'une mesure par une fonction mesurable.
  4. Intégrale :
    1. Définition de l'intégrale d'une fonction mesurable positive. Propriétés.
    2. Fonctions intégrables.
    3. Propriétés de l'intégrale (linéarité, majoration de la norme, etc).
  5. Théorèmes de convergence:
    1. Théorème de convergence monotone ou de Beppo-Levi.
    2. Application:
      • comparaison avec l'intégrale de Riemann.
      • intégrabilité des séries à termes positifs.
    3. Théorème de convergence dominée.
    4. Applications: critères d'intégrabilité sur $ \mathbb{R}^d$:
      • si $ f$ est intégrable sur tout pavé de $ \mathbb{R}^d$ alors $ f$ est intégrable sur $ \mathbb{R}^d$ si et seulement si $ \mid f\mid$ est majorée par une fonction intégrable.
      • si $ f$ est Riemann intégrable sur tout pavé de $ \mathbb{R}^d$ et que l'intégrale de Riemann généralisée $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty}\mid
f(x)\mid dx$ est finie, alors $ f$ est Lebesgue intégrable sur $ \mathbb{R}^d$ et son intégrale de Lebesgue est égale à son intégrale de Riemann.
  6. Intégrales dépendant d'un paramètre:
    1. Théorème de continuité sous le signe somme.
    2. Théorème de dérivabilité sous le signe somme.
    3. Exemple et application: la transformée de Fourier d'une fonction intégrable est continue et tend vers 0 à l'infini
  7. Mesures produits et théorème de Fubini (sans démonstrations).
    1. $ \sigma$-algèbre produit. Sections d'ensembles et d'applications: les sections d'ensembles ou d'applications mesurables (pour la $ \sigma$-algèbre produit) sont mesurables.
    2. Théorèmes de Fubini-Tonelli et de Fubini.
    3. Applications :
      1. Convolution des fonctions.
      2. Formule d'inversion de Fourier.
  8. Changement de variable:
    1. Définition d'un $ \mathcal{C}^1$-difféomorphisme, de la matrice jacobienne et du jacobien.
    2. Le cas du changement de variable affine pour la fonction caractéristique d'un pavé.
    3. Théorème du changement de variable dans le cas des fonctions mesurables positives.
    4. Théorème du changement de variable.
    5. Applications:
      1. Le cas des coordonnées polaires.
      2. Calculs sur les gaussiennes: masse totale, transformée de Fourier.
  9. Variables aléatoires (réelles) et espérance :
    1. Variables aléatoires discrètes et continues.
    2. Loi d'une variable aléatoire. Exemples classiques.
    3. Fonction de répartition. Théorème: la fonction de répartition détermine la loi.
    4. Propriétés des fonctions de répartitions: limites en $ \pm
\infty$, croissance et continuité à droite.
    5. Théorème: Si $ F$ vérifie les trois propriétés ci-dessus alors $ F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire (admis).
    6. Densité. Exemples classiques.
    7. Calcul de lois et de densités.
    8. Familles de variables aléatoires réelles - variables aléatoires à valeurs dans $ \mathbb{R}^n$:
      1. Loi jointe et marginales. Exemples gaussiens.
      2. Indépendance.
    9. Suites de variables aléatoires indépendantes: lemme de Borel-Cantelli
    10. Probabilités conditionelles: loi conditionnelle.
    11. Espérance. Moments d'ordre supérieurs.
    12. Version probabiliste du Théorème de changement de variable: calcul de l'espérance à partir de la loi.
    13. Cas des variables aléatoires indépendantes. Espérance du produit.
  10. Espaces $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$ (où $ X\subset\mathbb{R}^d$ est mesurable et $ p\in\{1,2\}$).
    1. Inégalité de Cauchy-Schwartz et Minkowski pour des fonctions mesurables positives.
    2. Définition des espaces $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$, et de le norme correspondante $ \Vert\cdot \Vert_p$.
    3. Propriétés:
      • $ \mathcal{L}^p(X)$ et $ L^p(X)$ sont des $ \mathbb{C}$-espaces vectoriels et $ \Vert\cdot \Vert_p$ est une semi-norme sur $ \mathcal{L}^p(X)$ et une norme sur $ L^p(X)$.
      • Inégalité de Cauchy-Schwartz dans $ L^2(X)$.
      • Si $ X$ de mesure finie alors $ \mathcal{L}^2(X)\subset\mathcal{L}^1(X)$ et $ L^2(X)\subset
L^1(X)$
    4. Les fonctions en escalier sont dense dans $ L^p(X)$.
    5. Théorème: $ L^1(X)$ est un espace de Banach.
    6. Théorème: $ L^2(X)$ est un espace de Hilbert.
    7. Applications:
      1. Transformée de Fourier d'une fonction de carré intégrable:
        • Inégalité de Parseval pour $ f\in L^1(\mathbb{R}^d)\cap L^2(\mathbb{R}^d)$ telle que $ \hat f\in L^1(\mathbb{R}^d)$.
        • L'ensemble des fonctions $ \{f\in L^1(\mathbb{R}^d)\cap L^2(\mathbb{R}^d)$ telle que $ \hat f\in L^1(\mathbb{R}^d)\}$ est dense dans $ L^2(\mathbb{R}^d)$.
        • Définition de la transformée de Fourier d'une fonction de carré intégrable par prolongement.
  11. Différentes notions de convergence.
    1. Convergence en loi et en probabilité.
    2. Relations entre les différentes notions de convergence.
    3. Loi faible des grands nombres.
  12. Fonction caratéristique d'une variable aléatoire:
    1. Définition.
    2. Propriétés:
      1. Lemme de Riemann-Lebesgue.
    3. Développement de Taylor de la fonction caratéristique au voisinage de 0. Rapport entre le régularité de la fonction caratéristique et l'existence de moments de la variable aléatoire.
    4. Théorème:
      • la convergence en loi équivaut à la convergence vague.
      • la fonction caratéristique détermine la loi.
      • la convergence en loi équivaut à la convergence des fonctions caratéristiques.
    5. Fonction caratéristique d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
    6. Théorème central limite.




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Frédéric Klopp
2005-02-14