INFINI GROUPOÏDES D’APRÈS GROTHENDIECK

par

Georges MALTSINIOTIS

Résumé. — Je présente la définition par Grothendieck des infini groupoïdes non stricts, et sa conjecture de classification des types d’homotopies par ces groupoïdes. Je propose une stratégie pour démontrer cette conjecture.

Abstract. — I present Grothendieck’s definition of weak infinite groupoids and his conjecture asserting that these groupoids classify homotopy types. I suggest a strategy for proving this conjecture.

1. Introduction

Mea culpa. — Je n’ai jamais entendu quelqu’un affirmer que Grothendieck avait réussi à dégager, dans “Pursuing Stacks” [4], une définition des ∞-groupoïdes non stricts. J’ai moi-même prétendu plusieurs fois le contraire. En faisant une n-ième lecture de ce texte à l’occasion de son édition, je me suis aperçu qu’en fait il y avait bel et bien une telle définition en bonne et due forme. La particularité de cette définition est que la notion d’∞-groupoïde non strict est posée sans référence à une notion d’∞-catégorie non stricte, qui elle n’est pas dégagée. Dans ce cadre, un ∞-groupoïde n’est pas un cas particulier d’∞-catégorie. Je me suis néanmoins aperçu qu’une variante de sa définition permet de définir également la notion d’∞-catégorie non stricte. Cela fera l’objet d’un autre article [7], où on remarquera que cela conduit à une notion très proche, sinon équivalente, à celle de Batanin [1]. Dans le texte qui suit, je vais me limiter à une mise en forme de la définition de Grothendieck des ∞-groupoïde non stricts, et à présenter un énoncé précis de sa conjecture affirmant que ces ∞-groupoïdes classifient les types d’homotopie. Je proposerai aussi une stratégie pour essayer de la démontrer, en la déduisant de quatre conjectures plus concrètes.

Le programme de Grothendieck. — Le programme de Grothendieck est de montrer que pour tout n, 0 ≤ n ≤ ∞, l’étude des types d’homotopie n-tronqués est équivalente à celle des n-groupoïdes ; je laisse tomber l’adjectif non strict. En particulier, l’étude des types d’homotopie non tronqués, devra être équivalente à celle des ∞-groupoïdes. Pour cela, il s’agit d’associer à tout espace topologique, ou ensemble simplicial, X un n-groupoïde fondamental Π_{n}(X), généralisant le groupoïde fondamental de Poincaré pour n = 1. L’idée évidente est que les objets de Π_{n}(X) doivent être les points de X, les 1-flèches les chemins de X, les 2-flèches les homotopies entre chemins, les 3-flèches les homotopies entre homotopies, etc. Il s’agit de définir l’espèce de structure de n-groupoïdes permettant de réaliser ce programme. De façon plus précise, il s’agit de définir aussi une notion de n-équivalence entre n-groupoïdes, et établir que le foncteur qui associe à un espace topologique son n-groupoïde fondamental induit une équivalence de catégories entre la catégorie des espaces topologiques, localisée par les n-équivalences d’espaces topologiques, et celle des n-groupoïdes, localisée par les n-équivalences de n-groupoïdes. On rappelle qu’une application continue f : X → Y est une n-équivalence si l’application π_{0}(f) : π_{0}(X) → π_{0}(Y) est bijective, et si pour tout i, 1 ≤ i ≤ n, et tout point x de X, π_{i}(f; x) : π_{i}(X; x) → π_{i}(Y; f(x)) est un isomorphisme de groupes.

Les structures auxquelles on s’attend. — On va s’intéresser au cas des ∞-groupoïdes, la variante des n-groupoïdes, pour n < ∞, étant facile à deviner. On a d’abord les structures existant aussi pour les ∞-groupoïdes stricts :

– ensembles des i-flèches F_{i}, i ≥ 0 (F_{0} = objets) ;

– applications source et but s_{i}, t_{i} : F_{i} → F_{i−1}, i > 0, satisfaisant aux égalités

s_{i−1}s_{i} = s_{i−1}t_{i} ,  t_{i−1}s_{i} = t_{i−1}t_{i} ,  i ≥ 2 ,

[figure: •; •] ,

de sorte qu’on puisse définir par composition exactement deux applications

\begin{matrix}s_{l}^{i} : F_{i} → F_{i−l} ,  t_{l}^{i} : F_{i} → F_{i−l} ,  1 ≤ l ≤ i , \\ s_{l}^{i} = s_{i−l+1} ⋯ s_{i−1}s_{i} ,  t_{l}^{i} = t_{i−l+1} ⋯ t_{i−1}t_{i} , \end{matrix}

les applications source et but itérés ;

– les compositions

[figure: (F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}); F_{i}; (u, v); u ∗_{l}^{i} v]

satisfaisant à

s_{i}(u ∗_{l}^{i} v) = \{ \begin{matrix}s_{i}(v) , l = 1 \\ s_{i}(u) ∗_{l−1}^{i−1} s_{i}(v) , l ≥ 2 \end{matrix}

t_{i}(u ∗_{l}^{i} v) = \{ \begin{matrix}t_{i}(u) , l = 1 \\ t_{i}(u) ∗_{l−1}^{i−1} t_{i}(v) , l ≥ 2 \end{matrix}

[figure: i = 2; l = 1; •; •] , [figure: i = 2; l = 2; •; •; •] ;

– les unités k_{i} : F_{i} → F_{i+1}, i ≥ 0, satisfaisant aux égalités

s_{i+1}k_{i} = 1_{F_{i}} = t_{i+1}k_{i} , i ≥ 0 ;

– les inverses inv_{l}^{i} : F_{i} → F_{i}, 1 ≤ l ≤ i, pour les compositions ∗_{l}^{i}, satisfaisant aux relations

s_{i} inv_{l}^{i} = \{ \begin{matrix}t_{i} ,  l = 1 \\ inv_{l−1}^{i−1} s_{i} ,  l ≥ 2 \end{matrix}

t_{i} inv_{l}^{i} = \{ \begin{matrix}s_{i} ,  l = 1 \\ inv_{l−1}^{i−1} t_{i} ,  l ≥ 2 \end{matrix}

[figure: •; •; inv_{1}^{2}; •; •] ,

[figure: •; •; inv_{2}^{2}; •; •] .

Dans le cas des ∞-groupoïdes stricts, les données s’arrêtent là, et on impose un certain nombre d’égalités exprimant :

– associativité et unités ; – règle d’échange ou de Godement

[figure: •; α; β; •; γ; δ; •]

(δ ∗_{l}^{i} γ) ∗_{l′}^{i} (β ∗_{l}^{i} α) = (δ ∗_{l′}^{i} β) ∗_{l}^{i} (γ ∗_{l′}^{i} α) , 1 ≤ l < l′ ≤ i ;

– fonctorialité des unités ;

– les “inverses” sont des inverses. Dans le cas des ∞-groupoïdes non stricts, ces égalités sont remplacées par des nouvelles données, les données de cohérence. Par exemple, pour les associativités, au lieu d’avoir les égalités

(u ∗_{l}^{i} v) ∗_{l}^{i} w = u ∗_{l}^{i}(v ∗_{l}^{i} w) ,

on a une i + 1-flèche

\xymatrix{(u ∗_{l}^{i} v) ∗_{l}^{i} w \ar[r]^{α_{u,v,w}} & u ∗_{l}^{i}(v ∗_{l}^{i} w)}

(d’ailleurs aussi une autre dans le sens opposé), autrement dit, une application

\xymatrix{(F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}) \ar[r]^{α=α_{l}^{i}} & F_{i+1}}

telle que

s_{i+1}α_{l}^{i} = ∗_{l}^{i} (∗_{l}^{i} ×1_{F_{i}}) , t_{i+1}α_{l}^{i} = ∗_{l}^{i} (1_{F_{i}} × ∗_{l}^{i}) .

On s’attend alors à un pentagone de MacLane, mais à nouveau au lieu d’une égalité, on a une flèche de cohérence

[figure: (u ∗ v) ∗(w ∗ t); ((u ∗ v) ∗ w) ∗ t; u ∗(v ∗(w ∗ t)); (u ∗(v ∗ w)) ∗ t; u ∗((v ∗ w) ∗ t)]

(et une autre dans l’autre sens) correspondant à une application

\xymatrix{(F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}) \ar[r] & F_{i+2} ,}

et cela devient vite inextricable. Il s’agit de trouver le fil d’Ariane permettant de s’en sortir. Grothendieck l’a trouvé après une ou deux après midis de réflexion.

Le fil d’Ariane. — La première observation est que les applications définies par les flèches de cohérence, ainsi que celles venant de la structure de groupoïde strict, ont comme source un produit fibré itéré d’un certain type, construit à l’aide des ensembles F_{i} et les applications source et but itérés, et comme but un ensemble F_{j}.

\xymatrix{F_{i_{1}} ×_{F_{i′_{1}}} F_{i_{2}} ×_{F_{i′_{2}}} ⋯ ×_{F_{i{′ \atop m−1}}}F_{i_{m}} \ar[r]^{α} & F_{j}}

L’application α peut être vue comme définissant une flèche de cohérence de α_{0} = s_{j}α vers α_{1} = t_{j}α. Le principe servant de fil d’Ariane est de demander l’existence d’un tel α chaque fois que cela n’est pas déraisonnable. En effet, les égalités

(∗)  α_{0} = s_{j}α  et  α_{1} = t_{j}α

impliquent, si j ≥ 2, qu’on a les relations

(∗∗)  s_{j−1}α_{0} = s_{j−1}α_{1}  et  t_{j−1}α_{0} = t_{j−1}α_{1} .

Pour tout couple � d’applications structurales �, autrement dit définies par la structure même de l’∞-groupoïde,

\xymatrix{α_{0}, α_{1} : F_{i_{1}} ×_{F_{i′_{1}}} F_{i_{2}} ×_{F_{i′_{2}}} ⋯ ×_{F_{i{′ \atop m−1}}}F_{i_{m}} \ar[r] & F_{j−1} ,  j > 0 ,}

satisfaisant si j ≥ 2 aux conditions (∗∗), on va demander l’existence d’une application structurale α satisfaisant aux relations (∗), du moins dans le cas universel, autrement dit, quand les égalités (∗∗) ne sont pas satisfaites � juste par accident �, dans un ∞-groupoïde particulier. Cela demande plus d’explications :

Rappels de diverses méthodes de définition d’une espèce de structure algébrique. — Une structure algébrique est définie par la donnée d’une famille d’ensembles de base, d’opérations faisant intervenir certaines limites projectives finies construites à l’aide de ces ensembles, et des égalités entre ces opérations faisant également intervenir uniquement des limites projectives finies. Une espèce de structure algébrique peut être définie par la donnée d’une � structure universelle � vivant dans une petite catégorie admettant des limites projectives pertinentes, un modèle ensembliste d’une telle structure étant un foncteur de cette catégorie dans celle des ensembles, commutant aux dites limites projectives. Cette structure universelle n’est pas absolument canonique : elle dépend du choix d’une classe de limites projectives finies considérées comme pertinentes.

Par exemple, si on veut définir l’espèce de structure de magma (ensemble muni d’une seule opération binaire, ne satisfaisant aucune propriété particulière), on peut estimer que les limites projectives pertinentes sont les produits binaires (mais rien n’empêche d’être plus exigeant). On commence alors par construire la catégorie universelle C_{0} admettant des produits binaires, engendrée par un seul objet X (catégorie équivalente à la catégorie opposée à celle des ensembles finis non vides, l’objet X correspondant au singleton {∗}). Le couple (C_{0}, X) satisfait à la propriété universelle suivante. Pour toute catégorie C admettant des produits binaires, et tout objet X de C, il existe un foncteur F : C_{0} → C, unique à isomorphisme unique près, commutant aux produits binaires, et tel que F (X) = X, autrement dit tel que le triangle

\xymatrix{e \ar[r]^{X} \ar[dr]_{X} & C_{0} \ar[d]^{F} \\  & C & ,}

où e désigne la catégorie ponctuelle et X, X les foncteurs de source la catégorie ponctuelle définis par ces objets, soit commutatif. Ensuite, on peut construire la catégorie C obtenue de C_{0} en adjoignant formellement une flèche m : X × X → X, et en exigeant que le foncteur C_{0} → C commute aux produits binaires (cette construction universelle étant toujours possible). La catégorie C, munie de l’objet X (en notant aussi X l’image dans C de l’objet X de C_{0}) et de la flèche m, satisfait à la propriété universelle suivante. Pour toute catégorie C admettant des produits binaires, tout objet X de C, et toute flèche m : X × X → X, il existe un foncteur F : C → C, unique à isomorphisme unique près, commutant aux produits binaires, et tel que F (X) = X et F (m) = m.

\xymatrix{e \ar[r]^{X} \ar[drr]_{X} & C_{0} \ar[r]^{can} \ar@{-->}[dr] & C \ar@{-->}[d]^{F} \\  &  & C}

Ainsi, la catégorie des magmas est équivalente à celle des foncteurs C → Ens, à valeurs dans la catégorie des ensembles, commutant aux produits binaires. Plus généralement, un magma dans une catégorie C, admettant des produits binaires, peut être défini comme étant un foncteur C → C commutant aux dits produits.

On peut montrer que le foncteur C_{0} → C est fidèle et induit une bijection des ensembles des objets. La classe des flèches homogènes monotones (resp. homogènes) de C est la plus petite classe de flèches de C, stable par composition et produits binaires, et contenant m et les identités (resp. et les isomorphismes). On définit ainsi deux sous-catégories H_{mon} et H de C ayant les mêmes objets que C. Pour tout n ≥ 1, on a

card(Hom_{H_{mon}}(X^{n}, X)) = nombre de parenthésages de n objets
= (n − 1)-ème nombre de Catalan = \frac{(2n − 2)!}{n!(n − 1)!}

et

card ( Hom_{H}(X^{n}, X) ) = \frac{(2n − 2)!}{(n − 1)!} ,

et la composition dans les catégories H_{mon} et H définit une opérade

\xymatrix{n \ar@{|->}[r] & Hom_{H_{mon}}(X^{n}, X)}

et une opérade symétrique

\xymatrix{n \ar@{|->}[r] & Hom_{H}(X^{n}, X) .}

La catégorie des magmas s’identifie à la catégorie des algèbres sur chacune de ses deux opérades. Par ailleurs, toute flèche f de C se décompose de façon unique en f = hg, avec h dans H_{mon} et g dans C_{0}. Ainsi les opérades ci-dessus permettent facilement de reconstruire la catégorie universelle C. Le point de vue de la structure universelle et le point de vue des opérades sont essentiellement équivalents. Le premier est celui de Grothendieck. Le second inspire le travail de Batanin.

2. La définition des ∞-groupoïdes

Le principe de la définition. — L’espèce de structure des ∞-groupoïdes (non stricts) sera définie en construisant une catégorie universelle C stable par un certain type de limites projectives finies, les produits fibrés itérés standard, et un ∞-groupoïde sera un foncteur C → Ens commutant à ces limites projectives. Le rôle de la catégorie ponctuelle e sera joué ici par la catégorie opposée 𝔾 à la catégorie globulaire.

La catégorie 𝔾. — La catégorie 𝔾 est la catégorie engendrée par le graphe

[figure: F_{0}; F_{1}; t_{1}; s_{1}; ⋯; t_{2}; s_{2}; F_{i−1}; t_{i−1}; s_{i−1}; F_{i}; t_{i}; s_{i}; ⋯; t_{i+1}; s_{i+1}] ,

soumis aux relations

s_{i−1}s_{i} = s_{i−i}t_{i} ,  t_{i−1}s_{i} = t_{i−i}t_{i} ,  i ≥ 2 ,

de sorte que si on pose

s_{l}^{i} = s_{i−l+1} ⋯ s_{i−1}s_{i} ,  t_{l}^{i} = t_{i−l+1} ⋯ t_{i−1}t_{i} ,  1 ≤ l ≤ i ,

on ait

Hom_{𝔾}(F_{i}, F_{i′}) = \{ \begin{matrix}\{s_{i−i′}^{i} , t_{i−i′}^{i}\} ,  i′ < i \\ \{1_{F_{i}}\}  ,  i′ = i \\ ∅  sinon . \end{matrix}

Les produits fibrés itérés standard. — Soit 𝔾 → C un foncteur à valeurs dans une catégorie C, et notons F_{i}, s_{i}, t_{i}, s_{l}^{i}, t_{l}^{i} les images de F_{i}, s_{i}, t_{i}, s_{l}^{i}, t_{l}^{i} dans C. Un produit fibré itéré standard de longueur m dans C est un produit fibré itéré de la forme

X = ((F_{i_{1}} ×_{F_{i′_{1}}} F_{i_{2}}) ×_{F_{i′_{2}}} F_{i_{3}}) ×_{F_{i′_{3}}} ⋯ ×_{F_{i{′ \atop m−1}}}F_{i_{m}}

défini récursivement comme suit :

a) pour tout i ≥ 0, F_{i} est un produit fibré itéré standard de longueur 1 ; b) si X = ((F_{i_{1}} ×_{F_{i′_{1}}} F_{i_{2}})×_{F_{i′_{2}}} F_{i_{3}})×_{F_{i′_{3}}} ⋯×_{F_{i{′ \atop m−1}}}F_{i_{m}} est un produit fibré itéré stan-

dard de longueur m, X → F_{i′} le composé d’une projection X → F_{i_{k}}, 1 ≤ k ≤ m, et d’une flèche F_{i_{k}} → F_{i′} image d’un morphisme de 𝔾, et F_{i} → F_{i′} l’image d’une flèche de 𝔾, alors X ×_{F_{i′}} F_{i} est un produit fibré itéré standard de longueur m+1.

On peut vérifier sans difficulté qu’un produit fibré itéré standard est une limite projective finie indexée par un ensemble ordonné d’un type très particulier, facile à décrire.

Les extensions cocellulaires. — On dit qu’un foncteur 𝔾 → C est une extension cocellulaire si les produits fibrés itérés standard existent dans C. Par exemple, tout foncteur de 𝔾 vers une catégorie admettant des limites projectives finies est une extension cocellulaire. Un morphisme d’une extension cocellulaire 𝔾 → C vers une autre 𝔾 → C′ est un foncteur C → C′ commutant aux produits fibrés itérés standard tel que le triangle

\xymatrix{ & C \ar[dd] \\ 𝔾 \ar[ur] \ar[dr] \\  & C′}

soit commutatif. Il existe une extension cocellulaire universelle 𝔾 → C_{0}, appelée enveloppe cocellulaire de 𝔾, satisfaisant à la propriété universelle suivante. Pour toute extension cocellulaire 𝔾 → C, il existe un morphisme d’extensions cocellulaires de 𝔾 → C_{0} vers 𝔾 → C, unique à isomorphisme de foncteurs unique près.

Couples admissibles de flèches. — Soit 𝔾 → C un foncteur. On dit qu’un couple de flèches de C

\xymatrix{X \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & F_{i}}

est admissible si i = 0, ou si i > 0 et

s_{i}f = s_{i}g  et  t_{i}f = t_{i}g .

Un relèvement du couple de flèches (f, g) est un morphisme h : X → F_{i+1} de C tel que

f = s_{i+1}h et g = t_{i+1}h .

Pour que le couple (f, g) admette un relèvement, il faut qu’il soit admissible. Un couple strictement admissible est un couple admissible qui n’admet pas de relèvement.

Tours de définition de cohérateur. — Une tour de définition de cohérateur (resp. de cohérateur réduit) est une � tour � d’extension cocellulaires

\xymatrix{𝔾 \ar[r] & C_{0} \ar[r] & C_{1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{n} \ar[r] & C_{n+1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{∞} = \underrightarrow{lim} C_{n}} ,

où pour tout n ≥ 0, C_{n} est une petite catégorie et C_{n} → C_{n+1} un morphisme d’extensions cocellulaires, satisfaisant aux conditions suivantes :

a) tout couple de flèches admissible de C_{∞} admet un relèvement ; b_{0}) 𝔾 → C_{0} est une enveloppe cocellulaire ;

b) pour tout n ≥ 0, il existe un ensemble de couples admissibles (resp. strictement admissibles) de flèches de C_{n} tel que C_{n+1} soit l’extension cocellulaire obtenue de C_{n} par adjonction formelle d’un relèvement pour chaque couple appartenant à cet ensemble.

La condition (b) signifie exactement qu’il existe un ensemble E de couples admissibles (resp. strictement admissibles) de flèches de C_{n}, et pour tout couple e = (f, g) appartenant à E un relèvement h_{e} du couple (f, g) dans C_{n+1} (où on note aussi f, g l’image de f, g par le foncteur C_{n} → C_{n+1}) satisfaisant à la propriété universelle suivante. Pour toute extension cocellulaire 𝔾 → C, et tout morphisme d’extensions cocellulaires C_{n} → C, si pour tout e = (f, g) appartenant à E, h_{e} est un relèvement du couple (f, g), image de (f, g) dans C, alors il existe un unique morphisme d’extensions cocellulaires F : C_{n+1} → C tel que pour tout e dans E, h_{e} = F (h_{e}) et rendant commutatif le triangle

\xymatrix{C_{n} \ar[r] \ar[dr] & C_{n+1} \ar[d]^{F} \\  & C & .}

Une construction catégorique très générale permet d’affirmer que pour tout ensemble E, comme ci-dessus, une telle extension cocellulaire C_{n+1} existe, et C_{n} → C_{n+1} induit une bijection sur les ensembles des objets (et il semblerait que ce foncteur soit fidèle). En prenant pour E l’ensemble de tous les couples admissibles ou strictement admissibles, on déduit facilement l’existence de tours de définition de cohérateur ou de cohérateur réduit. Une tour de cohérateur canonique est une tour de cohérateur réduit construite de proche en proche en prenant l’ensemble de tous les couples strictement admissibles. Une telle tour ne dépend, à isomorphisme unique près, que du choix d’une enveloppe cocellulaire C → C_{0}, qui est unique à équivalence de catégorie près.

Cohérateurs. — Un cohérateur (resp. cohérateur réduit, resp. cohérateur canonique) est une extension cocellulaire 𝔾 → C telle qu’il existe une tour de définition de cohérateur (resp. de cohérateur réduit, resp. de cohérateur canonique)

\xymatrix{𝔾 \ar[r] & C_{0} \ar[r] & C_{1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{n} \ar[r] & C_{n+1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{∞} = \underrightarrow{lim} C_{n}}

telle qu’il existe une équivalence de catégories C ≃ C_{∞} qui soit un morphisme d’extensions cocellulaires. Par abus de langage, on dira parfois que C est un cohérateur.

Les ∞-groupoïdes. — Soit C un cohérateur. Un ∞-groupoïde de type C est un foncteur G : C → Ens commutant aux produits fibrés itérés standard. Un ∞-groupoïde est un ∞-groupoïde de type un cohérateur canonique. Un morphisme d’un ∞-groupoïde G : C → Ens de type C vers un autre G′ : C → Ens est un morphisme de foncteurs G → G′. Ainsi un morphisme d’∞-groupoïdes respecte strictement la structure d’∞-groupoïde. Deux cohérateurs différents peuvent donner naissance à des catégories non équivalentes d’∞-groupoïdes. En revanche s’ils sont des cohérateurs canoniques les catégories correspondantes d’∞-groupoïdes sont équivalentes. Dans le cas général, on s’attend seulement à ce que pour tout couple de cohérateurs C et C′, les � ∞-catégories � (à définir) des ∞-groupoïdes de type C et C′ soient � ∞-équivalentes �.

Quelques flèches structurales. — On se fixe un cohérateur 𝔾 → C. On note aussi F_{i}, s_{i}, t_{i}, s_{l}^{i}, t_{l}^{i} les images de F_{i}, s_{i}, t_{i}, s_{l}^{i}, t_{l}^{i} dans C. En utilisant le fait que tout couple de flèches admissibles possède un relèvement dans C, on en déduit d’autres flèches constituant la structure � primaire �. De ces dernières, en itérant ce procédé, on obtient les flèches formant la structure � secondaire �, et puis la structure � ternaire �, etc.

Quelques flèches structurales � primaires �.

– Composition ∗_{1}^{i} , i ≥ 1 .

[figure: F_{i}; t_{i}; s_{i}; (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}); ∗_{1}^{i}; s_{i} pr_{2}; t_{i} pr_{1}; F_{i−1}]

Si i ≥ 2, on a

s_{i−1}s_{i} pr_{2} = s_{i−1}t_{i} pr_{2} = s_{i−1}s_{i} pr_{1} = s_{i−1}t_{i} pr_{1} ,
t_{i−1}s_{i} pr_{2} = t_{i−1}t_{i} pr_{2} = t_{i−1}s_{i} pr_{1} = t_{i−1}t_{i} pr_{1} ,

ce qui implique que le couple (s_{i} pr_{2}, t_{i} pr_{1}) est admissible, et qu’il existe donc une flèche ∗_{1}^{i} telle que

s_{i} ∘ ∗_{1}^{i} = s_{i} pr_{2}  et  t_{i} ∘ ∗_{1}^{i} = t_{i} pr_{1} .

– Composition triple ∗∗_{1}^{i} , i ≥ 1 .

[figure: F_{i}; t_{i}; s_{i}; (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}); ∗∗_{1}^{i}; s_{i} pr_{3}; t_{i} pr_{1}; F_{i−1}]

INFINI GROUPOÏDES D’APRÈS GROTHENDIECK 11

Si i ≥ 2, on a s_{i−1}s_{i} pr_{3} = s_{i−1}t_{i} pr_{3} = s_{i−1}s_{i} pr_{2} = s_{i−1}t_{i} pr_{2} = s_{i−1}s_{i} pr_{1} = s_{i−1}t_{i} pr_{1} , t_{i−1}s_{i} pr_{3} = t_{i−1}t_{i} pr_{3} = t_{i−1}s_{i} pr_{2} = t_{i−1}t_{i} pr_{2} = t_{i−1}s_{i} pr_{1} = t_{i−1}t_{i} pr_{1} ,

ce qui implique que le couple (s_{i} pr_{3}, t_{i} pr_{1}) est admissible, et qu’il existe donc une flèche ∗∗_{1}^{i} telle que

s_{i} ∘ ∗∗_{1}^{i} = s_{i} pr_{3} et t_{i} ∘ ∗∗_{1}^{i} = t_{i} pr_{1} .

– Unités k_{i}, i ≥ 0.

\xymatrix{ & F_{i+1} \ar[d]^{t_{i+1}} \ar[d]_{s_{i+1}} \\ F_{i} \ar[r]^{1_{F_{i}}} \ar[r]_{1_{F_{i}}} \ar@{-->}[ur]^{k_{i}} & F_{i}}

Le couple (1_{F_{i}}, 1_{F_{i}}) est admissible, et il existe donc une flèche k_{i} telle que

s_{i+1}k_{i} = 1_{F_{i}} = t_{i+1}k_{i} .

– Inverses inv_{1}^{i}, i ≥ 1.

\xymatrix{ & F_{i} \ar[d]^{t_{i}} \ar[d]_{s_{i}} \\ F_{i} \ar[r]^{t_{i}} \ar[r]_{s_{i}} \ar@{-->}[ur]^{_{inv{i \atop 1}}} & F_{i−1}}

Si i ≥ 2, les égalités

s_{i−1}t_{i} = s_{i−1}s_{i} et t_{i−1}t_{i} = t_{i−1}s_{i}

impliquent que le couple (t_{i}, s_{i}) est admissible, et par suite, qu’il existe une flèche inv_{1}^{i} telle que

s_{i} inv_{1}^{i} = t_{i} et t_{i} inv_{1}^{i} = s_{i} .

Quelques flèches structurales � secondaires �.

– Composition ∗_{2}^{i} , i ≥ 2 .

[figure: F_{i}; t_{i}; s_{i}; (F_{i}, s_{2}^{i}) ×_{F_{i−2}} (t_{2}^{i}, F_{i}); ∗_{2}^{i}; ∗_{1}^{i−1}(s_{i}×_{F_{i−2}} s_{i}); ∗_{1}^{i−1}(t_{i}×_{F_{i−2}} t_{i}); t_{i}×_{F_{i−2}} t_{i}; s_{i}×_{F_{i−2}} s_{i}; F_{i−1}; (F_{i−1}, s_{i−1}) ×_{F_{i−2}} (t_{i−1}, F_{i−1}); ∗_{1}^{i−1}]

Comme on a les égalités

s_{i−1} ∗_{1}^{i−1} (s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) = s_{i−1} pr_{2} (s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) = s_{i−1}s_{i} pr_{2}

s_{i−1} ∗_{1}^{i−1} (t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) = s_{i−1} pr_{2} (t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) = s_{i−1}t_{i} pr_{2} = s_{i−1}s_{i} pr_{2}

t_{i−1} ∗_{1}^{i−1} (s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) = t_{i−1} pr_{1} (s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) = t_{i−1}s_{i} pr_{1}

t_{i−1} ∗_{1}^{i−1} (t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) = t_{i−1} pr_{1} (t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) = t_{i−1}t_{i} pr_{1} = t_{i−1}s_{i} pr_{1} ,

le couple ( ∗_{1}^{i−1}(s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) , ∗_{1}^{i−1}(t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) ) est admissible, et il existe donc une flèche ∗_{2}^{i} telle que

s_{i} ∗_{2}^{i} = ∗_{1}^{i−1}(s_{i} ×_{F_{i−2}} s_{i}) et t_{i} ∗_{2}^{i} = ∗_{1}^{i−1}(t_{i} ×_{F_{i−2}} t_{i}) .

– Inverses inv_{2}^{i} , i ≥ 2 .

\xymatrix{ & F_{i} \ar[d]^{t_{i}} \ar[d]_{s_{i}} \\ F_{i} \ar[r]^{inv_{1}^{i−1}s_{i}} \ar[r]_{inv_{1}^{i−1}t_{i}} \ar@{-->}[ur]^{_{inv{i \atop 2}}} & F_{i−1}}

Comme on a les égalités s_{i−1} inv_{1}^{i−1} s_{i} = t_{i−1}s_{i} = t_{i−1}t_{i} = s_{i−1} inv_{1}^{i−1} t_{i} ,

t_{i−1} inv_{1}^{i−1} s_{i} = s_{i−1}s_{i} = s_{i−1}t_{i} = t_{i−1} inv_{1}^{i−1} t_{i} ,

le couple (inv_{1}^{i−1}s_{i}, inv_{1}^{i−1}t_{i}) est admissible, et il existe donc une flèche inv_{2}^{i} telle que

s_{i} inv_{2}^{i} = inv_{1}^{i−1} s_{i} et t_{i} inv_{2}^{i} = inv_{1}^{i−1} t_{i} .

– Contrainte d’associativité α_{1}^{i} , i ≥ 1 .

[figure: F_{i+1}; t_{i+1}; s_{i+1}; (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}); _{α{i \atop 1}}; ∗_{1}^{i} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}} 1_{F_{i}}); ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}); 1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}; ∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}} 1_{F_{i}}; F_{i}; (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}); ∗_{1}^{i}]

Comme on a les égalités

s_{i} ∗_{1}^{i} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) = s_{i} pr_{2} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) = s_{i} pr_{3} ,

s_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) = s_{i} pr_{2} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) = s_{i} ∗_{1}^{i} pr_{23} = s_{i} pr_{2} pr_{23} = s_{i} pr_{3} ,

t_{i} ∗_{1}^{i} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) = t_{i} pr_{1} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) = t_{i} ∗_{1}^{i} pr_{12} = t_{i} pr_{1} pr_{12} = t_{i} pr_{1} ,

t_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) = t_{i} pr_{1} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) = t_{i} pr_{1} ,

le couple ( ∗_{1}^{i} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) , ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) ) est admissible, et il existe donc une flèche α_{1}^{i} telle que

s_{i+1}α_{1}^{i} = ∗_{1}^{i} (∗_{1}^{i} ×_{F_{i−1}}1_{F_{i}}) et t_{i+1}α_{1}^{i} = ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ×_{F_{i−1}} ∗_{1}^{i}) .

– Contrainte d’unité à droite ρ_{1}^{i} , i ≥ 1 .

\xymatrix{ &  & F_{i+1} \ar[dd]^{t_{i+1}} \ar[dd]_{s_{i+1}} \\  & _{ρ{i \atop 1}} \ar[ur] \\ F_{i} \ar[rr]^{∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ,k_{i−1}s_{i})} \ar[rr]_{1_{F_{i}}} &  & F_{i}}

Comme on a les égalités

s_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i}) = s_{i} pr_{2} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i}) = s_{i}k_{i−1}s_{i} = s_{i} ,

t_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i}) = t_{i} pr_{1} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i}) = t_{i} ,

le couple ( ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i}) , 1_{F_{i}}) est admissible, et il existe donc une flèche ρ_{1}^{i} telle que

s_{i+1}ρ_{1}^{i} = ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, k_{i−1}s_{i})  et  t_{i+1}ρ_{1}^{i} = 1_{F_{i}} .

– Contrainte d’inverse à droite δ_{1}^{i} , i ≥ 1 .

\xymatrix{ &  & F_{i+1} \ar[dd]^{t_{i+1}} \ar[dd]_{s_{i+1}} \\  & _{δ{i \atop 1}} \ar[ur] \\ F_{i} \ar[rr]^{∗_{1}^{i} (1_{F_{i}} ,inv_{1}^{i})} \ar[rr]_{k_{i−1}t_{i}} &  & F_{i}}

Comme on a les égalités

s_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i}) = s_{i} pr_{2} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i}) = s_{i}inv_{1}^{i} = t_{i} = s_{i}k_{i−1}t_{i} ,

t_{i} ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i}) = t_{i} pr_{1} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i}) = t_{i} = t_{i}k_{i−1}t_{i} ,

le couple ( ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i}) , k_{i−1}t_{i}) est admissible, et il existe donc une flèche δ_{1}^{i} telle que

s_{i+1}δ_{1}^{i} = ∗_{1}^{i} (1_{F_{i}}, inv_{1}^{i})  et  t_{i+1}δ_{1}^{i} = k_{i−1}t_{i} .

Les groupes d’homotopie d’un ∞-groupoïde. — On se fixe un cohérateur C et un ∞-groupoïde G : C → Ens. On note

F_{i} , s_{i} , t_{i} , s_{l}^{i} , t_{l}^{i} , k_{i} , ∗_{l}^{i} , inv_{l}^{i} , etc.

les structures � universelles � dans C et

F_{i} , s_{i} , t_{i} , s_{l}^{i} , t_{l}^{i} , k_{i} , ∗_{l}^{i} , inv_{l}^{i} , etc.

leurs images par le foncteur G : C → Ens.

Pour tout i ≥ 0, on définit une relation � d’homotopie � ∼_{i} dans F_{i} par

f ∼_{i} g ⟺^{df} ∃h ∈ F_{i+1} s_{i+1}h = f , t_{i+1}h = g .

La relation d’homotopie est une relation d’équivalence.

a) Réflexivité. Soit f ∈ F_{i}. On a

s_{i+1}(k_{i}f) = f  et  t_{i+1}(k_{i}f) = f .

b) Symétrie. Soient f, g ∈ F_{i} tels que f ∼_{i} g. Alors il existe h ∈ F_{i+1} tel que s_{i+1}h = f et t_{i+1}h = g, et on a

s_{i+1}(inv_{1}^{i+1}h) = t_{i+1}h = g  et  t_{i+1}(inv_{1}^{i+1}h) = s_{i+1}h = f .

c) Transitivité. Soient f_{0}, f_{1}, f_{2} ∈ F_{i} tels que f_{0} ∼_{i} f_{1} et f_{1} ∼_{i} f_{2}. Alors il existe h_{1}, h_{2} ∈ F_{i+1} tels que

s_{i+1}h_{1} = f_{0} , t_{i+1}h_{1} = f_{1} , s_{i+1}h_{2} = f_{1} , t_{i+1}h_{2} = f_{2} ,

et en particulier (h_{2}, h_{1}) ∈ (F_{i+1}, s_{i+1}) ×_{F_{i}} (t_{i+1}, F_{i+1}). Si on pose h = h_{2} ∗_{1}^{i+1} h_{1},

on a s_{i+1}h = s_{i+1}h_{1} = f_{0} et t_{i+1}h = t_{i+1}h_{2} = f_{2}, ce qui prouve que f_{0} ∼_{i} f_{2}. On note F̄_{i} l’ensemble quotient F_{i}/∼_{i} de F_{i} par la relation d’équivalence ∼_{i}. On appelle ensemble de composantes connexes de G, et on note Π_{0}(G), l’ensemble F̄_{0}.

Supposons dans la suite que i ≥ 1. On remarque que si f ∼_{i} g, f, g ∈ F_{i}, alors on a

s_{i}f = s_{i}g  et  t_{i}f = t_{i}g

(mais bien entendu la réciproque est en générale fausse ; à ne pas confondre avec la propriété définissant un cohérateur). Les applications s_{i}, t_{i} : F_{i} → F_{i−1} induisent donc, par passage au quotient, des applications s̄_{i}, t̄_{i} : F̄_{i} → F_{i−1}. D’autre part, la relation d’équivalence ∼_{i} est compatible à la composition ∗_{1}^{i}. Soient par exemple (g_{1}, f), (g_{2}, f) ∈ (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}), et supposons que g_{1} ∼_{i} g_{2}. Alors g_{1} ∗_{1}^{i} f ∼_{i} g_{2} ∗_{1}^{i} f. En effet, par hypothèse, il existe h ∈ F_{i+1} tel que s_{i+1}h = g_{1} et t_{i+1}h = g_{2}. Alors si on pose h′ = h ∗_{2}^{i+1} k_{i}f, on a

s_{i+1}h′ = s_{i+1}h ∗_{1}^{i} s_{i+1}k_{i}f = g_{1} ∗_{1}^{i} f  et  t_{i+1}h′ = t_{i+1}h ∗_{1}^{i} t_{i+1}k_{i}f = g_{2} ∗_{1}^{i} f ,

ce qui prouve l’assertion. De même, si (g, f_{1}), (g, f_{2}) ∈ (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}), et si

f_{1} ∼_{i} f_{2}, alors g ∗_{1}^{i} f_{1} ∼_{i} g ∗_{1}^{i} f_{1}. L’application ∗_{1}^{i} : (F_{i}, s_{i}) ×_{F_{i−1}} (t_{i}, F_{i}) → F_{i}, induit

donc une application (F̄_{i}, s̄_{i}) ×_{F_{i−1}} (t̄_{i}, F̄_{i}) → F̄_{i}, définissant ainsi une catégorie G_{i} dont l’ensemble des objets est F_{i−1} et l’ensemble des flèches F̄_{i}. On vérifie facilement que cette catégorie est un groupoïde.

Soit x un objet de G, x ∈ F_{0}. On appelle i-ème groupe d’homotopie de G en x, et on note π_{i}(G; x), le groupe

π_{i}(G; x) = Hom_{G_{i}}(k_{i−1}^{0}(x), k_{i−1}^{0}(x)) ,

où pour tous j ≥ 0, l ≥ 0, k_{l}^{j} : F_{j} → F_{j+l} désigne l’application k_{l}^{j} = k_{j+l−1} ⋯ k_{j+1}k_{j}, définie par les unités.

Les équivalences faibles d’∞-groupoïdes. — On dit qu’un morphisme de ∞-groupoïdes f : G → G′ est une équivalence faible ou ∞-équivalence si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

a) l’application Π_{0}(f) : Π_{0}(G) → Π_{0}(G′), induite par f, est bijective ;

b) pour tout i ≥ 1, et tout objet x de G, π_{i}(f; x) : π_{i}(G; x) → π_{i}(G′, f(x)) est un isomorphisme de groupes.

3. Les conjectures

Conjecture 1 (Grothendieck). — Pour tout cohérateur C la localisation de la catégorie des ∞-groupoïdes de type C par les ∞-équivalences est une catégorie équivalente à Hot, la catégorie homotopique des CW-complexes

Une stratégie pour prouver la conjecture. — On rappelle que la catégorie Hot est équivalente à la catégorie de tous les espaces topologiques localisée par les équivalences faibles topologiques, où à celle des ensembles simpliciaux localisée par les équivalences faibles simpliciales, ou encore à celle des petites catégories localisée par les équivalences faibles catégoriques, foncteurs dont l’image par le nerf est une équivalence faible simpliciale. On note Cat la catégorie des petites catégories et W_{Cat} la classe des équivalences faibles catégoriques, de sorte qu’on ait une équivalence de catégories Hot ≃ W_{Cat}^{−1} Cat. Pour toute petite catégorie A, on note Â la catégorie des préfaisceaux sur A, et i_{A} : Â → Cat le foncteur associant à un préfaisceau X la catégorie A/X de ses sections. On pose WÂ = i_{A}^{−1}(W_{Cat}).

Soit C un cohérateur. On note B la catégorie opposée à C, B = C^{∘}, et C - Gr la catégorie des ∞-groupoïdes de type C. La catégorie C - Gr s’identifie à une souscatégorie pleine de la catégorie des préfaisceaux B̂ sur B, définie par des propriétés d’exactitude à gauche, et un résultat catégorique général implique que le foncteur d’inclusion

i : C - Gr [figure]B̂

admet un adjoint à gauche r, identifiant C - Gr à une localisation de B̂.

La conjecture de Grothendieck est conséquence de la conjonction des quatre conjectures suivantes.

Conjecture A. — La catégorie B est une catégorie test [4], [5], [6].

On rappelle que cela signifie en particulier que le foncteur i_{B} : B̂ → Cat induit une équivalence des catégories localisées W −1 ; B̂B̂ →^{∼} W_{Cat}^{−1} Cat ≃ Hot. D’autre part, il existe alors une structure de catégorie de modèles fermée sur B̂ dont les équivalences faibles sont les flèches de B̂ appartenant à WB̂, et dont les cofibrations sont les monomorphismes de B̂, appelée catégorie de modèles de Grothendieck-Cisinski [4], [5], [2].

Conjecture B. — Un morphisme de C - Gr est une équivalence faible d’∞-groupoïdes de type C si et seulement si son image par le foncteur d’inclusion i : C - Gr ↪ B̂ appartient à WB̂.

Conjecture C. — Le couple de foncteurs adjoints (r, i) satisfait aux hypothèses du théorème de Crans [2], [3], permettant de déduire de la structure de Grothendieck-Cisinski sur B̂ une structure de catégorie de modèles fermée sur C - Gr ayant comme équivalences faibles (resp. comme fibrations) les morphismes dont l’image par le foncteur d’inclusion i : C - Gr ↪ B̂ est une équivalence faible (resp. une fibration) de B̂, faisant du couple (r, i) une adjonction de Quillen.

Conjecture D. — L’adjonction de Quillen (r, i) est une équivalence de Quillen.

4. L’∞-groupoïde fondamental d’un espace topologique

La catégorie 𝔻. — La catégorie 𝔾 est la catégorie opposée à la catégorie � globulaire � 𝔻 sous-catégorie (non pleine) de la catégorie Top, des espaces topologiques et applications continues, dont les objets sont les disques (ou boules) D_{i}, i ≥ 0,

D_{i} = {x ∈ ℝ^{i} | ∥x∥ ≤ 1} ,

où ∥x∥ désigne la norme euclidienne de x, et dont les morphismes sont les composés itérés des inclusions

σ_{i}, τ_{i} : D_{i−1} [figure]D_{i} , i > 0 ,

définies par

σ_{i}(x) = (x, −\sqrt{1 − ∥x∥^{2}} ) ,  τ_{i}(x) = (x, \sqrt{1 − ∥x∥^{2}} ) ,  x ∈ D_{i−1} .

Les applications σ_{i} et τ_{i} se factorisent par

S_{i−1} = ∂D_{i} = {x ∈ ℝ^{i} | ∥x∥ = 1} ,

et identifient D_{i−1} à l’hémisphère inférieur, respectivement supérieur de S_{i−1}. On remarque que toutes les flèches de 𝔻 sont des cofibrations triviales de Top.

Les sommes amalgamées itérés standard. — On peut donner une description topologique de la catégorie opposée B_{0} à l’enveloppe cocellulaire C_{0} de la catégorie 𝔾. Étant donné un foncteur 𝔾^{∘} ≃ 𝔻 → B, à valeurs dans une catégorie B, on définit la notion de somme amalgamée itérée standard de façon duale à celle de produit fibré itéré standard. De même, les notions d’extension cellulaire de 𝔻, et d’enveloppe cellulaire sont duales à celles d’extension cocellulaire et d’enveloppe cocellulaire. L’inclusion 𝔻 ↪ Top est une extension cellulaire, puisque la catégorie Top admet des limites inductives. L’enveloppe cellulaire B_{0} de 𝔻 admet une description topologique simple. Un objet de B_{0} est une somme amalgamée itérée standard

X = (D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}}) ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}}

dans Top, munie des applications canoniques D_{i_{k}} → X, 1 ≤ k ≤ m. Pour définir les morphismes dans la catégorie B_{0}, il suffit de définir les flèches d’un disque D_{i} vers X. Par définition, c’est les applications continues D_{i} → X telles qu’il existe k, 1 ≤ k ≤ m, et une flèche D_{i} → D_{i_{k}} dans 𝔻, telle que D_{i} → X soit le composé de cette flèche et de l’application canonique D_{i_{k}} → X. On démontre facilement, par récurrence sur la longueur m de la somme amalgamée X, que les flèches canoniques D_{i_{k}} → X sont des cofibrations triviales, et en particulier que les sommes amalgamées itérées standard dans Top sont des espaces topologiques contractiles.

L’∞-groupoïde fondamental d’un espace topologique. — Soit C un cohérateur. Pour associer fonctoriellement à chaque espace topologique un ∞-groupoïde de type C, il suffit de définir un ∞-cogroupoïde de type C dans Top, autrement dit, un foncteur

\xymatrix{C \ar[r] & Top^{∘}}

commutant aux produits fibrés itérés standard, l’∞-groupoïde fondamental d’un espace topologique X étant alors le composé de ce foncteur avec le foncteur

\xymatrix{Hom_{Top}( ? , X) : Top^{∘} \ar[r] & Ens}

(qui commute aux limites projectives). Soient

\xymatrix{𝔾 \ar[r] & C_{0} \ar[r] & C_{1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C_{n} \ar[r] & C_{n+1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & C ≃ \underrightarrow{lim} C_{n}}

une tour de définition du cohérateur C et

\xymatrix{𝔻 \ar[r] & B_{0} \ar[r] & B_{1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & B_{n} \ar[r] & B_{n+1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & B ≃ \underrightarrow{lim} B_{n}}

la tour opposée. Il s’agit de construire un foncteur B → Top commutant aux sommes amalgamées itérées standard. Or, on dispose déjà d’un foncteur évident B_{0} → Top. Il suffit donc de prouver qu’on peut prolonger un foncteur B_{n} → Top, commutant aux sommes amalgamées itérées standard, en un foncteur B_{n+1} → Top, commutant à ces limites inductives. En vertu de la propriété universelle de B_{n+1}, duale de celle de C_{n+1}, il suffit de montrer que pour toute somme amalgamée itérée standard X dans Top, tout i ≥ 0, et tout couple f, g : D_{i} → X d’applications continues, telles que si i > 0, on ait les égalités

fσ_{i} = gσ_{i}  et  fτ_{i} = gτ_{i} ,

il existe une application continue h : D_{i+1} → X telle que

f = hσ_{i+1}  et  g = hτ_{i+1} .
\xymatrix{D_{i+1} \ar@{-->}[dr]^{h} \\ D_{i} \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} \ar[u]^{σ_{i+1}} \ar[u]_{τ_{i+1}} & X}

Comme X → ∗, où ∗ désigne l’espace ponctuel, est une fibration triviale, et l’inclusion S_{i} ↪ D_{i+1} une cofibration, cela résulte de la propriété de relèvement des carrés

\xymatrix{S_{i} = D_{i} ⨿_{S_{i−1}} D_{i} \ar@{^{(}->}[d]_{(σ_{i+1},τ_{i+1})} \ar[r]^{(f,g)} & X \ar[d] \\ D_{i+1} \ar@{-->}[ur]^{h} \ar[r] & * & .}

Le foncteur B → Top ainsi défini dépend du choix des relèvements h.

Conjecture 2 (Grothendieck). — Deux prolongements arbitraires du foncteur évident B_{0} → Top en des foncteurs B → Top commutant aux sommes amalgamées itérés standard définissent, pour chaque espace topologique, des ∞-groupoïdes isomorphes dans la catégorie localisée par les équivalences faibles d’∞-groupoïdes.

L’∞-groupoïde d’un objet d’une catégorie de modèles. — Une construction analogue peut se faire dans n’importe quelle catégorie de modèles de Quillen M dont tous les objets sont fibrant. En vertu de la conjecture 1, on obtient ainsi un foncteur M → Hot.

Conjecture 3. — Ce foncteur associe à tout objet X de M le RHom non additif RHom_{M}(∗, X), où ∗ désigne un objet final de M, autrement dit le type d’homotopie du Hom simplicial du localisé de Dwyer-Kan de M par les équivalences faibles.

Références

[1] M. A. Batanin – � Monoidal globular categories as natural environment for the theory of weak n-categories �, Advances in Mathematics 136 (1998), p. 39–103.

[2] D.-C. Cisinski – � Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie �, Astérisque 308 (2006).

[3] S. E. Crans – � Quillen closed model structures for sheaves �, J. Pure Appl. Algebra 101 (1995), p. 35–57.

[4] A. Grothendieck – � Pursuing stacks �, Manuscrit, 1983, à paraître dans Documents Mathématiques.

[5] , � Les dérivateurs �, Manuscrit, 1990, www.math.jussieu.fr/ maltsin/groth /Derivateurs.html.

[6] G. Maltsiniotis – � La théorie de l’homotopie de Grothendieck �, Astérisque 301 (2005), p. 1–140.

[7] , � Infini catégories non strictes, une nouvelle définition �, Preprint, 2007, www.math.jussieu.fr/ maltsin.

Georges MALTSINIOTIS, Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris 7 Denis Diderot,

Case Postale 7012, 2, place Jussieu, F-75251 PARIS cedex 05, FRANCE

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