Georges Maltsiniotis

LA THÉORIE DE L’HOMOTOPIE DE GROTHENDIECK

Georges Maltsiniotis Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris 7 Denis Diderot, Case Postale 7012, 2, place Jussieu, F-75251 PARIS cedex 05, FRANCE.

E-mail : maltsin@math.jussieu.fr
Url : http://www.math.jussieu.fr/ maltsin/

Classification mathématique par sujets (2000). — 14F20, 14F35, 18B25, 18F20, 18G10, 18G30, 18G50, 18G55, 55P10, 55P15, 55P60, 55Q05, 55U10, 55U35, 55U40.

Mots clefs. — Asphérique, catégorie test, colimite homotopique, ensemble simplicial, équivalence faible, extension de Kan homotopique, foncteur lisse, foncteur propre, homotopie, localisation, modélisateur, préfaisceau.

LA THÉORIE DE L’HOMOTOPIE DE GROTHENDIECK

Georges Maltsiniotis

Résumé. — Le but de ce livre est d’exposer la très belle théorie de l’homotopie développée par Grothendieck dans “À la poursuite des champs”. Il s’agit de caractériser les catégories de préfaisceaux qui permettent de modéliser les types d’homotopie, généralisant ainsi la théorie des ensembles simpliciaux. Les critères dégagés par Grothendieck montrent que de telles catégories, appelées des modélisateurs élémentaires, abondent. On expose une construction catégorique des extensions de Kan homotopiques à gauche, généralisant une construction des colimites homotopiques par Thomason. On étudie deux classes remarquables de foncteurs, les foncteurs propres et les foncteurs lisses, notions duales l’une de l’autre. Ces foncteurs sont caractérisés par des propriétés cohomologiques, inspirées des théorèmes de changement de base propre ou lisse, en géométrie algébrique.

Abstract (Grothendieck’s homotopy theory). — The aim of this book is to explain the very beautiful homotopy theory developed by Grothendieck in “Pursuing Stacks”. The question is to characterize categories of presheaves that modelize homotopy types, thus generalizing the theory of simplicial sets. The criteria discovered by Grothendieck show that there are pretty many such categories, called elementary modelizers. We describe a categorical construction of left homotopy Kan extensions, generalizing a construction of homotopy colimits by Thomason. We study two remarkable classes of functors, proper and smooth functors, these two notions being mutually dual. These functors are characterized by cohomological properties inspired by the proper or smooth base change theorem in algebraic geometry.

TABLE DES MATIÈRES

Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La catégorie homotopique Hot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 La définition simpliciale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 La définition catégorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 La définition toposique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Les modélisateurs et les catégories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Les foncteurs test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Les localisateurs fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Les extensions de Kan homotopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 La catégorie de modèles conjecturée par Grothendieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Foncteurs propres, foncteurs lisses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Le plan du livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. La théorie des catégories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1. Les localisateurs fondamentaux faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2. Les équivalences faibles dans une catégorie de préfaisceaux. . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3. Les catégories test faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4. Segments et homotopie dans une catégorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5. Les catégories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6. Les catégories test strictes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7. Les foncteurs test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.8. Décalages et exemples de catégories test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2. Les localisateurs fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.1. Les propriétés élémentaires des localisateurs fondamentaux. . . . . . . . . . . . . . . 101 2.2. Foncteurs d’intégration et de coïntégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.3. Images directes et composés transfinis d’équivalences faibles. . . . . . . . . . . . . . 115

2.4. Catégories filtrantes et asphéricité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3. Théorie homotopique élémentaire des catégories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.1. Colimites et extensions de Kan homotopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.2. Morphismes propres, lisses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.3. Variation du localisateur fondamental faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Index des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Index Terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

PRÉFACE

Ce texte est une version augmentée de mon livre publié dans Astérisque [21] dont le but était de rendre accessible la très belle théorie de l’homotopie de Grothendieck, telle qu’elle est développée dans “Pursuing Stacks” (“À la poursuite des champs”). La plupart des résultats exposés ici lui sont dus. Dans un autre volume d’Astérisque [10], qui peut être considéré comme la suite de ce livre, Denis-Charles Cisinski prouve deux conjectures énoncées par Grothendieck, et poursuit le développement de la théorie.

La lecture de ce livre ne remplace évidemment pas celle de “Pursuing Stacks”. Son ambition est de rendre cette dernière plus facile, en donnant une exposition plus systématique (et plus “bourbachique”) des idées de Grothendieck. Tous les sujets traités dans “la poursuite” ne sont pas couverts par ces notes. En particulier, il n’est pas fait mention d’infini-groupoïdes, ni d’abélianisation, ou schématisation des types d’homotopie, et l’aspect toposique n’est considéré que dans l’introduction. En outre, la structure de journal “intime” mathématique, qui fait de “Pursuing Stacks” une lecture passionnante, pleine de surprises, et précieuse pour la compréhension de la genèse des concepts, est perdue.

Les principaux ajouts au livre publié sont la section 1.8 sur la théorie des décalages et les exemples de catégories test qui s’en déduisent, en particulier la catégorie Θ de Joyal, la section 3.3 étudiant l’incidence du changement de localisateur fondamental sur les diverses notions introduites dans le livre, des compléments sur la stabilité par limites inductives filtrantes des foncteurs asphériques, coasphériques, propres, lisses, ainsi que des catégories totalement asphériques (2.4.17, 2.4.18, 2.4.19, 3.2.18, 3.2.19), la preuve de Grothendieck que tout foncteur se décompose en une équivalence faible suivie d’un morphisme propre et lisse (3.2.45), et un exemple de catégorie test faible qui est un ensemble ordonné (2.4.22). On a légèrement modifié la définition d’un précontracteur, en exigeant qu’il soit non vide (1.6.17).

Je voudrais remercier Alain Bruguières, Albert Burroni, Bruno Kahn, Bernhard Keller et Fabien Morel pour les innombrables discussions que j’ai eues avec eux, ainsi que tous les participants du groupe de travail “du mercredi soir”. Je voudrais plus particulièrement exprimer ma reconnaissance à Denis-Charles Cisinski pour notre longue et fructueuse collaboration pendant et après la préparation de sa thèse sous ma direction. Je le remercie également de m’avoir autorisé à inclure dans ce texte une version de notre article [12] développant sa théorie des “décalages”. Je voudrais aussi remercier Jonathan Chiche pour les “coquilles” qu’il a trouvées dans la version publiée, et qui sont ici corrigées. Une grande partie de ce livre a été écrite sur l’île de Patmos. J’aimerais exprimer ma gratitude à la famille Vamvakos qui m’héberge sur cette île, et m’épargne tout souci matériel.

Patmos, Paris, Port-en-Bessin, 1997-2012

INTRODUCTION

La catégorie homotopique Hot

La catégorie homotopique Hot est définie classiquement comme étant la catégorie dont les objets sont les CW-complexes, et les morphismes les classes d’homotopie d’applications continues entre CW-complexes. On démontre qu’on obtient une catégorie équivalente en localisant la catégorie Top de tous les espaces topologiques et applications continues, relativement aux équivalences faibles topologiques.

On rappelle que si M désigne une catégorie et W une partie de la classe Fl(M) des flèches de M, il existe (quitte à éventuellement agrandir l’univers de base) une catégorie W^{−1}M (localisée de M relativement à W) et un foncteur γ : M [figure] W^{−1}M (foncteur de localisation) tel que pour tout w ∈ W, γ(w) soit un isomorphisme de W^{−1}M, et qui sont universels pour cette propriété. Autrement dit, pour tout foncteur F : M [figure] M′ tel que pour tout w ∈ W, F (w) soit inversible, il existe un unique foncteur F̃ : W^{−1}M [figure] M′ tel que F = F̃γ.

\xymatrix{M \ar[r]^{γ} \ar[dr]_{F} & W^{−1}M \ar@{-->}[d]^{F̃} \\  & M′}

La catégorie W^{−1}M est construite en inversant formellement les morphismes appartenant à W.

Si l’on note W_{∞} la partie de Fl(Top) formée des équivalences faibles topologiques, autrement dit, des applications continues f : X [figure] Y telles que

(a) π_{0}(f) : π_{0}(X) [figure] π_{0}(Y) soit une application bijective,

(b) pour tout n ⩾ 1, et tout x ∈ X, π_{n}(f, x) : π_{n}(X, x) [figure] π_{n}(Y, f(x)) soit un isomorphisme de groupes,

alors la catégorie homotopique Hot est équivalente à la catégorie W_{∞}^{−1}Top.

La définition simpliciale

La catégorie homotopique peut être également définie, à équivalence de catégories près, en termes d’ensembles simpliciaux. La catégorie des ensembles simpliciaux est la catégorie Δ̂ des préfaisceaux (foncteurs contravariants à valeurs dans la catégorie Ens des ensembles) sur la catégorie Δ des simplexes, catégorie dont les objets sont les ensembles

Δ_{m} = {0, 1, …, m} , m ∈ ℕ ,

ordonnés par l’ordre naturel, et les morphismes les applications croissantes. Les simplexes topologiques standards

Δ_{m}^{Top} = {(x_{0}, x_{1}, …, x_{m}) ∈ ℝ^{m+1} | ∑_{i=0}^{m} x_{i} = 1 , x_{i} ⩾ 0 , 0 ⩽ i ⩽ m}

forment un espace topologique cosimplicial Δ^{Top} (foncteur covariant de Δ dans Top), en définissant, pour tout morphisme φ : Δ_{m} [figure] Δ_{n} de Δ, une application continue

Δ_{φ}^{Top} : Δ_{m}^{Top} [figure] Δ_{n}^{Top}

par

Δ_{φ}^{Top}(x_{0}, x_{1}, …, x_{m}) = (y_{0}, y_{1}, …, y_{n}) , où y_{j} = ∑_{φ(i)=j} x_{i} , 0 ⩽ j ⩽ n .

On en déduit un unique (à isomorphisme unique près) couple de foncteurs adjoints

| . | : Δ̂ [figure] Top , S : Top [figure] Δ̂

(le foncteur de réalisation topologique, et le foncteur ensemble simplicial singulier) tel que la restriction de | . | à la catégorie Δ (identifiée à une sous-catégorie pleine de Δ̂, par le plongement de Yoneda) soit isomorphe au foncteur Δ^{Top} : Δ [figure] Top. Pour tout ensemble simplicial K, l’espace topologique |K| est le quotient

|K| = ∐_{m} Δ_{m}^{Top} × K_{m}/∼ ,

où l’ensemble K_{m} est considéré comme espace topologique discret, et ∼ est la relation d’équivalence engendrée par les relations élémentaires

(x, K_{φ}(y)) ∼ (Δ_{φ}^{Top}(x), y) , φ : Δ_{m} [figure] Δ_{n} ∈ Fl(Δ) , x ∈ Δ_{m}^{Top} , y ∈ K_{n} .

Pour tout espace topologique X, l’ensemble simplicial S(X) est défini par

(S(X))_{m} = Hom_{Top}(Δ_{m}^{Top}, X) , m ⩾ 0 .

Une équivalence faible simpliciale est un morphisme d’ensembles simpliciaux dont la réalisation topologique est une équivalence d’homotopie. Si l’on note W_{∞} la partie de Fl(Δ̂) formée des équivalences faibles, on démontre que la catégorie localisée W_{∞}^{−1}Δ̂ est équivalente à la catégorie homotopique Hot. De façon plus précise, les foncteurs | . | et S sont compatibles aux équivalences faibles, et induisent des équivalences de catégories

W_{∞}^{−1}Δ̂ [figure] W_{∞}^{−1}Top et W_{∞}^{−1}Top [figure] W_{∞}^{−1}Δ̂

quasi-inverses l’une de l’autre (voir par exemple [13]).

La définition catégorique

La catégorie homotopique Hot peut être enfin obtenue, à équivalence de catégories près, comme localisation de la catégorie Cat des petites catégories. L’inclusion Δ [figure] Cat, définie en associant à l’ensemble ordonné Δ_{m}, m ⩾ 0, la catégorie correspondante, fournit un objet cosimplicial de Cat, d’où un couple de foncteurs adjoints

c : Δ̂ [figure] Cat , N : Cat [figure] Δ̂

(le foncteur de réalisation catégorique, et le foncteur nerf ) tel que la restriction de c à Δ soit l’inclusion Δ [figure] Cat. Pour toute petite catégorie C, l’ensemble simplicial N(C) (nerf de C) est défini par

(N(C))_{m} = Hom_{Cat}(Δ_{m}, C) , m ⩾ 0 ,

l’ensemble ordonné Δ_{m} étant considéré comme une catégorie. Plus concrètement, (N(C))_{m} est l’ensemble formé des suites de m flèches composables de C. Une équivalence faible catégorique est un foncteur entre petites catégories dont le nerf est une équivalence faible simpliciale. Si l’on note W_{∞} la partie de Fl(Cat) formée des équivalences faibles, on démontre que la catégorie localisée W_{∞}^{−1}Cat est équivalente à la catégorie homotopique Hot. De façon plus précise, le foncteur nerf est compatible aux équivalences faibles et induit une équivalence de catégories

W_{∞}^{−1}Cat [figure] W_{∞}^{−1}Δ̂

(voir par exemple [17] ou [19]). En revanche, contrairement au foncteur de réalisation topologique, le foncteur de réalisation catégorique n’est pas compatible aux équivalences faibles. Pour construire un quasi-inverse à l’équivalence de catégories définie par le foncteur nerf, on peut procéder comme suit. On définit un foncteur

Simpl : Δ̂ [figure] Cat

en associant à un ensemble simplicial K sa catégorie des simplexes Simpl(K), dont l’ensemble des objets est la somme disjointe

Ob(Simpl(K)) = ∐_{m} K_{m} ,

un morphisme de x ∈ K_{m} vers y ∈ K_{n} étant une application croissante φ : Δ_{m} [figure] Δ_{n} telle que x = K_{φ}(y). On montre qu’on a l’égalité

W_{∞} = Simpl^{−1}(W_{∞}) ,

et que le foncteur Simpl définit une équivalence de catégories

W_{∞}^{−1}Δ̂ [figure] W_{∞}^{−1}Cat ,

quasi-inverse à celle induite par le foncteur nerf (voir par exemple [17] ou [19]).

La définition toposique

Les équivalences faibles catégoriques admettent aussi une caractérisation en termes de cohomologie à coefficients localement constants. Si u : A [figure] B est un foncteur entre petites catégories, alors u est une équivalence faible si et seulement si le morphisme de topos (u^{∗}, u_{∗}) : Â [figure] B̂ (où u^{∗} : B̂ [figure] Â désigne le foncteur image inverse de préfaisceaux F [figure] u^{∗}(F) = F u, F ∈ Ob(B̂), et u_{∗} : Â [figure] B̂ son adjoint à droite) est une équivalence d’Artin-Mazur. Un morphisme de topos ψ = (ψ^{∗}, ψ_{∗}) : X [figure] Y est une équivalence d’Artin-Mazur [3] si pour tout m ⩾ 0, le morphisme

H^{m}(Y, F) [figure] H^{m}(X, ψ^{∗}(F)) ,

induit par ψ, est un isomorphisme pour tout faisceau localement constant F sur Y, d’ensembles si m = 0, de groupes si m = 1, de groupes abéliens si m ⩾ 2.

Une démonstration détaillée de cette caractérisation des équivalences faibles catégoriques est exposée dans [23]. L’idée de la démonstration est de comparer l’espace classifiant | N(A)|, réalisation topologique du nerf d’une petite catégorie A, à son topos classifiant Â. Pour cela, on définit un morphisme de topos, fonctoriel en A,

T (| N(A)|) [figure] Â ,

où pour tout espace topologique X, T (X) désigne le topos des faisceaux d’ensembles sur X, et on démontre que ce morphisme est une équivalence d’Artin-Mazur. Ensuite, on montre que pour tout espace topologique “gentil” X, par exemple un CW-complexe, la cohomologie du topos T (X) est canoniquement isomorphe à celle de l’espace topologique X. Enfin, un théorème de Whitehead donne une caractérisation cohomologique des équivalences faibles topologiques, analogue à la définition des équivalences d’Artin-Mazur (les conditions sur le π_{0} et le π_{1} étant équivalentes aux conditions sur le H^{0} et le H^{1} non abélien), ce qui permet d’affirmer qu’une application continue f : X [figure] Y entre CW-complexes est une équivalence faible topologique si et seulement si le morphisme correspondant de topos T (X) [figure] T (Y), défini par les foncteurs image inverse et image directe de faisceaux, est une équivalence d’Artin-Mazur. On termine la démonstration, grâce à une propriété du type “deux sur trois” pour les équivalences d’Artin-Mazur, en considérant, pour un morphisme A [figure] B de Cat, le carré commutatif de morphismes de topos

\xymatrix{T (| N(A)|) \ar[r] \ar[d] & Â \ar[d] \\ T (| N(B)|) \ar[r] & B̂ & ,}

dont les flèches horizontales sont des équivalences d’Artin-Mazur.

En conclusion, on dispose donc de plusieurs catégories, Top, Δ̂, Cat, dont les objets peuvent servir comme “modèles” pour les types d’homotopie.

Les modélisateurs et les catégories test

Le défi que Grothendieck se pose dans Pursuing Stacks [14] est de chercher toutes les catégories dont les objets sont des “modèles” pour les types d’homotopie. De façon plus précise, il s’agit de déterminer les couples (M, W), où M est une catégorie, et W une partie de Fl(M), tels que la localisation de M par W soit équivalente à la catégorie homotopique Hot. Grothendieck appelle modélisateur un tel couple, et équivalences faibles les flèches appartenant à W. Il s’intéresse plus particulièrement à la recherche des modélisateurs canoniques, autrement dit ceux dont les équivalences faibles sont déterminées canoniquement par la structure même de la catégorie sousjacente. S’il ne parvient certes pas à donner une réponse complète à une question aussi générale, il obtient, moyennant quelques hypothèses restrictives, une caractérisation des modélisateurs (M, W) dans le cas où M est une catégorie de préfaisceaux sur une petite catégorie. Cela le conduit naturellement à dégager la très belle théorie des catégories test, généralisant celle des ensembles simpliciaux.

Les équivalences d’Artin-Mazur permettent de définir canoniquement une notion d’équivalence faible pour les morphismes d’un topos. Soit X un topos. Pour tout objet x de X, on note X/x le topos des objets de X “au-dessus” de x. On dit qu’un morphisme φ : x [figure] x′ de X est une équivalence faible de X si le morphisme de topos X/x [figure] X/x′, induit par φ, est une équivalence d’Artin-Mazur. En particulier, si A est une petite catégorie, et X = Â est le topos des préfaisceaux sur A, un morphisme de préfaisceaux φ : F [figure] F′ est une équivalence faible de Â si le morphisme de topos

Â/F = X/F [figure] X/F′ = Â/F′

est une équivalence d’Artin-Mazur. Or, pour tout préfaisceau F sur A, on a un isomorphisme canonique Â/F ≃ { \atop A/F}, où A/F désigne la catégorie des objets de A, considérés comme préfaisceaux représentables sur A, au-dessus de F. Ainsi, un morphisme φ : F [figure] F′ de Â est une équivalence faible si et seulement si le morphisme de topos { \atop A/F} [figure] { \atop A/F′} est une équivalence d’Artin-Mazur, autrement dit, si le foncteur A/F [figure] A/F′, induit par φ, est dans W_{∞}. On obtient ainsi une définition élémentaire des équivalences faibles de Â, indépendante de toute considération toposique. On note WÂ la partie de Fl(Â) formée des équivalences faibles de Â. Si l’on note i_{A} : Â [figure] Cat le foncteur associant à un préfaisceau F la catégorie A/F, et à un morphisme de préfaisceaux φ : F [figure] F′ le foncteur A/F [figure] A/F′, induit par φ, alors WÂ = i_{A}^{−1}(W_{∞}). On remarque que si A = Δ, alors le foncteur i_{Δ} est canoniquement isomorphe au foncteur Simpl, et par suite que WΔ̂ = W_{∞}.

La question que Grothendieck se pose est de dégager des conditions nécessaires et suffisantes sur une petite catégorie A pour que le foncteur

ī_{A} : W−1 ; ÂÂ [figure] W_{∞}^{−1}Cat = Hot ,

induit par i_{A}, soit une équivalence de catégories. Mais il constate qu’il est difficile de trouver des critères pour caractériser les catégories satisfaisant à cette propriété. Il renforce donc cette dernière en demandant en outre que le foncteur

i_{A}^{∗} : Cat  [figure] Â ,  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(A/a, C)) ,

adjoint à droite de i_{A}, respecte les équivalences faibles (autrement dit, que l’on ait i_{A}^{∗}(W_{∞}) ⊂ WÂ). La catégorie A est alors appelée une catégorie test faible. Dans ce cas, le foncteur

ī_{A}^{∗} : Hot = W_{∞}^{−1}Cat [figure] W−1 ; ÂÂ ,

induit par i_{A}^{∗}, est une équivalence de catégories quasi-inverse de ī_{A}. De plus, Grothendieck obtient une caractérisation simple des catégories test faibles : pour qu’une petite catégorie A soit une catégorie test faible, il faut et il suffit que pour toute petite catégorie C admettant un objet final, le préfaisceau i_{A}^{∗}(C) soit asphérique (on dit qu’un préfaisceau F sur A est asphérique si l’unique foncteur de la catégorie i_{A}(F) = A/F vers la catégorie ponctuelle est dans W_{∞}). Il observe cependant que cette notion n’est pas locale, dans le sens que si A est une catégorie test faible, il n’en est pas nécessairement de même pour A/a, a ∈ Ob(A). Ainsi, il appelle catégorie test locale une petite catégorie A telle que pour tout objet a de A, A/a soit une catégorie test faible. Enfin, il dit que A est une catégorie test, et que Â est un modélisateur élémentaire, si A est à la fois une catégorie test locale et une catégorie test faible. Ce sont les notions de catégorie test locale et de catégorie test qui s’avèrent être les plus importantes. Ces catégories admettent des caractérisations étonnamment simples. Si on note Δ_{1} la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné {0 ⩽ 1}, alors pour qu’une petite catégorie A soit une catégorie test locale, il faut et il suffit que le préfaisceau i_{A}^{∗}(Δ_{1}) (qui est l’objet de Lawvere du topos Â, représentant le foncteur F [figure] {sous-objets de F }) soit localement asphérique (on dit qu’un préfaisceau F sur A est localement asphérique si pour tout objet a de A, la restriction de F à A/a est un préfaisceau asphérique sur A/a). De plus, une catégorie test locale est une catégorie test si et seulement si l’unique foncteur de A vers la catégorie ponctuelle est dans W_{∞} (on dit alors que A est asphérique). Ces critères permettent facilement de trouver un grand nombre de catégories test et de catégories test locales. On peut par exemple en déduire que le produit d’une catégorie test par une petite catégorie asphérique (resp. arbitraire) est une catégorie test (resp. test locale). En particulier, tout type d’homotopie peut être représenté par une catégorie test locale. La catégorie des simplexes Δ est, comme on s’y attend, un exemple de catégorie test, et celle des ensembles simpliciaux Δ̂ un exemple de modélisateur élémentaire. Il en est de même pour la catégorie des cubes et celle des ensembles cubiques [10]. Le slogan de Grothendieck est que toute catégorie test est aussi “bonne” que celle des ensembles simpliciaux pour “faire de l’homotopie”.

La dernière (et plus forte) variante de catégorie test, introduite par Grothendieck, est celle de catégorie test stricte. Une catégorie test stricte est une catégorie test A telle que le foncteur i_{A} : Â [figure] Cat soit compatible aux produits finis, à équivalence faible près. Cela revient aussi à demander que le foncteur de localisation Â [figure] W−1 ; ÂÂ commute aux produits finis. On dit alors que la catégorie Â des préfaisceaux sur A est un modélisateur élémentaire strict. Ainsi, dans un modélisateur élémentaire strict, le produit cartésien représente le produit des types d’homotopie. Toute petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories non vides, stable par produits finis, et ayant un objet qui soit une catégorie comportant au moins deux objets (même éventuellement isomorphes) est une catégorie test stricte. Cela montre que les catégories test strictes abondent. Par exemple, une petite catégorie équivalente à celle des ensembles finis non vides, ou à celle des ensembles ordonnés finis non vides, ou encore à celle des catégories finies non vides est une catégorie test stricte. La catégorie des simplexes Δ est également une catégorie test stricte, et celle des ensembles simpliciaux Δ̂ un modélisateur élémentaire strict. En revanche, la catégorie des cubes n’est pas une catégorie test stricte.

Les foncteurs test

Les foncteurs test généralisent, dans le cadre des catégories test, le foncteur nerf de la théorie simpliciale. Si A est une catégorie test faible, on aimerait appeler foncteur test faible un foncteur i : A [figure] Cat tel que si on note i^{∗} le foncteur

i^{∗} : Cat  [figure] Â ,  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(i(a), C)) ,

on ait i^{∗}(W_{∞}) ⊂ WÂ, et le foncteur ī^{∗} : Hot = W_{∞}^{−1}Cat [figure] W−1 ; ÂÂ, induit par i^{∗}, soit une équivalence de catégories. Par exemple, le foncteur a [figure] A/a satisfait à ces propriétés, puisque alors i^{∗} est le foncteur i_{A}^{∗}, déjà considéré, et si A est la catégorie des simplexes Δ, le foncteur d’inclusion i : Δ [figure] Cat satisfait aussi à ces conditions, puisque alors i^{∗} est le foncteur nerf N. Néanmoins, il n’y a pas de caractérisation simple des foncteurs satisfaisant à ces propriétés. Or, on remarque que si le foncteur i est pleinement fidèle, alors ces conditions impliquent que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est asphérique. Grothendieck ajoute cette dernière condition à la définition d’un foncteur test faible, et il obtient ainsi une notion qui peut être aisément caractérisée.

Plus précisément, il définit un foncteur test faible comme étant un foncteur i : A [figure] Cat, d’une catégorie test faible A vers la catégorie des petites catégories, tel que pour tout objet a de A, i(a) soit une catégorie asphérique, et tel que i^{∗}(W_{∞}) ⊂ WÂ. Il démontre qu’alors le foncteur ī^{∗} : Hot = W_{∞}^{−1}Cat [figure] W−1 ; ÂÂ, induit par i^{∗}, est automatiquement une équivalence de catégories, quasi-inverse de ī_{A}, et il prouve le critère suivant. Soient A une catégorie test faible, et i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) soit asphérique. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) i est un foncteur test faible ; (ii) pour toute petite catégorie asphérique C, le préfaisceau i^{∗}(C) est asphérique.

Ensuite, il définit un foncteur test local comme étant un foncteur i : A [figure] Cat, de source une catégorie test locale, tel que pour tout objet a de A, le foncteur A/a [figure] Cat, induit par i, soit un foncteur test faible, et il obtient la caractérisation suivante. Soient A une petite catégorie arbitraire, et i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) soit asphérique. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) A est une catégorie test locale, et i un foncteur test local ; (ii) pour toute petite catégorie asphérique C, le préfaisceau i^{∗}(C) est localement

asphérique.

Si en outre pour tout objet a de A, la catégorie i(a) possède un objet final (ce qui est une condition suffisante d’asphéricité), alors ces deux conditions sont aussi équivalentes à la condition suivante :

(iii) i^{∗}(Δ_{1}) est un préfaisceau localement asphérique.

Cette dernière condition est en général très facile à vérifier, et cette caractérisation est un outil puissant pour trouver des catégories test locales, et des foncteurs test locaux. Enfin, il démontre que si A est une catégorie test, et i : A [figure] Cat un foncteur test local, alors i est aussi un foncteur test faible. On dit alors que i est un foncteur test.

Le paradigme de foncteur test est l’inclusion i : Δ [figure] Cat, qui donne naissance au foncteur nerf N = i^{∗}. Les critères ci-dessus montrent facilement que si A est une petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories ayant un objet final, stable par produits finis, et telle que la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné Δ_{1} soit un objet de A, alors l’inclusion A [figure] Cat est un foncteur test. De même, si Δ̃ est la sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles, formée des ensembles {0, 1, …, m}, m ⩾ 0, le foncteur associant à un tel ensemble la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné (par inclusion) des ses parties non vides est un foncteur test. En revanche, si Δ′ désigne la sous-catégorie (non pleine) de Δ, ayant mêmes objets que Δ, mais dont les morphismes sont les applications strictement croissantes, alors l’inclusion i′ : Δ′ [figure] Cat est un foncteur test faible mais pas un foncteur test, et Δ′ est une catégorie test faible mais pas une catégorie test.

Les localisateurs fondamentaux

Dans son étude des catégories test, Grothendieck observe que ses démonstrations n’utilisent pas la définition même de W_{∞}, mais seulement quelques propriétés formelles de cette classe de flèches, dont la plus importante est le théorème A de Quillen :

Si u : A [figure] B est un morphisme de Cat tel que pour tout objet b de B, u/b : A/b [figure] B/b ^{(1)} soit dans W_{∞}, alors u est dans W_{∞} [25].

Grothendieck remarque que dans le contexte toposique, ce résultat est extrêmement naturel. En effet, si ψ : X [figure] Y est un morphisme de topos, on dit que ψ est asphérique si pour tout objet y de Y, le morphisme de topos ψ/y : X/y [figure] Y/y, induit par ψ, est une équivalence d’Artin-Mazur. Un argument cohomologique standard montre que pour vérifier l’asphéricité de ψ, on peut se limiter à des y appartenant à une famille génératrice du topos Y. En particulier, si u : A [figure] B est un morphisme de Cat, et si X = Â, Y = B̂, et ψ = (u^{∗}, u_{∗}), comme les objets de B forment une famille génératrice du topos Y, pour montrer que ψ est asphérique, il suffit de vérifier que pour tout objet b de B,

X/b = Â/b ≃ Â/b [figure] B̂/b ≃ B̂/b = Y/b

est une équivalence d’Artin-Mazur, autrement dit, que A/b [figure] B/b est dans W_{∞}. Ainsi, cette dernière condition implique l’asphéricité du morphisme de topos ψ : X [figure] Y, et en particulier, en prenant l’objet final de Y = B̂, on en déduit que Â [figure] B̂ est une équivalence d’Artin-Mazur, autrement dit que u : A [figure] B est dans W_{∞}, ce qui donne une esquisse de preuve cohomologique du théorème A de Quillen.

Un localisateur fondamental faible est une partie W de Fl(Cat) satisfaisant aux conditions suivantes :

La (Saturation faible.) Les identités sont dans W. Si deux des trois flèches d’un triangle commutatif sont dans W, il en est de même pour la troisième. Si un morphisme i de Cat admet une rétraction r telle que ir soit dans W, alors i est dans W.

Lb (Objet final.) Si A est une petite catégorie admettant un objet final, alors

l’unique foncteur de A vers la catégorie ponctuelle est dans W. Lc (Théorème A de Quillen.) Si u : A [figure] B est un morphisme de Cat tel que pour

tout objet b de B, u/b : A/b [figure] B/b soit dans W, alors u est dans W. Grothendieck reprend, dans ce cadre, la théorie des catégories test, en prenant

comme équivalences faibles les flèches de Cat appartenant à W, et en introduisant la catégorie homotopique relative à W, Hot_{W} = W^{−1}Cat, et les notions de W-catégorie test, de W-catégorie test faible ou locale, de W-foncteur test etc. Il vérifie qu’on obtient les mêmes résultats, avec les mêmes démonstrations.

(1)Pour tout foncteur F : C [figure] D, et tout objet d de D, on note C/d la catégorie des objets de C au-dessus de d, autrement dit, la catégorie dont les objets sont les couples (c, s : F (c) [figure] d), c étant un objet de C, et s un morphisme de D, et dont les flèches (c, s) [figure] (c′, s′) sont les morphismes g : c [figure] c′ de C tels que s′F (g) = s. En particulier, pour toute catégorie D, et tout objet d, on obtient ainsi la catégorie D/d des objets de D au-dessus de d, en considérant le foncteur identique 1_{D} : D  [figure] D. Le foncteur F : C  [figure] D induit alors un foncteur F/d : C/d  [figure] D/d.

L’avantage de cette approche axiomatique est d’une part, sa grande clarté, et d’autre part, le fait qu’elle s’applique à d’autres contextes que celui de la catégorie homotopique classique. Elle s’applique, en particulier, à l’homotopie rationnelle, et plus généralement, à toutes sortes d’équivalences faibles définies par des conditions cohomologiques. Grothendieck propose de considérer les parties W de Fl(Cat), définies exactement comme W_{∞}, mais en remplaçant les équivalences d’Artin-Mazur par d’autres classes de morphismes de topos, définies par des conditions cohomologiques. Par exemple, si k désigne un anneau commutatif (on pense plus particulièrement à k = ℤ, ℤ/nℤ, ℚ), on peut demander que le morphisme de topos ψ : X [figure] Y induise un isomorphisme sur la cohomologie à coefficients dans k, ou à coefficients dans un k-module arbitraire, ou dans les faisceaux localement constants de k-modules. On peut varier en prenant une famille d’anneaux k_{i}, ou une famille de groupes commutatifs constants, par exemple ℤ/nℤ, pour n premier à un ensemble de nombres premiers, conditions qu’on peut éventuellement combiner avec des conditions sur la 1-cohomologie non-abélienne à coefficients dans des faisceaux localement constants de groupes…

Tous ces localisateurs fondamentaux faibles satisfont à une version relative du théorème A de Quillen exprimant que si une flèche de Cat est une équivalence faible localement au-dessus d’une base, alors elle est une équivalence faible : LC (Théorème A de Quillen relatif.) Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, et si pour tout objet c de C, le foncteur u/c : A/c [figure] B/c, induit par u, est dans W, alors u est dans W.

Un localisateur fondamental est un localisateur fondamental faible satisfaisant à cette condition (qui implique la condition Lc). Cette hypothèse plus forte sur W est utile pour certains résultats plus fins que la simple caractérisation des catégories test. Elle sert, par exemple, pour démontrer que l’image directe d’une équivalence faible de préfaisceaux par un monomorphisme est une équivalence faible, ou pour montrer que la classe formée des équivalences faibles de préfaisceaux, qui sont des monomorphismes, est stable par images directes. Elle sert aussi pour prouver que les équivalences faibles (entre catégories ou préfaisceaux) sont stables par limites inductives filtrantes, ou par rétractes. Elle permet également d’établir l’existence des colimites homotopiques, et plus généralement des extensions de Kan homotopiques à gauche, dans Cat. Enfin, elle fournit le cadre naturel pour étudier deux classes importantes de morphismes de Cat, les foncteurs propres et les foncteurs lisses, qui sont caractérisés par des propriétés cohomologiques inspirées des théorèmes de changement de base propre ou lisse en géométrie algébrique.

Dans “Pursuing Stacks”, Grothendieck conjecture que W_{∞} est le plus petit localisateur fondamental. Cette conjecture, permettant une caractérisation purement axiomatique de W_{∞}, a été démontrée par Cisinski dans sa thèse. Il a depuis amélioré ce résultat, en prouvant que W_{∞} est le plus petit localisateur fondamental faible [10].

Les extensions de Kan homotopiques

Le fil conducteur de la théorie de l’homotopie de Grothendieck est le concept d’extension de Kan homotopique, conduisant à la théorie des dérivateurs [15], [16], [20]. Un localisateur est un couple (M, W) formé d’une catégorie M, et d’une partie W de Fl(M) ^{(2)}. Étant donné un tel localisateur, on associe à toute petite catégorie I, la catégorie Hot_{(M,W)}(I), localisée de la catégorie des foncteurs de I vers M, relativement à la classe des morphismes de foncteurs qui sont dans W argument par argument. Pour tout foncteur entre petites catégories u : I [figure] J, on en déduit un foncteur image inverse u^{∗} : Hot_{(M,W)}(J) [figure]Hot_{(M,W)}(I), induit par la composition par u. Une extension de Kan homotopique à gauche ou à droite est un adjoint à gauche ou à droite de u^{∗}. Un cas particulier important, correspondant aux colimites ou limites homotopiques, est celui où la catégorie J est réduite à la catégorie ponctuelle. Un théorème de Cisinski [9] affirme que si le localisateur (M, W) est Quillenisable, autrement dit, s’il existe une structure de catégorie de modèles fermée [24] sur M dont les équivalences faibles sont exactement les flèches de M appartenant à W, et si la catégorie M admet des petites limites inductives (resp. projectives), alors les extensions de Kan homotopiques à gauche (resp. à droite) existent. D’autre part, un théorème de Thomason assure que le localisateur (Cat, W_{∞}) est Quillenisable [28], ce qui prouve l’existence des extensions homotopiques à gauche et à droite dans ce cas.

En fait, l’existence des extensions de Kan homotopiques à gauche pour ce localisateur est bien plus élémentaire, et se généralise aisément au cas d’un localisateur fondamental arbitraire W. Pour toute petite catégorie I, notons plus simplement Hot_{W}(I) la catégorie Hot_{(Cat,W)}(I), localisation de la catégorie des foncteurs de I vers la catégorie Cat des petites catégories par les morphismes de foncteurs qui sont dans W argument par argument. Pour tout foncteur F : I [figure] Cat, on désigne par ∫ F [figure] I la catégorie cofibrée sur I définie par ce foncteur, à l’aide de la “construction de Grothendieck”. Si u : I [figure] J désigne un morphisme de Cat, on en déduit un morphisme composé ∫ F [figure] J, d’où un foncteur

J  [figure] Cat ,  j [figure] (∫ F )/j .

On démontre que ce procédé, associant à F le foncteur j [figure] (∫ F )/j, induit par localisation un foncteur u_{!} : Hot_{W}(I) [figure] Hot_{W}(J), et que ce dernier est un adjoint à gauche du foncteur image inverse u^{∗} : Hot_{W}(J) [figure] Hot_{W}(I). On généralise ainsi une construction des colimites homotopiques par Thomason [27].

(2)Quand il n’y a aucune ambiguïté sur la catégorie M, on dit parfois que W est un localisateur.

La catégorie de modèles conjecturée par Grothendieck

Le problème de l’existence des extensions de Kan homotopiques à droite, pour un localisateur fondamental arbitraire, est bien plus délicat. Pour essayer de traiter ce problème, Grothendieck conjecture que pour toute W-catégorie test, il existe une structure de catégorie de modèles fermée sur la catégorie des préfaisceaux sur A, dont les équivalences faibles sont les morphismes de Â appartenant à WÂ, et dont les cofibrations sont les monomorphismes de Â. En fait, cette conjecture n’est vérifiée que moyennant une hypothèse, au demeurant assez anodine, d’accessibilité du localisateur fondamental W.

Soit α un cardinal. On dit qu’un ensemble ordonné I est α-filtrant si toute partie de I de cardinalité inférieure ou égale à α admet un majorant dans I. Une limite inductive α-filtrante est une limite inductive indexée par un ensemble ordonné α-filtrant. Soit C une catégorie admettant des limites inductives α-filtrantes. On dit qu’un objet X de C est α-présentable si le foncteur

C [figure] Ens , Y [figure]Hom_{C}(X, Y)

commute aux limites inductives α-filtrantes. Une catégorie α-accessible est une catégorie C admettant des limites inductives α-filtrantes, telle que tout objet soit limite inductive α-filtrante d’objets α-présentables, et telle que la sous-catégorie pleine formée des objets α-présentables soit essentiellement petite (équivalente à une petite catégorie). Une catégorie C est accessible s’il existe un cardinal α tel que C soit α-accessible. Un foncteur F : C [figure] D, entre catégories accessibles, est accessible s’il existe un cardinal α tel que le foncteur F commute aux limites inductives α-filtrantes. Une classe d’objets d’une catégorie accessible est accessible si la sous-catégorie pleine formée de ces objets est accessible, et si le foncteur d’inclusion est accessible. Une classe de flèches d’une catégorie accessible est accessible si la classe correspondante d’objets de la catégorie des flèches est accessible.

La catégorie des préfaisceaux sur une petite catégorie, ainsi que la catégorie des petites catégories, sont accessibles. On dit qu’un localisateur fondamental est accessible s’il est accessible comme classe de flèches de Cat. Si W est un localisateur fondamental accessible, il résulte aussitôt de la théorie générale de l’accessibilité (voir par exemple [1]) que pour toute petite catégorie A, la classe WÂ = i_{A}^{−1}(W) de flèches de Â est accessible. Un théorème de Jeffrey Smith (voir [4]) implique alors facilement que si A est une W-catégorie test locale (et à plus forte raison si elle est une W-catégorie test), alors il existe une structure de catégorie de modèles fermée à engendrement cofibrant sur Â, dont les équivalences faibles sont les éléments de WÂ, et dont les cofibrations sont les monomorphismes de Â, ce qui prouve en particulier la conjecture de Grothendieck dans ce cas.

L’inconvénient de cette approche est que l’hypothèse qu’un localisateur fondamental W soit accessible est à première vue difficile à vérifier. C’est grâce à la belle théorie développée par Cisinski [10] que cette difficulté est surmontée. Il démontre la conjecture de Grothendieck en supposant simplement qu’il existe un ensemble de flèches de Cat tel que W soit le plus petit localisateur fondamental contenant cet ensemble, hypothèse bien plus facile à vérifier. Il appelle un tel localisateur accessible, et il résulte de sa théorie que cette définition est finalement équivalente à la précédente, le théorème difficile étant justement cette équivalence. Il montre aussi une réciproque : si W est un localisateur fondamental, et s’il existe une catégorie test locale non vide A telle que Â admette une structure de catégorie de modèles fermée, à engendrement cofibrant, dont la classe des équivalences faibles est WÂ, et dont les cofibrations sont les monomorphismes, alors W est accessible.

En fait, l’hypothèse qu’un localisateur fondamental soit accessible n’est pas très restrictive. Il semble en effet qu’on peut montrer, moyennant un axiome de grands cardinaux connu sous le nom de principe de Vopĕnka, que tout localisateur fondamental est accessible (en utilisant les résultats de [7], ou de [8], ou encore de [26]). On ne s’attend donc pas à trouver un localisateur fondamental non accessible en utilisant uniquement les axiomes de ZFC (Zermelo-Fraenkel plus l’axiome du choix). En revanche, si l’on suppose qu’il n’existe pas de cardinaux mesurables, alors on peut construire un localisateur fondamental non accessible [8]. En particulier, l’axiome de constructibilité de Gödel implique l’existence de tels localisateurs, puisque tout cardinal mesurable est (fortement) inaccessible. Ainsi, l’affirmation “tout localisateur fondamental est accessible” aurait le même statut qu’un axiome de grands cardinaux.

Foncteurs propres, foncteurs lisses

Dans “Pursuing Stacks” [14], Grothendieck a introduit les notions de foncteur propre et de foncteur lisse, en s’inspirant des propriétés cohomologiques des morphismes propres et des morphismes lisses de schémas en géométrie algébrique. Une étude systématique de ces foncteurs a été entreprise par lui dans “Les dérivateurs” [15]. La construction des extensions de Kan homotopiques à gauche à l’aide des catégories cofibrées, exposée précédemment, rend cette théorie élémentaire.

Soit W un localisateur fondamental. On dit qu’un foncteur entre petites catégories u : A [figure] B (resp. v : B′ [figure] B) est W-propre (resp. W-lisse) si pour tout carré cartésien

\xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B & ,}

le morphisme de changement de base

u′_{!}w^{∗} [figure] v^{∗}u_{!}

(où u_{!} : Hot_{W}(A) [figure] Hot_{W}(B) et u′_{!} : Hot_{W}(A′) [figure] Hot_{W}(B′) désignent les extensions de Kan homotopiques à gauche relatives à W) est un isomorphisme, et cette propriété reste vraie après tout changement de base. Grothendieck obtient des caractérisations simples des foncteurs W-propres et des foncteurs W-lisses, et il est émerveillé par la découverte du fait qu’un foncteur u : A [figure] B est W-propre si et seulement si le foncteur “dual” u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘}, entre les catégories opposées, est W-lisse, phénomène qui n’a bien entendu aucun analogue en géométrie algébrique. Si le foncteur u : A [figure] B fait de A une catégorie cofibrée sur B, alors u est un exemple de foncteur W-propre. Dualement, si A est une catégorie fibrée sur B, alors u est un foncteur W-lisse. Néanmoins, pour tout localisateur fondamental W, il existe des foncteurs W-propres qui ne sont pas des cofibrations (au sens des catégories cofibrées), et des foncteurs W-lisses qui ne sont pas des fibrations (au sens des catégories fibrées). La manipulation des changements de base par des foncteurs propres ou lisses s’avère un outil de calcul extrêmement puissant en théorie de l’homotopie, ainsi qu’en algèbre homologique.

La théorie des foncteurs propres et des foncteurs lisses peut, en fait, être développée dans un cadre beaucoup plus général, celui des structures d’asphéricité, permettant d’englober aussi la théorie des catégories cofibrées et des catégories fibrées [22].

Le plan du livre

Le premier chapitre est consacré à l’étude des catégories test et des foncteurs test. Dans le premier paragraphe, on introduit le concept de localisateur fondamental faible, ainsi que les notions qui s’y attachent directement : équivalences faibles, catégories asphériques, foncteurs asphériques ou localement asphériques, et on étudie les propriétés élémentaires de ces notions. On démontre qu’un localisateur fondamental faible est stable par le foncteur “passage à la catégorie opposée”, ce qui permet d’introduire les notions, “duales” aux précédentes, de foncteur coasphérique et de foncteur colocalement coasphérique. On prouve qu’un adjoint à gauche (resp. à droite) est asphérique (resp. coasphérique), et qu’une cofibration (resp. fibration) à fibres asphériques est un foncteur asphérique (resp. coasphérique). Un lemme “à la Mayer-Vietoris” est établi. Des exemples de localisateurs fondamentaux faibles sont présentés.

Dans le deuxième paragraphe, on définit les équivalences faibles et les morphismes asphériques de préfaisceaux, et on introduit les notions de préfaisceau asphérique et localement asphérique. Une caractérisation des foncteurs asphériques en termes de préfaisceaux est démontrée, et une version préfaisceautique du lemme de “Mayer-Vietoris” est établie.

Dans le paragraphe 3, on définit la catégorie homotopique relative à un localisateur fondamental, et on introduit les notions de pseudo-catégorie test et de catégorie test faible. Plusieurs caractérisations des catégories test faibles sont présentées.

Le paragraphe 4 est consacré aux “outils homotopiques”. On introduit les notions de segment, de segment séparant, et on définit la relation d’homotopie relative à un ensemble de segments et les notions associées d’homotopisme et d’objet contractile. On établit le “lemme d’homotopie” qui relie les notions d’homotopie et d’équivalence faible. On présente l’exemple du segment de Lawvere, crucial pour la suite. On termine par l’étude de la relation d’homotopie dans la catégorie des petites catégories.

Dans le paragraphe 5, on introduit les notions importantes de catégorie test locale et de catégorie test, et on en donne plusieurs caractérisations. On établit une condition suffisante pour qu’une petite catégorie, admettant des produits finis, soit une catégorie test, ce qui permet de présenter une multitude d’exemples. On termine en démontrant que la catégorie des simplexes est une catégorie test.

Dans le paragraphe 6, on étudie la variante la plus forte de catégorie test, celle de catégorie test stricte. Dans ce but, on introduit la notion de petite catégorie totalement asphérique, caractérisée par plusieurs conditions équivalentes, une catégorie test stricte étant une catégorie test qui est totalement asphérique. On constate que la plupart des exemples de catégories test du paragraphe précédent sont en fait des catégories test strictes, et on présente des exemples de catégories test qui ne sont pas strictes. On définit le concept de contracteur, cas particulier de catégorie test stricte, et on démontre que la catégorie des simplexes est un contracteur.

Le paragraphe 7 est consacré à l’étude des foncteurs test. On introduit la notion de foncteur asphérique d’une petite catégorie vers la catégorie des petites catégories (notion à ne pas confondre avec celle de foncteur asphérique entre petites catégories), et on en donne plusieurs caractérisations. On en déduit les notions de foncteur test faible, de foncteur test local et de foncteur test, ainsi que des caractérisations de ces foncteurs. On présente plusieurs exemples de foncteurs test, dont l’inclusion de la catégorie des simplexes dans la catégorie des petites catégories, ce qui permet de retrouver la théorie du foncteur nerf. Enfin, on montre que la sous-catégorie de la catégorie des simplexes, ayant les mêmes objets, et comme morphismes les applications strictement croissantes, est une catégorie test faible, mais n’est pas une catégorie test.

Dans le paragraphe 8, on introduit la notion de décalage sur une petite catégorie, ce qui permet de donner d’autres exemples de catégories test. En particulier, on démontre que la catégorie cellulaire de Joyal est une catégorie test stricte.

Le deuxième chapitre est consacré au concept de localisateur fondamental (version renforcée de la notion de localisateur fondamental faible). Dans le premier paragraphe, on introduit ce concept, et on présente plusieurs définitions équivalentes. On démontre que la catégorie homotopique correspondante admet des produits finis, des sommes finies, et que le foncteur de localisation y commute.

Dans le deuxième paragraphe, on rappelle la “construction de Grothendieck”, associant à un foncteur, à valeurs dans la catégorie des petites catégories, une catégorie cofibrée, qui est la “2-limite inductive” de ce foncteur. Dans le paragraphe suivant, on utilise cette construction pour prouver que pour tout localisateur fondamental, l’image directe d’une équivalence faible de préfaisceaux par un monomorphisme est une équivalence faible, et que la classe formée des équivalences faibles de préfaisceaux, qui sont des monomorphismes, est stable par images directes et composés transfinis. Dans le dernier paragraphe de ce chapitre, on montre que les catégories filtrantes sont asphériques, et que tout localisateur fondamental est stable par limites inductives filtrantes. On en déduit la stabilité par limites inductives filtrantes des foncteurs asphériques ou coasphériques. On présente un exemple d’ensemble ordonné qui est une catégorie test faible.

Dans le troisième chapitre, on présente certains aspects élémentaires de la théorie de l’homotopie dans la catégorie des petites catégories. Le premier paragraphe est consacré aux extensions de Kan homotopiques à gauche relatives à un localisateur fondamental arbitraire, et leur construction à l’aide des catégories cofibrées. On obtient une caractérisation des équivalences faibles en termes de colimites homotopiques, et un critère d’asphéricité pour les foncteurs, en termes d’extensions de Kan homotopiques à gauche.

Dans le second paragraphe, on introduit la notion de foncteur propre, ainsi que la notion duale de foncteur lisse, en adoptant une définition élémentaire ne faisant pas intervenir des extensions de Kan homotopiques. On démontre des propriétés de stabilité, et on en donne plusieurs caractérisations. En utilisant les propriétés des morphismes propres, on trouve une nouvelle caractérisation des morphismes coasphériques. On démontre également des théorèmes de changement de base, pour les morphismes propres ou lisses, analogues à ceux de la géométrie algébrique. Enfin, on montre que tout foncteur se décompose en une équivalence faible suivie d’un morphisme propre et lisse.

Dans le dernier paragraphe, on étudie l’incidence du changement de localisateur fondamental sur les diverses notions introduites dans le livre.

Notations

Les notations suivantes seront utilisées librement, sans autre explication. Pour toute catégorie C, on notera Ob(C) la classe des objets de C, Fl(C) la classe des flèches, ou morphismes, de C, et C^{∘} la catégorie opposée. Si c, c′ sont deux objets de C, l’ensemble des morphismes de c vers c′ sera noté Hom_{C}(c, c′). Si D désigne une deuxième catégorie, on notera \underline{Hom}(C, D) la catégorie des foncteurs de C vers D. Si F : C [figure] D est un foncteur admettant une limite inductive (resp. projective), \underrightarrow{lim}F (resp. \underleftarrow{lim}F) désignera un objet de D représentant cette limite. Pour toute petite catégorie A, on

NOTATIONS 19

notera Â la catégorie \underline{Hom}(A^{∘}, Ens) des préfaisceaux sur A à valeurs dans la catégorie des ensembles Ens. Pour tout ensemble E, le cardinal de E sera noté card(E).

CHAPITRE 1

LA THÉORIE DES CATÉGORIES TEST

1.1. Les localisateurs fondamentaux faibles

1.1.1. — Soit M une catégorie. On dit qu’une partie W de Fl(M) est faiblement saturée si elle satisfait aux conditions suivantes : FS1 Les identités sont dans W. FS2 Si deux des trois flèches d’un triangle commutatif sont dans W, il en est de

même de la troisième. FS3 Si i : X′ [figure] X et r : X [figure] X′ sont deux morphismes de M tels que ri = 1_{X′},

et si ir est dans W, il en est de même de r (donc aussi de i, en vertu de FS1 et FS2).

Il résulte de FS1 et FS3 que les isomorphismes sont dans W.

On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de M est universellement dans W si :

(i) u est quarrable (autrement dit, pour tout morphisme B′ [figure] B, le produit fibré B′ ×_{B} A est représentable dans M) ;

(ii) pour tout carré cartésien

\xymatrix{A′ \ar[r] \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r] & B & ,}

le morphisme u′ est dans W.

1.1.2. — Notons Cat la catégorie des petites catégories, et e un objet final de Cat (une catégorie ayant un seul objet, et l’identité de cet objet comme seul morphisme). On appelle localisateur fondamental faible une partie W de Fl(Cat) satisfaisant aux conditions suivantes :

La La partie W de Fl(Cat) est faiblement saturée.

Lb Si A est une petite catégorie admettant un objet final, alors A [figure] e est dans W.

Lc Si u : A [figure] B est un morphisme de Cat tel que pour tout objet b de B, le

morphisme u/b : A/b [figure] B/b soit dans W, alors u est dans W. On rappelle que A/b désigne la catégorie dont les objets sont les couples

(a, p : u(a) [figure] b), où a est un objet de A et p un morphisme de B, un morphisme de (a, p) dans un deuxième objet (a′, p′) de A/b étant une flèche f : a [figure] a′ de A telle que p = p′u(f). Le morphisme u/b est le foncteur induit par u.

Les éléments de W sont appelés des W-équivalences, ou des équivalences faibles. On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est W-asphérique, ou plus simplement asphérique, si pour tout objet b de B, u/b : A/b [figure] B/b est une équivalence faible. La condition (Lc) ci-dessus peut donc s’énoncer : un morphisme asphérique de Cat est une équivalence faible. On dit qu’une petite catégorie A est W-asphérique, ou plus simplement asphérique, si le foncteur A [figure] e est asphérique, ou de façon équivalente une équivalence faible. La condition (Lb) affirme donc qu’une petite catégorie admettant un objet final est asphérique.

Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Proposition 1.1.3. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat.

(a) Le foncteur u est asphérique si et seulement si, pour tout objet b de B, la catégorie A/b est asphérique.

(b) Si u est universellement dans W, alors u est asphérique.

Démonstration. — Pour tout objet b de B, la catégorie B/b admet un objet final (b, 1_{b}). Il résulte donc des conditions (La) et (Lb) que u/b : A/b [figure] B/b est une équivalence faible si et seulement si A/b [figure] e l’est, ce qui prouve l’assertion (a). L’assertion (b) résulte de l’observation que le carré

\xymatrix{A/b \ar[d]_{u/b} \ar[r] & A \ar[d]^{u} \\ B/b \ar[r] & B & ,}

où les flèches horizontales désignent les foncteurs canoniques, est cartésien.

Proposition 1.1.4. — Soit A une petite catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) A [figure] e est une équivalence faible ;

(b) A [figure] e est asphérique (autrement dit, A est asphérique) ;

(c) A [figure] e est universellement dans W.

Démonstration. — L’équivalence de (a) et (b) est évidente. L’implication (c) ⇒ (b) résulte de la proposition 1.1.3, (b). Montrons que (a) implique (c). Il s’agit de montrer que pour toute petite catégorie B, la deuxième projection A × B [figure] B est une équivalence faible. En vertu de (Lc) et de la proposition 1.1.3, (a), il suffit de montrer que pour tout objet b de B, la catégorie (A×B)/b est asphérique. Or, on a un isomorphisme de catégories (A×B)/b ≃ A×(B/b), et comme par hypothèse A est asphérique, il suffit, en vertu de (La), de montrer que la première projection A×B/b [figure] A est une équivalence faible. En vertu de (Lc) et de la proposition 1.1.3, (a), il suffit donc de montrer que pour tout objet a de A, la catégorie (A × B/b)/a est asphérique. Comme on a un isomorphisme (A × B/b)/a ≃ A/a × B/b, cela résulte de (Lb), puisque la catégorie A/a × B/b admet un objet final.

Corollaire 1.1.5. — Le produit de deux petites catégories asphériques est une catégorie asphérique.

Démonstration. — Soient A et B deux petites catégories asphériques. En vertu de la proposition 1.1.4, la deuxième projection A × B [figure] B est une équivalence faible, donc par (La), A × B [figure] e est une équivalence faible, ce qui prouve le corollaire.

Corollaire 1.1.6. — Soient u : A [figure] B, u′ : A′ [figure] B′ deux morphismes asphériques de Cat. Alors le foncteur u × u′ : A × A′ [figure] B × B′ est asphérique.

Démonstration. — Il s’agit de montrer que pour tout objet (b, b′) de B × B′, la catégorie (A × A′)/(b, b′) est asphérique. Or, (A × A′)/(b, b′) est canoniquement isomorphe à (A/b)×(A′/b′), et par hypothèse, A/b et A′/b′ sont asphériques. L’assertion résulte donc du corollaire 1.1.5.

Lemme 1.1.7. — Soit \xymatrix{A \ar[r]^{u} & B \ar[r]^{v} & C} un couple de morphismes composables de Cat. Si u est asphérique, pour tout objet c de C, le morphisme u/c : A/c [figure] B/c induit par u est asphérique.

Démonstration. — On vérifie aussitôt que pour tout objet (b, p : v(b) [figure] c) de B/c, la catégorie (A/c)/(b, p) est canoniquement isomorphe à A/b, qui est asphérique puisque u est asphérique, ce qui prouve que u/c est asphérique.

Proposition 1.1.8. — Soit \xymatrix{A \ar[r]^{u} & B \ar[r]^{v} & C} un couple de morphismes composables de Cat. Si u est asphérique, vu est asphérique si et seulement si v l’est.

Démonstration. — Pour tout objet c de C, on a un triangle commutatif

\xymatrix{A/c \ar[rr]^{u/c} \ar[dr]_{vu/c} &  & B/c \ar[dl]^{v/c} \\  & C/c}

et, en vertu du lemme 1.1.7, u/c est asphérique et en particulier une équivalence faible (Lc). On en déduit (La) que v/c est une équivalence faible si et seulement si vu/c l’est, ce qui prouve que v est asphérique si et seulement si vu l’est.

Proposition 1.1.9. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Si u admet un adjoint à droite, alors u est asphérique.

Démonstration. — Si v : B [figure] A désigne un adjoint à droite de u, la bijection fonctorielle

Hom_{B}(u(a), b)) ≃ Hom_{A}(a, v(b)), a ∈ Ob(A), b ∈ Ob(B),

implique que pour tout objet b de B, la catégorie A/b est isomorphe à la catégorie A/v(b) qui admet un objet final. On en déduit que A/b est asphérique, ce qui prouve la proposition.

Corollaire 1.1.10. — Une équivalence de petites catégories est asphérique.

Corollaire 1.1.11. — Une petite catégorie A admettant un objet initial est asphérique.

Démonstration. — Soient p_{A} : A [figure] e l’unique foncteur de A vers l’objet final de Cat, et s_{A} : e [figure] A le foncteur associant à l’unique objet de e un objet initial de A. On vérifie aussitôt que p_{A} est un adjoint à droite de s_{A}. On en déduit que s_{A} est asphérique (1.1.9), donc une équivalence faible (Lc). Comme p_{A}s_{A} = 1_{e}, il résulte de (La) que p_{A} est une équivalence faible, ce qui prouve l’assertion.

1.1.12. — On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est localement W-asphérique, ou plus simplement localement asphérique, si pour tout objet a de A, le morphisme

A/a [figure] B/b , b = u(a) ,

induit par u est asphérique.

Exemples 1.1.13. — a) Un foncteur asphérique pleinement fidèle est localement asphérique.

b) Pour toute petite catégorie C, le foncteur C [figure] e est localement asphérique.

Proposition 1.1.14. — a) Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Pour que u soit localement asphérique, il faut et il suffit que pour tout objet b de B, le foncteur u/b : A/b [figure] B/b, induit par u, le soit.

b) Soit \xymatrix{A \ar[r]^{u} & B \ar[r]^{v} & C} un couple de morphismes composables de Cat. Si u et v sont localement asphériques, il en est de même de vu.

c) Soient u : A [figure] B, u′ : A′ [figure] B′ deux morphismes localement asphériques de Cat. Alors le foncteur u × u′ : A × A′ [figure] B × B′ est localement asphérique.

Démonstration. — La première assertion est immédiate, la deuxième résulte de la proposition 1.1.8, et la troisième du corollaire 1.1.6.

1.1.15. — Soit u : A [figure] B un foncteur. On rappelle que la fibre de u au-dessus d’un objet b de B est la sous-catégorie (non pleine) A_{b} de A dont les objets sont les objets a de A tels que u(a) = b, et dont les morphismes sont les flèches f de A telles que u(f) = 1_{b}. Soit c : a [figure] a′ un morphisme de A. On dit que c est cocartésien (relativement à u, ou au-dessus de B) si pour tout morphisme f : a [figure] a′′ tel que u(f) = u(c), il existe un unique morphisme g : a′ [figure] a′′ tel que u(g) = 1_{u(a′)} et f = gc.

\xymatrix{ & a′′ \\ a \ar[ur]^{f} \ar[r]_{c} & a′ \ar@{-->}[u]_{g}}

On dit que u est une précofibration si pour tout morphisme p : b [figure] b′ de B, et tout objet a de A au-dessus de b (u(a) = b), il existe un morphisme cocartésien c : a [figure] a′ au-dessus de p (u(c) = p). On dit que u est une cofibration si u est une précofibration, et si le composé de deux morphismes cocartésiens composables de A est un morphisme cocartésien.

Dualement, on dit qu’un morphisme de A est cartésien (relativement à u, ou audessus de B) si le morphisme correspondant de A^{∘} (catégorie opposée de A) est cocartésien (relativement à u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘}). On dit que le foncteur u est une préfibration (resp. une fibration) si le foncteur u^{∘} est une précofibration (resp. une cofibration).

Lemme 1.1.16. — Un foncteur u : A [figure] B est une précofibration si et seulement si pour tout objet b de B, le foncteur canonique A_{b} [figure] A/b, associant à un objet a de la fibre A_{b} de u au-dessus de b l’objet (a, 1_{b}) de A/b, admet un adjoint à gauche.

La démonstration est laissée au lecteur.

Proposition 1.1.17. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat, et supposons que u soit une précofibration. Pour que le foncteur u soit asphérique, il faut et il suffit que pour tout objet b de B, la fibre A_{b} de u au-dessus de b soit asphérique.

Démonstration. — En vertu du lemme précédent, pour tout objet b de B, le foncteur

\begin{matrix}i_{b} : A_{b} & [figure] A/b \\ a & [figure] (a, 1_{b}) \end{matrix}

admet un adjoint à gauche

j_{b} : A/b [figure] A_{b} .

Il résulte alors de la proposition 1.1.9 que le foncteur j_{b} est asphérique, donc qu’il est une équivalence faible, ce qui prouve la proposition.

1.1.18. — Soit A une catégorie. On définit une catégorie S(A) comme suit :

Ob(S(A)) = Fl(A) ,

et si f : a [figure] b et f′ : a′ [figure] b′ sont deux objets de S(A), l’ensemble Hom_{S(A)}(f, f′) est formé des couples (g, h), g : a′ [figure] a, h : b [figure] b′, tels que le diagramme :

\xymatrix{a \ar[r]^{f} & b \ar[dd]^{h} \\  &  & f′ = hfg \\ a′ \ar[uu]^{g} \ar[r]^{f′} & b′}

soit commutatif. L’identité de f est définie par 1_{f} = (1_{a}, 1_{b}), et si

(g, h) : f  [figure] f′  et  (g′, h′) : f′  [figure] f′′

sont des morphismes de S(A),

(g′, h′) ∘ (g, h) = (gg′, h′h) .

On définit deux foncteurs :

\xymatrix{A^{∘} & S(A) \ar[l]_{s_{A}} \ar[r]^{t_{A}} & A}

en posant pour tout objet f de S(A),

s_{A}(f) = source de f comme morphisme de A,
t_{A}(f) = but de f comme morphisme de A,

et pour tout morphisme (g, h) de S(A),

s_{A}(g, h) = g , t_{A}(g, h) = h .

On vérifie aussitôt que

\begin{matrix}I : S(A) & [figure] S(A^{∘}) \\ f & [figure] f ,  f ∈ Ob(S(A)) , \\ (g, h) & [figure] (h, g) ,  (g, h) ∈ Fl(S(A)) , \end{matrix}

définit un isomorphisme de catégories tel que

s_{A^{∘}}I = t_{A}  et  t_{A^{∘}}I = s_{A} .

Lemme 1.1.19. — Pour toute catégorie A, les foncteurs s_{A} : S(A) [figure] A^{∘} et t_{A} : S(A) [figure] A sont des cofibrations.

Démonstration. — Montrons que t_{A} est une cofibration. Soient h : b [figure] b′ un morphisme de A, et f : a [figure] b un objet de S(A) tel que t_{A}(f) = b. Notons h_{∗}(f) l’objet h_{∗}(f) = hf : a [figure] b′ de S(A), et c(h, f) le morphisme c(h, f) = (1_{a}, h) : f [figure] h_{∗}(f) de S(A).

\xymatrix{a \ar[dd]_{f} & a \ar[l]_{1_{a}} \ar[dd]^{hf} \\  &  & c(h, f) : f \ar[r] & h^{∗}(f) \\ b \ar[r]^{h} & b′ \\ b \ar[r]^{h} & b′}

On a t_{A}(c(h, f)) = h, et on vérifie aussitôt que le morphisme c(h, f) est cocartésien (relativement à t_{A}), ce qui prouve que t_{A} est une précofibration. En remarquant que pour tout morphisme h′ : b′ [figure] b′′ de A, on a

(h′h)_{∗}(f) = h′hf = h′_{∗}(h_{∗}(f))

et

c(h′, h_{∗}(f))c(h, f) = (1_{a}, h′)(1_{a}, h) = (1_{a}, h′h) = c(h′h, f) ,

on en déduit que t_{A} est une cofibration.

En appliquant ce qui précède à la catégorie opposée, on en déduit que s_{A} = t_{A^{∘}}I est aussi une cofibration, ce qui prouve le lemme.

Lemme 1.1.20. — Pour toute petite catégorie A, les foncteurs s_{A} : S(A) [figure] A^{∘} et t_{A} : S(A) [figure] A sont asphériques.

Démonstration. — On vérifie aussitôt que les fibres de s_{A} et t_{A} admettent un objet initial. L’assertion résulte alors du corollaire 1.1.11, du lemme 1.1.19 et de la proposition 1.1.17.

1.1.21. — Soit u : A [figure] B un foncteur. On en déduit un foncteur

\begin{matrix}S(u) : S(A) & [figure] S(B) \\ f & [figure] u(f) ,  f ∈ Ob(S(A)) , \\ (g, h) & [figure] (u(g), u(h)) ,  (g, h) ∈ Fl(S(A)) , \end{matrix}

rendant commutatif le diagramme suivant :

\begin{matrix}A^{∘} & u^{∘} & [figure] & S(A) & s_{A} & [figure] & t_{A} & [figure] & S(u) & [figure] & A & u & [figure] & B^{∘} & S(B) & s_{B} & [figure] & t_{B} & [figure] & B & . \\ (1.1.21.1) \end{matrix}

Proposition 1.1.22. — Soient u : A [figure] B un morphisme de Cat, et u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘} le foncteur opposé. Alors u est une équivalence faible si et seulement si u^{∘} l’est.

Démonstration. — Considérons le diagramme commutatif 1.1.21.1 ci-dessus. En vertu du lemme 1.1.20 et de (Lc), les morphismes t_{A}, t_{B}, s_{A} et s_{B} sont des équivalences faibles. En utilisant la propriété de saturation (La), on en déduit que u est une équivalence faible si et seulement si S(u) l’est, et S(u) est une équivalence faible si et seulement si u^{∘} l’est, ce qui prouve la proposition.

Corollaire 1.1.23. — Soit A une petite catégorie. Alors A est asphérique si et seulement si la catégorie opposée A^{∘} l’est.

Corollaire 1.1.24. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat, et supposons que u soit une préfibration et que pour tout objet b de B, la fibre A_{b} de u au-dessus de b soit asphérique. Alors u est une équivalence faible.

Démonstration. — Par définition, u étant une préfibration, le foncteur u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘} est une précofibration, et comme pour tout b ∈ Ob(B), (A^{∘})_{b} = (A_{b})^{∘}, l’assertion résulte du corollaire 1.1.23, de la proposition 1.1.17, de (Lc) et de la proposition 1.1.22.

Remarque 1.1.25. — La situation paraît dissymétrique. Cela vient du fait qu’on a privilégié les foncteurs asphériques, ce qui correspond à privilégier la cohomologie par rapport à l’homologie. Pour rétablir la symétrie, il suffit d’introduire la notion de foncteur coasphérique. On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est W-coasphérique, ou plus simplement coasphérique, si le morphisme u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘} est asphérique. Pour tout objet b de B, notons b\A la catégorie dont les objets sont les couples (a, p : b [figure] u(a)), où a est un objet de A et p un morphisme de B, un morphisme de (a, p) vers un deuxième objet (a′, p′) de b\A étant un morphisme f : a [figure] a′ de A tel que le triangle

\xymatrix{ & b \ar[dl]_{p} \ar[dr]^{p′} \\ u(a) \ar[rr]_{u(f)} &  & u(a′)}

soit commutatif. On a un isomorphisme canonique A^{∘}/b ≃ (b\A)^{∘}, et le foncteur

b\u : b\A [figure] b\B ,

induit par u, s’identifie au foncteur

(u^{∘}/b)^{∘} : (A^{∘}/b)^{∘} [figure] (B^{∘}/b)^{∘} .

Il résulte alors de la proposition 1.1.22 (resp. du corollaire 1.1.23 et de la proposition 1.1.3, (a)) que u : A [figure] B est coasphérique si et seulement si, pour tout objet b de B, le foncteur b\u : b\A [figure] b\B est une équivalence faible (resp. la catégorie b\A est asphérique). En vertu de (Lc) et de la proposition 1.1.22, un foncteur coasphérique est une équivalence faible. En vertu de la proposition 1.1.9, un foncteur admettant un adjoint à gauche est coasphérique. Enfin, il résulte de la proposition 1.1.17 et du corollaire 1.1.23 que si u est une préfibration, alors u est coasphérique si et seulement s’il est à fibres asphériques. On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est colocalement W-coasphérique, ou plus simplement colocalement coasphérique, si le morphisme u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘} est localement asphérique. Le foncteur u est colocalement coasphérique si et seulement si pour tout objet a de A, le foncteur a\A [figure] u(a)\B, induit par u, est coasphérique.

1.1.26. — Soit A une catégorie. On rappelle qu’un crible de A est une sous-catégorie pleine U de A, telle que pour tout morphisme a′ [figure] a de A, si a est un objet de U, il en est de même de a′. Un cocrible de A est une sous-catégorie pleine F de A telle que F^{∘} soit un crible de A^{∘}, autrement dit, telle que pour tout morphisme a [figure] a′ de A, si a est un objet de F, il en est de même de a′. Si Δ_{1} désigne la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné {0 ⩽ 1}, alors pour tout foncteur u : A [figure] Δ_{1}, u^{−1}(0) (resp. u^{−1}(1) ) est un crible (resp. un cocrible) de A, et l’application :

u [figure] u^{−1}(0) ( resp. u [figure] u^{−1}(1) )

établit une bijection de la classe des foncteurs de A vers Δ_{1} sur celle des cribles (resp. cocribles) de A.

Proposition 1.1.27. — Soient A une petite catégorie, et U_{1}, U_{2} deux cribles de A tels que A = U_{1} ∪ U_{2}. Alors si U_{1}, U_{2} et U_{1} ∩ U_{2} sont asphériques, il en est de même de A.

Démonstration. — Se donner un crible de A équivaut à se donner un foncteur A [figure] Δ_{1}, le crible étant l’image réciproque de 0. La donnée des cribles U_{1} et U_{2} de A équivaut à la donnée d’un foncteur A [figure] Δ_{1} × Δ_{1}, et dire que A est la réunion des cribles U_{1} et U_{2} équivaut à dire que ce foncteur se factorise par la sous-catégorie

B = \{ \xymatrix{ & (0, 1) \\ (0, 0) \ar@{-->}[ur] \ar@{-->}[dr] \\ & (1, 0)} \}

de Δ_{1} × Δ_{1}, et alors U_{1} ≃ A/(0, 1), U_{2} ≃ A/(1, 0) et U_{1} ∩ U_{2} ≃ A/(0, 0). L’hypothèse que U_{1}, U_{2} et U_{1} ∩ U_{2} sont asphériques implique donc que le foncteur A [figure] B est asphérique. Comme B admet un objet initial, il résulte du corollaire 1.1.11 que B est asphérique. Il résulte alors de (Lc) et (La) que A est asphérique, ce qui prouve la proposition.

Corollaire 1.1.28. — Soient A une petite catégorie, et F_{1}, F_{2} deux cocribles de A tels que A = F_{1} ∪ F_{2}. Alors si F_{1}, F_{2} et F_{1} ∩ F_{2} sont asphériques, il en est de même de A.

Démonstration. — Le corollaire résulte, en vertu de 1.1.23, de la proposition 1.1.27, appliquée à la catégorie opposée A^{∘}.

Exemple 1.1.29. — La classe Fl(Cat) de toutes les flèches de Cat est un localisateur fondamental faible appelé localisateur fondamental trivial. On dit qu’un localisateur fondamental faible W est non trivial si W ≠ Fl(Cat).

Proposition 1.1.30. — Si le localisateur fondamental faible W n’est pas trivial, alors toute catégorie asphérique est non vide.

Démonstration. — En effet, supposons que la catégorie vide ∅ soit asphérique. Pour toute petite catégorie C, le carré

\xymatrix{∅ \ar[r] \ar[d] & ∅ \ar[d] \\ C \ar[r] & e}

étant cartésien, il résulte de la proposition 1.1.4 que ∅ [figure] C est une équivalence faible, ce qui implique que la catégorie C est asphérique. Ainsi, toute petite catégorie est asphérique, et on en déduit, par la condition de saturation (La), que tout morphisme de Cat est une équivalence faible, ce qui contredit la non trivialité de W.

Exemple 1.1.31. — La partie W_{gr} de Fl(Cat) formée du foncteur identique de la catégorie vide, et de tous les foncteurs de source (donc aussi de but) une catégorie non vide est un localisateur fondamental faible. On dit qu’un localisateur fondamental faible W est grossier s’il contient W_{gr}. Il résulte immédiatement de la proposition 1.1.30 que les seuls localisateurs fondamentaux faibles grossiers sont W_{gr} et le localisateur fondamental trivial Fl(Cat).

Exemple 1.1.32. — Soit π_{0} le foncteur de Cat vers la catégorie des ensembles, associant à une petite catégorie l’ensemble de ses composantes connexes. Pour toute petite catégorie A, l’ensemble π_{0}(A) est le quotient de l’ensemble Ob(A) par la relation d’équivalence engendrée par la relation

a ∼ a′ ⟺ Hom_{A}(a, a′) ≠ ∅ , a, a′ ∈ Ob(A) .

Le foncteur π_{0} est adjoint à gauche du foncteur associant à un ensemble E la catégorie discrète correspondante, autrement dit, la catégorie ayant E comme ensemble d’objets et les identités de ces objets comme seuls morphismes. En particulier, le foncteur π_{0} commute aux limites inductives. On pose

W_{0} = {u ∈ Fl(Cat) | π_{0}(u) est bijectif } .

Alors W_{0} est un localisateur fondamental faible. En effet, les conditions (La) et (Lb) sont évidentes, et la condition (Lc) résulte de la commutativité du foncteur π_{0} aux limites inductives, et de l’observation que pour toute flèche u : A [figure] B de Cat, on a un isomorphisme canonique

\underrightarrow{lim}_{b∈Ob(B)} A/b [figure: ∼] A ,

où la limite inductive ci-dessus désigne, par abus de notations, la limite inductive du foncteur

F_{u} : B [figure] Cat , b [figure] A/b .

Exemple 1.1.33. — Il résulte aussitôt du théorème A de Quillen [25] que la partie W_{∞} de Fl(Cat) formée des équivalences faibles usuelles de Cat, autrement dit, des morphismes de Cat induisant une équivalence d’homotopie des espaces classifiants correspondants, est un localisateur fondamental faible. On démontre que W_{∞} est le plus petit localisateur fondamental faible [10].

Exemple 1.1.34. — Soit n un entier, n ⩾ 0. On dit qu’une flèche de Cat est une n-équivalence si elle appartient à W_{0}, et si pour tout entier m, 1 ⩽ m ⩽ n, elle induit un isomorphisme des m-ièmes groupes d’homotopie des espaces classifiants correspondants, et ceci pour tout choix de point base. Alors si l’on note W_{n} la partie de Fl(Cat) formée des n-équivalences, W_{n} est un localisateur fondamental faible [10].

1.2. Les équivalences faibles dans une catégorie de préfaisceaux

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

1.2.1. — On se fixe une petite catégorie A. On note Â la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur A. Pour tout objet a de A, on note aussi a le préfaisceau x [figure]Hom_{A}(x, a) représenté par a, et on identifie A à une sous-catégorie pleine de Â. On définit un couple de foncteurs :

i_{A} : Â [figure] Cat ,  i_{A}^{∗} : Cat  [figure] Â
F [figure] A/F , C [figure] (a [figure] Hom_{Cat}(A/a, C))

et des morphismes de foncteurs :

ε : i_{A}i_{A}^{∗}  [figure] 1_{Cat} ,  η : 1Â  [figure] i_{A}^{∗}i_{A} .

Pour toute petite catégorie C, le foncteur :

ε_{C} : A/i_{A}^{∗}(C) [figure] C

est défini par :

(a, \xymatrix{A/a \ar[r]^{v} & C} ) [figure] v(a, 1_{a}) ,

et pour tout préfaisceau F, et tout objet a de A, l’application :

η_{F} (a) : F (a) [figure]Hom_{Cat}(A/a, A/F)

est définie par :

( \xymatrix{a \ar[r]^{s} & F} ) [figure] ( \xymatrix{A/a \ar[r]^{s_{∗}} & A/F} ) ,

où s_{∗} est défini par :

(x, p : x [figure] a) [figure] (x, sp : x [figure] F) .

Proposition 1.2.2. — Le couple des foncteurs (i_{A}, i_{A}^{∗}) est un couple de foncteurs adjoints (le foncteur i_{A} est adjoint à gauche du foncteur i_{A}^{∗}) et les morphismes de foncteurs

(1.2.2.1)  ε : i_{A}i_{A}^{∗}  [figure] 1_{Cat} ,  η : 1Â  [figure] i_{A}^{∗}i_{A}

sont les morphismes d’adjonction.

La démonstration est laissée au lecteur.

1.2.3. — On dit qu’un morphisme de préfaisceaux sur A :

φ : F [figure] G

est une équivalence faible, ou une W-équivalence, si le foncteur correspondant :

i_{A}(φ) : A/F [figure] A/G

est une équivalence faible. On note WÂ la classe des équivalences faibles de Â :

(1.2.3.1)  WÂ = i_{A}^{−1}(W) .

L’ensemble des équivalences faibles de Â est une partie faiblement saturée de Fl(Â). On dit qu’un morphisme de préfaisceaux :

φ : F [figure] G

est W-asphérique, ou plus simplement asphérique, si le foncteur correspondant :

i_{A}(φ) : A/F [figure] A/G

est asphérique. En vertu de (Lc) (1.1.2), un morphisme asphérique de préfaisceaux est une équivalence faible.

Proposition 1.2.4. — Soit φ : F [figure] G un morphisme de préfaisceaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) φ est asphérique ;

(b) pour tout objet a de A, et tout morphisme a [figure] G de Â, la catégorie A/(a×_{G} F) est asphérique ;

(c) φ est universellement dans WÂ (1.1.1).

Démonstration. — Dire que φ est asphérique signifie que le foncteur A/F [figure] A/G est asphérique, autrement dit, que pour tout objet (a, s : a [figure] G) de A/G, la catégorie (A/F)/(a, s) ≃ A/(a ×_{G} F) est asphérique (1.1.3), ce qui prouve l’équivalence de (a) et (b).

Si φ est universellement dans WÂ, en particulier, pour tout morphisme a [figure] G, avec a objet de A, le morphisme a ×_{G} F [figure] a est dans WÂ, donc le foncteur A/(a ×_{G} F) [figure] A/a est une équivalence faible, et comme A/a admet un objet final, il en résulte que A/(a ×_{G} F) est asphérique, ce qui prouve (c) ⇒ (b).

Supposons maintenant φ asphérique, et soit G′ [figure] G un morphisme arbitraire de préfaisceaux. Montrons que G′ ×_{G} F [figure] G′ est dans WÂ. Il suffit de montrer qu’il est asphérique, autrement dit, en vertu de l’implication (b) ⇒ (a), que pour tout morphisme a [figure] G′ de Â, A/(a ×_{G′} G′ ×_{G} F) ≃ A/(a ×_{G} F) est asphérique, ce qui résulte de l’asphéricité de φ et de l’implication (a) ⇒ (b). On a donc (a) ⇒ (c).

1.2.5. — Soit F un objet de Â. On dit que F est W-asphérique, ou plus simplement asphérique, si la catégorie A/F est asphérique, autrement dit si i_{A}(F) est asphérique. Si F est un préfaisceau représentable, la catégorie A/F admet un objet final, et il en résulte que F est asphérique. En vertu de la proposition 1.2.4, un morphisme u : F [figure] G de Â est asphérique si et seulement si pour tout morphisme a [figure] G de Â, avec a objet de A, le préfaisceau a ×_{G} F est asphérique.

1.2.6. — Pour toute petite catégorie A, on note eÂ un objet final de Â. Considérons les propriétés :

(a) le préfaisceau F est asphérique ;

(b) le morphisme F [figure] eÂ est une équivalence faible ;

(c) le morphisme F [figure] eÂ est asphérique ;

(d) le morphisme F [figure] eÂ est universellement dans WÂ. En vertu de la proposition 1.2.4, les conditions (c) et (d) sont équivalentes, et en vertu de (Lc) (1.1.2), ces conditions impliquent la condition (b) qui est, en général, strictement plus faible. Si la catégorie A n’est pas asphérique aucune des conditions (b), (c), (d) n’implique la condition (a). Si A est asphérique, ce qui équivaut à affirmer que eÂ est asphérique, alors les conditions (a) et (b) sont équivalentes (et l’équivalence de ces conditions pour tout F équivaut à l’asphéricité de A), mais toujours plus faibles, en général, que les conditions équivalentes (c) et (d). On verra que ces quatre conditions sont équivalentes si et seulement si A est totalement asphérique (1.6.2). On dit que F est localement W-asphérique, ou plus simplement localement asphérique, s’il satisfait aux conditions équivalentes (c) et (d).

Cette terminologie est justifiée par l’observation suivante : un préfaisceau F est localement asphérique si et seulement si, pour tout a ∈ Ob(A), le préfaisceau F |(A/a), induit par F sur A/a, est asphérique. En effet, on a des isomorphismes canoniques

(A/a)/(F |(A/a)) ≃ A/(a × F) ≃ A/(a ×_{eÂ} F) .

Plus généralement, on dit qu’un morphisme φ : F [figure] G de préfaisceaux sur A est une W-équivalence locale, ou une équivalence faible locale, si pour tout objet a de A, le morphisme de préfaisceaux

φ|(A/a) : F |(A/a) [figure] G|(A/a) ,

induit par φ, est une équivalence faible de Â/a, autrement dit, si pour tout objet a de A, le morphisme

1_{a} × φ : a × F [figure] a × G

est une équivalence faible de Â. On remarque qu’un préfaisceau F sur A est localement asphérique si et seulement si le morphisme F [figure] eÂ est une équivalence faible locale.

Proposition 1.2.7. — Soient A une petite catégorie, F un préfaisceau sur A, et F_{1} et F_{2} deux sous-préfaisceaux de F tels que F = F_{1} ∪ F_{2}. Si les préfaisceaux F_{1}, F_{2} et F_{1} ∩ F_{2} sont asphériques, il en est de même du préfaisceau F.

Démonstration. — Il s’agit de montrer que la catégorie A/F est asphérique. Par hypothèse, les catégories A/F_{1}, A/F_{2} et A/F_{1} ∩ F_{2} sont asphériques. Or, A/F_{1} et A/F_{2} s’identifient à des cribles de A/F, A/F_{1} ∩ F_{2} s’identifiant au crible intersection. L’hypothèse F = F_{1} ∪ F_{2} implique que A/F est la réunion des cribles A/F_{1} et A/F_{2}. L’assertion résulte donc de la proposition 1.1.27.

1.2.8. — Soit maintenant u : A [figure] B un morphisme de Cat. On note u^{∗} : B̂ [figure] Â le foncteur “image réciproque par u”, associant à un préfaisceau F de B̂ le préfaisceau F ∘ u de Â. Pour tout préfaisceau F de B̂, le foncteur u : A [figure] B induit un foncteur

\begin{aligned}u/F : A/F & = \xymatrix{A/u^{∗}(F) \ar[r] & B/F} \\ & (a, \xymatrix{a \ar[r]^{s} & u^{∗}(F)} ) [figure] (u(a), \xymatrix{u(a) \ar[r]^{s} & F}) \end{aligned}

(en considérant, par Yoneda, s comme un élément de u^{∗}(F)(a) = F (u(a)) ). On définit ainsi un morphisme de foncteurs

λ := λ_{u} : i_{A}u^{∗} [figure] i_{B} ,

en posant λ_{F} = u/F, pour F objet de B̂.

Proposition 1.2.9. — Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est asphérique ;

(b) pour qu’un préfaisceau F de B̂ soit asphérique, il faut et il suffit que le préfaisceau u^{∗}(F) de Â soit asphérique ;

(b′) si F est un préfaisceau asphérique de B̂, alors u^{∗}(F) est un préfaisceau

asphérique de Â; (b′′) pour tout objet b de B, le préfaisceau u^{∗}(b) de Â est asphérique ;

(c) pour tout préfaisceau F de B̂, le foncteur λ_{F} : A/u^{∗}(F) [figure] B/F est une équivalence faible ;

(c′) pour tout préfaisceau F de B̂, le foncteur λ_{F} : A/u^{∗}(F) [figure] B/F est asphérique ; (c′′) pour tout objet b de B, le foncteur λ_{b} : A/u^{∗}(b) [figure] B/b est une équivalence

faible ; et si ces conditions sont satisfaites, on a :

(d) pour qu’un morphisme φ de B̂ soit une équivalence faible, il faut et il suffit que u^{∗}(φ) soit une équivalence faible de Â.

De plus, si A et B sont asphériques, les conditions (a) à (d) sont équivalentes, et équivalentes à la condition : (d′) si φ est une équivalence faible de B̂, alors u^{∗}(φ) est une équivalence faible de Â.

Démonstration. — L’implication (b) ⇒ (b′) est évidente, l’implication (b′) ⇒ (b′′) résulte du fait qu’un préfaisceau représentable est asphérique (1.2.5), l’implication (b′′) ⇒ (c′′) de La et Lb, (1.1.2), l’implication (c′′) ⇒ (c′) de l’observation que pour tout préfaisceau F de B̂, et tout objet (b, \xymatrix{b \ar[r]^{s} & F}) de B/F, on a des isomorphismes canoniques (B/F)/(b, s) ≃ B/b et (A/u^{∗}(F))/(b, s) ≃ A/b = A/u^{∗}(b), l’implication (c′) ⇒ (c) de Lc (1.1.2), et l’implication (c) ⇒ (b) de La (1.1.2). Enfin, on remarque que (c′′) est une paraphrase de (a), ce qui prouve l’équivalence des conditions (a) à (c′′).

L’implication (c) ⇒ (d) résulte de la commutativité du carré

\xymatrix{A/u^{∗}(F) \ar[r]^{i_{A}(u^{∗}(φ))} \ar[d]_{λ_{F}} & A/u^{∗}(G) \ar[d]^{λ_{G}} \\ B/F \ar[r]_{i_{B}(φ)} & B/G & ,}

pour φ : F [figure] G morphisme de B̂, et de la condition de saturation La (1.1.2).

Si A et B sont asphériques, montrons l’implication (d′) ⇒ (b′). Soit donc F un préfaisceau asphérique de B̂. Comme B est asphérique, le morphisme canonique φ : F [figure] eB̂ est une équivalence faible de B̂, et en vertu de (d′), u^{∗}(φ) : u^{∗}(F) [figure] u^{∗}(eB̂) = eÂ est une équivalence faible de Â. Comme A est asphérique, on en déduit que u^{∗}(F) est asphérique. L’implication (d) ⇒ (d′) étant évidente, ceci prouve, sous l’hypothèse de l’asphéricité de A et B, l’équivalence des conditions (a) à (d′), et achève la démonstration de la proposition.

Corollaire 1.2.10. — Soit u : A [figure] B un morphisme localement asphérique de Cat.

(a) Pour tout préfaisceau localement asphérique F de B̂, u^{∗}(F) est un préfaisceau localement asphérique de Â.

(b) Pour toute équivalence faible locale φ de B̂, u^{∗}(φ) est une équivalence faible locale de Â.

Si de plus le foncteur u induit une surjection sur les objets, alors on a les assertions suivantes. (a′) Pour qu’un préfaisceau F de B̂ soit localement asphérique, il faut et il suffit que

le préfaisceau u^{∗}(F) de Â le soit. (b′) Pour qu’un morphisme φ de B̂ soit une équivalence faible locale, il faut et il

suffit que le morphisme u^{∗}(φ) de Â le soit.

Démonstration. — Le corollaire est conséquence immédiate de la proposition précédente, et du fait que pour tout préfaisceau F sur B, et tout objet a de A, on a un isomorphisme

\xymatrix{ & A/a \ar[dd]_{u/a} \ar[r] & A \ar[dd]^{u} \\ u^{∗}(F)|A/a ≃ (u/a)^{∗}(F |B/u(a)) \\  & B/u(a) \ar[r] & B}

fonctoriel en F.

1.2.11. — Soient maintenant A et B deux petites catégories. On définit un foncteur

\begin{aligned}⊠ & : Â × B̂ [figure] { \atop A × B} \\ & (F, G) [figure] pr_{1}^{∗}(F) × pr_{2}^{∗}(G) , \end{aligned}

où

\xymatrix{ & A × B \ar[dl]_{pr_{1}} \ar[dr]^{pr_{2}} \\ A &  & B}

désignent les projections. On vérifie aussitôt qu’on a un isomorphisme fonctoriel canonique :

i_{A×B}(F ⊠ G) = A × B/F ⊠ G [figure: ∼]A/F × B/G = i_{A}(F) × i_{B}(G) .

Proposition 1.2.12. — a) Soient F, G des préfaisceaux sur A, B respectivement. Si F et G sont asphériques (resp. localement asphériques), il en est de même de F ⊠G.

b) Soient u : F [figure] F′, v : G [figure] G′ des morphismes de préfaisceaux sur A, B respectivement. Si les morphismes u et v sont asphériques, il en est de même de u⊠v.

Démonstration. — La proposition résulte aussitôt de ce qui précède et des corollaires 1.1.5 et 1.1.6.

1.3. Les catégories test faibles

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

1.3.1. — Soient M une catégorie, et W une partie de Fl(M). On rappelle qu’il existe (quitte à agrandir l’univers de base) une catégorie W^{−1}M et un foncteur γ : M [figure] W^{−1}M tel que, pour tout w ∈ W, γ(w) soit un isomorphisme de W^{−1}M, et qui soient universels pour cette propriété. Autrement dit, pour tout foncteur F : M [figure] M′ tel que, pour tout w ∈ W, F (w) soit inversible, il existe un unique foncteur F̃ : W^{−1}M [figure] M′ tel que F = F̃γ.

\xymatrix{M \ar[r]^{γ} \ar[dr]_{F} & W^{−1}M \ar@{-->}[d]^{F̃} \\  & M′}

On dit que W^{−1}M est la catégorie des fractions de M relativement à W, ou la localisation de M par W, et que γ est le foncteur de localisation. On dit que la partie W de Fl(M) est fortement saturée si W est formée exactement des flèches qui deviennent inversibles par le foncteur de localisation. On vérifie aussitôt qu’une partie fortement saturée de Fl(M) est aussi faiblement saturée (cf. 1.1.1). On dit que le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental faible fortement saturé si la partie W de Fl(Cat) est fortement saturée.

1.3.2. — On appelle catégorie homotopique relative au localisateur fondamental faible W, ou plus simplement catégorie homotopique, et on note Hot_{W}, ou plus simplement Hot, la catégorie W^{−1}Cat. On appelle foncteur de localisation canonique et on note γ_{W}, ou plus simplement γ, le foncteur de localisation γ : Cat [figure] Hot.

Si W est le localisateur fondamental trivial (1.1.29), W = Fl(Cat), alors la catégorie homotopique Hot_{W} est équivalente à l’objet final de Cat. Si W = W_{gr} (1.1.31), alors la catégorie Hot_{W} est équivalente à la catégorie Δ_{1} = {0 [figure] 1}. Si W = W_{0} (1.1.32), alors la catégorie Hot_{W} est équivalente à la catégorie des ensembles, et le foncteur de localisation canonique s’identifie au foncteur π_{0}. Si W = W_{∞} est formé des équivalences faibles usuelles (1.1.33), alors la catégorie Hot_{W} est équivalente à la catégorie homotopique usuelle des CW-complexes. Si n est un entier, n ⩾ 0, et si W = W_{n} est formé des n-équivalences (1.1.34), alors la catégorie Hot_{W} est équivalente à la catégorie des n-types d’homotopie.

1.3.3. — On appelle W-modélisateur, ou plus simplement modélisateur, un couple (M, W), où M est une catégorie et W une partie faiblement saturée de Fl(M), tel que la catégorie des fractions W^{−1}M soit équivalente à la catégorie homotopique Hot. Si (M, W) et (M′, W′) sont deux modélisateurs, on dit qu’un foncteur F : M [figure] M′ est un morphisme de modélisateurs si :

(a) W = F^{−1}(W′) ;

(b) le foncteur \overline{F} : W^{−1}M [figure] W′^{−1}M′, induit par F, est une équivalence de catégories.

Le couple (Cat, W) est un modélisateur, appelé le modélisateur fondamental.

1.3.4. — On se fixe une petite catégorie A. On rappelle que

i_{A} : Â [figure] Cat

désigne le foncteur canonique :

F [figure] A/F

(cf. 1.2.1), et que

WÂ = i_{A}^{−1}(W)

désigne la classe des équivalences faibles de Â (cf. 1.2.3). On note Hot_{W,A}, ou plus simplement Hot_{A}, la catégorie des fractions W−1 ; ÂÂ et γ_{A} : Â [figure] Hot_{A} le foncteur de localisation. On dit que A est une W-pseudo-catégorie test, ou plus simplement une pseudo-catégorie test, si :

(a) A est asphérique ;

(b) le foncteur :

ī_{A} : Hot_{A} = W−1 ; ÂÂ [figure] W^{−1}Cat = Hot

induit par i_{A} est une équivalence de catégories.

Proposition 1.3.5. — Si W est un localisateur fondamental faible fortement saturé, les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) A est une pseudo-catégorie test ;

(b) (Â, WÂ) est un modélisateur, et le foncteur i_{A} est un morphisme de modélisateurs vers le modélisateur fondamental (Cat, W).

Démonstration. — L’implication (a)⇒(b) est évidente. Pour montrer l’implication (b)⇒(a), il suffit de montrer que la condition (b) implique que A est asphérique, autrement dit que le foncteur canonique A [figure] e, où e désigne la catégorie ponctuelle, est une équivalence faible. Considérons le diagramme commutatif :

\xymatrix{Â \ar[r]^{i_{A}} \ar[d]_{γ_{A}} & Cat \ar[d]^{γ} \\ _{Hot_{A}} \ar[r]_{ī_{A}} & Hot & .}

Le localisateur fondamental faible W étant fortement saturé, il suffit de montrer que γ(A) [figure] γ(e) est un isomorphisme. Or, on a A ≃ A/eÂ = i_{A}(eÂ), où eÂ désigne l’objet final de Â, et γ(A) ≃ γi_{A}(eÂ) = ī_{A}γ_{A}(eÂ), et comme par hypothèse ī_{A} est une équivalence de catégories, l’assertion résulte du fait que l’image d’un objet final par une équivalence de catégories est un objet final, et du lemme suivant.

Lemme 1.3.6. — Soient M une catégorie, W une classe de flèches de M, et γ_{M} : M [figure] W^{−1}M le foncteur de localisation. Si e_{M} est un objet final de M, alors γ_{M}(e_{M}) est un objet final de W^{−1}M.

La démonstration est laissée au lecteur.

1.3.7. — Dans la définition d’une pseudo-catégorie test, on a privilégié le foncteur i_{A} par rapport à son adjoint à droite i_{A}^{∗} (cf. 1.2.2). De façon plus symétrique, on appelle W-catégorie test faible, ou plus simplement catégorie test faible, une petite catégorie A telle qu’il existe une partie faiblement saturée W de Fl(Â) telle que :

(a) (Â, W) soit un modélisateur ;

(b) i_{A} et i_{A}^{∗} soient des morphismes de modélisateurs

i_{A} : (Â, W) [figure] (Cat, W) , i_{A}^{∗} : (Cat, W) [figure] (Â, W) ;

(c) pour toute petite catégorie C ∈ Ob(Cat), on ait ε_{C} ∈ W, et pour tout préfaisceau F ∈ Ob(Â), on ait η_{F} ∈ W, où

ε : i_{A}i_{A}^{∗}  [figure] 1_{Cat} ,  η : 1Â  [figure] i_{A}^{∗}i_{A}

désignent les morphismes d’adjonction (1.2.2.1). On remarque que la condition (b) implique en particulier que W = i_{A}^{−1}(W) = WÂ,

et que W = i_{A}^{∗}^{−1}(W) = i_{A}^{∗}^{−1}(WÂ). En fait, les conditions (a), (b), (c) ci-dessus sont largement redondantes.

Lemme 1.3.8. — Soient i : M [figure] M′, j : M′ [figure] M un couple de foncteurs adjoints,

ε : ij [figure] 1_{M′} ,  η : 1_{M}  [figure] ji

les morphismes d’adjonction, et W (resp. W′) une partie faiblement saturée de Fl(M) (resp. Fl(M′)). Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(a) W = i^{−1}(W′), et pour tout a′ ∈ Ob(M′), le morphisme ε_{a′} : ij(a′) [figure] a′ est dans W′;

(a′) W′ = j^{−1}(W), et pour tout a ∈ Ob(M), le morphisme η_{a} : a [figure] ji(a) est dans

W ; ces deux conditions impliquant la condition :

(b) i(W) ⊂ W′, j(W′) ⊂ W et les foncteurs :

ī: W^{−1}M  [figure] W′^{−1}M′ ,  j̄: W′^{−1}M′  [figure] W^{−1}M ,

induits par i et j, sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre, les isomorphismes d’adjonction étant déduits de ε et η.

De plus, si les parties W et W′ sont fortement saturées, les conditions (a), (a′) et (b) sont équivalentes.

Démonstration. — Montrons que (a) ⇒ (a′). Pour tout a ∈ Ob(M), on a :

ε_{i(a)} ∘ i(η_{a}) = 1_{i(a)}

\xymatrix{i(a) \ar[r]^{i(η_{a})} & iji(a) \ar[r]^{ε_{i(a)}} & i(a)} ,

et comme ε_{i(a)} ∈ W′, on en déduit par saturation faible que i(η_{a}) ∈ W′, d’où η_{a} ∈ W. Montrons que W′ = j^{−1}(W). Soit f′ : a′ [figure] b′ une flèche de M′. On a un diagramme commutatif :

\xymatrix{ij(a′) \ar[r]^{ε_{a′}} \ar[d]_{ij(f′)} & a′ \ar[d]^{f′} \\ ij(b′) \ar[r]_{ε_{b′}} & b′ & ,}

et comme ε_{a′}, ε_{b′} ∈ W′, la saturation faible implique que f′ ∈ W′ si et seulement si ij(f′) ∈ W′. Or, par hypothèse, on a ij(f′) ∈ W′ si et seulement si j(f′) ∈ W, ce qui prouve (a′).

L’implication (a′) ⇒ (a) résulte de l’implication précédente, appliquée aux catégories opposées.

Les autres assertions sont évidentes.

Proposition 1.3.9. — Soit A une petite catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) A est une catégorie test faible ; (ii) A satisfait aux conditions suivantes :

(a) A est asphérique ;

(b) i_{A}^{∗}(W) ⊂ WÂ (autrement dit i_{A}i_{A}^{∗}(W) ⊂ W) ; (iii) pour toute petite catégorie C, le foncteur ε_{C} : i_{A}i_{A}^{∗}(C) [figure] C est une équivalence

faible ; (iii′) pour toute petite catégorie C, le foncteur ε_{C} : i_{A}i_{A}^{∗}(C) [figure] C est asphérique ; (iii′′) pour toute petite catégorie C ayant un objet final, le préfaisceau i_{A}^{∗}(C) est

asphérique. (iii′′′) pour toute petite catégorie asphérique C, le préfaisceau i_{A}^{∗}(C) est asphérique.

Démonstration. — L’implication (i) ⇒ (ii), (b) est immédiate. Pour démontrer que (i) ⇒ (ii), (a), on remarque que la condition (i) implique que le morphisme ε_{e} : i_{A}i_{A}^{∗}(e) [figure] e est une équivalence faible. Or, i_{A}^{∗} étant un adjoint à droite, il transforme un objet final en objet final. On a donc i_{A}^{∗}(e) ≃ eÂ et i_{A}i_{A}^{∗}(e) ≃ i_{A}(eÂ) ≃ A, ce qui montre que A est asphérique, et prouve l’implication (i) ⇒ (ii). Montrons l’implication (ii) ⇒ (iii′′′). Soit C une petite catégorie asphérique. Le morphisme C [figure] e est une équivalence faible, et en vertu de (ii), (b), il en est de même de i_{A}i_{A}^{∗}(C) [figure] i_{A}i_{A}^{∗}(e) ≃ A. Il résulte donc de (ii), (a) et (La), (1.1.2) que i_{A}^{∗}(C) est un préfaisceau asphérique. L’implication (iii′′′) ⇒ (iii′′) résulte de (Lb), (1.1.2), l’implication (iii′′) ⇒ (iii′) de l’observation que pour toute petite catégorie C et tout c ∈ Ob(C), i_{A}i_{A}^{∗}(C)/c ≃ i_{A}i_{A}^{∗}(C/c), l’implication (iii′) ⇒ (iii) de (Lc), (1.1.2), et l’implication (iii) ⇒ (i) du lemme 1.3.8, ce qui prouve la proposition.

Remarque 1.3.10. — Il résulte, en particulier, de la proposition précédente qu’une catégorie test faible est une pseudo-catégorie test.

1.4. Segments et homotopie dans une catégorie

1.4.1. — Soit M une catégorie admettant un objet final e_{M}. On appelle segment de M un triplet 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}), où I est un objet de M, et ∂_{0}, ∂_{1} : e_{M} [figure]I des morphismes de M. Si M admet un objet initial ∅_{M}, on dit qu’un segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) est séparant si le morphisme canonique ∅_{M} [figure] e_{M} est un noyau de la double flèche (∂_{0}, ∂_{1}) : e_{M} [figure]I. Soient 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) et 𝕀′ = (I′, ∂′_{0}, ∂′_{1}) deux segments de M. On appelle morphisme de segments de 𝕀 vers 𝕀′ un morphisme φ : I [figure] I′ de M tel que ∂′_{0} = φ∂_{0} et ∂′_{1} = φ∂_{1}.

1.4.2. — On suppose dans la suite que M admet des produits finis. Soient 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) un segment de M, et f, g : X [figure]Y deux morphismes de M. On dit que f est 𝕀-homotope de façon élémentaire à g s’il existe un morphisme h : I × X [figure] Y tel que f = h(∂_{0} × 1_{X}) et g = h(∂_{1} × 1_{X})

\xymatrix{ & I × X \ar[dd]^{h} \\ X \ar[ur]^{∂_{0}×1_{X}} \ar[dr]_{f} &  & X \ar[ul]_{∂_{1}×1_{X}} \ar[dl]^{g} \\  & Y & ,}

et on dit que h est une 𝕀-homotopie de f à g (ou par abus de langage une I-homotopie). On remarque que 1_{I} est une 𝕀-homotopie de ∂_{0} à ∂_{1} (en identifiant I × e_{M} à I). Plus généralement, un morphisme de segments φ : 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) [figure] 𝕀′ = (I′, ∂′_{0}, ∂′_{1}) est une 𝕀-homotopie de ∂′_{0} à ∂′_{1}.

Soit I un ensemble de segments de M. On appelle relation de I-homotopie la relation d’équivalence engendrée par la relation : “il existe un segment 𝕀 appartenant à I tel que f soit 𝕀-homotope à g de façon élémentaire”. On dit que deux morphismes sont I-homotopes (ou 𝕀-homotopes si I = {𝕀}) s’ils sont en relation par la relation de I-homotopie. Si I = {(I, ∂_{0}, ∂_{1})}, on dira parfois, par abus de langage, qu’ils sont I-homotopes.

1.4.3. — On vérifie immédiatement que la relation de I-homotopie est compatible à la composition et au produit de morphismes :

a) Si f_{0}, f_{1} : X [figure]Y, g_{0}, g_{1} : Y [figure]Z sont des morphismes de M, et si f_{0} est I-homotope à f_{1} et g_{0} I-homotope à g_{1}, alors g_{0}f_{0} est I-homotope à g_{1}f_{1}.

b) Si f_{0}, f_{1} : X [figure]Y, f′_{0}, f′_{1} : X′ [figure]Y′ sont des morphismes de M, et si f_{0} est I-homotope à f_{1} et f′_{0} I-homotope à f′_{1}, alors f_{0} × f′_{0} est I-homotope à f_{1} × f′_{1}.

En vertu de la propriété (a), il existe une catégorie M_{I} ayant mêmes objets que M, et telle que pour tous objets X et Y, Hom_{M_{I}}(X, Y) soit le quotient de l’ensemble Hom_{M}(X, Y) par la relation de I-homotopie, la composition dans M_{I} étant déduite de celle de M par passage au quotient, ainsi qu’un foncteur Q_{I} induisant l’identité sur les ensembles des objets, associant à une flèche de M sa classe de I-homotopie, et jouissant de la propriété universelle suivante. Pour toute catégorie M′, et tout foncteur F : M [figure] M′ tel que pour tout couple de morphismes I-homotopes de M, on ait F (f) = F (g), il existe un foncteur unique \overline{F} : M_{I} [figure] M′ rendant commutatif le triangle :

\xymatrix{M \ar[d]_{Q_{I}} \ar[dr]^{F} \\ M_{I} \ar[r]_{\overline{F}} & M′ & .}

L’assertion (b) implique que M_{I} admet des produits finis, et que le foncteur Q_{I} commute à ces produits.

On dit qu’un morphisme f de M est un I-homotopisme, ou une I-équivalence d’homotopie (ou un 𝕀-homotopisme, ou une 𝕀-équivalence d’homotopie si I = {𝕀}), si Q_{I}(f) est un isomorphisme de M_{I}. On dit qu’un objet X de M est I-contractile (ou 𝕀-contractile si I = {𝕀}) si Q_{I}(X) est un objet final de M_{I}, ou de façon équivalente, si le morphisme canonique X [figure] e_{M} est un I-homotopisme. Pour cela, il faut et il suffit que l’identité de X soit I-homotope à un endomorphisme constant de X (se factorisant par l’objet final e_{M} de M). Si I = {(I, ∂_{0}, ∂_{1})}, on parlera parfois, par abus de langage, de I-homotopisme, de I-équivalence d’homotopie, ou d’objet I-contractile.

1.4.4. — On note Ĩ la classe des segments 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de M tels que ∂_{0} et ∂_{1} soient I-homotopes. On a I ⊂ Ĩ (cf. 1.4.2), et il résulte de l’assertion (a) ci-dessus que la relation de Ĩ-homotopie coïncide avec la relation de I-homotopie, et Ĩ est la plus grande classe de segments ayant cette propriété. On a MĨ = M_{I}, QĨ = Q_{I}, et en particulier, pour qu’un morphisme de M soit un Ĩ-homotopisme, il faut et il suffit qu’il soit un I-homotopisme, et pour qu’un objet de M soit Ĩ-contractile, il faut et il suffit qu’il soit I-contractile.

Si M admet des sommes amalgamées (il suffit des sommes amalgamées sous e_{M}), et si les foncteurs produit par un objet respectent les carrés cocartésiens, alors deux flèches f, g : X [figure]Y de M sont I-homotopes si et seulement s’il existe un segment 𝕀 appartenant à Ĩ et une 𝕀-homotopie de f à g.

Si I′ est une deuxième classe de segments de M, la relation de I-homotopie est plus fine que celle de I′-homotopie si et seulement si pour tout segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) appartenant à I, ∂_{0} et ∂_{1} sont I′-homotopes, autrement dit, si I ⊂ Ĩ′, et alors un I-homotopisme est aussi un I′-homotopisme, et un objet I-contractile est aussi I′-contractile.

1.4.5. — Soient M et M′ des catégories admettant des objets finaux e_{M} et e_{M′} respectivement, et F : M [figure] M′ un foncteur tel que F (e_{M}) = e_{M′}. Pour tout segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de M, (F (I), F (∂_{0}), F (∂_{1})) est un segment de M′, noté F (𝕀). Supposons que M et M′ admettent des produits finis, et que le foncteur F y commute. Alors si f, g : X [figure]Y sont deux morphismes de M, et h : I × X [figure] Y une 𝕀-homotopie de f à g,

F (h) : F (I) × F (X) ≃ F (I × X) [figure] F (Y)

est une F (𝕀)-homotopie de F (f) à F (g). On en déduit que si I est une classe de segments de M, et I′ la classe des segments de M′ formée des segments F (𝕀), pour 𝕀 segment appartenant à I, et si f, g : X [figure]Y sont deux morphismes I-homotopes de M, alors F (f) et F (g) sont I′-homotopes. Ainsi, en vertu de la propriété universelle de la catégorie M_{I}, le foncteur F induit un foncteur \overline{F} : M_{I} [figure] M′_{I′} rendant commutatif le diagramme :

\xymatrix{M \ar[r]^{F} \ar[d]_{Q_{I}} & M′ \ar[d]^{Q_{I′}} \\ M_{I} \ar[r]_{\overline{F}} & M′_{I′} & .}

En particulier, si f est un I-homotopisme de M, alors F (f) est un I′-homotopisme de M′, et si X est un objet I-contractile de M, F (X) est un objet I′-contractile de M′.

Lemme 1.4.6 (d’homotopie). — Soient M une catégorie admettant des produits finis, W une partie faiblement saturée de Fl(M), et I un ensemble de segments de M, tel que pour tout segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) appartenant à I, le morphisme canonique p_{I} : I [figure] e_{M}, où e_{M} désigne l’objet final de M, soit universellement dans W. Si f, g : X [figure]Y sont deux morphismes I-homotopes de M, alors :

(a) γ(f) = γ(g), où γ : M [figure] W^{−1}M désigne le foncteur canonique de localisation ;

(b) f est dans W si et seulement si g l’est ;

(c) si f est un isomorphisme, et g un morphisme constant (se factorisant par l’objet final e_{M}), alors le morphisme canonique X [figure] e_{M} (et Y [figure] e_{M}) est universellement dans W.

Démonstration. — Pour démontrer (a) et (b), on peut supposer qu’il existe un segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) appartenant à I, et une 𝕀-homotopie h : I × X [figure] Y de f à g, de sorte que le diagramme

\xymatrix{ & I × X \ar[dd]^{h} \\ X \ar[ur]^{∂_{0}×1_{X}} \ar[dr]_{f} &  & X \ar[ul]_{∂_{1}×1_{X}} \ar[dl]^{g} \\  & Y}

soit commutatif. Comme le morphisme canonique p_{I} : I [figure] e_{M} est universellement dans W, pr_{2} = p_{I} × 1_{X} : I × X [figure] X est dans W, et comme

(1.4.6.1)  pr_{2} ∘ (∂_{0} × 1_{X}) = 1_{X} = pr_{2} ∘ (∂_{1} × 1_{X}) ,

on a

γ(pr_{2})γ(∂_{0} × 1_{X}) = 1_{γ(X)} = γ(pr_{2})γ(∂_{1} × 1_{X}) ,

d’où

γ(∂_{0} × 1_{X}) = γ(∂_{1} × 1_{X}) ,

ce qui implique que

γ(f) = γ(h)γ(∂_{0} × 1_{X}) = γ(h)γ(∂_{1} × 1_{X}) = γ(g) ,

et prouve l’assertion (a).

De même, l’égalité 1.4.6.1 implique, en vertu des conditions FS1 et FS2 de la saturation, que ∂_{0} × 1_{X} et ∂_{1} × 1_{X} sont dans W. On en déduit que f (resp. g) est dans W si et seulement si h l’est (condition FS2 de la saturation), ce qui prouve l’assertion (b).

Montrons l’assertion (c). Par hypothèse, g = sp, où p : X [figure] e_{M} désigne le morphisme canonique et s : e_{M} [figure] Y un morphisme de M. Il s’agit de montrer que pour tout objet T de M, la deuxième projection pr_{2} = p × 1_{T} : X × T [figure] T est dans W. Or, en vertu de 1.4.3, (b), f × 1_{T} est homotope à g × 1_{T} = (s × 1_{T})(p × 1_{T}), et comme f est un isomorphisme, il en est de même de f × 1_{T} qui est donc dans W (conditions FS1 et FS3 de la saturation). Il résulte donc de (b) que (s × 1_{T})(p × 1_{T}) est dans W, et comme (p × 1_{T})(s × 1_{T}) = 1_{T}, p × 1_{T} est dans W (condition FS3 de la saturation), ce qui achève la démonstration.

Remarque 1.4.7. — Dans la démonstration de 1.4.6, (c), on utilise pour la première fois de façon essentielle la condition FS3 de la saturation. Jusqu’à présent, la seule conséquence utilisée de cette condition (combinée avec la condition FS1) était que les isomorphismes sont dans W.

Proposition 1.4.8. — Soient M une catégorie admettant des produits finis, W une partie faiblement saturée de Fl(M), et I un ensemble de segments de M, tel que pour tout segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) appartenant à I, le morphisme canonique p_{I} : I [figure] e_{M}, où e_{M} désigne l’objet final de M, soit universellement dans W. Si X est un objet I-contractile de M, alors le morphisme canonique X [figure] e_{M} est universellement dans W.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate du lemme 1.4.6 (c).

1.4.9. — On appelle segment multiplicatif d’une catégorie M admettant des produits finis, un segment 𝕃 = (L, λ_{0}, λ_{1}) de M, muni d’une loi de composition

Λ : L × L [figure] L

admettant λ_{0} comme unité à gauche et λ_{1} comme zéro à gauche, autrement dit, telle que les diagrammes suivants soient commutatifs

\xymatrix{e_{M} × L \ar[r]^{λ_{0}×1_{L}} \ar[dr]_{1_{L}} & L × L \ar[d]^{Λ} & e_{M} × L \ar[d] \ar[r]^{λ_{1}×1_{L}} & L × L \ar[d]^{Λ} \\  & L & e_{M} \ar[r]_{λ_{1}} & L & .}

En particulier, Λ est une 𝕃-homotopie de l’identité de L à un endomorphisme constant, et L est un objet 𝕃-contractile de M.

Lemme 1.4.10. — Soient M une catégorie admettant des produits finis, d’objet final e_{M}, W une partie faiblement saturée de Fl(M), 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) un segment de M tel que le morphisme canonique I [figure] e_{M} soit universellement dans W, et (𝕃, Λ), 𝕃 = (L, λ_{0}, λ_{1}), un segment multiplicatif. S’il existe un morphisme de segments φ : 𝕀 [figure] 𝕃, alors le morphisme canonique p_{L} : L [figure] e_{M} est universellement dans W.

Démonstration. — Posons h = Λ(φ × 1_{L}) : I × L [figure] L

\xymatrix{I × L \ar[r]^{φ×1_{L}} & L × L \ar[r]^{Λ} & L .}

On a

h(∂_{0} × 1_{L}) = Λ(φ × 1_{L})(∂_{0} × 1_{L}) = Λ(λ_{0} × 1_{L}) = 1_{L}

et

h(∂_{1} × 1_{L}) = Λ(φ × 1_{L})(∂_{1} × 1_{L}) = Λ(λ_{1} × 1_{L}) = λ_{1}p_{L} ,

autrement dit, 1_{L} et λ_{1}p_{L} sont 𝕀-homotopes. Il résulte donc du lemme 1.4.6, (c) que p_{L} : L [figure] e_{M} est universellement dans W.

Remarque 1.4.11. — Voici une démonstration plus conceptuelle de ce lemme. Le morphisme de segments φ définit une 𝕀-homotopie de λ_{0} à λ_{1} (cf. 1.4.2), et le segment 𝕃 appartient donc à ˜{ 𝕀 } (cf. 1.4.4). Comme L est 𝕃-contractile (cf. 1.4.9), on en déduit qu’il est aussi 𝕀-contractile (1.4.4), et on conclut par la proposition 1.4.8.

Exemple 1.4.12. — Soit M une catégorie admettant des limites projectives finies, un objet initial strict ∅_{M} (on dit qu’un objet initial est strict si tout morphisme de but cet objet est un isomorphisme), et un objet de Lawvere L (un objet de M représentant le préfaisceau X [figure] {sous-objets de X}). Comme ∅_{M} est un objet initial strict, pour tout objet X de M, le morphisme canonique ∅_{M} [figure] X est un monomorphisme. Si

e_{M} désigne l’objet final de M, les monomorphismes 1_{e_{M}} : e_{M}  [figure] e_{M} et ∅_{M}  [figure] e_{M}
définissent deux morphismes λ_{0} : e_{M}  [figure] L et λ_{1} : e_{M}  [figure] L, d’où un segment 𝕃 =

(L, λ_{0}, λ_{1}), appelé segment de Lawvere de M. On remarque que l’intersection des sous-objets

(X′ [figure] X , X′′ [figure] X) [figure] (X′ ×_{X} X′′ [figure] X)

définit une loi de composition sur L

Λ : L × L [figure] L .

Lemme 1.4.13. — Le segment 𝕃 est séparant, (𝕃, Λ) est un segment multiplicatif, et pour tout segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de M, il existe un morphisme de segments φ : 𝕀 [figure] 𝕃 (non nécessairement unique).

Démonstration. — Montrons que 𝕃 est séparant. En effet, supposons que le carré

(1.4.13.1)  \xymatrix{ & e_{M} \ar[dr]^{λ_{0}} \\ X \ar[ur] \ar[dr] &  & L \\  & e_{M} \ar[ur]_{λ_{1}}}

soit commutatif. Comme les carrés

(1.4.13.2)  \xymatrix{X \ar[r] \ar[d]_{1_{X}} & e_{M} \ar[d] & ∅_{M} \ar[d] \ar[r] & ∅_{M} \ar[d] \\ X \ar[r] & e_{M} & X \ar[r] & e_{M}}

sont cartésiens (le second parce que ∅_{M} est un objet initial strict), la commutativité de 1.4.13.1 implique que 1_{X} : X [figure] X et ∅_{M} [figure] X représentent le même sous-objet de X, autrement dit, que ∅_{M} [figure] X est un isomorphisme, ce qui prouve l’assertion.

Pour montrer que λ_{0} (resp. λ_{1}) est une unité (resp. un zéro) à gauche pour Λ, comme les carrés 1.4.13.2 sont cartésiens, il suffit de remarquer que pour tout objet X de M, l’intersection du sous-objet “plein” (resp. “vide”) de X avec un sous-objet arbitraire X′ de X est le sous-objet X′ (resp. vide).

Montrons que pour tout segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}), il existe un morphisme de segments φ : 𝕀 [figure] 𝕃. Il s’agit de montrer qu’il existe un morphisme φ : I [figure] L de M tel que

(1.4.13.3)  λ_{0} = φ∂_{0} , λ_{1} = φ∂_{1} .

Soit φ : I [figure] L le morphisme correspondant au sous-objet ∂_{0} : e_{M} [figure] I de I. Les égalités 1.4.13.3 résultent alors du fait que les carrés suivants sont cartésiens :

\xymatrix{e_{M} \ar[r] \ar[d] & e_{M} \ar[d]^{∂_{0}} & ∅_{M} \ar[r] \ar[d] & e_{M} \ar[d]^{∂_{0}} \\ e_{M} \ar[r]_{∂_{0}} & I & e_{M} \ar[r]_{∂_{1}} & I}

(le deuxième puisque 𝕀 est séparant).

Proposition 1.4.14. — Soit M une catégorie admettant des limites projectives finies, un objet initial strict, et un objet de Lawvere L, et soit W une partie faiblement saturée de Fl(M). Notons e_{M} un objet final de M. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) Le morphisme canonique L [figure] e_{M} est universellement dans W ;

(b) il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de M tel que le morphisme canonique I [figure] e_{M} soit universellement dans W.

Démonstration. — La proposition résulte aussitôt des lemmes 1.4.13 et 1.4.10.

Exemple 1.4.15. — Supposons que M = Cat, notons Δ_{1} la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné {0 ⩽ 1}, et e_{0}, e_{1} : e [figure]Δ_{1} les foncteurs définis par 0 et 1 (correspondant aux cribles “plein” et “vide” de e (cf. 1.1.26)). On vérifie immédiatement que Δ_{1} := (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) est un segment séparant de Cat, et on remarque que si u_{0}, u_{1} : A [figure]B sont deux flèches de Cat, les Δ_{1}-homotopies de u_{0} à u_{1} correspondent biunivoquement aux morphismes de foncteurs de u_{0} vers u_{1}. On en déduit facilement que les segments appartenant à { \atop \{Δ_{1}\}} (cf. 1.4.4) sont exactement les segments 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) tels que les images de ∂_{0} et ∂_{1} appartiennent à une même composante connexe de I, et que deux flèches u_{0}, u_{1} : A [figure]B de Cat sont Δ_{1}-homotopes si et seulement s’il existe un segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Cat, avec I connexe, et une 𝕀-homotopie h : I × A [figure] B de u_{0} à u_{1}. On dira plus simplement que u_{0} et u_{1} sont homotopes. De même, on dira qu’une flèche de Cat est un homotopisme, pour Δ_{1}-homotopisme, et qu’une catégorie est contractile, pour Δ_{1}-contractile.

Lemme 1.4.16. — Soit C une petite catégorie admettant un objet c_{0} ayant une section globale dans Ĉ, autrement dit, tel qu’il existe un morphisme de préfaisceaux σ : eĈ [figure] c_{0}, de source l’objet final eĈ de Ĉ et de but c_{0}. Alors la catégorie C est contractile.

Démonstration. — La donnée du morphisme de préfaisceaux σ équivaut à la donnée, pour tout objet c de C, d’un morphisme σ_{c} : c [figure] c_{0} de sorte que pour toute flèche f : c [figure] c′ de C, on ait un triangle commutatif

\xymatrix{c \ar[dd]_{f} \ar[dr]^{σ_{c}} \\  & c_{0} \\ c′ \ar[ur]_{σ_{c′}} &  & .}

Soient s : e [figure] C le foncteur défini par l’objet c_{0} de C et p : C [figure] e l’unique foncteur de C vers la catégorie ponctuelle. On a ps = 1_{e}, le composé sp est l’endofoncteur constant de C de valeur c_{0}, et la famille de morphismes σ_{c}, c ∈ Ob(C), définit un morphisme de foncteurs 1_{C} [figure] sp, qui correspond à une Δ_{1}-homotopie de 1_{C} à sp, ce qui prouve le lemme.

Proposition 1.4.17. — Si C est une petite catégorie admettant un objet final (ou initial), alors C est contractile.

Démonstration. — Si e_{C} est un objet final de C, le préfaisceau représentable, représenté par e_{C}, noté également e_{C}, est un objet final de Ĉ, et le morphisme identique 1_{e_{C}} de e_{C} définit une section globale de e_{C} dans Ĉ. En vertu du lemme précédent, la catégorie C est donc contractile. L’assertion relative à l’objet initial se démontre de façon duale.

1.4.18. — Le segment Δ_{1} admet une structure de segment multiplicatif. En effet, Δ_{1} représente le préfaisceau

C [figure] {cribles de C}

sur Cat (1.1.26), et le morphisme de C vers Δ_{1} se factorisant par e_{0} (resp. e_{1}) correspond au crible plein (resp. vide) de C. On en déduit que la loi de composition sur Δ_{1} représentant l’intersection de deux cribles définit une structure de segment multiplicatif sur Δ_{1}. Explicitement, cette loi de composition est définie par

\begin{matrix}Δ_{1} × Δ_{1} [figure] Δ_{1} \\ (a, b) [figure] a + b − ab , a, b ∈ Ob(Δ_{1}) = \{0, 1\} . \end{matrix}

C’est le morphisme qui correspond au crible {(0, 0)} de Δ_{1} × Δ_{1}.

Proposition 1.4.19. — Pour tout localisateur fondamental faible W, une petite catégorie contractile est W-asphérique.

Démonstration. — En vertu de Lb (1.1.2), et de la proposition 1.1.4, Δ_{1} [figure] e est universellement dans W. Comme en vertu de La (1.1.2), W est faiblement saturé, la proposition 1.4.19 résulte de la proposition 1.4.8.

Corollaire 1.4.20. — Pour tout localisateur fondamental faible W, une petite catégorie C admettant un objet ayant une section globale dans Ĉ est W-asphérique.

Démonstration. — En vertu du lemme 1.4.16, le corollaire est un cas particulier de la proposition précédente.

1.5. Les catégories test

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

1.5.1. — La propriété d’être une catégorie test faible n’est pas une propriété locale : si A est une catégorie test faible, la catégorie A/a, pour a objet de A, n’est pas nécessairement une catégorie test faible, et si A est une petite catégorie telle que pour tout objet a de A, A/a soit une catégorie test faible, A n’est pas nécessairement une catégorie test faible. On est ainsi conduit à poser la définition suivante.

Définition 1.5.2. — On dit qu’une petite catégorie A est une W-catégorie test locale, ou plus simplement une catégorie test locale, si pour tout objet a de A, A/a est une catégorie test faible. On dit que A est une W-catégorie test, ou plus simplement une catégorie test, si elle est à la fois une W-catégorie test locale et une W-catégorie test faible.

Proposition 1.5.3. — Soit A une petite catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) A est une catégorie test locale ;

(b) pour toute petite catégorie C admettant un objet final, i_{A}^{∗}(C) est un préfaisceau localement asphérique (cf. 1.2.6) ;

(c) pour toute petite catégorie asphérique C, i_{A}^{∗}(C) est un préfaisceau localement asphérique ;

(d) pour toute équivalence faible u de Cat, i_{A}^{∗}(u) est une équivalence faible locale de préfaisceaux sur A (cf. 1.2.6).

Démonstration. — On remarque que pour toute petite catégorie C, on a un isomorphisme fonctoriel i_{A}^{∗}(C)|(A/a) ≃ i_{A/a}^{∗}(C). La proposition résulte donc de l’équivalence des conditions (i), (iii′′), (iii′′′) et (ii) de la proposition 1.3.9.

Remarque 1.5.4. — a) Une petite catégorie A est une catégorie test si et seulement si elle est une catégorie test locale asphérique. En effet, en vertu de la proposition 1.3.9, pour démontrer que sous ces hypothèses A est une catégorie test faible, il suffit de montrer que pour toute petite catégorie C ayant un objet final, A/i_{A}^{∗}(C) [figure] A est asphérique, ce qui résulte de la proposition 1.5.3. Pour caractériser donc les catégories test, il suffit de caractériser les catégories test locales.

b) Si A est une catégorie test locale, alors pour tout préfaisceau F de Â, la catégorie A/F est une catégorie test locale. En effet, pour tout objet (a, p : a [figure] F) de A/F, on a un isomorphisme canonique (A/F)/(a, p) ≃ A/a. Si de plus F est asphérique, il résulte de (a) que A/F est une catégorie test.

1.5.5. — Soit A une petite catégorie. On pose L_{A} = i_{A}^{∗}(Δ_{1}), où Δ_{1} désigne la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné {0 ⩽ 1}. On remarque que si F désigne un préfaisceau sur A, on a des bijections fonctorielles

HomÂ(F, L_{A}) = HomÂ(F, i_{A}^{∗}(Δ_{1})) ≃ Hom_{Cat}(i_{A}(F), Δ_{1})
= Hom_{Cat}(A/F, Δ_{1}) ≃ {cribles de A/F } ≃ {sous-objets de F } .

On en déduit que L_{A} représente le foncteur

F [figure] {sous-objets de F } ,

autrement dit, que L_{A} est un objet de Lawvere de Â.

Théorème 1.5.6. — Soit A une petite catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) A est une catégorie test locale ;

(b) L_{A} est localement asphérique ;

(c) il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit localement asphérique.

Démonstration. — Comme Δ_{1} admet un objet final, l’implication (a) ⇒ (b) résulte de la proposition 1.5.3. Pour montrer l’implication (b) ⇒ (a), supposons que L_{A} soit localement asphérique, autrement dit, que le morphisme canonique L_{A} [figure] eÂ, où eÂ désigne l’objet final de Â, soit universellement dans WÂ. Soit C une petite catégorie admettant un objet final. En vertu de la proposition 1.4.17, la catégorie C est Δ_{1}-contractile, où Δ_{1} désigne le segment (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) (cf. 1.4.15). Comme le foncteur i_{A}^{∗}, étant un adjoint à droite, commute aux limites projectives, on en déduit que 𝕃_{A} := (L_{A}, i_{A}^{∗}(e_{0}), i_{A}^{∗}(e_{1})) est un segment de Â, et que i_{A}^{∗}(C) est 𝕃_{A}-contractile (cf. 1.4.5). Il résulte donc de la proposition 1.4.8 que le morphisme canonique i_{A}^{∗}(C) [figure] eÂ est universellement dans WÂ, autrement dit que i_{A}^{∗}(C) est localement asphérique, ce qui prouve, en vertu de la proposition 1.5.3, que A est une catégorie test locale. L’équivalence de (b) et (c) résulte de la proposition 1.4.14.

Corollaire 1.5.7. — Soit A une petite catégorie admettant des produits finis. S’il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit représentable, alors A est une catégorie test.

Démonstration. — Comme A admet des produits finis, elle admet, en particulier, un objet final e_{A}, et elle est donc asphérique. Comme le préfaisceau I est représentable, pour tout objet a de A, le préfaisceau a × I est aussi représentable, donc asphérique (1.2.5), ce qui implique que le morphisme I [figure] e_{A} de Â est asphérique (1.2.5), autrement dit, que le préfaisceau I est localement asphérique (1.2.6). Il résulte donc du théorème 1.5.6 que A est une catégorie test locale, et comme elle est asphérique, elle est une catégorie test (1.5.4, (a)).

Remarque 1.5.8. — Si A est une petite catégorie admettant un objet final e_{A}, un segment séparant (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â, tel que I soit représentable, n’est rien d’autre qu’une double flèche ∂_{0}, ∂_{1} : e_{A} [figure]I de A telle qu’il n’y ait aucun diagramme commutatif dans A de la forme

[figure: e_{A}; ∂_{0}; X; I; e_{A}; ∂_{1}; .]

En particulier, cela exclut l’existence d’un objet initial dans A.

Exemples 1.5.9. — Le corollaire 1.5.7 fournit un grand nombre d’exemples de catégories test :

a) La catégorie dont les objets sont les ensembles

{0, 1, …, n} , n ⩾ 0 ,

et dont les morphismes sont toutes les applications entre ces ensembles (catégorie équivalente à celle des ensembles finis non vides) est une catégorie test.

b) Une petite catégorie équivalente à la catégorie des ensembles ordonnés (ou préordonnés) finis non vides est une catégorie test.

c) Une petite catégorie équivalente à celle des catégories finies non vides est une catégorie test.

d) Plus généralement, soit A une petite sous-catégorie pleine de Cat stable par produits finis. On suppose :

(i) la catégorie vide n’est pas un objet de A;

(ii) il existe une catégorie ayant au moins deux objets, et qui est un objet de A. Alors A est une catégorie test. En effet, soit I un objet de A ayant au moins deux objets distincts e_{0}, e_{1}. Alors les flèches ∂_{0}, ∂_{1} : e [figure]I, définies par e_{0}, e_{1}, définissent en vertu de la remarque 1.5.8, un segment séparant de Â, et l’assertion résulte du corollaire 1.5.7. On remarque que les exemples précédents peuvent être considérés comme des cas particuliers.

e) La sous-catégorie (non pleine) de la catégorie des ensembles dont les objets sont les puissances {0, 1}^{n}, n ⩾ 0, de l’ensemble {0, 1}, et les morphismes les applications

φ = (φ_{1}, …, φ_{n}) : {0, 1}^{m}  [figure] {0, 1}^{n} , φ_{i} : {0, 1}^{m}  [figure] {0, 1} ,

où pour tout i, 0 ⩽ i ⩽ n, φ_{i} est une projection ou une application constante, est une catégorie test.

Corollaire 1.5.10. — Soient A une catégorie test locale (resp. une catégorie test), et B une petite catégorie arbitraire (resp. asphérique). Alors la catégorie A × B est une catégorie test locale (resp. une catégorie test).

Démonstration. — Soient A une catégorie test locale, B une catégorie arbitraire, et notons pr_{1} : A × B [figure] A la première projection. En vertu du théorème 1.5.6, il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit localement asphérique. Comme le foncteur pr_{1}^{∗} : Â [figure] { \atop A × B} est exact, (pr_{1}^{∗}(I), pr_{1}^{∗}(∂_{0}), pr_{1}^{∗}(∂_{1})) est un segment séparant de { \atop A × B}, et il résulte de la proposition 1.2.12 que pr_{1}^{∗}(I) = I ⊠ eB̂ (où eB̂ désigne l’objet final de B̂) est localement asphérique. Le théorème 1.5.6 implique donc que A × B est une catégorie test locale, ce qui prouve l’assertion relative aux catégories test locales. L’assertion relative aux catégories test en résulte, grâce à la remarque 1.5.4, (a) et au corollaire 1.1.5.

Exemple 1.5.11. — Notons Δ la catégorie des simplexes, sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles ordonnés dont les objets sont les ensembles

Δ_{n} = {0, 1, …, n} , n ∈ ℕ ,

ordonnés par l’ordre naturel, de sorte que Δ̂ soit la catégorie des ensembles simpliciaux.

Lemme 1.5.12. — L’objet Δ_{1} de Δ̂ est localement asphérique.

Démonstration. — Pour montrer que Δ_{1} est localement asphérique, autrement dit, que le morphisme Δ_{1} [figure] eΔ̂ = Δ_{0} de Δ̂ est asphérique (1.2.6), il suffit, en vertu de 1.2.5, de montrer que pour tout m, m ⩾ 0, le préfaisceau Δ_{m} × Δ_{1} est asphérique.

Notons

φ_{k} : Δ_{m+1} [figure] Δ_{m} × Δ_{1} , 0 ⩽ k ⩽ m ,

le morphisme de Δ̂ défini par les morphismes

φ′_{k} : Δ_{m+1}  [figure] Δ_{m} ,  φ′′_{k} : Δ_{m+1}  [figure] Δ_{1}

de Δ, définis par

φ′_{k}(l) = \{ \begin{matrix}l ,  0 ⩽ l ⩽ k , \\ l − 1 , k < l ⩽ m + 1 , \end{matrix}  φ′′_{k}(l) = \{ \begin{matrix}0 , 0 ⩽ l ⩽ k , \\ 1 , k < l ⩽ m + 1 . \end{matrix}

Notons F_{k} le préfaisceau image de φ_{k}. Comme le morphisme φ_{k} est un monomorphisme de Δ̂, on en déduit que F_{k} est isomorphe à Δ_{m+1}, et en particulier, F_{k} est représentable, donc asphérique (1.2.5).

On pose

G_{k} = ⋃_{0⩽l⩽k} F_{l} , 0 ⩽ k ⩽ m .

On va montrer

(a) Δ_{m} × Δ_{1} = G_{m}; (b) G_{k} ∩ F_{k+1} ≃ Δ_{m}, 0 ⩽ k < m. La condition (b) impliquera, par récurrence, que pour tout k, 0 ⩽ k ⩽ m, G_{k} est asphérique (car G_{0} = F_{0} est asphérique, et si G_{k} est asphérique (pour un entier k, 0 ⩽ k < m), G_{k+1} = G_{k} ∪ F_{k+1} est asphérique, en vertu de (b) et de la proposition 1.2.7), et la condition (a) impliquera alors que Δ_{m} × Δ_{1} est asphérique.

Or, la condition (a) est immédiate. Pour montrer la condition (b), considérons le morphisme

ψ_{k} : Δ_{m} [figure] Δ_{m} × Δ_{1} , 0 ⩽ k < m ,

de Δ̂ défini par les morphismes

ψ′_{k} : Δ_{m}  [figure] Δ_{m} ,  ψ′′_{k} : Δ_{m}  [figure] Δ_{1}

de Δ, définis par

ψ′_{k} = 1_{Δ_{m}} , ψ′′_{k}(l) = \{ \begin{matrix}0 , 0 ⩽ l ⩽ k , \\ 1 , k < l ⩽ m . \end{matrix}

Notons F′_{k} le préfaisceau image de ψ_{k}. Comme le morphisme ψ_{k} est un monomorphisme de Δ̂, on en déduit que F′_{k} est isomorphe à Δ_{m}. D’autre part, on vérifie aussitôt que

F′_{k} = G_{k} ∩ F_{k+1} , 0 ⩽ k < m ,

ce qui prouve la condition (b), et achève la démonstration.

Proposition 1.5.13. — La catégorie Δ est une catégorie test.

Démonstration. — Comme la catégorie Δ admet un objet final Δ_{0}, elle est asphérique. Pour montrer donc que Δ est une catégorie test, il suffit, en vertu de 1.5.4, (a), de montrer qu’elle est une catégorie test locale. Notons

e_{0}, e_{1} : Δ_{0} [figure]Δ_{1}

les morphismes définis par

e_{0}(0) = 0 , e_{1}(0) = 1 .

En vertu du théorème 1.5.6, pour montrer que Δ est une catégorie test locale, il suffit de montrer que (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) est un segment séparant de Δ̂, et que Δ_{1} est un objet localement asphérique de Δ̂. La première assertion résulte immédiatement de la remarque 1.5.8, et la deuxième du lemme 1.5.12.

Exemple 1.5.14. — Si W est le localisateur fondamental trivial (1.1.29), alors toute petite catégorie est une W-catégorie test. Si W est le localisateur fondamental faible grossier non trivial W_{gr} (1.1.31), pour qu’une petite catégorie soit une W_{gr}-catégorie test, il faut et il suffit qu’elle soit non vide. En effet, il résulte aussitôt de la proposition 1.1.30 qu’une petite catégorie est W_{gr}-asphérique si et seulement si elle est non vide, et l’assertion est donc conséquence immédiate de la proposition 1.5.3.

1.6. Les catégories test strictes

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Proposition 1.6.1. — Soit A une petite catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) pour tous objets a et b de A, le produit a×b dans Â est un préfaisceau asphérique ; (a′) le produit de deux préfaisceaux asphériques de Â est asphérique ;

(b) le foncteur i_{A} : Â [figure] Cat commute aux produits binaires, à équivalence faible près, autrement dit, pour tous préfaisceaux F et G de Â, le morphisme canonique

A/(F × G) [figure] A/F × A/G

est une équivalence faible ; (b′) pour tous préfaisceaux F et G de Â, le morphisme canonique

A/(F × G) [figure] A/F × A/G

est asphérique ;

(c) tout préfaisceau représentable de Â est localement asphérique ; (c′) tout préfaisceau asphérique de Â est localement asphérique ;

(d) le foncteur diagonal A [figure] A × A est asphérique. De plus, si A est non vide, chacune de ces conditions implique que la catégorie A est asphérique.

Démonstration. — L’implication (a) ⇒ (b′) résulte de l’observation que pour tous objets (a, p : a [figure] F) et (b, q : b [figure] G) de A/F et A/G respectivement, on a un isomorphisme canonique

(A/(F × G))/((a, p), (b, q)) ≃ A/a × b .

L’implication (b′) ⇒ (b) est évidente, et l’implication (b) ⇒ (a′) résulte du corollaire 1.1.5. Dire qu’un préfaisceau F de Â est localement asphérique, c’est dire que pour tout objet a de A, le préfaisceau a × F est asphérique, ce qui montre l’implication (a′) ⇒ (c′). Les implications (c′) ⇒ (c) et (c) ⇒ (a) sont immédiates, ce qui prouve l’équivalence des six premières conditions. L’équivalence de (a) et (d) résulte de l’observation que pour tout objet (a, b) de A × A, on a un isomorphisme canonique A/(a, b) ≃ A/a × b.

Montrons que si A est non vide, ces conditions impliquent que A est asphérique. Soit a un objet de A. En vertu de la condition (c), le morphisme canonique a [figure] eÂ de Â, où eÂ désigne l’objet final de Â, est asphérique, ce qui implique que le préfaisceau eÂ est asphérique, autrement dit que la catégorie A est asphérique.

Définition 1.6.2. — Soit A une petite catégorie. On dit que A est totalement W-asphérique, ou plus simplement totalement asphérique, si elle est asphérique, et si pour tous objets a et b de A, le préfaisceau a × b de Â est asphérique.

Remarque 1.6.3. — Une catégorie totalement asphérique est donc une petite catégorie satisfaisant aux conditions équivalentes de la proposition 1.6.1 et qui est asphérique, et pour cela il suffit qu’elle soit non vide. En vertu de la proposition 1.1.30, si le localisateur fondamental faible W est non trivial, les catégories totalement asphériques sont exactement les petites catégories non vides satisfaisant aux conditions équivalentes de la proposition 1.6.1. Si A est une catégorie totalement asphérique, il résulte de l’équivalence des conditions (a) et (c′) de la proposition 1.6.1 et de l’asphéricité de A qu’un préfaisceau de Â est asphérique si et seulement si il est localement asphérique.

Exemple 1.6.4. — Une petite catégorie admettant des produits finis est totalement asphérique.

Proposition 1.6.5. — a) Un produit fini de petites catégories totalement asphériques est une catégorie totalement asphérique.

b) Soit u : A [figure] B un morphisme asphérique de Cat. Si A est totalement asphérique, il en est de même de B.

Démonstration. — a) Comme la catégorie ponctuelle e est totalement asphérique, il suffit de montrer que le produit de deux catégories totalement asphériques A et B est totalement asphérique. Comme A × B est asphérique (1.1.5), il suffit, en vertu de la proposition 1.6.1, de montrer que le foncteur diagonal

Δ_{A×B} : A × B [figure] A × B × A × B

est asphérique. Or, ce foncteur est le composé de Δ_{A} × Δ_{B} (où Δ_{A} : A [figure] A × A et Δ_{B} : B [figure] B × B désignent les foncteurs diagonaux) et de l’isomorphisme

A × A × B × B [figure] A × B × A × B

permutant les deux facteurs du milieu. Comme A et B sont totalement asphériques, les foncteurs Δ_{A} et Δ_{B} sont asphériques (1.6.1), donc aussi Δ_{A} × Δ_{B} (1.1.6), ce qui prouve l’assertion.

b) Comme u est une équivalence faible et A asphérique, B est aussi asphérique. Pour montrer qu’elle est totalement asphérique, considérons le diagramme commutatif

\xymatrix{A \ar[r]^{u} \ar[d]_{Δ_{A}} & B \ar[d]^{Δ_{B}} \\ A × A \ar[r]_{u×u} & B × B & ,}

où Δ_{A} et Δ_{B} désignent les foncteurs diagonaux. Les foncteurs Δ_{A} et u × u sont asphériques, en vertu de 1.6.1 et 1.1.6 respectivement. Comme u est aussi asphérique, il en est de même de Δ_{B} (1.1.8), ce qui achève la démonstration (1.6.1).

Proposition 1.6.6. — Soit A une petite catégorie. On suppose qu’il existe une classe I de segments de Â telle que pour tout segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â appartenant à I, le préfaisceau I soit localement asphérique, et telle que tout préfaisceau représentable soit I-contractile. Alors A satisfait aux conditions équivalentes de la proposition 1.6.1. En particulier, si de plus A est non vide ou asphérique, alors A est totalement asphérique.

Démonstration. — En vertu de la proposition 1.4.8, pour tout objet a de A, le préfaisceau représenté par a est localement asphérique, autrement dit, A satisfait à la condition (c) de la proposition 1.6.1. En vertu de cette même proposition, si A est de plus non vide, A est asphérique, donc totalement asphérique, ce qui achève la démonstration.

Définition 1.6.7. — On appelle W-catégorie test stricte, ou plus simplement catégorie test stricte, une catégorie test totalement asphérique.

Proposition 1.6.8. — Soit A une petite catégorie totalement asphérique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) A est une catégorie test faible ;

(b) A est une catégorie test locale ;

(c) A est une catégorie test ;

(d) A est une catégorie test stricte ;

(e) il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit asphérique ;

(f) l’objet de Lawvere L_{A} = i_{A}^{∗}(Δ_{1}) de Â est asphérique.

Démonstration. — Comme A est totalement asphérique, l’équivalence (c) ⇔ (d) est tautologique. L’équivalence des conditions (b), (e) et (f ) résulte du théorème 1.5.6 et de la remarque 1.6.3. La catégorie A étant asphérique, l’équivalence (b) ⇔ (c) résulte de la remarque 1.5.4, (a). L’implication (c) ⇒ (a) est évidente. Il reste à prouver l’implication (a) ⇒ (b). Soit C une petite catégorie admettant un objet final. En vertu de la proposition 1.3.9, le préfaisceau i_{A}^{∗}(C) est asphérique. Comme A est totalement asphérique, il résulte de la proposition 1.6.1 que i_{A}^{∗}(C) est localement asphérique. En vertu de la proposition 1.5.3, la catégorie A est donc une catégorie test locale.

Corollaire 1.6.9. — Soit A une petite catégorie totalement asphérique. S’il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit représentable, alors A est une catégorie test stricte.

Ce corollaire, qui est conséquence immédiate de la proposition 1.6.8, généralise et précise le corollaire 1.5.7. Le corollaire suivant généralise et précise l’exemple 1.5.9, (d).

Corollaire 1.6.10. — Soient A une petite catégorie totalement asphérique, et i : A [figure] Cat un foncteur pleinement fidèle tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) soit non vide. S’il existe un objet a de A tel que la catégorie i(a) possède au moins deux objets distincts, alors A est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Soit a un objet de A tel qu’il existe deux objets distincts c_{0} et c_{1} de la catégorie C = i(a). On en déduit un segment séparant (C, ∂_{0}, ∂_{1}) de Cat, où ∂_{0} , ∂_{1} : e [figure] C sont définis par les objets c_{0} , c_{1} de C. Le foncteur

i^{∗} : Cat  [figure] Â  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(i(a), C))

commute aux limites projectives, et comme pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est non vide, il transforme l’objet initial de Cat en l’objet initial de Â. On en déduit que (i^{∗}(C), i^{∗}(∂_{0}), i^{∗}(∂_{1})) est un segment séparant de Â. Comme le foncteur i est pleinement fidèle, on a un isomorphisme i^{∗}(C) = i^{∗}i(a) ≃ a dans Â, et i^{∗}(C) est donc un préfaisceau représentable. On conclut alors grâce au corollaire précédent.

Corollaire 1.6.11. — a) Soient A une catégorie test stricte, et B une catégorie totalement asphérique. Alors la catégorie A × B est une catégorie test stricte.

b) Soit u : A [figure] B un morphisme asphérique de Cat. Si A est totalement asphérique et B une catégorie test locale, alors A et B sont des catégories test strictes.

Démonstration. — L’assertion (a) résulte de la proposition 1.6.5, (a), et du corollaire 1.5.10. Montrons l’assertion (b). En vertu de la proposition 1.6.5, (b), B est totalement asphérique. Elle est donc une catégorie test stricte (1.6.8). On en déduit qu’il existe un segment séparant (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de B̂ tel que I soit un préfaisceau asphérique (1.6.8). Comme u est asphérique, u^{∗}(I) est un préfaisceau asphérique de Â (1.2.9), et comme u^{∗} est un foncteur exact, (u^{∗}(I), u^{∗}(∂_{0}), u^{∗}(∂_{1})) est un segment séparant de Â. Donc A est aussi une catégorie test stricte (1.6.8), ce qui prouve le corollaire.

Exemple 1.6.12. — Les catégories test des exemples 1.5.9, (a) - (e) sont des catégories test strictes, car elles admettent des produits finis (1.6.4).

Lemme 1.6.13. — Tout objet Δ_{m} de Δ est un objet Δ_{1}-contractile de Δ̂, où Δ_{1} désigne le segment (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) de Δ̂ (e_{0} et e_{1} étant définis par 0 [figure] 0 et 0 [figure] 1 respectivement).

Démonstration. — Le morphisme

h : Δ_{1} × Δ_{m} [figure] Δ_{m}

correspondant à l’application croissante

(i, k) [figure]\{ \begin{matrix}k  i = 0 \\ m  i = 1 \end{matrix}  0 ⩽ k ⩽ m

est une Δ_{1}-homotopie de l’identité de Δ_{m} à l’endomorphisme constant de Δ_{m} défini par l’application croissante constante

k [figure] m , 0 ⩽ k ⩽ m ,

ce qui prouve le lemme.

Proposition 1.6.14. — La catégorie Δ est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Comme Δ est une catégorie test (proposition 1.5.13), il suffit de montrer que Δ est totalement asphérique. Comme le préfaisceau de Δ̂ représenté par Δ_{1} est localement asphérique (lemme 1.5.12), cela résulte de la proposition 1.6.6 et du lemme 1.6.13.

Exemple 1.6.15. — La catégorie Δ étant une catégorie test, elle est en particulier une catégorie test locale, autrement dit, pour tout m, m ∈ ℕ, la catégorie Δ/Δ_{m} est aussi une catégorie test. Néanmoins, si le localisateur fondamental faible W est non trivial, et si m ≠ 0, la catégorie Δ/Δ_{m} n’est pas une catégorie test stricte. En effet, soit a_{i} = (Δ_{0}, s_{i} : Δ_{0} [figure] Δ_{m}) l’objet de Δ/Δ_{m} défini par s_{i}(0) = i, 0 ⩽ i ⩽ m. Comme m ⩾ 1, le produit a_{0}×a_{m} dans { \atop Δ/Δ_{m}} est le préfaisceau vide, objet initial de { \atop Δ/Δ_{m}}, la catégorie Δ/a_{0} × a_{m} est donc la catégorie vide, et comme le localisateur fondamental faible W est non trivial, cette catégorie n’est pas asphérique (proposition 1.1.30).

Exemple 1.6.16. — Plus généralement, si A est une catégorie test arbitraire, en vertu du théorème 1.5.6, il existe un segment séparant (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit localement asphérique, donc asphérique (puisque A est asphérique). On en déduit que A/I est une catégorie test (1.5.4, (b)). Néanmoins, si le localisateur fondamental faible W n’est pas trivial, A/I n’est pas une catégorie test stricte. En effet, les objets (eÂ, ∂_{0}) et (eÂ, ∂_{1}) de Â/I ≃ Â/I sont des préfaisceaux asphériques de Â/I, car (A/I)/(eÂ, ∂_{i}) ≃ A/eÂ ≃ A, i = 0, 1, mais leur produit dans Â/I est le préfaisceau vide, qui n’est pas asphérique (proposition 1.1.30), ce qui contredit la condition (a′) de la proposition 1.6.1.

Définition 1.6.17. — Soit A une petite catégorie, et notons I_{A} l’ensemble des segments

𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) ,  ∂_{0}, ∂_{1} : eÂ  [figure]I ,

de Â, tels que I soit un objet de A. On dit que A est un précontracteur si A est non vide, et si tout préfaisceau représentable de Â est I_{A}-contractile. On dit que A est un W-contracteur, ou plus simplement un contracteur, si A est à la fois un précontracteur et une catégorie totalement asphérique. On remarque que la notion de précontracteur (contrairement à celle de contracteur) est indépendante du choix d’un localisateur fondamental faible. Il résulte du lemme 1.4.16 que tout précontracteur est une catégorie contractile, et en particulier asphérique (corollaire 1.4.20).

Exemple 1.6.18. — La catégorie ponctuelle, et plus généralement toute catégorie équivalente à la catégorie ponctuelle, est un contracteur. On dit qu’un précontracteur, ou un contracteur, est non trivial s’il n’est pas une catégorie équivalente à la catégorie ponctuelle.

Proposition 1.6.19. — Soit A un précontracteur non trivial. Alors il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â, avec I objet de A. Si de plus A est un contracteur, alors A est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Notons I_{A} l’ensemble des segments 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tels que I soit un objet de A. Soit F un préfaisceau de Â. Si F est non vide, il existe une flèche a [figure] F de Â, avec a objet de A. Comme a est I_{A}-contractile, il existe, en particulier, un morphisme eÂ [figure] a, d’où un morphisme eÂ [figure] F. On en déduit que si F [figure] eÂ est un sous-objet de eÂ, alors F est vide ou égal à eÂ. En effet, en vertu de ce qui précède, si F est non vide, il existe une flèche eÂ [figure] F, ce qui implique que F [figure] eÂ est un isomorphisme. Soit donc 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) un segment appartenant à I_{A}. Alors Ker(∂_{0}, ∂_{1}) est vide ou égal à eÂ, autrement dit, ou bien le segment 𝕀 est séparant, ou bien ∂_{0} = ∂_{1}. Si aucun segment de I_{A} n’était séparant, la relation de I_{A}-homotopie serait donc l’égalité, et les I_{A}-homotopismes les isomorphismes. Comme les objets de A sont I_{A}-contractiles, les objets de A seraient isomorphes à l’objet final, ce qui est contraire à l’hypothèse de non-trivialité de A, et prouve la première assertion. La deuxième en résulte, grâce à la proposition 1.6.8.

Exemple 1.6.20. — La catégorie Δ est un contracteur. En effet, en vertu du lemme 1.6.13, la catégorie Δ est un précontracteur, et en vertu de la proposition 1.6.14, elle est totalement asphérique.

Exemple 1.6.21. — Si W est le localisateur fondamental trivial (1.1.29), alors toute petite catégorie est une W-catégorie test stricte. Si W est le localisateur fondamental faible grossier non trivial W_{gr} (1.1.31), pour qu’une petite catégorie A soit une W_{gr}-catégorie test stricte, il faut et il suffit qu’elle soit W_{gr}-totalement asphérique, autrement dit, qu’elle soit non vide, et que pour tous objets a_{1} et a_{2} de A, il existe un objet a de A, et des flèches a [figure] a_{1} et a [figure] a_{2} de A (exemple 1.5.14, et proposition 1.6.8). Tout précontracteur est un W_{gr}-contracteur. En effet, si A est un précontracteur et a_{1}, a_{2} des objets de A, comme a_{1} et a_{2} sont I_{A}-contractiles, il existe des flèches eÂ [figure] a_{1}, eÂ [figure] a_{2} de Â, et par suite, pour tout objet a de A, des flèches a [figure] a_{1}, a [figure] a_{2} de A.

1.7. Les foncteurs test

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Définition 1.7.1. — Soient A une petite catégorie, i : A [figure] Cat un foncteur, et

i^{∗} : Cat  [figure] Â  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(i(a), C))

le foncteur correspondant. On dit que i est un foncteur W-asphérique, ou plus simplement un foncteur asphérique, si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(a) pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est asphérique ;

(b) pour qu’une petite catégorie C soit asphérique, il faut et il suffit que le préfaisceau i^{∗}(C) soit asphérique.

Remarque 1.7.2. — Cette notion de foncteur asphérique, de source une petite catégorie et à valeurs dans Cat, ne doit pas être confondue avec la notion de morphisme asphérique de Cat. Le lien entre ces deux notions vient de la proposition 1.2.9 qui affirme (entre autres) qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est asphérique si et seulement si les préfaisceaux asphériques de B̂ sont exactement ceux dont l’image réciproque par u est un préfaisceau asphérique de Â.

Exemple 1.7.3. — Soit A une catégorie test faible. Alors le foncteur i_{A} : A [figure] Cat, a [figure] A/a, est un foncteur asphérique. En effet, pour tout objet a de A, i_{A}(a) = A/a admet un objet final, et est donc une catégorie asphérique. D’autre part, en vertu de la proposition 1.3.9, pour toute petite catégorie C, le morphisme d’adjonction i_{A}i_{A}^{∗}(C) [figure] C est une équivalence faible. On en déduit que la catégorie C est asphérique si et seulement si le préfaisceau i_{A}^{∗}(C) l’est, ce qui prouve que le foncteur i_{A} est asphérique. On remarque que réciproquement, si A est une petite catégorie telle que le foncteur i_{A} soit asphérique, la proposition 1.3.9 implique que A est une catégorie test faible.

Lemme 1.7.4. — Soient u : A [figure] B un morphisme de Cat, j : B [figure] Cat un foncteur, et posons i = ju : A [figure] Cat. On suppose que pour tout objet b de B, la catégorie j(b) est asphérique.

a) Si u est un morphisme asphérique de Cat, le foncteur j : B [figure] Cat est asphérique si et seulement si le foncteur i : A [figure] Cat l’est.

b) Si le foncteur j est pleinement fidèle et i asphérique, alors u est un morphisme asphérique de Cat et j un foncteur asphérique.

Démonstration. — On vérifie immédiatement qu’on a un triangle commutatif

\begin{matrix}Cat & j^{∗} & [figure] & [figure] & i^{∗} & [figure] & [figure] & B̂ & u^{∗} & [figure] & Â \\ (1.7.4.1) \end{matrix}

(où “l’étoile en haut” de i et j a un sens légèrement différent de celle de u).

a) Si u est asphérique, il résulte de la proposition 1.2.9 qu’un préfaisceau F de B̂ est asphérique si et seulement si le préfaisceau u^{∗}F de Â l’est. L’équivalence de l’asphéricité des foncteurs i et j résulte alors immédiatement de la commutativité du triangle 1.7.4.1.

b) Supposons le foncteur j pleinement fidèle et i asphérique. Pour tout objet b de B, la pleine fidélité de j implique que j^{∗}j(b) est isomorphe à b, d’où u^{∗}(b) ≃ u^{∗}j^{∗}j(b) = i^{∗}j(b). Comme j(b) est une catégorie asphérique et i un foncteur asphérique, u^{∗}(b) ≃ i^{∗}j(b) est un préfaisceau asphérique, ce qui prouve que le morphisme u est asphérique (1.2.9). Il résulte alors de (a) que j est un foncteur asphérique, ce qui achève la démonstration.

1.7.5. — Soient A une petite catégorie, i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, i(a) soit asphérique, A_{0} une catégorie test faible, et B une petite souscatégorie pleine de Cat contenant i(A) et i_{A_{0}}(A_{0}), et formée de catégories asphériques. Les foncteurs i et i_{A} se factorisent par B, et on obtient ainsi un diagramme commutatif

\begin{matrix}A & u & [figure] & i & [figure] & [figure] & B & [figure] & j & [figure] & A_{0} & u_{0} & [figure] & i_{A_{0}} & [figure] & [figure] & Cat & . \\ (1.7.5.1) \end{matrix}

Comme A_{0} est une catégorie test faible, i_{A_{0}} est un foncteur asphérique (1.7.3), et il résulte du lemme 1.7.4, (b) que u_{0} est un morphisme asphérique de Cat, et j un foncteur asphérique. En vertu du lemme 1.7.4, (a) et (b), on en déduit que le foncteur i est asphérique si et seulement si u est un morphisme asphérique de Cat. Le diagramme commutatif 1.7.5.1 permet de former un “2-diagramme”

\begin{matrix}Cat & i^{∗} & [figure] & [figure] & j^{∗} & [figure] & i_{A_{0}}^{∗} & [figure] & [figure] & Â & i_{A} & [figure] & [figure] & B̂ & u^{∗} & [figure] & i_{B} & [figure] & u_{0}^{∗} & [figure] & Â_{0} & i_{A_{0}} & [figure] & [figure] & ⟹^{λ_{u}} & ⟸^{λ_{u_{0}}} & Cat \\ (1.7.5.2) \end{matrix}

dont les deux triangles supérieurs sont commutatifs, et les deux triangles inférieurs indiquent simplement les morphismes de foncteurs

λ_{u} : i_{A}u^{∗}  [figure] i_{B} ,  λ_{u_{0}} : i_{A_{0}}u_{0}^{∗}  [figure] i_{B} ,

définis dans 1.2.8. On en déduit une chaîne de morphismes d’endofoncteurs de Cat

(1.7.5.3)  \xymatrix{i_{A}i^{∗} \ar[r]^{λ_{u}⋆j^{∗}} & i_{B}j^{∗} & i_{A_{0}}i_{A_{0}}^{∗} \ar[l]_{λ_{u_{0}} ⋆j^{∗}} \ar[r]^{ε_{A_{0}}} & 1_{Cat} & ,}

ε_{A_{0}} étant le morphisme d’adjonction (cf. 1.2.1), et pour toute petite catégorie C, des morphismes de Cat

(1.7.5.4)  \xymatrix{i_{A}i^{∗}(C) \ar[r]^{λ_{u}(j^{∗}(C))} & i_{B}j^{∗}(C) & i_{A_{0}}i_{A_{0}}^{∗}(C) \ar[l]_{λ_{u_{0}} (j^{∗}(C))} \ar[r]^{ε_{A_{0}} (C)} & C ,}

les deux derniers étant des équivalences faibles (λ_{u_{0}}(j^{∗}(C)) en vertu de la proposition 1.2.9, puisque le morphisme u_{0} est asphérique, et ε_{A_{0}} en vertu de la proposition 1.3.9, puisque A_{0} est une catégorie test faible). Si i est un foncteur asphérique, λ_{u}(j^{∗}(C)) est aussi une équivalence faible, car u est alors un morphisme asphérique.

Proposition 1.7.6. — Soient A une petite catégorie, et i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) soit asphérique.

(a) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) i est asphérique ; (ii) pour toute petite catégorie asphérique C, le préfaisceau i^{∗}(C) est

asphérique ; (iii) A est asphérique, et un morphisme w de Cat est une équivalence faible si et seulement si i^{∗}(w) est une équivalence faible de préfaisceaux ; (iv) A est asphérique, et pour toute équivalence faible w de Cat, i^{∗}(w) est une

équivalence faible de préfaisceaux.

(b) Ces conditions équivalentes impliquent la condition :

(v) i^{∗}(W) ⊂ WÂ, et le foncteur \overline{ı^{∗}} : W^{−1}Cat [figure] W−1 ; ÂÂ, induit par i^{∗}, est un quasi-inverse à droite du foncteur \overline{ı}_{A} : W−1 ; ÂÂ [figure] W^{−1}Cat, induit par i_{A};

et cette condition est équivalente aux précédentes si le localisateur fondamental faible W est fortement saturé (cf. 1.3.1).

(c) Si pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est, non seulement asphérique, mais même contractile, alors les conditions équivalentes (i) - (iv) sont aussi équivalentes à la condition : (ii′) pour toute petite catégorie contractile C, le préfaisceau i^{∗}(C) est

asphérique.

(d) Si pour tout objet a de A, la catégorie i(a) admet même un objet final e_{a}, alors les conditions équivalentes (i) - (iv) sont aussi équivalentes à la condition : (ii′′) pour toute petite catégorie C admettant un objet final, le préfaisceau i^{∗}(C)

est asphérique ; et si l’on note

α : i_{A}i^{∗} [figure] 1_{Cat}

le morphisme de foncteurs défini par

α_{C} : i_{A}i^{∗}(C) [figure] C , (a, \xymatrix{i(a) \ar[r]^{v} & C}) [figure] v(e_{a}) , C ∈ Ob(Cat) , a ∈ Ob(A) ,

les deux conditions suivantes sont encore équivalentes aux précédentes :

(α) pour toute petite catégorie C, le foncteur α_{C} : i_{A}i^{∗}(C) [figure] C est une

équivalence faible ; (α′) pour toute petite catégorie C, le foncteur α_{C} : i_{A}i^{∗}(C) [figure] C est

asphérique.

Démonstration. — On choisit une catégorie test faible A_{0} (par exemple une des catégories test de l’exemple 1.5.9, ou la catégorie des simplexes Δ (cf. 1.5.13)). On note B la sous-catégorie pleine de Cat dont l’ensemble des objets est la réunion de l’ensemble des images par i des objets de A, et de l’ensemble des images par i_{A_{0}} des objets de A_{0}, et on désigne par j : B [figure] Cat l’inclusion. On en déduit ainsi un diagramme 1.7.5.1, et on peut appliquer les considérations de 1.7.5, puisque B est formée de catégories asphériques. De plus, on remarque que si pour tout objet a de A, i(a) est une catégorie contractile (resp. admettant un objet final), alors B est formée de catégories contractiles (resp. admettant un objet final), puisque pour tout objet a de A_{0}, la catégorie i_{A_{0}}(a) possède un objet final, et est en particulier contractile (1.4.17).

Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (ii′) ⇒ (ii′′) sont évidentes (1.4.19, 1.4.17). Montrons l’implication (ii) ⇒ (i). En gardant les notations du diagramme 1.7.5.1, comme j est pleinement fidèle, pour tout objet b de B, on a un isomorphisme u^{∗}(b) ≃ u^{∗}j^{∗}j(b) = i^{∗}(j(b)). Comme j(b) est une catégorie asphérique, il en est de même, en vertu de l’hypothèse (ii), de u^{∗}(b) ≃ i^{∗}(j(b)). On en déduit que u est un morphisme asphérique de Cat (1.2.9), et par suite, que i est un foncteur asphérique (cf. 1.7.5). En vertu de la remarque précédente, le même argument prouve que si pour tout objet a de A, i(a) est une catégorie contractile (resp. admettant un objet final), alors la condition (ii′) (resp. (ii′′) ) implique la condition (i).

Montrons l’implication (i) ⇒ (iii). Supposons donc que le foncteur i soit asphérique. En vertu de 1.7.5, pour toute flèche w : C [figure] C′ de Cat, on a un diagramme commutatif

\begin{matrix}i_{A}i^{∗}(C) & λ_{u}(j^{∗}(C)) & [figure] & i_{A}i^{∗}(w) & [figure] & i_{B}j^{∗}(C) & i_{B}j^{∗}(w) & [figure] & i_{A_{0}}i_{A_{0}}^{∗}(C) & λ_{u_{0}} (j^{∗}(C)) & [figure] & ε_{A_{0}} (C) & [figure] & i_{A_{0}} i_{A_{0}}^{∗} (w) & [figure] & C & w & [figure] & i_{A}i^{∗}(C′) & λ_{u}(j^{∗}(C′)) & [figure] & i_{B}j^{∗}(C′) & i_{A_{0}}i_{A_{0}}^{∗}(C′) & λ_{u_{0}} (j^{∗}(C′)) & [figure] & ε_{A_{0}} (C′) & [figure] & C′ \\ (1.7.6.1) \end{matrix}

dont les flèches horizontales sont des équivalences faibles. On en déduit que w est une équivalence faible si et seulement si i_{A}i^{∗}(w) l’est, autrement dit si i^{∗}(w) est une équivalence faible de préfaisceaux. Il reste à prouver que A est une catégorie asphérique, et cela résulte de l’isomorphisme A ≃ i_{A}i^{∗}(e).

L’implication (iii) ⇒ (iv) est évidente. Montrons l’implication (iv) ⇒ (ii). Soit C une catégorie asphérique. Alors le morphisme C [figure] e de Cat est une équivalence faible, et par (iv), i_{A}^{∗}(C) [figure] i_{A}^{∗}(e) ≃ eÂ est une équivalence faible de préfaisceaux.

Comme A est asphérique, eÂ est un préfaisceau asphérique, donc i_{A}^{∗}(C) aussi. Ceci achève la démonstration des assertions (a) et (c).

Démontrons que les conditions équivalentes (i) - (iv) impliquent la condition (v). Supposons donc ces conditions satisfaites. La condition (iv) implique que i^{∗}(W) ⊂ WÂ. Si l’on note γ : Cat [figure] Hot = W^{−1}Cat le foncteur de localisation, le diagramme commutatif 1.7.6.1, dont les flèches horizontales sont des équivalences faibles, montre que

C [figure]γ(ε_{A_{0}}(C))γ(λ_{u_{0}}(j^{∗}(C)))^{−1}γ(λ_{u}(j^{∗}(C)))

définit un isomorphisme du foncteur \overline{i}_{A} \overline{i^{∗}} et du foncteur identique 1_{Hot}. Réciproquement, pour montrer que si le localisateur fondamental faible W est fortement saturé, la condition (v) implique la condition (iv), il suffit de montrer que la condition (v) implique alors que A est asphérique. Or, A ≃ i_{A}i^{∗}(e), et par hypothèse, γ(i_{A}i^{∗}(e)) = \overline{i}_{A} \overline{i^{∗}}(γ(e)) est isomorphe à γ(e), qui est un objet final de Hot (1.3.6). On en déduit que γ(A) est aussi un objet final de Hot, et que l’image par γ du morphisme canonique A [figure] e est un isomorphisme. L’hypothèse que le localisateur fondamental faible W est fortement saturé implique alors que A [figure] e est une équivalence faible, ce qui achève la démonstration de l’assertion (b).

Il reste à prouver que, sous les hypothèses de (d), les conditions (ii′′), (α) et (α′) sont équivalentes (puisque l’équivalence, sous ces hypothèses, de (i) et (ii′′) a déjà été établie). Les implications (α′) ⇒ (α) ⇒ (ii′′) sont évidentes. L’implication (ii′′) ⇒ (α′) résulte de l’observation que pour toute petite catégorie C, et tout objet c de C, on a un isomorphisme canonique (i_{A}i^{∗}(C))/c ≃ i_{A}i^{∗}(C/c). Ceci achève la démonstration de la proposition.

Corollaire 1.7.7. — Soient A une petite catégorie, et i : A [figure] Cat un foncteur asphérique tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) admette un objet final. Si M est une sous-catégorie pleine de Cat telle que le foncteur i_{A}i^{∗} : Cat [figure] Cat se factorise par M, alors (M, W ∩ Fl(M)) est un modélisateur, et l’inclusion de M dans Cat un morphisme de modélisateurs de (M, W ∩ Fl(M)) vers le modélisateur fondamental (Cat, W).

Démonstration. — Comme, en vertu de la proposition 1.7.6, (d), il existe un morphisme de foncteurs α : i_{A}i^{∗} [figure] 1_{Cat} tel que pour toute petite catégorie C, le foncteur α_{C} : i_{A}i^{∗}(C) [figure] C soit une équivalence faible, le corollaire résulte aussitôt du lemme suivant.

Lemme 1.7.8. — Soient N une catégorie, W une partie faiblement saturée de Fl(N), f : N [figure] N un foncteur, α : f [figure] 1_{N} un morphisme de foncteurs tel que pour tout objet a de N, α_{a} ∈ W, M une sous-catégorie pleine de N, et i : M [figure] N le foncteur d’inclusion. On suppose que le foncteur f se factorise par M, de sorte qu’on ait un triangle commutatif

\xymatrix{N \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{g} &  & N \\  & M \ar[ur]_{i} & .}

Alors les foncteurs g et i induisent des équivalences de catégories

\overline{g} : W^{−1}N  [figure] (W ∩ Fl(M))^{−1}M et \overline{ı} : (W ∩ Fl(M))^{−1}M  [figure] W^{−1}N

quasi-inverses l’une de l’autre.

Démonstration. — Pour toute flèche u : a [figure] a′ de N, on a un carré commutatif

\xymatrix{g(a) = f(a) \ar[r]^{α_{a}} \ar[d]_{g(u)=f(u)} & a \ar[d]^{u} \\ g(a′) = f(a′) \ar[r]_{α_{a′}} & a′ & .}

Si u ∈ W, comme α_{a}, α_{a′} ∈ W, on a par saturation g(u) ∈ W ∩ Fl(M), et g induit un foncteur \overline{g} : W^{−1}N [figure] (W ∩ Fl(M))^{−1}M. De même, comme i(W ∩ Fl(M)) ⊂ W, le foncteur i induit un foncteur \overline{ı} : (W ∩ Fl(M))^{−1}M [figure] W^{−1}N. Le morphisme de foncteurs α définit un isomorphisme de foncteurs \overline{α} : \overline{ı} \overline{g} [figure] 1_{W^{−1}N}, et la restriction de α à M induit un morphisme de foncteurs β : gi [figure] 1_{M}, qui définit un isomorphisme de foncteurs \overline{β} : \overline{g} \overline{ı} [figure] 1_{(W ∩Fl(M))^{−1}M} .

Corollaire 1.7.9. — Soient A une catégorie test faible, et M la sous-catégorie pleine de Cat dont les objets sont les petites catégories C localement isomorphes à A, autrement dit, telles que pour tout objet c de C, il existe un objet a de A tel que les catégories C/c et A/a soient isomorphes. Alors (M, W ∩ Fl(M)) est un modélisateur, et l’inclusion de M dans Cat un morphisme de modélisateurs.

Démonstration. — On applique le corollaire 1.7.7 au foncteur asphérique

i = i_{A} : A [figure] Cat , a [figure] A/a ,

(1.7.3), en remarquant que pour tout préfaisceau F de Â, la catégorie A/F est localement isomorphe à A.

Corollaire 1.7.10. — Soient A une pseudo-catégorie test, et i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) soit asphérique. Alors le foncteur i est asphérique si et seulement si i^{∗} : Cat [figure] Â est un morphisme de modélisateurs, du modélisateur fondamental (Cat, W) vers le modélisateur (Â, WÂ), autrement dit, si

(a) W = i^{∗}^{−1}(WÂ) ; (b) le foncteur i^{∗} induit une équivalence de catégories :

\overline{ı^{∗}} : W^{−1}Cat [figure] W−1 ; ÂÂ .

Démonstration. — Si le foncteur i est asphérique, en vertu de la proposition 1.7.6, (iii), on a W = i^{∗}^{−1}(WÂ), et en vertu de 1.7.6 (v), le foncteur \overline{ı^{∗}}, induit par i^{∗}, est un quasi-inverse à droite du foncteur \overline{ı}_{A}, induit par i_{A}. La catégorie A étant une pseudo-catégorie test, le foncteur \overline{ı}_{A} est une équivalence de catégories, et il en est donc de même de \overline{ı^{∗}}. La réciproque résulte du fait que la condition W = i^{∗}^{−1}(WÂ) implique la condition (iii) de la proposition 1.7.6, puisque une pseudo-catégorie test est, par définition, asphérique.

Ce corollaire justifie la terminologie suivante.

Définition 1.7.11. — On appelle W-pseudo-foncteur test (resp. W-foncteur test faible), ou plus simplement pseudo-foncteur test (resp. foncteur test faible), un foncteur asphérique dont la catégorie source est une pseudo-catégorie test (resp. une catégorie test faible). On appelle W-foncteur test local, ou plus simplement foncteur test local, un foncteur i : A [figure] Cat tel que pour tout objet a de A, le foncteur A/a [figure] Cat, induit par i, soit un foncteur test faible, autrement dit, si A est une catégorie test locale, et pour tout objet a de A, A/a [figure] Cat un foncteur asphérique. On dit que le foncteur i : A [figure] Cat est un W-foncteur test, ou plus simplement un foncteur test, s’il est à la fois un foncteur test local et un foncteur test faible, autrement dit, si A est une catégorie test, et les foncteurs A [figure] Cat et A/a [figure] Cat, a ∈ Ob(A), asphériques.

Exemple 1.7.12. — Il résulte de l’exemple 1.7.3 que si A est une catégorie test faible (resp. une catégorie test locale, resp. une catégorie test), alors le foncteur i_{A} : Â [figure] Cat, a [figure] A/a, est un foncteur test faible (resp. un foncteur test local, resp. un foncteur test).

Théorème 1.7.13. — Soient A une petite catégorie, i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, i(a) soit une catégorie asphérique, et

i^{∗} : Cat  [figure] Â ,  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(i(a), C))

le foncteur correspondant.

(a) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A est une catégorie test locale,^{(3)} et i est un foncteur test local ; (ii) pour toute petite catégorie asphérique C, le préfaisceau i^{∗}(C) est locale-

ment asphérique ; (iii) pour toute équivalence faible w de Cat, i^{∗}(w) est une équivalence faible

locale de préfaisceaux (cf. 1.2.6) ; (iv) pour tout objet a de A, le foncteur i|A/a : A/a [figure] Cat est asphérique. De plus, si ces conditions sont satisfaites, les conditions suivantes sont équivalentes :

(3)pléonasme volontaire

(1) A est une catégorie test,^{(3)} et i un foncteur test ;

(2) i est un foncteur asphérique ;

(3) A est une catégorie asphérique.

(b) Si pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est, non seulement asphérique, mais même contractile, alors les conditions équivalentes (i)-(iv) sont aussi équivalentes aux conditions équivalentes suivantes : (ii′) pour toute petite catégorie contractile C, le préfaisceau i^{∗}(C) est locale-

ment asphérique ; (ii′′) pour toute petite catégorie C admettant un objet final, le préfaisceau i^{∗}(C)

est localement asphérique ; (ii′′′) i^{∗}(Δ_{1}) est un préfaisceau localement asphérique.

Démonstration. — En vertu de l’équivalence des conditions (i) et (ii) de la proposition 1.7.6, le foncteur i|A/a : A/a [figure] Cat, a ∈ Ob(A), est asphérique si et seulement si pour toute petite catégorie asphérique C, i^{∗}(C)|A/a est un préfaisceau asphérique, ce qui prouve l’équivalence des conditions (ii) et (iv) du théorème (cf. 1.2.6). Pour montrer l’équivalence des conditions (i) et (ii), il suffit donc de montrer que la condition (ii) implique que A est une catégorie test locale. Pour cela, on peut supposer que le localisateur fondamental faible W n’est pas trivial, ce qui implique que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est non vide (1.1.30). Notons e_{0}, e_{1} : e [figure]Δ_{1} les morphismes définis par 0 et 1 respectivement. On remarque que Δ_{1} = (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) est un segment séparant de Cat (cf. 1.4.15). D’autre part, le foncteur i^{∗} commute aux limites projectives, et comme pour tout objet a de A, i(a) est une catégorie non vide, i^{∗} commute aux objets initiaux. On en déduit que i^{∗}(Δ_{1}) = (i^{∗}(Δ_{1}), i^{∗}(e_{0}), i^{∗}(e_{1})) est un segment séparant de Â. Comme la condition (ii) implique que le préfaisceau i^{∗}(Δ_{1}) est localement asphérique, il résulte du théorème 1.5.6 que A est une catégorie test locale, ce qui démontre l’équivalence des conditions (i) et (ii). L’équivalence des conditions (ii) et (iii) résulte aussitôt de celle des conditions (ii) et (iv) de la proposition 1.7.6.

Supposons que les conditions équivalentes (i)-(iv) de (a) sont satisfaites, et montrons l’équivalence des conditions (1), (2) et (3). La condition (ii) implique en particulier que pour toute petite catégorie asphérique C, i^{∗}(C) [figure] eÂ est une équivalence faible de préfaisceaux. Si A est une catégorie asphérique, cela implique que le préfaisceau i^{∗}(C) est asphérique. En vertu de la proposition 1.7.6, le foncteur i est donc asphérique, ce qui prouve l’implication (3) ⇒ (2). Comme le foncteur i est déjà par hypothèse un foncteur test local, et comme une catégorie test locale asphérique est une catégorie test (1.5.4, (a)), on en déduit aussi l’implication (3) ⇒ (1). L’implication (1) ⇒ (2) étant évidente, et l’implication (2) ⇒ (3) résultant de la proposition 1.7.6, cela achève la démonstration de l’assertion (a).

Pour montrer l’assertion (b), on remarque que, sous les hypothèses de (b), l’équivalence de (ii) et (ii′) résulte de la proposition 1.7.6 (c), appliquée aux foncteurs i|A/a : A/a [figure] Cat, a ∈ Ob(A). L’implication (ii′) ⇒ (ii′′) résulte de la proposition 1.4.17, et l’implication (ii′′) ⇒ (ii′′′) est évidente. Pour montrer l’implication (ii′′′) ⇒ (ii′), on remarque que si C est une catégorie contractile, elle est par définition Δ_{1}-contractile, où Δ_{1} désigne le segment (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}). Comme le foncteur i^{∗} commute aux limites projectives, on en déduit que le préfaisceau i^{∗}(C) est i^{∗}(Δ_{1})-contractile, où i^{∗}(Δ_{1}) = (i^{∗}(Δ_{1}), i^{∗}(e_{0}), i^{∗}(e_{1})) (1.4.5). Comme en vertu de la condition (ii′′′), le préfaisceau i^{∗}(Δ_{1}) est localement asphérique, il en est de même de i^{∗}(C) (1.4.8). Ceci achève la démonstration du théorème.

Corollaire 1.7.14. — Soient u : A [figure] B un morphisme localement asphérique de Cat, j : B [figure] Cat un foncteur, et i = ju : A [figure] Cat le foncteur composé.

(a) Si j est un foncteur test local, il en est de même de i, et en particulier A est une catégorie test locale.

(b) Si i est un foncteur test local, et si u induit une surjection sur les objets, alors j est un foncteur test local, et en particulier B est une catégorie test locale.

Démonstration. — C’est une conséquence immédiate de la caractérisation (ii) des foncteurs test locaux du théorème 1.7.13, et du corollaire 1.2.10.

Corollaire 1.7.15. — Soit u : A [figure] B un morphisme localement asphérique de Cat.

(a) Si B est une catégorie test locale, il en est de même de A.

(b) Si B est une catégorie test, et u une équivalence faible, alors A est une catégorie test.

(c) Si B est une catégorie test stricte, u pleinement fidèle, et A non vide ou asphérique, alors A est une catégorie test stricte.

Démonstration. — L’assertion (a) résulte aussitôt du corollaire 1.7.14, (a), appliqué au foncteur test local i_{B}. L’assertion (b) est conséquence immédiate de l’assertion (a), et de la remarque 1.5.4, (a). En vertu de (a), et de la proposition 1.6.8, pour prouver (c), il reste à montrer que, sous les hypothèses de (c), la catégorie A est totalement asphérique. Le foncteur u étant pleinement fidèle, il en est de même de l’adjoint à gauche u_{!} : Â [figure] B̂ de u^{∗}. On en déduit que pour tout objet a de A, on a des isomorphismes

a ≃ u^{∗}u_{!}(a) ≃ u^{∗}u(a) .

Comme la catégorie B est totalement asphérique, le préfaisceau représentable u(a) de B̂ est localement asphérique (1.6.1), et il résulte du corollaire 1.2.10 que le préfaisceau u^{∗}u(a) ≃ a de Â est localement asphérique, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 1.7.16. — Soient A une petite catégorie, i : A [figure] Cat un foncteur tel que pour tout objet a de A, i(a) soit une catégorie contractile, et

i_{!} : Â [figure] Cat , i^{∗} : Cat [figure] Â

le couple de foncteurs adjoints correspondant à i, i_{!} étant l’unique (à isomorphisme unique près) foncteur prolongeant i et commutant aux limites inductives. On suppose que A admet un objet final e_{A}, que i(e_{A}) = Δ_{0} = e, objet final de Cat, et qu’il existe un segment 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit localement asphérique, et un morphisme de segments de Cat

φ : i_{!}(𝕀) = (i_{!}(I), i_{!}(∂_{0}), i_{!}(∂_{1})) [figure] Δ_{1} = (Δ_{1}, e_{0}, e_{1})

(e_{0} et e_{1} étant définis par 0 [figure] 0 et 0 [figure] 1 respectivement). Alors A est une catégorie test,^{(4)} et i un foncteur test.

Démonstration. — Comme A admet un objet final, elle est asphérique. En vertu du théorème 1.7.13, (a) et (b), il suffit donc de montrer que le préfaisceau i^{∗}(Δ_{1}) est localement asphérique. Le morphisme φ définit par adjonction un morphisme de segments ψ : 𝕀 [figure] i^{∗}(Δ_{1}) = (i^{∗}(Δ_{1}), i^{∗}(e_{0}), i^{∗}(e_{1})) de Â. En vertu du lemme 1.4.10, il suffit donc de montrer que i^{∗}(Δ_{1}) admet une structure de segment multiplicatif. Comme le foncteur i^{∗} commute aux limites projectives, cela résulte de 1.4.18.

Exemple 1.7.17. — Soient A la catégorie test de l’exemple 1.5.9, (a), sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles ayant pour objets les ensembles

{0, 1, …, n} , n ∈ ℕ ,

et i : A [figure] Cat le foncteur associant à un objet a de A la catégorie associée à l’ensemble ordonné formé des parties non vides de a, ordonnées par inclusion. Pour tout objet a de A, la catégorie i(a) est contractile, puisqu’elle admet un objet final (1.4.17), et le corollaire 1.7.16 montre que i est un foncteur test. Considérons, en effet, le segment ({0, 1}, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â, ∂_{0} et ∂_{1} étant définis par 0 [figure] 0 et 0 [figure] 1 respectivement. Comme A est une catégorie test stricte (1.6.12), les préfaisceaux représentables, et en particulier celui représenté par {0, 1}, sont localement asphériques (1.6.1). Pour pouvoir appliquer le corollaire, il suffit donc de définir un foncteur

φ : i_{!}({0, 1}) = i({0, 1}) [figure] Δ_{1}

induisant un morphisme de segments. Or,

\xymatrix{ & \{0\} \ar[dr] \\ i(\{0, 1\}) = &  & \{0, 1\} \\  & \{1\} \ar[ur] &  & ,}

(4)pléonasme volontaire

et il suffit donc de définir φ par

φ({0}) = 0 , φ({1}) = φ({0, 1}) = 1 .

Exemple 1.7.18. — Soit i : Δ [figure] Cat l’inclusion canonique de la catégorie des simplexes (1.5.11) dans la catégorie des petites catégories. Alors i^{∗} : Cat [figure] Δ̂ est le foncteur nerf , et i est un foncteur test. En effet, pour tout m, m ∈ ℕ, i(Δ_{m}) = Δ_{m} admet un objet final, et est donc contractile (1.4.17), et en particulier asphérique (1.4.19). D’autre part, i^{∗}(Δ_{1}) n’est autre que le préfaisceau représenté par Δ_{1}, et en vertu du lemme 1.5.12, ce préfaisceau est localement asphérique, et l’assertion résulte du théorème 1.7.13, (a) et (b). De plus, le théorème 1.7.13 implique alors que pour tout m, m ∈ ℕ, i^{∗}(Δ_{m}), qui n’est autre que le préfaisceau représenté par Δ_{m}, est localement asphérique, ce qui, en vertu de la proposition 1.6.1, fournit une deuxième démonstration du fait que Δ est une catégorie test stricte (1.6.14).

Exemple 1.7.19. — Soit A une petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories contractiles, stable par produits finis, et telle que Δ_{1} soit un objet de A. Alors le foncteur d’inclusion i : A [figure] Cat est un foncteur test. En effet, comme une catégorie contractile est non vide, la catégorie vide n’est pas un objet de A. La catégorie A est donc une catégorie test stricte (cf. 1.5.9, (d) et 1.6.12). On en déduit que le préfaisceau i^{∗}(Δ_{1}), qui est représentable (puisque Δ_{1} est un objet de A), est localement asphérique (1.6.1), ce qui prouve que i est un foncteur test local (1.7.13, (b)), donc un foncteur test (1.7.13, (a)).

Exemple 1.7.20. — Plus généralement, si A est une petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories contractiles, stable par produits finis, et satisfaisant à la condition : (H) il existe une petite catégorie C appartenant à Ob(A) et possédant deux objets

c_{0} et c_{1} tels qu’il n’y ait aucune flèche de C de source c_{1} et de but c_{0} ; alors le foncteur d’inclusion i : A [figure] Cat est un foncteur test. En effet, A est alors une catégorie test stricte (cf. 1.5.9, (d) et 1.6.12), et le préfaisceau représentable de Â représenté par C est localement asphérique (1.6.1). Considérons le segment 𝕀 = (C, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â, où les foncteurs ∂_{0}, ∂_{1} : e [figure]C sont définis par les objets c_{0} et c_{1} respectivement. Le crible de C engendré par c_{0} (sous-catégorie pleine de C formée des objets c tels qu’il existe une flèche c [figure] c_{0} de C) définit un foncteur i_{!}(C) = C [figure] Δ_{1} (1.1.26), qui en vertu de l’hypothèse (H), est un morphisme de segments

i_{!}(𝕀) = (C, ∂_{0}, ∂_{1}) [figure] Δ_{1} = (Δ_{1}, e_{0}, e_{1})

(e_{0} et e_{1} étant définis respectivement par les objets 0 et 1 de Δ_{1}). L’assertion résulte alors du corollaire 1.7.16.

Exemple 1.7.21. — Dans l’exemple précédent, l’hypothèse (H) est essentielle. En effet, soit par exemple A la sous-catégorie pleine de Cat dont les objets sont les catégories I^{m}, m ⩾ 0, où I = {0 [figure]1} désigne la catégorie ayant comme objets 0 et 1 et équivalente à la catégorie e, objet final de Cat (autrement dit, les seuls morphismes non identiques de I sont deux isomorphismes inverses l’un de l’autre 0 [figure] 1 et 1 [figure] 0). On vérifie facilement que cette catégorie est formée de catégories contractiles. D’autre part, elle satisfait aux conditions de 1.5.9, (d) et est donc une catégorie test stricte (1.6.12). Montrons que si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier (1.1.31), le foncteur d’inclusion i : A [figure] Cat n’est pas un foncteur test (ni même un foncteur test faible). Pour cela, il suffit de montrer que le préfaisceau i^{∗}(Δ_{1}) n’est pas asphérique. Or, i^{∗}(Δ_{1}) est le préfaisceau

I^{m} [figure]Hom_{Cat}(I^{m}, Δ_{1}) ≃ {cribles de I^{m}}

(1.1.26), et on a donc i^{∗}(Δ_{1}) ≃ eÂ⨿eÂ (où eÂ désigne l’objet final de Â), car les seuls cribles de I^{m} sont le crible plein et le crible vide. On en déduit que i_{A}i^{∗}(Δ_{1}) ≃ A⨿A, et il résulte du lemme suivant que i^{∗}(Δ_{1}) n’est pas asphérique.

Lemme 1.7.22. — Si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier, alors toute catégorie asphérique est 0-connexe (connexe non vide).

Démonstration. — Soit C une catégorie asphérique. Le localisateur fondamental faible W n’étant pas grossier, il est a fortiori non trivial, et il résulte de la proposition 1.1.30 que la catégorie C est non vide. Montrons qu’elle est connexe. Supposons que C = C_{0} ⨿ C_{1}, avec C_{0}, C_{1} ≠ ∅, choisissons des objets c_{0} et c_{1} de C_{0} et C_{1} respectivement, et notons ∂_{0} : e [figure] C et ∂_{1} : e [figure] C les morphismes définis par c_{0} et c_{1} respectivement, où e désigne l’objet final de Cat. On définit ainsi un segment 𝕀 = (C, ∂_{0}, ∂_{1}). Soit A une catégorie non vide, p : A [figure] e le foncteur canonique, a un objet de A, s : e [figure] A le morphisme défini par l’objet a, et c = sp l’endomorphisme constant correspondant de A. Notons

p_{0} : C_{0} × A [figure] A  et  p_{1} : C_{1} × A [figure] A

les premières projections. On définit un foncteur

h : C × A = (C_{0} × A) ⨿ (C_{1} × A) [figure] A

par

h | C_{0} × A = p_{0} et h | C_{1} × A = cp_{1} .

On constate immédiatement que h est une 𝕀-homotopie de 1_{A} vers c, autrement dit, la catégorie A est 𝕀-contractile. Comme la catégorie C est asphérique, il résulte des propositions 1.1.4 et 1.4.8 que A est asphérique. Ainsi, on a montré que toute catégorie non vide est asphérique, ce qui implique que tout foncteur entre catégories non vides est une équivalence faible, et contredit l’hypothèse que le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier.

Exemple 1.7.23. — Notons Δ′ la sous-catégorie (non pleine) de Δ ayant mêmes objets que Δ, et dont les morphismes sont les applications strictement croissantes.

Lemme 1.7.24. — La catégorie Δ′ est asphérique.

Démonstration. — On définit un foncteur D : Δ′ [figure] Δ′, en posant pour tout m, m ∈ ℕ,

DΔ_{m} = Δ_{m+1} ,

et en définissant, pour toute application strictement croissante φ : Δ_{m} [figure] Δ_{n}, D(φ) par

D(φ)(k) = \begin{cases}φ(k) , & 0 ⩽ k ⩽ m , \\ n + 1 , & k = m + 1 . \end{cases}

L’inclusion Δ_{m} [figure] Δ_{m+1} définit un morphisme fonctoriel 1_{Δ′} [figure] D, et l’application

Δ_{0}  [figure] Δ_{m+1} ,  0 [figure] m + 1 ,

un morphisme fonctoriel de l’endofoncteur constant de Δ′, de valeur Δ_{0}, vers D. La catégorie Δ′ est donc contractile, et le lemme résulte de la proposition 1.4.19.

Proposition 1.7.25. — La catégorie Δ′ est une catégorie test faible, et le foncteur d’inclusion i′ : Δ′ [figure] Cat est un foncteur test faible.

Démonstration. — Considérons les foncteurs

\xymatrix{Δ′ \ar[r]^{u} & Δ \ar[r]^{v} & Δ̃ \ar[r]^{i} & Cat ,}

où Δ̃ désigne la catégorie test de l’exemple 1.5.9, (a), sous-catégorie pleine de la catégorie des ensembles, ayant mêmes objets que Δ (mais comme morphismes toutes les applications, au lieu de seulement les applications croissantes), et où u et v désignent les foncteurs d’inclusion et i le foncteur test de l’exemple 1.7.17, associant à un objet E de Δ̃ l’ensemble ordonné formé des parties non vides de E. On remarque que le foncteur

\begin{aligned}i_{Δ′} & : Δ′ [figure] Cat \\ & Δ_{m} [figure] Δ′/Δ_{m} \end{aligned}

est canoniquement isomorphe à ivu. Pour montrer que Δ′ est une catégorie test faible, il suffit de montrer que le foncteur i_{Δ′} est asphérique (cf. 1.7.3). Le foncteur i étant un foncteur test, et en particulier un foncteur asphérique, il suffit donc de montrer que v et u sont des morphismes asphériques de Cat (1.7.4, (a) ). Comme l’inclusion i′ : Δ′ [figure] Cat est le composé du foncteur u suivi de l’inclusion Δ [figure] Cat, qui est un foncteur test (1.7.18), donc un foncteur asphérique, cela prouvera aussi que i′ est un foncteur test faible (1.7.4, (a) ).

a) Le morphisme v de Cat est asphérique. En vertu de la proposition 1.2.9, il suffit de montrer que pour tout objet E de Δ̃, le préfaisceau

F = v^{∗}(E) , Δ_{m} [figure]HomΔ̃(Δ_{m}, E) = Hom_{Ens}(Δ_{m}, E) ,

de Δ̂ est asphérique. Comme E est non vide, on choisit a ∈ E, et on définit un morphisme de préfaisceaux

h : Δ_{1} × F [figure] F

comme suit. Pour tout m-simplexe φ : Δ_{m} [figure] Δ_{1} de Δ_{1}, et tout m-simplexe

ψ : Δ_{m}  [figure] E de F, le m-simplexe h(φ, ψ) : Δ_{m}  [figure] E de F est défini par

h(φ, ψ)(k) = \begin{cases}ψ(k) & si φ(k) = 0 \\ a & si φ(k) = 1 \end{cases} 0 ⩽ k ⩽ m .

Notons 𝕀 le segment (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) de Δ̂ (e_{0} et e_{1} étant définis par 0 [figure] 0 et 0 [figure] 1 respectivement). On remarque que h est une 𝕀-homotopie de l’identité de F vers un endomorphisme constant de F, ce qui implique que F est 𝕀-contractile. Comme Δ_{1} est localement asphérique (1.5.12), il résulte de la proposition 1.4.8 que F est un préfaisceau localement asphérique, donc asphérique, de Δ̂, ce qui prouve l’assertion.

b) Le morphisme u de Cat est asphérique. Il s’agit de montrer que pour tout m, m ∈ ℕ, Δ′/u^{∗}(Δ_{m}) est une catégorie asphérique. Notons \overline{Δ′} la catégorie obtenue en adjoignant un objet initial ∅ à Δ′. Ainsi Δ′ s’identifie au cocrible \overline{Δ′} − \{∅\} de \overline{Δ′}. Notons

∅_{n} = (\underbrace{∅, ∅, …, ∅}_{n fois})

l’objet initial de \overline{Δ′} ^{n}, n ⩾ 1. On définit un isomorphisme de catégories

Δ′/u^{∗}(Δ_{m}) [figure] \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\}

de Δ′/u^{∗}(Δ_{m}) sur le cocrible \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\} de \overline{Δ′} ^{m+1}, en associant à tout objet (Δ_{n}, φ : Δ_{n} [figure] Δ_{m}) de Δ′/u^{∗}(Δ_{m}), l’objet (a_{0}, a_{1}, …, a_{m}) de \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\}, où

a_{i} = \begin{cases}Δ_{card(φ^{−1}\{i\})−1} & si φ^{−1}\{i\} ≠ ∅ \\ ∅ & sinon \end{cases} 0 ⩽ i ⩽ m .

Il suffit donc de prouver que la catégorie \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\} est asphérique. On raisonne par récurrence sur m. Pour m = 0, \overline{Δ′} − \{∅\} s’identifie à Δ′ qui est asphérique (lemme 1.7.24). Supposons donc que \overline{Δ′} ^{m}− \{∅_{m}\} soit asphérique, et montrons que \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\} l’est aussi. La catégorie \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\} est réunion des cocribles \overline{Δ′} ^{m} × (\overline{Δ′} − \{∅\}) et (\overline{Δ′} ^{m}− \{∅_{m}\}) × \overline{Δ′}, et l’intersection de ces deux cocribles est (\overline{Δ′} ^{m}− \{∅_{m}\}) × (\overline{Δ′} − \{∅\}). Ces trois cocribles sont asphériques, en vertu de l’hypothèse de récurrence, du lemme 1.7.24, et des corollaires 1.1.5 et 1.1.11. Il résulte alors du corollaire 1.1.28 que \overline{Δ′} ^{m+1}− \{∅_{m+1}\} est asphérique, ce qui prouve l’assertion, et achève la démonstration.

Remarque 1.7.26. — Si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier, alors Δ′ n’est pas une catégorie test. En effet, si Δ′ était une catégorie test, il en serait de même de Δ′/Δ_{0} ≃ e. Or, pour toute petite catégorie C, i_{e}i_{e}^{∗}(C) est la catégorie discrète ayant même ensemble d’objets que C. Si e était une catégorie test, et en particulier une catégorie test faible, la catégorie discrète {0, 1} = i_{e}i_{e}^{∗}(Δ_{1}) serait asphérique (1.3.9), et le localisateur fondamental faible W serait grossier (1.7.22).

Exemple 1.7.27. — Pour tout entier n, n ⩾ 0, on note Δ_{⩽n} la sous-catégorie pleine de Δ formée des Δ_{m}, pour 0 ⩽ m ⩽ n, et i_{n} : Δ_{⩽n} [figure] Δ le foncteur d’inclusion. On démontre que si n ⩾ 1, et si W = W_{n−1}, alors le foncteur i_{n} est W_{n−1}-asphérique [10]. Comme le foncteur i_{n} est pleinement fidèle, on en déduit qu’il est localement W_{n−1}-asphérique (cf. exemple 1.1.13, (a)), et il résulte de la proposition 1.6.14 et du corollaire 1.7.15, (c) que Δ_{⩽n} est une W_{n−1}-catégorie test stricte.

1.8. Décalages et exemples de catégories test

Ce long paragraphe est largement et librement inspiré d’idées de D.-C. Cisinski [11], et d’une description de la catégorie cellulaire de Joyal [18], due à Clemens Berger [6]. Il a fait l’objet d’un article en commun avec D.-C. Cisinski [12].

1.8.1. — Soit A une petite catégorie. Un décalage sur A est la donnée d’un endofoncteur D : A [figure] A, d’un objet a_{0} de A, et de morphismes de foncteurs

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}}

(où a_{0} désigne aussi l’endofoncteur constant de A de valeur a_{0}). On dira parfois que le quintuplet D = (A, a_{0}, D, α, β) est un décalage, et que le quadruplet (a_{0}, D, α, β), ou plus simplement, quand aucune confusion n’en résulte, le couple (α, β), est un décalage sur A. On dit que l’objet a_{0} de A est le centre du décalage D, ou que le décalage D est centré sur a_{0}. Un scindage du décalage D est la donnée pour tout objet a de A, d’une rétraction r_{a} : D(a) [figure] a de α_{a}. (On ne demande pas que le morphisme r_{a} soit fonctoriel en a). On dit qu’un décalage est scindable s’il admet un scindage, et qu’il est scindé s’il est muni d’un scindage. Le décalage sous-jacent à un décalage scindé est scindable.

1.8.2. — Soient D = (A, a_{0}, D, α, β) et E = (B, b_{0}, E, γ, δ) deux décalages,

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}} , \xymatrix{1_{B} \ar[r]^{γ} & E & b_{0} \ar[l]_{δ}} .

Un morphisme de décalages du premier vers le second est un foncteur u : A [figure] B satisfaisant aux relations

Eu = uD ,  b_{0} = u(a_{0}) ,  γ ⋆ u = u ⋆ α ,  δ ⋆ u = u ⋆ β .

Si p et q sont des scindages de D et E respectivement, on dit que u est un morphisme de décalages scindés si u est un morphisme de décalages, et si pour tout objet a de A, on a l’égalité q_{u(a)} = u(p_{a}). La catégorie des décalages, ainsi que celle de décalages scindés, admet des petites limites inductives et projectives qui se “calculent argument par argument”. En revanche, la sous-catégorie pleine de la catégorie des décalages formée des décalages scindables n’est pas stable par limites inductives ou projectives.

1.8.3. — Soit A une petite catégorie. Un décalage séparant sur A est un décalage

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}}

sur A tel que :

(i) pour tout objet a de A, la flèche α_{a} : a [figure] D(a) est un monomorphisme ; (ii) pour toute flèche f : a [figure] a′ de A, le carré

\xymatrix{a \ar[d]_{f} \ar[r]^{α_{a}} & D(a) \ar[d]^{D(f)} \\ a′ \ar[r]_{α_{a′}} & D(a′)}

est cartésien ; (iii) pour tout objet a de A, il n’existe aucun carré commutatif dans A de la forme

\xymatrix{a′ \ar[d] \ar[r] & a_{0} \ar[d]^{β_{a}} \\ a \ar[r]_{α_{a}} & D(a) & ,}

autrement dit, le produit fibré (a, α_{a}) ×_{D(a)} (a_{0}, β_{a}) dans la catégorie Â des préfaisceaux sur A est le préfaisceau vide.

En présence de la condition (i), la condition (ii) équivaut à la condition : (ii′) pour toute flèche f : a [figure] a′ de A, si un morphisme a′′ [figure] D(a) de A ne se

factorise pas par α_{a} : a [figure] D(a), alors le morphisme composé

\xymatrix{a′′ \ar[r] & D(a) \ar[r]^{D(f)} & D(a′)}

ne se factorise pas par α_{a′} : a′ [figure] D(a′). On dit que le décalage (α, β) sur A est cartésien s’il satisfait aux seules deux premières conditions (i) et (ii) ci-dessus, ou de façon équivalente aux conditions (i) et (ii′).

Proposition 1.8.4. — Une limite inductive filtrante de décalages séparants (resp. cartésiens) est un décalage séparant (resp. cartésien).

Démonstration. — La proposition résulte facilement de la propriété de commutativité des limites inductives filtrantes et des limites projectives finies dans la catégorie des ensembles, et du “calcul” des limites inductives filtrantes dans la catégorie des petites catégories. Les détails sont laissés au lecteur.

1.8.5. — La notion de décalage admet la généralisation suivante, qui sera utile par la suite. Soit I : A′ [figure] A un foncteur entre petites catégories. Un décalage sur I est la donnée d’un foncteur D : A′ [figure] A, d’un objet a_{0} de A, et de morphismes de foncteurs

\xymatrix{I \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}}

(où a_{0} désigne aussi le foncteur constant de A′ vers A de valeur a_{0}). On dit que l’objet a_{0} de A est le centre du décalage, ou que le décalage est centré sur a_{0}. On dira parfois que le quadruplet (a_{0}, D, α, β), ou plus simplement, quand aucune confusion n’en résulte, le couple (α, β), est un décalage sur I, et que le quintuplet D = (I, a_{0}, D, α, β) est un décalage généralisé. Un scindage du décalage généralisé D est la donnée pour tout objet a de A′, d’une rétraction r_{a} : D(a) [figure] I(a) de α_{a}. On dit qu’un décalage généralisé est scindable s’il admet un scindage, et qu’il est scindé s’il est muni d’un scindage. On dit que le décalage généralisé D = (I, a_{0}, D, α, β) est séparant si les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) pour tout objet a de A′, la flèche α_{a} : I(a) [figure] D(a) est un monomorphisme de A;

(ii) pour toute flèche f : a [figure] a′ de A′, le carré

\xymatrix{I(a) \ar[d]_{I(f)} \ar[r]^{α_{a}} & D(a) \ar[d]^{D(f)} \\ I(a′) \ar[r]_{α_{a′}} & D(a′)}

est un carré cartésien de A; (iii) pour tout objet a de A′, il n’existe aucun carré commutatif dans A de la forme

\xymatrix{a′ \ar[d] \ar[r] & a_{0} \ar[d]^{β_{a}} \\ I(a) \ar[r]_{α_{a}} & D(a) & ,}

autrement dit, le produit fibré (I(a), α_{a}) ×_{D(a)} (a_{0}, β_{a}) dans la catégorie Â des préfaisceaux sur A est le préfaisceau vide.

On dit que le décalage généralisé D = (I, a_{0}, D, α, β) est cartésien s’il satisfait aux seules deux premières conditions (i) et (ii) ci-dessus.

Soient D = (I : A′ [figure] A, a_{0}, D, α, β) et E = (J : B′ [figure] B, b_{0}, E, γ, δ) deux décalages généralisés,

\xymatrix{I \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}} , \xymatrix{J \ar[r]^{γ} & E & b_{0} \ar[l]_{δ}} .

Un morphisme de décalages généralisés du premier vers le second est un couple de foncteurs (u′, u), u′ : A′ [figure] B′, u : A [figure] B, satisfaisant aux relations

Ju′ = uI , Eu′ = uD , b_{0} = u(a_{0}) , γ ⋆ u′ = u ⋆ α , δ ⋆ u′ = u ⋆ β .

Si p et q sont des scindages de D et E respectivement, on dit que (u′, u) est un morphisme de décalages généralisés scindés si (u′, u) est un morphisme de décalages généralisés, et si pour tout objet a de A′, on a l’égalité q_{u′(a)} = u(p_{a}). La catégorie des décalages généralisés, ainsi que celle des décalages généralisés scindés, admet des petites limites inductives et projectives qui se “calculent argument par argument”. La sous-catégorie pleine de la catégorie des décalages généralisés formée des décalages généralisés séparants (resp. cartésiens) est stable par limites inductives filtrantes. On remarque qu’un décalage sur une petite catégorie A n’est rien d’autre qu’un décalage sur l’endofoncteur identique de A. La catégorie des décalages s’identifie ainsi à une sous-catégorie pleine de la catégorie des décalages généralisés.

Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Proposition 1.8.6. — Soit A une petite catégorie. Si A admet un décalage, alors A est asphérique. Si A admet un décalage scindable, alors A est totalement asphérique.

Démonstration. — Si la catégorie A admet un décalage elle est contractile, et la première assertion résulte de la proposition 1.4.19. Pour montrer la deuxième assertion, il suffit donc de prouver qu’un décalage scindé sur A induit pour tout couple d’objets a_{1}, a_{2} de A, un décalage sur A/a_{1} × a_{2}. Soit donc

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D \ar[l]^{r} & a_{0} \ar[l]_{β}}

(r non nécessairement fonctoriel) un décalage scindé sur A. On rappelle qu’un objet de A/a_{1} × a_{2} est un triplet

(a, p_{1} : a [figure] a_{1}, p_{2} : a [figure] a_{2}) , a ∈ Ob A , p_{1}, p_{2} ∈ Fl A ,

un morphisme f : (a, p_{1}, p_{2}) [figure] (a′, p′_{1}, p′_{2}) étant une flèche f : a [figure] a′ telle que

[figure: a; f; p_{1}; a′; p′_{1}; a; f; p_{2}; a′; p′_{2}; p_{1} = p′_{1}f; p_{2} = p′_{2}f .; a_{1}; a_{2}]

On définit

D′ : A/a_{1} × a_{2} [figure] A/a_{1} × a_{2}

par

D′(a, p_{1}, p_{2}) = (D(a), r_{a_{1}}D(p_{1}), r_{a_{2}}D(p_{2})) , D′(f) = D(f) .

On définit des morphismes de foncteurs

\xymatrix{1_{A/a_{1}×a_{2}} \ar[r]^{α′} & D′ & (a_{0}, r_{a_{1}}β_{a_{1}}, r_{a_{2}}β_{a_{2}}) \ar[l]_{β′}}

par

α′_{(a,p_{1},p_{2})} = α_{a} , β′_{(a,p_{1},p_{2})} = β_{a} ,

qui sont bien des morphismes de A/a_{1} × a_{2}

\xymatrix{(a, p_{1}, p_{2}) \ar[r]^{α_{a}} & D′(a, p_{1}, p_{2}) = (D(a), r_{a_{1}}D(p_{1}), r_{a_{2}}D(p_{2})) & (a_{0}, r_{a_{1}}β_{a_{1}}, r_{a_{2}}β_{a_{2}}) \ar[l]_{β_{a}}} ,

car en vertu de la fonctorialité de α et β, on a

r_{a_{i}}D(p_{i})α_{a} = r_{a_{i}}α_{a_{i}}p_{i} = p_{i} et r_{a_{i}}D(p_{i})β_{a} = r_{a_{i}}β_{a_{i}} , i = 1, 2 .

La fonctorialité de α′ et β′ résulte de celle de α et β.

Corollaire 1.8.7. — Soit A une petite catégorie admettant un décalage scindable. S’il existe un segment séparant 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) de Â tel que I soit asphérique, alors A est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Le corollaire résulte aussitôt des propositions 1.6.8 et 1.8.6.

Proposition 1.8.8. — Soient A, B deux petites catégories,

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}} , \xymatrix{1_{B} \ar[r]^{γ} & E & b_{0} \ar[l]_{δ}}

des décalages sur A et B respectivement, et u : A [figure] B un morphisme de décalages. Si le décalage (γ, δ) est scindable, alors u est un foncteur asphérique.

Démonstration. — Soit b un objet de B. Il s’agit de montrer que la catégorie A/b est asphérique, et pour cela, en vertu de la proposition 1.8.6, il suffit de construire un décalage sur A/b. Choisissons un scindage q (non nécessairement fonctoriel) du décalage scindable (γ, δ). On définit un décalage

\xymatrix{1_{A/b} \ar[r]^{α′} & D′ & a′_{0} \ar[l]_{β′}}

sur la catégorie A/b comme suit. L’objet a′_{0} de A/b est défini par a′_{0} = (a_{0}, q_{b}δ_{b}).

\xymatrix{u(a_{0}) = b_{0} \ar[r]^{δ_{b}} & E(b) \ar[r]^{q_{b}} & b}

Le foncteur D′ : A/b [figure] A/b est défini en posant, pour tout objet (a, g : u(a) [figure] b) de A/b,

D′(a, g) = (D(a), q_{b}E(g)) , \xymatrix{u(D(a)) = E(u(a)) \ar[r]^{E(g)} & E(b) \ar[r]^{q_{b}} & b} ,

et pour toute flèche f : (a, g) [figure] (a′, g′) de A/b, D′(f) = D(f). Les morphismes de foncteurs α′ et β′ sont définis par

α′_{(a,g)} = α_{a} ,  β′_{(a,g)} = β_{a} ,  (a, g) ∈ Ob(A/b) ,

qui sont bien des morphismes de A/b

\xymatrix{(a, g) \ar[r]^{α_{a}} & D′(a, g) = (D(a), q_{b}E(g)) & (a_{0}, q_{b}δ_{b}) \ar[l]_{β_{a}}} ,

car le fait que u soit un morphisme de décalages et la fonctorialité de γ et δ impliquent les égalités

\begin{matrix}q_{b}E(g)u(α_{a}) = q_{b}E(g)γ_{u(a)} = q_{b}γ_{b}g = g \\ q_{b}E(g)u(β_{a}) = q_{b}E(g)δ_{u(a)} = q_{b}δ_{b} . \end{matrix}

La fonctorialité de α′ et β′ résulte de celle de α et β, ce qui achève la preuve.

1.8.9. — Soient A une catégorie et U un crible de A. On note A−U la sous-catégorie pleine de A définie par Ob(A − U) = Ob A − Ob U, et on vérifie aussitôt que A − U est un cocrible de A. Cette convention permet d’énoncer le lemme suivant, dont la démonstration est immédiate.

Lemme 1.8.10. — Soient A une catégorie, U un crible de A, et u : U [figure] C un foncteur dont le but est une catégorie admettant un objet final e_{C}. Alors il existe un unique foncteur v : A [figure] C tel que v | U = u et tel que v | A − U soit le foncteur constant de valeur e_{C}.

Proposition 1.8.11. — Une petite catégorie admettant un décalage séparant est une catégorie test faible.

Démonstration. — Soit A une petite catégorie admettant un décalage séparant

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & a_{0} \ar[l]_{β}} .

En vertu de la proposition 1.3.9, pour montrer que la catégorie A est une catégorie test faible, il suffit de prouver que pour toute petite catégorie C admettant un objet final e_{C}, la catégorie A/i_{A}^{∗}(C) est asphérique, et pour cela il suffit de montrer qu’elle admet un décalage (1.8.6). On définit un foncteur D_{C} : A/i_{A}^{∗}(C) [figure] A/i_{A}^{∗}(C) comme suit. Soit (a, p : A/a [figure] C) un objet de A/i_{A}^{∗}(C). Comme α_{a} : a [figure] D(a) est un monomorphisme, le foncteur A/α_{a} : A/a [figure] A/D(a), induit par α_{a}, identifie A/a à un crible de A/D(a), et il résulte du lemme 1.8.10 que le foncteur p : A/a [figure] C se prolonge en un foncteur unique \overline{p} : A/D(a) [figure] C, induisant p sur le crible A/a, et le foncteur constant de valeur l’objet final e_{C} de C sur le cocrible complémentaire. On pose D_{C}(a, p) = (D(a), \overline{p}). Soit

(a, p : A/a [figure] C) [figure: f](a′, p′: A/a′ [figure] C)

un morphisme de A/i_{A}^{∗}(C), autrement dit, une flèche f : a [figure] a′ de A telle que le triangle

\xymatrix{A/a \ar[rr]^{A/f} \ar[dr]_{p} &  & A/a′ \ar[dl]^{p′} \\  & C}

soit commutatif. Il résulte aussitôt de la fonctorialité de α et de la condition (ii′), 1.8.3, que le triangle

\xymatrix{A/D(a) \ar[rr]^{A/D(f)} \ar[dr]_{\overline{p}} &  & A/D(a′) \ar[dl]^{\overline{p′}} \\  & C}

est commutatif, autrement dit que D(f) : (D(a), \overline{p}) [figure] (D(a′), \overline{p′}) est un morphisme de A/i_{A}^{∗}(C). On pose D_{C}(f) = D(f), définissant ainsi un foncteur D_{C} : A/i_{A}^{∗}(C) [figure] A/i_{A}^{∗}(C). Comme par construction, pour tout objet (a, p) de A/i_{A}^{∗}(C), le triangle

\xymatrix{A/a \ar[rr]^{A/α_{a}} \ar[dr]_{p} &  & A/D(a) \ar[dl]^{\overline{p}} \\  & C}

est commutatif, le morphisme de foncteurs α induit un morphisme de foncteurs α_{C} : 1_{A/i_{A}^{∗}(C)} [figure] D_{C}. Enfin, la condition (iii), 1.8.3, implique que pour tout objet (a, p) de A/i_{A}^{∗}(C), le triangle

\xymatrix{A/a_{0} \ar[rr]^{A/β_{a}} \ar[dr]_{e_{C}} &  & A/D(a) \ar[dl]^{\overline{p}} \\  & C & ,}

où e_{C} : A/a_{0} [figure] C désigne aussi le foncteur constant de valeur e_{C}, est commutatif, ce qui implique que le morphisme de foncteurs β : a_{0} [figure] D induit un morphisme de foncteurs β_{C} : (a_{0}, e_{C}) [figure] D_{C}, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 1.8.12. — Une petite catégorie admettant un décalage à la fois séparant et scindable est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Le corollaire est conséquence immédiate des propositions 1.6.8, 1.8.6 et 1.8.11.

Exemple 1.8.13. — Soit D : Δ [figure] Δ le foncteur défini en posant pour tout m, m ∈ ℕ,

D(Δ_{m}) = Δ_{m+1} ,

et en définissant pour toute application croissante φ : Δ_{m} [figure] Δ_{n}, D(φ) par

D(φ)(k) = \begin{cases}φ(k) , & 0 ⩽ k ⩽ m , \\ n + 1 , & k = m + 1 . \end{cases}

L’inclusion naturelle

Δ_{m} [figure] Δ_{m+1} , k [figure] k , 1 ⩽ k ⩽ m ,

définit un morphisme fonctoriel α : 1_{Δ} [figure] D, et l’application

Δ_{0}  [figure] Δ_{m+1} ,  0 [figure] m + 1 ,

un morphisme fonctoriel β de l’endofoncteur constant de Δ, de valeur Δ_{0}, vers D. On obtient ainsi un décalage de centre Δ_{0}

\xymatrix{1_{Δ} \ar[r]^{α} & D & Δ_{0} \ar[l]_{β}} .

Ce décalage est scindable. En effet, pour tout entier m ⩾ 0, l’application croissante r_{m} : Δ_{m+1} [figure] Δ_{m} définie par

r_{m}(k) = \begin{cases}k , & 0 ⩽ k ⩽ m , \\ m , & k = m + 1 , \end{cases}

est une rétraction (non fonctorielle) de α_{Δ_{m}}. Comme il est facile de vérifier que ce décalage est également séparant, le corollaire 1.8.12 fournit une troisième preuve du fait que Δ est une catégorie test stricte (1.6.14 et 1.7.18).

Exemple 1.8.14. — Le foncteur D : Δ [figure] Δ de l’exemple précédent induit par restriction un foncteur D′ : Δ′ [figure] Δ′, et les morphismes de foncteurs α, β des morphismes de foncteurs

\xymatrix{1_{Δ′} \ar[r]^{α′} & D′ & Δ_{0} \ar[l]_{β′}} .

On vérifie aussitôt que le décalage ainsi défini sur Δ′ (considéré déjà dans 1.7.24) est un décalage séparant, et la proposition 1.8.11 fournit une deuxième preuve du fait que Δ′ est une catégorie test faible (1.7.25). En revanche, on remarque que les rétractions r_{m} ne sont pas des morphismes de Δ′, et que le décalage induit n’est pas scindable. L’inclusion Δ′ [figure] Δ est un morphisme de décalages de (Δ′, Δ_{0}, D′, α′, β′) vers (Δ, Δ_{0}, D, α, β). En particulier, la proposition 1.8.8 implique que cette inclusion est un foncteur asphérique (ce qui a déjà été prouvé par une autre méthode dans la démonstration de la proposition 1.7.25).

Exemple 1.8.15. — Soit A la sous-catégorie pleine de celle des ensembles ordonnés, et applications croissantes, dont le seul objet est l’ensemble ordonné ℕ des entiers naturels. En d’autres termes, A est le monoïde des applications croissantes ℕ [figure] ℕ, considéré comme catégorie à un seul objet. On définit un décalage scindé sur A

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D \ar[l]^{r} & a_{0} \ar[l]_{β}}

comme suit. Le foncteur D est défini en posant pour toute application croissante φ : ℕ [figure] ℕ,

D(φ)(i) = \{ \begin{matrix}0 , & i = 0 , \\ φ(i − 1) + 1 , & i ⩾ 1 . \end{matrix}

Le morphisme de foncteurs α, qui est tout simplement une application croissante α : ℕ [figure] ℕ, est défini par α(i) = i + 1, i ⩾ 0. L’objet a_{0} est l’unique objet a_{0} = ℕ de A, et le morphisme β est l’application constante de valeur 0. Enfin, le scindage r est défini par

r(i) = \begin{cases}0 , & i = 0 , \\ i − 1 , & i ⩾ 1 . \end{cases}

On vérifie aussitôt que ce décalage est séparant. Le corollaire 1.8.12 implique alors que la catégorie A est une catégorie test stricte. En particulier, la catégorie des ensembles munis d’une action à droite du monoïde des applications croissantes ℕ [figure] ℕ modélise les types d’homotopie !

Exemple 1.8.16. — Pour toute catégorie C, on note C^{⋆} la catégorie obtenue de C par adjonction formelle d’un objet final. On remarque que C s’identifie à un crible de C^{⋆}, et que si C a déjà un objet final, ce dernier n’est plus un objet final de C^{⋆}. Soit A une petite sous-catégorie pleine de Cat satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) la catégorie ponctuelle e est dans A; (ii) pour tout objet a de A, la catégorie a^{⋆} est dans A. Soit D : A [figure] A le foncteur défini en posant pour tout objet a de A, D(a) = a^{⋆}, et en définissant pour tout morphisme f : a [figure] a′ de A, D(f) comme étant le foncteur envoyant l’objet final de D(a) sur l’objet final de D(a′) et induisant f sur le crible de D(a) défini par l’inclusion a [figure] D(a). On note α_{a} cette inclusion, et β_{a} : e [figure] D(a) le foncteur défini par l’objet final de D(a). On définit ainsi un décalage sur A, de centre la catégorie ponctuelle e,

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & e \ar[l]_{β}} ,

où e désigne aussi l’endofoncteur constant de A de valeur e. On vérifie aussitôt que ce décalage est cartésien, et qu’il est séparant si la catégorie vide n’est pas dans A. En particulier, la catégorie A est alors, en vertu de la proposition 1.8.11, une catégorie test faible. Si tout objet de A admet un objet final, alors ce décalage est scindable. En effet, en vertu du lemme 1.8.10, pour tout objet a de A, le morphisme identique de a se prolonge alors en une rétraction D(a) [figure] a de l’inclusion a [figure] D(a), envoyant l’objet final de D(a) sur un objet final de a. Ainsi, le corollaire 1.8.12 implique que sous ces hypothèses, A est une catégorie test strict. On remarque que cet exemple généralise l’exemple 1.8.13.

Exemple 1.8.17. — Soit A une catégorie ayant un objet initial a_{0}. Alors

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{1_{1_{A}}} & 1_{A} \ar[l]^{1_{1_{A}}} & a_{0} \ar[l]}

est un décalage scindé cartésien (mais pas séparant) sur A, de centre l’objet initial de A. En particulier, il résulte de la proposition 1.8.6 que la catégorie A est totalement asphérique. D’ailleurs, ce dernier résultat est a priori évident, puisque pour tout couple d’objets a_{1}, a_{2} de A, l’objet initial de A induit un objet initial de A/a_{1} × a_{2}, et par suite cette catégorie est asphérique (1.1.11). En revanche, si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier, une telle catégorie A n’est jamais une catégorie test, ni même une catégorie test faible. En effet, soit L_{A} = i_{A}^{∗}(Δ_{1}) l’objet de Lawvere de Â (cf. 1.5.5). Pour tout objet a de A, l’ensemble L_{A}(a) est formé des sous-objets X du préfaisceau représentable représenté par a, et comme a_{0} est un objet initial de A, un tel sous-objet est non vide si et seulement si l’ensemble X(a_{0}) est non vide. On en déduit facilement que

a [figure]

{sous-objets non vides du préfaisceau représentable a}

≃ {cribles non vides de la catégorie A/a}
= {cribles de la catégorie A/a contenant l’objet (a_{0}, a_{0}  [figure] a)}

définit un sous-préfaisceau de L_{A}, et que le préfaisceau L_{A} est somme disjointe de ce sous-préfaisceau et du sous-préfaisceau défini par les sous-objets vides, ce qui prouve que L_{A} n’est pas connexe. Le lemme 1.7.22 implique alors que si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier, alors L_{A} = i_{A}^{∗}(Δ_{1}) n’est pas asphérique, et par suite, en vertu de la proposition 1.3.9, que A n’est pas une catégorie test faible.

1.8.18. — Soit m un entier, m ⩾ 0. On note P_{m} l’ensemble des parties de l’ensemble

Γ_{m} = {1, 2, …, m} (Γ_{m} = ∅ si m = 0)

(y compris la partie pleine et la partie vide). On rappelle que la catégorie de Segal Γ est la catégorie dont les objets sont les ensembles Γ_{m}, m ⩾ 0, un morphisme Γ_{m} [figure] Γ_{n} étant une application φ : Γ_{m} [figure] P_{n} telle que pour tout couple i, i′, 1 ⩽ i < i′ ⩽ m, on ait φ(i) ∩ φ(i′) = ∅. Le composé de deux morphismes composables

\xymatrix{Γ_{m} \ar[r]^{φ} & Γ_{n} \ar[r]^{ψ} & Γ_{r}}

de Γ est défini par

(ψ ∘ φ)(i) = ⋃_{j∈φ(i)} ψ(j) , 1 ⩽ i ⩽ m .

On remarque que Γ_{0} est un objet nul (à la fois initial et final) de Γ. La catégorie Γ est équivalente à la catégorie opposée à celle des ensembles finis pointés, et plus précisément, isomorphe à la catégorie opposée de celle dont les objets sont les ensembles {0, 1, …, m}, m ⩾ 0, et les morphismes les applications envoyant 0 sur 0. À une telle application

\xymatrix{\{0, 1, …, n\} \ar[r]^{f} & \{0, 1, …, m\}} ,

on associe le morphisme Γ_{m} [figure] Γ_{n} de Γ, défini par i [figure] f^{−1}(i), 1 ⩽ i ⩽ m, et à un morphisme φ : Γ_{m} [figure] Γ_{n} de Γ, on associe l’application

f : {0, 1, …, n} [figure] {0, 1, …, m} ,

définie par

f(j) = \begin{cases}i , & si j ∈ φ(i) , \\ 0 , & si j ∉ ⋃_{1⩽i⩽m} φ(i) . \end{cases}

Exemple 1.8.19. — L’objet Γ_{0} de la catégorie de Segal Γ étant en particulier un objet initial, cette catégorie admet un décalage scindé “évident” (exemple 1.8.17). Mais elle admet aussi un décalage scindé non trivial, également centré sur Γ_{0},

\xymatrix{1_{Γ} \ar[r]^{γ} & E \ar[l]^{r} & Γ_{0} \ar[l]} ,

défini comme suit. Le foncteur E : Γ [figure] Γ est défini en posant pour tout m, m ∈ ℕ,

E(Γ_{m}) = Γ_{m+1} ,

et en définissant pour tout morphisme g : Γ_{m} [figure] Γ_{n} de Γ, E(g) par

E(g)(k) = \begin{cases}g(k) , & 0 ⩽ k ⩽ m , \\ \{n + 1\} , & k = m + 1 . \end{cases}

Pour tout entier m ⩾ 0, les morphismes

\xymatrix{Γ_{m} \ar[r]^{γ_{Γm}} & E(Γ_{m}) \ar[l]^{r_{m}}}

sont définis par

\begin{matrix}γ_{Γ_{m}}(k) = \{k\} , 1 ⩽ k ⩽ m , \\ r_{m}(k) = \begin{cases}\{k\} , & 0 ⩽ k ⩽ m , \\ ∅ , & k = m + 1 . \end{cases} \end{matrix}

On remarque que dans cet exemple la rétraction r est fonctorielle, et on vérifie facilement que le décalage ainsi défini est cartésien (mais pas séparant).

1.8.20. — Soient A une catégorie, et F : B [figure] Γ un foncteur. Le produit en couronnes F ∫ A, noté parfois B∫ A, quand il n’y a aucune ambiguïté sur le foncteur F, est la catégorie dont les objets sont les couples [b; (a_{1}, …, a_{m})], où b est un objet de B tel que F (b) = Γ_{m}, et (a_{1}, …, a_{m}) un m-uplet d’objets de A. Un morphisme

[b; (a_{1}, …, a_{m})] [figure] [b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})]

est un couple [g; f ], où g : b [figure] b′ est un morphisme de B, et

f = (f_{i′i} : a_{i} [figure] a_{i′})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)}

une famille de morphismes de A. Si

\xymatrix{[b; (a_{1}, …, a_{m})] \ar[r]^{[ g;f ]} & [b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})] \ar[r]^{[ g′;f′]} & [b′′; (a′′_{1}, …, a′′_{m′′})]}

est un couple de morphismes composables,

f = (f_{i′i})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)} , f′ = (f′_{i′′i′})_{1⩽i′⩽m′, i′′∈F (g′)(i′)} ,

le composé

[g′′; f′′] := [g′; f′] ∘ [g; f ]

est défini par

g′′ = g′g , f′′ = (f′′_{i′′i})_{1⩽i⩽m, i′′∈F (g′′)(i)} ,

où f′′_{i′′i} = f′_{i′′i′}f_{i′i}, i′ étant l’unique entier dans F (g)(i) tel que i′′ ∈ F (g′)(i′).

On remarque que si A est la catégorie ponctuelle e, alors le produit en couronnes B∫ e est canoniquement isomorphe à la catégorie B.

1.8.21. — La construction du produit en couronnes est fonctorielle : Soient A, A′ et B des petites catégories, et

\xymatrix{A′ \ar[r]^{G} & A} , \xymatrix{B′ \ar[r]^{H} & B \ar[r]^{F} & Γ}

des foncteurs. On en déduit un foncteur

\xymatrix{K = H∫ G : B′∫ A′ = F H∫ A′ \ar[r] & F ∫ A = B∫ A} ,

en posant

K[b; (a_{1}, …, a_{m})] = [H(b); (G(a_{1}), …, G(a_{m}))] , [b; (a_{1}, …, a_{m})] ∈ Ob(B′∫ A′) ,

et

K[g; f = (f_{ji})_{i,j}] = [H(g); G(f) = (G(f_{ji}))_{i,j}] , [g; f ] ∈ Fl(B′∫ A′) .

Si les foncteurs G et H sont fidèles (resp. pleinement fidèles), alors il en est de même du foncteur H∫ G.

En particulier, soit a un objet de A, et notons aussi a : e [figure] A le foncteur de la catégorie ponctuelle vers A, défini par cet objet. On en déduit un foncteur fidèle

\xymatrix{I_{a} = 1_{B}∫ a : B∫ e ≃ B \ar[r] & B∫ A} ,

qui est pleinement fidèle si a est un objet rigide de A (n’admettant pas d’autre endomorphisme que l’identité). Explicitement, pour tout objet b de B tel que f(b) = Γ_{m},

I_{a}(b) = [b; (\underbrace{a, a, …, a}_{m fois})] ,

et pour tout morphisme g : b [figure] b′ de B tel que F (b) = Γ_{m} et F (b′) = Γ_{m′},

I_{a}(g) : [b; (\underbrace{a, a, …, a}_{m fois})] [figure][b′; (\underbrace{a, a, …, a}_{m′ fois})]

est défini par

I_{a}(g) = [g; (1_{a})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)} ] .

1.8.22. — Soient B une petite catégorie, b un objet de B, et F : B [figure] Γ un foncteur. En vertu de ce qui précède, le foncteur b : e [figure] B définit un foncteur fidèle

I_{b} : B [figure] B∫ B ,

d’où, par fonctorialité du produit en couronnes, un foncteur

1_{B}∫ I_{b} : B∫ B [figure] B∫ (B∫ B) ,

et par suite, un foncteur

1_{B}∫ (1_{B}∫ I_{b}) : B∫ (B∫ B) [figure] B∫ (B∫ (B∫ B)) ,

et ainsi de suite. De façon plus précise, on définit une suite de catégories B_{n}, n ⩾ 0, par

B_{0} = e = catégorie ponctuelle ,

B_{n+1} = B∫ B_{n} ,

et une suite de foncteurs I_{n} : B_{n} [figure] B_{n+1}, n ⩾ 0, par I_{0} = b : e [figure] B , foncteur défini par l’objet b de B,

I_{n+1} = 1_{B}∫ I_{n} .

On obtient ainsi une tour de catégories

\xymatrix{B_{0} = e \ar[r]^{I_{0}=b} & B_{1} = B \ar[r]^{I_{1}=I_{b}} & B_{2} = B∫ B \ar[r]^{I_{2}} & ⋯ \ar[r]^{I_{n−1}} & B_{n} \ar[r]^{I_{n}} & B_{n+1} \ar[r]^{I_{n+1}} & ⋯} .

Le produit en couronnes infini, défini par la catégorie pointée (B, b) (et le foncteur F : B [figure] Γ), est la catégorie limite inductive

C(B, b) := C(B, b, F) := B_{∞} := \underrightarrow{lim}B_{n} .

La fonctorialité du produit en couronnes implique que cette construction est fonctorielle. Si H : (B′, b′) [figure] (B, b) est un morphisme de catégories pointées (un foncteur H : B′ [figure] B tel que H(b′) = b), on en déduit un foncteur

C(H) : C(B′, b′) = C(B′, b′, F H) [figure] C(B, b) .

Si le foncteur H est fidèle (resp. pleinement fidèle), il en est de même du foncteur C(H).

Exemple 1.8.23. — On définit un foncteur F : Δ [figure] Γ par

\begin{matrix}F (Δ_{m}) = Γ_{m} ,  m ⩾ 0 , \\ F (φ)(i) = \{j | φ(i − 1) < j ⩽ φ(i)\} , φ : Δ_{m}  [figure] Δ_{n} ∈ Fl(Δ) , 1 ⩽ i ⩽ m . \end{matrix}

On pose

Θ = C(Δ, Δ_{0}) = C(Δ, Δ_{0}, F) .

Il résulte des considérations développées dans [5] et [6] que cette catégorie coïncide avec la catégorie cellulaire introduite par Joyal dans [18].

L’inclusion Δ′ [figure] Δ induit un foncteur F′ = F |Δ′ : Δ′ [figure] Γ, d’où une catégorie

Θ′ = C(Δ′, Δ_{0}) = C(Δ′, Δ_{0}, F′) ,

et un foncteur fidèle Θ′ [figure] Θ. En vertu de la définition des produits en couronnes infinis, on a un diagramme commutatif de foncteurs fidèles

\xymatrix{Θ′_{0} \ar[r] \ar[d] & Θ′_{1} \ar[r] \ar[d] & Θ′_{2} \ar[r] \ar[d] & … \ar[r] & Θ′_{n} \ar[r] \ar[d] & Θ′_{n+1} \ar[r] \ar[d] & … \\ Θ_{0} \ar[r] & Θ_{1} \ar[r] & Θ_{2} \ar[r] & … \ar[r] & Θ_{n} \ar[r] & Θ_{n+1} \ar[r] & … & ,}

avec Θ′_{0} = Θ_{0} = e la catégorie ponctuelle, Θ′_{1} = Δ′, Θ_{1} = Δ, et

Θ′_{n+1} = Δ′∫ Θ′_{n} ,  Θ_{n+1} = Δ∫ Θ_{n} ,  n ⩾ 0 ,
Θ′ = \underrightarrow{lim}Θ′_{n} , Θ = \underrightarrow{lim}Θ_{n} .

Comme Δ_{0} est un objet rigide, aussi bien de Δ′ que de Δ, les flèches horizontales sont des foncteurs pleinement fidèles, et les catégories Θ′_{n} (resp. Θ_{n}) s’identifient à des sous-catégories pleines de Θ′ (resp. de Θ).

1.8.24. — Soient B une petite catégorie, et F : B [figure] Γ un foncteur. On dit qu’un décalage

\xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}}

sur la catégorie B est adapté au foncteur F, ou plus simplement, quand il n’y a aucune ambiguïté sur le foncteur F, qu’il est un Γ-décalage, si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) F (b_{0}) = Γ_{0} ; (ii) pour tout objet b de B tel que F (b) = Γ_{m}, on a F L(b) = Γ_{m+1}, et pour tout i,

1 ⩽ i ⩽ m, F (β_{b})(i) = {i}. On dit qu’il est strictement adapté au foncteur F, ou qu’il est un Γ-décalage strict, si de plus la condition suivante est satisfaite : (iii) pour tout couple d’objets b, b′ de B tels que F (b) = Γ_{m} et F (b′) = Γ_{m′}, et toute

flèche g : b [figure] b′ de B, on a m′ + 1 ∈ F L(g)(m + 1).

Si le foncteur F est un morphisme de décalages, du décalage L = (B, b_{0}, L, β, β′) sur B vers le décalage sur la catégorie Γ défini dans l’exemple 1.8.19, alors le décalage L est strictement adapté au foncteur F, mais la réciproque n’est pas vraie en général. En particulier, le décalage de l’exemple 1.8.19 est strictement adapté au foncteur identique de Γ.

Exemple 1.8.25. — Les décalages des exemples 1.8.13 et 1.8.14 sur Δ et Δ′ sont strictement adaptés respectivement aux foncteurs F : Δ [figure] Γ et F′ : Δ′ [figure] Γ de l’exemple 1.8.23. En revanche, les foncteurs F et F′ ne sont pas des morphismes de décalages, de ces décalages vers le décalage sur Γ de l’exemple 1.8.19.

Lemme 1.8.26. — Soient B une petite catégorie, F : B [figure] Γ un foncteur, et

\xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}}

un Γ-décalage sur la catégorie B. Si g : b [figure] b′ est une flèche de B et si F (b) = Γ_{m}, alors pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m, on a F L(g)(i) = F (g)(i). De plus, si (q_{b} : L(b) [figure] b)_{b∈Ob(B)} est un scindage du décalage (β, β′), et b un objet de B tel que F (b) = Γ_{m}, alors pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m, on a F (q_{b})(i) = {i} et F (q_{b})(m + 1) = ∅.

Démonstration. — Soit g : b [figure] b′ une flèche de B telle que F (b) = Γ_{m}, F (b′) = Γ_{m′}. En vertu de la fonctorialité de β, on a un carré commutatif

\xymatrix{F (b) \ar[r]^{F (β_{b})} \ar[d]_{F (g)} & F L(b) \ar[d]^{F L(g)} \\ F (b′) \ar[r]_{F (β_{b′})} & F L(b′) & ,}

et comme (β, β′) est un Γ-décalage, on a

F (β_{b})(i) = {i} , 1 ⩽ i ⩽ m ,  et  F (β_{b′})(i′) = {i′} , 1 ⩽ i′ ⩽ m′ .

On en déduit que pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m, on a

\begin{matrix}(F L(g) ∘ F (β_{b}))(i) = ⋃_{i′∈F (β_{b})(i)} F L(g)(i′) = F L(g)(i) , \\ (F (β_{b′}) ∘ F (g))(i) = ⋃_{i′∈F (g)(i)} F (β_{b′})(i′) = F (g)(i) , \end{matrix}

d’où F L(g)(i) = F (g)(i).

Soient maintenant (q_{b} : L(b) [figure] b)_{b∈Ob(B)} un scindage du décalage (β, β′), et b un objet de B tel que F (b) = Γ_{m}. Comme (β, β′) est un Γ-décalage, pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m, on a F (β_{b})(i) = {i}, et la relation q_{b}β_{b} = 1_{b} implique que

{i} = F (q_{b}β_{b})(i) = ⋃_{j∈F (β_{b})(i)} F (q_{b})(j) = F (q_{b})(i) ,

ce qui implique en particulier que F (q_{b})(m + 1) = ∅ (puisque par définition des morphismes de Γ, les ensembles F (q_{b})(j), 1 ⩽ j ⩽ m + 1, sont deux à deux disjoints).

Proposition 1.8.27. — Soient A, A′, B des petites catégories, I : A′ [figure] A et F : B [figure] Γ des foncteurs, C = B∫ A, C′ = B∫ A′, et

\xymatrix{I \ar[r]^{α} & K & a_{0} \ar[l]_{α′}} (resp. \xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}} )

un décalage sur le foncteur I (resp. un Γ-décalage sur la catégorie B). Alors il existe un unique décalage sur le foncteur J = 1_{B}∫ I : C′ [figure] C

\xymatrix{J \ar[r]^{γ} & M & [b_{0}; ( )] \ar[l]_{γ′}}

(où ( ) désigne l’unique “0-uplet” d’objets de A) tel que pour tout objet [b; (a_{1}, …, a_{m})] de C′, on ait

(1.8.27.1)  M[b; (a_{1}, …, a_{m})] = [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})] ,
(1.8.27.2)  γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} = [β_{b}; (α_{a_{i}})_{1⩽i⩽m}] ,
(1.8.27.3)  γ′_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} = [β′_{b}; ( )] ,

et pour toute flèche

\xymatrix{[b; (a_{1}, …, a_{m})] \ar[r]^{[ g;f ]} & [b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})]}, g : b [figure] b′, f = (f_{i′i} : a_{i} [figure] a′_{i′})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)}

de C′, on ait

(1.8.27.4)  M[g; f ] = [g′; f′] , g′ = L(g) , f′ = (f′_{i′i})_{1⩽i⩽m+1, i′∈F L(g)(i)} ,

où pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m + 1, et tout i′, i′ ∈ F L(g)(i),

(1.8.27.5) f′_{i′i} = \begin{cases}K(f_{i′i}) , & si i ⩽ m , \\ α′_{a′_{i′}} , & si i = m + 1 et i′ ≠ m′ + 1 , \\ 1_{a_{0}} , & si i = m + 1 et i′ = m′ + 1 . \end{cases}

De plus, si les décalages (α, α′) et (β, β′) admettent des scindages p et q respectivement, alors le décalage (γ, γ′) admet un scindage r défini en posant, pour tout objet [b; (a_{1}, …, a_{m})] de C′,

(1.8.27.6)  r_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} = [q_{b}; (p_{a_{i}})_{1⩽i⩽m}] .

Enfin, si le décalage (α, α′) est cartésien, et si (β, β′) est un Γ-décalage strict et s’il est séparant, alors le décalage (γ, γ′) est séparant.

Démonstration. — a) Définition du foncteur M. Pour tout objet [b; (a_{1}, …, a_{m})] de C′, on définit M[b; (a_{1}, …, a_{m})] par l’égalité 1.8.27.1. Soit

[g; f ] : [b; (a_{1}, …, a_{m})] [figure] [b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})]

un morphisme de C′, où g : b [figure] b′ est une flèche de B, F (b) = Γ_{m}, F (b′) = Γ_{m′}, et

f = (f_{i′i} : a_{i} [figure] a′_{i′})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)}

est une famille de flèches de A′. Vérifions que les formules 1.8.27.4 et 1.8.27.5 définissent bien un morphisme M[g; f ] de C. En vertu de la première partie du lemme précédent, pour tout i, 1 ⩽ i ⩽ m, on a F L(g)(i) = F (g)(i), et par suite, on peut définir un morphisme

[figure: M[g; f ] : M[b; (a_{1}, …, a_{m})]; M[b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})]; [g′; f′] : [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})]; [L(b′); (K(a′_{1}), …, K(a′_{m′}), a_{0})] ,]

en posant g′ = L(g) : L(b) [figure] L(b′) et en définissant

f′ = (f′_{i′i})_{1⩽i⩽m+1, i′∈F (g′)(i)=F L(g)(i)} ,

comme suit. Pour i tel que 1 ⩽ i ⩽ m, et i′ ∈ F L(g)(i) = F (g)(i), on pose

f′_{i′i} = K(f_{i′i}) : K(a_{i}) [figure] K(a′_{i′}) ,

et pour i = m + 1, i′ ∈ F L(g)(m + 1), on pose

f′_{i′,m+1} = α′_{a′_{i′}} : a_{0} [figure] K(a′_{i′}) , si i′ ≠ m′ + 1 ,

et

f′_{i′,m+1} = 1_{a_{0}} : a_{0} [figure] a_{0} , si i′ = m′ + 1 ,

(chacun de ces deux cas pouvant se présenter ou pas). La compatibilité de M aux unités est évidente, et sa compatibilité à la composition résulte de celle de K et L, et de la fonctorialité de α′. Cela achève la définition du foncteur M : C′ [figure] C.

b) Définition du morphisme de foncteurs γ. Comme (β, β′) est un Γ-décalage, la condition (ii) de la définition d’un tel décalage implique aussitôt que pour tout objet [b; (a_{1}, …, a_{m})] de C′, la formule 1.8.27.2 définit un morphisme

[figure: γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} : J[b; (a_{1}, …, a_{m})]; M[b; (a_{1}, …, a_{m})]; [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))]; [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})]]

de C, et la fonctorialité de α et β implique immédiatement celle de γ.

c) Définition du morphisme de foncteurs γ′. Comme (β, β′) est un Γ-décalage, on a F (b_{0}) = Γ_{0}, et par suite [b_{0}; ( )] est un objet de C, et la formule 1.8.27.3 définit un morphisme

γ′_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} : [b_{0}; ( )] [figure] M[b; (a_{1}, …, a_{m})] = [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})]

de C. La fonctorialité de β′ implique aussitôt celle de γ′.

d) Le cas scindé. Soient maintenant p et q des scindages des décalages (α, α′) et (β, β′) respectivement, et [b; (a_{1}, …, a_{m})] un objet de C′. En vertu de la deuxième partie du lemme précédent, la formule 1.8.27.6 définit un morphisme

[figure: r_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} : M[b; (a_{1}, …, a_{m})]; J[b; (a_{1}, …, a_{m})]; [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})]; [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))]]

de C, et il est alors immédiat que ce morphisme est une rétraction de γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]}.

e) Le cas séparant. Il reste à montrer que si le décalage (α, α′) est cartésien, et si (β, β′) est un Γ-décalage strict et séparant, alors le décalage (γ, γ′) est séparant.

i) Soit [b; (a_{1}, …, a_{m})] un objet de C′. Montrons que

γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]} : [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))] [figure] [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})]

est un monomorphisme de C. Pour toute flèche

[t; s = (s_{ij})_{1⩽j⩽n, i∈F (t)(j)} ] : [y; (x_{1}, …, x_{n})] [figure] [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))]

de but [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))] de C, on a

γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]}[t; s] = [β_{b}t; (α_{a_{i}}s_{ij})_{1⩽j⩽n, i∈F (t)(j)} ] .

Comme par hypothèse les flèches β_{b} et α_{a_{i}}, 1 ⩽ i ⩽ m, sont des monomorphismes, il en est de même de γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]}.

ii) Soit [g; f = (f_{i′i})_{1⩽i⩽m, i′∈F (g)(i)} ] : [b; (a_{1}, …, a_{m})] [figure] [b′; (a′_{1}, …, a′_{m′})] une flèche de C′. Montrons que le carré

\xymatrix{[b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))] \ar[r]^{γ_{[ b;(a_{1},...,am) ]}} \ar[d]_{J[ g;f ]} & [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})] \ar[d]^{M[ g;f ]} \\ [b′; (I(a′_{1}), …, I(a′_{m′}))] \ar[r]_{γ_{[ b′;(a′_{1},...,a{′ \atop m′}) ]}} & [L(b′); (K(a′_{1}), …, K(a′_{m′}), a_{0})]}

est un carré cartésien de C. Soient donc

\begin{matrix}[l; k = (k_{ij})_{1⩽j⩽n, i∈F (l)(j)} ] : [y; (x_{1}, …, x_{n})] [figure] [L(b); (K(a_{1}), …, K(a_{m}), a_{0})] , \\ [t′; s′ = (s′_{i′j})_{1⩽j⩽n, i′∈F (t′)(j)} ] : [y; (x_{1}, …, x_{n})] [figure] [b′; (I(a′_{1}), …, I(a′_{m′}))] \end{matrix}

deux flèches de C telles que

(1.8.27.7)  M[g; f ] ∘ [l; k] = γ_{[ b′;(a′_{1},...,a′_{m′}) ]} ∘ [t′; s′] .

Cette égalité implique en particulier que

(1.8.27.8)  L(g)l = β_{b′}t′ ,

d’où F L(g)F (l) = F (β_{b′})F (t′). Comme (β, β′) est un Γ-décalage, la condition (ii) de la définition de cette notion implique donc que pour tout j, 1 ⩽ j ⩽ n,

⋃_{i∈F (l)(j)} F L(g)(i) = F (t′)(j) .

En particulier, comme (β, β′) est un Γ-décalage strict, on en déduit que

m + 1 ∉ ⋃_{1⩽j⩽n} F (l)(j) .

L’égalité 1.8.27.7 implique donc que pour tout j, 1 ⩽ j ⩽ n, tout i ∈ F (l)(j), et tout i′ ∈ F L(g)(i) (= F (g)(i) par le lemme 1.8.26), on a i′ ∈ F (t′)(j) et

(1.8.27.9)  K(f_{i′i})k_{ij} = α_{a′_{i′}} s′_{i′j} .

Comme le décalage (β, β′) est séparant, et en particulier cartésien, l’égalité 1.8.27.8 implique l’existence d’un morphisme unique t : y [figure] b de B tel que

(1.8.27.10)  l = β_{b}t  et  t′ = gt .

La première de ces deux égalités implique alors que F (β_{b})F (t) = F (l), et par suite, comme (β, β′) est un Γ-décalage, que pour tout j, 1 ⩽ j ⩽ n, F (t)(j) = F (l)(j). Ainsi, comme le décalage (α, α′) est cartésien, pour tout entier j, 1 ⩽ j ⩽ n, tout i ∈ F (t)(j) = F (l)(j), et tout i′ ∈ F (g)(i) = F L(g)(i), l’égalité 1.8.27.9 implique l’existence d’un morphisme unique s_{i′ij} : x_{j} [figure] I(a_{i}) de A tel que

(1.8.27.11)  k_{ij} = α_{a_{i}}s_{i′ij}  et  s′_{i′j} = I(f_{i′i})s_{i′ij} .

Comme α_{a_{i}} est un monomorphisme, la première de ces deux égalités implique que le morphisme s_{i′ij} est indépendant de i′ ∈ F (g)(i), et on pose donc s_{ij} = s_{i′ij}. On définit ainsi un morphisme

[t; s = (s_{ij})_{1⩽j⩽n, i∈F (t)(j)} ] : [y; (x_{1}, …, x_{n})] [figure] [b; (I(a_{1}), …, I(a_{m}))]

de C, qui en vertu des égalités 1.8.27.10 et 1.8.27.11, satisfait aux relations

[l; k] = γ_{[ b;(a_{1},...,a_{m}) ]}[t; s]  et  [t′; s′] = J[g; f ] ∘ [t; s] ,

ce qui prouve l’assertion. La vérification de la dernière propriété d’un décalage séparant étant immédiate, ceci achève la démonstration de la proposition.

Remarque 1.8.28. — On vérifie aussitôt que le décalage (γ, γ′) défini dans la proposition précédente dépend fonctoriellement des décalages (α, α′) et (β, β′) en un sens facile à préciser.

Corollaire 1.8.29. — Soient A et B deux petites catégories, et F : B [figure] Γ un foncteur.

(a) Si A admet un décalage et B un Γ-décalage, alors B∫ A admet un décalage.

(b) Si A admet un décalage, B un Γ-décalage, et si ces deux décalages sont scindables, alors B∫ A admet un décalage scindable.

(c) Si A admet un décalage cartésien et B un Γ-décalage strict et séparant, alors B∫ A admet un décalage séparant.

Démonstration. — Le corollaire est conséquence immédiate de la proposition précédente appliquée à A′ = A, et à I = 1_{A}, l’endofoncteur identique de A.

Corollaire 1.8.30. — Soient A et B deux petites catégories, et F : B [figure] Γ un foncteur.

(a) Si A admet un décalage et B un Γ-décalage, alors B∫ A est une catégorie asphérique.

(b) Si A admet un décalage, B un Γ-décalage, et si ces deux décalages sont scindables, alors B∫ A est une catégorie totalement asphérique.

(c) Si A admet un décalage cartésien et B un Γ-décalage strict et séparant, alors B∫ A est une catégorie test faible.

(d) Si A admet un décalage cartésien, B un Γ-décalage strict et séparant, et si ces deux décalages sont scindables, alors B∫ A est une catégorie test stricte.

Démonstration. — Ce corollaire résulte du corollaire précédent, des propositions 1.8.6, 1.8.11, et du corollaire 1.8.12.

Exemple 1.8.31. — Le corollaire 1.8.29 implique aussitôt par récurrence que comme Δ admet un Γ-décalage strict séparant et scindable (exemples 1.8.13 et 1.8.25), pour tout entier n ⩾ 1, la catégorie Θ_{n} de l’exemple 1.8.23 admet un décalage séparant et scindable, et est donc en vertu du corollaire 1.8.12, une catégorie test stricte. De même, comme Δ′ admet un Γ-décalage strict séparant (exemples 1.8.14 et 1.8.25), pour tout entier n ⩾ 1, la catégorie Θ′_{n} de l’exemple 1.8.23 admet un décalage séparant, et est donc en vertu de la proposition 1.8.11, une catégorie test faible. De plus, en vertu de la proposition 1.8.8 et de la remarque 1.8.28, l’inclusion Θ′_{n} [figure] Θ_{n} (exemple 1.8.23) est un foncteur asphérique.

Exemple 1.8.32. — Soit A une catégorie admettant un objet initial. Alors le produit en couronnes Δ∫ A est une catégorie test stricte. En effet, la catégorie Δ admet un Γ-décalage strict séparant et scindable (exemples 1.8.13 et 1.8.25), et A un décalage cartésien (exemple 1.8.17). L’assertion résulte donc du corollaire 1.8.30, (d). De même, comme Δ′ admet un Γ-décalage strict séparant (exemples 1.8.14 et 1.8.25), le corollaire 1.8.30, (c) implique que Δ′∫ A est une catégorie test faible.

Proposition 1.8.33. — Soient B une petite catégorie, F : B [figure] Γ un foncteur, et b_{0} un objet de B.

(a) Si B admet un Γ-décalage, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) admet un décalage ;

(b) Si B admet un Γ-décalage scindable, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) admet un décalage scindable ;

(c) Si B admet un Γ-décalage strict séparant, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) admet un décalage séparant ;

Esquisse de la preuve. — Considérons la tour de catégories

\xymatrix{A_{0} = e \ar[r]^{I_{0}=b_{0}} & A_{1} = B \ar[r]^{I_{1}=I_{b_{0}}} & A_{2} = B∫ B \ar[r]^{I_{2}} & ⋯ \ar[r]^{I_{n−1}} & A_{n} \ar[r]^{I_{n}} & A_{n+1} \ar[r]^{I_{n+1}} & ⋯}

(où A_{n+1} = B∫ A_{n}, I_{n+1} = 1_{B}∫ I_{n}, n ⩾ 0) définissant le produit en couronnes infini

A = C(B, b_{0}) = \underrightarrow{lim}A_{n} ,

et soit

\xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}}

un Γ-décalage sur B. On définit par récurrence une suite de décalages sur les foncteurs I_{n}, n ⩾ 0,

D_{n} = \xymatrix{I_{n} \ar[r]^{α_{n}} & K_{n} & e_{n} \ar[l]_{α′_{n}}} ,

(où K_{n} : A_{n} [figure] A_{n+1} est un foncteur, e_{n} un objet de A_{n+1}, considéré comme foncteur constant A_{n} [figure] A_{n+1}, et α_{n} et α′_{n} des morphismes de foncteurs) comme suit :

D_{0} = \xymatrix{b_{0} \ar[r]^{β_{b_{0}}} & L(b_{0}) & b_{0} \ar[l]_{β′_{b_{0}}}} ,

et pour tout n ⩾ 0, le décalage D_{n+1} sur I_{n+1} = 1_{B}∫ I_{n} est obtenu du Γ-décalage donné sur B, et du décalage D_{n} sur I_{n}, par le procédé de la proposition 1.8.27. Un calcul direct montre par récurrence que pour tout n ⩾ 0, le couple (I_{n}, I_{n+1}) est un morphisme de décalages généralisés de D_{n} vers D_{n+1}. On obtient ainsi un système inductif de décalages généralisés, et par passage à la limite, on déduit un décalage sur le foncteur \underrightarrow{lim}I_{n} : \underrightarrow{lim}A_{n} [figure] \underrightarrow{lim}A_{n+1}, qui n’est autre que le foncteur identique de A = \underrightarrow{lim}A_{n} = C(B, b_{0}). On obtient ainsi un décalage sur C(B, b_{0}), ce qui prouve déjà l’assertion (a) de la proposition.

Si le décalage donné sur B admet un scindage r = (r_{b} : L(b) [figure] b)_{b∈B}, ce scindage induit un scindage r_{b_{0}} du décalage généralisé D_{0}

\xymatrix{b_{0} \ar[r]^{β_{b_{0}}} & L(b_{0}) \ar[l]^{r_{b_{0}}} & b_{0} \ar[l]_{β′_{b_{0}}}} ,

et le procédé de la proposition 1.8.27 permet de définir, par récurrence, des scindages sur les décalages D_{n}. On vérifie alors facilement que les couples (I_{n}, I_{n+1}) sont des morphismes de décalages généralisés scindés, d’où par passage à la limite, un scindage du décalage sur C(B, b_{0}), ce qui prouve l’assertion (b). Enfin, si le décalage donné sur B est un Γ-décalage strict séparant, il résulte de la proposition 1.8.27 que les décalages D_{n} sont séparants. La stabilité des décalages séparants par limites inductives filtrantes implique alors que le décalage sur C(B, b_{0}) l’est également, ce qui démontre la dernière assertion de la proposition.

Corollaire 1.8.34. — Soient B une petite catégorie, F : B [figure] Γ un foncteur, et b_{0} un objet de B.

(a) Si B admet un Γ-décalage, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) est une catégorie asphérique ; (b) Si B admet un Γ-décalage scindable, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes

infini C(B, b_{0}) est une catégorie totalement asphérique ;

(c) Si B admet un Γ-décalage strict séparant, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) est une catégorie test faible ;

(d) Si B admet un Γ-décalage strict séparant et scindable, centré sur b_{0}, alors le produit en couronnes infini C(B, b_{0}) est une catégorie test stricte ;

Démonstration. — Ce corollaire résulte de la proposition précédente, des propositions 1.8.6, 1.8.11, et du corollaire 1.8.12.

Exemple 1.8.35. — Comme la catégorie Δ admet un Γ-décalage strict séparant et scindable, centré sur Δ_{0} (exemples 1.8.13 et 1.8.25), il résulte du corollaire précédent que la catégorie Θ (exemple 1.8.23) est une catégorie test stricte. De même, comme la catégorie Δ′ admet un Γ-décalage strict séparant, centré sur Δ_{0} (exemples 1.8.14 et 1.8.25), il résulte du corollaire précédent que la catégorie Θ′ (exemple 1.8.23) est une catégorie test faible. D’ailleurs, la proposition 1.8.33 implique que les catégories Θ et Θ′ admettent des décalages séparant, celui sur Θ étant même scindable, et grâce à la fonctorialité des constructions (cf. remarque 1.8.28) l’inclusion Θ′ [figure] Θ est un morphisme de décalages. Il résulte donc de la proposition 1.8.8 que cette inclusion est un foncteur asphérique.

Exemple 1.8.36. — Une catégorie directe finie est une catégorie C dont le nerf est un ensemble simplicial fini, autrement dit, ayant un nombre fini de simplexes non dégénérés. De façon équivalente, cela signifie que le graphe orienté ayant comme sommets les objets de C, et comme arêtes les flèches non identiques de C, est fini et n’a pas de cycles orientés, ou encore que la catégorie libre engendrée par ce graphe est finie. On peut alors définir une fonction dimension λ_{C} : Ob(C) [figure] ℕ comme suit. Pour tout objet c de C, λ_{C}(c) est le plus grand entier n tel qu’il existe un n-simplexe non dégénéré du nerf de C (autrement dit une suite composable de n flèches non identiques de C)

c_{0}  [figure] c_{1}  [figure]⋯  [figure] c_{n}

tel que c = c_{n}. On vérifie facilement que pour toute flèche non identique c [figure] c′ de C, on a λ_{C}(c) < λ_{C}(c′). Si la catégorie C est non vide, on désigne par m_{C} l’entier naturel m_{C} = max{λ_{C}(c) | c ∈ Ob(C)}, et on remarque que l’application λ_{C} induit alors une surjection Ob(C) [figure] Δ_{m_{C}}, et définit un foncteur noté aussi λ_{C} : C [figure] Δ_{m_{C}}.

Soient A une petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories directes finies non vides, et A′ la sous-catégorie de A ayant mêmes objets que A, et dont les flèches sont les morphismes f : a [figure] a′ de A satisfaisant à la condition suivante :

(H) Si x, y sont deux objets de a tels que λ_{a}(x) = λ_{a}(y), alors λ_{a′}(f(x)) = λ_{a′}(f(y)).

La condition (H) implique aussitôt que pour toute flèche f : a [figure] a′ de A′, il existe un unique morphisme \overline{f} : Δ_{m_{a}} [figure] Δ_{m_{a′}} de Δ tel que le carré suivant de foncteurs

\xymatrix{a \ar[d]_{λ_{a}} \ar[r]^{f} & a′ \ar[d]^{λ_{a′}} \\ Δ_{m_{a}} \ar[r]_{\overline{f}} & Δ_{m_{a′}}}

soit commutatif. On en déduit un foncteur

A′  [figure] Δ ,  a [figure] Δ_{m_{a}} , f [figure] \overline{f} ,

et en composant avec le foncteur Δ [figure] Γ de l’exemple 1.8.23, on obtient un foncteur A′ [figure] Γ. Pour tout objet a_{0} ∈ Ob(A′) = Ob(A), on peut donc considérer le produit en couronnes infini C(A′, a_{0}).

Supposons maintenant que la catégorie A satisfait aussi aux conditions (i) et (ii) de l’exemple 1.8.16, et considérons le décalage sur A,

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & D & e \ar[l]_{β}} ,

défini dans cet exemple, qui est séparant puisque A est formée de catégories non vides. Pour tout objet a de A, α_{a} et β_{a} satisfont à la condition (H), et si f : a [figure] a′ est une flèche de A satisfaisant à cette condition, il en est de même de D(f), et par suite le décalage (α, β) sur A induit un décalage séparant,

\xymatrix{1_{A′} \ar[r]^{α′} & D′ & e \ar[l]_{β′}} ,

sur A′. En particulier, il résulte de la proposition 1.8.11 que A′ est une catégorie test faible. D’autre part, le foncteur A′ [figure] Δ, défini ci-dessus, est un morphisme de décalages du décalage (α′, β′) sur A′ vers le décalage de l’exemple 1.8.13 sur Δ. Comme ce dernier est un Γ-décalage strict (cf. exemple 1.8.25), on en déduit facilement qu’il en est de même de (α′, β′), et par suite, en vertu du corollaire 1.8.34 (c), le produit en couronnes infini C(A′, e) est une catégorie test faible.

Enfin, supposons de plus que tout objet de A admet un objet final. Alors, conformément à l’exemple 1.8.16, le décalage (α, β) est scindable, et on remarque que la rétraction de α_{a}, a ∈ Ob(A), définie dans cet exemple satisfait à la condition (H). On en déduit que le décalage (α′, β′) sur A′ est également scindable, et par suite A′, et le produit en couronnes infini C(A′, e) sont des catégories test strictes (corollaires 1.8.12 et 1.8.34 (d)).

Un exemple remarquable de catégorie A satisfaisant à toutes les conditions cidessus est la catégorie A_{0}, définie comme suit. On dit qu’une sous-catégorie pleine A de Cat formée de catégories directes finies est stable par regroupement familial si pour toute famille finie (a_{i})_{1⩽i⩽m}, m ⩾ 0, d’objets de A, telle que m_{a_{i}} = m_{a_{i′}}, pour 1 ⩽ i, i′ ⩽ m, la catégorie (⨿_{1⩽i⩽m}a_{i})^{⋆} est encore dans A. La catégorie A_{0} est la plus petite sous-catégorie pleine de la catégorie des catégories directes finies, stable par regroupement familial. Les objets de A_{0} sont les ensembles ordonnés correspondant aux arbres finis “bien taillés”. Voici un exemple d’un tel ensemble ordonné

\xymatrix{• \ar[dr] & • \ar[d] & • \ar[dl] & • \ar[d] & • \ar[dr] &  & • \ar[dl] \\  & • \ar[drr] &  & • \ar[d] &  & • \ar[dll] \\  &  &  & • &  & .}

Les morphismes de A_{0} sont les applications croissantes entre ces ensembles ordonnés. La catégorie A′_{0} a les mêmes objets que A_{0}, et comme morphismes les applications croissantes envoyant les sommets de “même hauteur” sur des sommets de même hauteur.

Les paragraphes 1.8.37 à 1.8.39 ci-dessous, plus heuristiques, esquissent une description combinatoire du produit en couronnes, du produit en couronnes infini, ainsi que des décalages des propositions 1.8.27 et 1.8.33. Ces paragraphes sont simplement destinés à guider l’intuition du lecteur et ne seront pas utilisés dans la suite.

1.8.37. — Soient A une catégorie, et F : B [figure] Γ un foncteur. On représente un objet [b; (a_{1}, …, a_{m})] du produit en couronnes B∫ A par l’arbre planaire de hauteur au plus un avec m “branches”

[figure: •; •; · · · · · ·; •; •; b; a_{1}; a_{2}; a_{m}]

dont les “feuilles” sont décorées par les objets a_{1}, …, a_{m} de A, et la “racine” par l’objet b de B, et qui est réduit à sa simple racine si m = 0. Plus généralement, si on définit par récurrence les catégories produit en couronnes itéré B_{n} en posant B_{0} = A, et pour n > 0, B_{n} = B∫ B_{n−1}, les objets de B_{n} sont représentés par des arbres planaires de hauteur au plus n, dont les sommets de hauteur n sont décorés par des objets de A et les sommets de hauteur strictement plus petite par des objets b de B tels que si F (b) = Γ_{m}, alors il y a exactement m branches (le “tronc” n’étant pas considéré comme une branche) partant du sommet décoré par b. En particulier, si m = 0, ce sommet est un sommet maximal. On remarque que l’orientation du plan induit un ordre total sur les ensembles de sommets de même hauteur. Voici un exemple pour n = 3 :

[figure: •; •; •; •; •; a_{1}; a_{3}; a_{2}; •; •; a_{4}; •; •; b_{4}; b_{6}; b_{5}; •; b_{2}; b_{1}; b_{3}; ,]

où a_{i} ∈ Ob(A), 1 ⩽ i ⩽ 4, b_{j} ∈ Ob(B), 1 ⩽ j ⩽ 6, et

F (b_{2}) = F (b_{5}) = Γ_{0} , F (b_{6}) = Γ_{1} , F (b_{1}) = Γ_{2} , F (b_{3}) = F (b_{4}) = Γ_{3} .

Revenons au cas général. La description des morphismes est plus délicate. Soient X et X′ deux arbres ainsi décorés. Les morphismes de B_{n} de source l’objet représenté par X et de but l’objet représenté par X′ sont en bijection avec les couples (E, g), où E est un ensemble de couples (s′, s) formés d’un sommet s′ de X′ et d’un sommet s de X de même hauteur, et g = (g_{s′s})_{(s′,s)∈E} est une famille indexée par l’ensemble E, avec g_{s′s} : x_{s} [figure] x′_{s′}, où x_{s} (resp. x′_{s′}) est la décoration du sommet s (resp. s′), et g_{s′s} un morphisme de A ou de B, selon que la hauteur commune de s et s′ est égale à n ou strictement inférieure, ces données étant assujetties aux deux conditions suivantes :

i) le couple formé par la racine de X′ et la racine de X appartient à l’ensemble E; ii) pour tout couple (s′, s) ∈ E, si la hauteur commune p de s et s′ est strictement

plus petite que n, et si F (x_{s}) = Γ_{m} et F (x′_{s′}) = Γ_{m′}, alors pour tous i, i′, 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ i′ ⩽ m′, on a l’équivalence

i′ ∈ F (g_{s′s})(i) ⟺ (s′_{i′}, s_{i}) ∈ E ,

où s_{i} (resp. s′_{i′}) désigne le sommet de hauteur p+1, extrémité de la i-ème (resp. i′-ème) branche issue du sommet s (resp. s′), pour l’ordre induit par l’orientation du plan.

1.8.38. — En gardant les notations du paragraphe précédent, supposons que

\xymatrix{1_{A} \ar[r]^{α} & K & a_{0} \ar[l]_{α′}} (resp. \xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}} )

soit un décalage (resp. un Γ-décalage) sur la catégorie A (resp. B), et soit

\xymatrix{1_{B_{1}} \ar[r]^{γ_{1}} & M_{1} & [b_{0}; ( )] \ar[l]_{γ′_{1}}}

le décalage sur B_{1} = B∫ A obtenu en appliquant la construction de la proposition 1.8.27 au foncteur identique I = 1_{A} de A. Alors on a

[figure: M_{1}; (; •; •; · · · · · ·; •; •; b; a_{1}; a_{2}; a_{m}; ); =; •; •; ⋯; •; •; •; L(b); K(a_{1}); K(a_{2}); K(a_{m}); a_{0}]

(le tracé en pointillé de la dernière branche étant purement pictural, et n’ayant pas une signification mathématique particulière) et

[b_{0}; ( )] = •^{b_{0}} .

Soit maintenant

\xymatrix{1_{B_{n}} \ar[r]^{γ_{n}} & M_{n} & [b_{0}; ( )] \ar[l]_{γ′_{n}}}

le décalage sur B_{n} obtenu par itération de cette construction. Si X est l’arbre décoré associé à un objet de B_{n}, alors l’arbre décoré correspondant à l’image de cet objet par le foncteur de décalage M_{n}, noté aussi M_{n}(X), est obtenu comme suit. On forme d’abord l’arbre décoré X′ obtenu de X en remplaçant les décorations des sommets de hauteur n (qui sont des objets de A) par leurs images par le décalage K, et celles des sommets de hauteur strictement plus petite (qui sont des objets de B) par leurs images par le décalage L. Alors M_{n}(X) s’obtient de X′ en ajoutant à chaque sommet de hauteur strictement plus petite que n une nouvelle branche, à droite de toutes les autres issues de ce sommet, dont on décore l’autre extrémité par a_{0} si elle est de hauteur n, par b_{0} sinon. Voici un exemple pour n = 3 :

[figure: M_{3}; (; •; •; •; •; •; a_{1}; a_{2}; a_{3}; •; •; b_{4}; b_{5}; •; b_{2}; b_{1}; b_{3}; ); =; •; •; •; •; •; •; •; a_{0}; •; K(a_{1}); K(a_{2}); K(a_{3}); a_{0}; •; •; b_{0}; •; L(b_{4}); L(b_{5}); b_{0}; •; •; L(b_{2}); L(b_{1}); L(b_{3}); b_{0}; .]

1.8.39. — En gardant toujours les notations du paragraphe 1.8.37, on suppose désormais que la catégorie A est la catégorie ponctuelle. Dans ce cas, les sommets de hauteur n d’un arbre décoré représentant un objet de B_{n} n’ont plus besoin d’être décorés, puisqu’il n’y a aucune ambiguïté sur l’objet de A qui les décore. De plus, dans ce cas, le choix d’un objet b_{0} de B définit, conformément au paragraphe 1.8.22, pour tout n, n ⩾ 0, un foncteur fidèle (pleinement si b_{0} est un objet rigide de B) I_{n} : B_{n} [figure] B_{n+1}. Si X est un arbre décoré représentant un objet de B_{n}, l’arbre décoré représentant l’image dans B_{n+1} de cet objet par le foncteur I_{n} est obtenu de X en décorant tous les sommets (non décorés) de hauteur n par b_{0}, et en laissant les décorations des autres sommets inchangées. Par exemple, pour n = 3,

[figure: I_{3}; (; •; •; •; •; •; •; •; b_{4}; b_{5}; •; b_{2}; b_{1}; b_{3}; ); =; •; •; •; •; •; b_{0}; b_{0}; b_{0}; •; •; b_{4}; b_{5}; •; b_{2}; b_{1}; b_{3}; .]

Ainsi, par passage à la limite inductive, les objets du produit en couronnes infini C(B, b_{0}) sont en bijection avec les arbres finis de hauteur arbitraire, dont tous les sommets sont décorés par des objets de B, avec la seule restriction que si un sommet est décoré par un objet b de B tel que F (b) = Γ_{m}, alors il y a exactement m branches partant de ce sommet. Soit maintenant

\xymatrix{1_{B} \ar[r]^{β} & L & b_{0} \ar[l]_{β′}}

un Γ-décalage sur B, de centre b_{0}. Conformément à la preuve de la proposition 1.8.33, en itérant la construction de la proposition 1.8.27 et en passant à la limite inductive, on en déduit un décalage M sur le produit en couronnes infini C(B, b_{0}). Si X est un arbre décoré représentant un objet de C(B, b_{0}), l’arbre décoré représentant l’image de cet objet par le foncteur M est obtenu en remplaçant les décorations des sommets de X par leurs images par le décalage L, et en ajoutant à chaque sommet de X une nouvelle branche, à droite de toutes les autres issues de ce sommet, dont on décore l’autre extrémité par b_{0}. Voici un exemple pour n = 3 :

[figure: M; (; •; •; •; •; •; b_{6}; b_{7}; b_{8}; •; •; b_{4}; b_{5}; •; b_{2}; b_{1}; b_{3}; ); =; •; •; •; •; •; b_{0}; •; b_{0}; •; b_{0}; •; •; •; b_{0}; •; L(b_{6}); L(b_{7}); L(b_{8}); b_{0}; •; •; b_{0}; •; L(b_{4}); L(b_{5}); b_{0}; •; •; L(b_{2}); L(b_{1}); L(b_{3}); b_{0}; .]

LES LOCALISATEURS FONDAMENTAUX

2.1. Les propriétés élémentaires des localisateurs fondamentaux

2.1.1. — On appelle localisateur fondamental une partie W de Fl(Cat) satisfaisant aux conditions suivantes : LA La partie W de Fl(Cat) est faiblement saturée. LB Si A est une petite catégorie admettant un objet final, alors A [figure] e, où e désigne

l’objet final de Cat, est dans W. LC Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, et si pour tout objet c de C, le foncteur u/c : A/c [figure] B/c induit par u est dans W, alors u est dans W.

On remarque qu’un localisateur fondamental est en particulier un localisateur fondamental faible. En effet, les conditions La (1.1.2) et Lb (1.1.2) coïncident aux conditions LA et LB respectivement, et la condition Lc (1.1.2) est le cas particulier de la condition LC correspondant à B = C et w = 1_{B} (et v = u).

Ainsi, on dispose, en particulier, des notions d’équivalence faible, de foncteur asphérique et de catégorie asphérique, introduites en 1.1.2. Si C est une petite catégorie, v : A [figure] C, w : B [figure] C deux objets de Cat/C et u : A [figure] B un morphisme de Cat/C, de sorte que v = wu, on dit que u est une W-équivalence (ou une équivalence faible) localement sur C si pour tout objet c de C, le foncteur u/c : A/c [figure] B/c, induit par u, est une équivalence faible. La condition LC affirme donc que pour toute petite catégorie C, un foncteur qui est une équivalence faible localement sur C est une équivalence faible. Dualement, on dit que le foncteur u est une W-équivalence (ou une équivalence faible) colocalement sur C si u^{∘} est une W-équivalence localement sur C^{∘} (A^{∘} et B^{∘} étant considérées comme catégories au-dessus de C^{∘} par v^{∘} et w^{∘} respectivement). Il résulte de la proposition 1.1.22 et de LC qu’un foncteur qui est une équivalence faible colocalement sur C est une équivalence faible. Le foncteur u est une équivalence faible colocalement sur C si et seulement si pour tout objet c de C, le foncteur c\u : c\A [figure] c\B, induit par u, est une équivalence faible (cf. 1.1.25).

On remarque qu’un foncteur entre petites catégories u : A [figure] B est asphérique (resp. coasphérique) si et seulement s’il est une équivalence faible localement (resp. colocalement) sur B (A et B étant considérées comme catégories au-dessus de B par u et 1_{B} respectivement).

Soient C une petite catégorie, et A [figure] C un objet de Cat/C. On dit qu’un morphisme φ : F [figure] G de préfaisceaux sur A est une W-équivalence (ou une équivalence faible) localement sur C si le morphisme

\xymatrix{A/F \ar[rr]^{i_{A}(φ)} \ar[dr] &  & A/G \ar[dl] \\  & C}

de Cat/C est une W-équivalence localement sur C. Il résulte de la condition LC que si le morphisme φ est une équivalence faible localement sur C, alors il est une équivalence faible. On remarque que φ est une W-équivalence locale (cf 1.2.6) si et seulement si φ est une W-équivalence localement sur A, autrement dit, si le morphisme

\xymatrix{A/F \ar[rr]^{i_{A}(φ)} \ar[dr] &  & A/G \ar[dl] \\  & A}

de Cat/A est une W-équivalence localement sur A. Ainsi, la condition LC implique qu’une W-équivalence locale de préfaisceaux est une W-équivalence.

Exemple 2.1.2. — On vérifie immédiatement que les localisateurs fondamentaux faibles des exemples 1.1.29, 1.1.31 et 1.1.32 sont des localisateurs fondamentaux, et il résulte d’une version relative du théorème A de Quillen [10] qu’il en est de même de W_{∞} (exemple 1.1.33). Pour tout entier n, n ⩾ 0, on démontre que W_{n} (exemple 1.1.34) est aussi un localisateur fondamental [10].

Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental.

Proposition 2.1.3. — Un produit fini d’équivalences faibles de Cat est une équivalence faible.

2.1. LES PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES LOCALISATEURS FONDAMENTAUX 103

Démonstration. — Il suffit de montrer que le produit de deux équivalences faibles

u_{1} : A_{1}  [figure] B_{1}, u_{2} : A_{2}  [figure] B_{2} de Cat est une équivalence faible. Comme
u_{1} × u_{2} = (1_{B_{1}} × u_{2})(u_{1} × 1_{A_{2}}) ,

il suffit de montrer que pour toute équivalence faible u : A [figure] B de Cat, et toute petite catégorie C, le morphisme u × 1_{C} est une équivalence faible. On a un triangle commutatif

\xymatrix{A × C \ar[rr]^{u×1_{C}} \ar[dr]_{p} &  & B × C \ar[dl]^{q} \\  & C & ,}

où p et q désignent les deuxièmes projections. En vertu de LC, il suffit donc de montrer que pour tout objet c de C, le morphisme

\xymatrix{(A × C)/c ≃ A × C/c \ar[r]^{(u×1_{C})/c=u×1_{C/c}} & B × C/c ≃ (B × C)/c}

est une équivalence faible. Or, on a un carré commutatif

\xymatrix{A × C/c \ar[r]^{u×1_{C/c}} \ar[d] & B × C/c \ar[d] \\ A \ar[r]_{u} & B & ,}

où les flèches verticales désignent les premières projections qui sont des équivalences faibles, en vertu de LB et de 1.1.4. Comme u est une équivalence faible, on en déduit qu’il en est de même de u × 1_{C/c}, ce qui achève la démonstration.

Proposition 2.1.4. — Une somme arbitraire d’équivalences faibles de Cat est une équivalence faible.

Démonstration. — Soit u_{i} : A_{i} [figure] B_{i}, i ∈ I, une famille d’équivalences faibles de Cat. Notons aussi I la catégorie discrète correspondant à l’ensemble I. On a un triangle commutatif évident

\xymatrix{A = ∐_{i∈I}A_{i} \ar[rr]^{u= ⨿_{i∈I} u_{i}} \ar@{-->}[dr] &  & ∐_{i∈I}B_{i} = B \ar@{-->}[dl] \\  & I & ,}

et on remarque que pour tout objet i de I, le morphisme u/i : A/i [figure] B/i s’identifie à u_{i} : A_{i} [figure] B_{i}. En vertu de LC, u est donc une équivalence faible, ce qui démontre la proposition.

2.1.5. — Soient M une catégorie, W une partie de Fl(M), et γ : M [figure] W^{−1}M le foncteur de localisation (cf. 1.3.1). On rappelle que la propriété universelle du foncteur de localisation γ (cf. 1.3.1) se précise par la propriété “2-universelle” suivante : Pour toute catégorie N, le foncteur

\xymatrix{\underline{Hom}(W^{−1}M, N) \ar[r]^{γ^{∗}} & \underline{Hom}(M, N)}

de la catégorie des foncteurs de W^{−1}M vers N dans celle des foncteurs de M vers N, associant à un foncteur F le foncteur F γ, et à un morphisme de foncteurs α le morphisme de foncteurs α ⋆ γ, établit un isomorphisme de la catégorie \underline{Hom}(W^{−1}M, N) sur la sous-catégorie pleine \underline{Hom}_{W} (M, N) de \underline{Hom}(M, N) formée des foncteurs G : M [figure] N tels que, pour tout w ∈ W, G(w) soit un isomorphisme de N. On pose Hom_{W} (M, N) = Ob(\underline{Hom}_{W} (M, N)).

Lemme 2.1.6. — Soient (i, j) un couple de foncteurs adjoints, i : M [figure] M′, j : M′ [figure] M,

ε : ij [figure] 1_{M′} , η : 1_{M} [figure] ji

les morphismes d’adjonction, et W, W′ des parties de Fl(M) et Fl(M′) respectivement telles que

i(W) ⊂ W′  et  j(W′) ⊂ W .
Notons γ : M  [figure] W^{−1}M et γ′ : M′  [figure] W′^{−1}M′ les foncteurs de localisation, et
ī : W^{−1}M  [figure] W′^{−1}M′ et j̄: W′^{−1}M′  [figure] W^{−1}M les foncteurs induits par i et j

respectivement, de sorte qu’on ait des carrés commutatifs

\xymatrix{M \ar[r]^{i} \ar[d]_{γ} & M′ \ar[d]^{γ′} & M′ \ar[r]^{j} \ar[d]_{γ′} & M \ar[d]^{γ} \\ W^{−1}M \ar[r]_{ī} & W′^{−1}M′ & W′^{−1}M′ \ar[r]_{j̄} & W^{−1}M & .}

Alors (ī, j̄) est un couple de foncteurs adjoints, les morphismes d’adjonction étant déduits de ε et η.

Démonstration. — Le lemme est une conséquence formelle de la “2-fonctorialité” de la localisation, elle même conséquence de la propriété “2-universelle”. Les détails sont laissés au lecteur.

Lemme 2.1.7. — Soient I un ensemble fini, (M_{i})_{i∈I} une famille de catégories, et pour tout i, i ∈ I, W_{i} une partie de Fl(M_{i}) contenant les identités. Alors le foncteur canonique

\xymatrix{( ∏_{i∈I} W_{i})^{−1} ∏_{i∈I} M_{i} \ar[r] & ∏_{i∈I}(W_{i}^{−1}M_{i})}

est un isomorphisme de catégories.

Démonstration. — Le lemme étant évident pour un ensemble I vide, ou ayant un seul élément, il suffit, par récurrence, de l’établir pour I = {1, 2}. Or, pour toute catégorie N, on a des bijections fonctorielles :

Hom(W_{1}^{−1}M_{1} × W_{2}^{−1}M_{2}, N) ≃ Hom(W_{1}^{−1}M_{1}, \underline{Hom}(W_{2}^{−1}M_{2}, N))
≃ Hom(W_{1}^{−1}M_{1}, \underline{Hom}_{W_{2}}(M_{2}, N)) ≃ Hom_{W_{1}}(M_{1}, \underline{Hom}_{W_{2}}(M_{2}, N))

≃ Hom_{W_{1}×W_{2}}(M_{1} × M_{2}, N) ≃ Hom((W_{1} × W_{2})^{−1}(M_{1} × M_{2}), N) ,

l’avant dernière résultant de l’hypothèse que W_{1} et W_{2} contiennent les identités, ce qui prouve le lemme.

Proposition 2.1.8. — Soient M une catégorie admettant des produits (resp. des sommes) binaires, et W une partie de Fl(M) contenant les identités et stable par produit (resp. somme) de deux flèches. Alors W^{−1}M admet des produits (resp. des sommes) binaires, et le foncteur de localisation γ : M [figure] W^{−1}M commute à ces produits (resp. sommes).

Démonstration. — Si la catégorie M admet des produits binaires, le foncteur diagonal Δ : M [figure] M×M admet un adjoint à droite Π : M×M [figure] M (foncteur produit). On a Δ(W) ⊂ W ×W, et comme W est stable par produit de deux flèches, Π(W ×W) ⊂ W. En vertu du lemme 2.1.6, les foncteurs

\overline{Δ} : W^{−1}M [figure] (W × W)^{−1}(M × M) , \overline{Π} : (W × W)^{−1}(M × M) [figure] W^{−1}M ,

induits par Δ et Π respectivement, forment un couple de foncteurs adjoints. Or, en vertu du lemme 2.1.7, la catégorie (W ×W)^{−1}(M ×M) est canoniquement isomorphe au produit W^{−1}M × W^{−1}M, et on vérifie facilement que \overline{Δ} s’identifie par cet isomorphisme au foncteur diagonal. On en déduit que W^{−1}M admet des produits binaires, \overline{Π} étant un foncteur produit, ce qui achève la démonstration, la partie concernant les sommes se déduisant par passage aux catégories opposées.

Proposition 2.1.9. — La catégorie Hot = Hot_{W} = W^{−1}Cat admet des produits finis et des sommes finies, et le foncteur de localisation canonique γ : Cat [figure] Hot y commute.

Démonstration. — La proposition résulte des propositions 2.1.8, 2.1.3, 2.1.4, du lemme 1.3.6, et de son dual.

Proposition 2.1.10. — Soit

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

un triangle commutatif de Cat. On suppose que pour tout objet c de C, le morphisme u_{c} : A_{c} [figure] B_{c}, induit par u dans les fibres, est une équivalence faible.

(a) Si v et w sont des précofibrations, alors le foncteur u est une équivalence faible localement sur C.

(b) Si v et w sont des préfibrations, alors le foncteur u est une équivalence faible colocalement sur C.

En particulier, dans les deux cas (a) ou (b), le foncteur u est une équivalence faible.

Démonstration. — Pour tout objet c de C, on a un carré commutatif dans Cat

\xymatrix{A_{c} \ar[r]^{u_{c}} \ar[d]_{i_{c}} & B_{c} \ar[d]^{j_{c}} \\ A/c \ar[r]_{u/c} & B/c & ,}

où i_{c} et j_{c} désignent les foncteurs canoniques. Si v et w sont des précofibrations, en vertu du lemme 1.1.16, les foncteurs i_{c} et j_{c} admettent des adjoints à gauche, et sont donc coasphériques, et en particulier des équivalences faibles (1.1.25). Comme par hypothèse u_{c} est une équivalence faible, il en est de même de u/c, ce qui prouve l’assertion (a). L’assertion (b) en résulte par passage aux catégories opposées, en vertu de la proposition 1.1.22.

Théorème 2.1.11. — Soit W une partie de Fl(Cat). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) W est un localisateur fondamental.

(b) W satisfait aux conditions suivantes :

LA^{∘} La partie W de Fl(Cat) est faiblement saturée.

LB^{∘} Si A est une petite catégorie admettant un objet initial, alors A [figure] e est

dans W. LC^{∘} Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, et si pour tout objet c de C, le foncteur c\u : c\A [figure] c\B, induit par u, est dans W, alors u est dans W.

(c) W satisfait aux conditions suivantes : Lα La partie W de Fl(Cat) est faiblement saturée. Lβ Le morphisme canonique Δ_{1} [figure] e est dans W. Lγ Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{p} &  & B \ar[dl]^{q} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, p et q des cofibrations, u un foncteur cocartésien (transformant morphismes cocartésiens en morphismes cocartésiens), et si pour tout objet c de C, le foncteur u_{c} : A_{c} [figure] B_{c}, induit par u dans les fibres, est dans W, alors u est dans W.

(d) W satisfait aux conditions suivantes : Lα^{∘} La partie W de Fl(Cat) est faiblement saturée. Lβ^{∘} Le morphisme canonique Δ_{1} [figure] e est dans W. Lγ^{∘} Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{p} &  & B \ar[dl]^{q} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, p et q des fibrations, u un foncteur cartésien (transformant morphismes cartésiens en morphismes cartésiens), et si pour tout objet c de C, le foncteur u_{c} : A_{c} [figure] B_{c}, induit par u dans les fibres, est dans W, alors u est dans W.

Démonstration. — L’implication (a) ⇒ (c) résulte de la proposition 2.1.10. Pour montrer l’implication (c) ⇒ (b), soit W une partie de Fl(Cat) satisfaisant aux conditions Lα, Lβ, Lγ. La condition LA^{∘} coïncide avec la condition Lα, et est donc satisfaite. Pour montrer les conditions LB^{∘} et LC^{∘}, on procède par plusieurs étapes.

i) Montrons que le morphisme canonique Δ_{1} [figure] e est universellement dans W, autrement dit, que pour toute petite catégorie A, la première projection pr_{1} : A × Δ_{1} [figure] A est dans W. On a un triangle commutatif

\xymatrix{A × Δ_{1} \ar[rr]^{pr_{1}} \ar[dr]_{pr_{1}} &  & A \ar[dl]^{1_{A}} \\  & A &  & ,}

les flèches obliques étant des cofibrations, et la flèche horizontale un foncteur cocartésien, induisant dans les fibres au-dessus d’un objet a de A un foncteur s’identifiant au foncteur canonique Δ_{1} [figure] e, qui est dans W en vertu de Lβ. Il résulte donc de Lγ que pr_{1} est dans W.

ii) Montrons que W satisfait à la condition LB^{∘}, autrement dit, que pour toute petite catégorie A admettant un objet initial, le morphisme canonique A [figure] e est dans W. En effet, en vertu de la proposition 1.4.17, la catégorie A est contractile, et comme W est faiblement saturé, l’assertion résulte de (i) et de la proposition 1.4.8.

iii) Introduisons une version relative de la catégorie S(A) introduite dans 1.1.18. Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. On définit une catégorie S(u) comme suit :

Ob(S(u)) = {(a, b, f) | a ∈ Ob(A), b ∈ Ob(B), f : b [figure] u(a) ∈ Fl(B)} ,

et si (a, b, f) et (a′, b′, f′) sont deux objets de S(u), l’ensemble des morphismes Hom_{S(u)}((a, b, f), (a′, b′, f′)) est formé des couples (g, h), g : a [figure] a′ ∈ Fl(A), h : b′ [figure] b ∈ Fl(B) tels que le diagramme :

\xymatrix{b \ar[r]^{f} & u(a) \ar[dd]^{u(g)} \\  &  & f′ = u(g)fh \\ b′ \ar[r]_{f′} \ar[uu]^{h} & u(a′)}

soit commutatif. L’identité de (a, b, f) est définie par 1_{(a,b,f)} = (1_{a}, 1_{b}), et si

(g, h) : (a, b, f) [figure] (a′, b′, f′)  et  (g′, h′) : (a′, b′, f′) [figure] (a′′, b′′, f′′)

sont des morphismes de S(u),

(g′, h′) ∘ (g, h) = (g′g, hh′) .

On définit deux foncteurs :

\xymatrix{B^{∘} & S(u) \ar[l]_{s_{u}} \ar[r]^{t_{u}} & A}

en posant pour tout objet (a, b, f) de S(u),

s_{u}(a, b, f) = b , t_{u}(a, b, f) = a ,

et pour tout morphisme (g, h) de S(u),

s_{u}(g, h) = h , t_{u}(g, h) = g .

(On remarque que la catégorie S(A) et les foncteurs s_{A} et t_{A} introduits dans 1.1.18 s’identifient à S(u), s_{u} et t_{u} respectivement, pour A = B et u = 1_{A}.) On vérifie facilement que les foncteurs s_{u} et t_{u} sont des cofibrations, en remarquant qu’un morphisme (g, h) de S(u) est cocartésien relativement à s_{u} (resp. t_{u}) si et seulement si g (resp. h) est un isomorphisme, et que si h : b′ [figure] b (resp. g : a [figure] a′) est un morphisme de B (resp. A) et (a, b, f) un objet de S(u) au-dessus de b (resp. a), alors

\begin{aligned}& (1_{a}, h) : (a, b, f) [figure] (a, b′, fh) \\ (resp. & (g, 1_{b}) : (a, b, f) [figure] (a′, b, u(g)f) ) \end{aligned}

est un morphisme cocartésien relativement à s_{u} (resp. t_{u}) au-dessus de h (resp. g). On remarque que la fibre S(u)_{b} (resp. S(u)_{a}) de s_{u} (resp. t_{u}), au-dessus d’un objet b (resp. a) de B^{∘} (resp. A), est la catégorie b\A (resp. (B/u(a))^{∘} ≃ u(a)\B^{∘}). En particulier, les fibres de t_{u} possèdent un objet initial, ce qui implique, en vertu de (ii) et de Lγ, que t_{u} est dans W.

Soit

\xymatrix{A \ar[r]^{u} \ar[d]_{v} & B \ar[d]^{w} \\ A′ \ar[r]_{u′} & B′}

un carré commutatif de Cat. On définit un foncteur S(v, w) : S(u) [figure] S(u′) comme suit :

S(v, w)(a, b, f) = (v(a), w(b), w(f)) , (a, b, f) ∈ Ob(S(u)) ,
f : b [figure] u(a) , w(f) : w(b) [figure] wu(a) = u′v(a) ,
S(v, w)(g, h) = (v(g), w(h) , (g, h) ∈ Fl(S(u)) .

On vérifie aussitôt qu’on a un diagramme commutatif

\xymatrix{B^{∘} \ar[d]_{w^{∘}} & S(u) \ar[l]_{s_{u}} \ar[r]^{t_{u}} \ar[d]^{S(v,w)} & A \ar[d]^{v} \\ _{B′_{∘}} & S(u′) \ar[l]^{s_{u′}} \ar[r]_{t_{u′}} & A′ & .}

iv) Montrons que W satisfait à la condition LC^{∘}. Soit donc

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

un triangle commutatif de Cat, et supposons que pour tout objet c de C, le foncteur c\u : c\A [figure] c\B, induit par u, est dans W. En vertu de ce qui précède, on a un diagramme commutatif

\xymatrix{C^{∘} \ar[d]_{1_{C^{∘}}} & S(v) \ar[l]_{s_{v}} \ar[r]^{t_{v}} \ar[d]^{S(u,1_{C})} & A \ar[d]^{u} \\ C^{∘} & S(w) \ar[l]^{s_{w}} \ar[r]_{t_{w}} & B & .}

En particulier, on a un triangle commutatif

\xymatrix{S(v) \ar[rr]^{S(u,1_{C})} \ar[dr]_{s_{v}} &  & S(w) \ar[dl]^{s_{w}} \\  & C^{∘} & ,}

où s_{v} et s_{w} sont des cofibrations, et on vérifie immédiatement que S(u, 1_{C}) est un foncteur cocartésien. Comme pour tout objet c de C, S(u, 1_{C}) induit un foncteur dans les fibres au-dessus de c s’identifiant à c\u : c\A [figure] c\B qui est par hypothèse dans W, il résulte de la condition Lγ que S(u, 1_{C}) est dans W. Comme t_{v} et t_{w} sont dans W, il en est de même de u. Ceci achève la démonstration de l’implication (c) ⇒ (b).

Montrons l’implication (b) ⇒ (a). Soit donc W une partie de Fl(Cat) satisfaisant aux conditions LA^{∘}, LB^{∘} et LC^{∘}. Notons W^{∘} la partie de Fl(Cat) définie par

W^{∘} := {u ∈ Fl(Cat) | u^{∘} ∈ W} .

Il est immédiat que W^{∘} est un localisateur fondamental. En vertu de 1.1.11, une petite catégorie admettant un objet initial est W^{∘}-asphérique, ce qui implique la condition LB pour W. De même, pour toute petite catégorie C, un morphisme de Cat/C qui est une W^{∘}-équivalence colocalement sur C est dans W^{∘} (cf. 2.1.1), ce qui implique la condition LC pour W, et achève la démonstration de l’équivalence des conditions (a), (b) et (c).

En appliquant cette équivalence à W^{∘}, pour une partie W de Fl(Cat), on déduit l’équivalence des conditions (a), (b) et (d) pour W, ce qui achève la démonstration du théorème.

2.2. Foncteurs d’intégration et de coïntégration

2.2.1. — Soient I une petite catégorie, et F : I [figure] Cat un foncteur. On rappelle une construction de Grothendieck d’une catégorie ∫ F et d’une cofibration θ_{F} : ∫ F [figure] I associées au foncteur F. Les objets de C = ∫ F sont les couples (i, a), où i est un objet de I et a un objet de F (i). Un morphisme de (i, a) vers (i′, a′) est un couple (k, f), où k : i [figure] i′ est un morphisme de I et f : F (k)(a) [figure] a′ un morphisme de F (i′). Le composé d’un morphisme (k, f) : (i, a) [figure] (i′, a′) et d’un morphisme (k′, f′) : (i′, a′) [figure] (i′′, a′′) est défini par

(k′, f′) ∘ (k, f) = (k′k, f′ ∘ F (k′)(f))
\xymatrix{F (k′k)(a) = F (k′)F (k)(a) \ar[r]^{F (k′)(f)} & F (k′)(a′) \ar[r]^{f′} & a′′ .}

Le foncteur θ_{F} est défini par

θ_{F} (i, a) = i , (i, a) ∈ Ob(C) , θ_{F} (k, f) = k , (k, f) ∈ Fl(C) .

On vérifie facilement que les morphismes cocartésiens de C relativement à θ_{F} sont les flèches (k, f) de C telles que f soit un isomorphisme, et que θ_{F} : C [figure] I est une cofibration dont les fibres C_{i} s’identifient aux catégories F (i). Quand le foncteur F est donné par une formule explicite, la catégorie ∫ F est parfois notée ∫_{I} F, ou encore ∫_{i∈Ob(I)} F (i), pour indiquer le domaine de définition du foncteur F.

Exemple 2.2.2. — Soient A une petite catégorie et H_{A} le foncteur

H_{A} : A^{∘} × A [figure] Cat , (b, a) [figure]Hom_{A}(b, a) ,

où l’ensemble Hom_{A}(b, a) est considéré comme une catégorie discrète. Alors ∫ H_{A} s’identifie à la catégorie S(A) introduite dans 1.1.18, et la cofibration θ_{H_{A}} : ∫ H_{A} [figure] A^{∘} × A au foncteur (s_{A}, t_{A}) : S(A) [figure] A^{∘} × A (cf. 1.1.18). Cela explique et redémontre le lemme 1.1.19, affirmant que s_{A} et t_{A} sont des cofibrations (puisque les projections sont des cofibrations, et les cofibrations sont stables par composition). Plus généralement, si u : A [figure] B est un morphisme de Cat, et H_{u} le foncteur

H_{u} : B^{∘} × A [figure] Cat , (b, a) [figure]Hom_{B}(b, u(a)) ,

alors ∫ H_{u} s’identifie à la catégorie S(u) considérée dans la démonstration du théorème 2.1.11.

2.2.3. — Soient I une petite catégorie, F : I [figure] Cat un foncteur, et C = ∫ F. Pour tout objet i de I, on définit un foncteur

l_{i} : F (i) [figure] C

par

\begin{aligned}l_{i}(a) & = (i, a) , a ∈ Ob(F (i)) , \\ l_{i}(f) & = (1_{i}, f) , f ∈ Fl(F (i)) , \end{aligned}

qui identifie F (i) à la fibre C_{i} de θ_{F} au-dessus de i. De plus, pour tout morphisme k : i [figure] i′ de I, on définit un morphisme de foncteurs

[figure: F (i); F (k); l_{i}; F (i′); l_{i′}; β_{k}; C; β_{k} : l_{i}; l_{i′}F (k)]

par

β_{k,a} = (k, 1_{F (k)(a)}) : (i, a) [figure] (i′, F (k)(a)) , a ∈ Ob(F (i)) .

On remarque que si k : i [figure] i′, k′ : i′ [figure] i′′ sont deux morphismes composables de I, on a la condition de cocycle :

(2.2.3.1)  β_{k′k} = (β_{k′} ⋆ F (k))β_{k} ,  β_{1_{i}} = 1_{l_{i}} .

[figure: F (i); F (k); l_{i}; F (i′); F (k′); l_{i′}; F (i′′); l_{i′′}; C; β_{k}; β_{k′}]

Ces données satisfont à la propriété universelle suivante, analogue à celle des limites inductives. Pour toute catégorie D, toute famille de foncteurs m_{i} : F (i) [figure] D, i ∈ Ob(I), et toute famille de morphismes de foncteurs γ_{k} : m_{i} [figure] m_{i′}F (k), k : i [figure] i′, k ∈ Fl(I), satisfaisant à la condition de cocycle

γ_{k′k} = (γ_{k′} ⋆ F (k))γ_{k} , γ_{1_{i}} = 1_{m_{i}} ,

pour k : i [figure] i′, k′ : i′ [figure] i′′ morphismes composables de I, il existe un foncteur unique H : C [figure] D tel que

(2.2.3.2)  m_{i} = Hl_{i} , i ∈ Ob(I) ,  et  γ_{k} = H ⋆ β_{k} , k ∈ Fl(I) .

Explicitement, on a

(2.2.3.3)  \begin{matrix}H(i, a) = m_{i}(a) ,  (i, a) ∈ Ob(C) , \\ H(k, f) = m_{i′}(f)γ_{k,a} , (k, f) : (i, a) [figure] (i′, a′) ∈ Fl(C) . \end{matrix}

En particulier, il existe un foncteur unique

\xymatrix{K_{F} : ∫ F \ar[r] & \underrightarrow{lim}F}

tel que si ε_{i} : F (i) [figure] \underrightarrow{lim}F, i ∈ Ob(I), désigne le morphisme canonique,

(2.2.3.4)  ε_{i} = K_{F} ∘ l_{i} , i ∈ Ob(I) , et K_{F} ⋆ β_{k} = 1_{ε_{i}} , k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) .

Explicitement :

(2.2.3.5)  \begin{matrix}K_{F} (i, a) = ε_{i}(a) ,  (i, a) ∈ Ob(C) , \\ K_{F} (k, f) = ε_{i′}(f) , (k, f) : (i, a) [figure] (i′, a′) ∈ Fl(C) . \end{matrix}

2.2.4. — La propriété universelle décrite dans 2.2.3 se précise par une propriété “2-universelle” faisant de C = ∫ F une “2-limite inductive” : Pour tout couple de foncteurs H, H′ : C [figure]C′ définissant

m_{i} = Hl_{i} , i ∈ Ob(I) , γ_{k} = H ⋆ β_{k} , k ∈ Fl(I) ,

m′_{i} = H′l_{i} , i ∈ Ob(I) , γ′_{k} = H′ ⋆ β_{k} , k ∈ Fl(I) ,

et toute famille de morphismes de foncteurs

α_{i} : m_{i}  [figure] m′_{i} ,  i ∈ Ob(I) ,

satisfaisant aux relations

(2.2.4.1)  γ′_{k}α_{i} = (α_{i′} ⋆ F (k))γ_{k} ,  k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) ,
\xymatrix{m_{i} \ar[r]^{γ_{k}} \ar[d]_{α_{i}} & m_{i′}F (k) \ar[d]^{α_{i′} ⋆F (k)} \\ m′_{i} \ar[r]_{γ′_{k}} & m′_{i′}F (k)}

il existe un unique morphisme de foncteurs α′ : H [figure] H′ tel que

(2.2.4.2)  α_{i} = α′ ⋆ l_{i} ,  i ∈ Ob(I) .

2.2.5. — Soient maintenant F′ : I [figure] Cat un deuxième foncteur,

θ_{F′} : C′ = ∫ F′ [figure] I

la cofibration correspondante, et α : F [figure] F′ un morphisme de foncteurs, de sorte que pour tout objet i de I, α_{i} : F (i) [figure] F′(i) soit un foncteur. On définit un foncteur u = ∫ α : C [figure] C′ en posant

\begin{matrix}u(i, a) = (i, α_{i}(a)) ,  (i, a) ∈ Ob(C) , \\ u(k, f) = (k, α_{i′}(f)) ,  (k, f) ∈ Hom_{C}((i, a), (i′, a′)) . \end{matrix}

(Comme (k, f) est un morphisme de C de (i, a) vers (i′, a′), f : F (k)(a) [figure] a′ est un morphisme de F (i′) et α_{i′}(f) : α_{i′}F (k)(a) [figure] α_{i′}(a′) un morphisme de F′(i′). Comme α est un morphisme de foncteurs, α_{i′}F (k)(a) = F′(k)α_{i}(a), donc (k, α_{i′}(f)) est bien un morphisme de C′, de (i, α_{i}(a)) vers (i′, α_{i′}(a′)).) On a un triangle commutatif de foncteurs

\xymatrix{C = ∫ F \ar[rr]^{u=∫ α} \ar[dr]_{θ_{F}} &  & ∫ F′ = C′ \ar[dl]^{θ_{F′}} \\  & I & ,}

et on vérifie facilement que u est un foncteur cocartésien (transformant morphismes cocartésiens en morphismes cocartésiens).

Le foncteur u = ∫ α peut être aussi défini par la propriété universelle de C. Notons

\begin{matrix}l′_{i} : F′(i) [figure] C′ ,  i ∈ Ob(I) , \\ β′_{k} : l′_{i}  [figure] l′_{i′}F′(k) ,  k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) , \end{matrix}

les foncteurs et morphismes de foncteurs canoniques correspondant au foncteur F′, et définissons

m_{i} = l′_{i}α_{i} , i ∈ Ob(I) , γ_{k} = β′_{k} ⋆ α_{i} , k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) ,
\xymatrix{F (i) \ar[r]^{α_{i}} \ar[ddr]_{m_{i}} & F′(i) \ar[dd]^{l′_{i}} \\  &  & m_{i} = l′_{i}α_{i} \ar[r]^{γ_{k}=β′_{k}⋆α_{i}} & l′_{i′}F′(k)α_{i} = l′_{i′}α_{i′}F (k) = m_{i′}F (k) . \\  & C′}

Soient k : i [figure] i′ et k′ : i′ [figure] i′′ deux morphismes composables de I. On a

\begin{aligned}γ_{k′k} & = β′_{k′k} ⋆ α_{i} = ((β′_{k′} ⋆ F′(k))β′_{k}) ⋆ α_{i} = (β′_{k′} ⋆ (F′(k)α_{i}))(β′_{k} ⋆ α_{i}) \\ & = (β′_{k′} ⋆ (α_{i′}F (k)))(β′_{k} ⋆ α_{i}) = ((β′_{k′} ⋆ α_{i′}) ⋆ F (k))(β′_{k} ⋆ α_{i}) = (m_{k′} ⋆ F (k))m_{k} \end{aligned}

et

γ_{1_{i}} = β′_{1_{i}} ⋆ α_{i} = 1_{l′_{i}} ⋆ α_{i} = 1_{l′_{i}α_{i}} = 1_{m_{i}} .

La propriété universelle de C implique par conséquent l’existence d’un unique foncteur u : C [figure] C′ tel que

l′_{i}α_{i} = ul_{i} , i ∈ Ob(I) ,  et  β′_{k} ⋆ α_{i} = u ⋆ β_{k} , k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) ,

et on vérifie facilement que ce foncteur coïncide au foncteur ∫ α défini précédemment. On a ainsi défini un foncteur d’intégration

∫_{I} = ∫ : \underline{Hom}(I, Cat) [figure] Cat/I

de source la catégorie des foncteurs de I vers Cat et de but celle des petites catégories au-dessus de I, se factorisant par la sous-catégorie des catégories cofibrées sur I et des foncteurs cocartésiens.

2.2.6. — Dualement, pour toute petite catégorie I, on définit un foncteur de coïntégration

∇_{I} = ∇ : \underline{Hom}(I^{∘}, Cat) [figure] Cat/I

associant à un foncteur contravariant F : I^{∘} [figure] Cat de I vers Cat la catégorie fibrée ζ_{F} : ∇F [figure] I définie comme suit. Les objets de ∇F sont les couples (i, a), où i est un objet de I et a un objet de F (i). Un morphisme de (i, a) vers (i′, a′) est un couple (k, f), où k : i [figure] i′ est un morphisme de I et f : a [figure] F (k)(a′) un morphisme de F (i). Le composé d’un morphisme (k, f) : (i, a) [figure] (i′, a′) et d’un morphisme (k′, f′) : (i′, a′) [figure] (i′′, a′′) est défini par

(k′, f′) ∘ (k, f) = (k′k, F (k)(f′) ∘ f)
\xymatrix{a \ar[r]^{f} & F (k)(a′) \ar[r]^{F (k)(f′)} & F (k)F (k′)(a′′) = F (k′k)(a′′) .}

Le foncteur ζ_{F} est défini par

ζ_{F} (i, a) = i , (i, a) ∈ Ob(∇F) , ζ_{F} (k, f) = k , (k, f) ∈ Fl(∇F) .

Si F′ : I^{∘} [figure] Cat est un deuxième foncteur, et α : F [figure] F′ un morphisme de foncteurs, on définit un foncteur ∇α

\xymatrix{∇F \ar[rr]^{∇α} \ar[dr]_{ζ_{F}} &  & ∇F′ \ar[dl]^{ζ_{F′}} \\  & I}

cartésien au-dessus de I (transformant morphismes cartésiens en morphismes cartésiens) par

\begin{matrix}∇α(i, a) = (i, α_{i}(a)) ,  (i, a) ∈ Ob(∇F) , \\ ∇α(k, f) = (k, α_{i}(f)) ,  (k, f) ∈ Hom_{∇F} ((i, a), (i′, a′)) . \end{matrix}

On vérifie facilement que pour tout foncteur F : I^{∘} [figure] Cat, on a

∇_{I}F = (∫_{I^{∘}} F^{∘})^{∘}  et  ζ_{F} = (θ_{F^{∘}})^{∘} ,

2.3. IMAGES DIRECTES ET COMPOSÉS TRANSFINIS D’ÉQUIVALENCES FAIBLES 115

où par abus de notations, F^{∘} ne désigne pas le foncteur opposé à F, mais le foncteur composé de F : I^{∘} [figure] Cat et de l’automorphisme ?^{∘} : Cat [figure] Cat associant à une petite catégorie la catégorie opposée. En revanche, (θ_{F^{∘}})^{∘} désigne bien le foncteur opposé au foncteur θ_{F^{∘}} : ∫_{I^{∘}} F^{∘} [figure] I^{∘}. De façon plus précise, on a un diagramme commutatif de foncteurs

\xymatrix{\underline{Hom}(I^{∘}, Cat) \ar[r]^{∇_{I}} \ar[d]_{\underline{Hom}(1_{I^{∘}} ,?^{∘})} & Cat/I \\ \underline{Hom}(I^{∘}, Cat) \ar[r]_{_{∫_{I^{∘}}}} & Cat/I^{∘} \ar[u]_{?^{∘}/I}}

(2.2.6.1)

dont les flèches verticales sont des isomorphismes de catégories induits par l’involution ?^{∘}. On laisse le soin au lecteur d’énoncer et vérifier la propriété universelle satisfaite par la coïntégration.

2.3. Images directes et composés transfinis d’équivalences faibles

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental W.

Proposition 2.3.1. — Soient I une petite catégorie, F, F′ : I [figure]Cat deux foncteurs, et α : F [figure] F′ un morphisme de foncteurs. Si α est une équivalence faible argument par argument, autrement dit, si pour tout objet i de I, le foncteur α_{i} : F (i) [figure] F′(i) est une équivalence faible, alors ∫ a : ∫ F [figure]∫ F′ est une équivalence faible localement sur I, et en particulier, une équivalence faible.

Démonstration. — La proposition est une conséquence immédiate de 2.2.5, et de la proposition 2.1.10.

2.3.2. — Dans la suite, on va s’intéresser au cas où la catégorie I est la catégorie engendrée par le graphe

\xymatrix{0 \ar[r] \ar[d] & 2 \\ 1 &  & ,}

de sorte que la donnée d’un foncteur I [figure] Cat équivaut à la donnée d’un diagramme

\xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{u_{1}} & C_{2} \\ C_{1}}

de Cat. Si on pose

C = ∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{u_{1}} & C_{2} \\ C_{1}} ,

on a Ob(C) = {(i, a) | i = 0, 1, 2, a ∈ Ob(C_{i})} , Hom_{C}((i, a), (i, a′)) ≃ Hom_{C_{i}}(a, a′) , i = 0, 1, 2, a, a′ ∈ Ob(C_{i}) , Hom_{C}((0, a), (i, b)) ≃ Hom_{C_{i}}(u_{i}(a), b) , i = 1, 2, a ∈ Ob(C_{0}) , b ∈ Ob(C_{i}) , Hom_{C}((i, a), (j, b)) = ∅ sinon. En vertu des considérations du numéro 2.2.3, on a un “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{u_{1}} \ar[dddrrr]^{l_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{l_{2}} \\  &  & ⟹^{β_{2}} \\  & ⟸^{β_{1}} \\ C_{1} \ar[rrr]_{l_{1}} &  &  & C & ,}

et dans ce cas particulier, la propriété universelle affirme que pour tout “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{u_{1}} \ar[dddrrr]^{m_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{m_{2}} \\  &  & ⟹^{γ_{2}} \\  & ⟸^{γ_{1}} \\ C_{1} \ar[rrr]_{m_{1}} &  &  & D & ,}

il existe un foncteur unique g : C [figure] D tel que

m_{i} = gl_{i} , i = 0, 1, 2, γ_{i} = g ⋆ β_{i} , i = 1, 2 .

La propriété “2-universelle” (cf. 2.2.4) affirme que si on a un deuxième “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{u_{1}} \ar[dddrrr]^{m′_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{m′_{2}} \\  &  & ⟹^{γ′_{2}} \\  & ⟸^{γ′_{1}} \\ C_{1} \ar[rrr]_{m′_{1}} &  &  & D & ,}

définissant un foncteur g′ : C [figure] D tel que

(2.3.2.1)  m′_{i} = g′l_{i} , i = 0, 1, 2,  γ′_{i} = g′ ⋆ β_{i} , i = 1, 2 ,

alors pour tout triplet de morphismes de foncteurs

[figure: C_{0}; m′_{0}; m_{0}; α_{0}; C_{1}; m′_{1}; m_{1}; α_{1}; C_{2}; m′_{2}; m_{2}; α_{2}; D; D; D]

tels que

(2.3.2.2)  γ′_{i}α_{0} = (α_{i} ⋆ u_{i})γ_{i} ,  i = 1, 2 ,

il existe un morphisme de foncteurs unique α′ : g [figure] g′ tel que

(2.3.2.3)  α_{i} = α′ ⋆ l_{i} ,  i = 0, 1, 2 .

Proposition 2.3.3. — En gardant les notations ci-dessus, si u_{1} est une équivalence faible, il en est de même de l_{2}.

Démonstration. — Le foncteur l_{2} est le composé

C_{2}  [figure: l′_{2}]∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} & C_{2} \\ C_{0}}  [figure: ∫ α]∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{u_{1}} & C_{2} \\ C_{1}} ,

où l′_{2} est le morphisme canonique, et α est le morphisme de foncteurs

\xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} \ar@{-->}[dr]^{1_{C_{0}}} & C_{2} \ar@{-->}[dr]^{1_{C_{2}}} \\ C_{0} \ar@{-->}[dr]_{u_{1}} & C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]^{u_{1}} & C_{2} \\  & C_{1} & .}

Comme u_{1}, 1_{C_{0}} et 1_{C_{2}} sont des équivalences faibles, il résulte de la proposition 2.3.1 que ∫ α est une équivalence faible.

Il suffit donc de montrer que l′_{2} est une équivalence faible. Or, le diagramme commutatif

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{1_{C_{0}}} \ar[dddrrr]^{u_{2}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{1_{C_{2}}} \\  &  & ⟹^{=} \\  & ⟸^{=} \\ C_{0} \ar[rrr]_{u_{2}} &  &  & C_{2}}

définit, en vertu de la propriété universelle (cf. 2.3.2), un foncteur

∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} & C_{2} \\ C_{0}} [figure: r]C_{2}

tel que si

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{1_{C_{0}}} \ar[dddrrr]^{l′_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{l′_{2}} \\  &  & ⟹^{β′_{2}} \\  & ⟸^{β′_{1}} \\ C_{0} \ar[rrr]_{l′_{1}} &  &  & C′}

désigne le “2-diagramme” canonique associé à

C′ = ∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} & C_{2} \\ C_{0}} ,

on ait

rl′_{0} = u_{2} = rl′_{1} , rl′_{2} = 1_{C_{2}} , r ⋆ β′_{1} = 1_{u_{2}} = r ⋆ β′_{2} .

En particulier, r est une rétraction de l′_{2}. On va montrer que l′_{2}r est 𝕀-homotope à 1_{C′}, où 𝕀 = (I, ∂_{1}, ∂_{2}), les foncteurs ∂_{1}, ∂_{2} : e [figure]I étant définis par les objets 1 et 2 de I. Pour définir une 𝕀-homotopie

\xymatrix{0 \ar[r] \ar[d] & 2 \\ 1} × ∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} & C_{2} \\ C_{0}}  [figure: h]∫ \xymatrix{C_{0} \ar[r]^{u_{2}} \ar[d]_{1_{C_{0}}} & C_{2} \\ C_{0}}  ,

il suffit, en vertu de l’identification

Hom(I × C′, C′) ≃ Hom(I, \underline{Hom}(C′, C′)) ,

de définir des foncteurs

h_{i} : C′  [figure] C′ ,  i = 0, 1, 2 ,

et des morphismes de foncteurs

α_{j} : h_{0}  [figure] h_{j} ,  j = 1, 2 .

En vertu de la propriété universelle (cf. 2.3.2), h_{1} = 1_{C′} est défini par le “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{1_{C_{0}}} \ar[dddrrr]^{l′_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{l′_{2}} \\  &  & ⟹^{β′_{2}} \\  & ⟸^{β′_{1}} \\ C_{0} \ar[rrr]_{l′_{1}} &  &  & C′ & ,}

h_{2} = l′_{2}r est défini par le “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{1_{C_{0}}} \ar[dddrrr]^{l′_{2}u_{2}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{l′_{2}} \\  &  & ⟹^{=} \\  & ⟸^{=} \\ C_{0} \ar[rrr]_{l′_{2}u_{2}} &  &  & C′ & ,}

et on définit h_{0} par le “2-diagramme”

\xymatrix{C_{0} \ar[rrr]^{u_{2}} \ar[ddd]_{1_{C_{0}}} \ar[dddrrr]^{l′_{0}} &  &  & C_{2} \ar[ddd]^{l′_{2}} \\  &  & ⟹^{β′_{2}} \\  & ⟸^{=} \\ C_{0} \ar[rrr]_{l′_{0}} &  &  & C′ & .}

Les trois morphismes de foncteurs

[figure: C_{0}; l′_{0}; l′_{0}; =; C_{0}; l′_{1}; l′_{0}; β′_{1}; C_{2}; l′_{2}; l′_{2}; =; C′; C′; C′]

vérifient les relations 2.3.2.2 de la propriété “2-universelle”, et définissent ainsi un morphisme de foncteurs α_{1} : h_{0} [figure] h_{1}. De même, les trois morphismes de foncteurs

[figure: C_{0}; l′_{2}u_{2}; l′_{0}; β′_{2}; C_{0}; l′_{2}u_{2}; l′_{0}; β′_{2}; C_{2}; l′_{2}; l′_{2}; =; C′; C′; C′]

permettent de définir un morphisme de foncteurs α_{2} : h_{0} [figure] h_{2}, par la propriété “2-universelle”. On a donc prouvé que 1_{C′} est 𝕀-homotope à l′_{2}r. Or, I admet un objet initial, et est donc asphérique (1.1.11). On en déduit que I [figure] e est universellement dans W (proposition 1.1.4), et il résulte donc du lemme d’homotopie 1.4.6, (b) que l′_{2}r est une équivalence faible. Comme rl′_{2} = 1_{C_{2}}, cela prouve, en vertu de la propriété de saturation faible FS3, que l′_{2} est une équivalence faible, et achève la démonstration.

Remarque 2.3.4. — Au cours de la démonstration précédente, on a montré en particulier que si u_{1} est un isomorphisme, alors l_{2} est un homotopisme (cf. 1.4.15).

2.3.5. — Revenons au cas où I est une petite catégorie arbitraire. Soient A une petite catégorie, et F : I [figure] Â un foncteur noté indiciellement :

F_{i} := F (i) , i ∈ Ob(I) , F_{k} := F (k) , k ∈ Fl(I) .

On se propose d’étudier le foncteur canonique (cf. 2.2.3)

K = K_{i_{A}F} : C = ∫ i_{A}F [figure] \underrightarrow{lim}i_{A}F ≃ i_{A}(F′) = A/F′ ,

où F′ désigne la limite inductive \underrightarrow{lim}F. Explicitons le foncteur K. Pour tout i, i ∈ Ob(I), notons ε_{i} : F_{i} [figure] F′ le morphisme canonique, de sorte que pour tout morphisme k : i [figure] i′ de I, le triangle

\xymatrix{F_{i} \ar[rr]^{F_{k}} \ar[dr]_{ε_{i}} &  & F_{i′} \ar[dl]^{ε_{i′}} \\  & F′}

soit commutatif. Un objet de C est un triplet (i, a, x : a [figure] F_{i}), où i ∈ Ob(I), a ∈ Ob(A), x ∈ Fl(Â). On a

K(i, a, x : a [figure] F_{i}) = (a, ε_{i}x : a [figure] F′)

\xymatrix{a \ar[r]^{x} & F_{i} \ar[r]^{ε_{i}} & F′} .

Un morphisme

(i, a, x : a [figure] F_{i}) [figure: (k,f)] (i′, a′, x′ : a′ [figure] F_{i′})

de C est un couple (k, f), où k : i [figure] i′ est une flèche de I, et f : a [figure] a′ une flèche de A, rendant commutatif le diagramme

\xymatrix{a \ar[r]^{f} \ar[d]_{x} & a′ \ar[d]^{x′} \\ F_{i} \ar[r]_{F_{k}} & F_{i′} & .}

On a

K(k, f) = f ,  \xymatrix{a \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{ε_{i}x} &  & a′ \ar[dl]^{ε_{i′} x′} \\  & F′}  ε_{i′}x′f = ε_{i′}F_{k}x = ε_{i}x .

Proposition 2.3.6. — Le foncteur K : ∫ i_{A}F [figure] \underrightarrow{lim}i_{A}F est une fibration.

Démonstration. — On vérifie facilement qu’un morphisme (k, f) de C = ∫ i_{A}F est cartésien relativement à K si et seulement si k est un isomorphisme. En particulier, la partie de Fl(C) formée des morphismes cartésiens est stable par composition. Soient maintenant (i, a, x : a [figure] F_{i}) un objet de C et

\xymatrix{a′ \ar[rr]^{f} \ar[dr] &  & a \ar[dl]^{ε_{i}x} \\  & F′}

un morphisme de A/F′, F′ = \underrightarrow{lim}F, de but l’image de cet objet par K. Alors

(i, a′, xf : a′ [figure] F_{i}) [figure: (1_{i},f)] (i, a, x : a [figure] F_{i})

est un morphisme cartésien de C dont le but est l’objet donné de C, et dont l’image par K est le morphisme donné de A/F′, ce qui démontre la proposition.

2.3.7. — Soit (a, s : a [figure] F′) un objet de A/F′. On se propose d’étudier la fibre

C_{s} = (∫ i_{A}F )_{s}

du foncteur K au-dessus de cet objet. Les objets de C_{s} sont les objets (i, a, x : a [figure] F_{i}) de C tels que ε_{i}x = s, et les morphismes entre tels objets, les morphismes

(i, a, x : a [figure] F_{i}) [figure: (k,1_{a})] (i′, a, x′ : a [figure] F′_{i})

de C (de sorte que le triangle

\xymatrix{ & a \ar[dl]_{x} \ar[dr]^{x′} \\ F_{i} \ar[rr]_{F_{k}} &  & F_{i′}}

soit commutatif). Pour tout objet i de I, considérons la fibre (A/F_{i})_{s} du morphisme i_{A}(ε_{i}) : A/F_{i} [figure] A/F′ au-dessus de (a, s : a [figure] F′). Les objets de (A/F_{i})_{s} sont les couples (a, x : a [figure] F_{i}) tels que ε_{i}x = s, et les seuls morphismes sont les identités. Pour tout morphisme k : i [figure] i′ de I, on en déduit un foncteur

(A/F_{i})_{s} [figure: (i_{A}(F_{k}))_{s}] (A/F_{i′})_{s} ,

associant à un objet (a, x : a [figure] F_{i}) de (A/F_{i})_{s} l’objet (a, F_{k}x : a [figure] F_{i′}) de (A/F_{i′})_{s}. On définit ainsi un foncteur (i_{A}F)_{s} : I [figure] Cat, et par suite, on peut former la catégorie

∫ (i_{A}F)_{s} ,

dont les objets sont les triplets (i, a, x : a [figure] F_{i}), i ∈ Ob(I), tels que (a, x : a [figure] F_{i}) soit un objet de (A/F_{i})_{s}, autrement dit tels que ε_{i}x = s, et les morphismes les couples

(i, a, x : a [figure] F_{i}) [figure: (k,1_{a})] (i′, a, x′ : a [figure] F_{i′}) , k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) ,

(puisque les seuls morphismes de (A/F_{i′})_{s} sont les identités) tels que le triangle

\xymatrix{ & a \ar[dl]_{x} \ar[dr]^{x′} \\ F_{i} \ar[rr]_{F_{k}} &  & F_{i′}}

soit commutatif. On a donc démontré :

Lemme 2.3.8. — Soit (a, s : a [figure] F′) un objet de A/F′. Alors on a un isomorphisme canonique

(∫ i_{A}F )_{s} ≃ ∫ (i_{A}F)_{s} .

2.3.9. — Supposons maintenant que la catégorie I soit la catégorie engendrée par le graphe

\xymatrix{0 \ar[r] \ar[d] & 2 \\ 1 & ,}

de sorte que la donnée du foncteur F : I [figure] Â soit équivalente à la donnée d’un diagramme

\xymatrix{F_{0} \ar[r]^{φ_{2}} \ar[d]_{φ_{1}} & F_{2} \\ F_{1}}

de Â, la limite inductive F′ du foncteur F étant la somme amalgamée, de sorte qu’on ait un carré cocartésien

\xymatrix{F_{0} \ar[r]^{φ_{2}} \ar[d]_{φ_{1}} & F_{2} \ar[d]^{ε_{2}} \\ F_{1} \ar[r]_{ε_{1}} & F′ & .}

Proposition 2.3.10. — En gardant les notations ci-dessus, si φ_{1} est un monomorphisme, alors le foncteur canonique

K : C = ∫ \xymatrix{A/F_{0} \ar[r] \ar[d] & A/F_{2} \\ A/F_{1}} [figure]A/F′

est une fibration à fibres contractiles.

Démonstration. — Comme en vertu de la proposition 2.3.6, le foncteur K est une fibration, il suffit de montrer que pour tout objet (a, s : A [figure] F′) de A/F′, la fibre C_{s} de K au-dessus de cet objet est contractile. En vertu du lemme 2.3.8, on a

C_{s} = ∫ \xymatrix{(A/F_{0})_{s} \ar[r] \ar[d] & (A/F_{2})_{s} \\ (A/F_{1})_{s}} .

En considérant s comme un élément de F′(a) = F_{1}(a) ⨿_{F_{0}(a)} F_{2}(a), on distingue deux cas.

a) L’élément s de F′(a) n’appartient pas à l’image de F_{0}(a) dans F′(a). Alors on vérifie immédiatement que

C_{s} = ∫ \xymatrix{∅ \ar[r] \ar[d] & ∅ \\ e}  ou  C_{s} = ∫ \xymatrix{∅ \ar[r] \ar[d] & e \\ ∅} ,

et C_{s} est réduite à la catégorie ayant un seul objet, et l’identité de cet objet comme seul morphisme.

b) L’élément s de F′(a) appartient à l’image de F_{0}(a) dans F′(a). Alors on vérifie facilement que (A/F_{0})_{s} [figure] (A/F_{1})_{s} est un isomorphisme (on utilise que φ_{1} : F_{0} [figure] F_{1} est un monomorphisme). En vertu de la remarque 2.3.4, le morphisme canonique

(A/F_{2})_{s} [figure]∫ \xymatrix{(A/F_{0})_{s} \ar[r] \ar[d] & (A/F_{2})_{s} \\ (A/F_{1})_{s}} ≃ C_{s}

est donc un homotopisme. Or, le morphisme ε_{2} : F_{2} [figure] F′ est un monomorphisme (car φ_{1} est un monomorphisme), et par suite (A/F_{2})_{s} est la catégorie ponctuelle. On en déduit que la catégorie C_{s} est contractile, ce qui prouve la proposition.

Remarque 2.3.11. — En vertu de la proposition 1.4.19, si φ_{1} est un monomorphisme, le foncteur K ci-dessus est donc coasphérique (cf. 1.1.25), et en particulier une équivalence faible.

Corollaire 2.3.12. — Soient A une petite catégorie,

\xymatrix{F_{0} \ar[r]^{φ_{2}} \ar[d]_{φ_{1}} & F_{2} \ar[d]^{ε_{2}} \\ F_{1} \ar[r]_{ε_{1}} & F′}

un carré cocartésien de Â, et supposons que φ_{1} soit un monomorphisme. Alors si φ_{1} (resp. φ_{2}) est une équivalence faible, il en est de même de ε_{2} (resp. ε_{1}).

Démonstration. — Considérons le diagramme

[figure: A/F_{0}; u_{2}=i_{A}(φ_{2}); u_{1}=i_{A}(φ_{1}); A/F_{2}; l_{2}; i_{A}(ε_{2}); A/F_{1}; l_{1}; i_{A}(ε_{1}); ∫; K; A/F′; ,] \xymatrix{A/F_{0} \ar[r] \ar[d] & A/F_{2} \\ A/F_{1}}

où l_{1}, l_{2} et K désignent les foncteurs canoniques (cf. 2.3.2 et 2.3.5), et dont les deux triangles sont commutatifs (mais pas le carré). Si φ_{1} (resp. φ_{2}) est une équivalence faible, alors u_{1} (resp. u_{2}) est une équivalence faible, et en vertu de la proposition 2.3.3, il en est de même de l_{2} (resp. l_{1}). Or, comme φ_{1} est un monomorphisme, en vertu de la remarque précédente, K est une équivalence faible. On en déduit que i_{A}(ε_{2}) (resp. i_{A}(ε_{1})) est une équivalence faible de Cat, autrement dit, que ε_{2} (resp. ε_{1}) est une équivalence faible de Â, ce qui achève la démonstration.

Corollaire 2.3.13. — Soient A une petite catégorie, et

[figure: F_{0}; φ_{2}; φ_{1}; χ_{0}; F_{2}; ε_{2}; F_{1}; ε_{1}; χ_{1}; χ_{2}; F′; χ′; G_{0}; ψ_{1}; ψ_{2}; G_{2}; η_{2}; G_{1}; η_{1}; G′]

un cube commutatif de Â dont les faces horizontales sont cocartésiennes, et tel que φ_{1}, ψ_{1} soient des monomorphismes, et χ_{0}, χ_{1}, χ_{2} des équivalences faibles. Alors χ′ est une équivalence faible.

Démonstration. — On a un carré commutatif

[figure: A/F_{0}; A/F_{2}; A/F_{1}; A/G_{0}; A/G_{2}; A/G_{1}; ∫; ∫ i_{A}⋆χ; K; A/F′; i_{A}(χ′); ∫; K′; A/G′; ,]

où χ désigne le morphisme de foncteurs défini par χ_{0}, χ_{1}, χ_{2}, et K et K′ les foncteurs canoniques (cf. 2.3.5). En vertu de la proposition 2.3.1 et de la remarque 2.3.11, les foncteurs ∫ i_{A} ⋆ χ, K et K′ sont des équivalences faible, et il en est donc de même de i_{A}(χ′), ce qui prouve le corollaire.

Proposition 2.3.14. — Soient I un ensemble bien ordonné, A une petite catégorie, et F : I [figure] Â un foncteur (où I désigne aussi la catégorie associée à l’ensemble ordonné I) tel que pour tout i ⩽ j, le morphisme F_{i} [figure] F_{j} soit un monomorphisme. Alors le foncteur canonique

K : C = ∫ i_{A}F [figure] A/F′ ,

où F′ = \underrightarrow{lim}F, est une fibration à fibres contractiles.

Démonstration. — Soit (a, s : a [figure] F′) un objet de A/F′, et considérons s comme élément de F′(a). Comme les morphismes de transition F_{i} [figure] F_{j} sont des monomorphismes, F′(a) s’identifie à la réunion croissante des F_{i}(a). Comme I est bien ordonné, il existe un plus petit élément i_{s} de I tel que s ∈ F_{i_{s}}(a). Alors on vérifie facilement que la fibre C_{s} de K au-dessus de l’objet (a, s : a [figure] F′) s’identifie à la catégorie correspondant à l’ensemble ordonné formé des i ∈ I tels que i_{s} ⩽ i. Cette catégorie ayant un objet initial, elle est contractile (1.4.17). Comme en vertu de la proposition 2.3.6, K est une fibration, cela achève la démonstration.

Remarque 2.3.15. — En vertu de la proposition 1.4.19, le foncteur K ci-dessus est donc coasphérique (cf. 1.1.25), et en particulier une équivalence faible.

Corollaire 2.3.16. — Soient I une catégorie correspondant à un ensemble bien ordonné, A une petite catégorie, F, G : I [figure]Â deux foncteurs, et φ : F [figure] G un morphisme de foncteurs. On suppose :

(a) pour tout i et j dans I, si i ⩽ j, les morphismes F_{i} [figure] F_{j} et G_{i} [figure] G_{j} sont des monomorphismes ;

(b) pour tout i dans I, le morphisme φ_{i} : F_{i} [figure] G_{i} est une équivalence faible. Alors \underrightarrow{lim}φ : \underrightarrow{lim}F [figure] \underrightarrow{lim}G est une équivalence faible.

Démonstration. — En effet, on a un carré commutatif de Cat

\xymatrix{∫ i_{A}F \ar[r] \ar[d]_{∫ i_{A}⋆φ} & A/\underrightarrow{lim}F \ar[d]^{i_{A}(\underrightarrow{lim}φ)} \\ ∫ i_{A}G \ar[r] & A/\underrightarrow{lim}G}

dont les flèches horizontales sont, en vertu de la remarque précédente, des équivalences faibles. Comme ∫ i_{A}⋆φ est une équivalence faible (proposition 2.3.1), il en est de même de i_{A}(\underrightarrow{lim}φ), ce qui démontre le corollaire.

Corollaire 2.3.17. — Pour toute petite catégorie A, la partie de Fl(Â) formée des flèches qui sont à la fois des équivalences faibles et des monomorphismes est stable par composition transfinie. Autrement dit, pour tout ensemble bien ordonné I, et tout foncteur F : I [figure] Â tel que les morphismes F_{i} [figure] F_{j}, i ⩽ j, i, j ∈ I, soient des monomorphismes et des équivalences faibles, le morphisme canonique F_{0} [figure] \underrightarrow{lim}F, où 0 désigne le plus petit élément de I, est une équivalence faible (et un monomorphisme).

Démonstration. — Le corollaire est une conséquence immédiate du corollaire précédent, appliqué au morphisme du foncteur constant de valeur F_{0} vers le foncteur F défini par les flèches F_{0} [figure] F_{i}, i ∈ I.

Les corollaires 2.3.16 et 2.3.17 seront généralisés au paragraphe suivant.

2.4. Catégories filtrantes et asphéricité

2.4.1. — On rappelle qu’une catégorie pseudo-filtrante est une catégorie I satisfaisant aux deux conditions suivantes : PS1 tout diagramme de I de la forme :

\xymatrix{ & i_{1} \\ i \ar[ur] \ar[dr] \\  & i_{2}}

peut être inséré dans un diagramme commutatif :

\xymatrix{ & i_{1} \ar[dr] \\ i \ar[ur] \ar[dr] &  & i′ \\  & i_{2} \ar@{-->}[ur] &  & ;}

PS2 pour toute double flèche k_{1}, k_{2} : i [figure]j de I, il existe une flèche l : j [figure] j′ de

I telle que lk_{1} = lk_{2}. Une catégorie I est dite filtrante si elle est pseudo-filtrante, non vide, et connexe. On vérifie facilement qu’en présence de PS2, cela signifie que I est non vide, et que pour tout couple d’objets i_{1}, i_{2} de I, il existe un objet i de I, et des flèches i_{1} [figure] i et i_{2} [figure] i de I. Un ensemble ordonné est dit filtrant si la catégorie correspondante l’est. Si I est un ensemble ordonné non vide, il est filtrant si et seulement si pour tout couple d’éléments i_{1}, i_{2} de I, il existe un élément i de I tel que i_{1} ⩽ i et i_{2} ⩽ i. Tout ensemble totalement ordonné non vide est filtrant. Un ensemble ordonné fini est filtrant si et seulement si il admet un plus grand élément.

2.4.2. — On rappelle qu’un foncteur cofinal est un foncteur u : I [figure] J tel que pour tout objet j de J, la catégorie j\I soit connexe non vide. En d’autres termes, un foncteur cofinal est un foncteur W_{0}-coasphérique, où W_{0} est le localisateur fondamental des exemples 1.1.32 et 2.1.2.

Lemme 2.4.3. — Soit u : I [figure] J un foncteur.

(a) Si la catégorie I est pseudo-filtrante, alors pour tout objet j de J, la catégorie j\I l’est aussi.

(b) Si la catégorie I est pseudo-filtrante, et si le foncteur u est cofinal, alors pour tout objet j de J, la catégorie j\I est filtrante.

Démonstration. — Une vérification immédiate prouve l’assertion (a), et l’assertion (b) en résulte aussitôt.

Lemme 2.4.4. — Soit J un ensemble ordonné filtrant infini. Alors il existe un ensemble bien ordonné I, et une famille croissante (J_{i})_{i∈I} de sous-ensembles ordonnés filtrants de J telle que

J = ⋃_{i∈I} J_{i} ,  card(J_{i}) < card(J) ,  i ∈ I .

Démonstration. — On procède en plusieurs étapes.

a) Il existe une application

Filt : P(J) [figure] P(J) ,

où P(J) désigne l’ensemble des parties de J, telle que pour toute partie E de J, Filt(E) soit un sous-ensemble ordonné filtrant de J, contenant E, tel que

card(Filt(E)) = \{ \begin{matrix}fini si E est finie \\ card(E) sinon . \end{matrix}

En effet, si l’ensemble E est fini, on pose Filt(E) = E ∪ {j}, où j est un majorant de E dans J (qui existe puisque J est filtrant et E fini). Si E est infini, on définit par récurrence une suite croissante (E_{n})_{n∈ℕ} de parties de J, par E_{0} = E, E_{n+1} étant obtenue de E_{n} par adjonction, pour chaque couple j, j′ d’éléments de E_{n}, d’un majorant de j et j′ dans J. On pose

Filt(E) = ⋃_{n⩾0} E_{n} ,

et il est immédiat que Filt(E) est un sous-ensemble ordonné filtrant de J, et que card(Filt(E)) = card(E).

b) Il existe un ensemble bien ordonné I tel que card(I) = card(J), et tel que pour tout i, i ∈ I,

card{i′ ∈ I | i′ < i} < card(J) .

En effet, en vertu du théorème de Zermelo, il existe une relation de bon ordre ⩽ sur l’ensemble sous-jacent à J. Si l’ensemble des éléments j de J tels que

card{j′ ∈ J | j′ < j} = card(J)

est vide, on peut prendre I = J muni de ce bon ordre. Si cet ensemble est non vide, il admet un plus petit élément j_{0}. On peut alors prendre I = {j ∈ J | j < j_{0}}, muni du bon ordre induit, et remarquer que card(I) = card(J).

c) On va définir, par récurrence transfinie, une famille croissante (J_{i})_{i∈I} de sousensembles ordonnés filtrants de J telle que J = ⋃_{i∈I} J_{i}, et

(∗)  card(J_{i}) = \{ \begin{matrix}fini si card\{i′ ∈ I | i′ < i\} est fini \\ card\{i′ ∈ I | i′ < i\} & sinon  , \end{matrix}

ce qui prouvera le lemme. Pour cela, choisissons une bijection j : I [figure] J, i [figure] j_{i}. Soit i un élément de I, et supposons qu’on a défini J_{i′} pour i′ < i. On pose

J_{i} = Filt(( ⋃_{i′<i} J_{i′}) ∪ {j_{i}}) .

La condition (∗) se vérifie aussitôt par récurrence transfinie, ce qui achève la démonstration.

Lemme 2.4.5. — Soit I une petite catégorie filtrante. Alors il existe un ensemble ordonné filtrant J, et un foncteur cofinal J [figure] I, l’ensemble ordonné J étant identifié à la catégorie correspondante (Deligne, SGA4, I, Exposé 1, 8.1.6 [2]).

Démonstration. — On suppose d’abord que l’ensemble préordonné Ob(I) n’a pas de plus grand élément, autrement dit (puisque la catégorie I est filtrante) que pour tout objet i de I, il existe une flèche i [figure] i′ de I telle qu’il n’y ait aucun morphisme de i′ vers i.

Un sous-graphe de I est un couple G = (S, F), où S est une partie de Ob(I) et F une partie de Fl(I) telles que la source et le but de toute flèche de I appartenant à F soient dans S. Un sommet de G est un objet de I appartenant à S, et une arête de G est une flèche de I appartenant à F. On ne suppose pas que le composé dans I des deux arêtes composables de G soit une arête de G, ni que l’identité dans I d’un sommet de G soit une arête de G. Si G = (S, F) est un sous-graphe de I, on dit qu’un sommet e de G est un sommet final de G si

(a) pour tout sommet s de G, il existe une arête unique f_{s} : s [figure] e de G;

(b) pour toute arête f : s [figure] t de G, on a f_{s} = f_{t}f ;

(c) f_{e} = 1_{e}. On remarque que si G_{1} = (S_{1}, F_{1}) et G_{2} = (S_{2}, F_{2}) sont deux sous-graphes de I, alors G_{1} ∪ G_{2} = (S_{1} ∪ S_{2}, F_{1} ∪ F_{2}) est un sous-graphe de I.

Soit J l’ensemble des sous-graphes finis G de I ayant un unique sommet final e_{G}, ordonné par inclusion

(S, F) ⊂ (S′, F′) ⟺ S ⊂ S′ et F ⊂ F′ .

Si G = (S, F) est un sous-graphe fini de I, il existe G′ ∈ J tel que G ⊂ G′. En effet, comme la catégorie I est filtrante, et comme S est fini, il existe un objet e_{0} de I et une famille g_{s} : s [figure] e_{0}, s ∈ S, de morphismes de I. Comme F est fini, il existe un morphisme g : e_{0} [figure] e_{1} de I tel que pour toute arête f : s [figure] t de G, on ait gg_{s} = gg_{t}f. Comme l’ensemble préordonné Ob(I) n’a pas de plus grand élément, il existe un morphisme h : e_{1} [figure] e de I tel que e ∉ S. Il suffit alors de prendre

G′ = (S ∪ {e}, F ∪ {f_{s} | s ∈ S} ∪ {1_{e}}) , où f_{s} = hgg_{s} , s ∈ S .

On en déduit que l’ensemble ordonné J est filtrant : si G_{1}, G_{2} ∈ J, en vertu de ce qui précède, il existe G ∈ J tel que G_{1} ∪ G_{2} ⊂ G.

On définit un foncteur u : J [figure] I par

G [figure] e_{G} ,  (G ⊂ G′) [figure](e_{G}  [figure] e_{G′}) ,

où e_{G} (resp. e_{G′}) désigne l’unique sommet final de G (resp. G′), et e_{G} [figure] e_{G′} l’unique (en vertu de (a)) arête de G′ de e_{G} vers e_{G′}. Il résulte alors facilement des conditions (b) et (c) qu’on définit ainsi un foncteur. Ce foncteur est cofinal :

i) Si i est un objet de I, et si l’on pose G = ({i}, {1_{i}}), alors G ∈ J, et 1_{i} est un morphisme de i vers u(G) = i, ce qui prouve que la catégorie i\J est non vide.

ii) Si i est un objet de I, et (G_{1}, g_{1} : i [figure] u(G_{1})), (G_{2}, g_{2} : i [figure] u(G_{2})) deux objets de i\J, en vertu de ce qui a été démontré précédemment, il existe G ∈ J contenant le sous-graphe fini de I

{i [figure] u(G_{1})} ∪ {i [figure] u(G_{2})} ∪ G_{1} ∪ G_{2} ,

où {i [figure] u(G_{1})} et {i [figure] u(G_{2})} désignent par abus de notations les sous-graphes ({i, u(G_{1})}, {g_{1}}) et ({i, u(G_{2})}, {g_{2}}) de I. Les inclusions G_{1} ⊂ G et G_{2} ⊂ G définissent alors, par application du foncteur u, des morphismes u(G_{1}) [figure] u(G) et u(G_{2}) [figure] u(G) qui, en vertu de la condition (b), rendent commutatif le carré

\xymatrix{ & u(G_{1}) \ar@{-->}[dr] \\ i \ar[ur]^{g_{1}} \ar[dr]_{g_{2}} &  & u(G) \\  & u(G_{2}) \ar@{-->}[ur] &  & ,}

ce qui prouve la connexité de la catégorie i\J. Cas général. La catégorie I×ℕ (où ℕ désigne la catégorie associée à l’ensemble ordonné des entiers naturels) est filtrante, et l’ensemble préordonné de ses objets n’a pas de plus grand élément. En vertu de ce qui précède, il existe donc un ensemble ordonné filtrant J, et un foncteur cofinal J [figure] I × ℕ. Pour conclure, il suffit de considérer le composé de ce foncteur avec la première projection I × ℕ [figure] I, qui est un foncteur cofinal, et de remarquer que le composé de deux foncteurs cofinaux est cofinal.

Lemme 2.4.6. — Soient I une petite catégorie filtrante, et F : I [figure] Cat un foncteur. Alors les fibres du foncteur canonique (2.2.3)

K_{F} : ∫ F [figure] \underrightarrow{lim}F

sont des catégories filtrantes.

Démonstration. — Pour tout objet i de I, on note ε_{i} : F (i) [figure] \underrightarrow{lim}F le foncteur canonique. On rappelle que pour tout objet (i, a) de ∫ F, i ∈ Ob(I), a ∈ Ob(F (i)), on a K_{F} (i, a) = ε_{i}(a), et pour toute flèche (k, f) : (i, a) [figure] (i′, a′) de ∫ F, où k : i [figure] i′ est une flèche de I, et f : F (k)(a) [figure] a′ une flèche de F (i′), on a K_{F} (k, f) = ε_{i′}(f). Soit b un objet de la catégorie \underrightarrow{lim}F.

a) La fibre (∫ F )_{b} est non vide : il existe un objet i de I, et un objet a de F (i) tels que b = ε_{i}(a), ce qui implique que (i, a) est un objet de (∫ F )_{b}.

b) Soient (i_{1}, a_{1}) et (i_{2}, a_{2}) deux objets de (∫ F )_{b}, de sorte que ε_{i_{1}}(a_{1}) = b = ε_{i_{2}}(a_{2}). Comme Ob(\underrightarrow{lim}F) = \underrightarrow{lim}Ob(F), et comme la catégorie I est filtrante, il existe un objet i de I, et des morphismes k_{1} : i_{1} [figure] i, k_{2} : i_{2} [figure] i tels que F (k_{1})(a_{1}) = F (k_{2})(a_{2}). Alors (i, a), où a = F (k_{1})(a_{1}) = F (k_{2})(a_{2}) est un objet de (∫ F )_{b}, et (k_{1}, 1_{a}) : (i_{1}, a_{1}) [figure] (i, a), (k_{2}, 1_{a}) : (i_{2}, a_{2}) [figure] (i, a) des morphismes de (∫ F )_{b}.

c) Soit une double flèche de (∫ F )_{b}

\xymatrix{(i, a) \ar[r]^{(k_{1},f_{1})} \ar[r]_{(k_{2},f_{2})} & (i′, a′)} ,

de sorte que ε_{i}(a) = b = ε_{i′}(a′) et ε_{i′}(f_{1}) = 1_{b} = ε_{i′}(f_{2}). Comme la catégorie I est filtrante, il existe une flèche k′ : i′ [figure] i′′ de I telle que k′k_{1} = k′k_{2}, et on a

ε_{i′′}(F (k′)(f_{1})) = ε_{i′}(f_{1}) = 1_{b} = ε_{i′}(f_{2}) = ε_{i′′}(F (k′)(f_{2})) .

Comme Fl(\underrightarrow{lim}F) = \underrightarrow{lim}Fl(F) (puisque I est une catégorie filtrante), il existe donc une flèche k′′ : i′′ [figure] i′′′ de I telle que

F (k′′)F (k′)(f_{1}) = F (k′′)F (k′)(f_{2}) .

Posons k = k′′k′. Alors

\xymatrix{(i′, a′) \ar[r]^{(k,1_{F (k)(a′)})} & (i′′′, F (k)(a′))}

est une flèche de (∫ F )_{b}, et

(k, 1_{F (k)(a′)})(k_{1}, f_{1}) = (k, 1_{F (k)(a′)})(k_{2}, f_{2}) ,

ce qui achève la démonstration.

Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Lemme 2.4.7. — Soient I un ensemble bien ordonné non vide, et F : I [figure] Cat un foncteur tel que pour tout couple i, j, i < j, d’éléments de I, le morphisme F (i) [figure] F (j) induise un isomorphisme de la catégorie F (i) sur un crible de la catégorie F (j). Si pour tout i, i ∈ I, la catégorie F (i) est asphérique, il en est de même de la catégorie limite inductive \underrightarrow{lim}F.

Démonstration. — Considérons le diagramme de foncteurs canoniques

\xymatrix{ & ∫ F \ar[dl]_{θ_{F}} \ar[dr]^{K_{F}} \\ I &  & \underrightarrow{lim}F .}

Par hypothèse, θ_{F} est une cofibration à fibres asphériques, et par suite, en vertu de la proposition 1.1.17, θ_{F} est un foncteur asphérique, et en particulier une équivalence faible. D’autre part, on vérifie facilement que l’hypothèse faite sur le foncteur F implique que si l’on pose A = \underrightarrow{lim}F, alors pour tout i, i ∈ I, la catégorie F (i) s’identifie à un crible de la catégorie A. Grâce à la bijection naturelle entre les cribles de A et les sous-préfaisceaux de l’objet final de Â, on vérifie aussitôt que la proposition 2.3.14 implique que K_{F} est une fibration à fibres contractiles, donc asphériques (1.4.19). On en déduit que K_{F} est un foncteur coasphérique, et en particulier une équivalence faible (1.1.25). Comme I est un ensemble bien ordonné non vide, la catégorie correspondante admet un objet initial, et elle est donc asphérique (1.1.11). Les morphismes θ_{F} et K_{F} étant des équivalences faibles, cela prouve que la catégorie \underrightarrow{lim}F est asphérique, et achève la démonstration.

Lemme 2.4.8. — Soit J un ensemble ordonné filtrant. Alors J, considéré comme petite catégorie, est une catégorie asphérique.

Démonstration. — On raisonne par récurrence transfinie sur le cardinal de J. Si J est fini, J étant filtrant, il admet un plus grand élément, et la catégorie associée à J admet un objet final et est donc asphérique. Supposons donc que J soit infini, et que l’assertion soit établie pour tout ensemble ordonné filtrant de cardinal strictement plus petit que celui de J. En vertu du lemme 2.4.4, il existe un ensemble bien ordonné I, et une famille croissante (J_{i})_{i∈I} de sous-ensembles ordonnés filtrants de J, telle que

J = ⋃_{i∈I} J_{i} ,  card(J_{i}) < card(J) ,  i ∈ I .

Par hypothèse de récurrence, pour tout i, i ∈ I, la catégorie J_{i} est asphérique. Soit J′_{i} le crible de J engendré par J_{i}

J′_{i} = {j′ ∈ J | il existe j ∈ J_{i} tel que j′ ⩽ j} .

Le foncteur d’inclusion J_{i} [figure] J′_{i} est coasphérique. En effet, pour tout objet j de J′_{i}, la catégorie j\J_{i} est un cocrible de J_{i}, qui est non vide, puisque J′_{i} est le crible engendré par J_{i}, et qui s’identifie donc à un sous-ensemble ordonné filtrant de J_{i}. L’hypothèse de récurrence implique donc que j\J_{i} est asphérique. On en déduit que J′_{i} est asphérique. Or, pour tout couple i, i′ ∈ I, i < i′, J′_{i} est un crible de J′_{i′}, et J = \underrightarrow{lim}_{i∈I}J′_{i}. L’assertion résulte donc du lemme 2.4.7.

Proposition 2.4.9. — Toute petite catégorie filtrante est asphérique.

Démonstration. — Soit I une petite catégorie filtrante. En vertu du lemme 2.4.5, il existe un ensemble ordonné filtrant J et un foncteur cofinal u : J [figure] I. Pour tout objet i de I, la catégorie i\J est un ensemble ordonné filtrant. En effet, cette catégorie est filtrante d’après le lemme 2.4.3, (b), et il est évident qu’elle est un ensemble ordonné. Il résulte donc du lemme précédent que le foncteur u est coasphérique. Une nouvelle application de ce lemme implique alors que I est asphérique.

2.4.10. — On rappelle qu’un objet de présentation finie d’une catégorie M est un objet X de M tel que le foncteur

M  [figure] Ens ,  Y [figure]Hom_{M}(X, Y)

commute aux limites inductives filtrantes. On vérifie facilement que si M = Cat est la catégorie des petites catégories, alors toute catégorie finie est un objet de présentation finie de Cat (la réciproque étant fausse).

Lemme 2.4.11. — Il existe une catégorie test A, et un foncteur test i : A [figure] Cat tel que le foncteur

i^{∗} : Cat  [figure] Â, ,  C [figure] (a [figure]Hom_{Cat}(i(a), C))

commute aux limites inductives filtrantes.

Démonstration. — Il suffit de choisir une catégorie test A, et un foncteur test i : A [figure] Cat tel que pour tout objet a de A, i(a) soit une catégorie de présentation finie, de sorte que le foncteur i^{∗} commute aux limites inductives filtrantes. On peut prendre par exemple A = Δ et i : Δ [figure] Cat l’inclusion, i^{∗} étant alors le foncteur nerf (1.7.18), ou prendre pour A une petite sous-catégorie pleine de Cat formée de catégories finies contractiles, stable par produits finis, et telle que Δ_{1} soit un objet de A, et i : A [figure] Cat l’inclusion (1.7.19).

Proposition 2.4.12. — a) Une petite limite inductive filtrante de petites catégories asphériques est asphérique.

b) Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, alors il est stable par petites limites inductives filtrantes, et en particulier, par composition transfinie.

Démonstration. — En vertu du lemme précédent, on peut choisir une catégorie test A, et un foncteur test i : A [figure] Cat tel que le foncteur i^{∗} commute aux limites inductives filtrantes. En vertu de la proposition 2.3.6, pour toute petite catégorie I, et tout foncteur F : I [figure] Cat, le foncteur canonique

K_{i_{A}i^{∗}F} : ∫ i_{A}i^{∗}F [figure] \underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}F

est une fibration. Si en outre la catégorie I est filtrante, il résulte du lemme 2.4.6 que les fibres de ce foncteur sont des catégories filtrantes, et par suite qu’elles sont asphériques (proposition 2.4.9). On en déduit que le foncteur K_{i_{A}i^{∗}F} est alors coasphérique, et en particulier une équivalence faible (1.1.25).

a) Soient I une petite catégorie filtrante, et F : I [figure] Cat un foncteur à valeurs des catégories asphériques. Pour montrer que \underrightarrow{lim}F est une catégorie asphérique, il suffit de montrer que

i_{A}i^{∗}(\underrightarrow{lim}F) ≃ i_{A}(\underrightarrow{lim}i^{∗}F) ≃ \underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}F

l’est. Or, dans le diagramme de foncteurs canoniques

\xymatrix{ & ∫ i_{A}i^{∗}F \ar[dl]_{θ_{i_{A}i^{∗}F}} \ar@{-->}[dr]^{K_{i_{A}i^{∗}F}} \\ I &  & \underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}F ,}

on a vu que K_{i_{A}i^{∗}F} est une équivalence faible, et par hypothèse θ_{i_{A}i^{∗}F} est une cofibration à fibres asphériques, donc aussi une équivalence faible (1.1.17). L’assertion résulte donc de la proposition 2.4.9.

b) Supposons que le localisateur fondamental faible W soit un localisateur fondamental, et soient I une petite catégorie filtrante, F, G : I [figure] Cat deux foncteurs, et α : F [figure] G un morphisme de foncteurs qui soit une équivalence faible argument par argument. Pour montrer que

\underrightarrow{lim}α : \underrightarrow{lim}F [figure] \underrightarrow{lim}G

est une équivalence faible, il suffit, en vertu de la proposition 1.7.6, (a), de montrer que

i_{A}i^{∗}(\underrightarrow{lim}α) ≃ i_{A} \underrightarrow{lim}(i^{∗} ⋆ α) ≃ \underrightarrow{lim}(i_{A}i^{∗} ⋆ α)

l’est. Or, on a un carré commutatif dont les lignes sont des équivalences faibles

\xymatrix{∫ i_{A}i^{∗}F \ar[d]_{∫ i_{A}i^{∗}⋆α} \ar[r]^{K_{i_{A}i^{∗}F}} & \underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}F \ar[d]^{\underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}⋆α} \\ ∫ i_{A}i^{∗}G \ar[r]_{K_{i_{A}i^{∗}G}} & \underrightarrow{lim}i_{A}i^{∗}G & ,}

et il résulte des propositions 1.7.6 et 2.3.1 qu’il en est de même de la flèche verticale de gauche, ce qui prouve l’assertion.

Remarque 2.4.13. — On rappelle qu’un rétracte d’un objet X d’une catégorie M est un objet X′ de M tel qu’il existe des morphismes i : X′ [figure] X et r : X [figure] X′ de M tels que ri = 1_{X′}. L’endomorphisme ir de X est alors un projecteur : (ir)^{2} = ir. Si I désigne la catégorie ayant un seul objet, et un seul morphisme non identique p, tel que p^{2} = p, et F : I [figure] M le foncteur qui envoie l’unique objet de I sur X et la flèche p sur l’endomorphisme ir de X, alors la catégorie I est filtrante, et on a un isomorphisme \underrightarrow{lim}F ≃ X′. On dit qu’une classe d’objets d’une catégorie est stable par rétractes si tout rétracte d’un objet de cette classe appartient aussi à ladite classe. On dit qu’une classe de flèches est stable par rétractes si elle l’est comme classe d’objets de la catégorie des flèches. En vertu de ce qui précède, une classe d’objets ou de flèches qui est stable par limites inductives filtrantes l’est également par rétractes. Il résulte directement de l’axiome de saturation faible d’un localisateur fondamental faible que la classe des catégories asphériques est stable par rétractes. L’assertion (b) de la proposition précédente implique le corollaire suivant.

Corollaire 2.4.14. — Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, alors il est stable par rétractes.

Corollaire 2.4.15. — Soit A une petite catégorie.

(a) Une petite limite inductive filtrante de préfaisceaux asphériques sur A est un préfaisceau asphérique.

(b) Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, alors la partie WÂ = i_{A}^{−1}(W) de Fl(Â) formée des équivalences faibles est stable par petites limites inductives filtrantes, et en particulier par rétractes.

Démonstration. — Le corollaire résulte de la proposition 2.4.12, du corollaire 2.4.14, et de la commutativité du foncteur i_{A} avec les limites inductives.

Lemme 2.4.16. — Soient I un ensemble ordonné filtrant admettant un plus petit élément i_{0}, F, G : I [figure] Cat deux foncteurs, de source l’ensemble ordonné I considéré comme une catégorie, α : F [figure] G un morphisme de foncteurs, et x_{i_{0}} un objet de G(i_{0}). On note x (resp. x_{i}) l’image de x_{i_{0}} dans \underrightarrow{lim}_{I} G (resp. dans G(i), pour i ∈ I). Alors on a un isomorphisme canonique (\underrightarrow{lim}_{I} F)/x ≃ \underrightarrow{lim}_{i∈I}(F (i)/x_{i}).

Démonstration. — Le lemme résulte de la description des limites inductives filtrantes dans Cat et de la commutativité de ces limites avec les limites projectives finies. Les détails sont laissés au lecteur.

Proposition 2.4.17. — a) Une petite limite inductive filtrante de morphismes asphériques de Cat est un foncteur asphérique.

b) Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, alors pour toute petite catégorie C, la classe des flèches de Cat/C qui sont des équivalences faibles localement sur C est stable par petites limites inductives filtrantes.

Démonstration. — Pour montrer l’assertion (a), considérons une petite catégorie filtrante I, deux foncteurs F, G : I [figure] Cat, et un morphisme de foncteurs α : F [figure] G tel que pour tout objet i de I, le morphisme α_{i} : F (i) [figure] G(i) soit un foncteur asphérique. Il s’agit de montrer qu’alors le foncteur \underrightarrow{lim}_{I} α : \underrightarrow{lim}_{I} F [figure] \underrightarrow{lim}_{I} G est aussi asphérique. En vertu du lemme 2.4.5, on peut supposer que I est la catégorie associée à un ensemble ordonné, noté également I. Soit x un objet de \underrightarrow{lim}_{I} G; on veut montrer que la catégorie (\underrightarrow{lim}_{I} F)/x est asphérique. Il existe i_{0} dans I et un objet x_{i_{0}} de G(i_{0}) tel que x soit l’image de x_{i_{0}} par le morphisme canonique. Quitte à remplacer I par le sous-ensemble ordonné de I formé des éléments de I qui sont supérieurs ou égaux à i_{0}, qui est cofinal dans I, on peut supposer que i_{0} est le plus petit élément de I. En vertu du lemme précédent, on a alors un isomorphisme canonique (\underrightarrow{lim}_{I} F)/x ≃ \underrightarrow{lim}_{i∈I}(F (i)/x_{i}), où pour tout i ∈ I, x_{i} désigne l’image de x_{i_{0}} dans G(i).

Comme par hypothèse, pour tout i ∈ I, la catégorie F (i)/x_{i} est asphérique, l’assertion résulte alors de la proposition 2.4.12, (a). Quand le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, l’assertion (b) se démontre de façon analogue, en utilisant la partie (b) de la proposition 2.4.12.

Corollaire 2.4.18. — a) Une petite limite inductive filtrante de morphismes coasphériques de Cat est un foncteur coasphérique.

b) Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, alors pour toute petite catégorie C, la classe des flèches de Cat/C qui sont des équivalences faibles colocalement sur C est stable par petites limites inductives filtrantes.

Démonstration. — Le corollaire s’obtient de la proposition précédente par passage aux catégories opposées (cf. 1.1.25 et 2.1.1).

Corollaire 2.4.19. — Une petite limite inductive filtrante de petites catégories totalement asphériques est totalement asphérique.

Démonstration. — Soient I une petite catégorie filtrante, et F : I [figure] Cat un foncteur à valeurs des catégories totalement asphériques. En vertu de la proposition 1.6.1, pour tout objet i de I, le morphisme diagonal Δ_{F (i)} : F (i) [figure] F (i) × F (i) est asphérique. Or, on vérifie facilement que le foncteur diagonal Δ_{\underrightarrow{lim}_{I} F} : \underrightarrow{lim}_{I} F [figure] \underrightarrow{lim}_{I} F ×\underrightarrow{lim}_{I} F s’identifie à la limite inductive des foncteurs Δ_{F (i)}, et il résulte de la proposition 2.4.17, (a), qu’il est asphérique. Une nouvelle application de la proposition 1.6.1 implique alors que la catégorie \underrightarrow{lim}_{I} F est totalement asphérique.

Corollaire 2.4.20. — Soient (A_{n})_{n∈ℕ} une famille de petites catégories indexée par les entiers naturels, et pour tout n, n ∈ ℕ, u_{n}, v_{n} : A_{n} [figure] A_{n+1} deux morphismes de Cat. On note U et V les foncteurs U, V : ℕ [figure] Cat, de source la catégorie associée à l’ensemble ordonné des entiers naturels, définis par les systèmes de morphismes (u_{n})_{n∈ℕ} et (v_{n})_{n∈ℕ} respectivement. Si pour tout n, n ∈ ℕ, il existe un morphisme de foncteurs α_{n} : u_{n} [figure] v_{n}, alors il existe un diagramme dans Cat

\xymatrix{\underrightarrow{lim}_{ℕ} U \ar[r]^{i} & C \ar[r]^{j} & \underrightarrow{lim}_{ℕ} V \ar[l]_{j}} ,

avec i morphisme asphérique et j morphisme coasphérique. En particulier, i et j sont des équivalences faibles, et les images de \underrightarrow{lim}_{ℕ} U et \underrightarrow{lim}_{ℕ} V dans Hot sont isomorphes.

Démonstration. — Pour tout n, n ∈ ℕ, le morphisme de foncteurs α_{n} : u_{n} [figure] v_{n} définit un foncteur h_{n} : Δ_{1} × A_{n} [figure] A_{n+1} tel que

h_{n}(e_{0} × 1_{A_{n}}) = u_{n}  et  h_{n}(e_{1} × 1_{A_{n}}) = v_{n} ,

où e_{0} et e_{1} désignent les foncteurs de la catégorie ponctuelle vers Δ_{1}, définis respectivement par les objets 0 et 1 de Δ_{1}. On en déduit un diagramme commutatif

\xymatrix{A_{n} \ar[d]_{u_{n}} \ar[r]^{∏_{ℕn}e_{0} × 1_{An}} & ( ∏_{ℕ_{n}} Δ_{1}) × A_{n} \ar[d]^{∏_{ℕ_{n+1}}1_{Δ_{1}} × h_{n}} & A_{n} \ar[d]^{v_{n}} \ar[l]_{∏_{ℕn}e_{1} × 1_{An}} \\ A_{n+1} \ar[r]_{∏_{ℕ_{n+1}} e_{0} × 1_{A_{n+1}}} & ( ∏_{ℕ_{n+1}}Δ_{1}) × A_{n+1} & A_{n+1} \ar[l]^{∏_{ℕ_{n+1}} e_{1} × 1_{A_{n+1}}} & ,}

où pour tout entier k, ℕ_{k} désigne l’ensemble ordonné des entiers naturels supérieurs ou égaux à k, les produits étant ordonnés par l’ordre décroissant des indices. Comme 0 (resp. 1) est un objet initial (resp. final) de Δ_{1}, il résulte de la proposition 1.1.9 (resp. de 1.1.25) que les flèches horizontales de gauche (resp. de droite) sont des morphismes asphériques (resp. coasphériques). Par passage à la limite inductive, on obtient donc en vertu de la proposition 2.4.17, (a), et du corollaire 2.4.18, (a), un diagramme

\xymatrix{\underrightarrow{lim}_{ℕ} U \ar[r]^{i} & C & \underrightarrow{lim}_{ℕ} V \ar[l]_{j}} ,

tel que i soit asphérique et j coasphérique.

Lemme 2.4.21. — Soient (A_{n})_{n∈ℕ} une famille de petites catégories indexée par les entiers naturels, et pour tout n, n ∈ ℕ, I_{n} : A_{n} [figure] A_{n+1} un morphisme de Cat. Si pour tout n, n ∈ ℕ, il existe un décalage sur le foncteur I_{n} (cf. 1.8.5), alors la limite inductive \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} A_{n} (du foncteur I : ℕ [figure] Cat, de source la catégorie associée à l’ensemble ordonné des entiers naturels, défini par le système de morphismes (I_{n})_{n∈ℕ} de Cat) est une catégorie asphérique.

Démonstration. — Soit

\xymatrix{I_{n} \ar[r]^{α_{n}} & D_{n} & K_{n} \ar[l]_{β_{n}}} , n ∈ ℕ ,

un décalage sur le foncteur I_{n}, de sorte que D_{n}, K_{n} : A_{n} [figure] A_{n+1} soient deux foncteurs (K_{n} étant un foncteur constant défini par un objet de A_{n+1}) et α_{n}, β_{n} des morphismes de foncteurs. On note D, K : ℕ [figure] Cat les foncteurs définis par les systèmes de morphismes (D_{n})_{n∈ℕ} et (K_{n})_{n∈ℕ} respectivement. En vertu du corollaire 2.4.20, il existe alors un diagramme dans Cat

\xymatrix{\underrightarrow{lim}_{ℕ}I \ar[r] & C & \underrightarrow{lim}_{ℕ}D \ar[r] \ar[l] & C′ & \underrightarrow{lim}_{ℕ}K \ar[l]}

dont toutes les flèches sont des équivalences faibles. Comme \underrightarrow{lim}_{ℕ} K est une catégorie ponctuelle, cela prouve le lemme.

Proposition 2.4.22. — La catégorie associée à l’ensemble ordonné formé des parties finies non vides, ordonnées par la relation d’inclusion, d’un ensemble dénombrable est une catégorie test faible.

Démonstration. — Soit A la catégorie associée à l’ensemble ordonné formé des parties finies non vides de l’ensemble ℕ des entiers naturels. Pour montrer que A est une catégorie test faible, il suffit, en vertu de la proposition 1.3.9, de prouver que pour toute petite catégorie C admettant un objet final, la catégorie B = A/i_{A}^{∗}(C) est asphérique. La catégorie B est la catégorie associée à l’ensemble ordonné dont les éléments sont les couples (E, p), où E est un sous-ensemble fini non vide de ℕ et p : P^{∗}(E) [figure] C un foncteur, de source la catégorie associée à l’ensemble ordonné des parties non vides de E et de but C, un tel couple (E, p) étant inférieur ou égal à un autre (E′, p′) si E ⊂ E′ et si pour toute partie non vide F de E, p′(F) = p(F). Pour tout entier naturel n, on note B_{n} la sous-catégorie pleine de B formée des couples (E, p) tels que max(E) ⩽ n, et I_{n} : B_{n} [figure] B_{n+1} le foncteur d’inclusion. On a B = \underrightarrow{lim}_{n∈ℕ} B_{n}. Pour montrer que la catégorie B est asphérique, il suffit donc d’après le lemme 2.4.21 de construire pour tout n, n ∈ ℕ, un décalage sur le foncteur I_{n}. On définit un foncteur D_{n} : B_{n} [figure] B_{n+1} en associant à un objet (E, p) de B_{n} l’objet (E∪{n+1}, p′) de B_{n+1}, où p′ : P^{∗}(E ∪ {n + 1}) [figure] C est l’unique foncteur dont la restriction au crible P^{∗}(E) de P^{∗}(E ∪ {n + 1}) est égale à p et dont la restriction au cocrible complémentaire est le foncteur constant de valeur un objet final fixé e_{C} de C (cf. 1.8.10), et en observant que cette application induit une application croissante des ensembles ordonnés sousjacents à B_{n} et B_{n+1}. D’autre part, l’inclusion E ⊂ E ∪ {n + 1} définit un morphisme de foncteurs α_{n} : I_{n} [figure] D_{n}. Enfin, si l’on note b_{n} l’objet ({n + 1}, p_{n}) de B_{n+1}, où p_{n} désigne le foncteur P^{∗}({n+1}) [figure] C associant à l’unique partie non vide du singleton {n + 1} l’objet final e_{C} de C, l’inclusion {n + 1} ⊂ E ∪ {n + 1} définit un morphisme de foncteur β_{n} : b_{n} [figure] D_{n}, où b_{n} désigne aussi le foncteur constant de B_{n} vers B_{n+1} de valeur l’objet b_{n}. On a ainsi défini un décalage

\xymatrix{I_{n} \ar[r]^{α_{n}} & D_{n} & b_{n} \ar[l]_{β_{n}}}

sur I_{n}, ce qui achève la démonstration.

Remarque 2.4.23. — Si le localisateur fondamental faible W n’est pas grossier, alors la catégorie A de la proposition précédente n’est pas une catégorie test. En effet, si a est un objet de A constitué d’un singleton, la catégorie A/a est une catégorie ponctuelle, qui n’est pas une catégorie test pour un tel localisateur (cf. remarque 1.7.26).

Corollaire 2.4.24. — La catégorie Ord des petits ensembles ordonnés, munie des équivalences faibles induites de celles de Cat, est un modélisateur, et l’inclusion canonique Ord [figure] Cat définit un morphisme de modélisateurs

(Ord, W ∩ Fl(Ord)) [figure] (Cat, W) .

Démonstration. — Le corollaire résulte de la proposition précédente, en appliquant le corollaire 1.7.7 à la catégorie A associée à l’ensemble ordonné par inclusion des parties finies non vides d’un ensemble dénombrable, au foncteur asphérique i = i_{A} (cf. exemple 1.7.3), et à M = Ord.

THÉORIE HOMOTOPIQUE ÉLÉMENTAIRE DES CATÉGORIES

3.1. Colimites et extensions de Kan homotopiques

3.1.1. — Pour tout objet I de Cat, on note Cat/I la catégorie des petites catégories au-dessus de I, dont les objets sont les couples formés d’un objet A de Cat et d’un foncteur A [figure] I, et dont les morphismes sont les triangles commutatifs

\xymatrix{A \ar[dr] \ar[rr] &  & A′ \ar[dl] \\  & I & .}

Pour toute flèche w : J [figure] I de Cat, on note

Cat/w : Cat/J [figure] Cat/I

le foncteur défini par

[figure: A; v; A; wv; J; I; .]

Pour toute petite catégorie I, on définit des foncteurs (cf. 2.2.5)

\xymatrix{Cat/I \ar[r]^{Θ_{I}} & \underline{Hom}(I, Cat)} , \xymatrix{\underline{Hom}(I, Cat) \ar[r]^{Θ′_{I}} & Cat/I}
(A, A [figure] I) [figure](i [figure] A/i) ,  F [figure](∫ F, ∫ F  [figure] I) .

Proposition 3.1.2. — Soit w : J [figure] I un foncteur entre petites catégories. Alors

\xymatrix{Cat/J \ar[r]^{Θ_{I}∘Cat/w} & \underline{Hom}(I, Cat)} , \xymatrix{\underline{Hom}(I, Cat) \ar[r]^{Θ′_{J} ∘\underline{Hom}(w,1_{Cat} )} & Cat/J}

est un couple de foncteurs adjoints. En particulier, pour J = I et w = 1_{I}, on obtient que (Θ_{I}, Θ′_{I}) est un couple de foncteurs adjoints.

Démonstration. — On va définir des morphismes d’adjonction ε : Θ_{I} ∘ Cat/w ∘ Θ′_{J} ∘ \underline{Hom}(w, 1_{Cat}) [figure] 1_{\underline{Hom}(I,Cat)} ,

η : 1_{Cat/J} [figure] Θ′_{J} ∘ \underline{Hom}(w, 1_{Cat}) ∘ Θ_{I} ∘ Cat/w ,

et on va laisser le soin au lecteur de vérifier les relations d’adjonction.

a) Définition de ε. Soit F : I [figure] Cat un foncteur. Définissons un morphisme fonctoriel ε_{F}, autrement dit, pour tout objet i de I, un foncteur

ε_{F,i} : (∫ F w) / i [figure] F (i) ,

fonctoriel en i. Les objets de la catégorie (∫ F w)/i sont les triplets (j, a, p : w(j) [figure] i), où j est un objet de J, a un objet de F w(j), et p une flèche de I. Un morphisme de (∫ F w)/i, de source (j, a, p : w(j) [figure] i) et de but (j′, a′, p′ : w(j′) [figure] i), est un couple (l, f), où l : j [figure] j′ est une flèche de J, f : F w(l)(a) [figure] a′ une flèche de F w(j′), telles que

\xymatrix{w(j) \ar[rr]^{w(l)} \ar[dr]_{p} & & w(j′) \ar[dl]^{p′} \\ & i} p = p′w(l) .

On définit le foncteur ε_{F,i} par

\begin{matrix}ε_{F,i}(j, a, p : w(j) [figure] i) = F (p)(a) , \\ ε_{F,i}(l, f) = F (p′)(f) : F (p′)F w(l)(a) = F (p)(a) [figure] F (p′)(a′) . \end{matrix}

On laisse le soin au lecteur de vérifier la compatibilité à la composition et aux identités, ainsi que la fonctorialité en i et en F.

b) Définition de η. Soit (A, v : A [figure] J) un objet de Cat/J. Définissons un foncteur, au-dessus de J,

η_{A,v} : A [figure] ∫ G ,

où

G : J [figure] Cat

désigne le foncteur

j [figure] A/w(j) .

Les objets de ∫ G sont les triplets (j, a, p : wv(a) [figure] w(j)), où j est un objet de J, a un objet de A, et p une flèche de I. Un morphisme de (j, a, p : wv(a) [figure] w(j)) vers (j′, a′, p′ : wv(a′) [figure] w(j′)) est un couple (l, f), où l : j [figure] j′ est une flèche de J, f : a [figure] a′ une flèche de A, telles que le carré

\xymatrix{wv(a) \ar[r]^{wv(f)} \ar[d]_{p} & wv(a′) \ar[d]^{p′} \\ w(j) \ar[r]_{w(l)} & w(j′)}

soit commutatif. Pour tout objet a de A, on définit

η_{A,v}(a) = (v(a), a, 1_{wv(a)} : wv(a) [figure] wv(a)) ,

et pour toute flèche f : a [figure] a′ de A,

η_{A,v}(f) = (v(f), f) : (v(a), a, 1_{wv(a)}) [figure] (v(a′), a′, 1_{wv(a′)}).

On vérifie facilement la compatibilité à la composition et aux identités, ainsi que la fonctorialité en (A, v).

Dans la suite, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

3.1.3. — Soit I une petite catégorie. On note W_{I} la partie de Fl(\underline{Hom}(I, Cat)) formée des équivalences faibles argument par argument, autrement dit, des morphismes de foncteurs α : F [figure] F′

[figure: I; F′; F; α; Cat]

tels que pour tout i, i ∈ Ob(I), α_{i} soit dans W. On note W′_{I} la partie de Fl(Cat/I) formée des foncteurs qui sont des équivalences faibles localement sur I, autrement dit, des morphismes

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} & & A′ \ar[dl]^{v′} \\ & I} v = v′u

de Cat/I tels que pour tout i, i ∈ Ob(I), le foncteur u/i : A/i [figure] A′/i, induit par u, soit une équivalence faible.

Théorème 3.1.4. — Pour toute petite catégorie I, on a

W′_{I} = Θ_{I}^{−1}(W_{I}) , W_{I} = Θ′_{I}^{−1}(W′_{I})

et les foncteurs

\overline{Θ}_{I} : W′_{I}^{−1}Cat/I [figure] W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat)

et

\overline{Θ′_{I}} : W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat) [figure] W′_{I}^{−1}Cat/I ,

induits par Θ_{I} et Θ′_{I} respectivement, sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre.

Démonstration. — L’égalité W′_{I} = Θ_{I}^{−1}(W_{I}) est évidente. Comme (Θ_{I}, Θ′_{I}) est un couple de foncteurs adjoints (3.1.2), il suffit en vertu du lemme 1.3.8, de montrer que pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme d’adjonction

ε_{F} : Θ_{I}Θ′_{I}(F) [figure] F

est une équivalence faible argument par argument. Or, on a vu au cours de la démonstration de la proposition 3.1.2 que pour tout objet i de I, le morphisme ε_{F,i} est le foncteur

(∫ F ) / i [figure] F (i)

défini par

\begin{matrix}ε_{F,i}(i′, a, p : i′  [figure] i) = F (p)(a) , \\ ε_{F,i}((i′, a, p : i′  [figure] i) [figure: (k,f)] (i′′, a′, p′ : i′′  [figure] i)) = F (p′)(f) . \end{matrix}

On définit un foncteur

α_{F,i} : F (i) [figure] (∫ F)/i

par

\begin{matrix}α_{F,i}(a) = (i, a, 1_{i} : i [figure] i) , a ∈ Ob(F (i)) , \\ α_{F,i}(f) = (1_{i}, f) , f ∈ Fl(F (i)) . \end{matrix}

On vérifie facilement que (ε_{F,i}, α_{F,i}) forme un couple de foncteurs adjoints. On en déduit que ε_{F,i} est asphérique (1.1.9), et en particulier une équivalence faible, ce qui achève la démonstration du théorème.

Dans la suite, on suppose que le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental.

Lemme 3.1.5. — Soit w : J [figure] I un morphisme de Cat. Alors

\underline{Hom}(w, 1_{Cat})(W_{I}) ⊂ W_{J}  et  (Cat/w)(W′_{J}) ⊂ W′_{I} .

Démonstration. — La première inclusion est évidente. Pour montrer la deuxième, considérons un morphisme u

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & A′ \ar[dl]^{v′} \\  & J \ar[d]^{w} \\  & I}

de Cat/J qui est une équivalence faible localement sur J. Il s’agit de montrer qu’il est une équivalence faible localement sur I, autrement dit, que pour tout objet i de I, le foncteur u/i : A/i [figure] A′/i est une équivalence faible. On a un triangle commutatif

\xymatrix{A/i \ar[rr]^{u/i} \ar[dr]_{v/i} &  & A′/i \ar[dl]^{v′/i} \\  & J/i &  & ,}

et pour tout objet (j, k : w(j) [figure] i) de J/i, on a des isomorphismes canoniques

(A/i)/(j, k) ≃ A/j , (A′/i)/(j, k) ≃ A′/j ,

et (u/i)/(j, k) s’identifie à u/j qui est par hypothèse une équivalence faible. Le foncteur u/i est donc une équivalence faible localement sur J/i, ce qui prouve qu’il est une équivalence faible.

3.1.6. — En vertu du lemme précédent, pour toute flèche w : J [figure] I de Cat, le foncteur

\underline{Hom}(w, 1_{Cat}) : \underline{Hom}(I, Cat) [figure]\underline{Hom}(J, Cat)

induit un foncteur

w^{∗} : W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat) [figure] W_{J}^{−1} \underline{Hom}(J, Cat) ,

et le foncteur

Cat/w : Cat/J [figure] Cat/I

un foncteur

\overline{Cat/w} : W′_{J}^{−1}Cat/J [figure] W′_{I}^{−1}Cat/I .

Pour toute petite catégorie I, on pose

Hot(I) = Hot_{W}(I) = W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat)

(de sorte que si I = e, Hot(e) = W_{e}^{−1} \underline{Hom}(e, Cat) ≃ W^{−1}Cat = Hot (cf. 1.3.2)). Pour tout morphisme w : J [figure] I de Cat, on a donc défini un foncteur

w^{∗} : Hot(I) [figure]Hot(J) .

On définit un foncteur

w_{!} : Hot(J) [figure]Hot(I)

en posant

w_{!} = \overline{Θ}_{I} ∘ \overline{Cat/w} ∘ \overline{Θ′_{J}} .

Théorème 3.1.7. — Pour tout morphisme w : J [figure] I de Cat, les foncteurs

w_{!} : Hot(J) [figure]Hot(I) , w^{∗} : Hot(I) [figure]Hot(J)

forment un couple de foncteurs adjoints.

Démonstration. — Il résulte de la proposition 3.1.2, du théorème 3.1.4, et des lemmes 3.1.5 et 2.1.6 que le couple de foncteurs (\overline{Θ}_{I} ∘ \overline{Cat/w} , \overline{Θ′_{J}} ∘ w^{∗})

\xymatrix{W′_{J}^{−1}Cat/J \ar[r]^{\overline{Cat/w}} & W′_{I}^{−1}Cat/I \ar[r]^{^{\overline{Θ}^{I}}} & W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat) = Hot(I)}
\xymatrix{W_{I}^{−1} \underline{Hom}(I, Cat) = Hot(I) \ar[r]^{w^{∗}} & Hot(J) = W_{J}^{−1} \underline{Hom}(J, Cat) \ar[r]^{\overline{Θ′_{J}}} & W′_{J}^{−1}Cat/J}

est un couple de foncteurs adjoints. Comme en vertu du théorème 3.1.4, \overline{Θ}_{J} et \overline{Θ′_{J}} sont des équivalences de catégories quasi-inverses l’une de l’autre, w^{∗} ≃ \overline{Θ}_{J} ∘(\overline{Θ′_{J}} ∘w^{∗}) est un adjoint à droite de (\overline{Θ}_{I} ∘ \overline{Cat/w}) ∘ \overline{Θ′_{J}} = w_{!}, ce qui prouve le théorème.

Corollaire 3.1.8. — Soit \xymatrix{J \ar[r]^{w} & J′ \ar[r]^{w′} & J′′} dans Cat. Alors on a un isomorphisme de foncteurs (w′w)_{!} ≃ w′_{!}w_{!}.

Démonstration. — Le corollaire résulte immédiatement du théorème 3.1.7 et de l’isomorphisme évident (w′w)^{∗} ≃ w^{∗}w′^{∗}.

Exemple 3.1.9. — Soit J une petite catégorie. On note

γ_{J} : \underline{Hom}(J, Cat) [figure] W_{J}^{−1} \underline{Hom}(J, Cat) = Hot(J)

le foncteur de localisation (de sorte que si J = e,

γ_{e} : Cat ≃ \underline{Hom}(e, Cat) [figure] W_{e}^{−1} \underline{Hom}(e, Cat) ≃ W^{−1}Cat = Hot

s’identifie au foncteur de localisation canonique γ : Cat [figure] Hot (cf. 1.3.2)). On note p_{J} : J [figure] e l’unique foncteur de J vers la catégorie ponctuelle. On vérifie immédiatement que pour tout foncteur F : J [figure] Cat, on a

(p_{J})_{!}γ_{J}(F) ≃ γ(∫ F) .

En particulier, si A est une petite catégorie, et F le foncteur constant de valeur A

F : j [figure] A , j ∈ Ob(J) ,

alors

(p_{J})_{!}γ_{J}(F) ≃ γ(J × A) ,

autrement dit,

(p_{J})_{!}p_{J}^{∗}γ(A) ≃ γ(J × A) .

Ainsi, en vertu de la proposition 2.1.9, le foncteur

(p_{J})_{!}p_{J}^{∗} : Hot [figure] Hot

s’identifie au foncteur γ(J) × ? , produit par γ(J) dans Hot.

On suppose, dans la suite, que le localisateur fondamental W est fortement saturé.^{(5)}

Proposition 3.1.10. — Soit w : J [figure] I un morphisme de Cat.

(a) Pour que w soit une équivalence faible, il faut et il suffit que le morphisme de

foncteurs

(p_{J})_{!}p_{J}^{∗} ≃ (p_{I})_{!}w_{!}w^{∗}p_{I}^{∗} [figure] (p_{I})_{!}p_{I}^{∗} ,

défini par le morphisme d’adjonction, soit un isomorphisme.

(5) En fait, on démontre que, conformément à une conjecture de Grothendieck [14], tout localisateur fondamental est fortement saturé [10].

(b) Pour que w soit asphérique, il faut et il suffit que le morphisme de foncteurs

w_{!}p_{J}^{∗} ≃ w_{!}w^{∗}p_{I}^{∗} [figure] p_{I}^{∗} ,

défini par le morphisme d’adjonction, soit un isomorphisme.

Démonstration. — a) Pour toute petite catégorie A, le morphisme

γ(J × A) ≃ (p_{J})_{!}(p_{J})^{∗}γ(A) [figure] (p_{I})_{!}(p_{I})^{∗}γ(A) ≃ γ(I × A)

n’est autre que γ(w × 1_{A}), qui est un isomorphisme si et seulement si w × 1_{A} est une équivalence faible (puisque W est fortement saturé). L’assertion (a) résulte donc de 2.1.3.

b) Pour toute petite catégorie A, w_{!}p_{J}^{∗}γ(A) (resp. p_{I}^{∗}γ(A)) est l’image par γ_{I} du foncteur i [figure] (J ×A)/i ≃ J/i×A (resp. du foncteur constant i [figure] A), i ∈ Ob(I), et le morphisme w_{!}p_{J}^{∗}γ(A) [figure] p_{I}^{∗}γ(A) est l’image par γ_{I} du morphisme de foncteurs défini par la deuxième projection J/i × A [figure] A. L’assertion (b) résulte donc de 1.1.4.

Remarque 3.1.11. — Les assertions (a) et (b) de la proposition 3.1.10 admettent la généralisation commune suivante : Soit

\xymatrix{J \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{w} & & J′ \ar[dl]^{w′} \\ & I} w = w′u

un triangle commutatif de Cat. Pour que le morphisme u soit une équivalence faible localement sur I, il faut et il suffit que le morphisme de foncteurs

w_{!}p_{J}^{∗} ≃ w′_{!}u_{!}u^{∗}p_{J′}^{∗} [figure] w′_{!}p_{J′}^{∗} ,

défini par le morphisme d’adjonction, soit un isomorphisme. En effet, pour toute petite catégorie A, le morphisme w_{!}p_{J}^{∗}γ(A) [figure] w′_{!}p_{J′}^{∗}γ(A) de Hot(I) s’identifie à l’image par γ_{I} du morphisme de foncteurs

i [figure] u/i × 1_{A} : J/i × A [figure] J′/i × A , i ∈ Ob(I) ,

et l’assertion résulte de 2.1.3.

Exemple 3.1.12. — Si W est le localisateur fondamental W_{0} des exemples 1.1.32 et 2.1.2, on vérifie facilement que le foncteur π_{0} induit une identification de la catégorie Hot(I) = Hot_{W_{0}}(I) à la catégorie \underline{Hom}(I, Ens) des foncteurs de I vers la catégorie des ensembles. Pour toute flèche u : I [figure] J de Cat, le foncteur u^{∗} : Hot(J) [figure]Hot(I) s’identifie au foncteur

\underline{Hom}(J, Ens) [figure]\underline{Hom}(I, Ens) , F [figure] F u ,

et le foncteur u_{!} : Hot(I) [figure]Hot(J) à l’adjoint à gauche du précédent (l’extension de Kan à gauche classique). En particulier, pour toute petite catégorie I, et tout foncteur F : I [figure] Ens, l’image de F par (p_{I})_{!} s’identifie à la limite inductive \underrightarrow{lim}_{I} F de F.

Remarque 3.1.13. — Soit I une petite catégorie, et considérons les foncteurs

\xymatrix{Cat/I \ar[r]^{Ξ_{I}} & \underline{Hom}(I^{∘}, Cat)} , \xymatrix{\underline{Hom}(I^{∘}, Cat) \ar[r]^{Ξ′_{I}} & Cat/I}
(A, A [figure] I) [figure](i [figure] i\A) ,  F [figure](∇F, ∇F  [figure] I)

(voir 2.2.6). Il résulte aussitôt de la proposition 3.1.2, et de la commutativité du diagramme 2.2.6.1 que (Ξ_{I}, Ξ′_{I}) est un couple de foncteurs adjoints. On note W′′_{I} la partie de Fl(Cat/I) formée des foncteurs qui sont des équivalences faibles colocalement sur I, autrement dit, des morphismes

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} & & A′ \ar[dl]^{v′} \\ & I} v = v′u

de Cat/I tels que pour tout i, i ∈ Ob(I), le foncteur i\u : i\A [figure] i\A′, induit par u, soit une équivalence faible. Il résulte alors du théorème 3.1.4, de la proposition 1.1.22, et de la commutativité du diagramme 2.2.6.1 qu’on a

W′′_{I} = Ξ_{I}^{−1}(W_{I^{∘}}) , W_{I^{∘}} = Ξ′_{I}^{−1}(W′′_{I}) ,

et que les foncteurs

\overline{Ξ}_{I} : W′′_{I}^{−1}Cat/I [figure] W_{I^{∘}}^{−1} \underline{Hom}(I^{∘}, Cat) = Hot(I^{∘})

et

\overline{Ξ′_{I}} : Hot(I^{∘}) = W_{I^{∘}}^{−1} \underline{Hom}(I^{∘}, Cat) [figure] W′′_{I}^{−1}Cat/I ,

induits par Ξ_{I} et Ξ′_{I} respectivement, sont des équivalences de catégories quasiinverses l’une de l’autre. De même, le lemme 3.1.5 implique que pour tout morphisme w : J [figure] I de Cat, on a l’inclusion (Cat/w)(W′′_{J}) ⊂ W′′_{I}, et par suite, que le foncteur Cat/w induit un foncteur

\overline{Cat/w} : W′′_{J}^{−1}Cat/J [figure] W′′_{I}^{−1}Cat/I .

Enfin, il résulte facilement des considérations des numéros 1.1.18 à 1.1.21, et de la commutativité du diagramme 2.2.6.1 que pour tout morphisme w : J [figure] I de Cat, le foncteur composé \overline{Ξ}_{I^{∘}} ∘ \overline{Cat/w^{∘}} ∘ \overline{Ξ′_{J^{∘}}}

\xymatrix{Hot(J) \ar[r]^{\overline{Ξ′_{J^{∘}}}} & W′′_{J^{∘}}^{−1}Cat/J^{∘} \ar[r]^{\overline{Cat/w^{∘}}} & W′′_{I^{∘}}^{−1}Cat/I^{∘} \ar[r]^{^{\overline{Ξ}^{I^{∘}}}} & Hot(I)}

est canoniquement isomorphe au foncteur w_{!}.

3.2. Morphismes propres, lisses

Dans ce paragraphe, on se fixe, une fois pour toutes, un localisateur fondamental faible W.

Définition 3.2.1. — On dit qu’un morphisme u : A [figure] B de Cat est W-propre, ou plus simplement propre, si pour tout objet b de B, le morphisme canonique

i_{b} : A_{b}  [figure] A/b ,  a [figure] (a, 1_{b} : u(a) [figure] b) , a ∈ Ob(A_{b}) ,

est coasphérique. On dit que u est W-lisse, ou plus simplement lisse, si le morphisme u^{∘} : A^{∘} [figure] B^{∘} est propre, autrement dit, si pour tout objet b de B, le morphisme canonique

j_{b} : A_{b}  [figure] b\A ,  a [figure] (a, 1_{b} : b [figure] u(a)) , a ∈ Ob(A_{b}) ,

est asphérique.

Exemple 3.2.2. — Il résulte de 1.1.16 et 1.1.25 qu’une précofibration est un morphisme propre. Dualement, une préfibration est un morphisme lisse. En particulier, une immersion ouverte (morphisme de Cat isomorphe à l’inclusion d’un crible) est un morphisme lisse, et une immersion fermée (morphisme isomorphe à l’inclusion d’un cocrible) est un morphisme propre.

Proposition 3.2.3. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est propre ;

(b) pour tout objet a de A, les fibres du morphisme

a\A [figure] b\B , b = u(a) ,

induit par u, sont asphériques ;

(c) pour tout morphisme B′ = Δ_{1} [figure] B de Cat, si l’on forme le carré cartésien

\xymatrix{A′ = & A ×_{B} B′ \ar[r] \ar[d] & A \ar[d] \\  & B′ \ar[r] & B & ,}

l’inclusion A′_{1} [figure] A′, de la fibre de A′ au-dessus de l’objet 1 de B′ = Δ_{1}, est un morphisme coasphérique ;

(d) pour toute flèche f_{0} : b_{0} [figure] b_{1} de B, et tout objet a_{0} de A_{b_{0}}, la catégorie A(a_{0}, f_{0}) dont les objets sont les flèches f : a_{0} [figure] a de source a_{0} qui relèvent f_{0} (u(f) = f_{0}), et dont les morphismes sont les triangles commutatifs

\xymatrix{ & a_{0} \ar[dl]_{f} \ar[dr]^{f′} \\ a \ar[rr]_{g} &  & a′ & ,}

avec g morphisme de A_{b_{1}} (u(g) = 1_{b_{1}}), est asphérique.

Démonstration. — L’équivalence de (a), (b) et (d) est un simple exercice de traduction laissé au lecteur. Montrons l’équivalence de (c) et (d). La donnée d’une flèche f_{0} : b_{0} [figure] b_{1} de B équivaut à celle d’un foncteur Δ_{1} [figure] B comme dans (c), et affirmer, avec les notations de (c), que A′_{1} [figure] A′ est coasphérique, c’est affirmer que pour tout objet a′ de A′, la catégorie a′\A′_{1} est asphérique. Si a′ ∈ Ob(A′_{1}), cela est vrai sans hypothèse sur u (puisque alors a′\A′_{1} admet un objet initial, et par suite est asphérique (1.1.11)). Il suffit donc de le vérifier pour a′ dans A′ − A′_{1} = A′_{0} ≃ A_{b_{0}}. Mais alors a′ s’identifie à un objet a_{0} de A_{b_{0}}, et on vérifie que a′\A′_{1} est isomorphe à la catégorie A(a_{0}, f_{0}) de (d). Cela achève la démonstration.

Corollaire 3.2.4. — Les morphismes propres sont stables par changement de base, autrement dit, pour tout carré cartésien dans Cat

\xymatrix{A′ \ar[d]_{u′} \ar[r] & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r] & B & ,}

si u est propre, il en est de même de u′.

Démonstration. — Le corollaire résulte de la proposition 3.2.3, puisque la condition (c) est stable par changement de base.

Remarque 3.2.5. — Il résulte de la condition (d) de la proposition 3.2.3 et de la proposition 1.1.30 que si le localisateur fondamental faible W n’est pas trivial, alors un morphisme propre u : A [figure] B est un morphisme fermé, autrement dit, l’image par u de tout fermé de Ob(A) (ensemble d’objets d’un cocrible de A) est un fermé de Ob(B). En particulier, on se gardera de croire qu’une équivalence de catégories soit toujours un morphisme propre. On vérifie facilement qu’elle est propre si et seulement si elle induit une surjection sur les objets (si W est non trivial).

Proposition 3.2.6. — Soit u : A [figure] B un morphisme propre de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est à fibres asphériques ;

(b) u est asphérique ;

(c) u est universellement asphérique, autrement dit, il est asphérique et le reste après tout changement de base ;

(d) u est universellement dans W.

Démonstration. — Le morphisme u étant propre, pour tout objet b de B, le morphisme canonique A_{b} [figure] A/b est coasphérique, et en particulier une équivalence faible, ce qui montre l’équivalence des conditions (a) et (b). Comme être propre à fibres asphériques est, en vertu du corollaire 3.2.4, une propriété stable par changement de base, ceci prouve aussi l’équivalence de (a) et (c). Les implications (c) ⇒ (d) et (d) ⇒ (a) étant évidentes, cela achève la démonstration.

Lemme 3.2.7. — Soient u : A [figure] B un morphisme de Cat, a un objet de A, et b = u(a). Si le morphisme u est propre, il en est de même du morphisme a\A [figure] b\B, induit par u.

Démonstration. — En vertu de la condition (b) de la proposition 3.2.3, il suffit de montrer que pour tout objet (a′ , f : a [figure] a′) de a\A, le morphisme (a′, f)\(a\A) [figure] (b′, g)\(b\B), où (b′, g) = (u(a′), u(f)), est à fibres asphériques. Or ce morphisme s’identifie au morphisme a′\A [figure] b′\B, induit par u, qui est à fibres asphériques, en vertu de la condition (b) de la proposition 3.2.3, puisque le morphisme u est propre.

Proposition 3.2.8. — Soient u : A [figure] B un morphisme propre de Cat, a un objet de A, et b = u(a). Alors le morphisme a\A [figure] b\B, induit par u, est universellement dans W.

Démonstration. — Il résulte de la condition (b) de la proposition 3.2.3 que le morphisme a\A [figure] b\B est à fibres asphériques, et du lemme précédent qu’il est propre. L’assertion résulte donc de la proposition 3.2.6.

Proposition 3.2.9. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Si u est propre, alors u est colocalement coasphérique (cf. 1.1.25).

Démonstration. — Cela résulte aussitôt de la proposition 3.2.8, puisqu’un morphisme de Cat universellement dans W est en particulier coasphérique.

Proposition 3.2.10. — Les morphismes propres sont stables par composition.

Démonstration. — Soit \xymatrix{A \ar[r]^{u} & B \ar[r]^{v} & C} dans Cat, avec u, v propres. Formons le diagramme

\xymatrix{A′ \ar[r] \ar[d] & a\A \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r] \ar[d] & b\B \ar[r] \ar[d] & B \ar[d]^{v} \\ \{(c′, f)\} \ar@{^{(}->}[r] & c\C \ar[r] & C & ,}

où a est un objet de A, b = u(a), c = v(b) = vu(a), (c′, f : c [figure] c′) un objet de c\C, les deux carrés de gauche étant cartésiens. Comme v est propre, il résulte de la condition (b) de la proposition 3.2.3 que B′ est asphérique. Comme u est propre, il résulte de la proposition 3.2.8 que le morphisme a\A [figure] b\B est universellement dans W. On en déduit que le morphisme A′ [figure] B′ est une équivalence faible, et par suite que A′ est asphérique. Cela prouve que vu est propre en vertu de la condition (b) de la proposition 3.2.3.

Lemme 3.2.11. — Soit

\xymatrix{A′ \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r] & B}

un carré cartésien de Cat. Alors pour tout objet a de A, b = u(a), le carré induit

\xymatrix{a\A′ \ar[r] \ar[d] & a\A \ar[d] \\ b\B′ \ar[r] & b\B}

est cartésien.

Démonstration. — Considérons le cube commutatif

[figure: A′; A; a\A′; a\A; B′; B; b\B′; b\B; .]

La face arrière est cartésienne par hypothèse, et les faces horizontales sont cartésiennes par définition de a\A′ et b\B′. On en déduit que la face avant est cartésienne, ce qui prouve le lemme.

Proposition 3.2.12. — Soient C une petite catégorie,

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr] &  & B \ar[dl] \\  & C}

un morphisme de Cat/C, C′ [figure] C un morphisme propre, et formons le diagramme de changement de base dont les trois carrés sont cartésiens

\begin{matrix}A′ & [figure] & u′ & [figure] & [figure] & [figure] & A & u & [figure] & [figure] & B′ & [figure] & [figure] & [figure] & [figure] & B & [figure] & [figure] & C′ & [figure] & C & . \\ (3.2.12.1) \end{matrix}

Si u est une équivalence faible colocalement sur C, alors u′ est une équivalence faible colocalement sur C′.

Démonstration. — Soient c′ un objet de C′, c son image dans C, et considérons le diagramme induit par le diagramme 3.2.12.1

[figure: c′\A′; c\A; c′\B′; c\B; c′\C′; c\C; .]

En vertu du lemme 3.2.11, les deux carrés contenant c′\C′ [figure] c\C sont cartésiens (le troisième carré l’est donc aussi). Comme C′ [figure] C est propre, il résulte de la proposition 3.2.8 que c′\C′ [figure] c\C est universellement dans W, donc c′\A′ [figure] c\A et c′\B′ [figure] c\B sont des équivalences faibles. Si u est une équivalence faible colocalement sur C, c\A [figure] c\B est une équivalence faible, donc c′\A′ [figure] c′\B′ aussi, ce qui prouve que u′ est une équivalence faible colocalement sur C′.

Corollaire 3.2.13. — L’image inverse d’un morphisme coasphérique par un morphisme propre est coasphérique.

Démonstration. — Le corollaire est un cas particulier de la proposition 3.2.12.

Corollaire 3.2.14. — L’image inverse d’un morphisme colocalement coasphérique par un morphisme propre est colocalement coasphérique.

Démonstration. — Soit

\xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

un carré cartésien de Cat, u étant un morphisme colocalement coasphérique et v un morphisme propre. On vérifie facilement que pour tout objet a′ de A′, le carré induit

[figure: a′\A′; a\A; a = w(a′); b′ = u′(a′); b′\B′; b\B; b = u(a) = v(b′)]

est cartésien. L’assertion résulte donc du lemme 3.2.7 et du corollaire précédent.

Théorème 3.2.15. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est propre ;

(b) pour tout diagramme de carrés cartésiens dans Cat

\xymatrix{A′′ \ar[r]^{w} \ar[d] & A′ \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ B′′ \ar[r]_{v} & B′ \ar[r] & B & ,}

si v est coasphérique, il en est de même de w.

Démonstration. — L’implication (a) ⇒ (b) résulte des corollaires 3.2.4 et 3.2.13. Montrons que (b) implique (a). Pour tout objet b de B, on a un diagramme de carrés cartésiens

\xymatrix{A_{b} \ar[r] \ar[d] & A/b \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ \{b\} \ar[r] & B/b \ar[r] & B & ,}

où l’image de {b} [figure] B/b est l’objet final de B/b. Le morphisme {b} [figure] B/b admet donc un adjoint à gauche, et par suite est coasphérique (1.1.25). L’hypothèse (b) implique alors que A_{b} [figure] A/B est coasphérique, ce qui prouve que u est propre.

Proposition 3.2.16. — Soient C une petite catégorie,

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

un morphisme de Cat/C, avec v et w propres. Si u induit des équivalences faibles dans les fibres au-dessus de C, alors u est une équivalence faible localement sur C, et en particulier, si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, u est une équivalence faible.

Démonstration. — Pour tout objet c de C, on a un carré commutatif

\xymatrix{A_{c} \ar[r]^{u_{c}} \ar[d]_{i_{A}} & B_{c} \ar[d]^{i_{B}} \\ A/c \ar[r]_{u/c} & B/c & ,}

où i_{A} et i_{B} désignent les morphismes canoniques. Comme v et w sont propres, i_{A} et i_{B} sont coasphériques, et en particulier des équivalences faibles. Par hypothèse, u_{c} est une équivalence faible ; on en déduit donc que u/c est une équivalence faible, ce qui prouve la proposition.

Remarque 3.2.17. — La proposition 3.2.16 généralise la partie (a) de la proposition 2.1.10.

Proposition 3.2.18. — Une petite limite inductive filtrante de morphismes propres de Cat est un foncteur propre.

Démonstration. — Soient I une petite catégorie filtrante, F, G : I [figure] Cat deux foncteurs, et α : F [figure] G un morphisme de foncteurs tel que pour tout objet i de I, le morphisme α_{i} : F (i) [figure] G(i) soit un foncteur propre. Il s’agit de montrer qu’alors le morphisme \underrightarrow{lim}_{I} α : \underrightarrow{lim}_{I} F [figure] \underrightarrow{lim}_{I} G est aussi un foncteur propre. En vertu du lemme 2.4.5, on peut supposer que I est la catégorie associée à un ensemble ordonné, noté également I. Soit x un objet de \underrightarrow{lim}_{I} G; on veut montrer que le foncteur canonique (\underrightarrow{lim}_{I} F)_{x} [figure] (\underrightarrow{lim}_{I} F)/x est coasphérique. Il existe i_{0} dans I et un objet x_{i_{0}} de G(i_{0}) tel que x soit l’image de x_{i_{0}} par le morphisme canonique. Quitte à remplacer I par le sous-ensemble ordonné de I formé des éléments de I qui sont supérieurs ou égaux à i_{0}, qui est cofinal dans I, on peut supposer que i_{0} est le plus petit élément de I. Le lemme 2.4.16 et la commutativité des limites inductives filtrantes dans Cat avec les produits fibrés impliquent facilement que le morphisme (\underrightarrow{lim}_{I} F)_{x} [figure] (\underrightarrow{lim}_{I} F)/x s’identifie à la limite inductive des morphismes canoniques F (i)_{x_{i}} [figure] F (i)/x_{i}, où pour tout i ∈ I, x_{i} désigne l’image de x_{i_{0}} dans G(i). Comme par hypothèse, pour tout i ∈ I, le morphisme F (i)_{x_{i}} [figure] F (i)/x_{i} est coasphérique, l’assertion résulte du corollaire 2.4.18, (a).

Remarque 3.2.19. — Toutes les assertions concernant les morphismes propres admettent une version duale relative aux morphismes lisses. En particulier, les morphismes lisses sont stables par changement de base, composition, et limites inductives filtrantes. Un morphisme lisse à fibres asphériques est universellement dans W. Pour qu’un morphisme u de Cat soit lisse, il faut et il suffit que l’image inverse par u d’un morphisme asphérique soit asphérique, et que u conserve cette propriété après tout changement de base. On laisse le soin au lecteur de formuler les versions duales des autres assertions.

3.2.20. — Soient w : J [figure] I un morphisme de Cat, F : I [figure] Cat un foncteur, et posons G = F w : J [figure] Cat. Le morphisme w induit un foncteur

w̃ : ∫ G = ∫ F w [figure] ∫ F ,

défini par

\begin{aligned}w̃(j, a) & = (w(j), a) ,  (j, a) ∈ Ob(∫ G) , \\ w̃(q, f) & = (w(q), f) ,  (q, f) : (j, a) [figure] (j′, a′) ∈ Fl(∫ G) . \end{aligned}

Le foncteur w̃ : ∫ G [figure]∫ F peut être aussi défini par la propriété universelle de ∫ G. Notons

\begin{matrix}l_{i} : F (i) [figure] ∫ F ,  i ∈ Ob(I) , \\ β_{k} : l_{i}  [figure] l_{i′}F (k) ,  k : i [figure] i′ ∈ Fl(I) , \end{matrix}

les foncteurs et morphismes de foncteurs canoniques correspondant au foncteur F (cf. 2.2.3), et définissons

\begin{matrix}l′_{j} = l_{w(j)} : G(j) = F (w(j)) [figure] ∫ F ,  j ∈ Ob(J) , \\ β′_{q} = β_{w(q)} : l′_{j} = l_{w(j)}  [figure] l_{w(j′)}F (w(q)) = l′_{j′}G(q) , q : j [figure] j′ ∈ Fl(J) . \end{matrix}

On vérifie aussitôt qu’on a la relation de cocycle

β′_{q′q} = (β′_{q′} ⋆ G(q))β′_{q} , β′_{1_{j}} = 1_{l′_{j}} ,

pour \xymatrix{j \ar[r]^{q} & j′ \ar[r]^{q′} & j′′} morphismes composables de J, et que w̃ : ∫ G [figure]∫ F est le foncteur défini, grâce à la propriété universelle de ∫ G, par la famille des foncteurs l′_{j}, j ∈ Ob(J), et des morphismes de foncteurs β′_{q}, q ∈ Fl(J), (cf. 2.2.3).

Lemme 3.2.21. — Soient w : J [figure] I un morphisme de Cat, F : I [figure] Cat un foncteur, et posons G = F w : J [figure] Cat. Alors on a un carré cartésien

\xymatrix{∫ G \ar[r]|{w̃} \ar[d]_{θ_{G}} & ∫ F \ar[d]^{θ_{F}} \\ J \ar[r]_{w} & I & ,}

où θ_{G}, θ_{F} désignent les cofibrations associées aux foncteurs G et F respectivement (cf. 2.2.1), et w̃ le foncteur induit par w (cf. 3.2.20).

Démonstration. — Le lemme résulte d’une simple vérification, laissée au lecteur.

Lemme 3.2.22. — Soient u : A [figure] B un morphisme de Cat, et F : A [figure] Cat un foncteur. Pour tout b, b ∈ Ob(B), on a un isomorphisme canonique

(∫ F )/b ≃ ∫ F | A/b ,

où F | A/b désigne le composé de F avec le foncteur canonique A/b [figure] A.

Démonstration. — En vertu du lemme 3.2.21, on a un carré cartésien

\xymatrix{∫ F | A/b \ar[r] \ar[d] & ∫ F \ar[d] \\ A/b \ar[r] & A & ,}

et comme le carré

\xymatrix{A/b \ar[r] \ar[d] & A \ar[d] \\ B/b \ar[r] & B}

est aussi cartésien, il en est de même du carré composé

\xymatrix{∫ F | A/b \ar[r] \ar[d] & ∫ F \ar[d] \\ B/b \ar[r] & B & .}

Le carré

\xymatrix{(∫ F )/b \ar[r] \ar[d] & ∫ F \ar[d] \\ B/b \ar[r] & B}

étant aussi cartésien, le lemme en résulte.

Proposition 3.2.23. — Soit w : J [figure] I un morphisme de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) le morphisme w est coasphérique ;

(b) pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme

∫ F w [figure] ∫ F ,

induit par w, est coasphérique ;

(c) pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme

∫ F w [figure] ∫ F ,

induit par w, est une équivalence faible.

Démonstration. — En vertu du lemme 3.2.21, on a un carré cartésien

\xymatrix{∫ F w \ar[r] \ar[d] & ∫ F \ar[d]^{θ_{F}} \\ J \ar[r]_{w} & I & ,}

et θ_{F} est une cofibration, et en particulier un morphisme propre (3.2.2). L’implication (a) ⇒ (b) résulte donc du corollaire 3.2.13. L’implication (b) ⇒ (c) résulte de 1.1.25. Montrons l’implication (c) ⇒ (a). Soit i un objet de I, et considérons le foncteur F : I [figure] Cat associant à un objet i′ de I la catégorie discrète correspondant à l’ensemble Hom_{I}(i, i′). Alors, en vertu de (c), ∫ F w [figure]∫ F est une équivalence faible, et on vérifie facilement que ∫ F ≃ i\I, que ∫ F w ≃ i\J, et que la flèche ∫ F w [figure]∫ F s’identifie au morphisme i\w : i\J [figure] i\I, induit par w, ce qui prouve que w est coasphérique, et achève la démonstration.

Le corollaire suivant complète la proposition 3.1.10.

Corollaire 3.2.24. — Supposons que le localisateur fondamental faible W soit un localisateur fondamental, et qu’il soit fortement saturé.^{(6)} Soit w : J [figure] I un morphisme de Cat. Pour que w soit coasphérique, il faut et il suffit que le morphisme de foncteurs

(p_{J})_{!}w^{∗} ≃ (p_{I})_{!}w_{!}w^{∗} [figure] (p_{I})_{!} ,

défini par le morphisme d’adjonction, soit un isomorphisme.

Démonstration. — Pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme

γ(∫ F w) ≃ (p_{J})_{!}w^{∗}γ_{I}(F) [figure] (p_{I})_{!}γ_{I}(F) ≃ γ(∫ F )

de Hot(e) ≃ Hot (cf. 3.1.9) s’identifie à γ(w̃), où w̃ : ∫ F w [figure]∫ F désigne le morphisme induit par w. Le corollaire résulte donc de la proposition 3.2.23, et de la forte saturation de W.

Remarque 3.2.25. — La proposition 3.2.23 et le corollaire 3.2.24 admettent une version relative analogue à celle de la proposition 3.1.10 (remarque 3.1.11). Soit

\xymatrix{J \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{w} & & J′ \ar[dl]^{w′} \\ & I} w = w′u

un triangle commutatif dans Cat. Pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le triangle

[figure: ∫ F w; ũ; w̃; ∫ F w′; w′; ∫ F; ,]

où ũ, w̃, w′ désignent les foncteurs induits par u, w et w′ respectivement, est commutatif. On en déduit un diagramme commutatif

[figure: ∫ F w; w̃; ũ; θ_{F w}; J; w; u; ∫ F w′; θ_{F w′}; w′; J′; w′; ∫ F; θ_{F}; I]

(6) Voir note 5, page 144.

dont les faces carrées sont cartésiennes, en vertu du lemme 3.2.21. Il résulte donc de la proposition 3.2.12 que si le morphisme u est une équivalence faible colocalement sur I, alors ũ est une équivalence faible colocalement sur ∫ F. Réciproquement, si pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme ũ : ∫ F w [figure]∫ F w′ est une équivalence faible colocalement sur ∫ F, alors u est une équivalence faible colocalement sur I. En effet, soit i un objet de I, et considérons le foncteur F : I [figure] Cat associant à un objet i′ de I la catégorie discrète correspondant à l’ensemble Hom_{I}(i, i′). Alors le foncteur ũ : ∫ F w [figure]∫ F w′ s’identifie au foncteur i\u : i\J [figure] i\J′, induit par u, et la catégorie ∫ F à la catégorie i\I. Il résulte donc de l’hypothèse que le morphisme i\u est une équivalence faible colocalement sur i\I. En particulier, le morphisme

i\u : i\J ≃ (i, 1_{i})\(i\J) [figure] (i, 1_{i})\(i\J′) ≃ i\J′ ,

où (i, 1_{i}) désigne l’objet initial de i\I, est une équivalence faible, ce qui prouve que le morphisme u est une équivalence faible colocalement sur I. Si le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental, le raisonnement précédent montre aussi que le morphisme u est une équivalence faible colocalement sur I si et seulement si pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme ũ : ∫ F w [figure]∫ F w′ est une équivalence faible. Si de plus W est fortement saturé,^{(7)} cette dernière condition équivaut à affirmer que le morphisme de foncteurs

(p_{J})_{!}w^{∗} ≃ (p_{J′})_{!}u_{!}u^{∗}w′^{∗} [figure] (p_{J′})_{!}w′^{∗} ,

défini par le morphisme d’adjonction, est un isomorphisme (ce qui généralise le corollaire 3.2.24). En effet, on vérifie aussitôt que pour tout foncteur F : I [figure] Cat, le morphisme

γ(∫ F w) ≃ (p_{J})_{!}w^{∗}γ_{I}(F) [figure] (p_{J′})_{!}w′^{∗}γ_{I}(F) ≃ γ(∫ F w)

de Hot(e) ≃ Hot s’identifie au morphisme γ(ũ).

Remarque 3.2.26. — Si W est le localisateur fondamental W_{0} des exemples 1.1.32 et 2.1.2, conformément aux considérations de l’exemple 3.1.12, on retrouve comme cas particulier du corollaire 3.2.24 le résultat classique suivant :

Pour qu’un foncteur entre petites catégories w : J [figure] I soit cofinal, autrement dit, W_{0}-coasphérique (cf. 2.4.2), il faut et il suffit que pour tout foncteur F : I [figure] Ens, de I vers la catégorie des ensembles, l’application canonique \underrightarrow{lim}_{J} F w [figure] \underrightarrow{lim}_{I} F, induite par w, soit bijective.

La remarque 3.2.25 fournit le raffinement suivant, sans doute bien connu :

(7) Voir note 5, page 144.

Pour tout triangle commutatif de foncteurs entre petites catégories

\xymatrix{J \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{w} & & J′ \ar[dl]^{w′} \\ & I} w = w′u ,

les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) pour tout objet i de I, le foncteur i\J [figure] i\J′, induit par u, définit une bijection π_{0}(i\J) [figure] π_{0}(i\J′) ;

(b) pour tout foncteur F : I [figure] Ens, de I vers la catégorie des ensembles, l’application canonique \underrightarrow{lim}_{J} F w [figure] \underrightarrow{lim}_{J′} F w′, induite par u, est bijective.

3.2.27. — Soit u : A [figure] B un foncteur entre petites catégories. Dans la suite de ce paragraphe, on désigne aussi, par abus de notation, par u_{!}, u^{∗} les foncteurs

\xymatrix{\underline{Hom}(A, Cat) \ar[r]^{u_{!}} & \underline{Hom}(B, Cat) , & \underline{Hom}(B, Cat) \ar[r]^{u^{∗}} & \underline{Hom}(A, Cat) ,}
F [figure] (b [figure] (∫ F)/b) G [figure] Gu

u_{!} = Θ_{B} ∘ Cat/u ∘ Θ′_{A} (cf. 3.1.1), u^{∗} = \underline{Hom}(u, 1_{Cat}), de sorte qu’on ait des carrés commutatifs

[figure: \underline{Hom}(A, Cat); u_{!}; γ_{A}; \underline{Hom}(B, Cat); γ_{B}; \underline{Hom}(B, Cat); u^{∗}; γ_{B}; \underline{Hom}(A, Cat); γ_{A}; Hot(A); u_{!}; Hot(B); ,; Hot(B); u^{∗}; Hot(A)]

(cf. 3.1.6, 3.1.9) (le premier uniquement dans le cas où le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental).

3.2.28. — Soit

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

un carré cartésien de Cat. Pour tout foncteur F : A [figure] Cat, on déduit un carré cartésien composé

\xymatrix{∫ F w \ar[r]|{w̃} \ar[d]_{θ_{F w}} & ∫ F \ar[d]^{θ_{F}} \\ A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

(cf. 3.2.21). Pour tout objet b′ de B′, le foncteur w̃ induit un foncteur

(∫ F w)/b′ [figure] (∫ F)/v(b′) ,

et on remarque que

(∫ F w)/b′ = (u′_{!}w^{∗}(F))(b′)  et  (∫ F)/v(b′) = (v^{∗}u_{!}(F))(b′) .

On en déduit un morphisme

κ_{D} : u′_{!}w^{∗} [figure] v^{∗}u_{!}

de \underline{Hom}(\underline{Hom}(A, Cat), \underline{Hom}(B′, Cat)), appelé morphisme de changement de base associé au carré D.

Proposition 3.2.29. — Soit

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

un carré cartésien de Cat, avec u morphisme propre (resp. v morphisme lisse). Alors le morphisme de changement de base κ_{D} : u′_{!}w^{∗} [figure] v^{∗}u_{!} est coasphérique (resp. universellement dans W) argument par argument, autrement dit, pour tout foncteur F : A [figure] Cat, et tout objet b′ de B′,

κ_{D,F} (b′) : (u′_{!}w^{∗}(F))(b′) [figure] (v^{∗}u_{!}(F))(b′)

est coasphérique (resp. universellement dans W), et en particulier, une équivalence faible.

Démonstration. — Cas u propre. En vertu du corollaire 3.2.4, le morphisme u′ est propre aussi, et pour tout objet b′ de B′, on a donc un carré commutatif

\xymatrix{A′_{b′} \ar[r]^{∼} \ar[d] & A_{v(b′)} \ar[d] \\ A′/b′ \ar[r] & A/v(b′)}

dont les flèches verticales sont coasphériques, et la flèche horizontale du haut un isomorphisme, puisque le carré D est cartésien. Pour tout foncteur F : A [figure] Cat, on en déduit un carré commutatif

[figure: ∫ F w|A′_{b′}; ∼; ∫ F |A_{v(b′)}; ∫ F w|A′/b′; ≀; ∫ F |A/v(b′); ≀; (∫ F w)/b′; (∫ F )/v(b′); (u′_{!}w^{∗}(F))(b′); (v^{∗}u_{!}(F))(b′)]

dont les flèches verticales sont des morphismes coasphériques (proposition 3.2.23), et la flèche horizontale du haut un isomorphisme. Il résulte alors de la proposition 1.1.8 (forme duale) que la flèche horizontale du bas est coasphérique, ce qui prouve l’assertion, en vertu du lemme 3.2.22.

Cas v lisse. Soit F : A [figure] Cat un foncteur, et considérons le carré cartésien

\xymatrix{∫ F w \ar[r]|{w̃} \ar[d]_{u′θ_{F w}} & ∫ F \ar[d]^{uθ_{F}} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

(cf. 3.2.28). En vertu du dual du lemme 3.2.11, pour tout objet b′ de B′, on en déduit un carré cartésien

\xymatrix{(∫ F w)/b′ \ar[r]^{κ_{D,F} (b′)} \ar[d] & (∫ F )/v(b′) \ar[d] \\ B′/b′ \ar[r] & B/v(b′) & .}

Comme v est lisse, il résulte de la proposition 3.2.8 (forme duale) que le morphisme B/b′ [figure] B/v(b′), induit par v, est universellement dans W. Il en est donc de même de κ_{D,F} (b′), ce qui achève la démonstration.

3.2.30. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Par abus de notation, on désigne par ∫_{B} A/b la catégorie ∫ F_{u}, où F_{u} est le foncteur F_{u} : B [figure] Cat défini par b [figure] A/b. La catégorie ∫_{B} A/b est la catégorie dont les objets sont les triplets (b, a, f : u(a) [figure] b), a ∈ Ob(A), b ∈ Ob(B), f ∈ Fl(B), un morphisme de (b, a, f) vers (b′, a′, f′) étant un couple (h : b [figure] b′, g : a [figure] a′), g ∈ Fl(A), h ∈ Fl(B), tel que le carré

\xymatrix{u(a) \ar[r]^{u(g)} \ar[d]_{f} & u(a′) \ar[d]^{f′} \\ b \ar[r]_{h} & b′}

soit commutatif. On définit des foncteurs

\begin{matrix}\xymatrix{i_{u} : A \ar[r] & ∫_{B} A/b}  \xymatrix{, & r_{u} : ∫_{B} A/b \ar[r] & A} , \\ a [figure] (u(a), a, 1_{u(a)})  (b, a, f) [figure] a \end{matrix}

et un morphisme de foncteurs

α = α_{u} : i_{u}r_{u}  [figure] 1_{∫_{B}A/b} ,  α_{(b,a,f)} = (f, 1_{a}) : (u(a), a, 1_{u(a)}) [figure] (b, a, f) ,

et on vérifie aussitôt que r_{u}i_{u} = 1_{A}. On en déduit que i_{u} et r_{u} sont des équivalences faibles. On remarque qu’on a u = θ_{F_{u}}i_{u}, où θ_{F_{u}} est le morphisme canonique

θ_{F_{u}} : ∫_{B}A/b = ∫ F_{u} [figure] B .

Le morphisme u se décompose donc en une équivalence faible suivie d’une cofibration. De plus, pour tout carré commutatif de Cat

\xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B & ,}

on a des carrés commutatifs

\xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{i_{u′}} & A \ar[d]^{i_{u}} & ∫_{B′} A′/b′ \ar[d]_{r_{u′}} \ar[r]^{s} & ∫_{B} A/b \ar[d]^{r_{u}} & ∫_{B′} A′/b′ \ar[d]_{θ_{F_{u′}}} \ar[r]^{s} & ∫_{B} A/b \ar[d]^{θ_{Fu}} \\ ∫_{B′} A′/b′ \ar[r]_{s} & ∫_{B} A/b & A′ \ar[r]_{w} & A & B′ \ar[r]_{v} & B & ,}

où s : ∫_{B′} A′/b′ [figure]∫_{B} A/b est le foncteur défini par (b′, a′, f′) [figure] (v(b′), w(a′), v(f′)), ainsi que l’égalité

s ⋆ α_{u′} = α_{u} ⋆ s .

Dans la suite de cette section, jusqu’au paragraphe 3.2.35 inclus, on suppose que le localisateur fondamental faible W est un localisateur fondamental.

Théorème 3.2.31. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est propre ; (b) pour tout diagramme de carrés cartésiens dans Cat

\xymatrix{A′′ \ar[r] \ar[d] & A′ \ar[r] \ar[d] & A \ar[d]^{u} \\ B′′ \ar[r] & B′ \ar[r] & B & ,}

le morphisme de changement de base associé au carré de gauche est une équivalence faible argument par argument.

Démonstration. — L’implication (a) ⇒ (b) résulte du corollaire 3.2.4 et de la proposition 3.2.29. Montrons l’implication (b) ⇒ (a). En vertu du théorème 3.2.15, il suffit de montrer que si

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

est un carré cartésien dont le morphisme de changement de base κ_{D} est une équivalence faible argument par argument, et si v est coasphérique, alors w est coasphérique. Par hypothèse, pour tout foncteur F : A [figure] Cat, et tout objet b′ de B′,

κ_{D,F} (b′) : (u′_{!}w^{∗}(F))(b′) [figure] (v^{∗}u_{!}(F))(b′)

est une équivalence faible, et il résulte de la proposition 2.3.1 que

∫ κ_{D,F} : ∫ u′_{!}w^{∗}(F) [figure]∫ v^{∗}u_{!}(F)

est une équivalence faible. D’autre part, comme v est coasphérique, il résulte de la proposition 3.2.23 que le morphisme

ṽ: ∫ v^{∗}u_{!}(F) = ∫ u_{!}(F)v [figure]∫ u_{!}(F) ,

induit par v, est une équivalence faible, et par suite aussi le composé

ṽ∫ κ_{D,F} : ∫ u′_{!}w^{∗}(F) [figure]∫ u_{!}(F) .

Or, en reprenant l’abus de notation de 3.2.30,

∫ u′_{!}w^{∗}(F) = ∫_{B′}(∫ F w)/b′ , ∫ u_{!}(F) = ∫_{B}(∫ F )/b ,

et on a un carré cartésien

\xymatrix{∫ F w \ar[r]|{w̃} \ar[d]_{u′θ_{F w}} & ∫ F \ar[d]^{uθ_{F}} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

(cf. 3.2.28), d’où un carré commutatif

\xymatrix{∫ F w \ar[r]|{w̃} \ar[d] & ∫ F \ar[d] \\ ∫_{B′}(∫ F w)/b′ \ar[r]_{s} & ∫_{B}(∫ F )/b}

dont les flèches verticales sont des équivalences faibles (cf. 3.2.30). On vérifie facilement que s = ṽ∫ κ_{D,F}, ce qui implique que w̃ est une équivalence faible, et prouve, en vertu de la proposition 3.2.23, que le foncteur w est coasphérique, ce qui achève la démonstration.

Lemme 3.2.32. — Soit

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

un carré cartésien de Cat. On suppose que A est la catégorie ponctuelle e, que B admet un objet initial ∅_{B}, et que le morphisme u est le foncteur e [figure] B défini par cet objet. Alors le morphisme de changement de base κ_{D} : u′_{!}w^{∗} [figure] v^{∗}u_{!} est une équivalence faible argument par argument si et seulement si le foncteur u′ est asphérique.

Démonstration. — Pour toute petite catégorie C, vue comme foncteur de e vers Cat, et tout objet b′ de B′, on a des isomorphismes

(u′_{!}w^{∗}(C))(b′) ≃ (A′×C)/b′ ≃ A′/b′×C , (v^{∗}u_{!}(C))(b′) ≃ Hom_{B}(∅, v(b′))×C ≃ C ,

et le morphisme de changement de base

κ_{D,C}(b′) : (u′_{!}w^{∗}(C))(b′) [figure] (v^{∗}u_{!}(C))(b′)

s’identifie à la projection A′/b′ × C [figure] C, ce qui prouve le lemme, en vertu des propositions 1.1.3 et 1.1.4.

Théorème 3.2.33. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) u est lisse ; (b) pour tout diagramme de carrés cartésiens dans Cat

\xymatrix{A′′ \ar[r] \ar[d] & B′′ \ar[d] \\ A′ \ar[r] \ar[d] & B′ \ar[d] \\ A \ar[r]_{u} & B & ,}

le morphisme de changement de base associé au carré du haut est une équivalence faible argument par argument.

Démonstration. — L’implication (a) ⇒ (b) résulte de la proposition 3.2.29 et de la stabilité des morphismes lisses par changement de base (cf. remarque 3.2.19). Pour montrer l’implication (b) ⇒ (a), soit b un objet de B, et considérons le diagramme de carrés cartésiens de Cat

\xymatrix{A_{b} \ar[r] \ar[d]_{j_{b}} & e \ar[d] \\ b\A \ar[r] \ar[d] & b\B \ar[d] \\ A \ar[r]_{u} & B & ,}

où e [figure] b\B est le foncteur défini par l’objet (b, 1_{b}) de b\B. La condition (b) implique que le morphisme de changement de base associé au carré du haut est une équivalence faible argument par argument, et il résulte donc du lemme précédent que le foncteur j_{b} est asphérique, ce qui prouve l’assertion.

Remarque 3.2.34. — Il résulte aussitôt du lemme 3.2.22 et de la remarque 3.2.25 que si

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

désigne un carré cartésien de Cat, alors le morphisme de changement de base κ_{D} est une équivalence faible argument par argument si et seulement si pour tout objet b′ de B′, le foncteur A′/b′ [figure] A/v(b′), induit par w, est une équivalence faible colocalement sur A.

3.2.35. — En reprenant les notations de 3.1.6, soit

D = \xymatrix{A′ \ar[r]^{w} \ar[d]_{u′} & A \ar[d]^{u} \\ B′ \ar[r]_{v} & B}

un carré cartésien de Cat. On en déduit un carré commutatif

\xymatrix{Hot(A′) & Hot(A) \ar[l]_{w^{∗}} \\ Hot(B′) \ar[u]^{_{u′_{∗}}} & Hot(B) \ar[u]_{u^{∗}} \ar[l]^{v^{∗}} & ,}

les foncteurs u^{∗} et u′^{∗} admettant des adjoints à gauche

u_{!} : Hot(A) [figure]Hot(B)  et  u′_{!} : Hot(A′) [figure]Hot(B′)

respectivement (cf. 3.1.7). On appelle aussi morphisme de changement de base associé au carré cartésien D et on note c_{D} : u′_{!}w^{∗} [figure] v^{∗}u_{!} le morphisme de \underline{Hom}(Hot(A), Hot(B′)), composé des flèches

u′_{!}w^{∗}  [figure] u′_{!}w^{∗}u^{∗}u_{!} = u′_{!}u′^{∗}v^{∗}u_{!}  [figure] v^{∗}u_{!} ,
définies par les morphismes d’adjonction 1_{Hot(A)}  [figure] u^{∗}u_{!} et u′_{!}u′^{∗}  [figure] 1_{Hot(B′)}. On

vérifie facilement que le morphisme c_{D} est induit, par localisation, par le morphisme κ_{D} (cf. 3.2.28), autrement dit, en gardant les notations de 3.1.9, pour tout foncteur F : A [figure] Cat, on a

c_{D,γ_{A}(F)} = γ_{B′}(κ_{D,F}) .

Ainsi, en vertu de la proposition 3.2.29, si u est propre ou v lisse, alors le morphisme c_{D} est un isomorphisme. Il résulte du théorème 3.2.31 (resp. 3.2.33) que cette propriété caractérise les morphismes propres (resp. lisses) si l’on demande qu’elle reste vraie après tout changement de base (pourvu que le localisateur fondamental W soit fortement saturé ^{(8)}).

Ce qui suit est largement et librement inspiré du chapitre VII des Dérivateurs de Grothendieck [15]. On ne suppose plus que le localisateur fondamental faible W soit un localisateur fondamental.

3.2.36. — On note 𝔼 l’ensemble ordonné (ainsi que la catégorie correspondante) dont les éléments sont les entiers relatifs, et dont la relation d’ordre est définie par

p ⪯ q ⟺ (p = q) ou (∃k ∈ ℤ tel que p = 2k et q = 2k ± 1) ,

autrement dit

𝔼 = ⋯ [figure: −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4]· · · .

(8) Voir note 5, page 144.

Pour tout couple p, q d’entiers relatifs tels que p ⩽ q, on note 𝔼_{p,q} le sous-ensemble ordonné de 𝔼 formé des k ∈ ℤ tels que p ⩽ k ⩽ q, muni de la relation d’ordre induite par ⪯.

3.2.37. — Soit C une petite catégorie. Pour tout couple p, q d’entiers relatifs tels que p ⩽ q, on note Ch_{p,q}(C) l’ensemble des foncteurs de 𝔼 vers C correspondant à des diagrammes dans C

⋯ [figure: c_{−4}; f_{−4}; f_{−3}; c_{−3}; c_{−2}; f_{−2}; f_{−1}; c_{−1}; c_{0}; f_{0}; f_{1}; c_{1}; c_{2}; f_{2}; f_{3}; c_{3}; c_{4}; f_{4}; f_{5}]⋯

tels que

c_{i} = c_{p} , f_{i} = 1_{c_{p}} , i ⩽ p ,  et  c_{j} = c_{q} , f_{j} = 1_{c_{q}} , j > q ,

et \underline{Ch}_{p,q}(C) la sous-catégorie (non pleine) de \underline{Hom}(𝔼, C) dont les objets sont les foncteurs appartenant à Ch_{p,q}(C), et les morphismes les transformations naturelles α entre tels foncteurs, satisfaisant aux conditions

α_{i} = α_{p} , i ⩽ p ,  et  α_{j} = α_{q} , j ⩾ q .

La catégorie \underline{Ch}_{p,q}(C) s’identifie de façon évidente à la catégorie \underline{Hom}(𝔼_{p,q}, C) des foncteurs de 𝔼_{p,q} vers C. On définit des foncteurs s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q} : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C en posant

s_{C}^{p,q}(c) = c_{p} , t_{C}^{p,q}(c) = c_{q} , c ∈ Ob \underline{Ch}_{p,q}(C) = Ch_{p,q}(C) ,
s_{C}^{p,q}(α) = α_{p} , t_{C}^{p,q}(α) = α_{q} , α ∈ Fl \underline{Ch}_{p,q}(C) ,

et un foncteur i_{C}^{p,q} : C [figure]\underline{Ch}_{p,q}(C), associant à un objet c de C le foncteur constant de valeur c. On a

s_{C}^{p,q} ∘ i_{C}^{p,q} = 1_{C} = t_{C}^{p,q} ∘ i_{C}^{p,q} .

Lemme 3.2.38. — Soient C une petite catégorie, et p, q deux entiers relatifs impairs tels que p < q. Alors le foncteur

(s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q}) : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C × C

est une cofibration.

Démonstration. — Comme p et q sont impairs et p < q, on a p + 1 ⩽ q − 1, et on peut considérer la catégorie \underline{Ch}_{p+1,q−1}(C) ainsi que le morphisme

(s_{C}^{p+1,q−1}, t_{C}^{p+1,q−1}) : \underline{Ch}_{p+1,q−1}(C) [figure] C × C

de Cat, et définir un foncteur

F : C × C [figure] Cat , (c, c′) [figure]\underline{Ch}_{p+1,q−1}(C)/(c, c′) .

Un objet de \underline{Ch}_{p+1,q−1}(C)/(c, c′) est un triplet formé d’un diagramme dans C de la forme

[figure: c_{p+1}; c_{p+2}; ⋯; c_{q−2}; c_{q−1}]

et de morphismes c_{p+1}  [figure] c et c_{q−1}  [figure] c′ de C. La donnée d’un tel triplet équivaut

à la donnée d’un objet de \underline{Ch}_{p,q}(C) de la forme

[figure: c_{p} = c; c_{p+1}; c_{p+2}] ⋯ [figure: c_{q−2}; c_{q−1}; c_{q} = c′] .

Un morphisme de \underline{Ch}_{p+1,q−1}(C)/(c, c′) correspond à un morphisme de \underline{Ch}_{p,q}(C) de la forme

\xymatrix{c \ar[d]_{α_{p}=1_{c}} & c_{p+1} \ar[r] \ar[l] \ar[d]^{α_{p+1}} & c_{p+2} \ar[d]^{α_{p+2}} & ⋯ \ar[r] \ar[l] & c_{q−2} \ar[d]^{α_{q−2}} & c_{q−1} \ar[l] \ar[r] \ar[d]^{α_{q−1}} & c′ \ar[d]^{α_{q}=1_{c′}} \\ c & c′_{p+1} \ar[r] \ar[l] & c′_{p+2} & ⋯ \ar[r] \ar[l] & c′_{q−2} & c′_{q−1} \ar[l] \ar[r] & c′ & .}

Il est alors facile de vérifier que le foncteur

(s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q}) : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C × C

s’identifie à la cofibration canonique θ_{F} : ∫ F [figure] C × C associée au foncteur F, ce qui prouve le lemme.

Lemme 3.2.39. — Soient C une petite catégorie, et p, q deux entiers relatifs tels que p ⩽ q. Alors les foncteurs

s_{C}^{p,q} : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C  et  t_{C}^{p,q} : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C

ont des fibres contractiles.

Démonstration. — Montrons par exemple l’assertion relative à s_{C}^{p,q}. On raisonne par récurrence sur n = q − p. Si p = q, la catégorie \underline{Ch}_{p,q}(C) s’identifie à C, et le foncteur s_{C}^{p,q} au foncteur identique 1_{C}, ce qui prouve l’assertion dans ce cas. Supposons que q > p, et soit c un objet de C. On a une inclusion évidente i : 𝔼_{p,q−1} [figure] 𝔼_{p,q} admettant une rétraction r, définie par

r(k) = \begin{cases}k ,  p ⩽ k < q , \\ q − 1 ,  k = q , \end{cases}

et un morphisme de foncteurs α entre ir et 1_{𝔼_{p,q}} (de ir vers 1_{𝔼_{p,q}} si q est impair, ou dans l’autre sens si q est pair), induisant l’identité sur 𝔼_{p,q−1}. Vu les identifications \underline{Ch}_{p,q} = \underline{Hom}(𝔼_{p,q}, C) et \underline{Ch}_{p,q−1} = \underline{Hom}(𝔼_{p,q−1}, C), on en déduit des foncteurs

i^{∗} : \underline{Ch}_{p,q}  [figure] \underline{Ch}_{p,q−1}  et  r^{∗} : \underline{Ch}_{p,q−1}  [figure] \underline{Ch}_{p,q}

tels que i^{∗}r^{∗} = 1_{\underline{Ch}_{p,q−1}}, et un morphisme de foncteurs α^{∗} entre r^{∗}i^{∗} et 1_{\underline{Ch}_{p,q}}. On vérifie facilement que ces foncteurs et ce morphisme de foncteurs sont compatibles au passage aux fibres au-dessus de c, définissant ainsi une équivalence d’homotopie entre la fibre de s_{C}^{p,q} au-dessus de c avec celle de s_{C}^{p,q−1}. Comme par hypothèse de récurrence cette dernière est contractile, cela prouve l’assertion. Pour montrer l’assertion relative à t_{C}^{p,q}, on raisonne de façon analogue, ou on la déduit de ce qui précède, en utilisant l’isomorphisme

S : 𝔼_{−q,−p}  [figure] 𝔼_{p,q} ,  k [figure]− k ,

qui induit un isomorphisme S^{∗} : \underline{Ch}_{p,q} [figure] \underline{Ch}_{−q,−p} tel que t_{C}^{p,q} = s_{C}^{−q,−p}S^{∗}.

3.2.40. — Soient C une petite catégorie, et I la partie de ℤ × ℤ formée des couples (p, q) tels que p ⩽ q, munie de la relation d’ordre ⩽ définie par

(p, q) ⩽ (p′, q′) ⟺ p′ ⩽ p et q ⩽ q′ , (p, q) , (p′, q′) ∈ I .

On remarque que I est un ensemble ordonné filtrant, que pour tous (p, q), (p′, q′) ∈ I, si (p, q) ⩽ (p′, q′), alors \underline{Ch}_{p,q}(C) est une sous-catégorie (non pleine, si (p, q) < (p′, q′)) de \underline{Ch}_{p′, q′}(C), et qu’on a alors des triangles commutatifs

\xymatrix{\underline{Ch}_{p,q}(C) \ar@{^{(}->}[rr] \ar[dr]_{(s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q})} &  & \underline{Ch}_{p′, q′}(C) \ar[dl]^{(s_{C}^{p′,q′}, t_{C}^{p′,q′})} &  & C \ar[dr]^{i_{C}^{p′,q′}} \ar[dl]_{i_{C}^{p,q}} \\  & C × C &  & \underline{Ch}_{p,q}(C) \ar@{^{(}->}[rr] &  & \underline{Ch}_{p′, q′}(C) & .}

On note \underline{Ch}_{∞}(C) la sous-catégorie (non pleine) de \underline{Hom}(𝔼, C), réunion filtrante des sous-catégories \underline{Ch}_{p,q}(C), pour (p, q) ∈ I, et Ch_{∞}(C) l’ensemble des objets de \underline{Ch}_{∞}(C), réunion des ensembles Ch_{p,q}(C), de sorte que

Ch_{∞}(C) = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} Ch_{p,q}(C)  et  \underline{Ch}_{∞}(C) = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} \underline{Ch}_{p,q}(C) .

La commutativité des triangles ci-dessus montre aussitôt que les foncteurs

s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q} : \underline{Ch}_{p,q}(C) [figure] C  et  i_{C}^{p,q} : C [figure]\underline{Ch}_{p,q}(C)

définissent par passage à la limite inductive des foncteurs

s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞} : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C  et  i_{C}^{∞} : C [figure]\underline{Ch}_{∞}(C) ,

de sorte que

s_{C}^{∞} = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} s_{C}^{p,q} ,  t_{C}^{∞} = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} t_{C}^{p,q}  et  i_{C}^{∞} = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} i_{C}^{p,q} .

De plus, on a donc s_{C}^{∞} ∘ i_{C}^{∞} = 1_{C} = t_{C}^{∞} ∘ i_{C}^{∞}.

3.2.41. — L’application k [figure] k + 1, k ∈ ℤ, définit un isomorphisme \xymatrix{T : 𝔼^{∘} \ar[r]^{∼} & 𝔼} de la catégorie opposée à 𝔼 avec 𝔼. On en déduit, pour toute petite catégorie C, un isomorphisme de catégories

\xymatrix{\underline{Hom}(𝔼, C) \ar[r]^{T^{∗}}_{∼} & \underline{Hom}(𝔼^{∘}, C) ≃ \underline{Hom}(𝔼, C^{∘})^{∘} .}

On vérifie facilement que cet isomorphisme induit un isomorphisme des sous-catégories \xymatrix{\underline{Ch}_{∞}(C) \ar[r]^{∼} & (\underline{Ch}_{∞}(C^{∘}))^{∘}} , rendant commutatif le diagramme

\xymatrix{\underline{Ch}_{∞}(C) \ar[r]^{∼} \ar[d]_{(s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞})} & (\underline{Ch}_{∞}(C^{∘}))^{∘} \ar[d]^{_{(s_{C^{∘}}^{∞}, t_{C^{∘}}^{∞})_{∘}}} \\ C × C \ar[r]_{=} & _{(C^{∘} × C^{∘})_{∘}} & .}

Proposition 3.2.42. — Pour toute petite catégorie C, le foncteur

(s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞}) : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C × C

est propre et lisse.

Démonstration. — L’ensemble I′ des couples (p, q) appartenant à l’ensemble ordonné I (3.2.40) avec p et q impairs est une partie cofinale de I. On en déduit un isomorphisme

(s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞}) ≃ \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I′}(s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q}) .

Le lemme 3.2.38, l’exemple 3.2.2, et la proposition 3.2.18 impliquent alors que le foncteur (s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞}) est propre. La lissité découle de ce résultat appliqué à la catégorie opposée C^{∘}, et des considérations du paragraphe précédent.

Corollaire 3.2.43. — Pour toute petite catégorie C, les foncteurs

s_{C}^{∞} : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C  et  t_{C}^{∞} : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C

sont propres et lisses.

Démonstration. — Comme les deux projections

\xymatrix{ & C × C \ar[dl] \ar[dr] \\ C &  & C}

sont à la fois des fibrations et des cofibrations, le corollaire résulte de la proposition, et de la stabilité des morphismes propres et des morphismes lisses par composition (3.2.10 et 3.2.19).

Proposition 3.2.44. — Pour toute petite catégorie C, les foncteurs

s_{C}^{∞} : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C  et  t_{C}^{∞} : \underline{Ch}_{∞}(C) [figure] C

ont des fibres asphériques.

Démonstration. — Comme on a

s_{C}^{∞} = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} s_{C}^{p,q}  et  t_{C}^{∞} = \underrightarrow{lim}_{(p,q)∈I} t_{C}^{p,q}

(cf. 3.2.40), la proposition résulte du lemme 3.2.39, de la commutativité des limites inductives filtrantes aux produits fibrés, et des propositions 1.4.19 et 2.4.12, (a).

Théorème 3.2.45. — Tout morphisme de Cat se décompose en une équivalence faible, suivie d’un foncteur propre et lisse.^{(9)} De plus, on peut choisir cette décomposition de sorte que ladite équivalence faible admette une rétraction qui soit un foncteur propre et lisse à fibres asphériques.

Démonstration. — Soit u : A [figure] B un morphisme de Cat, et formons le carré cartésien

\xymatrix{C \ar[r]^{v} \ar[d]_{q} & \underline{Ch}_{∞}(B) \ar[d]^{(s_{B}^{∞}, t_{B}^{∞})} \\ A × B \ar[r]_{u×1_{B}} & B × B & .}

Le foncteur (s_{B}^{∞}, t_{B}^{∞}) étant propre et lisse (3.2.42), il en est de même de q (3.2.4 et 3.2.19). Comme on a l’égalité (u × 1_{B})(1_{A}, u) = (s_{B}^{∞}, t_{B}^{∞})i_{B}^{∞}u, il existe une unique flèche j : A [figure] C telle que

qj = (1_{A}, u)  et  vj = i_{B}^{∞}u .
\xymatrix{A \ar[drr]^{i_{B}^{∞}u} \ar[ddr]_{(1_{A},u)} \ar@{-->}[dr]_{j} \\  & C \ar[r]^{v} \ar[d]_{q} & \underline{Ch}_{∞}(B) \ar[d]^{(s_{B}^{∞}, t_{B}^{∞})} \\  & A × B \ar[r]_{u×1_{B}} & B × B}

On pose

r = pr_{1} ∘ q et p = pr_{2} ∘ q , \xymatrix{A & A × B \ar[l]_{^{pr^{1}}} \ar[r]^{^{pr^{2}}} & B} ,

où pr_{1} et pr_{2} désignent les deux projections. La stabilité des morphismes propres et des morphismes lisses par composition (3.2.10 et 3.2.19) implique que p et r sont propres et lisses. D’autre part, on vérifie aussitôt que le carré

\xymatrix{C \ar[r]^{v} \ar[d]_{r} & \underline{Ch}_{∞}(B) \ar[d]^{s_{B}^{∞}} \\ A \ar[r]_{u} & B}

(9) Cela résulte aussi d’un théorème dû à Denis-Charles Cisinski [10, théorème 5.3.14], utilisant des techniques moins élémentaires.

est cartésien, ce qui implique en vertu de la proposition 3.2.44 que r est à fibres asphériques, et il résulte de la proposition 3.2.6 qu’il est en particulier une équivalence faible. Enfin, on a les égalités

pj = pr_{2} ∘ qj = pr_{2} ∘ (1_{A}, u) = u  et  rj = pr_{1} ∘ qj = pr_{1} ∘ (1_{A}, u) = 1_{A} ,

la deuxième égalité impliquant que j est une équivalence faible, ce qui achève la démonstration.

3.3. Variation du localisateur fondamental faible

Jusqu’à présent, on a en général fixé un localisateur fondamental faible et considéré les notions qui s’en déduise, sans chercher à étudier leur comportement quand on change de localisateur. Dans ce paragraphe, on se fixe deux localisateurs fondamentaux faibles W et W′ tels que W ⊂ W′.

3.3.1. — Par hypothèse toute W-équivalence de Cat est une W′-équivalence. Il découle donc aussitôt des définition que toute petite catégorie W-asphérique est W′-asphérique, et tout morphisme W-asphérique (resp. localement W-asphérique) de Cat est W′-asphérique (resp. localement W′-asphérique). Dualement, tout morphisme W-coasphérique (resp. colocalement W-coasphérique) de Cat est W′-coasphérique (resp. colocalement W′-coasphérique). Si

\xymatrix{A \ar[rr]^{u} \ar[dr]_{v} &  & B \ar[dl]^{w} \\  & C}

est un triangle commutatif de Cat, et si le morphisme u est une W-équivalence localement (resp. colocalement) sur C, alors u est aussi une W′-équivalence localement (resp. colocalement) sur C. Enfin, un morphisme W-propre (resp. W-lisse) de Cat est W′-propre (resp. W′-lisse).

3.3.2. — Soit A une petite catégorie. Une W-équivalence de préfaisceaux sur A est alors une W′-équivalence, et il résulte de ce qui précède qu’un préfaisceau W-asphérique (resp. localement W-asphérique) est W′-asphérique (resp. localement W′-asphérique), et qu’un morphisme W-asphérique de préfaisceaux sur A est W′-asphérique. De même, une W-équivalence locale de préfaisceaux sur A est une W′-équivalence locale.

3.3.3. — Le critère (iii) de la proposition 1.3.9 implique que toute W-catégorie test faible est une W′-catégorie test faible, et par suite aussi que toute W-catégorie test locale (resp. W-catégorie test) est une W′-catégorie test locale (resp. W′-catégorie test). Il résulte des considérations du paragraphe 3.3.2 qu’une catégorie totalement W-asphérique est totalement W′-asphérique. On en déduit que toute W-catégorie test stricte est une W′-catégorie test stricte, et que tout W-contracteur est un W′-contracteur.

3.3.4. — Soient A une petite catégorie, et i : A [figure] Cat un foncteur. Si i est W-asphérique (cf. 1.7.1), alors il est aussi W′-asphérique. En effet, on observe d’abord que pour tout objet a de A, la catégorie i(a) étant W-asphérique, elle est aussi W′-asphérique. Soient A_{0} une W-catégorie test faible (par exemple une des catégories test de l’exemple 1.5.9, ou la catégorie des simplexes Δ (cf. 1.5.13)), et B une petite sous-catégorie pleine de Cat contenant i(A) et i_{A_{0}}(A_{0}), et formée de catégories asphériques. Les foncteurs i et i_{A} se factorisent par B, et on obtient ainsi un diagramme commutatif

\xymatrix{A \ar[r]^{u} \ar[dr]_{i} & B \ar@{^{(}->}[d]^{j} & A_{0} \ar[l]_{u_{0}} \ar[dl]^{i_{A_{0}}} \\  & Cat & .}

Conformément aux considérations du début du paragraphe 1.7.5, la W-asphéricité du foncteur i implique celle du morphisme u de Cat, qui est par suite aussi W′-asphérique (cf. 3.3.1). Ces mêmes considérations du paragraphe 1.7.5 impliquent alors que i est un foncteur W′-asphérique, ce qui prouve l’assertion. On en déduit (cf. 3.3.3) que si i est un W-foncteur test faible (cf. 1.7.11), alors il est aussi un W′-foncteur test faible, et de même si i est un W-foncteur test (resp. test local), il est aussi un W′-foncteur test (resp. test local).

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INDEX DES NOTATIONS

Cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 A/b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 u/b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 A_{b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 A^{∘}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 u^{∘} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 S(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.18 s_{A}, t_{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.18 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.18 S(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.21 b\A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 b\u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 Δ_{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.26 W_{gr} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.31 π_{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.32 W_{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.32 W_{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.33 W_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.34 Â. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 i_{A}, i_{A}^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 ε, η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 WÂ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 eÂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 u^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 λ_{u}, λ, λ_{F}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 ⊠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.11 W^{−1}M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Hot_{W}, Hot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 γ_{W}, γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Hot_{W,A}, Hot_{A}, γ_{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 𝕀 = (I, ∂_{0}, ∂_{1}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 M_{I}, Q_{I} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Ĩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 F (𝕀) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Δ_{1} = (Δ_{1}, e_{0}, e_{1}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 L_{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 𝕃_{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.6 Δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 Δ_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 I_{A}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.17 i^{∗}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 i_{!} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.16 Δ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.23 Δ̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.25 Δ_{⩽n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.27 C^{⋆}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.16 Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.18 Γ_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.18 F ∫ A, B∫ A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.20 [b; (a_{1}, …, a_{m})], [g; f ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.20 H∫ G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.21 I_{a} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.21 C(B, b), C(B, b, F), C(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.22 Θ, Θ′, Θ_{n}, Θ′_{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.23 λ_{C}, m_{C} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.36 \underline{Hom}_{W} (M, N), Hom_{W} (M, N). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 S(u), s_{u}, t_{u}, S(v, w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.11 ∫ F, θ_{F} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 ∫_{I} F, ∫_{i∈Ob(I)} F (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 H_{A}, H_{u} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 l_{i}, β_{k} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 K_{F} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 ∫ α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 ∫_{I} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 ∇_{I}, ∇F, ζ_{F} , ∇α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 (i_{A}F)_{s}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7 Cat/I, Cat/w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Θ_{I}, Θ′_{I} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 W_{I}, W′_{I} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Hot(I), Hot_{W}(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 w^{∗}, w_{!} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6 γ_{J} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 p_{J} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.9 Ens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.12 w̃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.20 u^{∗}, u_{!} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.27 κ_{D}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.28 ∫_{B} A/b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.30 F_{u}, i_{u}, r_{u}, α_{u} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.30 c_{D} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.35 𝔼, 𝔼_{p,q}, ⪯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.36 Ch_{p,q}(C), \underline{Ch}_{p,q}(C), s_{C}^{p,q}, t_{C}^{p,q}, i_{C}^{p,q} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.37 Ch_{∞}(C), \underline{Ch}_{∞}(C), s_{C}^{∞}, t_{C}^{∞}, i_{C}^{∞} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.40

INDEX TERMINOLOGIQUE

asphérique (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 asphérique (foncteur d’une petite catégorie vers Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 asphérique (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 asphérique (morphisme de préfaisceaux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 asphérique (préfaisceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 cartésien (morphisme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 catégorie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.23 catégorie contractile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 catégorie de Segal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.18 catégorie des ensembles simpliciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 catégorie des fractions relativement à une classe de flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 catégorie des simplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 catégorie directe finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.36 catégorie filtrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 catégorie homotopique relative à un localisateur fondamental faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 catégorie pseudo-filtrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 catégorie test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 catégorie test faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 catégorie test locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 catégorie test stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.7 catégorie totalement W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 catégorie W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 centre d’un décalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 centre d’un décalage généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 classe de flèches faiblement saturée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 classe de flèches fortement saturée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 classe de flèches stable par composition transfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.17 classe de flèches stable par rétractes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.13 classe d’objets stable par rétractes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.13 coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 cocartésien (morphisme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 cocrible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.26 cofibration (au sens des catégories cofibrées). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 cofinal (foncteur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 colocalement coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 colocalement W-coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 contracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.17 contractile (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.26 Γ-décalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.24 Γ-décalage strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.24 décalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage cartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 décalage centré sur un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage généralisé cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage généralisé centré sur un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage généralisé scindable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage généralisé scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage généralisé séparant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 décalage centré sur un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage scindable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage séparant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 décalage sur une catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 décalage sur une catégorie adapté à un foncteur vers Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.24 décalage sur une catégorie strictement adapté à un foncteur vers Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.24 décalage sur un foncteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 ensemble ordonné filtrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 ensemble simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.11 ensemble simplicial fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.36 équivalence faible (dans Cat) colocalement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 équivalence faible (dans Cat) localement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 équivalence faible (dans Cat, relativement à un localisateur fondamental faible) . . . . . . . 1.1.2 équivalence faible (de préfaisceaux) localement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 équivalence faible (de préfaisceaux, relativement à un localisateur fondamental faible) 1.2.3 équivalence faible argument par argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 équivalence faible locale (de préfaisceaux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 fibration (au sens des catégories fibrées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 fibre (d’un foncteur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 filtrante (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 filtrant (ensemble ordonné) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 foncteur cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.11 foncteur cocartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.11 foncteur cofinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 foncteur colocalement W-coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 foncteur de coïntégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 foncteur de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 foncteur de localisation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 foncteur d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 foncteur localement W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 foncteur nerf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.18 foncteur test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 foncteur test faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 foncteur test local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 foncteur W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 foncteur W-coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 foncteur W-lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 foncteur W-propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 foncteurs homotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 homotopisme (dans Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.15 𝕀-contractile (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 I-contractile (I classe de segments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 𝕀-équivalence d’homotopie (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 I-équivalence d’homotopie (I classe de segments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 𝕀-homotope de façon élémentaire (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 𝕀-homotope (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 I-homotope (I classe de segments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 𝕀-homotopie (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 I-homotopie (I classe de segments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 𝕀-homotopisme (𝕀 segment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 I-homotopisme (I classe de segments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 immersion fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 immersion ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 lisse (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 localement asphérique (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 localement asphérique (préfaisceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 localement W-asphérique (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.12 localement W-asphérique (préfaisceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 localisateur fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 localisateur fondamental faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 localisateur fondamental faible fortement saturé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 localisateur fondamental grossier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.31 localisateur fondamental trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.29 localisation d’une catégorie par une classe de flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 modélisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 modélisateur fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 morphisme de changement de base associé à un carré cartésien . . . . . . . . . . . . 3.2.28 et 3.2.35 morphisme de décalages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 morphisme de décalages scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 morphisme de décalages généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 morphisme de décalages généralisés scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 morphisme de modélisateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 morphisme de préfaisceaux W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 morphisme de segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 morphisme fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 morphisme quarrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 n-équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.34 nerf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.18 objet de Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.12 objet de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.10 objet nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.18 objet rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.21 précofibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 précontracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.17 préfaisceau localement W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 préfaisceau W-asphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 préfibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.15 produit en couronnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.20 produit en couronnes infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.22 propre (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 pseudo-catégorie test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 pseudo-filtrante (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 pseudo-foncteur test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 quarrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 rétracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.13 scindage d’un décalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 scindage d’un décalage généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 segment de Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.12 segment multiplicatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.9 segment séparant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 totalement asphérique (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 totalement W-asphérique (catégorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 universellement dans une classe de flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 W-asphérique (catégorie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 W-asphérique (foncteur d’une petite catégorie vers Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 W-asphérique (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 W-asphérique (morphisme de préfaisceaux) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 W-asphérique (préfaisceau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 W-catégorie test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 W-catégorie test faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 W-catégorie test locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 W-catégorie test stricte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.7 W-coasphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.25 W-contracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.17 W-équivalence (dans Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 W-équivalence (dans Cat) colocalement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 W-équivalence (dans Cat) localement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 W-équivalence de préfaisceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 W-équivalence de préfaisceaux localement sur une petite catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 W-équivalence locale de préfaisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 W-foncteur test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 W-foncteur test faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 W-foncteur test local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11 W-lisse (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 W-modélisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 W-propre (morphisme de Cat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 W-pseudo-catégorie test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4

INDEX TERMINOLOGIQUE 183

W-pseudo-foncteur test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.11