Introduction à l'Homotopie

Master 2 — 2017/2018

Les cours sont assurés par Grégory Ginot
Sur cette page on trouvera des feuilles d'exercices et des corrigés (non-détaillés en général).

 Le cours a lieu le mardi de 13h45 à 17h,  avec une pause de 15 minutes au milieu, en salle C301, à Paris 13, mardi prochain.

Pour venir à Paris 13, et plus précisément à son institut Galilée où ont lieu les cours,  consulter la page (décrivant l'accès au laboratoire, le bâtiment C est le premier bâtiment sur la droite quand on rentre par l'entrée 2 (en haut de la carte))  .
Pour vérifier la salle voir le Hyperplanning (Rechercher "M2 Mathematiques") ou la page du Master 2. Malheureusement, la salle changera souvent...


Présentation

Le but de ce cours est de donner une introduction à la théorie de l'homotopie moderne et à ses outils et applications. On suivra essentiellement deux exemples, celui, fondateur, des espaces topologiques et celui des complexes (au sens des cours d'algèbre homologique et topologie algébrique).
On présentera l'axiomatique moderne de l'homotopie, les catégories de modèles de Quillen, et on expliquera l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux. On illustrera aussi ces méthodes via l'exemple de l'homotopie rationnelle pour montrer comment les structures multiplicatives des cochaines (singulières ou de De Rham) encodent les espaces à homotopie près.

Contenu

  • Groupes d'homotopie supérieures des espaces topologiques, fibrations de Serre, CW-complexes
  • Complexes de chaines, homotopie des complexes
  • Catégories de modèles
  • Foncteurs de Quillen et dérivés
  • Comparaison des ensembles simpliciaux et espaces topologiques
  • Homotopie rationnelle

Prérequis

Avoir suivi une introduction à la topologie algébrique (homologie singulière, simpliciale ou de De Rham, groupe fondamental) est fortement conseillée. Il pourra être utile d'avoir suivi un cours introductif d'algèbre homologique ou un sur les opérades ou l'algèbre homotopique.

Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on pourra consulter le site :
Analysis Situs - Topologie algébriques des variétés différentielles .


Bibliographie

Dernière modification : Grégory Ginot, 12 janvier 2018

Progression du cours


Notes de cours
Chapitre I. (correspondant à celui de l'an dernier et pas totalement complètes). Ces notes seront mises à jour pendant l'année.

Le premier cours a porté sur des rappels des notions d'homotopie, rétractes par déformation, groupes d'homotopie supérieurs, suspension puis l'introduction d'une notion clé: l'homotopie faible. On a précisé els relations entre homotopie et homotopie faible sur les CWs-complexes. On a également fait des rappels de base sur les notions de complexes de chaînes, de résoltuion projective et injective et la définition des groupes Tor et Ext.

  Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.


 


Ceux qui souhaitent se familairiser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent consulter la page d'un ancien cours de M1
https://webusers.imj-prg.fr/~gregory.ginot/AT/index.html qui contient de nombreux exercices corrigés et des notes de cours éventuellement utiles.
Et on trouvera là des liens vers des exercices sur les revêtements et la (co)homologie.

Progression  des TDs