Introduction à l'Homotopie

Master 2 — 2017/2018

Les cours sont assurés par Grégory Ginot
Sur cette page on trouvera des feuilles d'exercices et des corrigés (non-détaillés en général).

 Le cours a lieu le mardi de 13h45 à 17h00,  avec une pause de 15 minutes au milieu.

  L'Examen aura lieu le mardi 20 mars  en salle F003, à Paris 13, 13h45 à 16h45 !

Pour venir à Paris 13, et plus précisément à son institut Galilée où ont lieu les cours,  consulter la page (décrivant l'accès au laboratoire, le bâtiment C est le premier bâtiment sur la droite quand on rentre par l'entrée 2 (en haut de la carte))  .
Pour vérifier la salle voir le Hyperplanning (Rechercher "M2 Mathematiques") ou la page du Master 2. Malheureusement, la salle changera souvent...



Présentation

Le but de ce cours est de donner une introduction à la théorie de l'homotopie moderne et à ses outils et applications. On suivra essentiellement deux exemples, celui, fondateur, des espaces topologiques et celui des complexes (au sens des cours d'algèbre homologique et topologie algébrique).
On présentera l'axiomatique moderne de l'homotopie, les catégories de modèles de Quillen, et on expliquera l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux. On illustrera aussi ces méthodes via l'exemple de l'homotopie rationnelle pour montrer comment les structures multiplicatives des cochaines (singulières ou de De Rham) encodent les espaces à homotopie près.

Contenu

  • Groupes d'homotopie supérieures des espaces topologiques, fibrations de Serre, CW-complexes

  • Complexes de chaines, homotopie des complexes

  • Catégories de modèles

  • Foncteurs de Quillen et dérivés

  • Comparaison des ensembles simpliciaux et espaces topologiques

  • Homotopie rationnelle

Prérequis

Avoir suivi une introduction à la topologie algébrique (homologie singulière, simpliciale ou de De Rham, groupe fondamental) est fortement conseillée. Il pourra être utile d'avoir suivi un cours introductif d'algèbre homologique ou un sur les opérades ou l'algèbre homotopique.

Pour les rappels de topologie algébrique et différentielle, on pourra consulter le site :
Analysis Situs - Topologie algébriques des variétés différentielles .


Bibliographie

Dernière modification : Grégory Ginot, 14 mars 2018

Progression du cours


Notes de cours Chapitre I , II et III. (correspondant à ce qui sera au programme de l’examen).

Le premier cours a porté sur des rappels des notions d'homotopie, rétractes par déformation, groupes d'homotopie supérieurs, suspension puis l'introduction d'une notion clé: l'homotopie faible. On a précisé els relations entre homotopie et homotopie faible sur les CWs-complexes. On a également fait des rappels de base sur les notions de complexes de chaînes, de résoltuion projective et injective et la définition des groupes Tor et Ext.

Dans les deuxième et troisième cours on a motivé et expliqué brièvement les motivations derrière la construction des foncteurs dérivés associés à Tor et Ext et des catégories dérivées. On a ensuite défini les fibrations de Serre et Hurewicz, donné leurs propriétés et caractérisations et plusieurs exemples. On a expliqué l'invariance homotopique (faible) des fibres et énoncé le thèorème de la longue suite exacte associée. Enfin on a défini les groupes d'homotopie relatifs à une paire et donné la longue suite exacte associée, puis relié cette dernière à celle d'une fibration. On a défini les cofibrations, donné les exemples principaux et quelques propriétés et caractérisations.

On a donné (et tenté d'illustrer) la définition des catégories de modèle, quelques exemples basiques, et leurs premières propriétés. On a défini la localisation de Gabriel-Zisman d'une catégorie et la catégorie homotopique Ho(C) d'une catégorie de modèle. On a défini les notions d'homotopie, de cylindre et de chemins dans une catégorie de modèle et expliqué comment ces notions se comportent bien lorsque on a de sobjects cofibrants à la source et au but. Enfin on a établi un théorème décrivant la structure des morphismes dans Ho(C).

On a commencé à étudier le cas des complexes de chaînes, en particulier on a énoncé le théorème sur la structure de modèle projective. On a étudié la structure de modèle projective en détail et en particulier l'argument du petit objet. On a donné une définition et le théorème général (pour construire) des catégories de modèle cofibrement engendrée. 
On a défini les foncteurs et adjonction de Quillen et donné la définition des foncteurs dérivés (à gauche et à droite) et énoncé le théorème d'existence pour les foncteurs de Quillen. On a défini et étudié les équivalences de Quillen et les notions de (co)limites homotopiques via la théorie des structures de modèle sur les catégories de diagramme. On a donné un théorème général d'existence pour ces structures.



On a terminé la partie sur les ensemble simpliciaux. Après un certain nombre de (r)appels sur les complexes simpliciaux, la définition de la catégorie Delta, des ensembles simpliciaux et l’étude de trois exemples fondamentaux (dont le simplexe standard sous sa forme topologique et sa forme simpliciale ainsi que le lemme de Yoneda), nous avons défini la réalisation géométrique d’un ensemble simplicial et vu qu’il avait un adjoint à droite donné par l’ensemble singulier.  On a défini les cornets et les fibrations de Kan, puis donné les théorèmes de Quillen donnant une structure de modèle aux ensembles simpliciaux et le fait que l’adjonction précédente est une équivalence de Quillen. On a donné des propriétés des fibrations et cofibrations dans les ensembles simpliciaux, défini l’enrichissement simplicial des morphismes, sa compatibilité avec les fibrations au but et cofibrations à la source. Enfin nous avons défini les groupes d’homotopie simpliciaux pour les fibrants et leur équivalence avec les groupes d’homotopie de la réalisation. La section III.4 des notes n’a pas été vue en cours et n’est pas au programme de l’examen. Elle est à considérer comme étant culturelle.

Dans le dernier cours, après avoir la structure de modèles sur les complexes de cochaines concentré en degré positif, nous avons vu un théorème de transfert de structures de modèle (dans le cas cofibrement engendré) le long d’une adjonction et on l’a appliqué pour étudier les algèbres différentielles graduées commutatives. Nous avons détaillé le foncteur algèbre symétrique, les notions d’algèbres de Sullivan (minimales) et défini l’algèbre des cochaînes polyhédrales d’un ensemble simplicial/espace topologique. Nous avons défini la notion d’espaces rationnels (dans le cas simplement connexe) et formel. Enfin on a donné un aperçu des résultats de Sullivan établissant que le type d’homotopie rationnel des espaces topologiques est équivalent au type des algèbres différentielles graduées commutatives (dans le cas de type fini, simplement connexe).

  Il est impératif de bien étudier/reprendre les exemples, exercices vus en TDs et en cours.

Devoir Maison à rendre pour le 13 février (il peut être fait à 3).

Corrigé du Devoir.


 

Ceux qui souhaitent se familiariser/réviser des notions d'algèbre homologique peuvent consulter la page d'un ancien cours de M1
https://webusers.imj-prg.fr/~gregory.ginot/AT/index.html qui contient de nombreux exercices corrigés et des notes de cours éventuellement utiles.
Et on trouvera là des liens vers des exercices sur les revêtements et la (co)homologie.

Progression  des TDs