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%\author{CHEN Huayi}
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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2009-2010\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices VII
}\vspace{6 mm }
Dans cette feuille, $p$ d\'esigne un nombre premier, $f$ est un entier strictement positif et $q=p^f$. Soit en outre $\mathbb F$ un corps \`a $q$ \'el\'ements. Soit $A=\mathbb F[T]$ l'anneau des polyn\^omes \`a une variable $T$ et \`a coefficients dans $\mathbb F$. Pour tout polyn\^ome $f\in A$, soit 
\[|f|:=q^{\deg(f)}.\]
Le symbole $P$, avec ou sans indice, d\'esigne un \'el\'ement irr\'eductible dans l'anneau principal $A$.

\begin{Exe}
On dit qu'un anneau commutatif et unif\`ere est local s'il n'admet qu'un id\'eal maximal.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si $R$ est un anneau local et si $\mathfrak m$ est l'id\'eal maximal de $R$, alors les \'el\'ements dans $R\setminus\mathfrak m$ sont inversibles dans $R$.
\item Soient $B$ un anneau principal et $b$ un \'el\'ement irr\'eductible dans $B$. Montrer que, pour tout entier $n$, l'anneau quotient $B/b^nB$ est local. D\'eterminer son id\'eal maximal.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe} Pour tout $f\in A$, soit $\varphi(f)$ le cardinal de $(A/fA)^{\times}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que la fonction $\varphi$ est multiplicative, autrement dit, si $f$ et $g$ sont deux polyn\^omes premiers entre eux, alors $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$.
\item Soit $P$ un polyn\^ome irr\'eductible. D\'eterminer $\varphi(P^e)$, o\`u $e$ est un entier strictement positif.
\item En d\'eduire que
\[\varphi(f)=|f|\prod_{P\mid f}\Big(1-\frac{1}{|P|}\Big).\]
\item Soient $f$ et $g$ deux polyn\^omes dans $A$ tels que $\mathrm{pgcd}(f,g)=1$. Montrer que
    \[g^{\varphi(f)}\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\;f).\]
\item Soit $P$ un polyn\^ome irr\'eductible  dans $A$. Montrer la relation
    \[X^{|P|-1}-1\equiv\prod_{0\leqslant\deg(f)<\deg(P)}(X-f)\]
    dans $(A/PA)[X]$.
\item En d\'eduire que, si $d$ est un entier strictement positif qui divise $|P|-1$, alors le polyn\^ome $X^d-1$ a exactement $d$ racines distinctes dans $(A/PA)^*$.
\item Montrer que
\[\prod_{0\leqslant\deg(f)<\deg(P)}f\equiv -1\quad(\mathrm{mod}\; P).\]
\item Pour tout entier $m\geqslant 1$, soit $f_m(T)=T^{q^m}-T$. Montrer que
    \[f_m=\prod_{\begin{subarray}{c}P\text{ unitaire}\\
    \deg(P)\mid m
    \end{subarray}}P.\]
\item En d\'eduire que $\prod_{i=1}^m f_i$ est le ppcm des polyn\^omes de degr\'e $m$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}

