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%\author{CHEN Huayi}
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
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\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices I
}\vspace{6 mm }



\begin{Exe}
Soit $R$ un anneau commutatif int\`egre.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que tout polyn\^ome $P$ de degr\'e $d\geqslant 1$ dans $R[X]$ admet au plus $d$ racines dans $R$.
\item En appliquant le r\'esultat de 1) au $P(X)=X^d-1$ ($d\in\mathbb N$, $d\geqslant 1$), montrer que tout sous-groupe fini de $R^{\times}$ est cyclique.
\item En d\'eduire que, si $F$ est un corps fini, alors $F^{\times}$ est un groupe cyclique. Quel est l'ordre de ce groupe?
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $\Phi_n$ le $n^{\text{i\`eme}}$ polyn\^ome cyclotomique. C'est-\`a-dire
    \[\Phi_n(X)=\prod_{\begin{subarray}{c}
    0\leqslant k<n\\
    \mathrm{pgcd}(k,n)=1
    \end{subarray}}(X-\mathrm{e}^{2ik\pi/n})\in\mathbb C[X].\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, tout nombre rationnel $k/n$ ($k\in\{1,\ldots,n-1\}$) s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la form $a/d$ avec $d\mid n$, $a\in\{1,\ldots,d-1\}$, $(a,d)=1$.
\item En d\'eduire que
\[X^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(X).\]
\item Montrer que $\Phi_n\in\mathbb Z[X]$. On peut raisonner par r\'ecurrence sur $n$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $K$ un corps (non-n\'ecessairement commutatif, mais $1\neq 0$). Le but de cet exercice est de montrer le th\'eor\`eme suivant de Wedderburn: {\it si le cardinale de $K$ est fini, alors $K$ est commutatif}. Dans la suite on suppose $\mathrm{card}(K)<+\infty$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $Z$ le centre de $K$, c'est-\`a-dire l'ensemble des \'el\'ements de $K$ qui commutent avec tous les autres. Montrer que $Z$ est un sous-corps de $K$.
\item Soit $q$ le cardinale de $Z$. Montrer qu'il existe un entier $n\geqslant 1$ tel que $\mathrm{card}(K)=q^n$.
\end{enumerate}
{\it On suppose d\'esormais que $K$ n'est pas commutatif, qui implique $n\geqslant 2$.}
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{2}
\item Pour tout $x\in K$, soit $Z_x$ l'ensemble des \'el\'ements de $K$ qui commutent avec $x$. Montrer qu'il existe un entier $d(x)\in\{1,\ldots,n\}$ tel que $\mathrm{card}(Z_x)=q^{d(x)}$.
\item Montrer que, pour tout $x\in K$, $d(x)$ divise $n$.
\item Consid\'erons l'application de $K^{\times}\times K^{\times}$ vers $K^{\times}$ qui envoie $(a,x)$ en $a*x:=axa^{-1}$. Montrer que $1*x=x$ pour tout $x\in K^\times$ et que
    \[(ab)*x=a*(b*x)\]
    quels que soient $a,b,x\in K^{\times}$.
\item Pour tout $x\in K^{\times}$ soit $\mathrm{stab}(x)$ l'ensemble des $a\in K^{\times}$ tels que $a*x=x$. Montrer que
    $Z_x=\mathrm{stab}(x)\cup\{0\}$.
    En d\'eduire que $\mathrm{card}(\mathrm{stab}(x))=q^{d(x)}-1$.
\item Pour tout $x\in K^{\times}$ soit $\mathrm{orb}(x):=\{a*x\,|\,a\in K^{\times}\}$. Montrer que $\mathrm{card}(\mathrm{orb}(x))=1$ si et seulement si $x\in Z^{\times}$.
\item Montrer que, pour tout $x\in K^{\times}$, on a
\[\mathrm{card}(K^{\times})=\mathrm{card}(\mathrm{orb}(x))\cdot
\mathrm{card}(\mathrm{stab}(x)).\]
\item Soient $z$ un g\'en\'erateur du groupe cyclique $Z^{\times}$. Montrer qu'il existe des \'el\'ements $y_1,\ldots,y_r$ dans $K^{\times}\setminus Z^{\times}$ tels que $K^{\times}$ soit la r\'eunion disjointe des orbites
    \[\mathrm{orb}(z),\ldots,\mathrm{orb}(z^{q-1}),\mathrm{orb}(y_1),\ldots,
    \mathrm{orb}(y_r).\]
\item En d\'eduire que
\[q^n-1=q-1+\sum_{i=1}^r\frac{q^n-1}{q^{d(y_i)}-1}\]
\item Soit $F$ le poly\^ome
\[F(X):=(X^n-1)-\sum_{i=1}^r\frac{X^n-1}{X^{d(y_i)}-1}.\]
Montrer que $F\in\mathbb Z[X]$.
\item  Montrer que, pour tout $i\in\{1,\ldots,r\}$, on a $d(y_i)<n$. En d\'eduire que le $n^{\text{i\`eme}}$ polyn\^ome cyclotomique $\Phi_n$ divise le polyn\^ome
    \[\frac{X^n-1}{X^{d(y_i)}-1}\]
    dans $\mathbb Z[X]$.
\item Montrer qu'il existe $G\in\mathbb Z[X]$  tel que $F=\Phi_nG$.
\item Montrer que $F(q)=q-1$.
\item En d\'eduire qu'il existe une racine complexe $\zeta$ de $\Phi_n$ telle que $|q-\zeta|\leqslant q-1$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}
\begin{Exe}
Soient $A$ un anneau int\`egre et $K$ son corps des fractions. Pour tout id\'eal premier $\mathfrak p$ de $A$, soit $A_{\mathfrak p}$ le sous-ensemble de $K$ des fractions de la form $a/b$ o\`u $b\not\in\mathfrak p$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $A_{\mathfrak p}$ est un sous-anneau de $K$ contenant $A$.
\item Montrer que $A_{\mathfrak p}$ est un anneau local et d\'eterminer son id\'eal maximal.
\item Pour tout id\'eal $I$ de $A$, soit $I_{\mathfrak p}$ l'id\'eal de $A_{\mathfrak p}$ engendr\'e par $I$. Montrer que $\mathfrak q\mapsto\mathfrak q_{\mathfrak p}$ d\'efinit une bijection entre l'ensemble des id\'eaux premiers de $A$ contenu dans $\mathfrak p$ et celui des id\'eaux premiers de $A_{\mathfrak p}$.
\item Montrer que, si $A$ est un anneau noeth\'erien, alors il en est de m\^eme de $A_{\mathfrak p}$.
\item Montrer que le corps r\'esiduel de $A_{\mathfrak p}$ s'identifie au corps des fractions de $A/\mathfrak p$.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Soient $(A,\mathfrak m)$ un anneau local et $k$ son corps r\'esiduel.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, $a\in A$ est inversible si et seulement si $(a)=A$. En d\'eduire que $A^{\times}=A\setminus\mathfrak m$.
\item Soit $\mathfrak m^1:=\mathfrak m$. On d\'efinit de fa\c{c}on r\'ecursive $\mathfrak m^i$ ($i\geqslant 2$) comme l'id\'eal de $A$ engendr\'e par \[\{ay\,|\,a\in\mathfrak m,\,y\in \mathfrak m^{i-1}\}.\]
    Montrer que, si $i>j\geqslant 1$, alors $\mathfrak m^i$ est contenu dans $\mathfrak m^j$. En d\'eduire un homomorphisme surjectif $\phi_{ij}:A/\mathfrak m^i\rightarrow A/\mathfrak m^j$.
\item Pour tout entier $i>1$, soit $A_i:=A/\mathfrak m^i$. Montrer que l'espace
    \[\mathfrak A:=\prod_{i\geqslant 1}A_i\]
    est naturellement muni d'une structure d'anneau de telle sorte que les projections $\pi_i:\mathfrak A\rightarrow A_i$ sont des homomorphismes d'anneaux.
\item Soit $\widehat{A}$ la partie de $\mathfrak A$ des suites $(a_1,a_2,\cdots)$ telles que $\phi_{ij}(a_i)=a_j$ quels que soient $1\leqslant j<i$. Montrer que $\widehat{A}$ est un sous-anneau de $\mathfrak A$.
\item Pour tout $i\geqslant 1$, on d\'esigne par $p_i:A\rightarrow A/\mathfrak m^i$ l'homomorphisme canonique. Montrer que l'application $\Phi$ de $A$ vers $\mathfrak A$, qui envoie $x$ en $(p_1(x),p_2(x),\cdots)$, est un homomorphisme d'anneaux, et prend ses valeurs dans $\widehat{A}$.
\item Montrer que $(a_1,a_2,\cdots)\in\widehat{A}$ est inversible si et seulement si $a_1\neq 0$. En d\'eduire que $\widehat{A}$ est un anneau local. Pr\'eciser son id\'eal maximal $\widehat{\mathfrak m}$.
\item Montrer que le noyau de l'homomorphisme compos\'e $A\rightarrow\widehat{A}\rightarrow\widehat{A}/\widehat{\mathfrak m}^i$ est $\mathfrak m^i$. En d\'eduire que $\widehat A/\widehat{\mathfrak m}^i$ est isomorphe \`a $A/\mathfrak m^i$.
\item Montrer que $\bigcap_{i\geqslant 1}\widehat{\mathfrak m}^i=(0)$.
\end{enumerate}
Les questions 9) --- 12) sont pour but de montrer que, si $A$ est noeth\'erien, alors il en est de m\^eme de $\widehat A$. Dans la suite, on suppose que $A$ est un anneau noeth\'erien.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{8}
\item Montrer que, pour tout entier $i\geqslant 1$, le groupe quotient $\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ est un espace vectoriel de rang fini sur $k$. Montrer que $\widehat{\mathfrak m}^i/\widehat{\mathfrak m}^{i+1}\cong\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$ pour tout $i$.
\item On d\'esigne par $\mathrm{gr}(A)$ la somme directe \[k\oplus\bigoplus_{i\geqslant 1}\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}.\]
    Montrer que, l'espace $\mathrm{gr}(A)$, muni des lois que l'on pr\'ecisera, est un anneau commutatif et unif\`ere.
\item Soit $\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}$ une base de $\mathfrak m/\mathfrak m^2$. Montrer que l'homomorphisme $f:k[T_1,\cdots,T_n]\rightarrow\mathrm{gr}(A)$ qui envoie $T_i$ en $\lambda_i$ est surjectif. En d\'eduire que $\mathrm{gr}(A)$ est un anneau noeth\'erien.
\item Pour $x=(a_1,a_2,\cdots)\in\widehat A$, $x\neq 0$, soient
    $i(x):=\min\{j\in\mathbb N_*\,|\,a_j\neq 0\}$
    et $g(x)$ l'image canonique de $a_{i(x)}$ dans $\widehat{\mathfrak m}^{i(x)}/\widehat{\mathfrak m}^{i(x)+1}\cong\mathfrak m^{i(x)}/\mathfrak m^{i(x)+1}$, vu comme un \'el\'ement dans $\mathrm{gr}(A)$. Soient $I$ un id\'eal de $\widehat{A}$ et $\mathfrak a$ l'id\'eal de $\mathrm{gr}(A)$ engendr\'e par $g(I)$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que $\mathfrak a$ est un id\'eal de type fini.
\item Montrer que, si $\mathfrak a$ est engendr\'e par $g(x_1),\cdots,g(x_n)$, alors $I$ est engendr\'e par $x_1,\cdots,x_n$. Conclure.
\end{enumerate}
\item Montrer que, si $A$ est noeth\'erien, alors $\widehat{\mathfrak m}$  est engendr\'e par $\Phi(\mathfrak m)$.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\end{document}

\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier impaire. On d\'esigne par $f$ l'application de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\times}$ vers lui-m\^eme qui envoie $x$ en $x^2$. Soit $Q_p$ l'image de l'application $f$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si $h$ est un g\'en\'erateur du groupe cyclique $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\times}$, alors $Q_p$ co\"{\i}ncide avec l'ensemble des puissances paires de $h$.
\item En d\'eduire le cardinale de $Q_p$.
\item Montrer que l'application $x\mapsto x^{(p-1)/2}$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^{\times}$ vers lui-m\^eme dont le noyau est $Q_p$. D\'eterminer son image.
\item Montrer que la classe de $-1$ est dans $Q_p$ si et seulement si $p\equiv 1$ ($\mathrm{mod}\; 4$).
\item En d\'eduire qu'il y a une infinit\'e de nombres premiers de la forme $4m+1$. [{\it Indication: on peut consid\'erer le nombre $(2p_1\cdots p_r)^2+1$, o\`u $p_1,\ldots,p_r$ sont les premiers $r$ nombres premiers de la forme $4m+1$.}]
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Soit $m\ge 2$ un entier. On appelle \emph{caract\`ere de Dirichlet} modulo $m$ toute fonction arithm\'etique $\chi$ (i.e. fonction de $\mathbb N_*$ vers $\mathbb C$) tel qu'il existe un morphisme de groupe $\bar\chi:(\mathbb Z/m\mathbb Z)^{\times}\rightarrow\mathbb C^{\times}$ avec
\[\chi(n)=\begin{cases}
0,&\mathrm{pgcd}(n,m)>1,\\
\bar{\chi}(\bar n),&\mathrm{pgcd}(n,m)=1,
\end{cases}\]
o\`u $\bar n$ d\'esigne la classe de $n$ dans $\mathbb Z/m\mathbb Z$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que tout caract\`ere de Dirichlet est une fonction arithm\'etique compl\`etement multiplicative (autrement dit, $\chi(nd)=\chi(n)\chi(d)$ pour tout $(n,d)\in\mathbb N_*^2$).
\item Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le symbole de Legendre modulo $p$ est un caract\`ere de Dirichlet.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}Soit $p$ un nombre premier impair.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $g$ un g\'en\'erateur du groupe $\mathbb F_{p^2}^{\times}$. On note $h=g^{(p^2-1)/8}$. D\'eterminer l'ordre de $h$ dans $\mathbb F_{p^2}^{\times}$.
\item Soient $\tau=h+h^{-1}$ et $\mathbf{1}$ l'\'el\'ement unit\'e de $\mathbb F_{p^2}^{\times}$. Montrer les relations suivantes~:
    \[\tau^2=\mathbf{1}+\mathbf{1},\quad\tau^{p}=\Big(\frac 2p\Big)\tau=h^p+h^{-p}.\]
\item En d\'eduire que
\[\tau^p=\begin{cases}
\tau,&\text{si }p\equiv\pm 1\;(\mathrm{mod}\;8),\\
-\tau,&\text{si }p\equiv\pm 3\;(\mathrm{mod}\;8)
\end{cases}\]
\item En d\'eduire que
\[\Big(\frac{2}{p}\Big)=(-1)^{(p^2-1)/8}.\]
\item En d\'eduire qu'il y a une infinit\'e de nombres premiers de la forme $8m+7$.[{\it Indication: on peut consid\'erer le nombre $(4p_1\cdots p_r)^2-2$, o\`u $p_1,\ldots,p_r$ sont les premiers $r$ nombres premiers de la forme $8m+7$.}]
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs, $p\neq q$. Le but de cet exercice est de red\'emontrer la loi de r\'eciprocit\'e quadratique par la th\'eorie des corps finis. Dans cet exercice, on fixe un g\'en\'erateur $g$ du groupe $\mathbb F_{q^{p-1}}^\times$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $q^{p-1}$ est congru \`a $1$ modulo $p$.
\item Soit $h=g^{(q^{p-1}-1)/p}$. Pour tout $a\in\mathbb Z$, soit
    $\tau_a:=\sum_{m=1}^{p-1}\big(\frac mp\big) h^{am}.$
Montrer que $\tau_a=\big(\frac ap\big)\tau_1$.
\item Montrer que $\tau_1^2=(-1)^{(p-1)/2}p\,\mathbf{1}$, o\`u $\mathbf{1}$ est l'\'el\'ement unit\'e dans $\mathbb F_{q^{p-1}}$. En d\'eduire que $\tau_1\in\mathbb F_{q}$ si et seulement si $(-1)^{(p-1)(q-1)/4}\big(\frac pq\big)=1$.
\item Soit $x$ un \'el\'ement de $\mathbb F_{q^{p-1}}$. Montrer que $x\in\mathbb F_{q}$ si et seulement si $x^q=x$.
\item Montrer que $\tau_1^q=\tau_q$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Rappelons la loi de r\'eciprocit\'e quadratique pour le symbole de Jacobi~:
\[\Big(\frac{-1}{b}\Big)=(-1)^{(b-1)/2},\quad
\Big(\frac{2}{b}\Big)=(-1)^{(b^2-1)/8},\quad
\Big(\frac ab\Big)\Big(\frac ba\Big)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4},\]
o\`u $a$ et $b$ sont des entiers impaires premiers entre eux.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $p>3$ un nombre premier. Montrer que $3$ est un r\'esidu quadratique modulo $p$ si et seulement si $p\equiv \pm 1$ ($\mathrm{mod}\; 12$).
\item Calculer $\big(\frac{113}{997}\big)$.
\end{enumerate}
\end{Exe}\newpage

\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier impair. On rappelle qu'un caract\`ere de $\mathbb F_p^{\times}$ est par d\'efinition un morphisme de groupes de $\mathbb F_p^{\times}$ vers $\mathbb C^{\times}$. En particulier, l'application de $\varepsilon:\mathbb F_p^{\times}\rightarrow\mathbb C^{\times}$ qui prend identiquement la valeur $1$ est un caract\`ere de $\mathbb F_p^{\times}$, appel\'e le caract\`ere principal. Il est utile dans cet exercice d'\'etendre le domaine de d\'efinition d'un caract\`ere (de $\mathbb F_p^{\times}$) \`a $\mathbb F_p$ en prenant
\[\chi(0):=\begin{cases}
0,&\chi\neq\varepsilon,\\
1,&\chi=\varepsilon.
\end{cases}\]

Si $(\chi_1,\ldots,\chi_n)$ est une famille de caract\`eres de $\mathbb F_p^{\times}$, la somme de Jacobi de $(\chi_1,\ldots,\chi_n)$ est d\'efinie comme
\[J(\chi_1,\ldots,\chi_n):=\sum_{\begin{subarray}{c}
(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb F_p^n\\
t_1+\cdots+t_n=1
\end{subarray}}\chi_1(t_1)\cdots\chi_n(t_n).\]
On note en outre
\[J_0(\chi_1,\ldots,\chi_n):=\sum_{\begin{subarray}{c}
(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb F_p^n\\
t_1+\cdots+t_n=0
\end{subarray}}\chi_1(t_1)\cdots\chi_n(t_n).\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $\chi$ un caract\`ere de $\mathbb F_p^{\times}$. Montrer que
    \[\sum_{t\in\mathbb F_p}\chi(t)=\begin{cases}
    0,&\chi\neq\varepsilon,\\
    p,&\chi=\varepsilon.
    \end{cases}\]
\item Soit $G$ l'ensemble des caract\`eres de $\mathbb F_p^{\times}$. Montrer que $G$ est un groupe cyclique d'ordre $p-1$.
\item Montrer que le symbole de Legendre $\lambda$ est le seul caract\`ere d'ordre $2$ de $\mathbb F_p^\times$.
\item Soient $a$ un \'element de $\mathbb F_p$ et $n$ un diviseur de $p-1$.
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item On suppose que l'\'equation $x^n=a$ n'ait pas de solution dans $\mathbb F_p$. Montrer qu'il existe un caract\`ere $\chi\in G$ d'ordre $n$ tel que $\chi(a)\neq 1$ ([{\it Indication: on peut consid\'erer $\eta^{(p-1)/n}$, o\`u $\eta$ est un g\'en\'erateur de $G$.}]).
    \item On d\'esigne par $N(x^n=a)$ le nombre des solutions de l'\'equation $x^n=a$ dans $\mathbb F_p$. Montrer que, si $a\in\mathbb F_p^{\times}$, alors $N(x^n=a)$ est ou bien nul, ou bien \'egal \`a $n$. [{\it Indication: \'etudier l'\'equation $x^n=1$.}]
    \item Montrer que
        \[N(x^n=a)=\sum_{\chi\in G,\,\chi^n=\varepsilon}\chi(a).\]
    \item En d\'eduire que
    \[N(x^2=a)=1+\Big(\frac ap\Big).\]
    \item Montrer que
    \[N(x^2+y^2=1)=p+\sum_{a+b=1}\Big(\frac ap\Big)\Big(\frac bp\Big),\]
    o\`u $N(x^2+y^2=1)$ d\'esigne le nombre des solution de l'\'equation $x^2+y^2=1$ dans $\mathbb F_p^2$.
    \end{enumerate}
\item D\'eterminer les valeurs de $J_0(\varepsilon,\ldots,\varepsilon)$ et de $J(\varepsilon,\ldots,\varepsilon)$.
\item On suppose que $\chi_1\neq\varepsilon$ et $\chi_n=\varepsilon$. Montrer que
    \[J_0(\chi_1,\ldots,\chi_n)=J(\chi_1,\ldots,\chi_n)=0.\]
\item On suppose que $\chi_1\cdots\chi_n\neq\varepsilon$, montrer que
    \[J_0(\chi_1,\ldots,\chi_n)=0.\]
\item On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$ soient non-principaux, et que $\chi_1\cdots\chi_n\neq\varepsilon$. Montrer que
\[J(\chi_1,\ldots,\chi_n)g(\chi_1\cdots\chi_n)=g(\chi_1)\cdots g(\chi_n),\]
o\`u $g$ est la somme de Gauss~:
\[g(\chi):=\sum_{t\in\mathbb F_p}\chi(t)e^{2\pi i t/p}.\]
\item Pour $a\in\mathbb F_p$ et $\chi\in G$, on note $g_a(\chi):=\sum_{t\in\mathbb F_p}\chi(t)e^{2\pi iat/p}$. En calculant $\sum_ag_a(\chi)g_a(\overline{\chi})$ par deux m\'ethodes, montrer que $g(\chi)g(\overline{\chi})=\chi(-1)p$ et que $|g(\chi)|=\sqrt{p}$ lorsque $\chi\neq\varepsilon$.
\item On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$ soient non-principaux, et que $\chi_1\cdots\chi_n=\varepsilon$. \begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que
    $g(\chi_1)\cdots g(\chi_n)=\chi_n(-1)pJ(\chi_1,\ldots,\chi_{n-1})$.
\item Montrer que
$J_0(\chi_1,\ldots,\chi_n)=\chi_n(-1)(p-1)J(\chi_1,\ldots,\chi_{n-1})$.
\item Montrer que $g(\chi_1)\cdots g(\chi_n)=J_0(\chi_1,\ldots,\chi_n)-J(\chi_1,\ldots,\chi_n)$.
\item En d\'eduire que $J(\chi_1,\ldots,\chi_r)=-\chi_r(-1)J(\chi_1,\ldots,\chi_{r-1})$.
\end{enumerate}
\item On d\'esigne par $N(x_1^2+\cdots+x_n^2=1)$ le nombre des solutions de l'\'equation $x_1^2+\cdots+x_n^2=1$ dans $\mathbb F_p^n$. Montrer que
    \[N(x_1^2+\cdots+x_n^2=1)=p^{n-1}+J(\underbrace{\lambda,\ldots,\lambda}_{n\text{ copies}}),\]
    o\`u $\lambda$ est le symbole de Legendre.
\item D\'eterminer la valeur de $N(x_1^2+\cdots+x_n^2=1)$, on discutera la parit\'e de $n$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}


Soit $R$ un anneau commutatif et unif\`ere. On rappelle qu'un id\'eal de $R$ est par d\'efinition un sous-groupe additif $I$ tel que
\[\forall\, (a,x)\in R\times I,\quad ax\in I.\]

\begin{Exe}[Th\'eor\`eme chinois]
Soient $R$ un anneau commutatif et unif\`ere et $(I_i)_{i=1}^n$ une famille fini d'ideaux de $R$. On suppose que les id\'eaux $I_i$ soient premiers entre eux (ce qui signifie que $I_i+I_j=R$ lorsque $i\neq j$).
\end{Exe}

\begin{Exe} Soit $R$ un anneau.
On dit qu'un polyn\^ome non-nul $F$ sur $R$ est \emph{unitaire} si son terme d'indice $\deg(F)$ vaut $1$. Autrement dit, $F$ s'\'ecrit formellement sous la forme
\[T^d+a_{d-1}T^{d-1}+\cdots+a_0.\] Montrer que, si $F$ est un polyn\^ome unitaire, alors pour tout polyn\^ome $G\in k[T]$, il existe des polyn\^omes $H$ et $R$ tels que $\deg(R)<\deg(F)$ et que $G=FH+R$. De plus, les polyn\^omes $H$ et $R$ sont uniques.
\end{Exe}
