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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
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\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices X
}\vspace{6 mm }



\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier. On d\'esigne par $\mathbb Q_p$ le corps $p$-adique et par $|\cdot|_p$ la valeur absolue $p$-adique sur $\mathbb Q_p$. On fixe en outre une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{\mathbb Q}_p$ de $\mathbb Q_p$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que la valeur absolue $|\cdot|_{p}$ s'\'etend de fa\c{c}on unique sur $\overline{\mathbb Q}_p$.
\end{enumerate}
Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $\zeta_n$ une racine $n$-i\`eme de l'unit\'e qui est primitive. Soit $k:\mathbb N\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb N\setminus\{0\}$ l'application telle que 
\[k(n)=\begin{cases}
n,&(p,n)=1,\\
1,&p\nmid n.
\end{cases}\]
Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit
\[\alpha_n=\sum_{1\leqslant m\leqslant n}\zeta_{k(m)}p^m.\]
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $(\alpha_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite de Cauchy dans $\overline{\mathbb Q}_p$.
\item Soit $n\geqslant 1$ un entier qui n'est pas divisible par $p$. Montrer que, si $\zeta\in\overline{\mathbb Q}_p$ est une racine $n$-i\`eme de l'unit\'e qui est diff\'erent de $\zeta_n$, alors il existe un \'el\'ement $a\in\mathbb Z_p$ tel que $a(\zeta-\zeta_n)-1\in p\mathbb Z_p$.
\item On suppose que la suite $(\alpha_n)_{n\geqslant 1}$ converge dans $\overline{\mathbb Q}_p$ vers un \'el\'ement $\alpha$ et on note $K=\mathbb Q_p(\alpha)$. On suppose que $m\geqslant 2$ est un entier non-divisible par $p$ et tel que $\{\zeta_{k(1)},\ldots,\zeta_{k(m-1)}\}\subset K$.
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Soit $\beta_m=\alpha-\alpha_{m-1}$. Montrer que $\beta_m\in K$.
    \item Montrer que la r\'eduction de $\beta_m^m$ modulo $p$ est $1$.
    \item En d\'eduire qu'il existe $\zeta\in K$ tel que $\zeta^m=1$ et que $\zeta\equiv\zeta_m$ modulo $p$.
    \item En d\'eduire que $\zeta_m\in K$.
    \end{enumerate}
\item Montrer que $\overline{\mathbb Q}_p$ n'est pas complet.
\end{enumerate}
Dans la suite, on d\'esigne par $\mathbb C_p$ le compl\'et\'e de $\overline{\mathbb Q}_p$. Pour tout polyn\^ome $F=\sum_{i}a_iX^i$ dans $\mathbb C_p[X]$, on note $\|F\|:=\max_i|a_i|_p$. On fixe un poly\^ome unitaire $P$ \`a coefficient dans $\mathbb C_p$. Soit $d$ le degr\'e de $P$, suppos\'e \^etre $\geqslant 1$.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{5}
\item Montrer qu'il existe une suite $(P_n)_{n\geqslant 1}$ de polyn\^omes unitaires de degr\'e $d$ dans $\overline{\mathbb Q}_p[X]$ telle que la suite $(\|P_n-P\|)_{n\geqslant 1}$ soit contenue dans $[0,1[$ et converge vers $0$.
\item Soit $x_n$ une racine de $P_n$ dans $\overline{\mathbb Q}_p$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item
    Soient $(x_{n+1,i})_{i=1}^d$ les $d$ racines de $P_{n+1}$ (en comptant les multiplicit\'es). Montrer que
    \[\prod_{i=1}^d|x_n-x_{n+1,i}|_p\leqslant \|P_{n+1}-P_n\|\max(1,|x_n|_p^d).\]
\item En d\'eduire qu'il existe une racine $x_{n+1}$ de $P_{n+1}$
telle que 
$$\leqno{(*)}\qquad
|x_n-x_{n+1}|\leqslant\|P_{n+1}-P_n\|^{1/d}\max(1,|x_n|_p).
$$
\end{enumerate}
\item Soit $(x_n)_{n\geqslant 1}$ une suite dans $\overline{\mathbb Q}_p$ telle que, pour tout entier $n\geqslant 1$, $x_n$ soit une racine de $P_n$, et la relation ($*$) soit v\'erifi\'ee. Montrer que la suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ est born\'ee.
\item En d\'eduire que $(x_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite de Cauchy.
\item Soit $x$ la limite de la suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$. Montrer que $x$ est une racine du polyn\^ome $P$.
\item En d\'eduire que $\mathbb C_p$ est alg\'ebriquement clos.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Pour tout entier strictement positif $n$ et tout nombre premier $p$, on d\'esigne par $v_p(n)$ l'exposant de $p$ dans la d\'ecomposition canonique de $n$ en produit de puissances de nombres premiers. On d\'esigne par $\Omega$ la classe des entier strictement positif $n$ qui v\'erifie la condition suivante~:
\[\forall\,\text{nombre premier }p,\quad
p\equiv 3\;(\mathrm{mod}\;4)\Longrightarrow v_p(n)\text{ est pair}.\]
Le but de cet exercice est de montrer que l'ensemble $\Omega$ s'identifie \`a la classe des entiers exprimables comme la somme de deux carr\'es. Dans la suite, on d\'esigne par $h$ la fonction indicatrice de l'ensemble des sommes de deux carr\'es.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers. En exprimant $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ comme la somme de deux carr\'es, montrer que la fonction $h$ v\'erifie $h(mn)\geqslant h(m)h(n)$ ($m,n\in\mathbb N_*$).
\item En d\'eduire que, pour tout $n\in\Omega$, on  a $h(n)=1$.
\item Soit $n=a^2+b^2$ un entier strictement positif avec $a,b\in\mathbb Z$. On suppose que $p$ soit un nombre premier tel que $v_p(n)=2s+1$, $s\in\mathbb N$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que, $\min(v_p(a),v_p(b))\leqslant s$.
\item On suppose que $t=v_p(a)\leqslant s$. Montrer que $v_p(b)=t$.
\item En d\'eduire qu'il existe deux entiers $\alpha$ et $\beta$ tels que $p\mid\alpha^2+\beta^2$ et que $p\nmid\alpha\beta$.
\item En d\'eduire que $p\equiv 1\;(\mathrm{mod}\;4)$.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\end{document}



