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%\author{CHEN Huayi}
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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
}{\flushright\vspace{-0.3 cm}$\square$\vspace{0.3 cm}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
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\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices XI
}\vspace{6 mm }

Pour tout nombre r\'eel $\alpha$, soit $\|\alpha\|$ la distance entre $\alpha$ et $\mathbb Z$. Pour $\alpha\in\mathbb R$ et $N\in\mathbb N\setminus\{0\}$, on d\'esigne par $S(N,\alpha)$ la somme
\[\sum_{n\leqslant N}\Lambda(n)\mathrm{e}(n\alpha),\]
o\`u $\Lambda=\mu*\log$ est la fonction de Mangoldt, et $\mathrm{e}(x)=\mathrm{e}^{2\pi ix}$.

\begin{enumerate}[1.]
\item Montrer que, pour tout $\alpha\in\mathbb R$, on a
\[\|\alpha\|=\min(\langle\alpha\rangle,1-\langle\alpha\rangle),\]
o\`u $\langle\alpha\rangle$ d\'esigne la partie fractionnaire de $\alpha$.
\item Soient $\alpha$ un nombre r\'eel et $N\geqslant 1$ un entier. Montrer que, si \[\max_{1\leqslant n\leqslant N}\langle n\alpha\rangle<N/(N+1),\] alors il existe deux entiers distincts  $n $ et $m$ dans $\{0,\ldots,N\}$ tels que \[|\langle n\alpha\rangle-
    \langle m\alpha\rangle|<1/(N+1).\] En d\'eduire que l'on a toujours
    \[\min_{1\leqslant n\leqslant N}\|n\alpha\|\leqslant\frac{1}{N+1}.\]
\item Montrer que, si $\alpha\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, alors l'ensemble des nombres rationnels $a/q$ (o\`u $a,q\in\mathbb Z$, $q>0$) tels que
    \[\Big|\frac aq-\alpha\Big|\leqslant
    \frac{1}{q^2}\]
    est infini.
\item Montrer qu'il existe une constante absolue $C_0$ telle que, pour tout $\alpha\in\mathbb R$ et tous entiers $N_2>N_1>0$, on ait
    \[\bigg|\sum_{N_1<n\leqslant N_2}\mathrm{e}(n\alpha)\bigg|\leqslant C_0\min\Big(N_2-N_1,\frac{1}{\|\alpha\|}\Big).
    \]
\item Soient $\alpha\in\mathbb R$ et $N,T$ des entiers $\geqslant 1$. Montrer que
    \[\sum_{t\leqslant T}\max_{m}\bigg|\sum_{m\leqslant r\leqslant N/t}\mathrm{e}(rt\alpha)\bigg|\leqslant C_0\sum_{t\leqslant T}
    \min\Big(\frac{N}{t},\frac{1}{\|t\alpha\|}\Big).\]
\item Pour des nombres $U,V\geqslant 1$ et $s\in\mathbb R$, on note
\[F_U(s)=\sum_{n\leqslant U}\frac{\Lambda(n)}{n^s},\qquad
G_V(s)=\sum_{n\leqslant V}\frac{\mu(n)}{n^s}.\]
V\'erifier l'\'equalit\'e
\[-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=F(s)-\zeta(s)F(s)G(s)-\zeta'(s)G(s)-
\Big(\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+F(s)\Big)(1-\zeta(s)G(s))\]
et en d\'eduire que $\Lambda(n)$ s'\'ecrit comme la somme des quatre termes suivants
\begin{gather*}a_{1,U}(n)=\indic_{n\leqslant U}\Lambda(n),\qquad
a_{2,U,V}(n)=-\sum_{\begin{subarray}{c}
md\mid n\\
m\leqslant U,\,d\leqslant V
\end{subarray}}\Lambda(m)\mu(d),\\
a_{3,V}=\sum_{d\mid n,\, d\leqslant V}\mu(d)\log\frac{n}{d},\qquad
a_{4,U,V}=-\sum_{\begin{subarray}{c}mk=n\\
m>U,\,k>1
\end{subarray}}\Lambda(m)\sum_{d\mid k,\,d\leqslant V}\mu(d).
\end{gather*}
\item Soit \[S_{1,U}(N,\alpha):=\sum_{n\leqslant N}a_{1,U}(n)\mathrm{e}(n\alpha).\]
    Montrer qu'il existe une constante absolue $C_1$ telle que, pour tout entier $U\in\{1,\ldots,N\}$, on a
    \[|S_{1,U}(N,\alpha)|\leqslant C_1U.\]
\item Soit \[S_{2,U,V}(N,\alpha)=
\sum_{n\leqslant N}a_{2,U,V}(n)\mathrm{e}(n\alpha).\]
Montrer que
\[S_{2,U,V}(N,\alpha)=-\sum_{t\leqslant UV}\sum_{\begin{subarray}{c}
md=t\\
m\leqslant U,\,d\leqslant V
\end{subarray}}\mu(d)\Lambda(m)\sum_{r\leqslant N/t}\mathrm{e}(rt\alpha).\]
En d\'eduire que
\[|S_{2,U,V}(N,\alpha)|\leqslant C_0\log(UV)\sum_{t\leqslant UV}
\min\Big(\frac{N}{t},\frac{1}{\|t\alpha\|}\Big).\]
\item Soit \[S_{3,V}(N,\alpha)=\sum_{n\leqslant N}a_{3,V}(n)\mathrm{e}(n\alpha).\]
    Montrer que
    \[S_{3,V}(N,\alpha)=\int_1^N\sum_{d\leqslant V}\mu(d)\sum_{x\leqslant m\leqslant N/d}\mathrm{e}(dm\alpha)\frac{\mathrm dx}{x}.\]
    En d\'eduire que
    \[|S_{3,V}(N,\alpha)|\leqslant C_0\log(N)\sum_{t\leqslant V}\min\Big(\frac{N}{t},\frac{1}{\|t\alpha\|}\Big).\]
\item Soit $\alpha\in\mathbb R$. Soient $a$ et $q$ deux entiers tels que $q\geqslant 1$ et $\mathrm{pgcd}(a,q)=1$. On suppose que
    \[\Big|\alpha-\frac{a}{q}\Big|\leqslant\frac{1}{q^2}.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, pour tout entier $T\geqslant 1$
    \[\sum_{t\leqslant T}\min\Big(\frac{N}{t},\frac{1}{\|t\alpha\|}\Big)\leqslant
    \sum_{0\leqslant h\leqslant T/q}\sum_{r=1}^q\min\Big(\frac{N}{hq+r},\frac{1}{\|ra/q+hq\beta+r\beta\|}\Big),\]
    o\`u $\beta=\alpha-a/q$.
\item Montrer que
\[\sum_{r\leqslant q/2}\min\Big(\frac{N}{r},\frac{1}{\|ra/q+r\beta\|}\Big)
\leqslant \sum_{r\leqslant q/2}\frac{1}{\|ra/q\|-1/2q}=O(q\log q).\]
\item Soit $I$ un intervalle dans $[0,1]$ qui est de longueur $1/q$. Montrer qu'il existe au plus quatre \'el\'ements $r\in\{1,\ldots,q\}$ tels que
    \[\frac{ra}{q}+hq\beta+r\beta\in I+\mathbb Z.\]
\item Supposons que $h$ et $r$ sont des entiers tels que $h\geqslant 1$ ou $r>q/2$. Montrer que $hq+r\geqslant (h+1)q/2$.
\item En d\'eduire que 
\[\sum_{t\leqslant T}\min\Big(\frac{N}{t},\frac{1}{\|t\alpha\|}\Big)=O\Big(\Big(\frac{N}{q}+T+q\Big)
\log(2qT)\Big).\]
\end{enumerate}
\item Soit \[S_{4,U,V}(N,\alpha)=
\sum_{n\leqslant N}a_{4,U,V}(n)\mathrm{e}(n\alpha).\] On admet
que 
\[|S_{4,U,V}(N,\alpha)|=O\bigg(N^{1/2}(\log N)^3\max_{U\leqslant M\leqslant N/V}\bigg(M+\sum_{1\leqslant m\leqslant N/M}\bigg)\min\Big(\frac{N}{m},\frac{1}{\|m\alpha\|}\Big)\bigg).\]
Montrer que, si $q\geqslant 1$ est un entier tel que $\|q\alpha\|\leqslant 1/q$, alors
\[|S(N,\alpha)|=O(Nq^{-1/2}+N^{4/3}+(Nq)^{1/2}(\log N)^4).\]
\end{enumerate}



\end{document}



