\documentclass[a4paper,onecolumn,oneside,10pt]{book}

%------------------------------Use packages---------------------------------
\usepackage{theorem}
\usepackage{latexsym,amscd,mathrsfs}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate,qsymbols,euscript}
\usepackage[francais]{babel}
\selectlanguage{francais} \makeindex
\input xy
\xyoption{all}
%--------------------------------------------------------------------------




%------------------------------Theorem Format-------------------------------
\theoremheaderfont{\bfseries} \theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\upshape\it} %\newcounter{Exe}
\newtheorem{Thm}{\bf Th\'eor\`eme}[chapter]
\newtheorem{Pro}[Thm]{\bf Proposition}
\newtheorem{Cor}[Thm]{\bf Corollaire}
\newtheorem{Lem}[Thm]{\bf Lemme}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{Def}[Thm]{D\'efinition}
\newtheorem{Rem}[Thm]{\bf Remarque}
\newtheorem{Exa}[Thm]{\bf Exemple}
\newtheorem{Exe}{\bf Exercice}
%\author{CHEN Huayi}
%---------------------------------------------------------------------------
\newenvironment{proof}{%
\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
}{\flushright\vspace{-0.3 cm}$\square$\vspace{0.3 cm}%
\\%
}



%---------------------------------Page Format--------------------------------
\paperwidth 170truemm \paperheight 230truemm \textwidth
132truemm \textheight 210truemm \headheight=20pt
\headsep=6truemm \footskip=20pt \topmargin=0pt
\oddsidemargin=0pt \evensidemargin=0pt

%-----------------------------------------------------------------------------



%---------------------------------New Commands---------------------------------
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Bighom}{\mathcal{H}om}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\Coim}{Coim}
\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker}\DeclareMathOperator{\Cot}{Cot}
\DeclareMathOperator{\Der}{D\acute{e}r}
\DeclareMathOperator{\Dif}{Dif}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Divisor}{Div}
\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Ens}{Ens}
\DeclareMathOperator{\Exp}{Exp}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\DeclareMathOperator{\fermant}{f}
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\haut}{ht}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\iin}{in}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\len}{len}
\DeclareMathOperator{\Lie}{Lie}
\DeclareMathOperator{\longeur}{long}
\DeclareMathOperator{\obj}{obj}
\DeclareMathOperator{\Opp}{opp}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\DeclareMathOperator{\ouvrant}{o}
\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
\DeclareMathOperator{\poids}{p}
\DeclareMathOperator{\ppcm}{ppcm}
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
\DeclareMathOperator{\Proj}{Proj}
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
\DeclareMathOperator{\Rat}{Rat}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
\DeclareMathOperator{\red}{red}
\DeclareMathOperator{\Sch}{Sch}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Spf}{Spf}
\DeclareMathOperator{\Spm}{Spm}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Top}{Top}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\univ}{univ}



\newcommand{\Sets}{{\mathcal S}ets}
\newcommand{\Groups}{{\mathcal G}roups}
\newcommand{\Modules}{{\mathcal M}odules}
\newcommand{\Abel}{{\mathcal A}bel}
\renewcommand{\det}{\text{d\'et}\,}
\newcommand{\Fai}{{\mathcal F}ai}
\newcommand{\BigGr}{{\mathcal G}r}
\newcommand{\BigSym}{{\mathcal S}ym}
\newcommand{\BigDer}{{\mathcal D}\acute{e}r}
%---------------------------------------------------------------------------------



%------------------------------------------------------------------------------


\begin{document}
%\maketitle
\pagestyle{plain}
%\tableofcontents

%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
\def\opp#1{#1^{\text{opp}}}
\def\rarrow#1{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\def\Rarrow#1{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\def\Norm#1{{\|}#1{\|}}
\def\D{\displaystyle}
\def\indic{1\!\!1}

%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices XII
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soient $K$ un corps et $a,b$ deux \'el\'ements non-nuls de $K$. On suppose que $u$ et $v$ sont deux \'el\'ements de $K$ tels que $au^2+bv^2=1$. Soient en outre
\[F_1(T)=bu T^2-2bv T-au,\quad F_2(T)=-bv T^2-2au T+av,\quad F_3(T)=bT^2+a\]
trois \'el\'ements dans $K[T]$.
\begin{enumerate}[1)]
\item V\'erifier l'\'egalit\'e $aF_1^2+bF_2^2=F_3^2$ dans $K[T]$.
\item Montrer qu'il existe au moins deux polyn\^omes de degr\'e $2$ dans $\{F_1,F_2,F_3\}$.
\item On suppose que le caract\'eristique de $K$ n'est pas $2$.
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Montrer que les polyn\^omes $F_1,F_2$ et $F_3$ sont non-nuls.
    \item Montrer que, si $i$ et $j$ sont deux indices distinct dans $\{1,2,3\}$, alors $F_i$ et $F_j$ ne sont pas proportionnels.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $a$ et $b$ deux \'el\'ements non-nuls de $\mathbb F_p$, o\`u $p$ est un nombre premier impair. Le but de cet exercice est de montrer l'existence d'un \'el\'ement $(u,v)$ dans $\mathbb F_p^2$ tel que $au^2+bv^2=1$.
\begin{enumerate}[1)]
\item On suppose que l'\'equation $aX^2+bY^2=1$ n'a pas de solution dans $\mathbb F_p^2$. Montrer que, pour tout $t\in\mathbb F_p$, $f(t):=b^{-1}(1-at^2)$ n'est pas un carr\'e.
\item En d\'eduire que $f(t)^{(p-1)/2}+1=0$ pour tout $t\in\mathbb F_p$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Soient $p$ un nombre premier impair, et $F$ et $G$ deux polyn\^omes dans $\mathbb F_p[T]$ qui sont de degr\'e $\leqslant 2$. Le but de cet exercice est de montrer que, si
\[\Big(\frac{F(t)}{p}\Big)=\Big(\frac{G(t)}{p}\Big)\]
pour tout $t\in\mathbb F_p$, alors $F$ et $G$ sont proportionnels.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $F^{(p-1)/2}=G^{(p-1)/2}$.
\item Conclure.
\item Montrer que, si
\[\Big(\frac{F(t)}{p}\Big)=-\Big(\frac{G(t)}{p}\Big)\]
pour tout $t\in\mathbb F_p$, alors $F$ et $G$ sont proportionnels.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Soient $p$ un nombre premier impair et $a,b,c$ des \'el\'ements non-nuls de $\mathbb F_p$. On choisit $(u,v)\in\mathbb F_p^2$ tel que $au^2+bv^2=1$ (l'existence de tel \'el\'ement est d\'emontr\'e dans l'exercice 2). Soient $F_i$ ($i=1,2,3$) comme dans l'exercice 1.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer qu'il existe $t\in\mathbb F_p$ tel que
\[\Big(\frac{F_1(t)}{p}\Big)\neq -\Big(\frac{F_2(t)}{p}\Big).\]
\item En d\'eduire que $x=F_1(t)$ et $y=F_2(t)$ ne sont pas nuls en m\^eme temps.
\item Montrer qu'il existe $w\in\mathbb F_p$ tel que $xy=w^2$.
\item Soit $z=F_3(t)$. Montrer que $ax^2+by^2=z^2$.
\item En d\'eduire que le syst\`eme d'\'equations homog\`enes
\begin{equation*} aX^2+bY^2=cZ^2,\quad XY=W^2\end{equation*}
admet au moins une solution non-triviale dans $\mathbb F_p^4$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soient $a,b,c$ trois entiers, et $p$ un nombre premier qui ne divise pas $2abc$. Consid\'erons le syst\`eme d'\'equations homog\`enes
\begin{equation*}\tag{$*$} aX^2+bY^2=cZ^2,\quad XY=W^2.\end{equation*}
D'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent, il existe un \'el\'ement primitif $(x_0,y_0,z_0,w_0)\in\mathbb Z^4$ dont la classe dans $\mathbb F_p^4$ est une solution non-triviale du syst\`eme ($*$).
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $p$ ne divise pas $x_0$ et $y_0$ en m\^eme temps. On supposera dans la suite que $p\nmid y_0$.
\item Soient $x=x_0y_0^{-1}$, $z=z_0y_0^{-1}$ et $w=w_0y_0^{-1}$. Montrer que $(x,1,z,w)$ est une solution du syst\`eme ($*$) dans $\mathbb Z_p^4$.
\item On suppose que $p\mid z_0$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que la r\'eduction de $w$ modulo $p$ est une solution de l'\'equation $aT^4+b=0$ dans $\mathbb F_p$.
\item En d\'eduire qu'il existe $t\in\mathbb Z_p$ tel que $at^4+b=0$.
\item En d\'eduire que $(t^2,1,0,t)$ est une solution de $(*)$ dans $\mathbb Z_p^4$.
\end{enumerate}
\item On suppose que $p\nmid z_0$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que la r\'eduction de $z$ modulo $p$ est une solution de l'\'equation $cT^2=aw^4+b$ dans $\mathbb F_p$.
\item En d\'eduire qu'il existe $t\in\mathbb Z_p$ tel que $ct^2=aw^4+b$.
\item En d\'eduire que $(w^2,1,t,w)$ est une solution de $(*)$ dans $\mathbb Z_p^4$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
On consid\`ere le syst\`eme d'\'equations polyn\^omiales suivant.
\[X^2-qY^2=dZ^2,\qquad XY=W^2,\]
o\`u $q$ est un nombre premier et $d$ est un entier non-nul. On suppose que
\begin{enumerate}[(1)]
\item $16\mid (q-1)$, $\mu(d)\neq 0$, $q\nmid d$;
\item $d$ est un carr\'e modulo $q$ mais la r\'eduction de $d$ modulo $q$ n'est pas une puissance d'exposant $4$ d'un \'el\'ement de $\mathbb F_q$,
\item pour tout nombre premier impair $p$ qui divise $d$, la r\'eduction de $q$ modulo $p$ est une puissance d'exposant $4$ d'un \'el\'ement de $\mathbb F_p$.
\end{enumerate}
Montrer que le syst\`eme admet pour chaque nombre premier $p$ une solution non-triviale dans $\mathbb Q_p^4$, ainsi qu'une solution non-triviale dans $\mathbb R^4$; tandis qu'il n'a pas de solution non-triviale dans $\mathbb Q^4$.
\end{Exe}

\end{document}



