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%\author{CHEN Huayi}
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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices II
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soient $a_1,\ldots,a_n$ des entiers. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe deux indices $k$ et $l$ dans $\{0,\ldots,n\}$, $k<l$, tels que $a_{k+1}+\cdots+a_l$ soit divisible par $n$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout $i\in\{0,\ldots,n\}$, soit
\[b_i=\sum_{1\leqslant j\leqslant i}a_j.\]
Montrer qu'il existe deux nombres $b_k$ et $b_l$ ($k<l$) dont les images dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ co\"{i}ncident.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
On d\'esigne par $\mathbb P(n)$ l'\'enonc\'e suivant: pour toute famille $(a_i)_{i=1}^{2n-1}$ de $2n-1$ entiers ($n\geqslant 1$), il existe un sous-ensemble $I$ de cardinale $n$ de $\{1,\ldots,2n-1\}$ tel que $\sum_{i\in I}a_i$ soit divisible par $n$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soient $n$ et $m$ deux entiers $\geqslant 1$. On suppose v\'erif\'ee la condition $\mathbb P(n)$. Soit $(a_i)_{i=1}^{2mn-1}$ une famille de $2mn-1$ entiers. Montrer qu'il exsite $2m-1$ sous-ensembles deux-\`a-deux disjoints $I_1,\ldots,I_{2m-1}$ de $\{1,\ldots,2mn-1\}$ tels que, pour tout $i\in\{1,\ldots,2m-1\}$, la somme $\sum_{j\in I_i}a_j$ soit divisible par $n$.
\item En d\'eduire que, pour tous entiers $n,m\geqslant 1$, on a
    \[\mathbb P(n)\text{ et }\mathbb P(m)\Longrightarrow P(nm).\]
\end{enumerate}
{\it Dans la suite, on fixe un nombre premier $p$.}
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{2}
\item Soit $(a_i)_{i=1}^{2p-1}$ une famille de $2p-1$ entiers. Montrer que le syst\`eme d'\'equations (dont $X_1,\ldots,X_{2p-1}$ sont des ind\'etermin\'ees)
    \[\begin{cases}
    a_1X_1^{p-1}+\cdots+a_{2p-1}X_{2p-1}^{p-1}=0,\\
    X_1^{p-1}+\cdots+X_{2p-1}^{p-1}=0
    \end{cases}\]
    admet une solution $(x_1,\ldots,x_{2p-1})$ qui n'est pas identiquement nulle dans $\mathbb F_p^{2p-1}$.
\item Soit $I$ l'ensemble des indices $i\in\{1,\ldots,2p-1\}$ tels que $x_i\neq 0$. Montrer que $\mathrm{card}(I)$ est divisible par $p$. En d\'eduire que $\mathrm{card}(I)=p$.
\item Montrer que $\sum_{i\in I}a_i$ est divisible par $p$.
\item En d\'eduire que l'\'enonc\'e $\mathbb P(n)$ est vrai pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{Exe}
\begin{Exe}
On appelle \emph{anneau local} tout anneau commutatif qui admet un et un seul id\'eal maximal.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soient $A$ un anneau et $\mathfrak m$ un id\'eal de $A$, $\mathfrak m\neq A$. On suppose que tout \'el\'ement dans $A\setminus\mathfrak m$ est inversible. Montrer que $A$ est un anneau local.
\item Soient $A$ un anneau local et $\mathfrak m$ l'id\'eal maximal de $A$. Montrer que tout \'el\'ement de $A\setminus\mathfrak m$ est inversible.
\item Soient $A$ un anneau et $\mathfrak m$ un id\'eal maximal de $A$. On suppose que tout \'el\'ement $x\in\mathfrak m$ est nilpotent (i.e., il existe un entier $n\geqslant 1$ tel que $x^n=0$). Montrer que $A$ est un anneau local.
\item Soit $p$ un nombre premier et $\alpha\geqslant 1$ un entier. Montrer que l'anneau $\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z$ est local.
\item D\'eterminer l'id\'eal maximal de $\mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z$ puis le cardinale de $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^{\times}$.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\begin{Exe}
Soient $p$ un nombre premier impair et $\alpha\geqslant 1$ un entier.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $\xi$ la classe de congruence de $1+p$ dans $\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z$. Montrer que $\xi$ est un \'el\'ement de $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^{\times}$.
\item Montrer que l'ordre de $\xi$ dans $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^{\times}$ est $p^{\alpha-1}$. On peut raisonner par r\'ecurrence sur $\alpha$.
\item Montrer que l'application de projection $\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z/p\mathbb Z$ induit un morphisme de groupes $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^{\times}\rightarrow (\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ qui est surjectif.
\item En d\'eduire qu'il existe un \'el\'ement $x$ d'ordre $p-1$ dans $(\mathbb Z/p^{\alpha}\mathbb Z)^{\times}$.
\item Calculer l'ordre de $x\xi$ puis montrer que le groupe $(\mathbb Z/p^\alpha\mathbb Z)^{\times}$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $\alpha\geqslant 3$ un entier.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que le groupe $(\mathbb Z/4\mathbb Z)^{\times}$ est cyclique.
\item Soit $\xi$ la classe de $5$ dans $\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z$. Montrer que $\xi$ est un \'el\'ement d'ordre $2^{\alpha-2}$ dans $(\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z)^{\times}$.
\item Montrer que $2^{\alpha-1}+1\not\equiv-1\;(\mathrm{mod}\;2^{\alpha})$. En d\'eduire que la classe de $-1$ n'est pas dans le sous-groupe de $(\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z)^{\times}$ engendr\'e par $\xi$.
\item En d\'eduire que $(\mathbb Z/2^\alpha\mathbb Z)^{\times}$ est isomorphe \`a $(\mathbb Z/2^{\alpha-2}\mathbb Z)\times(\mathbb Z/2\mathbb Z)$. Ce groupe est-il cyclique?
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $K$ un corps commutatif. On appelle valuation discr\`ete sur $K$ tout morphisme de groupes $v:K^{\times}\rightarrow(\mathbb Z,+)$ tel que $v(x+y)\geqslant\min(v(x),v(y))$. Si $v$ est une valuation discr\`ete sur $K$, on \'etend $v$ en une application de $K$ vers $\mathbb Z\cup\{+\infty\}$ de sorte que $v(0)=+\infty$. On convient que $\mathbb Z\cup\{+\infty\}$ est muni d'une relation d'ordre qui prolonge la relation d'ordre usuelle et telle que $n\leqslant+\infty$ pour tout $n\in\mathbb Z$. Dans la suite, soit $K$ un corps muni d'une valuation discr\`ete $v$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $\mathcal O_{K,v}:=\{x\in K\,|\, v(x)\geqslant 0\}$ est un sous-anneau de $K$.
\item Montrer que l'anneau $\mathcal O_{K,v}$ est local dont l'id\'eal maximal est $\mathfrak m_{K,v}:=\{x\in K\,|\,v(x)>0\}$.
\item Montrer que l'id\'eal $\mathfrak m_{K,v}$ est principal.
\item Soit $\varpi$ un \'el\'ement qui engendre $\mathfrak m_{K,v}$. Montrer que tout id\'eal non-nul de $\mathcal O_{K,v}$ est engendr\'e par une puissance de $\varpi$. En d\'eduire que $\mathcal O_{K,v}$ est un anneau principal.
\item Soit $p$ un nombre premier. Pour tout entier non-nul $n$, soit $v_p(n)$ l'exposant de $p$ dans la d\'ecomposition euclidienne de $n$. Montrer que la fonction $v_p$ s'\'etend de fa\c{c}on unique en une valuation discr\`ete sur $\mathbb Q$ (appel\'ee la valuation $p$-adique).
\item Soit $p$ un nombre premier. \'Etablir la relation
\[v_p(n!)=\sum_{k\geqslant 1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\qquad(n\geqslant 1)\]
\item En d\'eduire
\[\frac{n}{p}-1<v_p(n!)\leqslant\frac np+\frac{n}{p(p-1)}.\]
\end{enumerate}
\end{Exe}
\end{document}
