\documentclass[a4paper,onecolumn,oneside,10pt]{book}

%------------------------------Use packages---------------------------------
\usepackage{theorem}
\usepackage{latexsym,amscd,mathrsfs}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate,qsymbols,euscript}
\usepackage[francais]{babel}
\selectlanguage{francais} \makeindex
\input xy
\xyoption{all}
%--------------------------------------------------------------------------




%------------------------------Theorem Format-------------------------------
\theoremheaderfont{\bfseries} \theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\upshape\it} %\newcounter{Exe}
\newtheorem{Thm}{\bf Th\'eor\`eme}[chapter]
\newtheorem{Pro}[Thm]{\bf Proposition}
\newtheorem{Cor}[Thm]{\bf Corollaire}
\newtheorem{Lem}[Thm]{\bf Lemme}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{Def}[Thm]{D\'efinition}
\newtheorem{Rem}[Thm]{\bf Remarque}
\newtheorem{Exa}[Thm]{\bf Exemple}
\newtheorem{Exe}{\bf Exercice}
%\author{CHEN Huayi}
%---------------------------------------------------------------------------
\newenvironment{proof}{%
\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
}{\flushright\vspace{-0.3 cm}$\square$\vspace{0.3 cm}%
\\%
}



%---------------------------------Page Format--------------------------------
\paperwidth 170truemm \paperheight 230truemm \textwidth
132truemm \textheight 210truemm \headheight=20pt
\headsep=6truemm \footskip=20pt \topmargin=0pt
\oddsidemargin=0pt \evensidemargin=0pt

%-----------------------------------------------------------------------------



%---------------------------------New Commands---------------------------------
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Bighom}{\mathcal{H}om}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\Coim}{Coim}
\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker}\DeclareMathOperator{\Cot}{Cot}
\DeclareMathOperator{\Der}{D\acute{e}r}
\DeclareMathOperator{\Dif}{Dif}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Divisor}{Div}
\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Ens}{Ens}
\DeclareMathOperator{\Exp}{Exp}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\DeclareMathOperator{\fermant}{f}
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\haut}{ht}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\iin}{in}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\len}{len}
\DeclareMathOperator{\Lie}{Lie}
\DeclareMathOperator{\longeur}{long}
\DeclareMathOperator{\obj}{obj}
\DeclareMathOperator{\Opp}{opp}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\DeclareMathOperator{\ouvrant}{o}
\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
\DeclareMathOperator{\poids}{p}
\DeclareMathOperator{\ppcm}{ppcm}
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
\DeclareMathOperator{\Proj}{Proj}
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
\DeclareMathOperator{\Rat}{Rat}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
\DeclareMathOperator{\red}{red}
\DeclareMathOperator{\Sch}{Sch}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Spf}{Spf}
\DeclareMathOperator{\Spm}{Spm}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Top}{Top}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\univ}{univ}



\newcommand{\Sets}{{\mathcal S}ets}
\newcommand{\Groups}{{\mathcal G}roups}
\newcommand{\Modules}{{\mathcal M}odules}
\newcommand{\Abel}{{\mathcal A}bel}
\renewcommand{\det}{\text{d\'et}\,}
\newcommand{\Fai}{{\mathcal F}ai}
\newcommand{\BigGr}{{\mathcal G}r}
\newcommand{\BigSym}{{\mathcal S}ym}
\newcommand{\BigDer}{{\mathcal D}\acute{e}r}
%---------------------------------------------------------------------------------



%------------------------------------------------------------------------------


\begin{document}
%\maketitle
\pagestyle{plain}
%\tableofcontents

%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
\def\opp#1{#1^{\text{opp}}}
\def\rarrow#1{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\def\Rarrow#1{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\def\Norm#1{{\|}#1{\|}}
\def\D{\displaystyle}

%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices III
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soit $K$ un corps commutatif. On appelle \emph{valeur absolue} sur $K$ toute application $|\cdot|:K\rightarrow\mathbb R_+$ qui v\'erifie les propri\'et\'es suivantes:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\forall\,x,y\in K$, $|x+y|\leqslant |x|+|y|$;
\item $\forall\,x,y\in K$, $|xy|=|x|\cdot|y|$;
\item $\forall\,x\in K$, $|x|=0$ si et seulement si $x=0$.
\end{enumerate}
Dans cet exercice, on fixe une valeur absolue $|\cdot|$ sur $K$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que la fonction $d:K\times K\rightarrow\mathbb R_+$, $d(x,y):=|x-y|$ d\'efinit une m\'etrique sur $K$.
\item On appelle \emph{suite de Cauchy} toute suite $(a_n)_{n\geqslant 0}$ dans $K$ telle que
    \[\lim_{N\rightarrow+\infty}\sup_{n,m\geqslant N}|a_n-a_m|=0.\]
    Montrer que l'ensemble $\mathcal C(K)$ des suites de Cauchy dans $K$, muni des lois de composition que l'on pr\'ecisera, forme une $K$-alg\`ebre commutative.
\item Montrer que le sous-ensemble $I(K)$ (de $C(K)$) des suites convergeant vers $0$ est un id\'eal maximal de $C(K)$.
\item On d\'esigne par $\widehat{K}$ le corps quotient $C(K)/I(K)$. Montrer que $\widehat{K}$ est une extension de $K$.
\item Montrer que l'application $|\cdot|:K\rightarrow\mathbb R_+$ s'\'etend par continuit\'e en une valeur absolue sur $\widehat{K}$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $K$ un corps commutatif muni d'une valeur absolue $|\cdot|$. On dit que la valeur absolue $|\cdot|$ est \emph{non-archim\'edienne} si la condition suivante est satisfaite~:
\[\forall\,x,y\in K,\quad |x+y|\leqslant\max(|x|,|y|).\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si la valeur absolue $|\cdot|$ est non-archim\'edienne, alors la boule unit\'e ferm\'ee $\mathcal O:=\{x\in K\,:\,|x|\leqslant 1\}$ est un anneau local dont l'id\'eal maximal est la boule ouverte $\mathfrak m:=\{x\in K\,:\,|x|<1\}$.
\item On suppose que la caract\'eristique de $K$ est $p>0$. Montrer que la valeur absolue $|\cdot|$ est n\'ecessairement non-archim\'edienne (indication: appliquer l'endomorphisme de Frobenius).
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soient $K$ un corps commutatif et $v:K\rightarrow\mathbb Z\cup\{+\infty\}$ une valuation discr\`ete. On fixe dans cet exercice un nombre $q>1$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout $x\in K$, soit $|x|:=q^{-v(x)}$. Montrer que $|\cdot|:K\rightarrow\mathbb R_+$ est une valeur absolue non-archim\'edienne sur $K$.
\end{enumerate}
Dans la suite, $\mathcal O$ d\'esigne la boule unit\'e ferm\'ee de $K$ et $\mathfrak m$ d\'esigne son id\'eal maximal.
Soit $\widehat{K}$ le compl\'et\'e de $K$ par rapport \`a la valeur absolue $|\cdot|$, o\`u cette derni\`ere s'\'etend par continuit\'e. Soient $\widehat{\mathcal O}$ la boule unit\'e ferm\'ee de $\widehat{K}$ et $\widehat{\mathfrak m}$ l'id\'eal maximal de $\widehat{\mathcal O}$.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $\widehat{\mathcal O}$ est la fermeture de $\mathcal O$ dans $\widehat{K}$.
\item Soit $n\geqslant 0$ un entier. Montrer que le noyau de l'homomorphisme compos\'e \[\mathcal O\rightarrow\widehat{\mathcal O}\rightarrow\widehat{\mathcal O}/\widehat{\mathfrak m}^n\] est $\mathfrak m^n$.
\item Montrer que $\mathcal O/{\mathfrak m}^n\cong\widehat{\mathcal O}/\widehat{\mathfrak m}^n$ ($n\geqslant 0$).
\item Soit $A$ un anneau commutatif et unif\`ere. On suppose donn\'e, pour tout entier $n\geqslant 0$, un homomorphisme d'anneaux $f_n:A\rightarrow\mathcal O/\mathfrak m^n$, de sorte que le diagramme suivant commute pour tous entiers $i$ et $j$ avec $i\geqslant j\geqslant 0$~:
    \[\xymatrix{\relax A\ar[d]_{f_i}\ar[rd]^{f_j}\\
    \mathcal O/\mathfrak m^i\ar[r]_{\pi_{i,j}}&\mathcal O/\mathfrak m^j}\]
    o\`u $\pi_{i,j}$ est l'homomorphisme de projection. Montrer qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux $\widehat{f}:A\rightarrow\widehat{\mathcal O}$ tel que le diagramme suivant commute pour tout entier $i\geqslant 0$:
    \[\xymatrix{\relax A\ar[r]^-{\widehat{f}}\ar[d]_-{f_i}&\widehat{\mathcal O}\ar[d]^-{\pi_i}\\
    \mathcal O/\mathfrak m^i\ar[r]_-{\cong}&\widehat{\mathcal O}/
    \widehat{\mathfrak m}^i}\]
    o\`u $\pi_i$ est l'homomorphisme de projection.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $k$ un corps. Soit $K$ le corps des fractions de l'anneau $k[T]$ des polyn\^omes \`a coefficients dans $k$. Si $f=P/Q$ est un \'el\'ements de $K$, o\`u $P$ et $Q$ sont des polyn\^omes, $Q\neq 0$, on note
\[v(f)=\deg(Q)-\deg(P).\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que l'application $v:K\rightarrow\mathbb Z\cup\{+\infty\}$ est bien d\'efinie  et est une valuation sur $K$.
\item Soit $|\cdot|:K\rightarrow\mathbb R_+$ la valeur absolue telle que $|f|=q^{-v(f)}$, o\`u $q>0$ est un nombre r\'eel. D\'eterminer la boule unit\'e ferm\'ee $\mathcal O$ de $K$.
\item Montrer que l'automorphisme $\tau:f(T)\mapsto f(T^{-1})$ d\'efinit un isomorphisme d'anneaux entre $\mathcal O$ et la localisation de $k[T]$ par rapport \`a l'id\'eal maximal $(T)$.
\item Soit $\mathfrak m$ l'id\'eal maximal de $\mathcal O$. Montrer que l'isomorphisme d'anneaux dans la question pr\'ec\'edente induit pour chaque entier $i\geqslant 0$ un isomorphisme d'anneaux de $\mathcal O/\mathfrak m^i$ vers $k[T]/(T^i)$.
\item Soit $\widehat{K}$ le compl\'et\'e de $K$ par rapport \`a la valeur absolue $|\cdot|$. Montrer que la boule unit\'e ferm\'ee $\widehat{\mathcal O}$ de $\widehat{K}$ est isomorphe \`a l'anneau des s\'eries formelles \`a coefficients dans $k$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}
