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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices IV
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soit $K$ un corps commutatif muni d'une valeur absolue non-archim\'edienne $|\cdot|$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si $x$ et $y$ sont deux \'el\'ements de $K$ tels que $|x|\neq |y|$, alors on a $|x+y|=\max(|x|,|y|)$.
\item Montrer que, si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une famille ($n\geqslant 2$) d'\'el\'ements de $K$ telle que $x_1+\cdots+x_n=0$, alors il existe deux indices distincts $j,k\in\{1,\ldots,n\}$ tels que
    \[|x_j|=|x_k|=\max_{1\leqslant i\leqslant n}|x_i|.\]
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $k$ un corps commutatif. On d\'esigne par $k[T]$ l'anneau des polyn\^omes \`a coefficients dans $k$ et $K$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $P\in k[T]$ un polyn\^ome unitaire de degr\'e $\geqslant 1$ qui est irr\'eductible. Pour tout $F\in k[T]$ soit \[v_P(F):=\sup\{n\in\mathbb N\,:\,P^n\mid F\}.\]
    Montrer que $v_P:k[T]\rightarrow\mathbb Z\cup\{+\infty\}$ s'\'etend en une valuation discr\`ete sur $K$.
\item Soit $|\cdot|$ une valeur absolue sur $K$. Montrer que, si la restriction de $|\cdot|$ \`a $k$ est triviale (autrement dit $|0|=0$ et $|a|=1$ pour tout $a\in K$), alors $|\cdot|$ est n\'ecessairement une valeur absolue non-archim\'edienne.
\item Construire un exemple d'une valeur absolue archim\'edienne sur $K$ dans le cas o\`u $k=\mathbb Q$.
\item Soit $|\cdot|$ une valeur absolue sur $K$ dont la restriction \`a $k$ est triviale.  On suppose en outre que $|T|\leqslant 1$ et que $|\cdot|$ n'est pas triviale sur $K$ (autrement dit, il existe un \'el\'ement non-nul de $K$ dont la valeur absolue n'est pas $1$).
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Montrer que $|F|\leqslant 1$ pour tout $F\in k[T]$.
    \item Montrer que $\{F\in k[T]\,:\,|F|<1\}$ est un id\'eal premier de $k[T]$. En d\'eduire qu'il est engendr\'e par un polyn\^ome unitaire irr\'eductible $P$.
    \item Montrer que, pour tout polyn\^ome $F\in k[T]$ qui n'est pas divisible par $P$, on a $|F|=1$. En d\'eduire qu'il existe $R>1$ tel que $|f|=R^{-v_P(f)}$ quel que soit $f\in K^{\times}$.
    \end{enumerate}
\item Soit $|\cdot|$ une valeur absolue sur $K$ dont la restriction \`a $k$ est triviale.  On suppose en outre que $C:=|T|>1$. Montrer que, si $F$ est un polyn\^ome de degr\'e $d\geqslant 0$ dans $k[T]$, alors $|F|=C^d$.
\end{enumerate}
Dans la suite, on d\'esigne par $\mathbb P$ l'ensemble des polyn\^omes unitaires irr\'eductibles dans $k[T]$. On fixe un nombre r\'eel $q>1$. Pour tout $P\in\mathbb P$, soit $|\cdot|_P$ la valeur absolue sur $K$ d\'efinie comme
\[\forall\, f\in K^\times,\quad |f|_P=q^{-v_P(f)}.\]
Soit en outre $|\cdot|_\infty$ la valeur absolue sur $K$ telle que
\[\forall\,f\in K^\times,\quad |f|_\infty=q^{-v_\infty(f)},\]
o\`u $v_\infty$ est la valuation discr\`ete qui prolonge la fonction $-\deg$ sur $k[T]$.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{5}
\item Montrer la formule du produit
\[\forall\,f\in K^\times,\quad\bigg(\prod_{P\in\mathbb P}|f|_P^{\deg(P)}\bigg)\cdot|f|_\infty=1.\]
\end{enumerate}
On suppose d\'esormais que $k$ est un corps fini de cardinale $q$. Pour tout polyn\^ome non-nul $F\in k[T]$, soit $\varphi(F)$ le nombre des polyn\^omes de degr\'e $\leqslant\deg(F)$ qui sont premiers \`a $F$.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que, pour tout polyn\^ome non-nul $F\in k[T]$, $\varphi(F)$ s'identifie au nombre des \'el\'ements inversibles dans l'anneau quotient $k[T]/(F)$.
\item Montrer que, si $P$ est un polyn\^ome unitaire irr\'eductible, alors
    \[\varphi(P^a)=|P|_\infty^a-|P|_\infty^{a-1}\]
    pour tout $a\in\mathbb N\setminus\{0\}$.
\item En d\'eduire que
\[\varphi(F)=|F|_\infty\prod_{P\mid F}\Big(1-\frac{1}{|P|_\infty}\Big).\]
\item Pour tout entier $d\geqslant 0$, soit $M_d$ l'ensemble des polyn\^omes unitaires de degr\'e $\leqslant d$. Montrer que
    \[\sum_{F\in M_d}\frac{1}{|F|_\infty^s}=\frac{1-q^{(1-s)(d+1)}}{1-q^{1-s}}.\]
\item En d\'eduire que la s\'erie
\[\zeta_K(s)=\sum_{F\text{ unitaire}}\frac{1}{|F|_\infty^s}\qquad(s\in\mathbb C)\]
converge simplement sur le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>1$ vers la fonction $(1-q^{1-s})^{-1}$.
\item Pour tout entier $d\geqslant 1$, soit $\Theta(d)$ le nombre des polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $d$. Montrer que la fonction $\zeta_K$ s'\'ecrit comme un produit infini sur $\mathrm{Re}(s)>1$~:
    \[\zeta_K(s)=\prod_{d\geqslant 1}\big(1-q^{-ds}\big)^{-\Theta(d)}.\]
\item Quitte \`a calculer la d\'eriv\'ee logarithmique par rapport \`a $u=q^{-s}$, montrer que
\[\sum_{d\mid n}d\Theta(d)=q^n\]
pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}

\begin{Exe}
Soit $\mathbb A$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb N^*=\{1,2,\cdots\}$ vers $\mathbb C$. On munit $\mathbb A$ des lois internes suivantes:
\[(f+g)(n)=f(n)+g(n),\qquad (f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d).\]
On dit qu'une fonction $f:\mathbb N^*\rightarrow\mathbb C$ est multiplicative si $f(1)=1$ et si
$f(ab)=f(a)f(b)$ pour tous entiers $a,b$ tels que $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$. On d\'esigne par $\mathbb M$ l'ensemble des fonctions multiplicatives sur $\mathbb N^*$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $(\mathbb A,+,*)$ est un anneau commutatif et unif\`ere. D\'eterminer l'\'el\'ement unit\'e $\delta$ et l'\'el\'ement neutre $\mathbf{0}$ de $\mathbb A$.
\item Montrer qu'une fonction $f\in\mathbb A$ est inversible pour la loi $*$ si et seulement si $f(1)\neq 0$. En d\'eduire que $\mathbb M\subset\mathbb A^{\times}$.
\item Montrer que si $f$ est une fonction multiplicative, alors il en est de m\^eme de $f^{-1}$. En d\'eduire que $\mathbb M$ est un sous-groupe de $\mathbb A^{\times}$.
\item Soit $\mu$ la fonction sur $\mathbb N^*$ qui envoie $n$ en $0$ si $n$ a un facteur carr\'e $\neq 1$, et en $(-1)^d$ si $n$ n'a pas de facteur carr\'e $\neq 1$ et a exactement $d$ facteurs premiers. Montrer que $\mu$ est une fonction multiplicative.
\item Soit $I$ la fonction constante sur $\mathbb N^*$ qui prend valeur $1$. Montrer que $I$ est une fonction multiplicative et en d\'eduire que $\mu*I=\delta$.
\item Soit $N$ la fonction sur $\mathbb N^*$ telle que $N(n)=n$. Pour tout $n\in\mathbb N$, $n\geqslant 1$, soit $\varphi(n)$ le cardinale de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times}$. Montrer que
    \[\varphi(n)=\sum_{m=1}^n\delta\big(\mathrm{pgcd}(m,n)\big)\]
    et en d\'eduire que $\varphi=\mu*N$.
\item En d\'eduire que
\[\varphi(n)=n\prod_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\
p\text{ premier}
\end{subarray}}\Big(1-\frac{1}{p}\Big).\]
\item \'Etablir l'\'egalit\'e suivante:
\[\mu*\log=-\mu\log * I,\]
o\`u $\mu\log$ d\'esigne la fonction qui envoie $n$ en $\mu(n)\log n$.
\item Pour tout entier $n$, soit $\tau(n)$ le nombre des facteurs de $n$. Montrer que la fonction $\tau$ est multiplicative.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\end{document}
