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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices V
}\vspace{6 mm }

Soit $q\geqslant 1$ un entier. On appelle \emph{caract\`ere de Dirichlet} modulo $q$ toute fonction $\chi:\mathbb N\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb C$ qui v\'erifie les conditions suivantes:
\begin{enumerate}[(i)]
\item la restriction de $\chi$ \`a chaque classe de congruence est constante,
\item la fonction de $\mathbb Z/q\mathbb Z$ vers $\mathbb C$ induite par $\chi$ est nulle en dehors de $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^{\times}$, et d\'efinit un morphisme de groupes de $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^{\times}$ vers $\mathbb C^\times$.
\end{enumerate}
Le \emph{caract\`ere principal} modulo $q$ est d\'efini comme
\[\chi_0(n):=\begin{cases}
1,&\text{si }(n,q)=1,\\
0,&\text{sinon.}
\end{cases}\]
On dit qu'un caract\`ere $\chi$ modulo $q$ est \emph{primitif} s'il n'existe pas $q_0\mid q$, $q_0<q$ tel que
\begin{equation}\label{Equ:primitif}(m,q)=(n,q)=1\text{ et } m\equiv n\;(\mathrm{mod}\;q_0)\,\Longrightarrow\,\chi(m)=\chi(n).\end{equation}
On rappelle que la \emph{somme de Gauss} d'un caract\`ere de Dirichlet $\chi$ est la fonction $G_\chi:\mathbb N\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb C$ d\'efinie comme
\[G_{\chi}(n):=\sum_{1\leqslant m\leqslant q}\chi(m)\mathrm{e}(mn/q),\]
o\`u $\mathrm{e}(t):=\mathrm{e}^{2\pi it}$.


\begin{Exe} Dans cet exercice, $q\geqslant 1$ d\'esigne un entier.
Soit $\chi$ un caract\`etre de Dirichlet modulo $q$ qui n'est pas primitif. Soit $q_1$ le plus petit diviseur de $q$ qui v\'erifie la relation \eqref{Equ:primitif}.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si $n\geqslant 1$ est un entier qui est premier \`a $q_1$, alors il existe un entier $t\geqslant 0$ tel que $n+tq_1$ soit premier \`a $q$.
\item Soit $n$ un entier tel que $(n,q_1)=1$. Montrer que, si $t_1$ et $t_2$ sont deux entiers $\geqslant 0$ tels que $(n+t_1q_1,q)=(n+t_2q_1,q)=1$, alors $\chi(n+t_1q_1)=\chi(n+t_2q_1)$.
\item Pour tout entier $n\geqslant 1$ tel que $(n,q_1)=1$, on pose $\chi_1(n)=\chi(n+tq_1)$, o\`u $t\geqslant 0$ est un entier tel que $(n+tq_1,q)=1$. Montrer que $\chi_1$ se prolonge en un caract\`ere de Dirichlet modulo $q_1$.
\item Montrer que $\chi_1$ est primitif, et est le seul caract\`ere de Dirichlet primitif tel que $\chi(n)=\chi_1(n)$ pour tout entier $n\geqslant 1$ qui est premier \`a $q$ (on dit que $\chi_1$ est le caract\`ere primitif qui induit $\chi$).
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $\mathbb A$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb N^*=\{1,2,\cdots\}$ vers $\mathbb C$. On munit $\mathbb A$ des lois de composition suivantes:
\[(f+g)(n)=f(n)+g(n),\qquad (f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d).\]
On dit qu'une fonction $f:\mathbb N^*\rightarrow\mathbb C$ est multiplicative si $f(1)=1$ et si
$f(ab)=f(a)f(b)$ pour tous entiers $a,b$ tels que $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$. On d\'esigne par $\mathbb M$ l'ensemble des fonctions multiplicatives sur $\mathbb N^*$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $(\mathbb A,+,*)$ est un anneau commutatif et unif\`ere. D\'eterminer l'\'el\'ement unit\'e $\delta$ et l'\'el\'ement neutre $\mathbf{0}$ de $\mathbb A$.
\item Montrer qu'une fonction $f\in\mathbb A$ est inversible pour la loi $*$ si et seulement si $f(1)\neq 0$. En d\'eduire que $\mathbb M\subset\mathbb A^{\times}$.
\item Montrer que si $f$ est une fonction multiplicative, alors il en est de m\^eme de $f^{-1}$. En d\'eduire que $\mathbb M$ est un sous-groupe de $\mathbb A^{\times}$.
\item Soit $\mu$ la fonction sur $\mathbb N^*$ qui envoie $n$ en $0$ si $n$ a un facteur carr\'e $\neq 1$, et en $(-1)^d$ si $n$ n'a pas de facteur carr\'e $\neq 1$ et a exactement $d$ facteurs premiers. Montrer que $\mu$ est une fonction multiplicative.
\item Soit $\indic$ la fonction constante sur $\mathbb N^*$ qui prend valeur $1$. Montrer que $\indic$ est une fonction multiplicative et en d\'eduire que $\mu*\indic=\delta$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $q\geqslant 1$ un entier et $\chi$ un caract\`ere modulo $q$ qui n'est pas primitif. On suppose que $\chi_1$ est un caract\`ere modulo $q_1$ qui induit $\chi$, o\`u $q_1\mid q$, $q_1<q$. Soit en outre $r=q/q_1$.
\begin{enumerate}[1)]
\item \'Etablir l'\'egalit\'e
\[G_\chi(1)=\sum_{1\leqslant m\leqslant q}\sum_{d\mid(m,q)}\chi_1(m)\mathrm{e}(m/q)\mu(d)
=\sum_{d\mid r}\chi_1(d)\mu(d)\sum_{1\leqslant m_1\leqslant q/d}\chi_1(m_1)\mathrm{e}(m_1d/q).\]
\item Soit $d$ un entier tel que $1\leqslant d<r$ et $d\mid r$. Montrer que
    \[\sum_{1\leqslant m_1\leqslant q/d}\chi_1(m_1)\mathrm{e}(m_1d/q)=0.\]
\item Montrer que, si $(r,q_1)>1$, alors $G_{\chi}(1)=0$.
\item Montrer que, si $(r,q_1)=1$, alors
\[G_{\chi}(1)=\mu(r)\chi_1(r)G_{\chi_1}(1).\]
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Pour tout caract\`ere de Dirichlet $\chi$, on d\'esigne par $S_\chi$ la fonction sur $[1,+\infty[$ telle que
\[S_\chi(x):=\sum_{n\leqslant x}\chi(n).\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si $\chi$ n'est pas principal, alors $S_\chi$ est une fonction p\'eriodique.
\item Soient $q\geqslant 1$ un entier et $\chi$ un caract\`ere de Dirichlet modulo $q$. Montrer que, si $\chi$ n'est pas principal, alors
$|S_{\chi}(x)|\leqslant \frac{1}{2}q$
pour tout $x\geqslant 1$.
\item Soient $q\geqslant 2 $ un entier et $\chi$ un caract\`ere de Dirichlet modulo $q$ qui est primitif.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Montrer que
\[G_{\chi}(1)=-\frac{2\pi i}{q}\int_0^qS_\chi(t)\mathrm{e}(t/q)\,\mathrm{d}t=-\frac{2\pi i}{q}\int_0^qS_\chi(q-t)\mathrm{e}(-t/q)\,\mathrm{d}t.\]
\item Montrer que $S_\chi(q-t)=-\chi(-1)S_{\chi}(t)$ presque partout.
\item En d\'eduire que
\[G_{\chi}(1)=-\frac{\pi i}{q}\int_0^qS_{\chi}(t)(\mathrm{e}(t/q)-\chi(-1)\mathrm{e}(-t/q))\,\mathrm{d}t.\]
\item Montrer que
$\sup_{x\geqslant 1}|S_{\chi}(x)|\geqslant \frac 14\sqrt{q}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exe}


\end{document}

