\documentclass[a4paper,onecolumn,oneside,10pt]{book}

%------------------------------Use packages---------------------------------
\usepackage{theorem}
\usepackage{latexsym,amscd,mathrsfs}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{enumerate,qsymbols,euscript}
\usepackage[francais]{babel}
\selectlanguage{francais} \makeindex
\input xy
\xyoption{all}
%--------------------------------------------------------------------------




%------------------------------Theorem Format-------------------------------
\theoremheaderfont{\bfseries} \theoremstyle{plain}
\theorembodyfont{\upshape\it} %\newcounter{Exe}
\newtheorem{Thm}{\bf Th\'eor\`eme}[chapter]
\newtheorem{Pro}[Thm]{\bf Proposition}
\newtheorem{Cor}[Thm]{\bf Corollaire}
\newtheorem{Lem}[Thm]{\bf Lemme}
\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{Def}[Thm]{D\'efinition}
\newtheorem{Rem}[Thm]{\bf Remarque}
\newtheorem{Exa}[Thm]{\bf Exemple}
\newtheorem{Exe}{\bf Exercice}
%\author{CHEN Huayi}
%---------------------------------------------------------------------------
\newenvironment{proof}{%
\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
}{\flushright\vspace{-0.3 cm}$\square$\vspace{0.3 cm}%
\\%
}



%---------------------------------Page Format--------------------------------
\paperwidth 170truemm \paperheight 230truemm \textwidth
132truemm \textheight 210truemm \headheight=20pt
\headsep=6truemm \footskip=20pt \topmargin=0pt
\oddsidemargin=0pt \evensidemargin=0pt

%-----------------------------------------------------------------------------



%---------------------------------New Commands---------------------------------
\DeclareMathOperator{\ann}{ann}
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
\DeclareMathOperator{\Ass}{Ass}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Bighom}{\mathcal{H}om}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\co}{co}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\Coim}{Coim}
\DeclareMathOperator{\Coker}{Coker}\DeclareMathOperator{\Cot}{Cot}
\DeclareMathOperator{\Der}{D\acute{e}r}
\DeclareMathOperator{\Dif}{Dif}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Divisor}{Div}
\DeclareMathOperator{\dom}{dom}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
\DeclareMathOperator{\Ens}{Ens}
\DeclareMathOperator{\Exp}{Exp}
\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
\DeclareMathOperator{\fermant}{f}
\DeclareMathOperator{\Frac}{Frac}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
\DeclareMathOperator{\haut}{ht}
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\DeclareMathOperator{\Id}{Id}
\DeclareMathOperator{\iin}{in}
\DeclareMathOperator{\Image}{Im}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\inv}{inv}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\len}{len}
\DeclareMathOperator{\Lie}{Lie}
\DeclareMathOperator{\longeur}{long}
\DeclareMathOperator{\obj}{obj}
\DeclareMathOperator{\Opp}{opp}
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
\DeclareMathOperator{\ouvrant}{o}
\DeclareMathOperator{\Pic}{Pic}
\DeclareMathOperator{\poids}{p}
\DeclareMathOperator{\ppcm}{ppcm}
\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
\DeclareMathOperator{\Proj}{Proj}
\DeclareMathOperator{\pt}{pt}
\DeclareMathOperator{\rad}{rad}
\DeclareMathOperator{\Rat}{Rat}
\DeclareMathOperator{\Real}{Re}
\DeclareMathOperator{\red}{red}
\DeclareMathOperator{\Sch}{Sch}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Spf}{Spf}
\DeclareMathOperator{\Spm}{Spm}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Top}{Top}
\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
\DeclareMathOperator{\univ}{univ}



\newcommand{\Sets}{{\mathcal S}ets}
\newcommand{\Groups}{{\mathcal G}roups}
\newcommand{\Modules}{{\mathcal M}odules}
\newcommand{\Abel}{{\mathcal A}bel}
\renewcommand{\det}{\text{d\'et}\,}
\newcommand{\Fai}{{\mathcal F}ai}
\newcommand{\BigGr}{{\mathcal G}r}
\newcommand{\BigSym}{{\mathcal S}ym}
\newcommand{\BigDer}{{\mathcal D}\acute{e}r}
%---------------------------------------------------------------------------------



%------------------------------------------------------------------------------


\begin{document}
%\maketitle
\pagestyle{plain}
%\tableofcontents

%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
\def\opp#1{#1^{\text{opp}}}
\def\rarrow#1{\stackrel{#1}{\rightarrow}}
\def\Rarrow#1{\stackrel{#1}{\longrightarrow}}
\def\Norm#1{{\|}#1{\|}}
\def\D{\displaystyle}
\def\indic{1\!\!1}

%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices VI
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soit $\mu$ la mesure sur $\mathbb R_+$ l'image directe de la mesure de Lebesgue par l'application de norme $\|\cdot\|:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R_+$ qui envoie $(x_1,\ldots,x_n)$ en $(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $V_n$ le volume de la boule unit\'e dans $\mathbb R^n$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue. Montrer que l'\'egalit\'e suivante entre les mesures sur $\mathbb R_+$~:
    \[\mu(\mathrm{d}t)=nV_nt^{n-1}\mathrm{d}t.\]
\item Montrer que
\[V_n=\pi^{n/2}\Gamma\Big(1+\frac{n}{2}\Big)^{-1}.\]
\item Montrer que
\[\int_{\mathbb R^n}(1+\|x\|^2)^{-(n+1)/2}\,\mathrm{d}x=\pi^{(n+1)/2}\Gamma\Big(\frac{n+1}{2}\Big)^{-1}.\]
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $\mathbb A$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb N^*=\{1,2,\cdots\}$ vers $\mathbb C$.
A chaque fonction $f\in\mathbb A$ on associe une s\'erie de fonction
\[L(f,s):=\sum_{n\geqslant 1}\frac{f(n)}{n^s},\]
appel\'ee la \emph{s\'erie de Dirichlet} de $f$. On d\'esigne par $C(f)$ le sous-ensemble de $\mathbb C$ des points $s$ o\`u la s\'erie $L(f,s)$ est convergente. Soit $C_a(f)$ le sous-ensemble de $C(f)$ des point $s$ o\`u la s\'erie $L(f,s)$ est absoluement convergente.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soient $f$ et $g$ deux fonctions dans $\mathbb A$, et $h=f*g$.
\begin{enumerate}[(a)]
    \item Montrer que, si $s$ est un point de $C_a(f)\cap C_a(g)$, alors la s\'erie de Dirichlet de $h$ converge absoluement en $s$.
    \item Soit $s$ un point dans $C(f)\cap C_a(g)$. Pour tout $x\geqslant 1$, soit
    \[A(x):=\sum_{n\leqslant x}\frac{f(n)}{n^s}.\]
    Montrer que
    \[\sum_{n\leqslant x}\frac{h(n)}{n^s}=\sum_{d\leqslant x}\frac{g(d)}{d^s}A\Big(\frac{x}{d}\Big).\]
    \item En d\'eduire que, si $s\in C(f)\cap C_a(g)$, alors $s\in C(h)$, et
        \[L(h,s)=L(f,s)L(g,s).\]
\end{enumerate}
\item Soit $f\in\mathbb A$ la fonction telle que
\[f(n)=\frac{(-1)^n}{(\log(2n))^2}\qquad (n\geqslant 1).\]
Soit $h=f*f$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que la s\'erie de Dirichlet de $f$ converge en tout point de l'axe $\mathrm{Re}(s)=0$.
\item Montrer que la fonction $h$ n'est pas born\'ee. En d\'eduire que la s\'erie de Dirichlet de $h$ diverge en tout point de l'axe $\mathrm{Re}(s)=0$.
\end{enumerate}
\item Soient $f\in\mathbb A$ une fonction multiplicative et $s$ un nombre complexe. On suppose que
    \[\sum_{p}\sum_{\alpha\geqslant 1}\Big|\frac{f(p^\alpha)}{p^{\alpha s}}\Big|<+\infty,\]
    o\`u $p$ parcourt tous les nombres premiers.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que le produit infini
\[\prod_p\bigg(1+\sum_{\alpha\geqslant 1}\Big|\frac{f(p^\alpha)}{p^{\alpha s}}\Big|\bigg)\]
converge vers un nombre positif $M$ et que
\[\sum_{n\leqslant x}\Big|\frac{f(n)}{n^s}\Big|\leqslant M\]
pour tout $x\geqslant 1$.
\item En d\'eduire que la s\'erie de Dirichlet de $f$ converge absolument en $s$, et
    \[L(f,s)=\prod_{p}\sum_{\alpha\geqslant 0}\frac{f(p^\alpha)}{p^{\alpha s}}.\]
\end{enumerate}
\item Soit $\Lambda\in\mathbb A$ la fonction de Mangoldt d\'efinie comme $\Lambda=\mu*\log$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Montrer que $\Lambda=-\mu\log*\indic$.
\item Montrer que, si $a$ et $b$ sont deux entiers $\geqslant 1$ tels que $(a,b)=1$, alors $\Lambda(ab)=\delta(a)\Lambda(b)+\delta(b)\Lambda(a)$.
\item En d\'eduire que $\Lambda(n)=0$ si $n$ n'est pas une puissance de nombre premier.
\item Montrer que, si $p$ est un nombre premier et si $\alpha\geqslant 1$ est un entier, alors $\Lambda(p^\alpha)=\log(p)$.
\item Montrer que la s\'erie de Dirichlet associ\'ee \`a $\Lambda$ converge sur le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>1$.
\item \'Etablir l'\'egalit\'e
\[-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=L(\Lambda,s)\]
pour $\mathrm{Re}(s)>1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{Exe}






\end{document}
