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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices VII
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Pour tout nombre r\'eel $x>0$, on d\'esigne par $M(x)$ la somme
\[\sum_{n\leqslant x}\mu(n),\]
o\`u $\mu$ est la fonction de M\"obius.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que la s\'erie de Dirichlet de $\mu$ converge absolument dans le demi-plan ouvert $\mathrm{Re}(s)>1$, et la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble compact de ce demi-plan.
\item Montrer l'\'egalit\'e $\zeta(s)L(\mu,s)=1$ sur le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>1$.
\item En d\'eduire que la fonction $L(\mu,s)$ admet un prolongement analytique en une fonction m\'eromorphe $F(s)$ sur $\mathbb C$.
\item Montrer que $F(s)$ est holomorphe dans un ouvert contenant le demi-plan ferm\'e $\mathrm{Re}(s)\geqslant 1$ et que $F(1)=0$.
\item Montrer l'\'egalit\'e suivante pour $x> 1$
\[\sum_{n\leqslant x}\frac{\mu(n)}{n^s}=s\int_1^x M(t)t^{-1-s}\,\mathrm{d}t+M(x)x^{-s}\qquad(s\in\mathbb C).\]
\item En d\'eduire que, pour tout $s\in\mathbb C$ tel que $\mathrm{Re}(s)>1$, on a
    \[\zeta(s)^{-1}=s\int_1^\infty\frac{M(t)}{t^{1+s}}\,\mathrm{d}t.\]
\end{enumerate}
Pour tout nombre r\'eel $T>1$, on d\'efinit la fonction $F_T$ sur $\mathbb C$ comme la suite~:
\[F_T(s):=\int_1^T\frac{M(t)}{t^{1+s}}\,\mathrm{d}t.\]
Consid\'erons pour $R>0$ fix\'e et $\delta>0$ petit le contour $\gamma$ d\'elimitant la r\'egion \[S:=\{s\in\mathbb C\,|\,\mathrm{Re}(s)\geqslant 1-\delta,\;|s-1|\leqslant R\}\] qui est contenue dans le domaine de holomorphie de la fonction $F$.
Soit 
\[G_{T,R}(s):=(s^{-1}F(s)-F_T(s))T^{s-1}\Big(1+\frac{(s-1)^2}{R^2}\Big).\]
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que $F_T$ est une fonction holomorphe sur $\mathbb C$.
\item \'Etablir l'\'egalit\'e
\[F(1)-F_T(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}G_{T,R}(s)\,\frac{\mathrm{d}s}{s-1}.\]
\item Soit $\gamma_1$ la partie de $\gamma$ situ\'ee dans le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>1$. Montrer que
    \[\bigg|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}G_{T,R}(s)\,\frac{\mathrm{d}s}{s-1}\bigg|
    \leqslant\frac{1}{R}.\]
\item Soit $\gamma_2$ la partie de $\gamma$ situ\'ee dans le demi-plan $\mathrm{Re}(s)<1$. 
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item En utilisant le fait que $F_T$ est une fonction enti\`ere, montrer que 
        \[\bigg|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}F_T(s)T^{s-1}\Big(1+\frac{(s-1)^2}{R^2}\Big)\frac{\mathrm{d}s}{s-1}\bigg|
        \leqslant\frac{1}{R}.\]
    \item Montrer que, pour tout $s$ dans le domaine d'holomorphie de $F$ tel que $0<\mathrm{Re}(s)<1$, la fonction
    \[s^{-1}F(s)T^{s-1}\Big(1+\frac{(s-1)^2}{R^2}\Big)\frac{1}{s-1}.\]
    converge vers $0$ lorsque $T\rightarrow+\infty$. De plus, cette convergence est uniforme sur tout compact contenu dans l'intersection du domaine d'holomorphie de $F$ avec la bande $0<\mathrm{Re}(s)<1$.
    \item En d\'eduire que
    \[\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}F(s)T^{s-1}\Big(1+\frac{(s-1)^2}{R^2}\Big)
    \frac{\mathrm{d}s}{s-1}=0.\]    
    \end{enumerate}
\item En d\'eduire que 
\[\lim_{T\rightarrow+\infty}F_T(0)=F(0).\]
\item Montrer que l'int\'egrale 
\[\int_1^\infty \frac{M(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\]
est convergente et nulle.
\item En d\'eduire que 
\[\lim_{x\rightarrow+\infty}\bigg(\sum_{n\leqslant x}\frac{\mu(n)}{n}-\frac{M(x)}{x}\bigg)=0.\]
\item Pour tout $x\geqslant 1$, soit $H(x)=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)\log(n)$. Montrer que
    \[H(x)=M(x)\log x-\int_1^x\frac{M(t)}{t}\,\mathrm{d}t.\]
\item Montrer que \[H(x)=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)\psi(x/n),\]
o\`u $\psi(x)=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(n)$.
\item En utilisant le th\'eor\`eme des nombres premiers sous la forme $\psi(x)\sim x$, montre que
    \[\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{M(x)}{x}=0.\]
\item Montrer que
\[\sum_{n\geqslant 1}\frac{\mu(n)}{n}=0.\]
\end{enumerate}
\end{Exe}






\end{document}
\item Pour tout $x>1$, soit $m(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)/n$. Montrer que la fonction $m$ est born\'ee.
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$,
\[\sum_{dm=n}\frac{\mu(d)}{dm}=\delta(n).\]
\item En d\'eduire que
\[\sum_{d\leqslant x}\frac{\mu(d)}{d}\sum_{m\leqslant x/d}\frac{1}{m}=1\qquad(x\geqslant 1).\]
\item Montrer que
\[m(x)(\log x+\gamma)-G(x)=O(1),\]
o\`u $G(x):=\sum_{n\leqslant x}\mu(n)\log(n)/n$.

