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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices VIII
}\vspace{6 mm }

\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier. On d\'esigne par $|\cdot|_{p}$ la valeur absolue $p$-adique de $\mathbb Q$, normalis\'ee de sorte que $|p|_p=p^{-1}$. Soit $\mathbb Q_p$ le compl\'et\'e de $\mathbb Q$ par rapport \`a la valeur absolue $|\cdot|_p$ et par $\mathbb Z_p$ le sous-anneau de $\mathbb Q_p$ des \'el\'ements $a$ tels que $|a|_p\leqslant 1$. On dit qu'un polyn\^ome $F(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n\in\mathbb Z_p[X]$ est \emph{primitif} si \[\max\{|a_0|_p,\ldots,|a_n|_p\}=1.\]

Le but de cet exercice est de montrer le lemme de Hensel~: \emph{Si $F\in\mathbb Z_p[X]$ est un polyn\^ome prmitif dont la r\'eduction modulo $p$ se d\'ecompose en produit de deux polyn\^omes $g$ et $h$ dans $\mathbb F_p[X]$ qui sont premiers entre eux, alors il existe deux polyn\^omes $G$ et $H$ dans $\mathbb Z_p[X]$ dont les r\'eductions modulo $p$ sont respectivement $g$ et $h$, et tels que $F=GH$ et $\deg(G)=\deg(g)$.}

Dans la suite, on fixe $F$, $g$ et $h$ comme dans l'\'enonc\'e du lemme de Hensel. Soient en outre $d=\deg(F)$ et $m=\deg(g)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer qu'un polyn\^ome $P\in\mathbb Z_p[X]$ est primitif si et seulement si sa r\'eduction modulo $p$ est non-nulle.
\item Montrer que $d-m\geqslant \deg(h)$.
\item Choississons deux polyn\^omes $G_0$ et $H_0$ dans $\mathbb Z_p[X]$ dont les r\'eductions modulo $p$ sont respectivement $g$ et $h$, et tels que $\deg(G_0)=\deg(g)$ et $\deg(H_0)=\deg(h)$. Montrer qu'il existe deux \'el\'ements $A$ et $B$ dans $\mathbb Z_p[X]$ tels que $AG_0+BH_0-1\in p\mathbb Z_p[X]$.
\item Montrer que le coefficient dominant de $G_0$ est un \'el\'ement inversible dans $\mathbb Z_p$.
\end{enumerate}
Dans la suite, on suppose que $F\neq G_0H_0$ (car sinon il n'y a rien \`a d\'emontrer). On choisit, parmi les coefficients des polyn\^omes $F-G_0H_0$ et $AG_0+BH_0-1$, un \'el\'ement non-nul $\vartheta$ dont la valeur absolue est maximale.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{4}
\item Montrer que $|\vartheta|_p<1$.
\end{enumerate}
On construit par r\'ecurrence deux suites de polyn\^omes
\begin{gather*}
G_n=G_0+\vartheta P_1+\cdots+\vartheta^n P_n,\\
H_n=H_0+\vartheta Q_1+\cdots+\vartheta^n Q_n,
\end{gather*}
o\`u $P_i$ et $Q_i$ ($i=1,\ldots,n$) sont des polyn\^omes dans $\mathbb Z_p[X]$ de degr\'es $<m$ et $\leqslant d-m$ respectivement, telles que la condition ($\mathbb P_n$): $F-G_nH_n\in\vartheta^{n+1}\mathbb Z_p[X]$ soit satisfaite.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{5}
\item Montrer que la condition ($P_0$) est satisfaite avec le choix de $G_0$, $H_0$ et $\vartheta$ comme ci-dessus.
\end{enumerate}
Supposons que l'on a construit $P_1,\ldots,P_{n-1}, Q_1,\ldots,Q_{n-1}$ de sorte que les conditions $(\mathbb P_0),\ldots,(\mathbb P_{n-1})$ soient satisfaites.
\begin{enumerate}[1)]
\setcounter{enumi}{6}
\item Montrer que, si $P_n$ et $Q_n$ sont des polyn\^omes qui permettent de construire $G_n$ et $H_n$ de telle sorte que la condition $(\mathbb P_n)$ soit v\'erifi\'ee, alors on a
    \[F_n-G_{n-1}Q_n-H_{n-1}P_n\in\vartheta\mathbb Z_p[X],\eqno{(*)}\] o\`u $F_n:=\vartheta^{-n}(F-G_{n-1}H_{n-1})$.
\item Montrer que la relation ($*$) est satisfaite si on prend $Q_n=AF_n$ et $P_n=BF_n$. Ce choix est-il convenable pour construire $G_n$ et $H_n$?
\item Montrer qu'il existe un unique polyn\^ome $P_n\in\mathbb Z_p[X]$ de degr\'e $<m$ tel que $BF_n-P_n$ soit divisible (dans $\mathbb Z_p[X]$) par $G_0$.
\item Soit $R_n\in\mathbb Z_p[X]$ le polyn\^ome tel que $BF_n-P_n=R_nG_0$. Montrer que
    \[G_0(AF_n+H_0R_n)+H_0P_n-F_n\in\vartheta\mathbb Z_p[X].\]
\item Soit $Q_n$ le polyn\^ome obtenu de $AF_n+H_0R_n$ en gardant les termes de coefficients de valeur absolue $> |\vartheta|_{p}$ et en \'eliminant les autres. Montrer que $G_0Q_n+H_0P_n-F_n\in\vartheta\mathbb Z_p[X]$ et $\deg(Q_n)\leqslant d-m$.
\item En d\'eduire que les polyn\^omes $G_n$ et $H_n$ construits \`a partir de $P_n$ et $Q_n$ comme dans les questions 9) et 11) v\'erifient la condition ($\mathbb P_n$).
\item Conclure.
\item Application~: montre que toute racine $(p-1)^{\text{i\`eme}}$ de l'unit\'e est contenue dans $\mathbb Z_p$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $\Phi_n$ le $n^{\text{i\`eme}}$ polyn\^ome cyclotomique.
Montrer que
\[\Phi_n(X)=\prod_{d\mid n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)},\]
o\`u $\mu$ est la fonction de M\"{o}bius.
\end{Exe}
\end{document}
