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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
\def\zm{\noindent{\it D\'emonstration.\ \ \ }}
\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{7 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique \\
2010-2011\end{minipage}} \vspace{5mm}

\centerline{\Large \bf Feuille d'exercices IX
}\vspace{6 mm }

Soit $p$ un nombre premier. On d\'esigne par $|\cdot|_p$ la valeur absolue $p$-adique de $\mathbb Q$. Soient $\mathbb Q_p$ le compl\'et\'e de $\mathbb Q$ par rapport \`a $|\cdot|_p$ et $\mathbb Z_p$ la boule unit\'e ferm\'ee de $\mathbb Q_p$.


\begin{Exe}
Soit
\[F(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\]
un polyn\^ome unitaire
dans $\mathbb Z_p[X]$. On suppose que $a_i\in p\mathbb Z_p$ pour tout $i\in\{0,\ldots,n-1\}$ et que $a_0\not\in p^2\mathbb Z_p$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que le polyn\^ome $F$ est irr\'eductible dans $\mathbb Z_p[X]$. On peut prendre la r\'eduction de $F$ modulo $p$.
\item En d\'eduire que le polyn\^ome $F$ est irr\'eductible dans $\mathbb Q_p[X]$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 1$, le $(p^n)^{\text{i\`eme}}$ polyn\^ome cyclotomique est
    \[\Phi_{p^n}(X)=\sum_{k=0}^{p-1}X^{kp^{n-1}}.\]
\item Montrer que $\Phi_p$ est irr\'eductible dans $\mathbb Q_p[X]$. (Indication : on peut consid\'erer le polyn\^ome $\Phi_p(X+1)$).
\item Montrer que $(X+1)^{p^{n-1}}-X^{p^{n-1}}-1\in p\mathbb Z[X]$ pour tout entier $n\geqslant 1$.
\item En d\'eduire que $\Phi_{p^n}(X+1)-X^{p^{n-1}(p-1)}\in p\mathbb Z[X]$.
\item Calculer $\Phi_{p^n}(1)$.
\item Montrer que $\Phi_{p^n}$ est irr\'eductible dans $\mathbb Q_p[X]$.
\end{enumerate}
\end{Exe}




\begin{Exe}
Soient $p$ un nombre premier et $\zeta$ une racine $p^{\text{i\`eme}}$ de l'unit\'e qui est primitive. On d\'esigne par $\mathbb Z[\zeta]$ le plus petit sous-anneau de $\mathbb Q(\zeta)$ qui contient $\mathbb Z\cup\{\zeta\}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soient $r$ et $s$ deux entiers tels que $p\nmid rs$. Montrer que $(\zeta^r-1)/(\zeta^s-1)$ est un \'el\'ement inversible dans $\mathbb Z[\zeta]$.
\item Montrer que $(1-\zeta)^{p-1}/p$ est un \'el\'ement inversible dans $\mathbb Z[\zeta]$.
\item En d\'eduire que $N_{\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q}(1-\zeta)=p$.
\item Montrer que le discriminant de la base $(1,\zeta,\ldots,\zeta^{p-2})$ de $\mathbb Q(\zeta)$ sur $\mathbb Q$ est $\pm p^{p-2}$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $p$ un nombre premier impair. On note
\[S:=\sum_{a\in\mathbb F_p^\times}\Big(\frac{a}{p}\Big)\zeta^a,\]
o\`u $\zeta$ est une racine $p^{\text{i\`eme}}$  de l'unit\'e qui est primitive, $\big(\frac{\;}{p}\big)$ est le symbole de Legendre modulo $p$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que
\[S^2=\sum_{(a,b)\in(\mathbb F_p^\times)^2}\Big(
\frac{b}{p}\Big)\zeta^{a(b+1)}\]
\item En d\'eduire que
\[S^2=\Big(\frac{-1}{p}\Big)p.\]
\item En d\'eduire que $\mathbb Q(\sqrt{p})$ est ou bien contenu dans $\mathbb Q(\zeta,i)$ ou bien contenu dans $\mathbb Q(\zeta)$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soient $A$ un anneau commutatif, $R$ une alg\`ebre sur $A$, $r$ un
\'el\'ement de $R$. On dit que $r$ est {\it entier}
sur $A$ s'il est une racine d'un polyn\^ome unitaire dans $A[X]$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que les propri\'et\'es
suivantes sont \'equivalentes:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $r$ est entier sur $A$.
\item La sous-alg\`ebre $A[r]$ de $R$ est un $A$-module de type
fini.
\item Il existe une sous-alg\`ebre de $R$ contenant $r$ qui est un $A$-module
de type fini.
\item Il existe un $A[r]$-module $M$ tel que $\mathrm{ann}_{A[r]}(M)=0$  qui est un $A$-module
de type fini.
\end{enumerate}
\item Supposons que $R$ est engendr\'ee par un nombre fini d'\'el\'ements entiers sur $A$. Montrer que $R$ est un $A$-module de type fini.
\item Montrer que les \'el\'ements de $R$ qui sont entiers sur $A$ forment une sous-$A$-alg\`ebre de $R$.
\end{enumerate}
\end{Exe}

\begin{Exe}
Soit $K$ une extension finie de $\mathbb Q_p$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, si
\[F(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n\qquad(a_0\neq 0)\]
est un polyn\^ome dans $\mathbb Q_p[X]$ qui est irr\'eductible, alors pour tout $i\in\{0,\ldots,n\}$ on a $|a_i|_p\leqslant\max(|a_0|_p,|a_n|_p)$. En d\'eduire que, si $a_0=1$ et si $a_n\in\mathbb Z_p$, alors $F\in\mathbb Z_p[X]$.
\item Soit $\mathcal O_K$ l'ensemble des \'el\'ements de $K$ qui sont entiers sur $\mathbb Z_p$. Montrer que \[\mathcal O_K=\{\alpha\in K\,|\,N_{K/\mathbb Q_p}(\alpha)\in\mathbb Z_p\}.\]
\item Soit $|\cdot|:K\rightarrow\mathbb R_+$ l'application qui envoie $\alpha\in K$ en
    \[|N_{K/\mathbb Q_p}(\alpha)|_p^{1/[K:\mathbb Q_p]}.\]
    \begin{enumerate}[(i)]
    \item Montrer que l'application $|\cdot|$ prolonge la valeur absolue $p$-adique.
    \item Montrer que $|\cdot|$ est multiplicative~: on a $|\alpha\beta|=|\alpha|\cdot|\beta|$ pour tous $\alpha,\beta\in K$.
    \item Montrer que $\mathcal O_K=\{\alpha\in K\,:\,|\alpha|\leqslant 1\}$.
    \item En d\'eduire que $|\cdot|$ est une valeur absolue non-archim\'edienne sur $K$.
    \end{enumerate}
\item Montrer que $|\cdot|$ est l'unique valeur absolue sur $K$ qui prolonge $|\cdot|_p$.
\end{enumerate}
\end{Exe}


\end{document}



