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\noindent{\bf D\'emonstration\hskip 10pt}%
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\begin{document}
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%----------------------------------Definitions------------------------------------
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\def\endzm{\\ \hspace*{\fill} $\square$\bigskip}
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%\setcounter{chapter}{-1}
\pagestyle{empty}
{\vspace{-7mm}\noindent\begin{minipage}[r]{8 cm}\bf
Universit\'e Paris
Diderot\\
M1 Arithm\'etique (2010-2011)\end{minipage}} \vspace{2mm}

\begin{center}{\bf Contr\^ole de connaissance\\ du mercredi 23 mars 2011 (Dur\'ee 2 h)\\ Documents autoris\'es\\
}\end{center}

\newcounter{coun}
\centerline{\bf Premi\`ere partie}\vspace{2mm}

Soient $p$ un nombre premier impair et $\mathbb F_p$ le corps fini $\mathbb Z/p\mathbb Z$. On appelle caract\`ere de $\mathbb F_p^\times$ tout homomorphisme de groupes de $\mathbb F_p^{\times}$ vers $\mathbb C^\times$. On d\'esigne par $G$ l'ensemble des caract\`eres de $\mathbb F_p^{\times}$. Le caract\`ere principal (i.e. le morphisme de groupe qui est constant de valeur $1$) est not\'e $\varepsilon$. Pour tout $\chi\in G$, on \'etend le domaine de d\'efinition de $\chi$ \`a $\mathbb F_p$ en prenant
\[\chi(0):=\begin{cases}
0,&\chi\neq\varepsilon,\\
1,&\chi=\varepsilon.
\end{cases}\]


\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\item Montrer que l'ensemble $G$, muni de la loi de composition que l'on pr\'ecisera, est un groupe cyclique. D\'eterminer son cardinal.
\item Montrer que le groupe $G$ admet un et un seul \'el\'ement $\lambda$ qui est d'ordre $2$.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

Dans les questions {\bf 3}--{\bf 6}, on fixe un \'el\'ement $a\in\mathbb F_p$ et un entier $n\geqslant 1$ qui divise $p-1$. On d\'esigne par $N(x^n=a)$ le nombre des solutions dans $\mathbb F_p$ de l'\'equation $x^n=a$.
\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item On suppose que l'\'equation $x^n=a$ n'a pas de solution dans $\mathbb F_p$. Montrer qu'il existe un caract\`ere $\chi\in G$ qui est d'ordre $n$ dans le groupe $G$ et tel que $\chi(a)\neq 1$.
\item On suppose que $a\neq 0$. Montrer que $N(x^n=a)$ est ou bien nul ou bien \'egal \`a $n$.
\item Montrer que
\[N(x^n=a)=\sum_{\chi\in G,\,\chi^n=\varepsilon}\chi(a).\]
\item On suppose $n=2$. Montrer que
\[N(x^2=a)=1+\lambda(a),\]
o\`u $\lambda$ est le caract\`ere que l'on a introduit dans la question {\bf 2}.
\item Montrer que
\[N(x^2+y^2=1)=p+\sum_{\begin{subarray}{c}(a,b)\in\mathbb F_p^2, \\ a+b=1\end{subarray}}\lambda(a)\lambda(b),\]
o\`u $N(x^2+y^2=1)$ d\'esigne le nombre des solutions dans $\mathbb F_p^2$ de l'\'equation $x^2+y^2=1$.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}


\bigskip
\centerline{\bf Deuxi\`eme partie}\vspace{2mm}

Le but de cette partie est de d\'efinir l'analogue $p$-adique de la fonction $\Gamma$. On fixe un nombre premier impair $p$. Pour tout entier $k\geqslant 1$, soit
\begin{equation}\label{Equ:Gamma}\Gamma_p(k):=(-1)^k\prod_{\begin{subarray}{c}1\leqslant j<k\\
p\nmid j
\end{subarray}}j.\end{equation}
On convient que $\Gamma_p(1)=-1$.\hfill{\bf TSVP}

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item Montrer que, pour tout entier $N\geqslant 1$, l'application $x\mapsto x^{-1}$ d\'efinit une bijection de $(\mathbb Z/p^N\mathbb Z)^{\times}$ vers lui-m\^eme, et que
    \[\{x\in(\mathbb Z/p^N\mathbb Z)^{\times}\,|\,x=x^{-1}\}=\{1,-1\}.\]
\item Montrer que, pour tout entier $N\geqslant 1$, on a
\[\prod_{\begin{subarray}{c}
1\leqslant j<p^N\\
p\nmid j
\end{subarray}}j\equiv -1\quad(\mathrm{mod}\;p^N).\]
\item En d\'eduire
\[\Gamma_p(k+p^N)/\Gamma_p(k)\equiv 1\quad(\mathrm{mod}\;p^N)\]
pour tout $k\in\mathbb N_*$.
\item En d\'eduire que, si $k$ et $k'$ sont deux entiers dans $\mathbb N_*$ tels que $p^N\mid(k-k')$, alors
    \[\Gamma_p(k)\equiv\Gamma_p(k')\quad(\mathrm{mod}\;p^N).\]
\item Montrer que la fonction $\Gamma_p$ s'\'etend de fa\c{c}on unique en une fonction continue de $\mathbb Z_p$ vers $\mathbb Z_p^{\times}$.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
Dans les questions {\bf 12.}--{\bf 14.}, l'expression $\Gamma_p$ d\'esigne la fonction continue de $\mathbb Z_p$ vers $\mathbb Z_p^{\times}$ qui prolonge la fonction d\'efinie dans \eqref{Equ:Gamma}.
\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item Montrer que
\[\frac{\Gamma_p(s+1)}{\Gamma_p(s)}=\begin{cases}
-s,&s\in\mathbb Z_p^{\times},\\
-1,&s\in p\mathbb Z_p.
\end{cases}\]
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
Pour $s\in\mathbb Z_p$, soit $s_0$ l'unique \'el\'ement dans $\{1,2,\ldots,p\}$ tel que $s-s_0\in p\mathbb Z_p$. Soit $s_1$ un \'el\'ement de $\mathbb Z_p$ tel que $s-s_0=ps_1$.

\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item  Montrer que, pour tout $s\in\mathbb Z_p$, on a
    $\Gamma_p(s)\Gamma_p(1-s)=(-1)^{s_0}$.
\item Montrer que, si $m\in\mathbb N_*$ est un entier qui n'est pas divisible par $p$, alors on a
    \[\frac{\prod_{h=0}^{m-1}\Gamma_p\Big(\frac{s+h}{m}\Big)}{
    \Gamma_p(s)\prod_{h=1}^{m-1}\Gamma_p\Big(\frac{h}{m}\Big)}
    =m^{1-s_0}(m^{-(p-1)})^{s_1}\]
    pour tout $s\in\mathbb Z_p$. Ne pas oublier de justifier que le terme \`a droite de la formule est bien d\'efini.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
\bigskip
\centerline{\bf Troixi\`eme partie}\vspace{2mm}


\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item  Montrer que la s\'erie
\[G(s):=\sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n^s}\]
converge absolument sur le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>1$.
\item Montrer que la s\'erie $G(s)$ diverge sur $\mathrm{Re}(s)<0$.
\item \'Etablir l'\'egalit\'e suivante sur $\mathrm{Re}(s)>1$~:
\[G(s)=(2^{1-s}-1)\zeta(s).\]
\item En d\'eduire que la fonction $G(s)$ ($\mathrm{Re}(s)>1$) se prolonge en une fonction enti\`ere.
\item Montrer que la s\'erie $G$ converge simplement sur le demi-plan $\mathrm{Re}(s)>0$.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}
\end{document}


Dans cette partie, on consid\`ere une suite $(a_n)_{n\geqslant 1}$ dans $\mathbb C$. Soit en outre $F(s)$ la s\'erie de fonction
\[\sum_{n\geqslant 1}\frac{a_n}{n^s}.\]
Pour tout nombre r\'eel $t$, soit
\[A(t):=\sum_{n\geqslant \mathrm{e}^t}a_n.\]
\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\setcounter{enumi}{\value{coun}}
\item  Montrer que, si la s\'erie $F(s)$ converge simplement en $s_0$, alors elle converge pour tout $s\in\mathbb C$ tel que $\mathrm{Re}(s)>\mathrm{Re}(s_0)$. En outre, pour tout $\theta\in[0,\pi/2[$, la convergence est uniforme sur
    \[S(\theta):=\{s\in\mathbb C\,:\,-\theta\leqslant\mathrm{arg}(s-s_0)\leqslant\theta\},\]
    o\`u pour $z\in\mathbb C\setminus\{0\}$, $\mathrm{arg}(z)\in [-\pi,\pi[$ est l'argument de $z$.
\item En d\'eduire que, si $U$ est une partie ouverte de $\mathbb C$ o\`u la s\'erie $F(s)$ converge simplement, alors la somme de la s\'erie d\'efinit une fonction holomorphe sur $U$.
\setcounter{coun}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

