TD 1 : Architecture des Ordinateurs

Première année d’IUT Informatique

1 Les ordres de grandeurs

1. Calculer la place mémoire occupée par une image en 256 niveaux de gris de 1024 × 1024 pixels.

2. Même question pour une image couleur RGB (rouge,vert,bleu) de même taille, où chaque composante est sur 256 niveaux.

3. Supposons qu’un livre contienne 500 pages de 80 lignes de 100 caractères chacune (ponctuations et blancs compris). Combien de caractères composent ce livre ? Sachant qu’un octet représenta un caractère, combien de livres faut-il pour avoir l’équivalent de 30Go ? Enfin l’épaisseur de ce livre est de 2cm, quelle hauteur de livres obtient-on avec 30Go ?

2 les entiers en machine

Pour représenter les nombres nous utilisons habituellement la base dix, mais elle est peu adaptée à une représentation machine où la base 2 ainsi que les puissances de 2 sont assez naturelles. Nous trouvons ainsi le binaire (base 2), l’octal (base 8 = 2^{3}) et l’hexadécimal (16 = 2^{4}).

L´ écriture d´ un nombre X en base β sur n chiffres pris dans 0, 1, ..., β − 1 est :

X = ∑_{i=0}^{n} x_{i}β^{i}

2.1 Les changements de bases

1. Donner un algorithme de conversion d’une base dans une autre.

2. Appliquer cet algorithme (a) Convertir le nombre 732 de la base dix à la base deux.

(b) Convertir le nombre 1234 de la base dix à la base seize (hexadécimal).

3. Ecrire X = 765_{10} en binaire puis en hexadécimal et en octal.

4. Ecrire Y = 10110110_{2} en hexadécimal en octal puis en décimal.

5. Ecrire Z = F EA_{16} en binaire, en octal puis en décimal.

2.2 L´ addition

1. Faire l’addition en binaire de 100110101 et de 1101101.

2. Additionner (en hexadécimal) A90F 2 et 12AE3. Vérifier en base dix.

3. Donner un algorithme d´ addition dans une base quelconque β.

2.3 Complément à deux

2.3.1 la représentation

1. Pour représenter un nombre nous utilisons n chiffres binaires. Combien de valeurs distinctes peuvent être représentées ?

2. Si nous désirons représenter des entiers négatifs et des entiers positifs n chiffres binaires sur quelles valeurs extrèmes peut on obtenir ?

3. Dans ce dernier cas quel codage proposez vous pour les positifs et pour les négatifs ? Discutez des avantages et inconvénients.

4. Le complément à la base prend la forme, X = R_{x} − 2^{n} où R_{x} est la représentation en complément à la base et X la valeur numérique correspondante. Remplir le tableau suivant :

en binaire sur 32 bits signées en complément à deux valeurs non signées
000...000
000...001
000...010
000...011
... ... ...
011...110
011...111
100...000
100...001
... ... ...
111...111

2.3.2 Exemples Nous supposons les entiers codées sur 16 bits en complément à deux.

1. Quelle est la plus grande valeur positive représentable ?

2. Quelle est la plus petite valeur négative représentable ?

3. Faites l’addition binaire de 1 et −1, tous deux écrits en complément à deux sur 16 bits. Que se passe-t-il ?

4. Comment construit-on l’opposé d’un nombre dans cette représentation ?

5. Donner le codage de 213 et de −213.

6. Comment faire une soustraction en complément à deux ?

7. Donner le codage en complément à deux sur 16 bits de 1201 et de −54.

8. Quelles sont les valeurs décimales des nombres 0000001101001001 et 1111111101011100 codés en complément à deux ?