Cours spécialisé de M2 : Introduction à la Géométrie Analytique Non Archimédienne

Où et quand : Les jeudis de 16h00 à 18h00 et les vendredis de 14h00 à 16h00 du 12/03/09 au 10/04/09, en salle 0D7.

Prérequis : Il est préférable d'avoir déjà rencontré les notions suivantes :

• Valuations et valeurs absolues : Corps p-adiques (plus généralement : corps non archimédiens complets), lemme de Hensel, anneaux de valuation.
• Faisceaux : faisceaux sur un espace topologique, éventuellement sur un "site", faisceaux d'anneaux et de modules.
• Schémas en géométrie algébrique: notamment leur définition comme espaces localement annelés recouverts par des schémas "affines" définis comme "spectres d'anneaux".
• Géométrie analytique complexe : notions de prolongement analytique, principes du maximum et résultats de base. Ce n'est pas un prérequis indispensable mais cela permet d'apprécier l'apport de la théorie de Berkovich sur celle de Tate.

Notes de Cours : plus tard peut-être

Sources et références : en vrac

• Courbe de Tate et uniformisation des courbes elliptiques p-adiques en guise de motivation, un survey par O. Wittenberg.
• Lectures on Rigid and Formal Geometry Notes de cours par S. Bosch. Très complètes mais peu (pas) d'exemples.
• Un preprint de P. Berthelot expliquant comment associer un espace rigide à un schéma formel de type plus général que dans la série qui suit :
• Formal and Rigid Geometry I,II,III,IV articles par Bosch, Lütckebohmert et Raynaud.
• Espaces analytiques p-adiques au sens de Berkovich article de survol d' A. Ducros, disponible ici .
• Etale fundamental groups of non-Archimedean analytic spaces article de J. De Jong, disponible ici .
• et bien-sûr les oeuvres de V. Berkovich, notamment le papier à l'IHES.

1  Géométrie rigide suivant Tate

1.1  Algèbres affinoïdes

Algèbres de Tate. Préparation et division de Weierstrass, lemme de Noether. Algèbres affinoïdes, normes résiduelles, rayon spectral, propriétés algébriques.

1.2  Espaces affinoïdes à la Tate.

Espaces affinoïdes, topologie canonique, domaines affinoïdes, G-topologie des domaines affinoïdes. Théorème d'acyclicité de Tate. Faisceau structural.

1.3  Espaces rigides. Exemples.

G-topologies saturées et recollement, définition. Exemple : le demi-plan de Drinfeld, espaces rigides associés aux variétés algébriques. Foncteur GAGA.

1.4  Morphismes et faisceaux

Notions de morphismes propres, étales, lisses. Quelques pathologies. Faisceaux cohérents sur un espace rigide. Un problème embêtant : il n'y a pas assez de points.

2  Liens avec la géométrie formelle

2.1 Rapide introduction aux schémas formels

Notion de schéma formel sur l'anneau des entiers d'un corps non-archimédien. Complétion formelles. Schémas formels admissibles. Eclatements admissibles.

2.2  Le foncteur "fibre générique" des schémas formels vers les espaces rigides. Application de réduction.

2.3  Le théorème de Raynaud : la catégorie des espaces rigides comme localisée de la catégorie des schémas formels admissibles modulo éclatements "admissibles"

Les résultats principaux seront admis, mais on s'attachera à les illustrer par des exemples, notamment en montrant comment les éclatements d'un modèle formel permettent de raffiner des recouvrements admissibles de sa fibre générique.

2.4  Exemples et applications à l'uniformisation p-adique

Construction d'un modèle formel de G_m et courbes de Tate. On revisitera aussi le demi-plan de Drinfeld en construisant explicitement un modèle formel et en expliquant comment en déduire l'uniformisation à la Mumford de certaines courbes algébriques projectives.

3 Géométrie Analytique selon Berkovich

3.1  Plus d'algèbres affinoïdes. Espaces affinoïdes à la Berkovich

Ces espaces sont localement compacts, localement connexes par arcs et contiennent assez de points pour détecter les suites exactes de faisceaux cohérents.

3.2  Espaces de Berkovich. Liens avec ceux de Tate. Exemples.

On ne s'attardera pas trop sur les conditions de recollement en théorie de Berkovich, mais on privilégiera les exemples, notamment le lien entre un espace et la combinatoire de sa réduction. On revisitera l'exemple du demi-plan de Drinfeld.

3.3  Notions de revêtements, étales et analytiques, et groupe fondamental.  

On espère expliquer comment la droite projective sur C_p est simplement connexe du point devue "analytique" ou "étale fini", mais pas du point de vue "étale".

4 Autres approches et leurs relations (Huber, Fujiwara-Kato)

Ce document a été traduit de L^AT_EX par H^EV^EA