Théorie de Lubin-Tate non-abélienne et représentations elliptiques

J.-F. Dat

Résumé

Non abelian Lubin-Tate theory studies the cohomology of some moduli spaces for p-divisible groups, the broadest definition of which is due to Rapoport-Zink, aiming both at providing explicit realizations of local Langlands functoriality and at studying bad reduction of Shimura varieties. In this paper we consider the most famous examples ; the so-called Drinfeld and Lubin-Tate towers. In the Lubin-Tate case, Harris and Taylor proved that the supercuspidal part of the cohomology realizes both the local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences, as conjectured by Carayol. Recently, Boyer computed the remaining part of the cohomology and exhibited two defects : first, the representations of GL_{d} which appear are of a very particular and restrictive form ; second, the Langlands correspondence is not realized anymore. In this paper, we study the cohomology complex in a suitable equivariant derived category, and show how it encodes Langlands correspondence for elliptic representations. Then we transfer this result to the Drinfeld tower via an enhancement of a theorem of Faltings due to Fargues. We deduce that Deligne’s weight-monodromy conjecture is true for varieties uniformized by Drinfeld’s coverings of his symmetric spaces. This completes the computation of local L-factors of some unitary Shimura varieties.

Table des matières

1 Introduction 2 1.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Cet article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Représentations elliptiques et correspondances 6 2.1 Correspondance de Jacquet-Langlands locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Correspondance de Langlands locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Espaces modulaires de Drinfeld 15 3.1 La tour de Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 La tour de Lubin-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Définition du RΓ_{c} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Le théorème de Faltings-Fargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5 Variantes et décompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Réalisation cohomologique des correspondances 28 4.1 Description de la cohomologie, d’après Boyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Scindages et endomorphismes de RΓ_{c}[ρ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Action de W_{K} sur RΓ_{c}[ρ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.4 Preuve du théorème A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Monodromie et variétés de Shimura 35 5.1 Variétés de Harris-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Uniformisation p-adique et conjecture de pureté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

A Catégories abéliennes admissibles et topos fibrés 47

1 Introduction

1.1 Un peu d’histoire

Soit K un corps local de caractéristique résiduelle p, K^{ca} une clôture algébrique et W_{K} le groupe de Weil associé. Dans leur article [40] de 1965, Lubin et Tate se sont inspirés de la théorie de la multiplication complexe des courbes elliptiques pour expliciter de manière exclusivement locale la loi de réciprocité du corps de classes d’Artin pour K. Ils ont pour cela étudié certains groupes formels munis d’une action de l’anneau des entiers O_{K} de K. Sur une clôture algébrique k^{ca} du corps résiduel k de O_{K}, les O_{K}- modules formels de dimension 1 sont classifiés par leur “hauteur” d. Les auteurs montrent que celui de hauteur d = 1 se relève uniquement à isomorphisme près sur la complétion K̂^{nr} = 𝕎(k^{ca}) de l’extension non-ramifiée maximale de K; le O_{K}-module formé par les K^{ca}-points de O_{K}-torsion d’un tel relèvement est isomorphe à K/O_{K} et muni d’une action de l’inertie I_{K} ⊂ W_{K}, d’où un morphisme I_{K} ⟶ O_{K}^{×} qui s’avère induire l’isomorphisme du corps de classes (restreint à l’inertie).

La “théorie de Lubin-Tate non-abélienne”, ainsi baptisée par Carayol dans [15], vise à expliciter de manière locale certaines correspondances appartenant au vaste programme de généralisation non-abélienne de la théorie du corps de classes proposé par Langlands, dès 1967. On s’intéresse ici en particulier à

– la correspondance de Langlands qui pour tout entier d > 0 met en bijection les classes de représentations lisses irréductibles de GL_{d}(K) et les classes de représentations continues de dimension d de W_{K} ; nous la noterons π ↦ σ_{d}(π) et renvoyons à [39] [31] [33] [35] et 2.2.

– La correspondance de Jacquet-Langlands qui pour tout entier d > 0 met en bijection les classes de représentations lisses irréductibles du groupe des inversibles de l’algèbre à division D_{d} de centre K et invariant 1/d avec les “séries discrètes” de GL_{d}(K). Nous la noterons ρ ↦ JL_{d}(ρ) ainsi que π ↦ LJ_{d}(π) son “inverse”, et renvoyons à [20] [3] et 2.1.

Les coefficients des représentations sont ici l-adiques pour un premier l ≠ p. Rappelons néanmoins que ces correspondances sont définies initialement en termes de représentations complexes (et en remplaçant W_{K} par le groupe de Weil-Deligne), qu’elles sont caractérisées par des propriétés de préservation d’invariants de nature arithmético-analytique, mais qu’elles se transfèrent (presque) sans ambiguïté à tout corps de coefficients abstraitement isomorphe à ℂ, cf 2.2.

Comme dans la théorie de Lubin-Tate abélienne, la réalisation explicite de ces correspondances est obtenue grâce aux points de torsion d’un certain O_{K}-module formel, sauf que celui-ci va désormais vivre sur un K̂^{nr}-espace analytique de dimension d − 1. Il y a en fait deux constructions d’un tel O_{K}-module formel.

– La première est une généralisation directe de la situation abélienne ; lorsque d > 1, Lubin et Tate dans [41] montrent que “le” O_{K}-module formel ℍ_{d} de dimension 1 et hauteur d sur k^{ca} ne se relève plus de manière unique à K̂^{nr} mais que son foncteur des déformations est représentable par un anneau de séries formelles à d − 1 variables sur K̂^{nr}. Ainsi la boule unité ouverte K̂^{nr}-analytique de dimension d−1 est munie d’un O_{K}-module formel “universel” dont les points de torsion forment un O_{K}-module (ind)étale dont les fibres sont isomorphes à (K/O_{K})^{d}. Le classifiant des trivialisations de cet O_{K}-module est donc un (pro)revêtement galoisien de groupe GL_{d}(O_{K}) qui, par fonctorialité, est aussi muni d’une action commutante du groupe des inversibles de l’anneau des endomorphismes de ℍ_{d}, lequel se trouve être l’anneau des entiers O_{D_{d}} de D_{d}. Notons M_{LT}^{d,ca} le changement de base de ce pro-revêtement à la complétion K̂^{ca} de K^{ca}; celui-ci est donc muni d’une action de GL_{d}(O_{K}) × O_{D_{d}}^{×} × I_{K}, et Drinfeld a expliqué dans [21], cf 3.2.4 comment prolonger cette action^{1} à GL_{d}(K) × D_{d}^{×} × W_{K}.

– La deuxième construction est entièrement dûe à Drinfeld, qui a introduit dans [22] un autre problème de “déformations” de O_{K}-modules formels, où les rôles de GL_{d}(K) et D_{d}^{×} sont inversés. Il considère des O_{K}-modules formels de dimension d et hauteur d^{2} munis d’une action de O_{D_{d}} “spéciale”. Sur k^{ca}, il existe un tel objet, disons 𝕏_{d} qui est unique à quasi-isogénie près, et dont le groupe des quasiisogénies est GL_{d}(K). Le problème de “déformations par quasi-isogénies” de 𝕏_{d} est représentable par un schéma formel dont la fibre générique est le fameux espace symétrique de Drinfeld Ω^{d−1} (ℙd−1 ; K̂^{nr} privé des hyperplans K-rationnels) qui, par le jeu des trivialisations des points de torsion du O_{D_{d}}-module universel, se voit donc muni d’un pro-revêtement de groupe O_{D_{d}}^{×}. Notons encore M_{Dr}^{d,ca} le changement de base à K̂^{ca} d’icelui ; il est muni d’une action de I_{K} × O_{D_{d}}^{×} × GL_{d}(K) que l’on peut prolonger à GL_{d}(K) × D_{d}^{×} × W_{K}.

1On triche un peu ici ; il faut déformer par isogénies pour avoir une action du produit triple en entier.

On dispose maintenant de plusieurs théories cohomologiques pour linéariser M_{LT}^{d,ca} et M_{Dr}^{d,ca}; nous adopterons ici la “cohomologie l-adique à supports compacts” de Berkovich. Notons que dans le cas LT, elle est duale des cycles évanescents étudiés par Harris-Taylor et Boyer. Les \overline{ℚ}_{l}-espaces obtenus sont de dimension infinie et l’action de GL_{d}(K)×D_{d}^{×} y est lisse, par des résultats généraux de Berkovich. Pendant longtemps, ces espaces ont été étudiés de chaque côté (LT et Dr) de manière indépendante. Mais dans un très court article [24], Faltings a esquissé une preuve de ce que les mathématiciens impliqués commençaient à soupçonner : il existe des isomorphismes GL_{d}(K) × D_{d}^{×} × W_{K}-équivariants^{2}

H_{c}^{i}(M_{LT}^{d,ca}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ H_{c}^{i}(M_{Dr}^{d,ca}, \overline{ℚ}_{l}).

Les arguments de Faltings sont repris et complétés par Fargues dans [27], ainsi que par Genestier et V. Lafforgue en égales caractéristiques (travail en cours). Dans la suite de cette introduction, on fixe l’entier d et on se contente de désigner par H_{c}^{i}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ou même H_{c}^{i} ces espaces de cohomologie.

Rappelons que par la correspondance de Langlands, les représentations irréductibles de W_{K} correspondent aux représentations supercuspidales de GL_{d}(K), lesquelles sont caractérisées par la propriété d’être projectives et injectives dans la catégorie des représentations lisses de GL_{d}(K) à caractère central. La partie supercuspidale des espaces H_{c}^{∗}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) est donc à la fois la plus importante et la plus maniable à étudier. Elle a été explorée dans les quatre articles [29] [11] [31] [32], chacun de ces articles concernant le côté LT ou le côté Dr en caractéristique nulle ou en égales caractéristiques. Ils démontrent en particulier la fameuse conjecture que Carayol a énoncée dans [15] à la suite de travaux pionniers de Deligne et Drinfeld pour d = 2 : soit π une représentation supercuspidale l-adique de GL_{d}(K), de caractère central d’ordre fini ; alors on a, en normalisant convenablement les actions, cf [30],

Hom_{GL_{d}(K)} (H_{c}^{i}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}), π) ≃_{D_{d}^{×}×W_{K}} \{ \begin{matrix}LJ_{d}(π) ⊗ σ_{d}(π)(?) & si & i = d − 1 \\ 0 & si & i ≠ d − 1 \end{matrix}

où (?) désigne une certaine torsion à la Tate. Précisons aussi que Harris et Taylor dans [31] prouvent cette formule en même temps que l’existence même de la correspondance de Langlands. Les méthodes employées dans ces articles reposent sur la propriété d’uniformisation p-adique de certaines variétés globales (de Shimura ou de Drinfeld) par ces espaces, les suites spectrales de type Hochschild-Serre ou de cycles évanescents associées, et des arguments de formule des traces. Elles ne permettent donc en général que d’obtenir des informations sur la somme alternée des H_{c}^{i}.

Pendant longtemps, seul le calcul de Schneider-Stuhler dans [45] pour l’espace symétrique de Drinfeld fournissait des renseignements sur la partie non-cuspidale de la cohomologie. Ce calcul a inspiré à Harris une conjecture (non publiée) sur la forme explicite des groupes de cohomologie individuels du côté Dr. Récemment, Boyer [12] a annoncé une preuve de cette conjecture, en travaillant du côté LT. Son résultat peut s’exprimer “qualitativement” comme ceci : Soit π une représentation irréductible de contribution non-nulle à H_{c}^{i}, alors π est elliptique et

Hom_{GL_{d}(K)} (H_{c}^{i}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}), π) ≃_{D_{d}^{×}×W_{K}} LJ_{d}(π) ⊗ σ′(π)(?)

où (?) désigne une certaine torsion à la Tate.

Quelques explications sur cette formule : π est dite elliptique si la semi-simplifiée de sa correspondante de Langlands est de la forme σ_{d}(π)^{ss} = σ′(π) ⊕ σ′(π)(1) ⊕ ⋯ ⊕ σ′(π)(d′) pour une certaine représentation l-adique irréductible σ′(π) (voir 2.1.6 pour d’autres caractérisations plus intrinsèques). Pour une telle représentation, on note LJ_{d}(π) le transfert de Jacquet-Langlands de l’unique série discrète dont la correspondante de Langlands a la même semi-simplifiée que σ_{d}(π).

2Il faut faire attention à la normalisation des actions pour obtenir l’équivariance.

1.2 Cet article

La description obtenue par Boyer montre deux défauts de la cohomologie des espaces M^{ca} :

– parmi les représentations elliptiques, seules certaines apportent une contribution non-nulle (et d’ailleurs, ce phénomène apparaît déja dans le calcul de Schneider et Stuhler pour Ω).

– si la correspondance de Jacquet-Langlands (convenablement étendue) est bien réalisée, il n’en va pas de même de la correspondance de Langlands. On voit en particulier que l’opérateur de monodromie (celui que l’on sait associer à toute représentation l-adique continue de dimension finie de W_{K} par le théorème de Grothendieck) est toujours nul sur les composantes isotypiques des H_{c}^{i}.

L’idée principale de ce texte, qui fait suite à [17], est que pour corriger ces défauts il faut enrichir la cohomologie, ou plutôt lui restituer sa richesse perdue, en considérant “le” complexe de cohomologie RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) vu comme objet de la catégorie dérivée de la catégorie abélienne des \overline{ℚ}_{l}(GL_{d}(K) × D_{d}^{×})- représentations lisses. Oublions un instant les difficultés de définition et d’étude que cela pose et énonçons notre théorème principal :

Théorème A Pour toute représentation lisse irréductible π de GL_{d}(K), on a

H^{∗} (RHom_{D^{b}(GL_{d}(K))} (RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}), π)) ≃_{D_{d}^{×}×W_{K}} LJ_{d}(π) ⊗ σ_{d}(π)| − |^{\frac{d−1}{2}} .

Faisons quelques remarques sur les deux termes de cet isomorphisme :

– Du côté gauche : les complexes RΓ_{c} ∈ D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(GL_{d}(K)) et (par conséquent) RHom_{D^{b}(GL_{d})} (RΓ_{c}, π) ∈

D^{b}(\overline{ℚ}_{l}), sont munis d’une action de D_{d}^{×} × W_{K}. La notation H^{∗} désigne l’équivalence de catégorie H^{∗} : C^{•} ∈ D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) ↦ ⨁_{i∈ℤ} H^{i}(C^{•}) entre D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) et la catégorie des espaces vectoriels à graduation de support fini, convenablement triangulée. Ainsi le terme de gauche est un espace vectoriel gradué muni d’une action de D_{d}^{×} × W_{K}, mais on oublie la graduation pour se retrouver avec une honnête représentation linéaire de D_{d}^{×} × W_{K}.

– Du côté droit : seule la notation LJ_{d} demande une explication que voici, cf 2.1 : la correspondance de Jacquet-Langlands fournit un plongement des groupes de Grothendieck R(D_{d}^{×}) ↪ R(GL_{d}(K)) qui induit un isomorphisme R(D_{d}^{×}) \underrightarrow{∼} \overline{R}(GL_{d}(K)) où \overline{R} désigne le quotient par les combinaisons linéaires d’induites paraboliques. D’où une rétraction canonique R(GL_{d}(K)) ⟶ R(D_{d}^{×}) que nous notons^{3} LJ_{d}. On vérifie alors que pour toute π irréductible, LJ_{d}(π) est non-nulle si et seulement si π est elliptique, et dans ce cas, la notation est cohérente avec celle introduite plus haut, au signe près. En particulier, le théorème A ne fournit une construction de la correspondance de Langlands que pour les elliptiques.

Il est raisonnable de penser que les espaces M^{ca} ne peuvent pas donner de réalisation, en quelque sens cohomologique que ce soit^{4}, de la correspondance de Langlands pour les représentations non-elliptiques, et donc de se demander quels espaces pourraient fournir une telle réalisation. Les candidats sont naturellement à chercher parmi les espaces de Rapoport-Zink [43] qui, rappelons-le, font toujours intervenir deux groupes. Dans cette perspective, on peut reformuler le théorème A en introduisant le groupe GD := (GL_{d}(K)×D_{d}^{×})/Δ où Δ = {(z, z), z ∈ K^{×}} sous la forme : pour toutes représentations irréductibles π de GL_{d}(K) et ρ de D_{d}^{×}, on a

H^{∗} (RHom_{D^{b}(GD)} (RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}), π ⊗ ρ)) ≃_{W_{K}} \{ \begin{matrix}σ_{d}(π)| − |^{\frac{d−1}{2}} & si ρ = LJ_{d}(π^{∨}) \\ 0 & sinon \end{matrix} .

La notation ?^{∨} désigne la contragrédiente de la représentation ?. Dans le cas qui nous intéresse ici, les deux formes sont équivalentes car les représentations de D_{d}^{×} sont “essentiellement” semi-simples, mais pour des raisons de symétrie, c’est la seconde qu’il semble plus naturel de vouloir généraliser.

Décrivons maintenant la stratégie que nous suivons : la première chose à faire est bien-sûr de définir convenablement les deux RΓ_{c}, ce que nous faisons au paragraphe 3.3 et passerons sous silence ici, pour ne pas effrayer les éventuels lecteurs. Les définitions sont faites pour que, d’après Fargues [27], il existe un isomorphisme RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , \overline{ℚ}_{l}) ≃ RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) dans D^{b}(GD), compatible aux actions de W_{K}.

3Cette notation est empruntée à Badulescu qui a défini dans [2] des rétractions similaires dans des situations plus compliquées où D_{d} est remplacée par une algèbre centrale simple quelconque.

4comme l’indiquent les calculs de traces de [23]

Une fois le complexe RΓ_{c} bien défini, on est en présence d’un objet a priori compliqué. Le miracle est que cet objet est en fait “aussi simple qu’il peut l’être” puiqu’il est scindable : Proposition 1.3 Il existe un isomorphisme (pas unique) dans D^{b}(GD),

RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) \underrightarrow{∼} ⨁_{i∈ℕ} H_{c}^{i}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[−i].

Ce fait repose sur la description de Boyer et peut se prouver de deux manières : soit par un argument de théorie des représentations de GL_{d}(K) (le calcul complet des groupes d’extensions Ext_{G_{d}}^{i} (π, π′) pour les couples de représentations elliptiques π et π′ de GL_{d}(K)), soit en utilisant l’action d’un relèvement de Frobenius sur les H_{c}^{i}.

Fixons une irréductible ρ de D_{d}^{×}, notons ω_{ρ} : K^{×} ⟶ \overline{ℚ}_{l} son caractère central, et D_{ω_{ρ}}^{b}(GL_{d}) la catégorie dérivée bornée de la catégorie des représentations lisses de GL_{d} de caractère central ω_{ρ}. Le complexe RΓ_{c}[ρ] := RΓ_{c}⊗_{D_{d}^{×}}^{L} ρ ∈ D_{ω_{ρ}}^{b}(GL_{d}) est scindable en RΓ_{c}[ρ] ≃ ⨁_{i} H_{c}^{i}[ρ][−i] où H_{c}^{i}[ρ] := H_{c}^{i}⊗_{D_{d}^{×}} ρ. Notons que du côté Dr, ce complexe s’interprète géométriquement comme le complexe de cohomologie RΓ_{c}(Ω^{d−1}, L_{ρ}) du système local l-adique L_{ρ} associé à ρ via les structures de niveau de Drinfeld.

La propriété de scindage permet de décrire l’algèbre des endomorphismes de RΓ_{c}[ρ] sous la forme :

End_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d})} (RΓ_{c}[ρ]) ≃ ⨁_{i⩾j} Ext_{GL_{d},ω_{ρ}}^{i−j} (H_{c}^{i}[ρ], H_{c}^{j}[ρ]) ,

le produit sur le \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel de droite étant donné par le ∪-produit. Grâce à la théorie de Bushnell-Kutzko et au théorème 1.3 de [17], on peut décrire complètement ce ∪-produit. Notons (σ_{ρ}, V_{σ_{ρ}}) la représentation l-adique de W_{K} associée à ρ par correspondance de Langlands et fonctorialité de Jacquet-Langlands : il s’agit d’une représentation indécomposable de dimension d et l’algèbre engendrée par l’image de W_{K} dans End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ_{ρ}}) est une algèbre triangulaire par blocs que nous noterons A_{ρ}. Le calcul de ∪-produits mentionné ci-dessus montre alors (cf 4.2.6)

Proposition 1.4 Tout scindage de RΓ_{c} induit un isomorphisme de \overline{ℚ}_{l}-algèbres

End_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d})} (RΓ_{c}[ρ]) \underrightarrow{∼} A_{ρ^{∨}}.

On veut ensuite élucider l’action de W_{K} sur le membre de gauche. Nous commençons par montrer que l’inertie agit potentiellement par son quotient l-adique et que l’on peut définir la “partie unipotente de la monodromie” N_{ρ} ∈ End_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d})} (RΓ_{c}[ρ]). Pour décrire précisément ce N_{ρ}, nous aurons besoin de minorer

son ordre de nilpotence. À ce point nous avons besoin des résultats globaux de Boyer : nous utiliserons sa description du gradué pour la filtration de monodromie du complexe des cycles évanescents de certaines variétés de Shimura (ou de Drinfeld). En notant γ_{ρ} : W_{K} ⟶ End_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d})} (RΓ_{c}[ρ])^{×} le morphisme de groupes donnant l’action de W_{K} sur RΓ_{c}[ρ], on obtient la description suivante, cf 4.3.1 Proposition 1.5 Il existe un scindage de RΓ_{c} pour lequel l’isomorphisme d’algèbres précédent rend le diagramme suivant commutatif :

\xymatrix{End_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d})} (RΓ^{c}[ρ]) \ar[r]^{∼} & A_{ρ^{∨}} \\ W_{K} \ar[u]^{γ_{ρ}} \ar[ur]^{σ_{ρ^{∨}}}}

À partir de cette proposition, le théorème A se prouve en utilisant à nouveau le calcul explicite des extensions entre représentations elliptiques et de leurs ∪-produits.

Dans le cas ρ = 1, le complexe à étudier est simplement RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1}, \overline{ℚ}_{l}). Nous l’avons déja étudié dans [17] en suivant la même stratégie et les mêmes étapes que ci-dessus. Le point essentiel où les arguments divergent est l’étude de l’ordre de nilpotence du N_{ρ}. Dans [17], nous avons utilisé la suite spectrale de Rapoport-Zink et l’uniformisation p-adique, alors qu’ici nous utilisons les résultats de Boyer, et donc in fine la géométrie du côté Lubin-Tate. Notons d’ailleurs que toutes les étapes qui précèdent s’appliquent à la tour de Lubin-Tate indépendamment du théorème de Faltings-Fargues. Ce dernier intervient en dernier lieu pour transférer cette étude du côté Drinfeld, ce qui nous amène à notre deuxième résultat principal

Théorème B Les variétés uniformisées par les revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld Ω satisfont la conjecture monodromie-poids de Deligne.

Ceci termine le calcul du facteur L local des variétés de Shimura unitaires étudiées dans [29], [15] et [42] en une place où l’algèbre à division et involution globale associée reste totalement ramifiée.

Décrivons brièvement le contenu des différentes parties. Dans la partie 2 on définit et caractérise les représentations elliptiques et on explicite leur comportement à travers les correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands. Dans la partie 3 on précise la version des espaces de Drinfeld et Lubin-Tate utilisée pour les énoncés cohomologiques principaux, puis on définit leur complexe de cohomologie, ainsi que plusieurs variantes utiles par la suite. On y énonce la version du théorème de Faltings-Fargues pertinente pour cet article. La partie 4 contient la preuve du théorème A sous l’hypothèse que l’opérateur N_{ρ} introduit ci-dessus est d’ordre assez grand ; la stratégie est la même que dans la partie 4.2 de [17]. Enfin la partie 5 s’occupe de monodromies : d’une part on prouve l’estimation nécessaire à la partie 4 en se raccrochant aux résultats globaux de Boyer au prix d’acrobaties techniques mêlant topos fibrés, faisceaux pervers et formalisme l-adique. D’autre part on prouve le théorème B ci-dessus. Enfin l’appendice contient un résultat technique, mais d’intérêt indépendant utilisé dans la partie 5.

Les résultats principaux de ce travail étaient déja en gestation en 2004 –sous forme conjecturale– alors que je bénéficiais d’une longue hospitalité de l’IHES où un groupe de travail sur les travaux de Faltings [24] a réuni C. Breuil, L. Fargues, A. Genestier, L. et V. Lafforgue, Ngo B.C., S. Orlik et M. Strauch. que je remercie tous pour de précieux échanges. Les preuves présentées ici sont apparues plus clairement au fil des progrès de Boyer et Fargues dans leurs travaux respectifs ; je remercie en particulier ce dernier d’avoir fait l’effort d’exprimer “l’isomorphisme de Faltings” de la manière qui m’est utile ici. Merci aussi à A. Abbes pour ses encouragements et conseils.

2 Représentations elliptiques et correspondances

Dans cette partie, nous rappelons des faits bien connus sur les correspondances de Langlands et Jacquet-Langlands, d’autres un peu moins connus mais qui le sont certainement des spécialistes, puis nous explicitons le cas des représentations elliptiques. Nous abrègerons G_{d} := GL_{d}(K).

2.1 Correspondance de Jacquet-Langlands locale

2.1.1 Notations : Il sera commode de considérer des représentations à coefficients dans un corps C abstraitement isomorphe au corps des complexes ℂ. Ce corps pourra parfois être ℂ ou un \overline{ℚ}_{l}, selon les besoins topologiques qu’on aura. Pour tout groupe H localement profini, nous notons Irr_{C} (H) l’ensemble des classes d’isomorphisme de C-représentations lisses irréductibles de H. Pour le groupe G_{d}, on isole certains sous-ensembles remarquables :

i) On désigne par Cusp_{C} (G_{d}) ⊆ Irr_{C} (G_{d}) le sous-ensemble des représentations cuspidales, i.e. dont les coefficients sont à support compact-modulo-le-centre. Parmi les irréductibles, elles se caractérisent aussi comme étant les objets injectifs et projectifs de la catégorie des représentations lisses de G_{d} à caractère central.

ii) On note Disc_{ℂ} (G_{d}) ⊆ Irr_{ℂ} (G_{d}) le sous-ensemble des représentations “de la série discrète”, i.e. dont les coefficients sont de carré intégrable (au sens complexe) modulo-le-centre. Malgré cette définition de nature analytique, il se trouve que la notion de “série discrète” de G_{d} est invariante par automorphismes du corps ℂ; c’est une conséquence des théorèmes de multiplicités limites de [44], ou plus prosaïquement une conséquence de la classification de Bernstein-Zelevinski [53, Thm 9.3]. Cela nous permet d’isoler sans ambiguïté un sous-ensemble Disc_{C} (G_{d}) ⊆ Irr_{C} (G_{d}) dont nous appellerons les membres “séries discrètes” par abus de langage.

On peut considérer la correspondance de Jacquet-Langlands comme le reflet spectral de la correspondance “géométrique” bien connue entre classes de conjugaison elliptiques semi-simples régulières de G_{d} et de D_{d}^{×}, donnée par l’égalité des polynômes caractéristiques. L’énoncé spectral classique concerne les représentations complexes :

Théorème 2.1.2 (Correspondance de Jacquet-Langlands, [20],[3]) Il existe une bijection

JL_{d} : Irr_{ℂ} (D_{d}^{×}) \underrightarrow{∼} Disc_{ℂ} (G_{d})

caractérisée par l’égalité de caractères χ_{JL_{d}(ρ)}(g) = (−1)^{d−1}χ_{ρ}(x) pour toutes classes elliptiques g ∈ G_{d}, x ∈ D_{d}^{×} se correspondant (i.e. ayant même polynôme minimal de degré d).

Remarquons que l’égalité de caractères de cet énoncé peut se tester sur les fonctions localement constantes à support compact dans l’ensemble (ouvert) des elliptiques réguliers, et ne fait donc intervenir que le caractère-distribution des représentations de Disc_{ℂ} (G_{d}). Ce caractère-distribution est défini sur n’importe quel corps de coefficients, en particulier sur C. Compte tenu de ce que l’ensemble Disc_{ℂ} (G_{d}) et la condition d’égalité des caractères sont stables par l’action des automorphismes du corps ℂ, l’énoncé ci-dessus se transfère sans ambiguïté à un énoncé formellement analogue sur le corps C. Nous noterons encore JL_{d} : Irr_{C} (D_{d}^{×}) \underrightarrow{∼} Disc_{C} (G_{d}) la bijection obtenue.

2.1.3 Groupes de Grothendieck : Notons maintenant R(G_{d}) et R(D_{d}^{×}) les groupes de Grothendieck des C-représentations de longueur finies. La bijection de Jacquet-Langlands induit une injection R(D_{d}^{×}) ↪ R(G_{d}), vérifiant l’égalité de caractères du théorème 2.1.2 sur les classes de conjugaison elliptiques se correspondant. On veut définir une rétraction pour cette injection, vérifiant la même égalité de caractères. Soit χ un caractère lisse de K^{×}, notons R(G_{d}, χ), resp. R(D_{d}^{×}, χ), le sous-groupe de R(G_{d}), resp. R(D_{d}^{×}), engendré par les irréductibles de caractère central χ. Les décompositions selon le caractère central R(G_{d}) = ⨁_{χ} R(G_{d}, χ), resp. R(D_{d}^{×}) = ⨁_{χ} R(D_{d}^{×}, χ), sont respectées par l’application JL. De plus, les groupes R(G_{d}, χ) et R(D_{d}^{×}, χ) sont munis de formes bilinéaires entières, voir [46],

\begin{matrix}⟨ . ⟩ : R(G_{d}, χ) × R(G_{d}, χ) & → & ℤ \\ (π, π′) & ↦ & ∑_{i}(−1)^{i} dim(Ext_{G_{d},χ}^{i} (π, π′)) \end{matrix}

et respectivement pour D_{d}^{×}. Ces formes bilinéaires en induisent une sur la somme directe R(G_{d}), resp. R(D_{d}^{×}), que l’on note de la même manière. Dans le cas de D_{d}^{×}, cette forme est non dégénérée et on a simplement ⟨ρ, ρ′⟩ = dim Hom_{D_{d}^{×}} (ρ, ρ′). Dans le cas de G_{d}, la situation est sensiblement plus compliquée. Notons R_{I}(G_{d}) le sous-groupe de R(G_{d}) engendré par les induite paraboliques de représentations de sous-groupes de Levi propres et \overline{R}(G_{d}) le quotient R(G_{d})/R_{I}(G_{d}).

Lemme 2.1.4 \overline{R}(G_{d}) est libre sur ℤ et la forme bilinéaire ⟨ , ⟩ s’y descend et y est non-dégénérée, une base orthonormale étant donnée par les images de séries discrètes.

Preuve : Pour cette preuve, nous pouvons identifier C et ℂ. L’énoncé est alors une conséquence des trois propriétés suivantes :

i) La classification de Zelevinski [53](ou celle dite du quotient de Langlands) montre que

R(G_{d}) = ⨁_{(M,σ,ψ)} ℤ[i_{M}^{G_{d}} (σψ)]

où [?] est l’élément de R(G_{d}) associé à la représentation ?, les triplets (M, σ, ψ) sont formés d’un sousgroupe de Levi standard de G_{d} (c’est-à-dire un produit de GL_{d_{i}} diagonaux), d’une représentation tempérée de M et d’un caractère non-ramifié de M “dans la chambre de Weil positive”, et sont pris à G_{d}-conjugaison près. Le signe i_{M}^{G_{d}} est l’induction parabolique normalisée le long du parabolique triangulaire supérieur dont le Levi est M. Comme on sait de plus que les représentations tempérées de G_{d} sont soit induites, soit des séries discrètes, on en déduit

R(G_{d}) = ( ⨁_{π∈Disc_{C}(G_{d})} ℤ[π]) ⨁ R_{I}(G_{d}),

ce qui montre que \overline{R}(G_{d}) est libre sur ℤ et qu’une base en est donnée par les images des séries discrètes.

ii) Soit M un sous-groupe de Levi standard de G_{d} et π une représentation admissible de G_{d}. Alors pour toute représentation admissible de G_{d}, un argument de déformation attribué à Kazhdan dans [46] montre que

⟨π, i_{M}^{G_{d}} (σ)⟩ = ⟨i_{M}^{G_{d}} (σ), π⟩ = 0.

iii) Soit π, π′ deux séries discrètes de G_{d}, on a par [52]

⟨π, π′⟩ = δ_{ππ′}.
□

D’autre part, la formule des caractères induits de Van Dijk [49] montre que l’application qui à un élément x ∈ R(G_{d}) associe la restriction de son caractère-distribution aux éléments elliptiques réguliers se factorise à travers le quotient \overline{R}(G_{d}). On déduit alors du théorème 2.1.2 le

Corollaire 2.1.5 L’application R(D_{d}^{×}) ⟶^{JL_{d}} R(G_{d}) induit un isomorphisme isométrique

R(D_{d}^{×}) \underrightarrow{∼} \overline{R}(G_{d})

caractérisé par l’égalité de caractères du théorème 2.1.2.

En conséquence, on a un morphisme dans l’autre sens R(G_{d}) ⟶ \overline{R}(G_{d}) \underrightarrow{∼} R(D_{d}^{×}) que nous noterons LJ_{d}. Cette notation est dûe à I. Badulescu qui a défini dans [2] des rétractions similaires dans des situations plus générales. D’après [2], ces rétractions n’envoient généralement pas irréductibles sur irréductibles, même au signe près. Dans le cas présent, le lemme suivant montre que l’image d’une irréductible est soit nulle, soit une irréductible au signe près.

Lemme 2.1.6 Pour une représentation irréductible π de G_{d}, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) π a le même support cuspidal qu’une série discrète. ii) π a un caractère non nul sur les éléments elliptiques semi-simples réguliers. iii) L’image de π dans \overline{R}(G_{d}) est non nulle. Une représentation satisfaisant ces propriétés sera dite elliptique. Son image par LJ_{d} coïncide au signe près avec celle de la série discrète de même support cuspidal.

Rappelons que le support cuspidal d’une représentation irréductible π est l’unique classe de conjugaison de couples (M, τ) formés d’un sous-groupe de Levi M et d’une représentation cuspidale irréductible τ de M qui apparaît dans le module de Jacquet normalisé de π le long d’un parabolique de Levi M.

Preuve : L’implication ii) ⇒ iii) est une conséquence de la formule de Van Dijk [49] qui montre que le caractère d’une induite parabolique en un élément semi-simple régulier elliptique est nul.

Pour voir l’implication iii) ⇒ i), écrivons [π] = ∑_{(M,σ)}[i_{M}^{G_{d}} (σ)] (somme d’induites de représentations essentiellement tempérées) comme nous le permet la classification par le quotient de Langlands. On peut supposer que les supports cuspidaux de chaque σ sont contenus dans celui de π. Comme les tempérées sont soit induites, soit des séries discrètes, on voit que si π ∉ R_{I}(G_{d}), alors il y a une série discrète de même support cuspidal que π. Donc iii) ⇒ i).

Pour l’implication i) ⇒ ii), on peut utiliser la combinatoire de la classification de Zelevinski. Soit π^{disc} l’unique série discrète de même support cuspidal que π. Avec les notations de [53], on sait qu’il existe un (unique) segment Δ = [τ, τ′] où τ est une cuspidale irréductible de G_{d′} avec d′ diviseur de d, de sorte que

i) L’ensemble partiellement ordonné des multisegments de support [τ, τ′] a pour plus petit élément a_{min} = {Δ} et plus grand élément a_{max} = {{τ′}, ⋯, {τ}}.

ii) π^{disc} = ⟨a_{max}⟩ et toutes les représentations de même support cuspidal sont de la forme ⟨a⟩ pour un

multisegment a de support [τ, τ′]. iii) La représentation irréductible ⟨b⟩ associée à b apparaît comme sous-quotient de la représentation

induite π(a) associée à a si et seulement si b ⩽ a, et dans ce cas sa multiplicité est 1.

Supposons maintenant que π = ⟨a⟩. Pour b < a notons d(b, a) la longueur d’une chaîne maximale b < m_{1} < ⋯ < a (i.e le nombre d’opérations “élémentaires” au sens de [53, 7] pour passer de a à b), on obtient donc l’égalité dans R(G_{d})

[⟨a⟩] = ∑_{b⩽a}(−1)^{d(b,a)}[π(b)]

Or, pour b = a_{min}, on a ⟨a_{min}⟩ = π(a_{min}) (c’est la représentation de Speh associée à Δ et c’est l’image de la série discrète π^{disc} par l’involution de Zelevinski) et pour a_{min} ≠ b, la représentation π(b) est une induite “propre”. On obtient donc la congruence [π] = ±[⟨a_{min}⟩] mod R_{I}(G_{d}) dans R(G_{d}). En l’appliquant aussi à π^{disc}, on obtient

[π] = ±[π^{disc}] mod R_{I}(G_{d}).

La formule de Van Dijk montre alors que les caractères de π et π^{disc} coïncident au signe près sur les éléments elliptiques. Or, les formules d’orthogonalité pour les séries discrètes montrent que le caractère d’une série discrète sur ces éléments est non nul.

□

Nous noterons Ell_{C} (G_{d}) ⊂ Irr_{C} (G_{d}) le sous-ensemble des classes de représentations elliptiques. On a bien-sûr

Cusp_{C} (G_{d}) ⊂ Disc_{C} (G_{d}) ⊂ Ell_{C} (G_{d}) .

Nous allons donner une classification de ces représentations adaptée aux besoins de ce texte. Auparavant, nous devons faire quelques rappels de théorie des représentations de groupes linéaires p-adiques.

2.1.7 Rappels sur la théorie de Bernstein [8] : Si G est un groupe réductif p-adique, Mod_{C}(G) désigne la catégorie abélienne de toutes les C-représentations lisses de G. Soit (M, τ) une paire Levi-cuspidale, définissons 𝔅_{M,τ}^{G} la sous-catégorie pleine de Mod_{C}(G) formée des objets dont tous les sous-quotients irréductibles contiennent (M, τψ) dans leur support cuspidal, pour un certain caractère non-ramifié ψ de M. On sait que la catégorie 𝔅_{M,τ}^{G} est un “facteur direct indécomposable” (que nous appellerons bloc de Bernstein associé à (M, τ)) de Mod_{C}(G) et qu’on a une décomposition

Mod_{C}(G) ≃ ⨁_{(M,τ)/∼} 𝔅_{M,τ}^{G}

où (M, τ) ∼ (M′, τ′) si et seulement si il existe g ∈ G et ψ caractère non ramifié de M tels que M′ = M^{g} et τ′ = (τψ)^{g} (équivalence “inertielle”). En particulier, les idempotents centraux primitifs de Mod_{C}(G) sont en bijection avec les classes inertielles de paires (M, τ).

Pour un produit de groupes linéaires, lorsque M = T est un tore maximal et τ est un caractère non-ramifié de T, on appelle parfois le bloc associé 𝔅_{T,1}^{G} le “bloc unipotent” de G.

2.1.8 Rappels sur la théorie de Bushnell-Kutzko : Cette théorie permet de décrire les blocs de Bernstein dans le cas où G est un groupe linéaire. On s’intéresse ici au cas particulier suivant : on fixe un entier n et une représentation supercuspidale irréductible τ de G_{n} = GL_{n}(K). Pout tout entier e ⩾ 1, on voit le groupe produit (G_{n})^{e} comme un Levi standard (diagonal) dans G_{ne}, d’où une paire Levi-cuspidale ((G_{n})^{e}, τ^{e}) pour (G_{n})^{e}. Si K′ désigne un autre corps local, nous noterons aussi G′_{n} := GL_{n}(K′).

Fait 2.1.9 La théorie de Bushnell-Kutzko nous fournit une extension K′ de K, de degré n et degré résiduel le nombre f_{τ} de caractères non ramifiés χ : K^{×} ⟶ C^{×} tels que (χ ∘ det) ⊗ τ ≃ τ, et une famille d’équivalences de catégories

α_{τ}^{e} : 𝔅_{(G_{n})^{e},τ^{e}}^{G_{ne}} \underrightarrow{∼} 𝔅_{(G′_{1})^{e},1^{e}}^{G′_{e}}

satisfaisant les propriétés suivantes :

i) Normalisation : α_{τ}^{1}(τ) = 1.

ii) Compatibilité à l’induction parabolique normalisée^{5} : si e = ∑_{i=1}^{r} e_{i} est une partition de e alors

α_{τ}^{e_{1}} × ⋯ × α_{τ}^{e_{r}} ≃ α_{τ}^{e} ∘ i_{(G_{n})^{e_{1}} ×···×(G_{n})^{er}}^{G_{ne}}

5On rappelle que les paraboliques standards sont les paraboliques triangulaires supérieurs,

iii) Compatibilité à la torsion : si χ : K^{×} ⟶ C^{×} est un caractère, alors pour toute π ∈ 𝔅_{(G_{n})^{e},τ^{e}}^{G_{ne}}, on a

α_{τ}^{e} ((χ ∘ det) ⊗ π) ≃ (χ ∘ N_{K′|K} ∘ det) ⊗ α_{τ}^{e}(π).

iv) Compatibilité aux caractères centraux : pour toute représentation π ∈ 𝔅_{(G_{n})^{e},τ^{e}}^{G_{ne}} telle que π(ϖ_{K}) soit un scalaire, α_{τ}^{e}(π)(ϖ_{K}) est aussi un scalaire et on a α_{τ}^{e}(π)(ϖ_{K}) = π(ϖ_{K})τ(ϖ_{K})^{−1}.

Preuve : On utilise les notations de [13, Thm (7.6.20)]. L’équivalence α_{τ}^{1} est donnée par ce qui est noté 𝔄𝔡(Ψ_{1})^{−1} dans loc. cit, le choix de Ψ_{1} étant fixé par notre propriété i). Pour chaque e > 1 on définit alors α_{τ}^{e} := 𝔄𝔡(Ψ)^{−1}, donné par [13, Cor (7.6.21)]. En fait, pour être un peu plus précis, l’équivalence de catégories donnée par loc.cit ne concerne que les représentations admissibles de longueur finie. Pour obtenir l’équivalence des blocs “en entier”, il faut utiliser aussi [14]. La compatibilité à la torsion par les caractères se déduit de [13, (7.5.12)]. La propriété iv) est mentionnée en [13, (7.7.6)] pour les représentations admissibles. Elle se généralise aux autres représentations, en utilisant la discussion de [13, (7.5.9)] par exemple. La compatibilité à l’induction parabolique est explicite [13, 7.6.21] dans le cas “minimal” e = 1 + ⋯ + 1. Dans le cas général, elle est donnée par [14]. □

Notation 2.1.10 Soit ρ ∈ Irr_{C} (D_{d}^{×}). Nous noterons – d_{ρ} ∈ ℕ^{∗} l’unique diviseur de d et π_{ρ} l’unique représentation cuspidale irréductible de G_{d/d_{ρ}} tels que

JL_{d}(ρ) apparaisse dans l’induite parabolique standard normalisée |det|^{\frac{1−dρ}{2}} π_{ρ} × ⋯ × |det|^{\frac{dρ−1}{2}} π_{ρ}. L’existence de d_{ρ} et π_{ρ} est assurée par la classification des séries discrètes de G_{d} par Bernstein-Zelevinski, [53, Thm 9.3].

– M_{ρ} le sous-groupe de Levi standard (G_{d/d_{ρ}})^{d_{ρ}} et π⃗_{ρ} la représentation supercuspidale irréductible π_{ρ}|det|^{(1−d_{ρ})/2} ⊗ ⋯ ⊗ π_{ρ}|det|^{(d_{ρ}−1)/2} de M_{ρ}. Ainsi la paire (M_{ρ}, π⃗_{ρ}) est un représentant du support cuspidal de JL_{d}(ρ)

D’après la caractérisation 2.1.6 iii) des représentations elliptiques et la propriété 2.1.9 ii), l’équivalence de catégories α_{π_{ρ}}^{d_{ρ}} induit une bijection entre l’ensemble Ell_{C} (𝔅_{M_{ρ},π_{ρ}}^{G_{d}}) des représentations elliptiques de

G_{d} dans le bloc 𝔅_{M_{ρ},π⃗_{ρ}}^{G_{d}} et l’ensemble Ell_{C} (𝔅_{T_{dρ} ,1}^{G′_{dρ}}) des représentations elliptiques de G′_{d_{ρ}} dans son bloc

unipotent. Notons que toute famille d’équivalences de catégories 2.1.9 satisfaisant les propriétés i) à iv) induit la même bijection. Par ailleurs, π_{ρ} a été choisie pour que cette bijection envoie JL_{d}(ρ) sur la représentation de Steinberg de G′_{d_{ρ}}.

2.1.11 Classification des représentations elliptiques : Rappelons tout d’abord la classification des elliptiques du bloc unipotent de G_{d} que nous avons utilisée dans [17, 2.1.3]. Notons S_{d} l’ensemble des racines simples du tore diagonal de G_{d} dans le Borel supérieur. Tout sous-ensemble I ⊆ S_{d} détermine un sousgroupe de Levi diagonal M_{I} et un parabolique P_{I} triangulaire supérieur, dont l’induite droite Ind_{P_{I}}^{G_{d}} (1) possède un unique quotient irréductible que nous noterons π_{1}^{I}. Celui-ci est elliptique, et l’application

I ⊆ S_{d} ↦ π_{1}^{I} ∈ Ell_{C} (𝔅_{(G_{1})^{d},1^{d}}^{G_{d}})

est une bijection. En termes d’induites normalisées, on a π_{1}^{I} = Cosoc (i_{M_{I}}^{G_{d}} (Soc (i_{T_{d}}^{M_{I}} \binom{}{π_{1}}))) où Soc désigne le socle, i.e. le plus grand sous-objet semi-simple et Cosoc désigne le cosocle, i.e. le plus grand quotient semi-simple.

Pour ρ ∈ Irr_{C} (D_{d}^{×}), on introduit l’ensemble S_{ρ} des racines simples du centre de M_{ρ} dans l’algèbre de Lie du parabolique triangulaire supérieur P_{ρ} de Levi M_{ρ}, et pour I ⊆ S_{ρ}, on note M_{ρ,I} le centralisateur du noyau commun des α ∈ I. La représentation

(2.1.12) π_{ρ}^{I} := Cosoc (i_{M_{ρ,I}}^{G_{d}} (Soc (i_{M_{ρ}}^{M_{ρ,I}} \binom{}{π_{ρ}})))

de G_{d} est irréductible et elliptique, par compatibilité de l’équivalence α_{π_{ρ}}^{d_{ρ}} aux inductions et torsions, et l’application

I ⊆ S_{ρ} ↦ π_{ρ}^{I} ∈ Ell_{C} (𝔅_{M_{ρ},π_{ρ}^{dρ}}^{G_{d}} )

est une bijection. Notons que JL_{d}(ρ) = π_{ρ}^{∅}.

Convention 2.1.13 Bien que cela paraisse moins intrinsèque, nous devons numéroter S_{ρ}, i.e. choisir une bijection S_{ρ} \underrightarrow{∼} \{1, ⋯, d_{ρ} − 1\} pour la suite. Nous choisissons de numéroter les racines simples des paraboliques triangulaires supérieurs de haut en bas.

En décorant de signes ′ les objets relatifs au corps K′ de l’équivalence α_{π_{ρ}}^{d_{ρ}} de 2.1.9, la convention ci-dessus permet en particulier d’identifier S_{ρ} et S′_{d_{ρ}}, et on a pour tout I ⊆ S_{ρ}

α_{π_{ρ}}^{d_{ρ}}(π_{ρ}^{I}) ≃ π′_{1}^{I}.

Remarque 2.1.14 Pour tous ρ ∈ Irr_{C} (D_{d}^{×}) et I ⊆ S_{ρ}, on a dans \overline{R}(G_{d}) l’égalité [π_{ρ}^{I}] = (−1)^{|I|}[π_{ρ}^{∅}]. Par conséquent on a aussi LJ_{d}[π_{ρ}^{I}] = (−1)^{|I|}[ρ] dans R(D_{d}^{×}).

Preuve : Grâce aux équivalences de catégories 2.1.9 on est ramené au bloc unipotent, c’est-à dire au cas ρ = 1. Dans ce cas, le lemme X.4.6 de [9] montre que dans R(G_{d}), on a

[π_{1}^{I}] = ∑_{I⊆J⊆S_{d}}(−1)^{|J\I|}[Ind_{P_{I}}^{G_{d}} (1)].

En appliquant ceci à I et ∅, on obtient [π_{1}^{I}] = (−1)^{d−1−|I|}[1_{G_{d}}] = (−1)^{|I|}[St_{G_{d}}].

□

Remarque 2.1.15 La duale de π_{ρ}^{I} est π\overline{I} ; ρ^{∨}, où l’on identifie S_{ρ} = S_{ρ^{∨}} et \overline{I} est l’image de I par l’involution i ↦ d_{ρ} − i de S_{ρ} numéroté comme en 2.1.13.

Preuve : Par compatibilité de la correspondance de Jacquet-Langlands avec le passage à la contragrédiente, on a JL_{d}(ρ^{∨}) = JL_{d}(ρ)^{∨}, et donc M_{ρ^{∨}} = M_{ρ} et τ_{ρ^{∨}} ≃ (π⃗_{ρ})^{∨}. En dualisant la définition de π_{ρ}^{I}, on obtient

(π_{ρ}^{I})^{∨} = Soc (i_{M_{ρ,I}}^{G_{d}} (Cosoc (i_{M_{ρ}}^{M_{ρ,I}} ((π⃗_{ρ})^{∨})))) .

Appliquant l’équivalence α_{π_{ρ^{∨}}}^{d_{ρ}} de 2.1.9 et identifiant S_{ρ} à S′_{d_{ρ}} grâce à 2.1.13, on obtient α_{τ_{ρ^{∨}}}^{d_{ρ}} ((π_{ρ}^{I})^{∨}) =

(π′_{1}^{I})^{∨} qui d’après [17, 2.3.3 iv)] n’est autre que π′\overline{I} ; 1 (le ′ renvoie au corps K′ de 2.1.9). □

2.1.16 Extensions entre représentations elliptiques : Nous identifierons les centres de G_{d} et D_{d}^{×} à K^{×} par les plongements canoniques. En particulier le caractère central d’une représentation de G_{d} ou D_{d}^{×} sera vu comme un caractère de K^{×}. Avec cette convention les caractères centraux de ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D_{d}^{×}) et JL_{d}(ρ) ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (G_{d}) sont égaux. Dans la proposition suivante, la notation Ext_{G_{d},ω} désigne les groupes d’extensions calculés dans la catégorie des représentations lisses de G_{d} de caractère central ω.

Proposition 2.1.17 Soient ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D_{d}^{×}) de caractère central ω et I ⊆ S_{ρ}.

i) Pour tout i ∈ ℕ et toute π ∈ Irr_{ω} (G_{d}), on a en notant δ(I, I′) = |I ∪ I′| − |I ∩ I′|

Ext_{G_{d},ω}^{i} (π_{ρ}^{I}, π) = \{ \begin{matrix}\overline{ℚ}_{l} & si & π ≃ π_{ρ}^{I′} et i = δ(I, I′) \\ 0 & si & le contraire \end{matrix} .

ii) Soient I, J, K trois sous-ensembles de S_{ρ} tels que δ(I, J) + δ(J, K) = δ(I, K), alors le cup-produit

∪ : Ext_{G_{d},ω}^{δ(I,J)} (π_{ρ}^{I}, π_{ρ}^{J}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} Ext_{G_{d},ω}^{δ(J,K)} (π_{ρ}^{J}, π_{ρ}^{K}) ⟶ Ext_{G_{d},ω}^{δ(I,K)} (π_{ρ}^{I}, π_{ρ}^{K})

est un isomorphisme.

Preuve : Rappelons que si π, π′ sont deux représentations irréductibles de même caractère central ω mais de supports cuspidaux distincts, alors Ext_{G,ω}^{i} (π, π′) = 0 pour tout i ∈ ℕ, voir par exemple [52, 6.1]. Ceci montre la nullité des Ext lorsque π n’est pas elliptique de type ρ.

Pour le reste du théorème, nous allons nous ramener au théorème 1.3 de [17] grâce à l’équivalence α_{π_{ρ}}^{d_{ρ}}. Pour cela, remarquons que par les propriétés i) et iv) de 2.1.9, celle-ci induit une équivalence entre la sous-catégorie pleine des objets de 𝔅_{M_{ρ},π⃗_{ρ}}^{G_{d}} où ϖ agit par le scalaire ω(ϖ) et la sous-catégorie pleine

des objets de 𝔅_{(G′_{1})^{dρ} ,1}^{G′_{dρ}} où ϖ agit trivialement. Comme la première contient la sous-catégorie pleine des

objets de caractère central ω comme facteur direct (par compacité de O_{K}^{×}) et la seconde contient la souscatégorie des objets de caractère central trivial comme facteur direct aussi (par compacité de O_{K′}^{×}), et que par conséquent de chaque côté les Ext sont les mêmes dans l’une ou l’autre sous-catégorie pleines en question, il s’ensuit que

Ext_{G_{d},ω}^{∗} (π_{ρ}^{I}, π_{ρ}^{J}) = Ext_{P G′_{dρ}}^{∗} (π′_{1}^{I}, π′_{1}^{J})

où l’on identifie S_{ρ} et S′_{d_{ρ}} par 2.1.13 et où le ′ renvoie au corps K′ de 2.1.9. Il ne reste plus qu’à appliquer [17, 1.3] □

Remarque 2.1.18 Comme le montre la preuve ci-dessus, on peut dans la proposition précédente remplacer les Ext_{G_{d},ω} par les Ext calculés dans la sous-catégorie pleine des objets de Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G_{d}) où ϖ agit par le scalaire ω(ϖ).

2.2 Correspondance de Langlands locale

Soit K^{nr} la sous-extension non ramifiée maximale de K dans K^{ca} et K̂^{nr} sa complétion. On note toujours I_{K} := Gal(K^{ca}/K^{nr}) ⊂ W_{K} le groupe d’inertie de K.

2.2.1 Formulation à la Weil-Deligne : Rappelons qu’une “représentation de Weil-Deligne” σ de W_{K} à valeurs dans le corps C est un triplet (σ^{ss}, N_{σ}, V_{σ}) où

– V_{σ} est un espace vectoriel de dimension finie sur C,

– σ^{ss} : W_{K} ⟶ GL(V_{σ}) est une représentation continue (pour la topologie discrète de C) et semisimple de W_{K}.

– N_{σ} ∈ End_{C} (V_{σ}) est un endomorphisme nilpotent de V tel que pour tout w ∈ W_{K}, on a

σ^{ss}(w)N_{σ}σ^{ss}(w)^{−1} = |w|N_{σ}, (2.2.2)

où | − | désigne le caractère non ramifié de W_{K} qui envoie les Frobenius arithmétiques sur l’ordre q du corps résiduel de K.

Notons Rep_{C}^{d}(W D_{K}) l’ensemble des classes d’équivalences des C-représentations de Weil-Deligne de dimension d. La correspondance de Langlands sur K est une famille de bijections (σ_{d})_{d∈ℕ^{∗}}

σ_{d} : Irr_{ℂ} (GL_{d}(K)) \underrightarrow{∼} Rep_{ℂ}^{d}(W D_{K})

qui vérifie un certain nombre de propriétés suffisantes pour la rendre unique (compatibilité avec la théorie du corps de classe qui donne aussi le cas d = 1, préservation de certains invariants de nature arithméticoanalytique (facteurs L et ϵ de paires), etc...). Nous renvoyons à [33],[35] pour l’énoncé précis de ces propriétés caractéristiques que nous n’utiliserons pas en totalité. Nous utiliserons sans commentaires particuliers la compatibilité à la contragrédiente et la compatibilité à la torsion par les caractères qui dans le cas des caractéres non ramifiés s’exprime formellement ainsi :

∀π ∈ Irr_{ℂ} (G_{d}), ∀a ∈ ℂ^{×}, σ_{d}((|det|^{a}π) = | − |^{a}σ_{d}(π)

(en particulier, on a normalisé le corps de classes de manière à ce que les uniformisantes correspondent aux Frobenius géométriques). Rappelons par ailleurs que

σ_{d}(Cusp_{ℂ} (G_{d})) = {σ ∈ Rep_{ℂ}^{d}(W D_{K}) irréductibles}.

En fait, la correspondance est déterminée par sa restriction aux représentations cuspidales de G_{d} et irréductibles de W_{K}, la classification de Zelevinski [53] et la classification des représentations de Weil-Deligne en fonction des irréductibles de W_{K}.

La géométrie algébrique réalise plutôt une variante de la correspondance de Langlands, appelée parfois correspondance de Hecke et qui se déduit de celle de Langlands par une simple torsion “à la Tate” par le caractère w ↦ |w|^{\frac{1−d}{2}} . Il est sous-entendu ici que l’on choisit toujours (si besoin) la racine carrée positive de q dans ℂ pour définir une puissance demi-entière de | − |. Pour les représentations cuspidales, cette variante se trouve être compatible aux actions des automorphismes de ℂ des deux côtés, cf [34, (7.4)]. L’extension aux représentations non cuspidales respecte cette compatibilité, comme nous allons le préciser maintenant en suivant [34, (7.4)]. Si τ est un automorphisme de ℂ et σ = (σ^{ss}, N, V) une représentation de Weil-Deligne, notons σ^{τ} := (σ^{ss} ⊗ 1, N ⊗ 1, V ⊗_{ℂ,τ} ℂ). Cela définit une action de Aut(ℂ) sur Rep_{ℂ}^{d}(W D_{K}) et de même on en définit une autre sur Irr_{ℂ} (G_{d}).

Fait 2.2.3 Pour tout automorphisme τ du corps ℂ et toute représentation π ∈ Irr_{ℂ} (G_{d}), on a

| − |^{(1−d)/2}σ_{d}(π^{τ}) = (| − |^{(1−d)/2}σ_{d}(π))^{τ} .

Preuve : Le cas le plus difficile est celui où π est cuspidale ; il est prouvé dans [34, (7.4)] (et cela repose sur des compatibilités avec des cas de correspondance globale). Le cas général découle certainement de la version rationnelle de la classification de Langlands de [16, Prop. 3.2]. Pour le confort du lecteur nous donnons une preuve complète.

Modifions un peu l’énoncé en introduisant la notation ε_{τ} = τ(\sqrt{q})/\sqrt{q} ∈ \{±1\} et les caractères

ε_{τ} : g ∈ G_{d} ↦ ε_{τ}^{val∘det(g)} et ε_{τ} : w ∈ W_{K} ↦ ε_{τ}^{log_{q}|w|}.

L’énoncé que l’on veut prouver se reformule en

σ_{d}(π^{τ}) = ε_{τ}^{d−1}σ_{d}(π)^{τ} . (2.2.4)

Étant données π_{1}, ⋯, π_{r} des représentations de G_{d_{1}}, ⋯, G_{d_{r}}, notons π_{1} × ⋯ × π_{r} la représentation de G_{d_{1}+···+d_{r}} induite parabolique standard normalisée. Alors si d = d_{1} + ⋯ + d_{r}, on calcule

(π_{1} × ⋯ × π_{r})^{τ} = ε_{τ}^{d−d_{1}}π_{1}^{τ} × ⋯ × ε_{τ}^{d−d_{r}}π_{r}^{τ} .

Supposons maintenant que cette induite est irréductible et que (2.2.4) est connu pour chaque π_{i}. On sait alors que

σ_{d}(π_{1} × ⋯ × π_{r}) = σ_{d_{1}}(π_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ σ_{d_{r}}(π_{r})

et on en tire immédiatement l’énoncé pour l’induite. D’après la classification de Zelevinski, cela nous ramène au cas où π est l’unique quotient irréductible de

St_{k_{1}}(|det|^{n_{1}}π_{g}) × ⋯ × St_{k_{r}}(|det|^{n_{r}}π_{g})

avec n_{1} ⩾ ⋯ ⩾ n_{r} ∈ ℤ et π_{g} ∈ Cusp_{ℂ} (G_{g}). On a noté ici St_{k}π_{g} l’unique quotient irréductible de π_{g}|det|^{(1−k)/2} × ⋯ × π_{g}|det|^{(k−1)/2} (k facteurs, on passe au suivant en multipliant par |det|). Remarquons que (St_{k}π_{g})^{τ} = St_{k}(ε_{τ}^{kg−g−k+1}π_{g}^{τ}). Par ailleurs, d’après [35, 2.7], on a σ_{kg}(St_{k}π_{g}) = σ_{g}(π_{g}) ⊗ σ_{k}(St_{G_{k}}). On calcule donc

σ_{kg}((St_{k}π_{g})^{τ}) = σ_{kg}(St_{k}(ε_{τ}^{kg−g−k+1}π_{g}^{τ})) = ε_{τ}^{kg−g−k+1}σ_{g}(π_{g}^{τ}) ⊗ σ_{k}(St_{G_{k}})
= ε_{τ}^{kg−g−k+1}ε_{τ}^{1−g}ε_{τ}^{1−k}(σ_{g}(π_{g}) ⊗ σ_{k}(St_{G_{k}}))^{τ}
= ε_{τ}^{1−kg}σ_{kg}(St_{k}π_{g})^{τ}

compte tenu de ce que l’on sait déja pour π_{g} et St_{G_{k}}. Ainsi (2.2.4) est vérifié pour les représentations du type St_{k}(π_{g}). Revenons à notre représentation irréductible π et rappelons que selon [35, 2.9], il lui est associé la représentation galoisienne

σ_{d}(π) = σ_{k_{1}g}(St_{k_{1}}(|det|^{n_{1}}π_{g})) ⊕ ⋯ ⊕ σ_{k_{r}g}St_{k_{r}}(|det|^{n_{r}}π_{g})).

Remarquons par ailleurs que π^{τ} est l’unique quotient irréductible de la représentation

ε_{τ}^{d−k_{1}g}(St_{k_{1}}(|det|^{n_{1}}π_{g}))^{τ} × ⋯ × ε_{τ}^{d−k_{r}g}(St_{k_{r}}(|det|^{n_{r}}π_{g}))^{τ}

qui n’est autre que la représentation

St_{k_{1}} (ε_{τ}^{d−k_{1}g}ε_{τ}^{k_{1}g−g−k_{1}−1}|det|^{n_{1}}π_{g}^{τ} ) × ⋯ × St_{k_{1}} (ε_{τ}^{d−k_{1}g}ε_{τ}^{k_{1}g−g−k_{1}−1}|det|^{n_{r}}π_{g}^{τ} ) .

Il lui est donc associé la représentation

σ_{d}(π^{τ}) = σ_{k_{1}g} (St_{k_{1}}(ε_{τ}^{d−g−k_{1}−1}|det|^{n_{1}}π_{g}^{τ})) ⊕ ⋯ ⊕ σ_{k_{r}g} (St_{k_{r}}(ε_{τ}^{d−g−k_{r}−1}|det|^{n_{r}}π_{g}^{τ}))

qui n’est autre que

ε_{τ}^{d−k_{1}g}σ_{k_{1}g} ((St_{k_{1}}(|det|^{n_{1}}π_{g}))^{τ}) ⊕ ⋯ ⊕ ε_{τ}^{d−k_{r}g}σ_{k_{r}g} ((St_{k_{r}}(|det|^{n_{r}}π_{g}))^{τ}) .

Ainsi, par le cas déja traité des représentations St, on en déduit (2.2.4) pour π.

□

La compatibilité aux automorphismes de ℂ permet de transposer sans ambiguïté la correspondance de Langlands tordue à la Hecke au corps abstrait C. Pour obtenir une correspondance de Langlands sur C, il faut alors choisir (si besoin) une racine du cardinal du corps résiduel de K.

2.2.5 Formulation continue l-adique : Lorsque C = \overline{ℚ}_{l}, nous avons besoin d’une formulation en termes de représentations continues l-adiques de W_{K} plutôt que de représentations de Weil-Deligne. Voici brièvement le lien entre les deux formulations expliqué par Deligne dans [19, 8]. Rappelons que W_{K} est muni de la topologie définie par la topologie profinie de I_{K} et la topologie discrète de W_{K}/I_{K} ≃ ℤ. On note alors Rep_{l}^{d}(W_{K}) l’ensemble des classes d’équivalences de \overline{ℚ}_{l}-représentations Frobenius-semisimples et continues de W_{K}.

Notons ℤ_{l}(1) := lim_{⟵}μ_{l^{n}} et t_{l} : I_{K} ⟶ ℤ_{l}(1) le l-quotient de l’inertie modérée, donné par l’action sur

les l^{n}-èmes racines d’une uniformisante. À tout progénérateur μ de ℤ_{l}(1), est donc associé un morphisme surjectif t_{μ} : I_{K} ⟶^{t_{l}} ℤ_{l}(1) ⟶^{μ^{∗}} ℤ_{l}. Soit (σ^{ss}, N_{σ}, V_{σ}) une \overline{ℚ}_{l}-représentation de Weil-Deligne comme dans le paragraphe précédent et soit ϕ un relèvement de Frobenius géométrique dans W_{K}. L’équation 2.2.2 montre que la formule

σ^{ϕ}(w) := σ^{ss}(w)exp(N_{σ}t_{μ}(i_{ϕ}(w))), où w = ϕ^{ν(w)}i_{ϕ}(w) ∈ ϕ^{ℤ} ⋉ I_{K} (2.2.6)

définit une représentation continue et Frobenius-semisimple de W_{K} sur l’espace V_{σ}. Le théorème “de la monodromie l-adique” de Grothendieck montre que l’application Rep_{\overline{ℚ}_{l}}^{d}(W D_{K}) ⟶ Rep_{l}^{d}(W_{K}) ainsi obtenue est une bijection. Deligne a montré qu’elle ne dépend pas des choix de ϕ et μ. L’opérateur nilpotent N_{σ} ∈ End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ}) est appelé “monodromie” et contrôle le défaut de semi-simplicité de la représentation σ. En particulier la semisimplifiée de σ n’est autre que σ^{ss}.

La correspondance de Langlands locale, tordue à la Hecke, fournit donc une correspondance entre représentations irréductibles de G_{d} et représentations l-adiques et c’est cette dernière que la géométrie (i.e. la cohomologie l-adique) peut prétendre réaliser. Moyennant le choix d’une racine du cardinal du corps résiduel dans \overline{ℚ}_{l}, on obtient la “vraie” correspondance, que nous noterons toujours

π ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (G_{d}) ↦ σ_{d}(π) ∈ Rep_{l}^{d}(W_{K}).

2.2.7 Représentations elliptiques : Pour expliquer ce qu’il advient des représentations elliptiques de G_{d} à travers la correspondance de Langlands, rappelons que

σ_{d}(Disc_{\overline{ℚ}_{l}} (G_{d})) = \{σ ∈ Rep_{l}^{d}(W_{K}) indécomposables\}.

Comme le support cuspidal d’une représentation elliptique est aussi celui d’une série discrète, la compatibilité de la correspondance de Langlands à l’induction parabolique donne la caractérisation

σ_{d}(Ell_{\overline{ℚ}_{l}} (G_{d})) = \{σ ∈ Rep_{l}^{d}(W_{K}), ∃σ′ indécomposable telle que σ^{ss} = σ′^{ss}\}.

Ainsi pour toute représentation elliptique π de type ρ, on a

σ_{d}(π)^{ss} = σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ τ_{d_{ρ}}^{ss}| − |^{\frac{1−dρ}{2}}

où τ_{d_{ρ}}^{ss} := \overline{ℚ}_{l} ⊕ \overline{ℚ}_{l}(1) ⊕ ⋯ ⊕ \overline{ℚ}_{l}(d_{ρ} − 1). Pour tout sous-ensemble I ⊂ \{1, ⋯, d_{ρ} − 1\}, introduisons la représentation l-adique τ_{d_{ρ}}^{I,ϕ} associée à la représentation de Weil-Deligne (τ_{d_{ρ}}^{ss}, N_{I}) par la formule 2.2.6, et où N_{I} est l’opérateur de monodromie τ_{d_{ρ}}^{ss} ⟶ τ_{d_{ρ}}^{ss}(−1) donné par la matrice ∑_{i∈I^{c}} E_{i,i−1}, où I^{c} est le complémentaire de I (voir [17, 4.1.1] pour plus de détails). Nous noterons simplement τ_{d_{ρ}}^{I} la classe d’isomorphisme de cette représentation.

Lemme 2.2.8 Soit ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D) et I ⊆ S_{ρ}. Utilisant les notations 2.1.10 et la convention 2.1.13, on a

σ_{d}(π_{ρ}^{I}) ≃ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ σ_{d_{ρ}}(π_{1}^{I}) ≃ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ τ_{d_{ρ}}^{I} ⊗ |.|^{\frac{1−dρ}{2}} .

Preuve : Dans la preuve de [17, 4.1.2], nous exhibons des entiers d_{1}, ⋯, d_{r} de somme d_{ρ}, et n_{1} ⩾ ⋯ ⩾ n_{r} tels que la représentation π_{1}^{I} soit l’unique quotient de l’induite

|det|_{K}^{n_{1}}St_{G_{d_{1}}} × ⋯ × |det|_{K}^{n_{r}}St_{G_{dr}} .

Ces entiers sont indépendants du corps K, de sorte que via l’équivalence de catégories 2.1.9 et la convention 2.1.13, on en déduit que π_{ρ}^{I} est l’unique quotient de l’induite

|det|^{n_{1}}St_{d_{1}}(π_{ρ}) × ⋯ × |det|^{n_{r}}St_{d_{r}}(π_{ρ}),

ce qui nous fournit les paramètres de Langlands de π_{ρ}^{I}. Alors d’après [35, 2.9], on a

σ_{d}(π_{ρ}^{I}) = | − |^{n_{1}}σ_{dd_{1}/d_{ρ}}(St_{d_{1}}(π_{ρ})) ⊕ ⋯ ⊕ | − |^{n_{r}}σ_{dd_{r}/d_{ρ}}(St_{d_{r}}(π_{ρ}))
= | − |^{n_{1}}σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ σ_{d_{1}}(St_{G_{d_{1}}} ) ⊕ ⋯ ⊕ | − |^{n_{r}}σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ σ_{d_{r}}(St_{G_{dr}})
= σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ σ_{d_{ρ}}(π_{1}^{I})

d’où la première égalité de l’énoncé. La seconde découle de [17, 4.1.2]. □

3 Espaces modulaires de Drinfeld

Dans cette section, nous précisons la version des espaces de modules de groupes formels que nous utilisons pour les énoncés cohomologiques principaux. Pour les spécialistes, il suffira de dire qu’on ne fixe pas la hauteur des quasi-isogénies qui rigidifient les problèmes de modules (suivant en cela Rapoport-Zink). La cohomologie des espaces obtenus n’est donc pas admissible mais seulement admissible modulo le centre. On définit ensuite les complexes de cohomologie RΓ_{c} qui jouent évidemment un rôle central dans ce texte. On fixe dorénavant un entier d ⩾ 1, et on note G := GL_{d}(K) et D l’algèbre à division centrale sur K d’invariant 1/d, précédemment notée D_{d}.

3.1 La tour de Drinfeld

La définition du complexe de cohomologie repose sur la description formelle suivante :

3.1.1 La tour de Drinfeld est un système ⋯ M_{Dr,n} ⟶^{π_{n,n−1}} ⋯ ⟶^{π_{1,0}} M_{Dr,0} ⟶^{ξ_{Dr}} Ω_{K}^{d−1}, où

i) Les M_{Dr,n}, n ∈ ℕ sont des K̂^{nr}-espaces analytiques munis (a) d’une action de G continue au sens de [5, par. 6].

(b) d’une action de D^{×} dont la restriction à O_{D}^{×} fait de π_{n,0} := π_{1,0} ∘ ⋯ ∘ π_{n,n−1} un revêtement étale galoisien de groupe O_{D}^{×}/(1 + ϖ^{n}O_{D}).

(c) d’une donnée de descente à la Weil pour l’extension K̂^{nr}|K (au sens de [43, 3.45]).

Ces actions commutent entre elles et aux π_{n,n′}, et le sous-groupe K_{diag}^{×} de G×D^{×} agit trivialement. ii) l’augmentation ξ_{Dr} est un morphisme d’espaces analytiques “au-dessus de K” (cf [4, p. 30]) qui,

après extension des scalaires, devient localement isomorphique, compatible aux données de descentes, et équivariant si l’on munit l’espace symétrique de Drinfeld Ω_{K}^{d−1} (vu comme K-espace analytique) de l’action naturelle de G et triviale de D^{×}.

3.1.2 Pour le confort du lecteur nous allons brièvement rappeler la définition de ces objets. On reprend les notations de l’introduction, en abrègeant O := O_{K} et en fixant une uniformisante ϖ de O.

Si B est une O-algèbre, un O-module formel sur B est un groupe formel muni d’une action de O relevant l’action naturelle sur l’algèbre de Lie. Un O_{D}-module formel sur B est un O-module formel muni d’une action de O_{D} qui étend celle de O. Notons O_{d} ⊂ O_{D} l’anneau des entiers d’une sous-extension non ramifiée maximale de K dans D. Suivant Drinfeld, un O_{D}-module formel sur B est dit spécial si son algèbre de Lie est localement libre de rang 1 comme O_{d} ⊗_{O} B-module.

Une isogénie de O-modules formels est une isogénie des groupes formels sous-jacents compatible aux actions de O. Sa (O-)hauteur est le quotient (entier) de la hauteur au sens des groupes par le degré de k sur 𝔽_{p}. La hauteur d’un O-module formel X est la hauteur de l’isogénie X(ϖ). Une quasi-isogénie X ⟶ Y de O-modules formels est un élément de Hom_{O−mf} (X, Y) ⊗_{O} K qui admet un inverse dans Hom_{O−mf} (Y, X) ⊗_{O} K. On montre que c’est en fait une isogénie à multiplication par une puissance de X(ϖ) près, ce qui permet d’en définir la hauteur.

3.1.3 L’espace M_{Dr,0} : La définition de la tour de Drinfeld repose sur l’existence d’un O_{D}-module formel 𝕏 spécial (donc de dimension d) de hauteur d^{2} sur k^{ca}, qui est unique à isogénie près, [10, Prop II.5.2], [43, 3.60].

Soit Nilp la catégorie des Ô^{nr}-algèbres où l’image de ϖ est nilpotente. On considère le foncteur G̃ : Nilp ⟶ Ens qui à B associe l’ensemble des classes d’isomorphisme de couples (X, ρ) avec X un O_{D}- module formel sur B et ρ : 𝕏⊗_{k^{ca}} (B/ϖB) ⟶ X ⊗_{B} (B/ϖB) une quasi-isogénie. On a une décomposition évidente G̃ = ⨆_{h∈ℤ} G^{(h)} où G^{(h)} classifie les classes de couples (X, ρ) avec ρ de hauteur dh. Chaque G^{(h)} est non-canoniquement isomorphe à G^{(0)} et G^{(0)} est le foncteur G de Drinfeld [22]. On sait que G est représentable (cf [28], [43]) par un schéma formel localement de type fini sur Ô^{nr}. On note M̂_{Dr,0}^{(0)} ce

schéma formel. De même on note M̂_{Dr,0}^{(h)} le schéma formel représentant G^{(h)} et M̂_{Dr,0} celui qui représente

G̃. On a donc non-canoniquement M̂_{Dr,0} ≃ M̂_{Dr,0}^{(0)} × ℤ. Enfin on note sans les fibres génériques au sens de Raynaud-Berkovich de ces espaces : ce sont donc des K̂^{nr}-espaces analytiques au sens de [4].

3.1.4 Structures de niveau : Notons (X_{u}, ρ_{u}) l’objet universel au-dessus de M̂_{Dr,0}. Le noyau X_{u}[ϖ^{n}] de la multiplication par ϖ^{n} dans X_{u} est un schéma formel en groupes plat fini de rang p^{nd^{2}} au-dessus de M̂_{Dr,0}, et qui est étale en fibre générique. Plus précisément, sa fibre générique est localement pour la topologie étale isomorphe à M_{Dr,0} × O_{D}/ϖ^{n}O_{D}. Le (O_{D}/ϖ^{n}O_{D})^{×}-torseur sur M_{Dr,0}

\underline{Isom_{O_{D}}} ((ϖ^{−n}O_{D}/O_{D})_{M_{Dr,0}}, X_{u}[ϖ^{n}])

est donc représenté par un revêtement étale de M_{Dr,0}, galoisien de groupe O_{D}^{×}/(1 + ϖ^{n}O_{D}), qui est le M_{Dr,n} de 3.1.1. Pour m ⩽ n, l’inclusion ϖ^{−m}O_{D}/O_{D} ⊂ ϖ^{−n}O_{D}/O_{D} induit le morphisme M_{Dr,n} ⟶^{π_{n,m}} M_{Dr,m} de 3.1.1.

3.1.5 Actions des groupes : On sait que le groupe des quasi-isogénies du O_{D}-module formel 𝕏 s’identifie à G = GL_{d}(K), [43, 3.60] ou [10, II.5.2]. On récupère donc une action (à gauche) de G sur le foncteur G̃ qui envoie le couple (X, ρ) sur le couple (X, ρ ∘ (^{t}g)_{𝕏}) où g_{𝕏} désigne la quasi-isogénie de 𝕏 associée à g et ^{t}g désigne la transposée de g^{6}. Cette action en induit une sur M̂_{Dr,0} par Yoneda, et l’objet universel est équivariant, i.e. muni d’isomorphismes canoniques (X_{u}, ρ_{u} ∘ g_{𝕏}^{−1}) \underrightarrow{∼} g^{∗}(X_{u}, ρ_{u}). Par conséquent tous les M_{Dr,n} sont munis d’une action de G et les morphismes de transition sont G-équivariants. D’après Berkovich, l’action de G sur ces K̂^{nr}-espaces analytiques est continue au sens de [5, par. 6] pour la topologie naturelle de G.

On définit maintenant l’action de D^{×} sur M_{Dr,0}. Pour d ∈ D^{×} et X un O_{D}-module formel sur B, notons ^{d}X le O_{D}-module formel dont le O-module formel sous-jacent est encore X mais dont l’action de O_{D} est donnée par ^{d}X(x) := X(d^{−1}xd), de sorte que X(d^{−1}) est une quasi-isogénie X ⟶ ^{d}X. Pour un couple (X, ρ) on pose d(X, ρ) := (^{d}X, ρ ∘ 𝕏(d^{−1})). On obtient ainsi une action à gauche de D^{×} sur le foncteur G̃, et donc sur M̂_{Dr,0}, triviale sur O_{D}^{×}. L’objet universel est alors muni d’isomorphismes canoniques d^{∗}(X_{u}, ρ_{u}) \underrightarrow{∼} (^{d}X_{u}, ρ_{u} ∘ 𝕏(d^{−1})) et cela permet de prolonger l’action naturelle de O_{D}^{×} sur les M_{Dr,n} à D^{×}, de manière compatible aux morphismes de transition.

6Cette normalisation de l’action permet de rendre l’énoncé final A plus joli car exempt de contragrédiente. De plus le théorème de Faltings fait intervenir un passage à la transposée.

Passons à l’action de Galois et fixons un générateur topologique ϕ de Gal(K^{nr}/K) = Gal(k^{ca}/k). Rappelons qu’une donnée de descente à la Weil [43, 3.45] est une structure ϕ^{ℤ}-équivariante au-dessus de K̂^{nr}. Ceci étant, si (X, ρ) est un O_{D}-module formel rigidifié au-dessus de B, alors on en définit un autre (ϕ^{∗}X,^{ϕ}ρ) au-dessus de ϕ^{∗}B := B ⊗_{O^{nr},ϕ} O^{nr} en posant ϕ^{∗}X := X ⊗_{B} ϕ^{∗}B et

ϕρ : 𝕏 ⊗_{k^{ca}} ϕ^{∗}(B/ϖ) ⟶^{F rob ⊗ Id} ϕ^{∗}𝕏 ⊗_{k^{ca}} ϕ^{∗}(B/ϖ) ⟶^{ϕ^{∗}ρ} ϕ^{∗}X ⊗_{ϕ^{∗}B} ϕ^{∗}(B/ϖ).

On obtient ainsi un morphisme de foncteurs G̃ ⟶ ϕ_{∗}G̃ dont on voit immédiatement qu’il est inversible, ce qui nous donne une structure ϕ^{ℤ}-équivariante sur G̃, et donc sur M̂_{Dr,0}, au-dessus de Spf(Ô^{nr}). Nommons momentanément τ_{ϕ} : ϕ^{∗}M̂_{Dr,0} \underrightarrow{∼} M̂_{Dr,0} le Spf(Ô^{nr})-isomorphisme associé à cette ϕ^{ℤ}-structure équivariante (adjoint du précédent), on obtient pour l’objet universel l’existence d’un isomorphisme canonique σ_{ϕ} : (ϕ^{∗}(X_{u}),^{ϕ}ρ_{u}) \underrightarrow{∼} τ_{ϕ}^{∗}(X_{u}, ρ_{u}) au-dessus de ϕ^{∗}M̂_{Dr,0}, d’où, par composition, une structure ϕ^{ℤ}-équivariante

ϕ^{∗}(X_{u}) ⟶^{σ_{ϕ}} τ_{ϕ}^{∗}X_{u} = X_{u} ×M̂_{Dr,0} ϕ^{∗}M̂_{Dr,0} ⟶^{proj_{1}} X_{u}

au-dessus de Spf(Ô^{nr}). En passant aux fibres génériques, on obtient sur les M_{Dr,n} les données de descente annoncées dans 3.1.1 i) (c).

3.1.6 Sur K̂^{ca} : Étendons maintenant les scalaires à K̂^{ca}, en suivant la définition de [4, 1.4]. On obtient une tour de K̂^{ca}-espaces analytiques

M_{Dr,n}^{ca} := M_{Dr,n} ˆ⊗K̂^{nr} K̂^{ca}, n ∈ ℕ

que nous avons notée simplement M_{Dr}^{ca} dans l’introduction. La structure I_{K}-équivariante sur M_{Dr,n}^{ca} audessus de K̂^{ca} induite par ce changement de base et la structure ϕ^{ℤ}-équivariante précédente se “recollent” en une structure W_{K}-équivariante au-dessus de M(K̂^{ca}). De manière équivalente, on obtient une action de W_{K} à droite sur l’“espace analytique au-dessus de K” M_{Dr,n}^{ca}, compatible à l’action naturelle de W_{K} sur K̂^{ca}. Ainsi la tour M_{Dr}^{ca} est munie d’une action de G × D^{×} × W_{K}, et on vérifie sur les définitions que celle ci est triviale sur K_{diag}^{×} × 1.

3.1.7 Le morphisme de périodes : Soit Ω_{K}^{d−1} l’espace symétrique de Drinfeld, défini comme le complémentaire des hyperplans rationnels dans ℙ_{K}^{d−1}, et Ω_{K}^{d−1,nr} son changement de base à K̂^{nr}. Drinfeld a construit dans [22] un isomorphisme ξ^{(0)} : M̂_{Dr,0}^{(0)} ⟶ Ω̂_{K}^{d−1,nr} où Ω̂_{K}^{d−1,nr} désigne un certain modèle formel de Ω_{K}^{d−1,nr} défini auparavant par Deligne. Nous n’avons besoin ici que de la fibre générique de ce morphisme ξ, mais nous avons par contre besoin de l’étendre à tout M_{Dr,0}. Pour cela nous utilisons l’isomorphisme de K̂^{nr}-espaces analytiques τ_{ϕ^{h}} : (ϕ^{h})^{∗}M_{Dr,0} ⟶ M_{Dr,0} qui induit un isomorphime (ϕ^{h})^{∗}M_{Dr,0}^{(0)} \underrightarrow{∼} M_{Dr,0}^{(h)} et nous définissons ξ^{(h)} par le diagramme commutatif

\xymatrix{(ϕ^{h})^{∗}M_{Dr,0}^{(0)} \ar[d]_{(ϕ^{h})^{∗}ξ^{(0)}} \ar[r]^{∼} & M_{Dr,0}^{(h)} \ar@{-->}[d]^{ξ^{(h)}} \\ (ϕ^{h})^{∗}Ω_{K}^{d−1,nr} \ar[r]^{∼} & Ω_{K}^{d−1,nr}}

où la flèche du bas est la donné de descente naturelle sur Ω_{K}^{d−1,nr}. Enfin on pose ξ := ⨆_{h∈ℤ} ξ^{(h)} : M_{Dr,0} ⟶ Ω_{K}^{d−1,nr}. Une construction directe (et plus “simple” que celle de Drinfeld) de ce ξ est proposée dans le chapitre 5 de Rapoport-Zink [43], mais n’est rédigée qu’en inégales caractéristiques (techniques cristallines). En égales caractéristiques une construction “encore plus simple” reposant sur la notion de module de coordonnées est proposée dans [28].

Les assertions de 3.1.1 ii) sont contenues dans les références usuelles [22], [10], [28] et [43]. Commentons seulement la compatibilité à l’action de G : dans les références précédentes l’action de G sur les M_{Dr,n} est l’action “naturelle” dont la notre se déduit par g ↦ ^{t}g^{−1}. Le morphisme de période y est équivariant pour l’action naturelle sur le modèle “dual” de Ω_{K}^{d−1}, à savoir l’ensemble des hyperplans de K^{d} ne contenant pas de droites rationnelles. C’est pourquoi, avec notre normalisation différente et notre définition de Ω_{K}^{d−1}, le morphisme de périodes reste G-équivariant.

3.2 La tour de Lubin-Tate

3.2.1 C’est un système ⋯ M_{LT,n} ⟶^{π_{n,n−1}} ⋯ ⟶^{π_{1,0}} M_{LT,0} ⟶^{ξ_{LT}} S_{K}^{1/d}, où

i) Les M_{LT,n}, n ∈ ℕ sont des K̂^{nr}-espaces analytiques munis

(a) d’une action continue de D^{×},

(b) d’un système de morphismes étales finis g^{n′|n} : M_{LT,n} ⟶ M_{LT,n′} définis pour tous g, n, n′ satisfaisant gM_{d}(O_{K})g^{−1} ⊂ ϖ^{n′−n}M_{d}(O_{K}) et tels que

i. ∀g, h ∈ G, g^{n′′|n′}h^{n′|n} = (gh)^{n′′|n} lorsque tous sont bien définis.

ii. ∀n, n′, π_{n,n′} = 1^{n′|n}.

iii. ∀n, les g^{n|n} font de π_{n,0} un revêtement étale galoisien de groupe GL_{d}(O_{K})/(1+ϖ^{n}M_{d}(O_{K})).

(c) d’une donnée de descente à la Weil pour l’extension K̂^{nr}|K.

Ces données sont compatibles entre elles et l’action de K_{diag}^{×} ⊂ D^{×} × G est triviale sur chaque M_{LT,n}.

ii) l’augmentation ξ_{LT} est un morphisme d’espaces analytiques au-dessus de K, qui après extension des scalaires, devient étale surjectif, compatible aux données de descente, et équivariant si l’on munit la variété de Severi-Brauer S_{K}^{1/d} d’invariant 1/d de l’action naturelle de D^{×} et triviale de GL_{d}(K). On a donc ξ_{LT} ∘ g^{0|n} = ξ_{LT} ∘ 1^{0|n} pour tous g, n tels que gM_{d}(O_{K})g^{−1} ⊂ ϖ^{−n}M_{d}(O_{K}).

Nous donnons maintenant un peu de substance à cette enveloppe formelle en rappelant la définition de ces objets. Elle repose sur l’existence d’un O_{K}-groupe formel 𝕏 sur k^{ca} de dimension 1 et hauteur d, au sens de [21] ou [36] et qui est unique à isomorphisme près, [21, prop 1.6-7].

3.2.2 Déformations de 𝕏 : On peut comme dans le livre de Rapoport-Zink exprimer le problème de modules sur la catégorie Nilp et de manière semblable au cas de la tour de Drinfeld. Nous donnons malgré tout la définition historique en termes de déformations, car c’est la seule écrite en égales caractéristiques. Soit C la catégorie des Ô^{nr}-algèbres locales de corps résiduel \overline{𝔽}_{p} et complètes pour leur topologie adique. Une déformation par quasi-isogénie de 𝕏 sur une telle algèbre R est une paire (X, ρ) formée d’un O_{K}- module formel X sur R et d’une quasi-isogénie 𝕏 ⟶^{ρ} X ⊗_{R} R/𝔐_{R}. Notons Def le foncteur de C dans les ensembles qui à R associe l’ensemble des classes d’isomorphisme de déformations par quasi-isogénie (X, ρ) de 𝕏 sur R. Ce foncteur est une réunion disjointe de sous-foncteurs Def^{(h)} classifiant les couples (X, ρ) avec ρ de hauteur h. Tous les Def^{(h)} sont non-canoniquement isomorphes à Def^{(0)}. De plus, comme une quasi-isogénie de hauteur nulle entre deux O_{K}-modules formels de dimension 1 sur \overline{𝔽}_{p} est un isomorphisme (c’est une conséquence de [21],props 1.6-2 et 1.7), on voit que Def^{(0)} est le foncteur de déformations étudié par Drinfeld. D’après [21, 4.2] on sait que Def^{(0)} est représentable par l’algèbre R^{(0)} := Ô^{nr}[[T_{1}, ⋯, T_{d−1}]] des séries formelles à d − 1 variables sur Ô^{nr}. Nous noterons alors M_{LT,0}^{(0)} le K̂^{nr}-espace analytique de

Berkovich associé au schéma formel M̂_{LT,0}^{(0)} := Spf(R^{(0)}) (suivant la procédure de Raynaud-Berthelot décrite dans [7]) : c’est la boule unité ouverte de dimension d − 1. Il s’ensuit que les foncteurs Def^{(h)} pour h ∈ ℕ sont aussi représentables et nous noterons M_{LT,0}^{(h)} les espaces analytiques associés. Nous posons

enfin M̂_{LT,0} := ⨆_{h∈ℕ} M̂_{LT,0}^{(h)} et notons sans l’espace analytique associé.

3.2.3 Structures de niveau : On peut suivre la même procédure que dans le cas Dr. En notant encore (X_{u}, ρ_{u}) l’objet universel sur M̂_{LT,0}, on définit M_{LT,n} comme le revêtement étale galoisien de groupe GL_{d}(O/ϖ^{n}O) de M_{LT,0} représentant le torseur

\underline{Isom}((ϖ^{−n}O/O)^{d}, X_{u}[ϖ^{n}]).

Il se trouve que dans ce cas LT on peut faire mieux en interprétant M_{LT,n} comme la fibre générique d’un problème de modules classifiant les “structures de niveau de Drinfeld” : cela a l’avantage de simplifier la description de l’action de G^{7}. Soit Λ ⊂ K^{d} un O-réseau. Si R ∈ C et (X, ρ) est une déformation par quasi-isogénie de 𝕏 au-dessus de R, alors une Λ-structure de niveau n de Drinfeld sur X est un morphisme de O-modules ψ de ϖ^{−n}Λ/Λ vers l’idéal maximal 𝔐_{R} muni de la structure de O-module définie par X et tel que

∏_{x∈ϖ^{−1}Λ/Λ}(T − ψ(x)) divise X_{ϖ}(T)

où X_{ϖ}(T) désigne la série formelle donnant l’action de ϖ sur X. Les foncteurs Def_{Λ,n}^{(h)} classifiant les triplets

(X, ρ, ψ) à isomorphisme près sont représentables [21, 4.3] par des algèbres R_{Λ,n}^{(h)} finies et plates sur les

R^{(h)} et nous noterons M̂_{LT,Λ,n} := ⨆_{h∈H} SpfR_{Λ,n}^{(h)}. Lorsque Λ est le réseau “canonique” O^{d} ⊂ K^{d}, la fibre générique de M̂_{LT,Λ,n} s’identifie canoniquement à M_{LT,n}. Évidemment pour n fixé, tous les M̂_{LT,Λ,n} sont (non-canoniquement) isomorphes.

3.2.4 Action des groupes : On sait que le groupe des quasi-isogénies du O-module formel 𝕏 s’identifie à D^{×}. Ceci nous permet de définir une action à gauche de D^{×} sur M_{LT,0}, puis sur les M_{LT,n} d’une manière exactement analogue à celle par laquelle on a défini l’action de G sur M_{Dr,0} et les M_{Dr,n}. Explicitement, on envoie un triplet (X, ρ, ψ) sur le triplet (X, ρ ∘ d_{𝕏}^{−1}, ψ).

L’action de G est plus délicate. Elle est soigneusement définie dans [31, II.2] (où les déformations sont cependant par isomorphismes) et [47] (qui traite les déformations par quasi-isogénies). On rappelle ici brièvement cette définition, en l’exposant un peu différemment des références usuelles. Pour deux réseaux Λ, Λ′ dans K^{d}, nous noterons d(Λ, Λ′) la distance combinatoire entre les points de l’immeuble de P GL_{d}(K) associés. C’est le minimum de la somme r + k pour tous les couples d’entiers r, k ∈ ℤ tels tels que

Λ ⊆ ϖ^{−r}Λ′ ⊆ ϖ^{−r−k}Λ. (3.2.5)

Lemme 3.2.6 Il existe une famille de morphismes D^{×}-équivariants de foncteurs

α_{Λ′|Λ}^{n′|n} : Def_{Λ,n} ⟶ Def_{Λ′,n′}

indicée par les quadruplets (Λ, Λ′, n, n′) où Λ, Λ′ sont des réseaux de K^{d} et n, n′ ∈ ℕ sont tels que n − n′ ⩾ d(Λ, Λ′), et telle que

i) si Λ = Λ′, alors α_{Λ′|Λ}^{n′|n} est le morphisme de restriction de la structure de niveau.

ii) pour tout autre Λ′′, n′′ avec n′ − n′′ ⩾ d(Λ′, Λ′′), on a α_{Λ′′|Λ}^{n′′|n} = α_{Λ′′|Λ′}^{n′′|n′} ∘ α_{Λ′|Λ}^{n′|n}.

iii) les fibres génériques des morphismes de schémas formels M̂_{LT,Λ,n} ⟶ M̂_{LT,Λ′,n′} associés sont étales, finies et surjectives (au sens de Berkovich, par exemple).

À partir de ce lemme, on définit l’action de G de la manière suivante : tout g ∈ G induit un isomorphisme Def_{Λ,n} \underrightarrow{∼} Def_{gΛ,n} qui envoie le triplet (X, ρ, ψ) sur le triplet (X, ρ, ψ ∘ g^{−1}). On pose alors pour tous n, n′ ∈ ℕ “adéquates”, c’est-à-dire tels que n − n′ ⩾ d(gO^{d}, O^{d})

(3.2.7) g^{n′|n} : Def_{O^{d},n} \underrightarrow{∼} Def_{gO^{d},n} ⟶^{α_{O^{d}|gO^{d}}^{n′|n}} Def_{O^{d},n′}.

7On peut néanmoins se passer d’une telle interprétation modulaire comme il est esquissé dans [43, 5.34] et expliqué dans [25, 2.3.8.3]

En passant aux fibres génériques, on en déduit les g^{n′|n} de 3.2.1. Notons que leurs degrés ne dépendent pas de g et sont égaux à [1 + ϖ^{n′}M_{d}(O) : 1 + ϖ^{n}M_{d}(O)] = q^{d^{2}(n−n′)}.

Preuve : Remarquons que dans l’égalité ii), le quadruplet (Λ, Λ′′, n, n′′) vérifie bien n − n′′ ⩾ d(Λ, Λ′′) par l’inégalité triangulaire.

Fixons maintenant (Λ, Λ′, n, n′) et choisissons (k, r) vérifiant 3.2.5 et tels que n−n′ ⩾ k +r. On définit un morphisme (α_{Λ′|Λ}^{n′|n})_{k,r} comme dans l’énoncé du lemme en associant à (X, ρ, ψ) au-dessus de R ∈ C le triplet (X′_{k,r}, ρ′_{k,r}, ψ′_{k,r}) au-dessus de R défini par

– X′_{k,r} := X/ψ(ϖ^{−r}Λ′/Λ), dont l’existence (et la définition précise) est assurée par [21, Lemma 4.4], ou [31, Lemma II.2.4].

– ρ′_{k,r} : 𝕏 ⟶^{ϖ^{−r}} 𝕏 ⟶^{ρ} X ⊗_{R} R/𝔐_{R} ⟶^{can} X′ ⊗_{R} R/𝔐_{R}.

– ψ′_{k,r} : ϖ^{−n′}Λ′/Λ′ ⟶^{×ϖ^{−r}} ϖ^{−r−n′}Λ′/ϖ^{−r}Λ′ ↪ \xymatrix{ϖ^{−n}Λ/ϖ^{−r}Λ′ \ar@{-->}[r] & (𝔐_{R}, X′) \\ ϖ^{−n}Λ/Λ \ar@{->>}[u] \ar[r]^{ψ} & (𝔐_{R}, X) \ar[u]^{can}}

Il est clair que ce morphisme est D^{×}-équivariant. Il nous faut voir qu’il ne dépend pas du couple (k, r) tel que n − n′ ⩾ k + r. Soit (k′, r′) un autre tel couple, et supposons que r′ ⩾ r. Dans ce cas la multiplication par ϖ^{r′−r} dans le O_{K}-module formel X/ψ(ϖ^{−r}Λ′/Λ) induit un isomorphisme X/ψ(ϖ^{−r′}Λ′/Λ) \underrightarrow{∼} X/ψ(ϖ^{−r}Λ′/Λ). On vérifie alors aisément que cet isomorphisme induit un isomorphisme de triplets (X′_{k′,r′}, ρ′_{k′,r′}, ψ′_{k′,r′}) \underrightarrow{∼} (X′_{k,r}, ρ′_{k,r}, ψ′_{k,r}).

La propriété i) est immédiate. Pour la propriété ii), choisissons (k, r) comme ci-dessus et (k′, r′) tel que n′−n′′ ⩾ k′+r′ et Λ′ ⊆ ϖ^{−r′}Λ′′ ⊆ ϖ^{−r′−k′}Λ′. Alors soit (k′′, r′′) := (k′+k, r′+r), on a bien n−n′′ ⩾ k′′+r′′ et Λ ⊆ ϖ^{−r′′}Λ′′ ⊆ ϖ^{−r′′−k′′}Λ et on vérifie sur la définition que (α_{Λ′′|Λ}^{n′′|n})_{k′′,r′′} = (α_{Λ′′|Λ′}^{n′′|n′})_{k′,r′} ∘ (α_{Λ′|Λ}^{n′|n})_{k,r}. Il reste à montrer l’étale finitude et la surjectivité des morphismes induits sur les fibres génériques. Pour cela, on utilise le fait que lorsque on a deux morphismes analytiques tels que g ∘ f est étale, alors (g étale) ⇒ (f étale), et (f étale surjectif) ⇒ (g étale). Rappelons maintenant que les morphismes de restriction de la structure de niveau sont étales surjectifs (et finis) en fibre générique. Ainsi, étant donné un quadruplet (Λ, Λ′, n, n′) tel que n − n′ ⩾ d(Λ, Λ′) =: δ, l’égalité α_{Λ′|Λ′}^{0|n′}α_{Λ′|Λ}^{n′|n} = α_{Λ′|Λ}^{0|δ}α_{Λ|Λ}^{δ|n} montre que α_{Λ′|Λ}^{n′|n} est étale

en fibre générique si et seulement si α_{Λ′|Λ}^{0|δ} l’est, et donc si et seulement si α_{Λ′|Λ}^{2δ|3δ} l’est ! Ce dernier est le premier morphisme de la suite

Def_{Λ,3δ} ⟶ Def_{Λ′,2δ} ⟶ Def_{Λ,δ} ⟶ Def_{Λ′,0}.

En fibre générique, le caractère étale de la composée des deux dernières flèches α_{Λ′|Λ}^{0|δ} ∘ α_{Λ|Λ′}^{δ|2δ} = α_{Λ′|Λ′}^{0|2δ}

implique que celle du milieu, α_{Λ|Λ′}^{δ|2δ}, est non-ramifiée. Mais alors, toujours en fibre générique, le caractère

étale et fini de la composée des deux premières flèches implique par [4, 3.2.9] que α_{Λ′|Λ}^{2δ|3δ} est étale et finie. La surjectivité se voit de la même manière. □

La donnée de descente se définit comme pour la tour de Drinfeld (voir [43, 3.48]), et ici encore se recolle avec l’action de l’inertie sur les

M_{LT,n}^{ca} := M_{LT,n} ˆ⊗K̂^{nr} K̂^{ca}, n ∈ ℕ.

3.2.8 Morphisme de périodes : Dans le cas LT, le morphisme de périodes n’est défini qu’en fibre générique. Il a été d’abord défini dans [36, par. 23] à partir de calculs explicites. La définition la plus visiblement intrinsèque est celle de [43, ch. 5] mais elle fait appel aux techniques cristallines des groupes p-divisibles et n’est écrite qu’en inégales caractéristiques^{8}.

Dans chacune des définitions, la construction repose sur l’existence d’un K̂^{nr}-espace vectoriel 𝕄 de dimension d muni d’une action de D^{×} et attaché au O-module formel 𝕏 (son module de Dieudonné dans le cas d’inégales caractéristiques ou son module de coordonnées en égales caractéristiques) et d’un isomorphisme D^{×}-équivariant de O_{M_{LT,0}}-modules

8Cependant, A. Genestier sait adapter au cas d’égales caractéristiques, par exemple en utilisant le module de coordonnées

𝕄 ⊗K̂^{nr} O_{M_{LT,0}} \underrightarrow{∼} M_{X_{u}}

où M_{X_{u}} est un fibré vectoriel au-dessus de M_{LT,0} attaché à l’objet universel X_{u} (obtenu comme fibre générique de l’algèbre de Lie de l’extension vectorielle universelle de l’objet universel X_{u} au-dessus de M̂_{LT,0}, resp. de son module de coordonnées en égales caractéristiques). Notons alors Lie_{X_{u}} le O_{M_{LT,0}}- module inversible obtenu comme fibre générique de l’algèbre de Lie de X_{u} au-dessus de M̂_{LT,0} ; la composée

𝕄 ⊗K̂^{nr} O_{M_{LT,0}} \underrightarrow{∼} M_{X_{u}} ⟶ Lie_{X_{u}}

définit un morphisme de K̂^{nr}-espaces analytiques

ξ^{nr} : M_{LT,0} ⟶ ℙ(𝕄) ≃ ℙ^{d−1,nr}

qui est le morphisme de périodes voulu. Le fait que ξ^{nr} est étale au sens rigide-analytique est prouvé dans [43, 5.17]. Il se trouve qu’il est aussi étale au sens de Berkovich car son bord relatif est vide. La surjectivité de ξ^{nr} est prouvée, au moins pour les points classiques (rigides analytiques) dans [36, 23.5], mais la preuve de loc.cit montre aussi la surjectivité pour les points de Berkovich. Les propriétés d’équivariance se trouvent dans [43, 5.37] ou [36, 23.28].

Par ailleurs, les isomorphismes 𝕄(𝕏) ⟶^{F rob} 𝕄(ϕ^{∗}𝕏) = ϕ^{∗}𝕄(𝕏) munissent 𝕄 et donc ℙ(𝕄) d’une donnée de descente à la Weil compatible à ξ^{nr}. Explicitons-là dans le cas où K est de caractéristique nulle : alors le O_{K}-groupe formel 𝕏 sur \overline{𝔽}_{p} est p-divisible et 𝕄 est l’isocristal associé. Sa dimension sur K̂^{nr} est la hauteur d de 𝕏, et son unique pente est 1/d. En particulier 𝕄 est irréductible et donc “défini sur 𝔽_{p}” au sens suivant : il existe une base de 𝕄 dans laquelle le Frobenius est donné par la matrice

Φ = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ ϖ & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). Ainsi, la forme rationnelle de ℙ^{d−1} correspondant à la donnée de descente sur

ℙ(𝕄) est celle associée au 1-cocycle Gal(K̂^{nr}/K) = ϕ^{ℤ} ⟶ Aut(ℙ^{d−1}) = P GL_{d−1}(K̂^{nr}) qui envoie ϕ sur la matrice Φ. Cette forme rationnelle est la variété de Severi-Brauer d’invariant 1/d.

Dans le cas où K est de caractéristique positive, le même raisonnement s’applique au module de coordonnées 𝕄.

3.3 Définition du RΓ_{c}

Dans cette section, nous définissons les complexes de cohomologie des tours M_{LT}^{ca} et M_{Dr}^{ca}. On les obtient comme évaluation en un faisceau constant du foncteur dérivé d’un certain foncteur “sections à support compact sur la tour”. Comme on veut que ce foncteur soit à valeurs dans la catégorie des G × D^{×} × W_{K}-modules, le plus facile (surtout du côté LT) est de prendre pour source de ce foncteur la catégorie des faisceaux équivariants sur (la descente de) l’espace des périodes. Nous utiliserons sans commentaires, mais avec des références précises, le formalisme présenté dans l’appendice B de [17], et qui est essentiellement dû à Berkovich et Jannsen. Pour le confort du lecteur, rappelons sans les définir les principales notations de cet appendice :

– X̃_{et} désigne le topos étale d’un espace analytique X et Γ_{!}(X, −) les sections à support compact.

– X̃_{et}(G) désigne le topos formé par les faisceaux étales G-équivariants d’un espace algébrique X muni d’une action continue d’un groupe topologique G [17, B.1.4]. On sait alors que le foncteur des sections à support compact se factorise par la catégorie (le topos) G̃ des ensembles discrets munis d’une action continue de G et nous notons Γ_{!}^{∞_{G}}(X, −) : X̃_{et}(G) ⟶ G̃ le foncteur obtenu.

– Mod_{Λ}(T ) désigne la catégorie abélienne des Λ-modules d’un topos T [17, B.1.5].

– Si Λ est une extension finie (sous-entendu locale et plate) de ℤ_{l} d’uniformisante λ, on note Λ_{•} le pro-anneau (Λ/λ^{n})_{n∈ℕ} et Mod_{Λ_{•}}(T ) désigne la catégorie abélienne des Λ_{•}-modules du topos T (i.e. des systèmes projectifs (F_{n})_{n∈ℕ} de Λ-faisceaux sur T tels que λ^{n}F_{n} = 0). On a un foncteur lim_{⟵}^{T} : Mod_{Λ_{•}}(T ) ⟶ Mod_{Λ}(T ) [17, B.2.2].

– On note Γ_{!,•}^{∞_{G}} := Γ_{!}^{∞_{G}} ∘ lim_{⟵}^{X̃_{et}(G)} : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(G) [17, B.2.4].

3.3.1 Sections à supports compacts sur la tour : Comme les constructions sont formellement identiques pour chacune des deux tours, nous ommettrons parfois la notation Dr ou LT. Par exemple, pour tout n ∈ ℕ, ξ_{n} désignera soit la composée

ξ_{Dr,n} : M_{Dr,n}^{ca} ⟶ M_{Dr,0}^{ca} ⟶ Ω_{K}^{d−1,nr} ⟶ P_{Dr} := Ω_{K}^{d−1}

soit la composée

ξ_{LT,n} : M_{LT,n}^{ca} ⟶ M_{LT,0}^{ca} ⟶ ℙ_{K}^{d−1,nr} ⟶ P_{LT} := S_{K}^{1/d}.

Il s’agit de morphismes d’espaces “analytiques au-dessus de K” au sens de [4], les deux premiers espaces étant K̂^{ca}-analytiques, le troisième K̂^{nr}-analytique, et le dernier K-analytique. Dans chacun des cas, l’espace des périodes P est muni d’une action continue du groupe J en posant J_{Dr} := G et J_{LT} := D^{×}. Comme les morphismes J-équivariants M_{n}^{ca} ⟶^{π_{n,n′}} M_{n′}^{ca} sont finis, on a π_{n,n′,!} = π_{n,n′,∗}. Donc pour tout objet F ∈ P̃_{et}(J), on a des applications naturelles J-équivariantes

π_{n,n′}^{∗} : Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n′}^{ca}, ξ_{n′}^{∗}(F)) ⟶ Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n′}^{ca}, π_{n,n′,!}π_{n,n′}^{∗}ξ_{n′}^{∗}(F)) = Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F))

Fait 3.3.2 L’ensemble lim ; ⟶_{n∈ℕ} Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F)) est muni d’une action continue de G×D^{×} ×W_{K} et triviale

sur le sous-groupe K_{diag}^{×} × 1.

Preuve : Dans les deux cas, on a visiblement une action continue de (J × W_{K}). Dans le cas Dr, on a aussi immédiatement l’action de D^{×}. On s’occupe donc du cas LT, où il reste à expliquer l’action de G.

Fixons g ∈ G et n ⩾ n′ tels que le morphisme g^{n′|n} : M_{LT,n}^{ca} ⟶ M_{LT,n′}^{ca} soit défini. Celui-ci étant fini, on a (g^{n′|n})_{!} = (g^{n′|n})_{∗}, donc l’égalité ξ_{LT,n′} ∘ g^{n′|n} = ξ_{LT,n} de 3.2.1 ii) fournit le morphisme

g^{n′|n,∗} : Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{LT,n′}^{ca}, ξ_{LT,n′}^{∗}(F)) ⟶ Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{LT,n}^{ca}, ξ_{LT,n}^{∗}(F)).

D’après les propriétés 3.2.1 i)(b) i et ii, on obtient à la limite inductive un morphisme g^{∗} : Γ_{c}(M^{ca}, F) ⟶ Γ_{c}(M^{ca}, F) qui commute à l’action de D^{×} × W_{K}, Cela définit une action à droite de G, et pour nous ramener à une action à gauche, nous ferons agir g sur Γ_{!}^{∞_{J}} (M^{ca}, F) par son inverse g^{−1}. La trivialité de cette action sur K_{diag}^{×} vient de la fin de 3.2.1 i). □

Posons GD := (G × D^{×})/K_{diag}^{×}. On a donc obtenu un foncteur “sections à supports compacts sur la tour”

\begin{matrix}Γ_{c}(M^{ca}, −) : P̃_{et}(J) & → & { \atop (GD × W_{K})} \\ F & ↦ & lim ; ⟶_{n∈ℕ} Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F)) \end{matrix}

dont le but est la catégorie des GD×W_{K}-ensembles continus. Ce foncteur commute aux limites projectives finies et envoie donc Λ-modules sur Λ-modules pour tout anneau Λ (constant sur P̃_{et}(J)).

3.3.3 Cohomologie : La construction du système inductif (Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F)))_{n∈ℕ} et de l’action de G × D^{×} × W_{K} sur icelui reposaient sur la finitude des morphismes π_{n,n′} et g^{n′|n}. Ces mêmes propriétés permettent de définir de manière analogue pour tout faisceau abélien et tout q ∈ ℕ un système inductif (H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F)))_{n∈ℕ} muni d’une action de G × D^{×} × W_{K}.

Fait 3.3.4 Pour tout q ∈ ℕ, il y a un isomorphisme de foncteurs Mod_{ℤ}(P̃_{et}(J)) ⟶ Mod_{ℤ}(GD × W_{K}) canonique :

R^{q}Γ_{c}(M^{ca}, −) \underrightarrow{∼} lim ; ⟶_{n∈ℕ} H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}−).

Preuve : En effet, par commutation de la cohomologie aux limites inductives filtrantes, on a

R^{q}Γ_{c}(M^{ca}, −) = \underrightarrow{lim} R^{q} (Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, −) ∘ ξ_{n}^{∗}) .

Comme on sait par Berkovich que R^{q}Γ_{!}^{∞_{J}} (X, −) = H_{c}^{q}(X, −) (voir [17, B.1.7]), il nous suffira de montrer que R^{q}(Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, −) ∘ ξ_{n}^{∗}) = R^{q}Γ_{!}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, −) ∘ ξ_{n}^{∗} pour tout n. Or on a une factorisation ξ_{n}^{∗} :

Mod_{ℤ}(P̃_{et}(J)) ⟶^{β^{∗}} Mod_{ℤ}({ \atop P ˆ⊗_{K} K̂^{ca}}_{et}(J)) ⟶^{ξ_{n}^{ca}^{∗}} Mod_{ℤ}({ \atop M_{n,et}^{ca}}(J)) où ξ_{n}^{ca} est un morphisme étale de K̂^{ca}- espaces analytiques et β est le changement de base (ce n’est pas un morphisme d’espaces analytiques mais un morphisme des sites étales concernés). Ainsi ξ_{n}^{ca}^{∗} envoie injectifs sur injectifs puisqu’il est adjoint à droite du foncteur exact ξ_{n}^{ca}_{!}, et β^{∗} envoie suffisamment d’injectifs sur des injectifs, par exemple tous ceux de la forme β_{∗}(I), avec I injectif. □

En particulier, lorsque Λ est un anneau de torsion, le complexe RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) a la bonne cohomologie. Supposons maintenant que Λ est une extension finie de ℤ_{l} et fixons F_{•} = (F_{m})_{m∈ℕ} ∈ Mod_{Λ_{•}}(P̃_{et}(J)).

Comme les morphismes π_{n,n′} pour n ⩾ n′ sont étales, on a

lim_{⟵}^{{ \atop M_{n,et}}(J)}(ξ_{n}^{∗}F_{•}) ≃ π_{n,n′}^{∗} lim_{⟵}^{{ \atop M_{n′,et}}(J)}(ξ_{n′}^{∗}F_{•}).

Ainsi, la finitude de ces mêmes π_{n,n′} fournit encore les morphismes de transition intervenant dans la limite suivante

Γ_{c,•}(M^{ca}, F_{•}) := lim ; ⟶_{n∈ℕ} Γ_{!,•}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F_{•})) .

Ce Λ-module est muni par définition d’une action lisse de J à gauche et d’une action commutante de W_{K} à droite (qui n’est plus nécessairement lisse à cause de la limite projective). On construit l’action du troisième groupe (D^{×} pour le cas Dr ou G pour le cas LT) exactement comme dans 3.3.2. En particulier dans le cas LT, on utilise le caractère étale des g^{n′|n} pour pouvoir écrire

lim_{⟵}^{{ \atop M_{n,et}}(J)}(ξ_{n}^{∗}F_{•}) ≃ g^{n′|n}^{∗} lim_{⟵}^{{ \atop M_{n′,et}}(J)}(ξ_{n′}^{∗}F_{•}).

grâce à 3.2.1 ii). On définit ainsi un foncteur

Γ_{c,•}(M^{ca}, −) : Mod_{Λ_{•}}(P̃_{et}(J)) ⟶ Mod_{Λ}(GD × W_{K}^{disc})

qui est exact à gauche. Dans le terme de droite, l’exposant disc signifie qu’on oublie la topologie de W_{K} ; en effet, on a perdu la lissité de l’action de W_{K} dans la limite projective.

Supposons maintenant que le Λ_{•}-faisceau F_{•} soit un Λ-système local au sens de [17, B.2.1], et notons H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}((F_{m})_{m})) la cohomologie à supports compacts de son image inverse sur M_{n}^{ca}, définie dans ce cas par Berkovich (cf loc. cit). Toujours les mêmes propriétés de propreté des π_{n,n′} et g^{n′|n} permettent de définir un système inductif (H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}((F_{m})_{m})))_{n∈ℕ} muni d’une action du groupe G × D^{×} × W_{K}.

Fait 3.3.5 Pour tout q ∈ ℕ et tout Λ-système local J-équivariant (F_{m})_{m∈ℕ} sur P, on a un isomorphisme canonique (G × D^{×} × W_{K})-équivariant :

R^{q}Γ_{c,•}(M^{ca}, F_{•}) \underrightarrow{∼} lim ; ⟶_{n∈ℕ} H_{c}^{q} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}((F_{m})_{m}))

Preuve : Comme dans le cas de torsion, la commutation de la cohomologie aux limites inductives filtrantes et le fait que ξ_{n}^{∗} envoie suffisamment d’injectifs sur des injectifs montrent que

R^{q}Γ_{c,•}(M^{ca}, F_{•}) ≃ lim ; ⟶_{n∈ℕ} (R^{q} (Γ_{!,•}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, −) ∘ ξ_{n}^{∗}) (F_{•}))
≃ lim ; ⟶_{n∈ℕ} (R^{q} (Γ_{!,•}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, −)) (ξ_{n}^{∗}(F_{•})))

Mais d’après [17, Prop B.2.5 ii)] appliqué aux espaces analytiques quasi-algébriques (car lisses) M_{n}^{ca}, on a R^{q}Γ_{!,•}^{∞_{J}} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F_{•})) ≃ H_{c}^{q} (M_{n}^{ca}, ξ_{n}^{∗}(F_{m})_{m}) pour tout Λ-système local J-équivariant F_{•} □ Nous pouvons maintenant poser :

RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) := RΓ_{c,•}(M^{ca}, Λ_{•}) ∈ D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc}).

Par ce qui précède, sa cohomologie est G × D^{×} × W_{K}-isomorphe à la limite inductive H_{c}^{q}(M^{ca}, Λ) des H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, Λ), n ∈ ℕ. En particulier, le morphisme canonique RΓ_{c}(M^{ca}, ℤ_{l}) ⊗_{ℤ_{l}} Λ ⟶ RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) est un isomorphisme. Nous posons enfin

RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) := \overline{ℚ}_{l} ⊗_{ℤ_{l}} RΓ_{c}(M^{ca}, ℤ_{l}) ∈ D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(GD × W_{K}^{disc}).

Par commutation du produit tensoriel aux limites inductives, la cohomologie de ce complexe est donnée

par R^{q}Γ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ H_{c}^{q}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) := lim ; ⟶_{n∈ℕ} H_{c}^{q}(M_{n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}).

3.4 Le théorème de Faltings-Fargues

Dans [24], Faltings a esquissé un lien remarquable entre les tours de Drinfeld et de Lubin-Tate. Ce lien est expliqué en détail et amplifié dans un travail en cours de Fargues [27] dans le cas où K est p-adique. Si on pouvait donner un sens géométrique raisonnable aux notations M^{ca} := lim_{⟵}M_{n}^{ca}, la formulation naturelle de ce “lien” serait de dire que les objets M_{Dr}^{ca} et M_{LT}^{ca} sont isomorphes, et de manière G × D^{×} × W_{K}-équivariante. Malheureusement ces objets n’ont vraiment pas de sens, et le résultat doit être formulé en termes de schémas formels p-adiques énormes et n’ayant plus du tout les propriétés de finitude normalement requises pour leur associer des espaces rigides. Mais une autre manière de formuler ce lien sans introduire de schémas formels est la suivante :

Théorème 3.4.1 (Faltings-Fargues) Il existe une équivalence de topos { \atop P_{Dr,et}}(G) ≃ { \atop P_{LT,et}}(D^{×}) qui échange les deux foncteurs Γ_{c}(M_{Dr}^{ca}, −) et Γ_{c}(M_{LT}^{ca} , −).

C’est le théorème 13.2 du chapitre “cohomologie” de [27]. Sous cette forme, on obtient le corollaire immédiat

Corollaire 3.4.2 Il existe un isomorphisme RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , ℤ_{l}) ≃ RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, ℤ_{l}) dans D_{ℤ_{l}}^{b}(GD × W_{K}^{disc}).

3.5 Variantes et décompositions

Dans cette section, on discute deux variantes de la construction de la section précédente dont on tire quelques propriétés des complexes RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) où Λ désigne une ℤ_{l}-algèbre finie pour un l ≠ p. On s’intéresse ensuite à l’action du centre de la catégorie des Λ(GD)-modules lisses sur ces complexes, puis dans le cas LT, on montre une propriété de finitude et on introduit une variante “sans supports”.

3.5.1 Première variante : Dans [15], [31] et [11], les auteurs considèrent plutôt la cohomologie des tours (M_{?,n}^{(0),ca})_{n∈ℕ} pour ? = LT ou Dr, où l’exposant (0) désigne la composante connexe où la quasi-isogénie du problème de modules est de hauteur nulle, cf 3.1.3 et 3.2.2. Ces espaces ne sont pas stables sous l’action GD × W_{K} ; leur stabilisateur est le sous-groupe (GD × W_{K})^{0} formé des triplets (g, d, w) tels que |det(g)Nr(d)^{−1}|_{K} = |w|. En définissant les RΓ_{c} correspondants comme dans le paragraphe 3.3, on constate que les inclusions M_{n}^{(0)} ↪ M_{n} induisent par adjonction un isomorphisme

ind_{(GD×W_{K})^{0}}^{GD×W_{K}} (RΓ_{c}(M^{(0),ca}, Λ)) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) (3.5.2)

dans D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc}).

3.5.3 Deuxième variante : On peut aussi quotienter les tours (M_{n})_{n} par l’action (libre) du sousgroupe ϖ^{ℤ} engendré par l’uniformisante ϖ ∈ K^{×} ⊂ G. Les quotients M_{n}/ϖ^{ℤ} sont non-canoniquement isomorphes à ⨆_{h=0}^{d−1} M_{n}^{(h)}. Comme ϖ^{ℤ} est central dans G × D^{×} × W_{K}, ces quotients sont encore munis d’une action du produit triple. Pour alléger un peu les notations, nous surlignerons les quotients par ϖ^{ℤ}, en posant \overline{GD} := GD/ϖ^{ℤ} et \overline{M} := M/ϖ^{ℤ} que nous décorerons éventuellement d’indices Dr, LT ou n. En répétant les constructions du paragraphe 3.3, on obtient un complexe (deux complexes, en fait) RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, Λ) ∈ D_{Λ}^{b}(\overline{GD} × W_{K}^{disc}) qui se déduit de RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) par la formule

Λ⊗^{L}_{Λ[ϖ^{ℤ}]}RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, Λ) (3.5.4)

(isomorphisme “canonique” dans D_{Λ}^{b}(\overline{GD} × W_{K}^{disc})) où le produit tensoriel est pris par rapport au morphisme d’augmentation Λ[ϖ^{ℤ}] ⟶ Λ. On a aussi un lien avec la variante précédente :

ind_{(GD×W_{K})^{0}ϖ^{ℤ}}^{GD×W_{K}} (RΓ_{c}(M^{(0),ca}, Λ)) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, Λ). (3.5.5)

3.5.6 Décomposition selon le centre de la catégorie des ΛD^{×}-modules lisses : Notons ℨ_{Λ}(GD) le centre de la catégorie abélienne Mod_{Λ}(GD) des ΛGD-modules lisses. Comme le centre d’une catégorie abélienne agit encore sur la catégorie dérivée bornée associée (et s’identifie même au centre de celle-ci), on obtient une action canonique de ℨ_{Λ}(GD) sur RΓ_{c}(M^{ca}, Λ). En particulier tout idempotent de ℨ_{Λ}(GD) fournit un facteur direct de RΓ_{c}(M^{ca}, Λ). De plus, en utilisant les mêmes notations pour les groupes D^{×} et G, on a des morphismes canoniques ℨ_{Λ}(D^{×}) ⟶ ℨ_{Λ}(GD) et ℨ_{Λ}(G) ⟶ ℨ_{Λ}(GD) induits par les inclusions D^{×} ↪ GD et G ↪ GD.

La suite de sous-ensembles 1 + ϖ^{n}O_{D}, n ∈ ℕ de D^{×} est un système fondamental de voisinages de l’unité formé de pro-p-sous-groupes ouverts compacts distingués de D^{×}. Comme p est inversible dans Λ, ces pro-p-sous-groupes ouverts définissent des idempotents de l’algèbre de Hecke H_{Λ}(D^{×}). Comme ils sont distingués, ces idempotents sont centraux : on note ε_{n,D} leurs images dans ℨ_{Λ}(D^{×}) et ε_{n,D}RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) ∈ D_{Λ}^{b}(GD) le facteur direct de RΓ_{c}(M^{ca}, Λ) associé.

Interprétation géométrique : Du côté Dr, on prouve facilement (comme dans le lemme 3.5.9 ci-dessous, en plus simple) que l’inclusion de foncteurs Γ_{!}^{∞_{G}}(M_{Dr,n}^{ca}, −)∘ξ_{Dr,n}^{∗} ↪ Γ_{c}(M_{Dr}^{ca}, −) induit un isomorphisme dans D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc})

RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} ε_{n,D}RΓ_{c}(M_{Dr}^{ca}, Λ).

Par contre, il n’y a pas d’interprétation géométrique évidente dans le cas LT.

3.5.7 Décomposition selon le centre de la catégorie des ΛG-modules lisses : On suppose toujours que Λ est un anneau où p est inversible. Il existe une décomposition “par le niveau” similaire à celle que nous avons utilisée pour D^{×} ci-dessus, mais beaucoup moins triviale. Notons Mod_{Λ}(G)_{n} la sous-catégorie pleine de Mod_{Λ}(G) formée des objets engendrés par leur vecteurs invariants sous le pro-p-sous-groupe ouvert H_{n} := 1 + ϖ^{n}M_{d}(O) de G = GL_{d}(K), et notons H_{Λ}(G, H_{n}) l’algèbre de Hecke de la paire (G, H_{n}) à coefficients dans Λ.

Fait 3.5.8 La sous-catégorie Mod_{Λ}(G)_{n} est “facteur direct” de la catégorie Mod_{Λ}(G). Les foncteurs

V ↦ V^{H_{n}} et M ↦ ind_{H_{n}}^{G} (1) ⊗_{H_{Λ}(G,H_{n})} M

sont des équivalences “inverses” l’une de l’autre entre Mod_{Λ}(G)_{n} et la catégorie des H_{Λ}(G, H_{n})-modules.

Preuve : Nous renvoyons à l’appendice de [18] (lemme A.3) où une décomposition par le niveau est obtenue pour des groupes réductifs plus généraux, en reprenant un argument de Vignéras reposant sur les filtrations de Moy et Prasad. Dans les notations du paragraphe A.2 de [18], on peut choisir pour “points optimaux” les isobarycentres des facettes dont l’adhérence contient le point spécial associé à GL_{d}(O_{K}). Pour un tel point x et tout r > n, on a G_{x,r^{+}} ⊆ H_{n}, donc la somme P_{n} des représentations P (r), r < n de loc. cit. est dans Mod_{Λ}(G)_{n}. Réciproquement, toute représentation de Mod_{Λ}(G)_{n}, et en particulier ind_{H_{n}}^{G} (Λ), contient un type non-ramifié de niveau > n, donc est quotient d’une somme de copies de P_{n}. D’après le lemme A.3 et le paragraphe A.1 de [18], la représentation P_{n} découpe un facteur direct de Mod_{Λ}(G) qui n’est donc autre que Mod_{Λ}(G)_{n}. □

On associe ainsi à tout entier n ∈ ℕ un idempotent central ε_{n,G} de ℨ_{Λ}(G) qui “projette” la catégorie Mod_{Λ}(G) sur sa sous-catégorie Mod_{Λ}(G)_{n}. Faisant agir cet idempotent sur la catégorie Mod_{Λ}(GD), on en obtient un “facteur direct” ε_{n,G} Mod_{Λ}(GD). On peut interpréter ce facteur direct en termes de modules lisses sur l’algèbre de Hecke H_{Λ}(GD, H_{n}) des mesures localement constantes à supports compacts et à valeurs dans Λ qui sont invariantes à droite et à gauche sous l’image de H_{n} ⟶ GD (algèbre qui n’a pas d’unité, mais “suffisamment d’idempotents”). En effet, en notant toujours ind_{H_{n}}^{GD} l’induction lisse à supports compacts, on déduit du fait précédent que les foncteurs

V ↦ V^{H_{n}} et M ↦ ind_{H_{n}}^{GD} (1) ⊗_{H_{Λ}(GD,H_{n})} M

sont inverses l’un de l’autre. Cette fois-ci l’interprétation géométrique se fait du côté LT : Lemme 3.5.9 L’inclusion de foncteurs Γ_{!}^{∞_{D}}(M_{LT,n}^{ca}, −) ∘ ξ_{LT,n}^{∗} ↪ Γ_{c}(M_{LT}^{ca} , −) induit un isomorphisme dans D^{b}(H_{Λ}(GD, H_{n}) × W_{K}^{disc})

RΓ_{c}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ)^{H_{n}}

qui induit à son tour un isomorphisme dans D_{Λ}^{b}(GD × W_{K}^{disc})

ind_{H_{n}}^{GD} (1) ⊗_{H_{Λ}(GD,H_{n})} RΓ_{c}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} ε_{n,G}RΓ_{c}(M_{LT}^{ca} , Λ).

Preuve : Nous traitons le cas Λ = ℤ_{l}, les autres cas s’en déduisant par extension des scalaires. Il suffit de montrer que pour tout Λ_{•}-faisceau étale D^{×}-équivariant F_{•} sur P_{LT} = S_{K}^{1/d}, le morphisme canonique Γ_{!,•}^{∞_{D}}(M_{LT,n}^{ca}, ξ_{LT,n}^{∗}(F_{•})) ⟶ Γ_{c,•}(M_{LT}^{ca} , F_{•}) induit un isomorphisme D^{×} × W_{K}-équivariant

Γ_{!,•}^{∞_{D}}(M_{LT,n}^{ca}, ξ_{LT,n}^{∗}(F_{•})) \underrightarrow{∼} Γ_{c,•}(M_{LT}^{ca} , F_{•})^{H_{n}}. (3.5.10)

En effet, cela montrera d’abord l’existence de l’action de H_{Λ}(GD, H_{n}) sur le terme de gauche et permettra donc de définir RΓ_{c}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) comme un objet W_{K}-équivariant de D^{b}(H_{Λ}(GD, H_{n})). Puis cela montrera aussi les autres assertions du lemme, puisque le foncteur des points fixes sous H_{n} est bien-sûr exact.

Vue la définition de Γ_{c,•}(M^{ca}, −), pour prouver 3.5.10 il suffit de montrer que pour m ⩾ n, l’application canonique induit un isomorphisme

Γ_{!,•}^{∞_{D}}(M_{LT,n}^{ca}, ξ_{LT,n}^{∗}(F_{•})) \underrightarrow{∼} Γ_{!,•}^{∞_{D}}(M_{LT,m}^{ca}, ξ_{LT,m}^{∗}(F_{•}))^{H_{n}}.

Rappelons que le morphisme π_{m,n} : M_{LT,m}^{ca} ⟶ M_{LT,n}^{ca} est étale galoisien de groupe H_{n}/H_{m} et qu’on a π_{m,n}^{∗}(lim_{⟵}^{M_{n}(D)}ξ_{LT,n}^{∗}(F_{•})) \underrightarrow{∼} lim_{⟵}^{M_{m}(D)}ξ_{LT,m}^{∗}(F_{•}). Ainsi l’isomorphisme cherché est tautologique si on enlève l’indice c (supports compacts), mais on peut rajouter cet indice c, par propreté et surjectivité de π_{m,n}. □

Corollaire 3.5.11 Les Λ-modules H_{c}^{q}(\overline{M}_{LT}^{ca} , Λ), q ∈ ℕ, sont \overline{GD}-admissibles, et même G-admissibles. Par conséquent, le Λ-module End_{D^{b}(\overline{GD})} (ε_{n,G}RΓ_{c}(\overline{M}_{LT}^{ca} , Λ)) est de type fini.

Preuve : Commençons par la première assertion. Grâce à 3.5.5, il nous suffit de voir que pour tout n ∈ ℕ, le Λ-module H_{c}^{q}(M_{LT,n}^{(0),ca}, Λ) est de type fini. Pour cela, rappelons que M_{LT,n}^{(0)} est la fibre générique d’un

schéma formel M̂_{LT,n}^{(0)}. On sait par diverses versions du théorème de Serre-Tate, cf [31, II.2.7] et [11, 7.4.4], que ce dernier est isomorphe au complété formel d’un schéma algébrique S_{n} propre sur O^{nr} (une certaine variété de Shimura ou une variété de “Drinfeld-Stuhler”) en un point fermé x_{n} de sa fibre spéciale. Il s’ensuit que M_{n}^{ca} s’identifie à un ouvert distingué (différence de deux espaces compacts) de l’analytifié S_{n}^{ca,an} de S_{n}^{ca}. On en déduit grâce à la suite exacte associée à la différence des deux espaces compacts que sa cohomologie est de type fini (cf [5, cor. 5.6] dans le cas de torsion et [25, 4.1.15 et 4.1.17] dans le cas l-adique).

La seconde assertion vient du résultat suivant, de nature “théorie des représentations” : Soit Λ un anneau noethérien où p est inversible. Soient A^{•}, B^{•} ∈ D_{Λ}^{b}(\overline{GD}) deux complexes à cohomologie G-admissible et de niveau fini. Alors Hom_{D_{Λ}^{b}(\overline{GD})} (A^{•}, B^{•}) est un Λ-module de type fini.

En effet, grâce aux suites spectrales habituelles, il suffit de voir que chaque Ext_{Λ\overline{GD}}^{i} (H^{q}(A^{•}), H^{k}(B^{•})) est de type fini sur Λ. Grâce à la suite exacte

1 ⟶ G/ϖ^{ℤ} ⟶ \overline{GD} ⟶ D^{×}/K^{×} ⟶ 1

et la compacité de D^{×}/K^{×}, il suffit encore de prouver que les Λ-modules Ext_{Λ\overline{G}}^{i} (H^{q}(A^{•}), H^{k}(B^{•})) sont de type fini. Comme le Λ-module Hom\overline{G} (P, H^{k}(B^{•})) est de type fini dès que P est projectif de type fini dans Mod_{Λ}(\overline{G}), il suffit de prouver que H^{q}(A^{•}) admet une résolution par des objets projectifs de type fini. On peut pour cela invoquer deux arguments. Soit on reprend l’argument de Vignéras pour prouver [51, Thm 2.11] en remplaçant l’ingrédient [51, 2.2] par 3.5.8. Soit on utilise la noethériannité de Mod_{Λ}(G) prouvée dans [18], puisque H^{q}(A^{•}) est par hypothèse de type fini. □

3.5.12 Une variante sans supports, du côté LT : Dans le paragraphe 3.3, la raison qui nous force à utiliser la cohomologie à supports compacts est notre besoin d’un complexe vivant dans la catégorie dérivée D_{Λ}(GD) des Λ(GD)-modules lisses. Si l’on remplace Γ_{!} par Γ, on perd la lissité du groupe J et on s’expose à des problèmes de coefficients l-adiques. Du côté Dr, cela est rédhibitoire, mais du côté LT, le complexe obtenu nous permettra de nous raccrocher aux travaux de Boyer.

Notons GD^{disc} le groupe GD muni de la topologie qui coïncide avec la topologie naturelle de G ⊂ GD et induit la topologie discrète du quotient GD/G = D^{×}/K^{×}. Si l’on suit la procédure de 3.3.1 en y remplaçant Γ_{!} par Γ, on obtient un foncteur

Γ(M_{LT}^{(0),ca}, −) : { \atop S_{K,et}^{1/d}}(D^{disc}) ⟶ { \atop (GD^{disc} × W_{K}^{disc})^{0}}

puis un complexe RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ∈ D_{Λ}^{b}(GD^{disc} × W_{K}^{disc}). Si Λ est une ℤ_{l}-algèbre finie, on a

R^{q}Γ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) = H^{q}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) := lim ; ⟶_{n} lim ; ⟵_{m} H^{q}(M_{LT,n}^{(0),ca}, Λ/l^{m}).

puisque pour chaque n, le système des H^{q}(M_{LT,n}^{(0),ca}, Λ/l^{m}) est AR-l-adique, cf [25, 5.9].

Notons avec un exposant ^{∨} le foncteur contragrédiente sur Mod_{Λ}(GD^{disc} × W_{K}^{disc}) et son dérivé sur D_{Λ}^{b}. Lemme 3.5.13 Si Λ = ℤ/l^{n}ℤ ou ℚ_{l}, il existe un isomorphisme canonique dans D_{Λ}^{b}((GD^{disc} × W_{K}^{disc})^{0})

RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ)[2d − 2](d − 1) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ)^{∨}.

Preuve : Commençons par construire un accouplement

RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⊗_{Λ}^{L} RΓ_{c}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⟶ Λ[2 − 2d](1 − d) (3.5.14)

dans D_{Λ}^{b}((GD^{disc}×W_{K})^{0}). Pour cela, remarquons que si on se donne trois objets abéliens de { \atop P_{LT,et}}(D^{disc}) munis d’un morphisme F ⊗ G ⟶ H, on récolte sur les sections le morphisme

Γ(M_{LT}^{ca} , F) ⊗ Γ_{c}(M_{LT}^{ca} , G) ⟶ Γ_{c}(M_{LT}^{ca} , H)

qui, par étale-finitude des g^{m|n}, est GD^{disc}×W_{K}-équivariant. Dans le cas où Λ est de torsion, en choisissant une résolution de Godement plate et multiplicative de l’anneau Λ, on obtient dans D_{Λ}^{b}((GD^{disc} ×W_{K}^{disc})^{0}) un morphisme

RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⊗_{Λ}^{L} RΓ_{c}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ).

Lorsque Λ = ℤ_{l}, une résolution comme-ci-dessus fournit aussi une résolution flasque de l’anneau (ℤ/l^{n})_{n∈ℕ} dans Mod_{Λ_{•}}({ \atop P_{LT,et}}(D^{disc})) et on obtient encore un tel morphisme. On définit ensuite 3.5.14 par composition avec la flèche de D_{Λ}^{b}((GD^{disc} × W_{K}^{disc})^{0})

RΓ_{c}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⟶^{τ_{⩽_{2d−2}}} H_{c}^{2d−2}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ)[2 − 2d] \underrightarrow{∼} Λ[2 − 2d](1 − d)

où la première flèche est justifiée par le fait que H_{c}^{q} = 0 pour q > 2d − 2, et la seconde est donnée par la famille des morphismes “traces” H_{c}^{2d−2}(M_{LT,n}^{ca}, Λ) ⟶^{Tr_{n}} Λ(1 − d) normalisés par le facteur |H_{1}/H_{n}|^{−1} (pour avoir la bonne variance). On en déduit ensuite formellement le morphisme de l’énoncé du lemme.

Supposons maintenant que Λ = ℤ/l^{n}ℤ ou ℚ_{l}. Puisque cet anneau est auto-injectif, le morphisme de l’énoncé induit en cohomologie des morphismes H^{q}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) ⟶ H_{c}^{2d−2−q}(M_{LT}^{(0),ca}, Λ)^{∨}(1 − d) qui par construction, coïncident sur les H_{n}-invariants avec les isomorphismes de dualité de Poincaré dûs à Berkovich [7, Cor 2.3.ii)] H^{q}(M_{LT,n}^{(0),ca}, Λ) \underrightarrow{∼} H_{c}^{2d−2−q}(M_{LT,n}^{(0),ca}, Λ)^{∨}(1 − d) (voir aussi [25, 5.9.2] dans le cas l-adique). □

4 Réalisation cohomologique des correspondances

Dans cette partie, nous prouvons le théorème A modulo une estimation sur l’action de l’inertie qui sera obtenue dans la partie suivante. Nous identifierons toujours les centres respectifs de G = GL_{(}K) et D^{×} = D_{d}^{×} à K^{×}, via les plongements canoniques. Un “caractère central” d’une représentation de G ou D^{×} est donc un caractère de K^{×}.

Fixons ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}) et notons ω son caractère central. Nous allons étudier dans un premier temps le complexe

RΓ_{c}[ρ] := RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}D^{×}}^{L} ρ ∈ D_{ω}^{b}(G × W_{K}^{disc}).

La catégorie dérivée est celle des \overline{ℚ}_{l}-représentations de G × W_{K} dont la restriction à G est lisse et de caractère central ω (rappelons que RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) vit dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(GD × W_{K}), cf 3.3.3). Par 3.5.1, les

H_{c}^{j}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) sont projectifs en tant que représentations lisses de D^{×} et on a donc

H^{j}(RΓ_{c}[ρ]) ≃_{G×W_{K}^{disc}} H_{c}^{j}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}D_{×}} ρ.

Pour faire court, nous noterons simplement H_{c}^{j}[ρ] ces objets de cohomologie. Par 3.5.11, ils sont Gadmissibles (et de caractère central ω), sont non-nuls seulement si d − 1 ⩽ i ⩽ 2d − 2, et nous allons maintenant les décrire.

4.1 Description de la cohomologie, d’après Boyer

4.1.1 Représentations elliptiques “cohomologiques” : on a défini et classifié en 2.1.11 les représentations de G elliptiques “de type ρ” notées π_{ρ}^{I}, pour I ⊆ S_{ρ}. Parmi celles-ci seules certaines apparaissent dans la cohomologie des espaces modulaires, et méritent donc d’être appelées “cohomologiques”. Pour les décrire on utilise la bijection S_{ρ} \underrightarrow{∼} \{1, ⋯, d_{ρ} − 1\} décrite en 2.1.13 et on pose pour 0 ⩽ i ⩽ d_{ρ} − 1

π_{ρ}^{⩽i} := π_{ρ}^{{1,···,i}} et π_{ρ}^{>i} := π_{ρ}^{{i+1,···,d_{ρ}−1}} .

On convient naturellement que π_{ρ}^{⩽0} = π_{ρ}^{⩾d_{ρ}} = π_{ρ}^{∅} = JL_{d}(ρ) qui est la série discrète de G associée à ρ par la correspondance de Jacquet-Langlands.

Théorème 4.1.2 (Boyer) Pour 0 ⩽ i ⩽ d − 1, il existe un isomorphisme de G × D^{×} × W_{K}-modules

H_{c}^{d−1+i}[ρ] \underrightarrow{∼} π_{ρ}^{⩽i} ⊗ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}^{∨})| − |^{\frac{dρ−d}{2} −i}.

Les notations π_{ρ} et d_{ρ} sont celles de 2.1.10.

Preuve : Cette “preuve” va essentiellement consister à expliciter un dictionnaire entre les notations de [12] et celles du présent travail. Par 3.5.1, on a

H_{c}^{j}[ρ] ≃_{G×W_{K}} H_{c}^{j}(M^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}O_{D}^{×}} ρ

où l’action de G × W_{K} sur le dernier terme vient de la suite exacte O_{D}^{×} ↪ (G × D^{×} × W_{K})^{0} ↠ G × W_{K}. Par dualité et grâce à 3.5.13 on obtient

H_{c}^{j}[ρ] ≃_{G×W_{K}} Hom_{O_{D}^{×}} (H_{c}^{j}(M^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} ρ, \overline{ℚ}_{l})^{∨}
≃_{G×W_{K}} Hom_{O_{D}^{×}} (ρ, H_{c}^{j}(M^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l})^{∨})^{∨}
≃_{G×W_{K}} Hom_{O_{D}^{×}} (ρ, H^{2d−2−j}(M_{LT}^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l}))^{∨} (1 − d).

Boyer, comme Harris et Taylor, travaille sur les cycles évanescents du schéma formel M̂_{LT}^{(0)} . Rappelons que d’après Berkovich [7, Cor. 2.3.ii)], on a pour tout j ∈ ℕ :

H^{j}(M_{LT}^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l}) ≃_{G×W_{K}} R^{j}Ψ_{η}(M̂_{LT}^{(0)} , \overline{ℚ}_{l}).

Il découle donc de la discussion ci-dessus que pour 0 ⩽ i ⩽ d − 1, on a

H_{c}^{d−1+i}[ρ] ≃_{G×W_{K}} Ψ_{K,l,d}^{d−1−i}(ρ)^{∨}(1 − d) = U_{K,l,d}^{d−1−i}(ρ)^{∨}(1 − d)

dans les notations respectives de Harris-Taylor [31, p. 87] et Boyer [12, 2.1.12]. Il ne nous reste plus qu’à appliquer le théorème 4.1.3 de [12], en y spécialisant les “variables” (s, π) en (d_{ρ}, π_{ρ}^{∨}), et en utilisant le dictionnaire :

ρ ⟷ JL^{−1}(St_{s}(π))^{∨}, σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⟷ rec_{K}(π)^{∨}, π_{ρ^{∨}}^{>i} ⟷ [\overleftarrow{i}, \overrightarrow{s − i − 1}]_{π}

Le théorème 4.1.3 de [12] nous dit alors que

U_{K,l,d}^{d−d_{ρ}+i}(ρ) ≃_{G×W_{K}} π_{ρ^{∨}}^{>i} ⊗ σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ})| − |^{−(d−d_{ρ}+2i)/2}.

En changeant i en d_{ρ} − 1 − i, en dualisant et en tenant compte de l’égalité (π_{ρ^{∨}}^{⩾d_{ρ}−i})^{∨} = π_{ρ}^{⩽i} donnée par 2.1.15, on obtient la formule de l’énoncé. □

4.2 Scindages et endomorphismes de RΓ_{c}[ρ]

Nous allons décrire l’algèbre des endomorphismes de RΓ_{c}[ρ].

Corollaire 4.2.1 i) Le complexe RΓ_{c}[ρ] est scindable dans D_{ω}^{b}(G).

ii) Si π ∈ Irr_{ω} (G) est telle que RHom_{G,ω} (RΓ_{c}[ρ], π) ≠ 0 alors π est elliptique de type ρ.

Preuve : Le point ii) est une conséquence immédiate du théorème de Boyer et de 2.1.17 i). Le point i) peut se démontrer de deux manières différentes, soit par le calcul des Ext de 2.1.17 ii), soit par un argument de poids, exactement comme dans la preuve de [17, Prop. 4.2.2] à laquelle nous renvoyons le lecteur. □

Notons que RΓ_{c}[ρ] n’est pas scindable dans D_{ω}^{b}(G × W_{K}^{disc}), et que c’est justement là tout le sel de cette histoire. Nous poserons dans la suite

σ′(ρ^{∨}) := σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}^{∨})| − |^{\frac{dρ−d}{2}} et C_{ρ} := ⨁_{i=0}^{d_{ρ}} π_{ρ}^{⩽i}[−(d − 1 + i)] ∈ D_{ω}^{b}(G), (4.2.2)

nous noterons V_{σ′(ρ^{∨})} le \overline{ℚ}_{l}-espace sur lequel agit σ′(ρ^{∨}), et nous appellerons scindage de RΓ_{c}[ρ] tout isomorphisme α : RΓ_{c}[ρ] \underrightarrow{∼} C_{ρ} ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} V_{σ′(ρ^{∨})} dans D_{ω}^{b}(G). (4.2.3)

qui induit les isomorphismes 4.1.2 sur les groupes de cohomologie.

Remarque 4.2.4 Lorsque D est une catégorie R-linéaire, R étant un anneau commutatif unitaire, et L est un R-module libre de type fini, on a un (une classe d’isomorphisme d’) endofoncteur C ↦ (C ⊗_{R} L) de D. On vérifie immédiatement qu’on a un isomorphisme canonique de R-algèbres

End_{D} (C ⊗ L) \underrightarrow{∼} End_{D} (C) ⊗_{R} End_{R} (L) .

Ainsi, tout scindage induit un isomorphisme

α_{∗} : End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]) \underrightarrow{∼} End_{D_{ω}^{b}(G)} (C_{ρ}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) .

Par ailleurs, on a la description de l’algèbre des endomorphismes de C_{ρ}

End_{D_{ω}^{b}(G)} (C_{ρ}) = ⨁_{i⩾j} Ext_{G,ω}^{i−j} (π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽j}) ,

le produit sur l’espace de droite étant donné par le ∪-produit. Notons alors T_{d_{ρ}} l’algèbre des \overline{ℚ}_{l}-matrices triangulaires supérieures de taille d_{ρ}, et (E_{ij})_{i⩽j} sa base “canonique” :

Fait 4.2.5 Pour tout choix de générateurs β_{i,i+1} ∈ Ext_{G,ω}^{1} (π_{ρ}^{⩽i+1}, π_{ρ}^{⩽i}), l’application E_{i,i+1} ↦ β_{i,i+1} induit un isomorphisme

β : T_{d_{ρ}} \underrightarrow{∼} End_{D_{ω}^{b}(G)} (C_{ρ}) .

Changer ce choix de générateurs revient simplement à composer β avec la conjugaison par une matrice diagonale.

Preuve : Ceci découle de la description du cup-produit 2.1.17 ii). On renvoie à [17, 4.2.4] pour plus de détails. □

Par la remarque 4.2.4, un isomorphisme β comme ci-dessus induit un isomorphisme d’algèbres encore noté β

β : End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} T_{d_{ρ}} \underrightarrow{∼} End_{D_{ω}^{b}(G)} (C_{ρ} ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} V_{σ′(ρ^{∨})}) .

Pour récapituler, on a obtenu

Proposition 4.2.6 À tout scindage α comme en 4.2.3 et tout choix de générateurs 4.2.5 est associé un isomorphisme de \overline{ℚ}_{l}-algèbres β^{−1} ∘ α_{∗} s’inscrivant dans les diagrammes commutatifs

[figure: End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]); ∼; β^{−1}∘α_{∗}; can; End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} T_{d_{ρ}}; Id ⊗E_{ii}^{∗}; _{End_{G} (H_{c}^{d−1+i}[ρ])}; (4.1.2); End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})})] ,

où i ∈ {0, ⋯, d_{ρ}} et E_{ii}^{∗} désigne la coordonnée diagonale (i, i) de T_{d_{ρ}}

4.3 Action de W_{K} sur RΓ_{c}[ρ]

On étudie ici le morphisme canonique

γ_{ρ} : W_{K} ⟶ Aut_{D_{ω}^{b}(G)}(RΓ_{c}[ρ])

qui décrit l’action de W_{K} sur RΓ_{c}[ρ]. Le résultat final que nous visons est une version W_{K}-équivariante de la proposition 4.2.6 :

Théorème 4.3.1 Pour tout relèvement de Frobenius géométrique ϕ, il existe un unique scindage α_{ϕ} comme en 4.2.3 et un unique choix de générateurs 4.2.5 induisant un isomorphime β_{ϕ}, tels que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]) \ar[r]^{∼}_{β_{ϕ}^{−1}∘α_{ϕ∗}} & End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} T_{d_{ρ}} \\ W_{K} \ar[u]^{γ_{ρ}} \ar[ur]_{σ′(ρ^{∨})⊗τ_{dρ}^{∅,ϕ}}} .

De plus, le choix de générateurs, et donc β_{ϕ}, est indépendant de ϕ.

Rappelons que la notation τ_{d_{ρ}}^{∅,ϕ} a été introduite au-dessus du lemme 2.2.8. Sa classe d’isomorphisme

est, à torsion près par | − |^{\frac{dρ−1}{2}} , la représentation spéciale de dimension d_{ρ}. En conséquence, la classe d’isomorphisme de la représentation σ′(ρ^{∨})⊗τ_{d_{ρ}}^{∅,ϕ} est la correspondante de Langlands σ_{d}(JL_{d}(ρ^{∨})) tordue

par | − |^{\frac{1−d}{2}} .

Par ailleurs, nous avons fait le choix contestable de fixer un générateur μ de ℤ_{l}(1) dans les constructions qui interviennent pour l’énoncé ci-dessus. On laissera au lecteur intéressé le soin de suivre l’effet d’un tel choix dans ces constructions et on renvoie à la partie 4 de [17], pour une discussion plus “canonique” d’une situation analogue.

Le reste du paragraphe est consacré à la preuve du théorème ci-dessus, en admettant la proposition 4.3.9 ci-dessous, laquelle sera prouvée dans la section suivante.

Lemme 4.3.2 (monodromie quasi-unipotente) Il existe un unique endomorphisme nilpotent

N_{ρ} ∈ End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ])

tel que, si I_{ρ} ⊆ I_{K} désigne le noyau de σ′(ρ^{∨})_{|I_{K}}, alors

∀i ∈ I_{ρ}, γ_{ρ}(i) = exp(N_{ρ}t_{μ}(i)).

De plus on a ∀w ∈ W_{K}, γ_{ρ}(w)N_{ρ}γ_{ρ}(w)^{−1} = q^{−ν(w)}N_{ρ} = |w|N_{ρ}. (4.3.3)

Preuve : Commençons par remarquer que l’énoncé est insensible à la torsion par les caractères nonramifiés. En effet, si ψ : ℤ ⟶ \overline{ℚ}_{l} est un caractère, alors d’après 3.5.1, on a un isomorphisme

RΓ_{c}[ρ ⊗ (ψ ∘ |Nr|_{K})] ≃ RΓ_{c}[ρ] ⊗ (ψ ∘ |det|_{K})(ψ ∘ | − |−1_{W}) dans D_{ω(ψ∘|.|_{K}^{d})}^{b}(G × W_{K}^{disc}).

Quitte à tordre ρ par un caractère non-ramifié, on peut donc supposer ω(ϖ) = 1. On a alors

RΓ_{c}[ρ] = RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}\overline{D}}^{L} ρ,

en posant \overline{D} := D^{×}/ϖ^{ℤ}. Choisissons de plus n ∈ ℕ tel que JL(ρ)^{H_{n}} ≠ 0 (rappelons que H_{n} = 1 + ϖ^{n}M_{d}(O_{K})), alors d’après la description de la cohomologie 4.1.2, et en utilisant les notations de 3.5.8, on a même

RΓ_{c}[ρ] = (ε_{n,G}RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}\overline{D}}^{L} ρ.

Par définition, le morphisme γ_{ρ} donnant l’action de W_{K} se factorise par

(4.3.4) End_{D_{ℤ_{l}}^{b} (\overline{GD})} (ε_{n,G}RΓ_{c}(\overline{M}^{ca}, ℤ_{l})) ⟶^{⊗_{ℤ_{l}\overline{D}}ρ} End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]) .

On sait par 3.5.11 que le ℤ_{l}-module de gauche est de type fini.

Notons maintenant N (ρ) le noyau du morphisme canonique

End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]) ⟶^{can} ∏_{i} End_{G} (H_{c}^{d−1+i}[ρ])

et N (ρ)^{0} son intersection avec l’image de 4.3.4, qui est donc un ℤ_{l}-module de type fini. On sait que N (ρ) est formé d’éléments nilpotents d’ordre ⩽ d_{ρ}, cf [17, A.1.4] par exemple, et que le groupe U^{0}(ρ) := 1 + N^{0}(ρ) est naturellement un pro-l-groupe, cf [17, A.2.1]. Plus précisément, on a

U(ρ)^{0} \underrightarrow{∼} lim ; ⟵_{n} U(ρ)^{0}/(Id +l^{n}N (ρ)^{0}).

Par définition, le groupe I_{ρ} de l’énoncé est un sous-groupe d’indice fini de I_{K} qui est aussi dans le noyau de l’action de W_{K} sur chaque H_{c}^{i}[ρ], par la description de la cohomologie 4.1.2. Par conséquent γ_{ρ} envoie I_{ρ} dans le sous-groupe U(ρ)^{0} de Aut(RΓ_{c}[ρ]). Comme un morphisme de groupes entre groupes profinis est automatiquement continu, le morphisme I_{ρ} ⟶^{γ_{ρ}} U(ρ)^{0} se factorise par le plus grand pro-l-quotient de I_{ρ}. Mais celui-ci n’est autre que l’image de I_{ρ} par le morphisme t_{μ} : I_{K} ⟶ ℤ_{l}. Cette image est d’indice fini, donc de la forme l^{m}ℤ_{l}, et l’on peut par conséquent écrire

∀i ∈ I_{ρ}, γ_{ρ}(i) = u^{t_{μ}(i)/l^{m}}

où u ∈ U(ρ)^{0} est l’image par γ_{ρ} de n’importe quel élément de I_{ρ} s’envoyant sur l^{m} par t_{μ}.

Posant alors N_{ρ} := l^{−m}log(u) ∈ N (ρ), (le logarithme étant bien défini puisque u est unipotent), on obtient

γ_{ρ}(i) = exp(t_{μ}(i).N_{ρ}), ∀i ∈ I_{ρ}.

Puisque pour tous (w, i) ∈ W_{K} × I_{ρ}, on a t_{μ}(wiw^{−1}) = q^{−ν(w)}t_{μ}(i), l’endomorphisme N_{ρ} doit satisfaire l’équation 4.3.3. Enfin, son unicité est évidente.

□

Soit ϕ un relèvement de Frobenius géométrique. Considérons l’application

(4.3.5)  γ_{ρ}^{ϕ}(w) : W_{K} → End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ])^{×} w ↦ γ_{ρ}(w)exp(−N_{ρ}t_{μ}(i_{ϕ}(w))) où w = ϕ^{ν(w)}i_{ϕ}(w) .

L’équation 4.3.3 assure que l’application γ_{ρ}^{ϕ} est un morphisme de groupes W_{K} ⟶ Aut(RΓ_{c}[ρ]). Par construction, celui-ci se factorise par W_{K} ⟶ W_{K}/I_{ρ} qui est discret.

Lemme 4.3.6 Il existe un unique scindage α_{ϕ} comme en 4.2.3 tel que le diagramme suivant commute :

\xymatrix{End_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ]) \ar[r]^{∼}_{β^{−1}∘α_{ϕ∗}} & End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} T_{d_{ρ}} \\ W_{K} \ar[u]^{γ_{ρ}^{ϕ}} \ar[ur]_{σ′(ρ^{∨})⊗τ_{dρ}^{ss}}} .

Rappelons que la représentation τ_{d_{ρ}}^{ss} se factorise par la diagonale de T_{d_{ρ}}, donc la commutation du diagramme est indépendante du choix de générateurs de 4.2.5 pour définir β.

Preuve : Comme dans le lemme 4.3.2, notons I_{ρ} ⊂ I_{K} le noyau de σ′(ρ^{∨})_{|I_{K}}, qui est aussi celui de (γ_{ρ}^{ϕ})_{|I_{K}}, par construction. Puisque I_{K}/I_{ρ} est fini, on peut trouver un entier n ∈ ℕ tel que (l’image de) ϕ^{n} soit central dans le groupe W_{K}/I_{ρ}. Par le lemme de Schur, l’automorphisme σ′(ρ^{∨})(ϕ^{n}) de V_{σ′(ρ^{∨})} est un scalaire que l’on notera ξ ∈ \overline{ℚ}_{l}^{×}. Par la description 4.1.2 de la cohomologie, on voit que l’endomorphisme H^{d−1+j}(γ_{ρ}^{ϕ}(ϕ^{n})) de H_{c}^{d−1+j}[ρ] (i.e l’action de ϕ^{n} sur H_{c}^{d−1+j}[ρ]) est annulé par le polynôme X − q^{nj}ξ. Par [17, lemme A.1.4], il existe donc un unique scindage α_{ϕ} tel que (pour tout choix de β)

β^{−1} ∘ α_{ϕ∗}(γ_{ρ}^{ϕ}(ϕ^{n})) = ξ ⊗ Diag(1, q^{n}, ⋯, q^{nd_{ρ}}) ∈ End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗ T_{d_{ρ}}.

Or, le commutant de ξ ⊗Diag(1, q^{n}, ⋯, q^{nd_{ρ}}) dans End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})})⊗T_{d_{ρ}} est End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})})⊗\overline{ℚ}_{l}^{d_{ρ}} où \overline{ℚ}_{l}^{d_{ρ}} désigne ici la sous-algèbre des matrices diagonales de T_{d_{ρ}}. Ainsi, puisque ϕ^{n} est central dans W_{K}/ ker (γ_{ρ}^{ϕ}), on a

Im(β^{−1} ∘ α_{ϕ∗} ∘ γ_{ρ}^{ϕ}) ⊂ End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗ \overline{ℚ}_{l}^{d_{ρ}}.

Mais par le diagramme commutatif de la proposition 4.2.6 et la W_{K}-équivariance des isomorphismes 4.1.2, on en déduit que

∀w ∈ W_{K}, (β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(γ_{ρ}^{ϕ}(w)) = ∑_{i=0}^{d_{ρ}} σ′(ρ^{∨})(w)|w|^{−i} ⊗ E_{ii}

= ∑_{i=0}^{d_{ρ}} σ′(ρ^{∨})(w) ⊗ |w|^{−i}E_{ii}

où E_{ii} désigne toujours la matrice élémentaire de coordonnées (i, i) de T_{d_{ρ}}. Le scindage α_{ϕ} fait donc bien commuter le diagramme du lemme. Pour l’unicité, remarquons que toute autre solution α′ vérifie la conclusion du point ii) de [17, lemme A.1.4] pour ϕ^{n}, et coïncide donc avec α par l’assertion d’unicité de ce même point.

□

4.3.7 Preuve du théorème 4.3.1 : On garde les notations précédentes ; en particulier, α_{ϕ} est le scindage de RΓ_{c}[ρ] du lemme 4.3.6, et N_{ρ} l’endomorphisme nilpotent de RΓ_{c}[ρ] donné par le lemme 4.3.2. Choisissons un β arbitraire pour commencer. Notons que par définition, N_{ρ} induit sur les espaces de cohomologie le logarithme de la partie unipotente de l’action de W_{K} et que celle-ci est triviale d’après la description de Boyer 4.1.2. Ainsi N_{ρ} est l’endomorphisme nul en cohomologie et on a

(β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(N_{ρ}) ∈ ∑_{i>j} End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗ E_{ij},

en notant (E_{ij})_{i⩾j} la base “canonique” de T_{d_{ρ}}. D’autre part, on déduit de 4.3.3 la relation

γ_{ρ}^{ϕ}(w)N_{ρ}γ_{ρ}^{ϕ}(w)^{−1} = |w|N_{ρ} (4.3.8)

pour tout w ∈ W_{K}. Appliquée à l’élément ϕ^{n} de la preuve du lemme 4.3.2, pour lequel on a

(β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(ϕ^{n}) = ∑_{i=0}^{d_{ρ}−1} ξq^{ni}(Id ⊗E_{ii}),

cette relation implique que

(β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(N_{ρ}) ∈ ∑_{i=1}^{d_{ρ}−1} End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}) ⊗ E_{i−1,i}.

Écrivons donc (β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(N_{ρ}) = ∑_{i} M_{i} ⊗ E_{i−1,i} avec M_{i} ∈ End_{\overline{ℚ}_{l}} (V_{σ′(ρ^{∨})}). Par définition de α_{ϕ}, on a pour tout w ∈ W_{K}

(β^{−1} ∘ α_{ϕ∗})(γ_{ρ}^{ϕ}(w)) = ∑_{i=0}^{d_{ρ}−1} σ′(ρ^{∨})(w) ⊗ |w|^{−i}E_{ii}.

La relation 4.3.8 implique donc que chaque M_{i} commute avec σ′(ρ^{∨})(w) pour tout w. Par le lemme de Schur, on a donc M_{i} ∈ \overline{ℚ}_{l}. Quitte à changer β, on peut alors supposer que M_{i} est soit nul, soit égal à 1. Pour achever la preuve du théorème 4.3.1, il nous reste à prouver que les M_{i} ainsi obtenus sont tous inversibles, auquel cas, le changement de β est d’ailleurs unique. De manière équivalente, il nous reste à prouver :

Proposition 4.3.9 N_{ρ}^{d_{ρ}−1} ≠ 0.

Nous reportons la preuve à la section 5.

4.4 Preuve du théorème A

Nous prouvons ici le théorème A, à partir du théorème 4.3.1. Nous noterons simplement RΓ_{c} := RΓ_{c}(M^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) l’objet de D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(GD × W_{K}^{disc}) construit en 3.3.3.

Lemme 4.4.1 Les deux énoncés ci-dessous sont équivalents à l’énoncé du théorème A :

i) Pour toutes représentations π ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (G), ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}) de même caractère central, on a :

H^{∗} (RHom_{D^{b}(GD)} (RΓ_{c}, π ⊗ ρ^{∨})) ≃_{W_{K}} \{ \begin{matrix}σ_{d}(π)| − |^{\frac{d−1}{2}} & si ρ = LJ_{d}(π) \\ 0 & sinon \end{matrix} .

ii) Pour toutes représentations π ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (G), ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}) de même caractère central ω, on a :

H^{∗} (RHom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], π)) ≃_{W_{K}} \{ \begin{matrix}σ_{d}(π)| − |^{\frac{d−1}{2}} & si ρ = LJ_{d}(π) \\ 0 & sinon \end{matrix} .

La définition de H^{∗} a été donnée dans l’introduction.

Preuve : Soit ω le caractère central commun. On a une factorisation

Hom_{GD} (−, π ⊗ ρ^{∨}) : Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(GD) ⟶^{Hom_{G} (−, π)} Mod_{ω}(D^{×}) ⟶^{Hom_{D^{×}} (ρ, −)} \overline{ℚ}_{l} − e.v.

où les deux dernières catégories sont semi-simples. En particulier, on a un isomorphisme

Hom_{D^{×}} (ρ, H^{∗}(RHom_{G} (RΓ_{c}, π))) \underrightarrow{∼} H^{∗}(RHom_{GD} (RΓ_{c}, π ⊗ ρ^{∨}))

qui bien-sûr est W_{K}-équivariant. Il est alors clair que l’énoncé du théorème A implique le point i). Compte tenu du fait que la famille de foncteurs Hom_{D^{×}} (ρ, −), ρ ∈ Irr_{ω} (D^{×}) est fidèle sur la catégorie Mod_{ω}(D^{×}), la réciproque est encore vraie. Le point ii) est équivalent au point i), grâce à la factorisation

Hom_{GD} (−, π ⊗ ρ^{∨}) : Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(GD) ⟶^{− ⊗_{ℚ_{l}D^{×}} ρ} Mod_{ω}(G) ⟶^{Hom_{G} (−, π)} \overline{ℚ}_{l} − e.v..

□

Fixons à nouveau ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}) de caractère ω, ainsi qu’un sous-ensemble I ⊆ S_{ρ}, et posons

H_{ρ}^{I} := H^{∗} (RHom_{D_{ω}^{b}(G)} (RΓ_{c}[ρ], π_{ρ}^{I})) .

C’est un \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel gradué de dimension finie muni de l’action par automorphismes de degré 0 de W_{K} induite par l’action γ_{ρ} : W_{K} ⟶ Aut_{D_{ω}^{b}(G)}(RΓ_{c}[ρ]). En vertu de 4.4.1 ii) et 4.2.1 ii), le théorème A sera prouvé une fois qu’on aura identifié H_{ρ}^{I} à σ_{d}(π_{ρ}^{I})| − |^{\frac{d−1}{2}} .

Notons N_{ρ}^{I} l’endomorphisme de degré 0 (d’espace vectoriel gradué) de H_{ρ}^{I} induit fonctoriellement par l’endomorphisme N_{ρ} de RΓ_{c}[ρ] du lemme 4.3.2. Choisissons un relèvement de Frobenius géométrique ϕ et notons H_{ρ}^{I,ϕ} la représentation graduée lisse de W_{K} induite par l’action γ_{ρ}^{ϕ} : W_{K} ⟶ Aut_{D_{ω}^{b}(G)}(RΓ_{c}[ρ]) définie en 4.3.5. Le couple (H_{ρ}^{I,ϕ}, N_{ρ}^{I}) est la représentation de Weil-Deligne associée à H_{ρ}^{I} (et aux choix de ϕ et μ).

En utilisant le scindage α_{ϕ} de 4.3.6, on obtient la première ligne de

H_{ρ}^{I,ϕ} ≃_{W_{K}}  ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} H^{∗} (RHom_{D_{ω}^{b}(G)} (π_{ρ}^{⩽i} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i}, π_{ρ}^{I})) [d − 1 + i]

≃_{W_{K}} σ′(ρ^{∨})^{∨} ⊗ ( ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Ext_{G,ω}^{δ(i,I)} (π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{I}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} | − |^{i}[d − 1 + i − δ(i, I)])

et la deuxième ligne vient du calcul d’extensions de 2.1.17.

On veut maintenant expliciter l’endomorphisme N_{ρ}^{I}. On procède exactement comme dans [17, 4.4], auquel on renvoie le lecteur pour les quelques détails que nous ommettons ; notons β_{i−1,i} ∈ Ext_{G,ω}^{1}(π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{⩽i−1}), où i ∈ {1, ⋯, d_{ρ} − 1} les générateurs qui définissent l’isomorphisme β_{ϕ} du théorème 4.3.1 et choisissons pour chaque j ∈ {0, ⋯, d_{ρ} − 1} un générateur de la droite Ext_{G,ω}^{δ(i,I)} (π_{ρ}^{⩽i}, π_{ρ}^{I}). Alors l’action (à droite) de α_{ϕ∗}(N_{ρ}) sur H_{ρ}^{I} est donnée par

e_{i} ↦ e_{i} ∪ β_{i,i+1} ∈ \overline{ℚ}_{l}e_{i+1}.

La formule pour le ∪-produit de 2.1.17 ii) montre que e_{i} ∪β_{i,i+1} est non-nul si et seulement si δ(i+1, I) = δ(i, I) + 1 et des considérations élémentaires montrent que cela se produit si et seulement si i + 1 ∈ I^{c} (complémentaire de I dans S_{ρ} = {1, ⋯, d_{ρ} − 1}). On peut alors réécrire

H_{ρ}^{I,ϕ}[1 − d_{ρ}] ≃ σ′(ρ^{∨})^{∨} ⊗ (⨁_{k=0}^{|I|} ( ⨁_{i=i_{k}}^{i_{k+1}−1} \overline{ℚ}_{l}e_{i}(i)) [−|I| + 2k])

où l’on pose i_{0} := 0, I = {i_{1}, ⋯, i_{|I|}}, et i_{|I|+1} := d_{ρ}, puis l’on constate que l’action de N_{ρ} se fait degré par degré, et que pour un degré −|I| + 2k fixé et pour i_{k} < j < i_{k+1}, elle induit un isomorphisme \overline{ℚ}_{l}e_{j−1}(j − 1) \underrightarrow{∼} \overline{ℚ}_{l}e_{j}(j).

Oubliant maintenant la graduation de H_{ρ}^{I}, on obtient

H_{ρ}^{I} ≃_{W_{K}} σ′(ρ^{∨})^{∨} ⊗ τ_{d_{ρ}}^{I},

et compte tenu de la définition 4.2.2 de σ′(ρ^{∨}), de l’égalité π_{ρ^{∨}} = π_{ρ}^{∨} et de la compatibilité de la correspondance de Langlands aux contragrédientes, on obtient

H_{ρ}^{I} ≃_{W_{K}} σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ})| − |^{\frac{d−dρ}{2}} ⊗ τ_{d_{ρ}}^{I}
≃_{W_{K}} σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ τ_{d_{ρ}}^{I}| − |^{\frac{1−dρ}{2}} | − |^{\frac{d−1}{2}} ≃ σ_{d}(π_{ρ}^{I})| − |^{\frac{d−1}{2}}

par la description 2.2.8 de la correspondance de Langlands pour les représentations elliptiques.

Remarque 4.4.2 Si l’on veut garder la graduation, on a obtenu avec les notations ci-dessus l’expression :

H_{ρ}^{I}[1 − d_{ρ}] ≃ ⨁_{k=0}^{|I|} (σ_{d/d_{ρ}}(π_{ρ}) ⊗ τ_{d_{k}}^{∅}|.|^{\frac{d−dρ}{2} +i_{k}}) [−|I| + 2k].

Ainsi les composantes sont indécomposables et rangées par ordre croissant de poids de 2 en 2.

5 Monodromie et variétés de Shimura

Un des buts de cette section est de prouver la proposition 4.3.9 et donc de terminer la preuve du théorème A. Ceci fera intervenir le système des variétés de Shimura étudiées par Harris-Taylor (ou son analogue dû à Drinfeld-Stuhler en égales caractéristiques), ainsi que la description de la filtration de monodromie de leurs cycles évanescents par Boyer.

Dans la deuxième partie, on prouve la conjecture monodromie-poids pour les variétés uniformisées par les revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld. Ceci s’applique à certaines variétés de Shimura unitaires étudiées notamment par Harris [29], Carayol [15] et Rapoport [42].

On note toujours G = GL_{d}(K) et D = D_{d}.

5.1 Variétés de Harris-Taylor

On s’intéresse ici aux variétés de Shimura étudiées par Harris et Taylor dans [31]. Plus précisément, on suppose que K est le complété en une place w d’un corps CM F vérifiant les hypothèses de [31, I.7], on fixe un “niveau hors p” U^{p} ⊂ G(𝔸^{∞,p}) d’un certain groupe unitaire G défini aussi en [31, I.7] et qui à la place w est isomorphe à GL_{d}, puis pour un entier n, on note S_{HT,n} le O_{K}-schéma propre et régulier noté X_{U^{p},m} dans [31, III.4], avec m = (n, 0, ⋯, 0). On notera avec des exposants η ou s les fibres génériques ou spéciales de ces objets et j et i les immersions correspondantes, décorées des indices pertinents.

L’entier n correspond à une structure de niveau (à la Drinfeld-Katz-Mazur) H_{n} = 1 + ϖ^{n}M_{d}(O_{K}) en w sur le problème de modules définissant la variété de Shimura sur O_{K}. Par des constructions analogues à celles utilisées pour la tour de Lubin-Tate, la famille des (S_{HT,n})_{n∈ℕ} est munie d’un système de morphismes finis g^{m|n}. Une manière agréable de formaliser ceci est d’introduire la catégorie suivante :

Définition 5.1.1 On note ℕ(G) la catégorie dont les objets sont les entiers naturels et les flèches sont données par

Hom_{ℕ(G)} (n, m) := H_{m}\{g ∈ G, gH_{n}g^{−1} ⊂ H_{m}}/H_{n},

la composition étant induite par la multiplication dans G. On note aussi ℕ(G^{0}) la sous-catégorie dont les flèches viennent de G^{0} = ker |det|_{K}.

Avec cette définition, la famille des S_{HT,n} est l’image d’un ℕ(G)-diagramme, i.e. un foncteur de ℕ(G) dans les O_{K}-schémas. Cette formulation invite à utiliser le langage des catégories (co)-fibrées. Par exemple, on dispose de la catégorie Perv(S_{HT}^{s,ca}, \overline{ℚ}_{l}) au-dessus de ℕ(G), dont les fibres sont les catégories de \overline{ℚ}_{l}- faisceaux pervers sur les S_{HT,n}^{s,ca} et qui est fibrée par les ^{p}g^{m|n∗} et cofibrée par les g_{∗}^{m|n}. Les sections de cette catégorie bi-fibrée seront appelées Faisceaux Pervers de Hecke. Ce sont donc des systèmes (F_{n})_{n} de faisceaux pervers munis de morphismes de transition F_{m} ⟶ g_{∗}^{m|n}F_{n}. En vertu de l’exactitude des g_{∗}^{m|n}, ils forment une catégorie abélienne, que nous noterons FPH.

Les résultats globaux principaux de Boyer dans [12] concernent le faisceau pervers de Hecke RΨ formé par le système des cycles évanescents décalés RΨ(S_{HT,n}^{η}, \overline{ℚ}_{l})[d − 1]. Celui-ci est muni d’une action de W_{K} compatible avec celle sur k^{ca}. En particulier, on a pour chaque étage un opérateur de monodromie nilpotent N_{n}, deux filtrations K_{•} (croissante) et I^{•} (décroissante) définies respectivement par les noyaux et les images des itérés de N_{n}, ainsi que leur convolution M_{•}, appelée “filtration de monodromie”. La famille des N_{n} définit un endomorphisme W_{K}-équivariant N de RΨ et les familles de filtrations induisent des filtrations W_{K}-équivariantes K_{•}RΨ, I^{•}RΨ et M_{•}RΨ de l’objet RΨ dans F P H. Il n’est pas évident a priori que N soit nilpotent, ou que ces filtrations soient finies. Mais cela résulte du corollaire suivant de la description 4.1.2 :

Fait 5.1.2 (Boyer) Pour tout n ∈ ℕ, l’action de I_{K} sur le \overline{ℚ}_{l}-faisceau constructible R^{j}Ψ(S_{HT,n}^{η}, \overline{ℚ}_{l}) se factorise par un quotient fini. Preuve : Ceci équivaut à dire que l’action de N_{n} sur R^{j}Ψ(S_{HT,n}^{η}, \overline{ℚ}_{l}) est triviale, ce qui se vérifie sur les fibres. Soit x un point géométrique de S_{HT,n}^{s}. On sait qu’il existe un entier h tel que le complété formel de S_{HT,n} le long de x s’identifie à l’espace des déformations avec stuctures de niveau n d’un groupe de Barsotti-Tate sur k^{ca} de dimension 1, hauteur d et dont la hauteur de la partie étale est h. Ce dernier est formellement lisse [31, p. 80] au-dessus de l’espace M̃_{LT,n}^{(0),d−h} des déformations avec structures de niveau n de sa partie connexe et on a donc par le théorème de comparaison de Berkovich R^{j}Ψ(S_{HT,n}^{η}, \overline{ℚ}_{l})_{x} ≃

H^{j}(M_{LT,n}^{(0),d−h,ca}, \overline{ℚ}_{l}). Par 4.1.2, l’action de l’inertie y est semi-simple et donc potentiellement triviale. □

Puisque l’opérateur N_{n} est nul sur les faisceaux de cohomologie, et puisque RΨ(S_{HT,n}^{η}, \overline{ℚ}_{l}) est d’amplitude cohomologique [1 − d, 0], l’opérateur N_{n} est nilpotent d’ordre ⩽ d. Par conséquent N est aussi nilpotent d’ordre ⩽ d et les filtrations de RΨ sont finies. On peut préciser cela en découpant, suivant Boyer, les cycles évanescents selon l’action de l’inertie (voir aussi la preuve de 5.1.8) :

RΨ = ⨁_{σ∈Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (W_{K}) /∼} RΨ_{σ},

décomposition dans la catégorie FPH et où les σ sont prises à équivalence inertielle près. Alors il résulte de [12, 5.4.7] que RΨ_{σ} est d’amplitude cohomologique [1 − d_{σ}, 0] où d_{σ} := ⌊d/ dim(σ)⌋ et donc que l’opérateur de monodromie N_{σ} est nilpotent d’ordre ⩽ d_{σ}, que les gradués gr_{I}^{q} := I^{q}/I^{q+1}(RΨ_{σ}) et gr_{p}^{K} := K_{p+1}/K_{p}(RΨ_{σ}) sont nuls en dehors de 0 ⩽ p, q < d_{σ} et que les gradués gr_{k}^{M} := M_{k+1}/M_{k}(RΨ_{σ}) sont nuls en dehors de −d_{σ} < k < d_{σ}. Le théorème 5.4.5 de [12] décrit les gradués de la filtration de monodromie M_{•}RΨ_{σ}, et il n’est pas difficile d’en déduire les bigradués de la bifiltration I^{•}K_{•}(RΨ_{σ}), cf la preuve de 5.1.6 ci-dessous.

5.1.3 Bien-sûr, le lien entre les résultats globaux de Boyer et les résultats locaux dont nous avons besoin se fait en prenant la “fibre en un point supersingulier” de RΨ_{σ}. Plus précisément, donnons-nous un point supersingulier x dans S_{HT,0}^{s,ca}. On sait que les morphismes g^{0|n} sont totalement ramifiés au-dessus de x et que si g ∈ G^{0}, la préimage réduite de x dans S_{HT,n}^{s,ca} est un singleton {x_{n}} indépendant de g. Le système des x_{n}^{∗}(RΨ_{n,σ}) est donc un foncteur contravariant de ℕ(G^{0}) dans D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) (on identifiera cette dernière à la catégorie des espaces vectoriels à graduation finie). En passant à la limite inductive, on obtient un espace vectoriel gradué muni d’une action de G^{0}. D’où un foncteur additif

x^{∗} : F P H ⟶ gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0}) := \{\overline{ℚ}_{l}-représentations lisses graduées de G^{0}\}.

On sait que le complété formel (étage par étage) de la tour S_{HT}^{nr} le long de la famille x_{n} s’identifie à M_{LT}^{(0)} , et par le théorème de comparaison de Berkovich, on a donc un isomorphisme G^{0} × I_{K}-équivariant

x^{∗}(RΨ) ≃ ⨁_{i} H^{i}(M_{LT}^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l})[d − 1 − i].

De plus, l’action de O_{D}^{×} par automorphismes du complété formel de chaque S_{HT,n}^{nr} en x_{n} munit x^{∗}(RΨ) d’une action de O_{D}^{×} a priori, et l’isomorphisme de Berkovich ci-dessus est équivariant, puisque canonique. En fait, l’action de G^{0} × O_{D}^{×} × I_{K} sur l’espace vectoriel gradué x^{∗}(RΨ) est la restriction d’une action de (G×D^{×} ×W_{K})^{0} que l’on obtient en considérant le complété formel de S_{HT}^{s,ca} le long de l’orbite Galoisienne X = (X_{n})_{n∈ℕ} de x sous W_{K}. En effet, celle-ci est un sous ℕ(G)-diagramme de S_{HT}^{s,ca} de dimension 0, dont le complété formel associé est muni d’une action de D^{×}. Le stabilisateur du complété formel en x est justement (G × D^{×} × W_{K})^{0}.

Pour décrire x^{∗}(RΨ_{σ}), il est plus commode de modifier le foncteur x^{∗} en posant :

ix^{∗} := ind_{G^{0}ϖ^{ℤ}}^{G} ∘ x^{∗} : F P H ⟶ gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G/ϖ^{ℤ})

où ϖ est une uniformisante de K^{×} ⊂ G. Alors l’objet ix^{∗}(RΨ_{σ}) est un facteur direct stable par G × D^{×} × W_{K} de H^{∗}(M_{LT}^{ca} /ϖ^{ℤ}, \overline{ℚ}_{l}) dont la restriction à I_{K} est σ-isotypique. D’après la description de Boyer 4.1.2 et la dualité 3.5.13, on a donc :

(5.1.4)  ix^{∗}(RΨ_{σ}) ≃_{G×D^{×}×W_{K}} (⨁_{ρ⇝σ} (⨁_{i} H_{c}^{i}[ρ][−i])^{∨} ⊗ ρ) [1 − d](1 − d)

(5.1.5)  ≃_{G×D^{×}×W_{K}}  ⨁_{ρ⇝σ} ( ⨁_{i=0}^{d_{σ}−1} π_{ρ^{∨}}^{>i} ⊗ ρ ⊗ σ′(ρ)(−i)[−i]) [d_{σ} − 1].

où ρ ⇝ σ désigne la conjonction des deux conditions ω_{ρ}(ϖ) = 1 et σ′(ρ) ∼ σ (équivalence inertielle) et σ′(ρ) est définie en 4.2.2. En particulier x^{∗}(RΨ_{σ}) est nul si le degré de σ ne divise pas d.

On aimerait transférer la bifiltration de RΨ_{σ}. Pour cela, on remarque que le foncteur x^{∗} est “exact” dans le sens suivant :

Lemme 5.1.5 Le foncteur x^{∗} se prolonge en un foncteur de la catégorie des suites exactes de F P H dans la catégorie des triangles distingués de gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0}).

En d’autre termes, une suite exacte A ↪ B ↠ C induit une longue suite exacte

⋯ ⟶ x^{∗}A^{i} ⟶ x^{∗}B^{i} ⟶ x^{∗}C^{i} ⟶ x^{∗}A^{i+1} ⟶ · · · .

Preuve : Notons temporairement D_{c}^{b} la catégorie des sections de la catégorie bi-fibrée au-dessus de ℕ(G) dont les fibres sont les D_{c}^{b}(S_{HT,n}^{s,ca}, \overline{ℚ}_{l}). La catégorie F P H est une sous-catégorie pleine de D_{c}^{b}, et le foncteur x^{∗} est la restriction d’un foncteur de source D_{c}^{b}, encore noté x^{∗} et défini de la même manière. La catégorie D_{c}^{b} est additive, ℤ-graduée, et munie d’une famille évidente de triangles distingués : ceux qui à chaque étage le sont. Le foncteur x^{∗} est exact, i.e. envoie triangles distingués sur triangles distingués au sens du lemme. Ainsi, il nous suffira de montrer que toute suite exacte A ↪ B ↠ C se complète de manière unique en un triangle distingué de D_{c}^{b}. Or, à chaque étage, on connait l’unicité de δ_{n} : C_{n} ⟶ A_{n}[1] complétant la suite A_{n} ⟶ B_{n} ⟶ C_{n} en un triangle distingué [1, Cor 1.1.10 ii)]. Cette unicité et la p-exactitude des g_{∗}^{m|n} assurent que le système (δ_{n})_{n} est bien un morphisme dans D_{c}^{b}. □

D’après le lemme ci-dessus, la bifiltration de RΨ_{σ} induit une “bifiltration” sur son image x^{∗}RΨ_{σ} dans gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0}) (en termes rigoureux, un objet spectral au sens de Verdier [50, II.4]). Par définition, elle est I_{K}-équivariante, et par le théorème 2 de [26], elle est aussi O_{D}^{×}-équivariante. En fait, elle est (G × D^{×} × W_{K})^{0}-équivariante, comme on le voit en répétant ces arguments pour l’orbite Galoisienne X de x, puis en se restreignant à x.

La suite spectrale associée à la filtration de monodromie de x^{∗}RΨ_{σ} est entièrement décrite par Boyer. Voici une reformulation de cette description, en termes de bifiltration, et adaptée à nos besoins ; par convention, nos gradués sont donnés par gr_{I}^{q} := I^{q}/I^{q+1} et gr_{p}^{K} := K_{p+1}/K_{p}.

Théorème 5.1.6 (Boyer) Soit σ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (W_{K}), et rappelons que d_{σ} = ⌊d/ dim(σ)⌋.

i) Le \overline{ℚ}_{l}-espace gradué x^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) est non-nul seulement si p, q ⩾ 0 et p + q < d_{σ}, auquel cas il est concentré en degré p + q − d_{σ} + 1 et donné par :

ix^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ})[p + q − d_{σ} + 1] ≃_{G×D^{×}×W_{K}} ⨁_{ρ⇝σ} τ_{ρ^{∨}}^{>p+q} ⊗ ρ ⊗ σ′(ρ)(q − p)

où τ_{ρ}^{>i} est l’”unique” extension non triviale de π_{ρ}^{>i+1} par π_{ρ}^{>i} dans Mod_{ω_{ρ}}(G) pour 0 < i < d_{σ} et τ_{ρ}^{>d_{σ}} := π_{ρ}^{>d_{σ}} = π_{ρ}^{∅}.

ii) Pour tous p, q ⩾ 0 tels que p + q < d_{σ} − 1, le morphisme G × D^{×} × W_{K}-équivariant

ix^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ})[p + q − d_{σ} + 1] ⟶ ix^{∗}(gr_{I}^{q+1} gr_{p}^{K} RΨ_{σ})[p + q + 1 − d_{σ} + 1]

déduit par décalage et rotation du triangle distingué gr_{I}^{q+1} ⟶ I^{q}/I^{q+2} ⟶ gr_{I}^{q} est donné (modulo isomorphismes) sur chaque facteur direct par l’”unique” morphisme G-équivariant non-nul τ_{ρ^{∨}}^{>p+q} ⟶ τ_{ρ^{∨}}^{>p+q+1}.

Preuve : L’assertion sur la nullité en dehors du triangle p, q ⩾ 0 et p+q < d_{σ} est une simple conséquence de la définition des filtrations I^{•} etK_{•} et du fait que N^{d_{σ}} = 0. Nous supposons dorénavant que ces inégalités sont vérifiées et nous allons d’abord montrer que ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}) est concentré en degré p + q − d_{σ} + 1. Pour cela, le plus commode est de se raccrocher à la description des gr_{k}^{M}(RΨ_{σ}) par Boyer. Par définition, on a gr_{k}^{M} = ⨁_{p−q=k} gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}. Inversement, pour récupèrer les bigradués à partir du gradué de monodromie, il faut se rappeler que l’opérateur N_{σ} envoie I^{q}K_{p}(RΨ_{σ}) dans I^{q+1}K_{p−1}(RΨ_{σ}) et induit un isomorphisme

N_{σ} : gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}(RΨ_{σ}) \underrightarrow{∼} gr_{I}^{q+1} gr_{p−1}^{K}(RΨ_{σ})

tant que p > 1. On en déduit les formules :

(5.1.7) gr_{I}^{q} gr_{0}^{K} = ker (gr_{−q}^{M} ⟶^{N_{σ}} gr_{−q−2}^{M}) et N_{σ}^{p} : gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} \underrightarrow{∼} gr_{I}^{q+p} gr_{0}^{K} .

D’après Boyer [12, 5.4.5], les gradués de monodromie sont de la forme

gr_{k}^{M}(RΨ_{σ}) = ⨁_{|k|⩽t⩽d_{σ}} ; t≡k−1[2] P(t, σ)(?)

où P(t, σ) est le faisceau pervers de Hecke noté P(g, t, π_{v}) dans loc. cit avec le dictionnaire suivant : g ⟷ dim(σ) et π_{v} ⟷ σ_{g}^{−1}(σ), et (?) désigne une torsion à la Tate qui ne nous importe pas ici. De par leur définition, chaque P(t, σ) est semi-simple de longueur finie et sans multiplicité. De plus, les P(t, σ) sont deux-à-deux “disjoints”. On déduit alors des formules 5.1.7 et par une récurrence facile que

gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}(RΨ_{σ}) = P(p + q + 1, σ)(?).

Le théorème 5.4.7 de [12] décrit (entre autres) la cohomologie de x^{∗}(P(t, σ)) et montre que celle-ci est concentrée en degré t − d_{σ}, d’où la première assertion du point i).

Considérons maintenant la suite spectrale (G × D^{×} × W_{K})^{0}-équivariante associée à la filtration de monodromie

E_{1}^{i,j} := H^{i+j}(x^{∗}(gr_{−i}^{M}(RΨ_{σ}))) ⇒ H^{i+j}(x^{∗}RΨ_{σ}).

Du simple fait que la cohomologie de x^{∗} gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} est concentrée en degré p + q + 1 − d_{σ}, on tire pour tous p, q :

i) x^{∗}(gr_{I}^{p} gr_{q}^{K}(RΨ_{σ}))[p + q + 1 − d_{σ}] = E_{1}^{q−p,2p+1−d_{σ}},

ii) La flèche du point ii) est la différentielle d_{1}^{q−p,2p+1−d_{σ}}.

Les assertions restantes sont donc conséquences du théorème 4.2.3 de [12], puisque dans le dictionnaire entre nos notations et celles de loc. cit, on a τ_{ρ}^{>i} ⟷ [\overleftarrow{i}]_{π_{ρ}} × [\overrightarrow{s − i}]_{π_{ρ}}.

□

Pour pouvoir utiliser ce théorème, il nous faut maintenant relever le foncteur x^{∗} vers la catégorie D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G^{0}). Malheureusement, cela pose plusieurs problèmes techniques.

Le premier vient du formalisme l-adique. Pour l’expliquer, rappelons que pour X schéma de type fini sur un corps de dimension cohomologique finie, la catégorie D_{c}^{b}(X, \overline{ℚ}_{l}) est définie comme limite inductive des catégories D_{c}^{b}(X, Λ)[\frac{1}{l}] où Λ décrit les anneaux d’entiers d’extensions finies de ℚ_{l} et les morphismes de transition sont donnés par extension des scalaires de Λ[\frac{1}{l}] à Λ′[\frac{1}{l}]. De plus, chaque D_{c}^{b}(X, Λ)[\frac{1}{l}] s’identifie naturellement à une sous-catégorie triangulée pleine de la catégorie D_{Λ_{•}}^{+}(X̃_{et})[\frac{1}{l}] (via les complexes “normalisés” d’Ekedahl, cf [26, Prop 2]). Enfin, chaque D_{Λ_{•}}^{+}(X̃_{et}) est munie d’une t-structure perverse [26, Thm 7] qui induit sur D_{c}^{b}(X, Λ)[\frac{1}{l}] la t-structure perverse intermédiaire [26, Cor 3] et pour laquelle les morphismes finis sont t-exacts. Notons alors F P H_{Λ_{•}} la catégorie des sections de la catégorie bi-fibrée sur ℕ(G) dont la fibre en n est le coeur de la t-structure perverse sur D_{Λ_{•}}^{+}({ \atop S_{HT,n,et}}). Par t-exactitude des foncteurs de transition g_{∗}^{m|n}, cette catégorie est abélienne. Soit F P H_{Λ_{•}}^{c} sa sous-catégorie pleine (abélienne et épaisse) formée des sections (K_{n})_{n∈ℕ(G)} avec K_{n}[\frac{1}{l}] ∈ D_{c}^{b}(S_{HT,n}, Λ)[\frac{1}{l}]. Plutôt qu’avec la catégorie F P H nous travaillerons avec la catégorie abélienne F P H′ suivante :

F P H′ := lim ; ⟶_{Λ}(F P H_{Λ_{•}}^{c}[\frac{1}{l}]).

On a un foncteur évident F P H′ ⟶^{ι} F P H, exact et fidèle, dont le défaut de pleinitude vient de ce que cette construction “borne” les dénominateurs et l’algébricité lorsqu’on bouge dans le diagramme.

Par définition, le complexe des cycles évanescents RΨ est naturellement un objet de F P H′, dont la valeur en n ∈ ℕ(G) est (RΨ(S_{HT,n}, Λ_{•}))_{Λ}. Par contre, son opérateur de monodromie N n’est a priori pas un endomorphisme de RΨ dans F P H′, car il est défini à chaque étage par un logarithme dont les dénominateurs croissent avec le niveau n. Cependant on a le lemme suivant :

Lemme 5.1.8 Soit σ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (W_{K}). Le plongement RΨ_{σ} ↪ RΨ dans F P H et l’opérateur de monodromie N_{σ} sont dans l’image essentielle de ι.

Preuve : Commençons par expliciter la construction de RΨ_{σ} dans la catégorie F P H. Notons pour cela γ : I_{K} ⟶ End_{F P H} (RΨ) l’action de l’inertie. Par définition de N, l’application γ̃ : i ∈ I_{K} ↦ γ(i)exp(−t_{l}(i)N) définit une action localement constante de I_{K} sur RΨ et se prolonge donc en un morphisme de \overline{ℚ}_{l}-algèbres H_{\overline{ℚ}_{l}}(I_{K}) ⟶ End_{F P H} (RΨ) où H_{\overline{ℚ}_{l}}(I_{K}) désigne l’algèbre des distributions localement constantes sur I_{K}. Le facteur RΨ_{σ} est découpé via γ̃ par l’idempotent de H_{\overline{ℚ}_{l}}(I_{K}) associé à σ.

Choisissons une base (I_{m})_{m∈ℕ} de voisinages de l’unité de I_{K} formée de sous-groupes ouverts de I_{K} normaux dans W_{K}, et notons RΨ_{m} le facteur direct de RΨ dans F P H découpé via γ̃ par la représentation

triviale de I_{m}. On a une suite exacte I_{m}^{l} ↪ I_{m} ↠^{t_{l}} l^{m′}ℤ_{l} avec I_{m}^{l} un pro-l′-groupe. Comme la restriction de l’action γ à I_{m}^{l} est localement constante, on a un idempotent γ[I_{m}^{l}] où [I_{m}^{l}] ∈ H_{ℤ_{l}}(I_{m}^{l}) est la mesure de Haar normalisée. Choisissons un élément T_{m} ∈ I_{m} tel que t_{l}(T_{m}) = l^{m′}. On a alors

RΨ_{m} = ∑_{t∈ℕ} ker ((γ(T_{m}) − 1)_{| im γ[I_{m}^{l}]}^{t})

et son opérateur de monodromie est donné par

N_{|RΨ_{m}} = \frac{1}{l^{m′}} log(γ(T_{m})).

On a déja remarqué que N est nilpotent d’ordre ⩽ d. On a donc aussi

RΨ_{m} = ker ((γ(T_{m}) − 1)_{| im γ[I_{m}^{l}]}^{d}) .

Or, les endomorphismes γ[I_{m}^{l}] et γ(T_{m}) de RΨ sont dans End_{F P H′} (RΨ). Ceci montre l’énoncé du lemme pour RΨ_{m} à la place de RΨ_{σ} et on en déduit aussitôt l’énoncé du lemme puisque RΨ_{σ} = (RΨ_{m})_{σ} dès que I_{m} ⊂ ker σ.

□

Proposition 5.1.9 Il existe un foncteur x_{eq}^{∗} s’inscrivant dans un diagramme essentiellement commutatif

\xymatrix{FPH’ \ar[r]^{x_{eq}^{∗}} \ar[d]_{ι} & D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G^{0}) \ar[d]^{⊕H^{i}[−i]} \\ FPH \ar[r]_{x^{∗}} & _{gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0})}} ,

exact au sens du lemme 5.1.5 et tel qu’on ait un isomorphisme canonique et compatible à l’action de W_{K}

x_{eq}^{∗}RΨ ≃ RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l})[d − 1] dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G^{0}).

Admettons ce résultat momentanément et posons ix_{eq}^{∗} := ind_{G^{0}ϖ^{ℤ}}^{G} ∘ x_{eq}^{∗}, qui est donc un foncteur “exact” de F P H′ dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G/ϖ^{ℤ}) et envoie RΨ sur RΓ(M_{LT}^{ca} /ϖ^{ℤ}, \overline{ℚ}_{l})[d − 1] en respectant les actions de W_{K}. D’après 5.1.4, on a un isomorphisme I_{K}-équivariant

ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}) ≃ ⨁_{ρ⇝σ} (RΓ_{c}[ρ]^{∨} ⊗ V_{ρ}) [1 − d](1 − d),

l’action de I_{K} sur le \overline{ℚ}_{l}-espace V_{ρ} étant triviale.

5.1.10 Preuve de la proposition 4.3.9 : Fixons ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}) comme dans la partie 4 et posons σ := σ′(ρ), de sorte que d_{σ} = d_{ρ}. Par l’isomorphisme précédent, il suffit de prouver que

ix_{eq}^{∗}(N_{σ})^{d_{σ}−1} ≠ 0.

En effet, cela impliquera N_{ρ′}^{d_{ρ}−1} ≠ 0 pour au moins un ρ′ ∼ ρ, ce qui, par torsion, impliquera alors N_{ρ}^{d_{ρ}−1} ≠ 0.

Par définition des filtrations, l’opérateur N_{σ} envoie I^{q}K_{p}(RΨ_{σ}) dans I^{q+1}K_{p−1}(RΨ_{σ}) et induit un isomorphisme

N_{σ} : gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}(RΨ_{σ}) \underrightarrow{∼} gr_{I}^{q+1} gr_{p−1}^{K}(RΨ_{σ})

tant que p > 1. En particulier, puisque les gr_{I}^{q} RΨ_{σ} et gr_{p}^{K} RΨ_{σ} sont nuls pour p, q hors de {0, ⋯, d_{σ} −1}, on a un diagramme

\xymatrix{RΨ_{σ} \ar[r]^{N_{σ}^{dσ −1}} \ar[d]_{can_{+}} & RΨ_{σ} \\ gr_{I}^{0} gr_{d_{σ}−1}^{K} RΨ_{σ} \ar[r]^{∼} & gr_{I}^{d_{σ}−1} gr_{0}^{K} RΨ_{σ} \ar[u]_{can_{−}}}

où les applications can sont les projections et injections canoniques (notons qu’on a aussi gr_{I}^{0} gr_{d_{σ}−1}^{K} = gr_{d_{σ}−1}^{M} et gr_{I}^{d_{σ}−1} gr_{0}^{K} = gr_{1−d_{σ}}^{M}). Nous devons donc étudier les morphismes ix_{eq}^{∗}(can_{+}) et ix_{eq}^{∗}(can_{−}) dans la catégorie D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G/ϖ^{ℤ}). Pour cela, remarquons tout d’abord que d’après 5.1.6 i), la cohomologie des complexes ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) est concentrée en un seul degré p + q − 1 − d_{σ}. Ce miracle détermine complètement ces complexes dans la catégorie dérivée D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G/ϖ^{ℤ}), et l’énoncé de 5.1.6 est encore vrai si l’on y remplace ix^{∗} par ix_{eq}^{∗}. En voici une conséquence :

Lemme 5.1.11 Notons V′_{σ} := V_{σ} ⊗ V_{ρ}.

i) Le complexe x_{eq}^{∗}(I^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) est non-nul seulement si p, q ⩾ 0 et p + q < d_{σ}, auquel cas il est cohomologiquement concentré en degré p + q − d_{σ} + 1 et donné par :

ix_{eq}^{∗}(I^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) ≃ ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>p+q} ⊗ V′_{σ}) [d_{σ} − 1 − p − q]

et le morphisme canonique ix_{eq}^{∗}(I^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) ⟶ ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{p}^{K} RΨ_{σ}) est induit (modulo isomorphismes) sur chaque facteur par l’injection τ_{ρ′^{∨}}^{>p+q} ↪ π_{ρ′^{∨}}^{>p+q}.

ii) La “filtration” par les noyaux (ix_{eq}^{∗}(K_{•}RΨ_{σ})) est canonique au décalage de 1−d_{σ} près, ce qui signifie que pour tout p, on a un triangle commutatif

\xymatrix{ix_{eq}^{∗}(K_{p}RΨ_{σ}) \ar[r] \ar[d]^{∼} & ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}) \\ τ_{<p+1−dσ} (ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ})) \ar[ur]^{tronq}}

Preuve : On démontre le point i) en fixant p et en faisant une récurrence descendante de q = d_{σ} − 1 − p à 0. En effet, le cas q = d_{σ} − 1 − p est donné par l’égalité I^{d_{σ}−1−p} gr_{p}^{K} = gr_{I}^{d_{σ}−1−p} gr_{p}^{K} et le point i) de 5.1.6. Supposons la propriété démontrée pour q + 1, et considérons le triangle distingué

(5.1.12) ⟶ I^{q} gr_{p}^{K}[−i_{σ}^{p,q}] ⟶ gr_{I}^{q} gr_{p}^{K}[−i_{σ}^{p,q}] ⟶ I^{q+1} gr_{p}^{K}[1 − i_{σ}^{p,q}].

Par l’hypothèse de récurrence et par 5.1.6 i), les deux derniers objets sont dans le coeur Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G/ϖ^{ℤ}). Par l’hypothèse de récurrence et 5.1.6 ii), la flèche entre eux est induite (modulo isomorphismes) sur chaque facteur par l’injection π_{ρ′}^{i_{σ}^{p,q+1}} ↪ τ_{ρ′}^{i_{σ}^{p,q}}. En particulier cette flèche est surjective, donc le premier membre I^{q} gr_{p}^{K}[−i_{σ}^{p,q}] du triangle 5.1.12 est lui aussi dans le coeur Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0}) et s’identifie au noyau de la deuxième flèche, ce qui achève le pas de récurrence.

Pour le deuxième point on a gr_{p}^{K} = I^{0} gr_{p}^{K}, donc le complexe x_{eq}^{∗}(gr_{p}^{K}) est concentrée en degré 1−d_{σ}+p, par le point i). Le point ii) en découle par une récurrence immédiate. □

Comme les flèches canoniques I^{0} gr_{d_{σ}−1}^{K} ⟶ gr_{I}^{0} gr_{d_{σ}−1}^{K} et H^{0} ⟶ τ_{⩾0} sont des isomorphismes (pour x_{eq}^{∗}(RΨ_{σ})), le point ii) du lemme fournit un triangle commutatif

\xymatrix{ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}) \ar[dr]^{tronq_{+}} \ar[d]_{ix_{eq}^{∗}(can_{+})} \\ ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{0} gr_{d_{σ}−1}^{K}) & H^{0}(ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ})) \ar[l]_{∼}}

De même, la flèche gr_{I}^{d_{σ}−1} gr_{0}^{K} ⟶ gr_{0}^{K} permet de factoriser ix_{eq}^{∗}(can_{−})

\xymatrix{ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}) & H^{1−d_{σ}}(ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}))[d_{σ} − 1] \ar[l]_{tronq_{−}} \\ ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{d_{σ}−1} gr_{0}^{K}) \ar[u]^{ix_{eq}^{∗}(can_{−})} \ar[r]^{α} & ix_{eq}^{∗}(gr_{0}^{K}) \ar[u]_{∼}}

où la flèche α s’identifie à la composée

[figure: ix_{eq}^{∗}(I^{d_{σ}−1} gr_{0}^{K}); ix_{eq}^{∗}(I^{d_{σ}−2} gr_{0}^{K}); ⋯; ix_{eq}^{∗}(I^{0} gr_{0}^{K}); ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>d_{σ}−1}) ⊗ V′_{σ}[0]; α_{dσ −1}; ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>d_{σ}−2}) ⊗ V′_{σ}[1]; α_{dσ −2}; ⋯; α_{1}; ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>0}) ⊗ V′_{σ}[d_{σ} − 1]] ,

grâce à 5.1.11 i). Comme le complexe ix_{eq}^{∗}(RΨ_{σ}) est scindé dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G/ϖ^{ℤ}), le morphisme de troncation tronq_{+} est un épimorphisme tandis que tronq_{−} est un monomorphisme. Il ne reste donc plus qu’à prouver que la composée ci-dessus est non-nulle. Or, pour tout 0 < q < d_{σ}, on a des triangles distingués

[figure: ix_{eq}^{∗}(I^{q+1} gr_{0}^{K})[1 − d_{σ}]; ix_{eq}^{∗}(I^{q} gr_{0}^{K})[1 − d_{σ}]; ix_{eq}^{∗}(gr_{I}^{q} gr_{0}^{K})[1 − d_{σ}]; ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>q+1}) ⊗ V′_{σ}[−q − 1]; α_{q+1}; ( ⨁_{ρ′⇝σ} π_{ρ′^{∨}}^{>q}) ⊗ V′_{σ}[−q]; ( ⨁_{ρ′⇝σ} τ_{ρ′^{∨}}^{>q}) ⊗ V′_{σ}[−q]]

qui montrent d’après 5.1.11 i) que α_{q+1} est donné sur chaque facteur, et modulo isomorphismes, par un élément non-nul de Ext_{G/ϖ^{ℤ}}^{1} (π_{ρ′^{∨}}^{>q+1}, π_{ρ′^{∨}}^{>q}) . Par 2.1.17 ii) et 2.1.18, il s’ensuit que la composée α est

non-nulle dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G/ϖ^{ℤ}).

5.1.13 Preuve de la proposition 5.1.9 : Notons { \atop ℕ(G)} le topos des préfaisceaux sur ℕ(G). On a un morphisme de topos (δ^{∗}, δ_{∗}) du topos classifiant G̃ de G (dont les objets sont les ensembles munis d’une action lisse de G) vers { \atop ℕ(G)}, donné par

δ_{∗}(E) = (n ↦ E^{H_{n}}) et δ^{∗}(F) := lim ; ⟶_{n∈ℕ} F (n).

Par ailleurs notons { \atop S_{HT,et}^{s,ca}} ⟶ ℕ(G) le topos étale fibré associé au ℕ(G)-diagramme de k^{ca}-schémas

formé par les (S_{HT,n}^{s,ca})_{n∈ℕ}, et Top({ \atop S_{HT,et}^{s,ca}}) son topos total. Si Λ est une extension de ℤ_{l}, on a un foncteur

“oubli” ω de la catégorie dérivée D_{Λ_{•}}^{b,top}(S_{HT}) := D_{Λ_{•}}^{b}(Top({ \atop S_{HT,et}^{s,ca}})) des Λ_{•}-modules de Top({ \atop S_{HT,et}^{s,ca}}) vers la catégorie D_{Λ_{•}}^{b,naif}(S_{HT}) des sections de la catégorie bi-fibrée sur ℕ(G) dont les fibres sont les catégories dérivées D_{Λ_{•}}^{b}(S_{HT,n}^{s,ca}). Remarquons que, par t-exactitude des g_{∗}^{m|n}, la catégorie F P H_{Λ_{•}}^{c} introduite audessus de 5.1.8 est une sous-catégorie pleine de D_{Λ_{•}}^{b,naif}(S_{HT}). On notera FPH_{Λ_{•}}^{c} la sous-catégorie pleine de D_{Λ_{•}}^{b,top}(S_{HT}) des objets dont l’image par ω est dans F P H_{Λ_{•}}^{c}. D’après l’appendice, proposition A.0.3, le foncteur ω induit une équivalence de catégories FPH_{Λ_{•}}^{c} \underrightarrow{∼} F P H_{Λ_{•}}^{c}, ce qui fait de FPH_{Λ_{•}}^{c} une souscatégorie abélienne admissible de D_{Λ_{•}}^{b,top}(S_{HT}).

Le point supersingulier x induit un morphisme de topos (Top(x)^{∗}, Top(x)_{∗}) : { \atop ℕ(G^{0})} ⟶ Top({ \atop S_{HT,et}^{s,ca}}). On a en particulier un foncteur

Top(x)_{•}^{∗} : D_{Λ_{•}}^{b,top}(S_{HT}) ⟶^{Top(x)^{∗}} D_{Λ_{•}}^{b}({ \atop ℕ(G^{0})}) ⟶^{Rlim_{⟵}^{ℕ(G^{0})}} D_{Λ}^{b}({ \atop ℕ(G^{0})})

et une famille de foncteurs

x_{n,_{•}}^{∗} : D_{Λ_{•}}^{b}({ \atop S_{HT,n}^{s,ca}}) ⟶^{x_{n}^{∗}} D_{Λ_{•}}^{b}(pt) ⟶^{Rlim_{⟵}} D_{Λ}^{b}(pt) ⟶^{H^{∗}} gr Mod(Λ)

qui s’inscrivent dans le diagramme essentiellement commutatif suivant :

\xymatrix{FPH_{Λ_{•}}^{c} \ar[d]_{≃} \ar@{^{(}->}[r] & D_{Λ_{•}}^{b,top}(S_{HT}) \ar[d]_{ω} \ar[r]^{Top(x)_{•}^{∗}} & D_{Λ}^{b}({ \atop ℕ(G^{0})}) \ar[d] \ar[r]^{δ^{∗}} & D_{Λ}^{b}(G^{0}) \ar[d]^{H^{∗}} \\ F P H_{Λ_{•}}^{c} \ar@{^{(}->}[r] & D_{Λ_{•}}^{b,naif}(S_{HT}) \ar[r]^{(x_{n,•}^{∗})_{n}} & _{gr Mod_{Λ}({ \atop ℕ(G^{0})})} \ar[r]^{δ^{∗}} & _{gr Mod_{Λ}(G^{0})}}

Dans ce diagramme, la composée de la ligne du bas induit, après inversion de l et passage à la limite sur Λ, le foncteur noté plus haut x^{∗} ∘ ι : F P H′ ⟶ gr Mod_{\overline{ℚ}_{l}}(G^{0}). Nous poserons donc x_{eq}^{∗} le foncteur obtenu en composant la ligne du haut avec un quasi-inverse de ω_{|FPH_{Λ^{•}}^{c}}, en inversant l et en passant à la limite sur Λ.

Il ne nous reste plus qu’à exhiber un isomorphisme canonique x_{eq}^{∗}(RΨ) \underrightarrow{∼} RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, \overline{ℚ}_{l}) dans D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(G^{0}). On va pour cela se ramener à l’isomorphisme de Berkovich entre cycles évanescents formels et algébriques. En effet, pour tout n, on a un diagramme de catégories

\xymatrix{{ \atop S_{HT,n,et}^{η,nr}} \ar[d]_{ψ_{∗n}} \ar[r]^{x_{n}^{an,∗}} & { \atop M_{LT,n,et}^{(0)}} \ar[d]^{γ_{∗n}} \\ { \atop S_{HT,n,et}^{s,ca}} \ar@{=>}[ur] \ar[r]^{x_{n}^{∗}} & ˜•}

où ψ_{n} = i_{n}^{s,ca,∗} ∘ j_{n,∗}^{η,ca} est le foncteur cycles évanescents “usuel” pour les variétés algébriques définies sur Ô_{K}^{nr}, x_{n}^{an,∗} envoie un faisceau étale sur la restriction de son analytifié à M_{LT,n}^{(0)} (foncteur noté F ↦ F̂ chez Berkovich [5, 5.1] [7, 3.1]), et γ_{n} est le foncteur des sections globales après extension des scalaires de K̂^{nr} à K̂^{ca}, qui s’identifie avec le foncteur noté Ψ_{η} par Berkovich [7, p. 373] puisque la fibre spéciale réduite de M_{LT,n}^{(0)} est un point. La double flèche diagonale signifie qu’on a une transformation naturelle canonique x_{n}^{∗} ∘ ψ_{n} ⟶ γ_{n} ∘ x_{n}^{an,∗}. D’après [7, Thm 3.1], cette transformation induit un isomorphisme x_{n}^{∗}Rψ_{n∗}(Λ_{•}) \underrightarrow{∼} Rγ_{n∗}(Λ_{•}) dans D^{b}(Λ_{•}).

Ces catégories, foncteurs, et transformations naturelles, s’organisent au-dessus de ℕ(G^{0}) et fournissent un diagramme de catégories

\xymatrix{Top({ \atop S_{HT,et}^{η,nr}}) \ar[d]_{ψ_{∗}} \ar[r]^{x^{an,∗}} & Top({ \atop M_{LT,et}^{(0)}}) \ar[d]^{γ_{∗}} \\ Top({ \atop S_{HT,et}^{s,ca}}) \ar@{=>}[ur] \ar[r]^{Top(x)^{∗}} & { \atop ℕ(G^{0})}}

et en particulier un morphisme

(5.1.14) Top(x)^{∗}Rψ_{∗}(Λ_{•}) ⟶ Rγ_{∗}(Λ_{•}) dans D_{Λ_{•}}^{+}({ \atop ℕ(G^{0})}).

Ce dernier est un isomorphisme, puisqu’il l’est en restriction à chaque étage.

Par définition, l’objet RΨ de F P H′ est donné par le système inductif ((Rψ_{n∗}(Λ_{•}))_{n∈ℕ(G)}[\frac{1}{l}])_{Λ}. Mais comme les morphismes de transitions (g^{m|n})^{η} du ℕ(G^{0})-diagramme (S_{HT,n}^{η})_{n} sont étales (fibre générique), la restriction de Rψ_{∗}(Λ_{•}) à l’étage n est canoniquement isomorphe à Rψ_{n∗}(Λ_{•}). En d’autres termes ω^{−1}(RΨ) est donné par le système inductif ((Rψ_{∗}(Λ_{•})[\frac{1}{l}])_{Λ}) de la catégorie \underrightarrow{lim}(FPH_{Λ_{•}}^{c}[\frac{1}{l}]). Vu l’iso-

morphisme 5.1.14, il nous suffira donc de prouver que pour tout Λ, on a un isomorphisme

δ^{∗}Rlim_{⟵}^{ℕ(G^{0})}Rγ_{∗}(Λ_{•}) ≃ RΓ(M_{LT}^{(0),ca}, Λ) (5.1.15)

dans D_{Λ}^{b}(G^{0}). On remarque pour cela que le morphisme de périodes ξ_{LT} : M_{LT,0}^{(0)} ⟶ P_{LT} induit un foncteur exact et pleinement fidèle

ξ^{∗} : { \atop P_{LT,et}} ⟶ Top({ \atop M_{LT,et}^{(0)}})

dont l’image est constituée des faisceaux cartésiens du topos total de droite, et que, revenant aux définitions, on a les factorisations suivantes :

Γ(M_{LT}^{(0),ca}, −) = δ^{∗} ∘ γ_{∗} ∘ ξ^{∗} : { \atop P_{LT,et}} ⟶ G̃^{0}

et

Γ_{•}(M_{LT}^{(0),ca}, −) = δ^{∗} ∘ lim_{⟵}^{ℕ(G^{0})} ∘ γ_{∗} ∘ ξ^{∗} : Mod_{Λ_{•}}({ \atop P_{LT,et}}) ⟶ Mod_{Λ}(G^{0}) .

(Remarquer que γ_{∗} commute aux limites projectives quelconques, ce qui nous permet de placer la limite projective là où on l’a placée). Mais ξ_{LT} est un morphisme étale, donc ξ^{∗} envoie injectifs sur injectifs, de sorte que le dernier isomorphisme se dérive en RΓ_{•}(M_{LT}^{(0),ca}, −) = δ^{∗} ∘ Rlim_{⟵}^{ℕ(G^{0})} ∘ Rγ_{∗} ∘ ξ^{∗}, ce qui conclut la preuve de 5.1.15 puisque ξ^{∗}(Λ_{•}) = Λ_{•}.

5.2 Uniformisation p-adique et conjecture de pureté

Dans cette partie nous prouvons que les variétés uniformisées par les revêtements de l’espace symétrique de Drinfeld satisfont la conjecture dite “monodromie-poids” de Deligne. Cela s’applique à certaines variétés de Shimura associées à des groupes unitaires définis globalement par une algèbre à division et involution satisfaisant les mêmes propriétés que celles intervenant dans les variétés de Harris-Taylor, excepté qu’à la place où le complété est K, elle doit être totalement ramifiée, au lieu d’être déployée. Pour de telles variétés de Shimura, on en déduit donc le facteur local de la fonction L en la place concernée. Cependant, nous éviterons d’introduire les nombreuses notations nécessaires à la définitions de ces variétés de Shimura, et nous contenterons d’exposer les raisonnements pour des variétés “abstraites” uniformisées par les M_{Dr,n}.

Signalons brièvement qu’outre les courbes et les variétés abéliennes traitées dans SGA 7, la conjecture monodromie-poids est connue pour les surfaces semi-stables [43], les variétés uniformisées par Ω_{K}^{d−1} [38] [17], et les variétés de Shimura de type Harris-Taylor grâce à Boyer [12, Thm 14.0.1] (Taylor et Yoshida ont une autre preuve pour la partie tempérée de la cohomologie de ces variétés [48]).

On commence par rappeler l’énoncé de la conjecture de Deligne.

5.2.1 Pureté de la filtration de monodromie : On sait depuis Grothendieck que sur toute représentation l-adique continue de dimension finie (σ, V) de W_{K}, l’inertie I_{K} agit de manière quasi-unipotente, c’està-dire qu’il existe un unique endomorphisme nilpotent N_{σ} de V tel qu’il existe un sous-groupe I_{σ} ⊂ I_{K} d’indice fini agissant via la formule ∀i ∈ I_{σ}, σ(i) = exp(N_{σ}t_{μ}(i)), où t_{μ} a été introduit au paragraphe 2.2.5. L’opérateur N_{σ} est donc le logarithme de la partie unipotente de la monodromie de σ, mais par abus de langage, nous l’appelerons simplement “opérateur de monodromie de σ”^{9}. Il vérifie nécessairement l’équation habituelle wN_{σ}w^{−1} = |w|N_{σ} de sorte que pour tout relèvement de Frobenius géométrique ϕ, l’application w ↦ σ^{ϕ}(w) := σ(w)exp(−N_{σ}t_{μ}(i_{ϕ}(w))) où w = ϕ^{ν(w)}i_{ϕ}(w) (5.2.2)

définit une représentation lisse de W_{K} sur V. Rappelons aussi que par [19, 8.4.2], la classe d’isomorphisme de σ^{ϕ} ne dépend pas du choix de ϕ.

Ceci s’applique en particulier aux espaces de cohomologie l-adique H^{i}(X_{K^{ca}}, \overline{ℚ}_{l}) d’une variété X propre sur K. À l’opérateur de monodromie N est associée une filtration croissante stable sous W_{K} de l’espace V dite “filtration de monodromie”^{10} ⋯ ⊆ M_{i}V ⊆ M_{i+1}V ⊆ ⋯ de longueur finie et caractérisée par les propriétés que N(M_{i}V) ⊆ M_{i−2}V pour tout i, et N induit des isomorphismes N^{i} : gr_{i}^{M} V ⊗ | − |^{i} \underrightarrow{∼} gr_{−i}^{M} V pour tout i ⩾ 0. Par ailleurs, Deligne a prouvé l’existence d’une autre filtration croissante stable sous W_{K} de V, dite “filtration par les poids”, ⋯ ⊆ W_{i}V ⊆ W_{i+1}V ⊆ ⋯ caractérisée par la propriété que les valeurs propres de tout relèvement de Frobenius géométrique sur gr_{i}^{W} V sont des entiers algébriques dont tous les conjugués complexes sont de norme complexe q^{i/2}.

Conjecture 5.2.3 (Monodromie-Poids) Si X est propre et lisse sur K, alors pour tout i ∈ ℕ, on a

M_{i} (H^{j}(X^{ca}, \overline{ℚ}_{l})) = W_{i+j} (H^{j}(X^{ca}, \overline{ℚ}_{l})) .

Lorsque K est d’égales caractéristiques, l’énoncé est essentiellement contenu et démontré dans les travaux de Deligne sur les conjectures de Weil. Le cas d’inégales caractéristiques est très peu avancé, même dans les cas de réduction semi-stable.

Remarquons que pour tout i ∈ ℤ on a N(W_{i}V) ⊆ W_{i−2}V, de sorte que par la caractérisation de la filtration de monodromie, la conjecture ci-dessus est équivalente à l’assertion : Pour tout i ⩾ 0, N induit un isomorphisme N^{i} : gr_{i+j}^{W} (H^{j}(X^{ca}, \overline{ℚ}_{l})) ⊗ | − |^{i} \underrightarrow{∼} gr_{−i+j}^{W} (H^{j}(X^{ca}, \overline{ℚ}_{l})) . (5.2.4)

5.2.5 Uniformisation p-adique : Soit Γ un sous-groupe discret, cocompact et sans torsion de G. On sait que l’action d’un tel sous-groupe sur le K̂^{nr}-espace analytique M_{Dr,0} est libre, et il en est donc de même de l’action sur les revêtements M_{Dr,n}. Par [6, lemma 4], l’espace annelé quotient M_{Dr,n}/Γ est muni d’une structure de K̂^{nr}-espace analytique. Notons Γ_{Z} := Γ ∩ K^{×}; c’est un sous-groupe discret cocompact de K^{×}. D’après [43, Thm 3.49], la donnée de descente à la Weil de M_{Dr,n} devient effective sur M_{Dr,n}/Γ_{Z}, donc a fortiori sur M_{Dr,n}/Γ.

Fait 5.2.6 (Mustafin, Cherednik, Drinfeld, Rapoport-Zink, Varshavski) Le K-espace analytique obtenu par descente du quotient M_{Dr,n}/Γ est algébrisable. Plus précisément, il existe une variété algébrique S_{Γ,n} propre et lisse sur K dont l’analytification lui est canoniquement isomorphe. En particulier, S_{Γ,n} est munie d’une action de D^{×} et d’après le théorème de comparaison GAGA de Berkovich [4, 7.1], il y a des isomorphismes D^{×} × W_{K}-équivariants

H^{i}(S_{Γ,n} ⊗_{K} K^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) \underrightarrow{∼} H_{c}^{i}(M_{Dr,n}^{ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l})

9Bien-sûr N_{σ} dépend du générateur μ de ℤ_{l}(1), mais N_{σ} ⊗ μ^{∗} : V ⊗_{ℤ_{l}} ℤ_{l}(1) ⟶ V n’en dépend pas.

10qui, elle, est bien indépendante du choix de μ

où le terme de gauche désigne la cohomologie étale l-adique au sens des variétés algébriques.

Ce résultat permet de s’assurer que la cohomologie l-adique de M_{Dr,n}^{ca}/Γ est munie d’une filtration par les poids et d’une filtration de monodromie, mais on aurait aussi pu le voir directement, à partir de l’isomorphisme W_{K}-équivariant de Hochschild-Serre [17, Prop B.3.1]

\overline{ℚ}_{l} ⊗_{\overline{ℚ}_{l}[Γ]}^{L} RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l})

où, dans l’expression de gauche, le complexe est vu à travers le foncteur d’oubli D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}(GD × W_{K}^{disc}) ⟶

D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b}((Γ × D^{×})/Γ_{Z}^{diag} × W_{K}^{disc}).

Dorénavant, nous surlignerons tous les quotients par Γ_{Z} (par exemple ceux de Γ, D^{×}, G, ou M_{Dr,n}), et pour une représentation ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (\overline{D^{×}}), nous noterons (−)[\overline{ρ}] le foncteur exact (−) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}\overline{D^{×}}} ρ à ne pas

confondre avec le foncteur (−)[ρ] = (−) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}D^{×}}^{L} ρ introduit au début de la section 4. Avec ces notations on a une décomposition

RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l}) ≃ ⨁_{ρ∈Irr(\overline{D^{×}}/(1+ϖ^{n}O_{D}))} RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] ⊗ ρ^{∨}

qui induit en cohomologie des décompositions

H^{i}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ ⨁_{ρ∈Irr(\overline{D^{×}}/(1+ϖ^{n}O_{D}))} H^{i}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] ⊗ ρ^{∨},

où l’action de W_{K}, resp. D^{×}, se fait sur les premiers, resp. seconds, facteurs des produits tensoriels. L’isomorphisme de Hochschild-Serre se décompose aussi et donne :

\overline{ℚ}_{l} ⊗_{\overline{ℚ}_{l}[\overline{Γ}]}^{L} (RΓ_{c}[ρ]) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(M_{Dr,n}^{ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] (5.2.7)

pour toute ρ ∈ Irr_{\overline{ℚ}_{l}} (D^{×}/Γ_{Z}(1 + ϖ^{n}O_{D})). Soit alors N_{ρ,Γ,j} l’endomorphisme du \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel H^{j}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] fonctoriellement induit par N_{ρ} via l’isomorphisme précédent, le passage à la cohomologie en degré j et le théorème de comparaison GAGA. Comme tous les isomorphismes utilisés sont W_{K}- équivariants, la définition de N_{ρ} montre que le sous-groupe I_{ρ} ⊂ I_{K} du lemme 4.3.2 agit sur H^{j}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[ρ] par i ↦ exp(N_{ρ,Γ,j}t_{μ}(i)), de sorte que N_{ρ,Γ,j} est l’opérateur de monodromie de la représentation de W_{K} sur H^{j}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[ρ].

Fixons dorénavant un relèvement de Frobenius géométrique ϕ et notons H^{j,ϕ}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] la représentation lisse de W_{K} associée, comme en 5.2.2. En combinant l’isomophisme 5.2.7 avec le scindage α_{ϕ} de 4.3.6, on constate que la suite spectrale de Hochschild-Serre dégénère en des isomorphismes D^{×} × W_{K}- équivariants

H^{j,ϕ}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] \underrightarrow{∼} ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Tor\overline{Γ} ; j−d+1−i(\overline{ℚ}_{l}, π_{ρ}^{⩽i}) ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i}

≃ ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Extd−1−j+i ; \overline{Γ} (π_{ρ}^{⩽i}, \overline{ℚ}_{l})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i}

≃ ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Extd−1−j+i ; \overline{G} (π_{ρ}^{⩽i}, C^{∞}(G/Γ, \overline{ℚ}_{l}))^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i}

La représentation C^{∞}(G/Γ, \overline{ℚ}_{l}) de G est admissible et semi-simple, avec constituents “unitarisables” au sens où il existe un isomorphisme de corps \overline{ℚ}_{l} \underrightarrow{∼} ℂ tel que la représentation obtenue par changement de base admette un produit hermitien G-invariant. En particulier, les seules représentations elliptiques qui peuvent y apparaitre sont les séries discrètes et les représentations de Speh locales. Soit m_{ρ,Γ}^{∅}, resp. m′_{ρ,Γ}, la multiplicité de la série discrète π_{ρ}^{∅}, resp. de la représentation de Speh π_{ρ}^{S_{ρ}} dans cette représentation C^{∞}(G/Γ, \overline{ℚ}_{l}). Compte tenu du calcul de Ext entre représentations elliptiques, on trouve la description suivante : Pour j = d − 1, on a

H^{d−1,ϕ}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] ≃_{D^{×}×W_{K}} \{ \begin{matrix}( ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} σ′(ρ^{∨})|.|^{−i})^{m_{ρ,Γ}^{∅}} & si d_{ρ} est pair \\ ( ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} σ′(ρ^{∨})|.|^{−i})^{m_{ρ,Γ}^{∅}} ⊕ (σ′(ρ^{∨})|.|^{−k})^{m′_{ρ,Γ}} & si d_{ρ} = 1 + 2k \end{matrix}

et pour j ≠ d − 1, on a

H^{j,ϕ}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] ≃_{D^{×}×W_{K}} \{ \begin{matrix}0 & si j + d_{ρ} − d est impair \\ (σ′(ρ^{∨})|.|^{−k})^{m′_{ρ,Γ}} & si j + d_{ρ} − d = 2k ⩾ 0 \end{matrix}

Observons en particulier que l’action de W_{K} sur H^{j,ϕ}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] est semi-simple. On en déduit la remarque suivante :

Remarque 5.2.8 L’action d’un relèvement de Frobenius ϕ sur les espaces de cohomologie H^{i}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l}) est semi-simple.

Revenons à notre problème initial ; par le théorème de “multiplicités limites” de [44, 1.3], on sait que, quitte à remplacer Γ par un sous-groupe d’indice fini, on peut supposer m_{ρ,Γ}^{∅} > 0. On peut maintenant énoncer

Proposition 5.2.9 Avec les notations ci-dessus, supposons Γ “assez petit” pour que m_{ρ,Γ}^{∅} ≠ 0. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) L’endomorphisme nilpotent N_{ρ} de RΓ_{c}[ρ] défini dans le lemme 4.3.2 est d’ordre d_{ρ} (i.e. vérifie N_{ρ}^{d_{ρ}−1} ≠ 0).

ii) L’opérateur de monodromie N_{ρ,Γ,d−1} de H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] est d’ordre d_{ρ}.

iii) La conjecture monodromie-poids est vérifiée pour les H^{j}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}], j ∈ ℕ.

Preuve : Évidemment, ii) ⇒ i), puisque N_{ρ} est d’ordre au plus d_{ρ} et induit N_{ρ,Γ,d−1}. Par ailleurs, rappelons que la représentation σ′(ρ^{∨}) = σ_{d/d_{ρ}}(τ_{ρ}^{0})| − |^{\frac{dρ−d}{2}} est pure de poids d − d_{ρ}. Ainsi la description de la cohomologie ci-dessus montre que gr_{d−d_{ρ}}^{W}(H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}]) ≠ 0, et donc la conjecture monodromie-

poids dans sa version 5.2.4 implique que N_{ρ,Γ,d−1}^{d_{ρ}−1} ≠ 0. On a donc iii) ⇒ ii).

Il nous reste à prouver que i) ⇒ iii). En fait le seul espace de cohomologie qui peut poser problème pour la conjecture monodromie-poids est celui de degré médian j = d − 1, les autres étant purs. Il nous faut alors expliciter l’action de N_{ρ,Γ,d−1} sur H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}]. Mais si on suppose la propriété i), alors dans l’isomorphisme

H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] ≃ ⨁_{i=0}^{d_{ρ}−1} Exti ; \overline{G} (π_{ρ}^{⩽i}, (π_{ρ}^{∅})^{m_{ρ,Γ}^{∅}} ⊕ (π_{ρ}^{S_{ρ}})^{m′_{ρ,Γ}})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i},

induit par le scindage α_{ϕ}, l’opérateur N_{ρ} agit par ∪-produit et la description 2.1.17 ii) de ce ∪-produit montre que N_{ρ} induit des isomorphismes

Exti ; \overline{G} (π_{ρ}^{⩽i}, (π_{ρ}^{∅})^{m_{ρ,Γ}^{∅}})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i} \underrightarrow{∼} Exti−1 ; \overline{G} (π_{ρ}^{<i}, (π_{ρ}^{∅})^{m_{ρ,Γ}^{∅}})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i+1}

pour tout i ∈ {1, ⋯, d_{ρ} − 1}. Or, toujours par la description de la cohomologie donnée plus haut, on a pour i ≠ \frac{d_{ρ}−1}{2}

Exti ; \overline{G} (π_{ρ}^{⩽i}, (π_{ρ}^{∅})^{m_{ρ,Γ}^{∅}})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i} \underrightarrow{∼} gr_{(d−1)+(1−d_{ρ}+2i)}^{W}(H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}])

et pour i = \frac{d_{ρ}−1}{2} (lorsque d_{ρ} est impair !) on a

Exti ; \overline{G} (π_{ρ}^{⩽i}, (π_{ρ}^{∅})^{m_{ρ,Γ}^{∅}} ⊕ (π_{ρ}^{S_{ρ}})^{m′_{ρ,Γ}})^{∗} ⊗ σ′(ρ^{∨})| − |^{−i} \underrightarrow{∼} gr_{d−1}^{W}(H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}]).

Dans tous les cas, la description de l’action de N_{ρ} par ∪-produit montre que pour tout k ∈ ℤ, N^{k} induit un isomorphisme

N^{k} : gr_{d−1+k}^{W} (H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}]) \underrightarrow{∼} gr_{d−1−k}^{W} (H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}])

et par 5.2.4, la conjecture monodromie-poids pour la partie ρ-covariante H^{d−1}(S_{Γ,n}^{ca}, \overline{ℚ}_{l})[\overline{ρ}] en découle. □

On en déduit le deuxième résultat principal de l’introduction, le théorème B.

A Catégories abéliennes admissibles et topos fibrés

Soit I une petite catégorie et X ⟶ I un topos fibré sur I. Nous suivrons autant que possible les notations de [37, ch. VI]. En particulier, le topos total de X sera noté Top(X), le symbole X^{dis} désignera le topos ⨆_{i∈I} X_{i}, et la lettre e : X^{dis} ⟶ Top(X) le morphisme de topos évident, décrit en [37, 6.1.1]. On dispose donc d’une suite de trois foncteurs adjoints (e_{!}, e^{∗}, e_{∗}) reliant les catégories X^{dis} et Top(X).

Soit A un (pro)-anneau de Top(X) et A^{dis} := e^{∗}(A). Les foncteurs e^{∗} et e_{∗} respectent les catégories de modules respectives et y restent adjoints, et e^{∗} admet encore un adjoint à gauche pour les modules, que nous noterons e_{!}^{A} pour le distinguer de e_{!}. Nous supposerons par la suite que e_{!}^{A} est exact. Il revient au même de demander que “les” morphismes de topos annelés (X_{s(α)}, A_{s(α)}) ⟶ (X_{b(α)}, A_{b(α)}) associés aux flèches α dans I (de source s(α) et but b(α)) soient plats, ce qui est par exemple vérifié si A est constant.

On notera simplement D^{top} := D_{A}^{+}(Top(X)) et D^{dis} := D_{A^{dis}}^{+}(X^{dis}). On a donc une paire de foncteurs adjoints (e^{∗}, Re_{∗}) reliant D^{top} et D^{dis}. On définit une catégorie D^{naif} dont

– les objets sont les paires (K, κ) où K ∈ D^{dis} et κ : K ⟶ e^{∗}Re_{∗}K est un morphisme tel que

i) la composée K ⟶^{κ} e^{∗}Re_{∗}K ⟶^{Adj} K est l’identité, et

ii) les deux composées \xymatrix{K \ar[r]^{κ} & e^{∗}Re_{∗}K \ar[r]^{e^{∗}Re∗κ} \ar[r]_{e^{∗}(Adj)Re∗} & e^{∗}Re_{∗}e^{∗}Re_{∗}K} sont égales.

– les flèches (K, κ) ⟶ (K′, κ′) sont les morphismes K ⟶^{α} K′ tels que κ′ ∘ α = e^{∗}Re_{∗}(α) ∘ κ. On a donc une suite exacte :

(A.0.1) 0 ⟶ Hom_{D^{naif}} ((K, κ), (K′, κ′)) ⟶ Hom_{D^{dis}} (K, K′) ⟶^{δ} Hom_{D^{dis}} (K, e^{∗}Re_{∗}K′)

où δ désigne la différence κ′ ∘ α − e^{∗}Re_{∗}(α) ∘ κ. La catégorie D^{naif} est ℤ-graduée. On a un foncteur e_{naif}^{∗} : D^{naif} ⟶ D^{dis} d’oubli du morphisme κ et on dira qu’un triangle de D^{naif} est distingué si son image par e_{naif}^{∗} l’est. La catégorie D^{naif} n’est pas triangulée. Elle s’identifie à une sous-catégorie pleine des sections de la catégorie bi-fibrée sur I dont les fibres sont les D_{A_{i}}^{+}(X_{i}).

On a aussi un foncteur ω : D^{top} ⟶ D^{naif} qui envoie un objet K sur la paire (e^{∗}K, e^{∗}K ⟶^{e^{∗}(Adj)} e^{∗}Re_{∗}e^{∗}K), et qui permet de factoriser e^{∗} = e_{naif}^{∗} ∘ ω.

Soit C^{dis} une sous-catégorie abélienne admissible de D^{dis}. Rappelons [1, 1.2.5] que cela signifie que (i) Hom_{D^{dis}} (K, K′[n]) = 0 pour tout n < 0 et tous K, K′ ∈ C^{dis}, et (ii) les suites exactes courtes de C^{dis} se déduisent des triangles distingués par oubli de la flèche de bord. Nous noterons C^{naif}, resp. C^{top}, la sous-catégorie pleine de D^{naif}, resp. de D^{top} formée des objets X tels que e_{naif}^{∗}(X), resp. e^{∗}(X), soit isomorphe à un objet de C^{dis}. Le foncteur ω se restreint donc en un foncteur C^{top} ⟶ C^{naif}.

Lemme A.0.2 Supposons C^{dis} stable par e^{∗}Re_{∗}. Alors C^{naif} est une catégorie abélienne.

Preuve : On définit les noyaux et conoyaux de la manière la plus naïve qui soit, sachant que sous l’hypothèse, e^{∗}Re_{∗} induit un endo-foncteur exact de C^{dis}. Nous laissons la vérification des axiomes Ab_{i} au lecteur. □

Remarquons que l’hypothèse “stable par e^{∗}Re_{∗}” revient à demander que pour toute flèche α de I, “le” foncteur D_{A_{s(α)}}^{+}(X_{s(α)}) ⟶^{Rα_{∗}} D_{A_{b(α)}}^{+}(X_{b(α)}) envoie C_{s(α)}^{dis} and C_{b(α)}^{dis}. Cette hypothèse n’est donc généralement pas vérifiée par l’exemple le plus simple de catégorie C^{dis}, à savoir Mod_{A^{dis}}(X^{dis}). Pourtant dans ce cas encore la catégorie C^{naif} est bien-sûr abélienne, et plus généralement, la conclusion du lemme reste vraie si on suppose que C^{dis} stable par e^{∗}e_{!}^{A}.

Proposition A.0.3 Soit C^{dis} une sous-catégorie abélienne admissible et stable par e^{∗}Re_{∗} de D^{dis}, alors le foncteur ω : C^{top} ⟶ C^{naif} est une équivalence de catégories. En particulier, C^{top} est une souscatégorie abélienne admissible de D^{top}.

Preuve de la pleine fidélité : fixons pour cela deux objets K, L dans C^{top}; ce sont donc des complexes de A-modules dans Top(X). Choisissons un complexe I_{L}^{•} à composantes injectives et quasi-isomorphe à Y. On a donc Hom_{C^{top}} (K, L) = H^{0}(s(Hom_{C_{A}(X)} (X, I_{L}^{•}))) où C_{A}(X) est la catégorie des complexes de A-modules dans Top(X) et s désigne le complexe simple associé à un complexe double. Soit

I_{L}^{•} ⟶ e_{∗}e^{∗}(I_{L}^{•}) ⟶ (e_{∗}e^{∗})^{2}(I_{L}^{•}) ⟶ ⋯

la résolution standard de I_{L}^{•} dans C_{A}(X) associée à la paire adjointe (e^{∗}, e_{∗}). Nous avons supposé que e_{!}^{A} est exact, ce qui implique que e^{∗} envoie injectifs sur injectifs, tout comme e_{∗}. On en déduit une suite spectrale :

E_{1}^{p,q} = H^{q}(s(Hom_{C_{A}(X)} (K, (e_{∗}e^{∗})^{p+1}I_{L}^{•}))) ⇒ H^{p+q}(s(Hom_{C_{A}(X)} (K, I_{L}^{•}))),

autrement dit, une suite spectrale

E_{1}^{p,q} = Ext_{D^{top}}^{q} (K, (e_{∗}Re^{∗})^{p+1}L) ⇒ Ext_{D^{top}}^{p+q} (K, L) .

Par définition de cette suite spectrale, on a E_{1}^{pq} = 0 si p < 0. Par l’hypothèse C^{dis} admissible et stable par e^{∗}Re_{∗}, on a pour tout q < 0 et tout p ⩾ 0

E_{1}^{pq} = Ext_{D^{dis}}^{q} (e^{∗}K, e^{∗}(e_{∗}Re^{∗})^{p}L) = 0.

On en déduit sur la ligne p = 0 de la suite spectrale une suite exacte :

0 ↦ Hom_{C^{top}} (K, L) ⟶ Hom_{D^{dis}} (e^{∗}K, e^{∗}L) ⟶^{δ} Hom_{D^{dis}} (e^{∗}K, e^{∗}Re_{∗}e^{∗}L) .

Revenant à la définition de ω, on constate que δ s’identifie (au signe près) à la flèche notée aussi δ dans la suite exacte A.0.1 appliquée à ωK et ωL. Il s’en suit que l’application Hom_{C^{top}} (K, L) ⟶ Hom_{C^{naif}} (ωK, ωL) est bijective.

A.0.4 Essentielle surjectivité : On se donne un objet (K, κ) de C^{naif} et on choisit un complexe I_{K}^{•} de A^{dis}-modules quasi-isomorphe à K et à composantes injectives, ainsi qu’un relèvement I_{K}^{•} ⟶ e^{∗}e_{∗}I_{K}^{•} de κ en un morphisme de complexes, encore noté κ.

On définit un système de morphismes de la forme suivante :

\xymatrix{e_{∗}I_{K}^{•} \ar[r]^{e_{∗}(κ)} \ar[r]_{Adj_{e∗I_{K}}} & e_{∗}(e^{∗}e_{∗})I_{K}^{•} \ar[r] \ar[r]^{e_{∗}e^{∗}e_{∗}(κ)} \ar[r] & e_{∗}(e^{∗}e_{∗})^{2}I_{K}^{•} ⋯} (A.0.5)

où chaque flèche supérieure se déduit de κ et les autres flèches sont de la forme

(e_{∗}e^{∗})^{i−1}Adj_{(e_{∗}e^{∗})^{p−i}e_{∗}I_{K}} : (e_{∗}e^{∗})^{i−1}(e_{∗}e^{∗})^{p−i}e_{∗}I_{K}^{•} ⟶ (e_{∗}e^{∗})^{i−1}(e_{∗}e^{∗})(e_{∗}e^{∗})^{p−i}e_{∗}I_{K}^{•}

pour tout 0 < i ⩽ p entiers. Les axiomes imposés à κ nous disent que, dans la catégorie homotopique K^{top} des complexes de A^{top}-modules, ce système se prolonge en un objet cosimplicial, i.e. un foncteur de la catégorie des ensembles finis ordonnés non-vides vers K^{top}. Si on pouvait remonter cet objet cosimplicial à la catégorie (ordinaire) des complexes de A^{top}-modules, on montrerait facilement que le complexe de cochaines associé est un relèvement cherché de (K, κ) dans D^{top}. Mais ceci n’est généralement pas faisable, et il nous faut utiliser un substitut remarquable introduit par les auteurs de [1, 3.2].

A.0.6 Complexes homotopiquement simpliciaux de [1, 3.2]^{11} : Notons \overline{Δ} la catégorie dont les objets sont les entiers ⩾ −1 et les morphismes sont donnés par Hom\overline{Δ} (p, p′) := \{applications injectives croissantes α : [0, p] ⟶ [0, p′]\}, avec la convention que [0, −1] = ∅ et que Hom\overline{Δ} (−1, p) est un singleton dont nous noterons ε_{p} l’unique élément. La source et le but d’une flèche dans Fl(\overline{Δ}) seront notés s(α) et b(α) et la différence b(α) − s(α) sera notée |α|. On note aussi Δ la sous-catégorie pleine des entiers ⩾ 0.

Soit A une catégorie abélienne. Nous appellerons complexe homotopiquement simplicial de A la donnée d’une suite (J^{p,•})_{p∈ℕ} d’objets ℤ-gradués de A munie d’une famille (d(α))_{α∈Fl(Δ)} de morphismes J^{s(α),•} ⟶ J^{b(α),•}[1 − |α|] satisfaisant la propriété

∀α ∈ Fl(Δ), ∑_{α=βγ} d(β)d(γ) = 0.

Rappelons que cette propriété implique que les d(Id_{p}) sont des différentielles, et que la famille des d(α) pour |α| = 1 est une famille de morphismes de complexes qui, dans la catégorie homotopique, se prolonge en un complexe cosimplicial strict. Réciproquement, les auteurs de [1] montrent comment sous certaines conditions un complexe cosimplicial strict de la catégorie homotopique K(A) peut se relever en un complexe homotopiquement simplicial. Ces conditions sont vérifiées par notre système A.0.5 mais nous aurons besoin d’un relèvement assez explicite, cf A.0.8 ci-dessous.

À tout complexe homotopiquement simplicial (J^{∗•}, (d(α))_{α}) uniformément borné inférieurement en • (i.e J^{∗q} = 0 pour q << 0), les auteurs de [1] associent le complexe simple (s(J)^{•}, d^{•}) défini par

s(J)^{n} := ⨁_{p+q=n} J^{pq}, et d^{n} := ⨁_{p+q=n} ∑_{s(α)=p} d(α)_{|J^{p,q}},

ces sommes étant finies.

Nous aurons besoin de versions “augmentées” de ces objet. Nous appellerons donc complexe homotopiquement simplicial augmenté de A la donnée d’une suite (J^{p,•})_{p⩾−1} munie d’une famille (d(α))_{α∈Fl(\overline{Δ})} de morphismes satisfaisant les mêmes propriétés formelles que ci-dessus, avec \overline{Δ} à la place de Δ. On lui associe aussi un complexe de cochaines s(J)^{•} par la même formule que ci-dessus. En notant J_{|Δ} le complexe homotopiquement simplicial sous-jacent, on peut définir une augmentation

γ := ∑_{p⩾0} d(ε_{p}) : J^{−1,•} ⟶ s(J_{|Δ})^{•},

à condition de prendre sur J^{−1,•} l’opposé de la différentielle d(Id_{−1}). On a alors un triangle de complexes dans A

J^{−1,•} ⟶^{γ} s(J_{|Δ})^{•} ↪ s(J)^{•} ↠ J^{−1,•}[1]

dont l’image dans la catégorie homotopique est un triangle distingué.

A.0.7 Le lemme crucial : Avant de continuer, fixons quelques notations d’algèbre simpliciale : i) On note ∂ : \overline{Δ} ⟶ Δ le foncteur décalage défini sur les objets par ∂(p) := p + 1 et sur les flèches par

∂(α)(i) := \{ \begin{matrix}0 & si i = 0 \\ α(i − 1) + 1 & si 0 < i ⩽ s(α) + 1 \end{matrix}

ii) On note σ_{p} ∈ Hom\overline{Δ} (p − 1, p) l’application définie par i ↦ i + 1 lorsque p > 0 et par σ_{0} := ε_{0} pour p = 0. Ainsi l’”opérateur de face” [0, p − 1] ⟶ [0, p] qui saute l’entier i ∈ [0, p] est donné par la formule ∂^{i}σ_{p−i}.

Lemme A.0.8 Il existe une famille d(α)_{α∈Fl\overline{Δ}} de morphismes de A^{dis}-modules gradués

d(α) : (e^{∗}e_{∗})^{s(α)+1}I_{K}^{•} ⟶ (e^{∗}e_{∗})^{b(α)+1}I_{K}^{•}[1 − |α|]

vérifiant les propriétés suivantes :

i) ∀α ∈ Fl(\overline{Δ}), d(∂α) = −(e^{∗}e_{∗})(d(α)). ii) d(Id_{−1}) est la différentielle du complexe I_{K}^{•}. iii) d(σ_{0}) = κ et pour tout p > 0, d(σ_{p}) = e^{∗}Adj_{(e_{∗}e^{∗})^{p−1}e_{∗}I_{K}^{•}} où Adj_{X} : X ⟶ e_{∗}e^{∗}X est le morphisme

11Cette terminologie n’est pas dans loc. cit. mais l’auteur ignore s’il en existe une standard.

d’adjonction. iv) Si |α| ⩾ 2, alors d(α) ≠ 0 ⇒ α = ∂^{s(α)+1}(ε_{|α|−1}).

v) ∀α ∈ Fl(\overline{Δ}), S(α) := ∑_{α=βγ} d(β)d(γ) = 0.

Preuve : Les propriétés i), ii) et iii) imposent tous les d(α) pour |α| ⩽ 1. La propriété contraignante est bien-sûr v). Lorsque |α| = 0, v) demande simplement que d(α)^{2} = 0, ce qui est bien le cas. Lorsque |α| = 1, v) demande que d(α) soit un morphisme de complexes (au signe près), ce qui est encore le cas.

Nous prouvons maintenant l’existence des d(α) pour |α| ⩾ 2 vérifiant les propriétés i), iv) et v) par récurrence sur |α|. Supposons donc construites les d(β) pour |β| < |α|. Deux cas se présentent.

Si α ≠ ∂^{s(α)+1}(ε_{|α|−1}), alors la proprété iv) impose d(α) = 0 et pour satisfaire v) il nous faut donc vérifier que la somme S′(α) := ∑_{βγ=α;β,γ≠α} d(β)d(γ) est nulle. Par la propriété i) de l’hypothèse de récurrence, et le fait que le foncteur ∂ induit une bijection

(∂, ∂) : \{(β, γ) βγ = α\} \underrightarrow{∼} \{(β, γ) βγ = ∂α\},

on peut supposer que α ∉ im (∂). Par la propriété iv) de l’hypothèse de récurrence, la somme S′(α) n’a alors que deux termes non-nuls :

S′(α) = d(σ_{b(α)})d(∂^{s(α)+1}ε_{|α|−2}) + d(∂^{s(α)+2}ε_{|α|−2})d(σ_{s(α)+1})

et sa nullité résulte de la fonctorialité de Adj_{X} en X.

Si α = ∂^{s(α)+1}(ε_{|α|−1}), alors comme ci-dessus, par la propriété i) de l’hypothèse de récurrence, il suffit de trouver d(ε_{|α|−1}) tel que S(ε_{|α|−1}) = 0. Or, comme dans [1, p. 90], l’hypothèse de récurrence implique S′(ε_{|α|−1})d(Id_{−1}) = d(Id_{|α|−1})S′(ε_{|α|−1}), autrement dit, S′(ε_{|α|−1}) est un morphisme de complexes I_{K}^{•} ⟶ (e^{∗}e_{∗})^{|α|}(I_{K}^{•})[2 − |α|]. Deux cas se présentent à nouveau :

– si |α| = 2, on invoque la propriété ii) de κ qui assure que S′(ε_{1}) est nulle dans la catégorie homotopique.

– si |α| > 2, alors on invoque la propriété “C^{dis} admissible et stable par e^{∗}Re_{∗}” qui implique Hom_{D^{dis}} (I_{K}^{•}, (e^{∗}e_{∗})^{|α|}I_{K}^{•}[2 − |α|]) = 0 et donc que S′(ε_{|α|−1}) est aussi nulle dans la catégorie homotopique.

Dans chacun des cas, il ne reste plus qu’à choisir pour d(ε_{|α|−1}) une homotopie entre S′(ε_{|α|−1}) et 0. □

Lemme A.0.9 Avec les notations du lemme précédent, définissons une famille c(α)_{α∈FlΔ} de morphismes de A^{top}-modules gradués

c(α) : e_{∗}(e^{∗}e_{∗})^{s(α)}I_{K}^{•} ⟶ e_{∗}(e^{∗}e_{∗})^{b(α)}I_{K}^{•}[1 − |α|]

par les règles suivantes :

i) Si α ∈ im (∂), alors c(α) := −e_{∗}(d(∂^{−1}α)).

ii) Si α ∉ im (∂), alors – c(α) := Adj_{(e_{∗}e^{∗})^{s(α)}e_{∗}(I_{K}^{•})} si |α| = 1

– c(α) = 0 sinon. Alors, pour tout α ∈ Fl(Δ), on a ∑_{βγ=α} c(β)c(γ) = 0.

Preuve : On remarque que pour toute flèche α de Δ, on a e^{∗}c(α) = d(α). Or, e^{∗} est fidèle sur les A^{top}-modules. □

Le système des J_{top}^{p,•} := e_{∗}(e^{∗}e_{∗})^{p}I_{K}^{•}, p ⩾ 0 muni de la famille des c(α)_{α∈FlΔ} du lemme ci-dessus est un complexe homotopiquement simplicial de A^{top}-modules, tandis que le système des J_{dis}^{p,•} := (e^{∗}e_{∗})^{p}I_{K}^{•}, p ⩾ −1 muni des (d(α))_{α∈Fl\overline{Δ}} du lemme A.0.8 est un complexe homotopiquement simplicial augmenté de A^{dis}-modules. On a par construction J_{dis}_{|Δ} = e^{∗}(J_{top}) ; on a donc un morphisme de complexes de A^{dis}-modules I_{K}^{•} ⟶^{γ} e^{∗}s(J_{top})^{•}. Le lemme suivant montre que le complexe s(J_{top})^{•} de D^{top} relève l’objet (K, κ) de D^{naif} et résoud donc la question de l’essentielle surjectivité.

Lemme A.0.10 i) γ : I_{K}^{•} ⟶ e^{∗}s(J_{top})^{•} est un quasi-isomorphisme.

ii) le diagramme suivant est commutatif dans la catégorie dérivée D^{dis}

\xymatrix{I_{K}^{•} \ar[r]^{γ} \ar[d]_{κ} & e^{∗}s(J_{top})^{•} \ar[d]^{e^{∗}Adj_{s(J_{top})^{•}}} \\ e^{∗}e_{∗}I_{K}^{•} \ar[r]_{e^{∗}e_{∗}(γ)} & e^{∗}e_{∗}e^{∗}s(J_{top})^{•}}

Preuve : Nous prouverons d’abord ii). Pour cela, nous commençons par quelques généralités sur les complexes homotopiquement simpliciaux augmentés (d’une catégorie abélienne A quelconque). Un morphisme f entre deux tels objets (J_{i}^{∗•}, d_{i}(α)_{α}) pour i = 1, 2 consiste en une famille f = (f(α))_{α∈\overline{Fl}(Δ)} de

morphismes f(α) : J_{1}^{s(α),•} ⟶ J_{2}^{b(α),•}[−|α|] d’objets gradués de A vérifiant la propriété :

∀α ∈ Fl(\overline{Δ}), ∑_{α=βγ} f(β)d_{1}(γ) = ∑_{α=βγ} d_{2}(β)f(γ).

On vérifie sans peine qu’un tel système induit un morphisme de complexes s(J_{1})^{•} ⟶^{s(f)} s(J_{2})^{•} et que dans le morphisme de triangles :

(A.0.11) \xymatrix{J_{1}^{−1,•} \ar[r]^{γ_{1}} \ar[d]_{f(Id_{−1})} & s(J_{1}_{|Δ})^{•} \ar[r] \ar[d]_{s(f_{|Δ})} & s(J_{1})^{•} \ar[r] \ar[d]_{s(f)} & J_{1}^{−1,•}[1] \ar[d]^{f(Id_{−1})[1]} \\ J_{2}^{−1,•} \ar[r]^{γ_{1}} & s(J_{2}_{|Δ})^{•} \ar[r] & s(J_{2})^{•} \ar[r] & J_{2}^{−1,•}[1]} ,

les deux carrés de droite sont commutatifs, et donc le premier est commutatif dans la catégorie homotopique (mais généralement pas dans la catégorie des complexes).

Ceci étant, on définit le décalé d’un complexe homotopiquement simplicial augmenté (J^{∗•}, d(α)_{α}) par les formules :

(∂J)^{p,•} := J^{p+1,•}, et ∀α ∈ Fl(\overline{Δ}), ∂d(α) := −d(∂α).

On définit aussi un morphisme (J, d) ⟶^{f^{∂}} (∂J, ∂d) par

∀α ∈ Fl(\overline{Δ}), f^{∂}(α) := d(σ_{b(α)+1} ∘ α).

(Pour vérifier que ce système est bien un morphisme, on utilise l’identité

∑_{α=βγ} d(σ_{b(β)+1}β)d(γ) + ∑_{α=βγ} d(∂β)d(σ_{b(γ)+1}γ) = ∑_{σ_{b(α)+1}α=β′γ′} d(β′)d(γ′)

qui repose sur le fait qu’une flèche δ se factorise sous σ_{b(δ)} si et seulement si elle n’est pas dans l’image de ∂.)

Appliquons ceci à J_{dis}^{∗•}. Par l’axiome i) du lemme A.0.8 on a ∂J_{dis} = e^{∗}e_{∗}(J_{dis}). Par l’axiome iv), les flèches f^{∂}(α) sont nulles dès que |α| > 0, et par l’axiome iii) on a f^{∂}(Id_{p}) = e^{∗}Adj pour p ⩾ 0, tandis que f^{∂}(Id_{−1}) = κ. La commutativité à homotopie près du carré du point ii) de l’énoncé vient donc de celle du premier carré du diagramme A.0.11 appliqué au morphisme f^{∂}, compte tenu de l’égalité J_{dis}_{|Δ} = e^{∗}J_{top}.

Passons à la preuve du point i). En vertu du triangle distingué

I_{K}^{•} ⟶^{γ} e^{∗}s(J_{top})^{•} ⟶ s(J_{dis})^{•} ⟶ I_{K}^{•}[1],

il suffit de montrer l’acyclicité de s(J_{dis})^{•}. Par l’axiome i) imposé à κ, la composée

s(J_{dis})^{•} ⟶^{f^{∂}} s(∂J_{dis})^{•} = e^{∗}e_{∗}s(J_{dis})^{•} ⟶^{Adj} s(J_{dis})^{•}

est un isomorphisme dans la catégorie dérivée D^{dis}. Il nous suffira donc de prouver l’acyclicité de e^{∗}e_{∗}s(J_{dis})^{•}.

À ce point, il faut se rappeler que, dans la catégorie homotopique le système des J_{dis}^{p,•}, p ⩾ −1 muni des opérateurs de face d(∂^{i}σ_{p−i}) se prolonge en un système cosimplicial complet (i.e. avec opérateurs de dégénérescence, lesquels sont donnés par l’axiome i) de κ). Comme l’objet cosimplicial e^{∗}e_{∗}(J_{dis}^{∗,•}) de D^{dis} est le décalé de J_{dis}^{∗,•}, on sait qu’il est homotopiquement trivial, cf par exemple [37, Prop VI.1.4].

Il nous reste plus qu’à invoquer le résultat général :

Fait A.0.12 Soit (J^{∗•}, d(α)_{α}) un complexe homotopiquement simplicial augmenté d’une catégorie abélienne A dont le complexe cosimplicial associé dans D(A) est homotopiquement trivial. Alors s(J)^{•} est acyclique.

Preuve : Tout complexe homotopiquement simplicial augmenté est muni d’une filtration τ_{•⩽n}(J)^{∗•} définie par :

τ_{•⩽n}(J)^{pq} = \{ \begin{matrix}J^{pq} & si q < n \\ ker (d(Id_{p})_{|J^{pn}})si q = n \\ 0 & si q > n \end{matrix}

équipé du système des restrictions des (d(α))_{α}. On en déduit une filtration croissante T_{n}(s(J))^{•} du complexe simple associé. On a aussi une filtration σ_{•⩽n}(J)^{∗•} définie par :

σ_{•⩽n}(J)^{pq} = \{ \begin{matrix}J^{pq} & si q ⩽ n \\ im (d(Id_{p})_{|J^{pn}})si q = n + 1 \\ 0 & si q > n + 1 \end{matrix}

équipé du système des restrictions des (d(α))_{α}, et dont on déduit une filtration croissante S_{n}(s(J))^{•} du complexe simple associé. Il nous suffira de prouver que les gradués gr_{m}^{S} gr_{n}^{T} (s(J)) sont acycliques. Remarquons qu’ils sont nuls pour m ≠ n, n + 1.

Pour m = n, le gradué est, au décalage de n près, le complexe de cochaines augmenté

H^{n}(J^{−1,•}) ⟶^{δ_{0}} H^{n}(J^{0,•}) ⟶ ⋯ ⟶ H^{n}(J^{p,•}) ⟶ ⋯

associé au complexe cosimplicial de A déduit du complexe cosimplicial J^{∗•} de D(A) par application du foncteur H^{n}. Il est donc homotopiquement trivial et a fortiori acyclique.

Pour m = n − 1, le gradué obtenu est le complexe simple associé à un complexe homotopiquement simplicial augmenté (J^{∗,•}, d(α)_{α}) dont les complexes J^{p,•} sont acycliques. Par la filtration décroissante bête en l’indice p, on voit qu’un tel complexe est acyclique. □

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