UNE PREUVE COURTE DU PRINCIPE DE SELBERG POUR UN GROUPE p-ADIQUE

J.-F. DAT

Abstract. In [3], Blanc and Brylinski showed the following property for a p-adic group G, called “abstract Selberg principle” : the orbital integrals on conjugacy classes of non-compact elements of the Hattori rank of a finitely generated projective smooth representation of G vanish. The proof is by explicit computations of “low” level (0 and 1) cyclic and Hochschild cohomologies (see also [8] and [11] for these topics). Here we intend to show that this property is actually a direct consequence of two facts : Clozel’s integration formula ([4] which leads us to assume the defining characteristic to be zero) and the triviality of the action of unramified characters on the K_{0} of G (which is also proven here, using a standard K-theoretic argument due to Grothendieck : [1, XII.(3.1)]).

1. Notations

1.1. Généralités. Soit F un corps p-adique de caractéristique nulle, on note G le groupe des F -points d’un groupe algébrique réductif défini sur F.

– On note H(G) ou H l’algèbre de Hecke des mesures localement constantes à support compact sur G et \overline{H}(G) = H(G)/[H(G), H(G)]. On fixe une mesure de Haar dx sur G, identifiant ainsi H(G) et C_{c}^{∞}(G). La catégorie des G-modules lisses sera notée indifféremment Mod(G) ou Mod(H).

– On fixe (le groupe des F -points d’) un sous-groupe parabolique minimal P_{0} et une décomposition de Levi P_{0} = M_{0}.N_{0} : un sous-groupe parabolique P qui contient P_{0} est appelé standard et contient un unique sous-groupe de Levi contenant M_{0}, lui aussi appelé standard. On notera M < G pour “M est un sous-groupe de Levi standard de G”.

– On note G^{0} le groupe engendré par les éléments compacts (i.e. engendrant un sous-groupe relativement compact) ; on sait que G/G^{0} est un groupe abélien libre de type fini et on note Ψ(G) = Hom_{ℤ}(G/G^{0}, ℂ^{∗}) le tore des “caractères non ramifiés”.

– Soit G_{c} l’ensemble des éléments semi-simples “compacts modulo le centre” c’est à dire dont l’image dans G/Z(G) est un élément compact. C’est aussi l’ensemble des éléments semi-simples dont le parabolique “contracté” au sens de Deligne [6] est G : c’est un ensemble ouvert fermé et invariant par conjugaison.

1.2. Intégrales orbitales. Pour x ∈ G on note ω(x) la classe de conjugaison de x dans G. Pour π ∈ Irr(G) irréductible, on note Θ_{π} le caractère-distribution de π : on peut lui associer une fonction θ_{π} localement L^{1} sur G telle que :

∀f ∈ H(G), < π, f >:= Θ_{π}(f) = ∫_{G} θ_{π}(x)f(x)dx

On notera aussi pour tout ensemble ouvert fermé invariant par conjugaison Ω : < π, f >_{Ω}:= ∫_{Ω} θ_{π}(x)f(x)dx. Remarquons que ceci ne dépend que de la classe f + [H, H] de sorte qu’on obtient un accouplement <, >_{Ω}: R(G) × \overline{H}(G) ⟶ ℂ où R(G) est le groupe de Grothendieck des représentations lisses de longueur finie.

1991 Mathematics Subject Classification. 22E50, 22E35.

Lemme 1.1. Soit f ∈ H(G) et Ω un ensemble ouvert fermé stable par conjugaison ; les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Pour tout élément semi-simple x ∈ G \ Ω et toute mesure invariante dω sur ω(x), on a ∫_{G} fdω = 0.

ii) Pour toute irréductible π ∈ Irr(G), on a < π, f >=< π, f >_{Ω}.

Preuve. Soit f_{Ω} := f × 1_{Ω} ∈ H(G), les deux assertions sont équivalentes à la suivante : (f − f_{Ω}) ∈ [H, H]. Pour i), cela vient de [7, Thm 10], pour ii) voir [9, Appendix]. □

1.3. Rang de Hattori. Soit A un anneau unitaire et P un module projectif de type fini sur A. Choisissons un isomorphisme P ≃ e.A^{n} avec e un idempotent de M_{n}(A), alors la trace de e dans A/[A, A] ne dépend que de P et est appelée rang de Hattori de P et notée Rk P. Ce formalisme s’étend au cas de l’algèbre non-unitaire H en remarquant qu’elle est limite inductive de “bonnes” sous-algèbres unitaires (voir [10]), on a alors l’égalité

(1)  ∀π ∈ Irr(G), < π, Rk P >_{G}= dim(Hom_{G}(P, π)).

Soit M un sous-groupe de Levi standard de G, on note r_{G}^{M} le foncteur de restriction parabolique normalisé le long du sous-groupe parabolique standard P = MN contenant M. La réciprocité de Frobenius et l’exactitude de l’induction parabolique i_{M}^{G} montrent que r_{G}^{M} respecte la propriété d’être projectif. La décomposition de Cartan G = KP (où K est un “bon” sous-groupe ouvert compact maximal) montre que r_{G}^{M} respecte la propriété d’être de type fini. Pour f ∈ H(G) et M un sous-groupe de Levi standard, on note

∀m ∈ M, f^{(P)}(m) := δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m) ∫_{N} ∫_{K} f(kmnk^{−1})dk.dn

où δ_{P} est le module de M par rapport à P. On vérifie que cette formule induit un morphisme bien défini \overline{H}(G) ⟶ \overline{H}(M).

Lemme 1.2. Soit X un G-module projectif de type fini, alors Rk(r_{G}^{M}X) = (Rk X)^{(P)}.

Preuve. Soit π ∈ Irr(M), alors d’après (1) et la réciprocité de Frobenius, on a :

< Rk(r_{G}^{M}X), π >_{M}=< Rk X, i_{M}^{G}π >_{G}

Le terme de droite est aussi < (Rk X)^{(P)}, π >_{M} par la formule de Van Dijk (voir [12, Thm 2]). On conclut par [9, Appendix] comme plus haut. □

2. Énoncé et preuve

Théorème 2.1. (Principe de Selberg “abstrait”) Soit X un G-module projectif de type fini, alors pour tout x ∈ G non-compact et toute mesure invariante dω sur ω(x), on a ∫_{ω(x)} Rk(X)dω = 0.

Preuve. Remarquons d’abord que l’argument de [3, Thm 4.10 (2)] permet de supposer x semi-simple.

Avant d’entreprendre la preuve, nous aurons besoin d’un lemme. Soit K(G) le groupe de Grothendieck des représentations projectives de type fini de G. Le tore Ψ(G) agit sur la catégorie Mod(G) par torsion ψV := V ⊗_{ℂ} ψ, induisant ainsi une action sur K(G). Nous montrerons dans la partie suivante :

Lemme 2.1. L’action de Ψ(G) sur K(G) est triviale.

Remarque : Soit f ∈ \overline{H}(G) et ψ ∈ Ψ(G), on a pour tout x ∈ G et toute mesure invariante dω sur ω(x) :

∫_{ω(x)} ψ.fdω = ψ(x) ∫_{ω(x)} f.dω.

On en déduit que si f ∈ \overline{H}(G)^{Ψ(G)} (invariante sous Ψ(G)) et x ∈ G \ G^{0}, alors ∫_{ω(x)} fdω = 0 pour toute mesure invariante dω sur ω(x).

Remarquons que quand le rang semi-simple s(G) de G est nul, G^{0} est exactement l’ensemble des éléments compacts, de sorte que le théorème est une conséquence de la remarque ci-dessus et du lemme 2.1. Pour le cas s(G) > 0, on utilise la formule de Clozel (voir [4, p. 240] pour la définition précise de χ_{M}) : ∀(π, f) ∈ Irr(G) ×H(G),

< π, f >= ∑_{M<G} < r_{G}^{M}π, χ_{M}f^{(P)} >_{M_{c}}

(les mesures de Haar sur les sous-groupes de Levi standards sont déterminées dans [4] page 245). Dans notre cas, f = Rk X, si bien que par le lemme 1.2, pour tout M < G, on a :

< r_{G}^{M}π, χ_{M}f^{(P)} >_{M_{c}}=< r_{G}^{M}π, χ_{M} Rk(r_{G}^{M}X) >_{M_{c}}

Rappelons que la fonction χ_{M}, étant invariante par M^{0}, est aussi invariante par conjugaison ; la fonction χ_{M}f^{(P)} définit donc un élément χ_{M} Rk(r_{G}^{M}X) dans \overline{H}(M), qui est invariant par Ψ(M) d’après le lemme 2.1. On a donc, par la remarque cidessus et le lemme 1.1,

< r_{G}^{M}π, χ_{M} Rk(r_{G}^{M}X) >_{M_{c}}=< r_{G}^{M}π, χ_{M} Rk(r_{G}^{M}X) >_{M_{c}∩M^{0}} .

Or, par définition, on a χ_{G} = 1_{G_{c}} et pour tout M ≠ G, χ_{M} est nulle sur M^{0} de sorte que les termes de la formule de Clozel associés aux sous-groupes de Levi propres sont en fait nuls dans notre cas. On obtient donc < π, Rk X >=< π, Rk X >_{G_{c}} et, par les lemmes 2.1 et 1.1 : < π, Rk X >=< π, Rk X >_{G_{c}∩G^{0}} ce qui permet de conclure en utilisant à nouveau le lemme 1.1. □

3. Preuve du lemme 2.1

Ce lemme est peut-être bien connu des experts et peut se déduire de la formule explicite de K(G) donnée dans [5] ; nous essayons ici d’en donner une démonstration directe.

3.1. Remarque préliminaire. Soient K un corps, R une K-algèbre commutative et γ un automorphisme de la K-algèbre R. Si A est une K-algèbre unitaire, 1 ⊗ γ définit un K-automorphisme de l’anneau A_{R} := A⊗_{K} R, donc un automorphisme de la catégorie Mod(A_{R}) des A_{R}-modules à gauche (M^{γ} est obtenu en tordant l’action de A_{R} sur M par γ^{−1}) et donc un automorphisme, toujours noté γ du groupe de Grothendieck des A_{R}-modules projectifs de type fini K(A_{R}). Remarquons que le foncteur

\begin{matrix}T : Mod(A) & → & Mod(A_{R}) \\ M & ↦ & M ⊗_{K} R \end{matrix}

induit un morphisme K(T) : K(A) ⟶ K(A_{R}) dont l’image est invariante par γ. En effet, si M ∈ Mod(A), le morphisme

\begin{matrix}M ⊗ R & → & M ⊗ R \\ m ⊗ r & ↦ & m ⊗ γ^{−1}(r) \end{matrix}

est un A_{R}-isomorphisme (M ⊗_{K} R) \underrightarrow{∼} (M ⊗_{K} R)^{γ}.

3.2. Un cas particulier. Supposons que K = ℂ, R = ℂ[X] pour un certain groupe abélien libre de type fini X et que A est une K-algèbre noetherienne de dimension cohomologique finie. Alors d’après [1, XII.(3.1)], le morphisme K(T) ci-dessus est un isomorphisme. On en déduit que tout automorphisme de R agit trivialement sur K(A_{R}), en particulier, l’action du tore Ψ(X) par translation sur ℂ[X] induit une action triviale.

3.3. Au fait. On appliquera ce qui précède à A = H et X = G/G^{0} : en effet, les remarques ci-dessus s’adaptent à l’algèbre non-unitaire H en la voyant comme limite inductive d’algèbres unitaires noetheriennes de dimensions cohomologiques finies (pour la limite inductive et la noetheriannité on utilise [2, 3.9(ii)] et pour la finitude cohomologique, voir [13, Prop 37]). On note Ψ_{un} le caractère “universel” de G à valeurs dans ℂ[G/G^{0}]

\begin{matrix}Ψ_{un} : G & → & ℂ[G/G^{0}] \\ g & ↦ & gG^{0} \end{matrix}

On définit alors par torsion par Ψ_{un} un automorphisme de Mod(H ⊗ ℂ[G/G^{0}]) :

\begin{matrix}U : Mod(H ⊗ ℂ[G/G^{0}]) & → & Mod(H ⊗ ℂ[G/G^{0}]) \\ V & ↦ & V ⊗_{ℂ[G/G^{0}]} Ψ_{un} \end{matrix}

(G agit diagonalement sur le produit tensoriel et l’automorphisme réciproque est la tensorisation par Ψ_{un}^{−1}) qui induit un automorphisme K(U) de K(H ⊗ ℂ[G/G^{0}]). Soit maintenant V ∈ Mod(H) et ψ ∈ Ψ(G), le ℂ-morphisme

\begin{matrix}W_{ψ} : V ⊗ ℂ[G/G^{0}] & → & V ⊗ ℂ[G/G^{0}] \\ v ⊗ λ & ↦ & v ⊗ ψ^{−1}.λ \end{matrix}

est bijectif et vérifie : W_{ψ} ∘(g⊗1) = (g⊗1)∘W_{ψ} et W_{ψ} ∘(1⊗g) = ψ^{−1}(g)(1⊗g)∘W_{ψ}. En d’autres termes, si F = U ∘ T, W_{ψ} est un (H ⊗ ℂ[G/G^{0}])-isomorphisme :

W_{ψ} : F (ψ.V) \underrightarrow{∼} F (V)^{ψ},

donc en particulier K(F) : K(H) ⟶ K(H ⊗ ℂ[G/G^{0}]) est un isomorphisme Ψ(G)- équivariant pour l’action de “torsion par les caractères non ramifiés” à gauche et l’action du premier paragraphe à droite. L’action étant triviale à droite doit l’être également à gauche. Remarque : Cette preuve s’applique à tout groupe localement compact totalement discontinu de dimension cohomologique finie, tel que G/G^{0} soit libre abélien et admettant un système de sous-groupes ouverts compacts comme dans [2, 3.9(ii)].

Références

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[2] J.-N. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan, and M.F. Vignras. Reprsentations des groupes rductifs sur un corps local. Travaux en cours. Hermann, Paris, 1984.

[3] P. Blanc and J.-L. Brylinski. Cyclic homology and the Selberg principle. J. Funct. Anal, 109 :289–330, 1992.

[4] L. Clozel. Orbital integrals on p-adic groups : a proof of the Howe conjecture. Annals of Mathematics, 129 :237–251, 1989.

[5] J.-F. Dat. On the K_{0} of a p-adic group. Preprint, 1999.

[6] P. Deligne. Sur le support du caractre d’une reprsentation supercuspidale. C.R.A.S, A-B 283 :155–157, 1976.

[7] Harish-Chandra. Admissible invariant distributions on reductive p-adic groups. Queen’s papers in pure and applied Math., 48 :281–346, 1978.

[8] N. Higson and V. Nistor. Cyclic homology of totally disconnected groups acting on buildings. J. Funct. Anal, 141 :466–495, 1996.

[9] D. Kazhdan. Cuspidal geometry. J. of Analyse math., 47 :1–36, 1986.

[10] D. Kazhdan. Representations of groups over close local fields. J. of Analyse math., 47 :175– 179, 1986.

[11] P. Schneider. The cyclic homology of p-adic reductive groups. J. reine angew. Math., 475 :39– 54, 1996.

[12] G. van Dijk. Computation of certain induced characters of p-adic groups. Math. Ann., 199 :229–240, 1972.

[13] M.-F. Vignras. On formal dimensions for reductive p-adic groups. Israel math. conf. proc., 2 :225–265, 1990.

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