CARACTÈRES À VALEURS DANS LE CENTRE DE BERNSTEIN

J.-F. DAT

Abstract. Let G be a reductive p-adic group, we are interested in finitely generated projective smooth G-modules. Let P be such a module, consider it as a ℨ-module, where ℨ is the Bernstein center of the category of smooth G-modules. Then we can form P ⊗_{ℨ,χ} ℂ for every complex-valued character of ℨ : it is a finite length smooth representation of G. We describe its image in the Grothendieck group of finite length smooth G-modules. To do this, we define under suitable assumptions a ℨ-valued character on the ℨ-admissible (but not admissible !) representation P. The case of ind_{K}^{G} (1) where K is a special compact open subgroup of G is an interesting example. Some of his properties are discussed and extended to other representations of K using Bushnell and Kutzko’s theory of types, when G = GL(n).

0. Introduction

0.1. Le problème et les résultats. Dans ce travail, F est un corps local non archimédien de corps résiduel 𝔽_{q} et G désigne l’ensemble des F -points d’un groupe réductif connexe 𝔊 défini sur F. On note ℨ le centre de la catégorie des représentations lisses de G. Soit P une représentation lisse projective de G, on s’intéresse aux représentations du type P ⊗_{ℨ,χ}ℂ où χ est un caractère complexe de ℨ.

Supposons que P est dans la sous-catégorie abélienne des représentations de support supercuspidal contenant (M, ρ), où M est un sous-groupe de Levi et ρ est une représentation supercuspidale de M ; les résultats principaux sont les suivants :

i) (Lemme 1.2) Il existe un entier n_{P} et un ensemble dense Ω de caractères complexes de ℨ tel que pour tout χ ∈ Ω, on a l’égalité suivante dans le groupe de Grothendieck des représentations de longueur finie :

[P ⊗_{ℨ,χ} ℂ] = n_{P} [i_{M}^{G} (ρ_{χ})]

où ρ_{χ} désigne la représentation ρ tordue par un caractère non ramifié de M induisant χ sur ℨ.

ii) (Corollaire 1.1) Avec une hypothèse de régularité sur la classe d’inertie de (M, ρ), le résultat précédent est vrai pour tout caractère χ de ℨ. On définit pour cela un caractère-distribution sur P à valeurs dans ℨ.

iii) (Proposition 3.1) Prenons l’exemple du bloc de l’Iwahori et de P = ind_{K}^{G} (1) où K est un compact spécial. Alors n_{P} = 1.

Cet exemple montre que – sous l’hypothèse de régularité – le bloc de l’Iwahori a la propriété suivante : il existe un projectif P_{u} (égal à ind_{K}^{G} (1)) tel que End_{G}(P_{u}) ≃ ℨ_{u} (centre du bloc de l’Iwahori) et tel que la réduction de P_{u} modulo un caractère de son algèbre d’endomorphismes End_{G}(P_{u}) est égale dans le groupe de Grothendieck à l’induite parabolique d’un caractère non ramifié du sous-groupe parabolique minimal. On peut conjecturer que cette propriété se généralise à un bloc quelconque de G.

iv) (Théorème 4.1) Pour G = GL(n), on généralise iii) à un bloc quelconque. La partie 2 est destinée à préparer le terrain à la partie 3 en adaptant les idées de la partie 1 dans le langage des types de Bushnell-Kutzko. Elle contient aussi des résultats (Propositions 2.1 et 2.2) qui se déduisent simplement des concepts puissants de [7] mais qu’il a semblé utile de démontrer ici.

L’auteur tient à remercier sa directrice de thèse Marie-France Vignéras pour l’intérêt qu’elle a apporté à ces travaux et les conseils qu’elle a patiemment répété lors de leur rédaction.

0.2. Notations. On utilisera les notations suivantes :

– Mod(G) pour la catégorie des représentations complexes lisses de G et Irr(G) pour l’ensemble des classes d’isomorphie de représentations lisses irréductibles.

– Mod_{f}(G) pour la catégorie des représentations complexes lisses de longueur finie de G et R(G) pour le groupe de Grothendieck de Mod_{f}(G) qui est isomorphe au groupe abélien libre de base Irr(G). L’image de π ∈ Mod_{f}(G) dans R(G) est notée [π].

– Proj_{f}(G) pour la catégorie des représentations complexes lisses projectives de type fini de G et K(G) pour le groupe de Grothendieck de Proj_{f}(G).

– X(G) pour l’ensemble des caractères non-ramifiés.

– H(G) pour l’algèbre des mesures localement constantes à support compact que l’on identifiera à l’algèbre de convolution C_{c}^{∞}(G) des fonctions lisses à support compact, via le choix d’une mesure de Haar dg.

– H(G, H) pour l’algèbre des fonctions de C_{c}^{∞}(G) bi-invariantes par le sousgroupe ouvert compact H de G. Plus généralement, si (J, τ) est un couple formé d’un sous-groupe ouvert compact et d’une représentation lisse de celui-ci, on notera selon les conventions de [7] H(G, τ) l’algèbre d’entrelacement :

H(G, τ) = {Ψ : G → End_{R}(E^{∗}), Ψ(j_{1}gj_{2}) = τ̌(j_{1})Ψ(g)τ̌(j_{2})}
= End_{G}(ind_{J}^{G}(τ))^{∘}

où E^{∗} est le dual de l’espace E de la représentation τ et τ̌ est la contragrédiente de τ, le ∘ en exposant désignant l’algèbre opposée.

– i_{M,Q}^{G}(ρ) (resp. r_{G,Q}^{M}(π)) pour l’induction parabolique normalisée par rapport à Q (resp. la restriction paraboliqe normalisée par rapport à Q). Ici, Q est un sous-groupe parabolique et M une de ses composantes de Levi.

– Si H est un groupe et σ un automorphisme de H, on notera indifféremment h^{σ} ou σ(h) l’action de σ sur h. Si de plus σ est la conjugaison par un certain w, on pourra encore utiliser la notation whw^{−1}. Si τ est une représentation de H, on notera τ^{σ} la représentation de même espace donnée par τ^{σ}(x) := τ(σ^{−1}(x)).

1. Généralités

On note ℨ le centre de la catégorie Mod(G). De manière abstraite, c’est l’anneau des endomorphismes du foncteur identité de Mod(G) ; il agit donc naturellement sur les G-modules. En particulier, si V est un G-module irréductible, ℨ agit sur V via un caractère ω_{π} : ℨ ⟶ ℂ : on a alors la partition suivante (en notant X^{∗}(ℨ) pour l’ensemble des caractères complexes de ℨ) :

Irr(G) = ∐_{χ∈X^{∗}(ℨ)}{V ∈ Irr(G), ω_{π} = χ}

induisant une décomposition en somme directe de R(G) :

(1)  R(G) = ⨁_{χ∈X^{∗}(ℨ)}R_{χ}(G)

Plus précisément, on définit une sous-catégorie pleine Mod_{χ}(G) de Mod_{f}(G) en prenant pour objets les (V, π) ∈ Mod_{f}(G) vérifiant :

∃n ∈ ℕ, ∀z ∈ ℨ, (π(z) − χ(z))^{n}V = 0

On obtient une décomposition :

Mod_{f}(G) ≃ ⨁_{χ∈X^{∗}(ℨ)}Mod_{χ}(G)

induisant la décomposition (1) en prenant les groupes de Grothendieck.

Considérons maintenant le cas de P ∈ Proj_{f}(G) ; on sait ([3, 3.3]) que P est ℨ-admissible. Par conséquent, son quotient P ⊗_{ℨ,χ} ℂ est un G-module de longueur finie ([3, 3.12]) pour tout caractère χ : ℨ ⟶ ℂ. On obtient donc un morphisme :

(2)  K(G) ⟶ ∏_{χ∈X^{∗}(ℨ)}R_{χ}(G)

que l’on se propose d’étudier.

1.1. Décomposition de Bernstein. Rappelons les résultats suivants de [3] avec les notations de [7, 1] : une paire cuspidale est un couple (M, ρ) avec M un sous-groupe de Levi de G et ρ ∈ Irr(M) une irréductible cuspidale de M. On considère comme d’habitude les deux relations d’équivalence suivantes sur l’ensemble des paires cuspidales de G :

– La G-conjugaison (définition évidente) : on note (M, ρ)^{G} la classe de (M, ρ) et Ψ(G) l’ensemble des classes de conjugaison de paires cuspidales.

– La G-inertie, définie par :

(M, ρ) ∼ (M′, ρ′) si et seulement si ∃g ∈ G et ∃χ ∈ X(M), ρ ≃ χ.ρ′^{g}

On note [M, ρ]_{G} la G-classe d’inertie de (M, ρ) et 𝔖(G) pour l’ensemble des classes d’inertie.

On a une surjection canonique Ψ(G) ⟶^{pr_{G}} 𝔖(G) ; la fibre au-dessus de 𝔰 est notée Ψ_{𝔰}. On peut énoncer les résultats de [3] comme ceci :

Théorème 1.1. (Bernstein)

– Il existe une structure de variété algébrique sur Ψ(G) et un isomorphisme ℨ ≃ O(Ψ(G)).

– Les composantes connexes de Ψ(G) sont les fibres de pr_{G} d’où la décomposition en produit d’anneaux intègres :

ℨ = ∏_{𝔰∈𝔖(G)} ℨ_{𝔰}

avec ℨ_{𝔰} ≃ O(Ψ_{𝔰}).

– A la décomposition précédente correspond une décomposition de Mod(G) en produit de blocs :

Mod(G) = ∏_{𝔰∈𝔖(G)} Mod_{𝔰}(G)

où Mod_{𝔰}(G) est la sous-catégorie abélienne indécomposable de Mod(G) dont les objets sont les représentations dont chacun des sous-quotients irréductibles est aussi sous-quotient d’une induite parabolique d’une paire cuspidale de 𝔰.

Il est intéressant pour la suite de rappeler d’où vient la structure de variété algébrique sur Ψ(G) annoncée par le théorème 1.1. Soit 𝔰 une classe d’inertie et (M, ρ) ∈ 𝔰; notons 𝔰_{M} = [M, ρ]_{M} la classe de M-inertie de (M, ρ). L’application :

\begin{matrix}X(M) & → & Ψ_{𝔰_{M}} \\ χ & ↦ & (M, ρχ)^{M} \end{matrix}

fait de Ψ_{𝔰_{M}} un espace homogène sous le tore algébrique X(M) et même principal homogène sous un tore quotient de X(M), et munit donc Ψ_{𝔰_{M}} d’une structure de variété algébrique affine. Notons maintenant W_{𝔰_{M}} = N_{G}([M, ρ]_{M})/M le normalisateur réduit de 𝔰_{M} dans G : il agit sur Ψ_{𝔰_{M}} et l’application canonique Ψ(M) ⟶ Ψ(G) induit une bijection Ψ_{𝔰} ≃ Ψ_{𝔰_{M}}/W_{𝔰_{M}} ; on en déduit une structure de variété algébrique affine sur Ψ_{𝔰} (non nécessairement lisse, mais irréductible) telle que la bijection ci-dessus soit un isomorphisme. En passant aux algèbres de fonctions, on obtient :

(3)  ℨ_{𝔰} ⟶^{∼} ℨ_{𝔰_{M}}^{W_{𝔰_{M}}}

1.2. Première étude. Irréductibilité générique. L’étude du morphisme (2) se réduit avec des notations évidentes à l’étude pour chaque classe d’inertie 𝔰 de :

(4)  K_{𝔰}(G) ⟶^{ϕ_{𝔰}} ∏_{χ∈X^{∗}(ℨ_{𝔰})}R_{χ}(G)

où on a fait un léger abus de notation pour R_{χ}(G).

Fixons 𝔰 une classe d’inertie et χ ∈ X^{∗}(ℨ_{𝔰}) un caractère de ℨ_{𝔰}.

Fait 1.1. Il existe un “élément canonique” r_{χ} dans R_{χ}(G).

En effet, d’après la description du théorème 1.1, χ correspond à un point de la variété Ψ_{𝔰} (i.e. X^{∗}(ℨ_{𝔰}) ≃ Ψ_{𝔰}), c’est à dire une classe de conjugaison de paires cuspidales dont on choisit un représentant que l’on note (M_{χ}, ρ_{χ}). On choisit un sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M_{χ} et on pose :

r_{χ} = [i_{M_{χ},Q}^{G}(ρ_{χ})]

dont on sait qu’il ne dépend pas du sous-groupe parabolique choisi (ni des autres choix effectués).

On peut donc définir le plongement diagonal :

\begin{matrix}ℤ & → & ∏_{χ∈X^{∗}(ℨ_{𝔰})} R_{χ}(G) \\ 1 & ↦ & (r_{χ})_{χ∈X^{∗}(ℨ_{𝔰})} \end{matrix}

dont on notera l’image ℤdiag.

On peut maintenant traduire la propriété dite d’ ”irréductibilité générique” de la manière suivante :

Lemme 1.1. Il existe un ouvert dense Ω_{𝔰} de Ψ_{𝔰}, tel que pour tout χ dans Ω_{𝔰}, r_{χ} engendre R_{χ}(G).

Considérons alors la projection de (4) sur la partie générique :

K_{𝔰}(G) ⟶^{ϕ_{Ω𝔰}} ∏_{χ∈Ω_{𝔰}} R_{χ}(G)

et notons ℤdiag_{Ω_{𝔰}} l’image du plongement diagonal de ℤ dans le membre de droite :

Lemme 1.2. ϕ_{Ω_{𝔰}}(K(G)) ⊂ ℤdiag_{Ω_{𝔰}}

Preuve. Ω_{𝔰} est déterminé par le lemme 1.1 ; soit P ∈ Proj_{f}(G) et χ ∈ Ω_{𝔰}, il existe n_{χ} ∈ ℕ tel que [P ⊗_{ℨ,χ} ℂ] = n_{χ}.r_{χ}. Il s’agit de montrer que χ ↦ n_{χ} est constante.

D’après [3, 3.9-3.13], il existe un sous-groupe ouvert compact H de G et un idempotent central e_{𝔰} de H(G, H) tels que :

\begin{matrix}Mod_{𝔰}(G) & → & e_{𝔰}H(G, H)e_{𝔰} − Mod \\ V & ↦ & V^{H} \end{matrix}

soit une équivalence de catégories. De plus, d’après [3, 3.14], e_{𝔰}H(G, H)e_{𝔰} ⊗_{ℨ} O(Ω_{𝔰}) est une algèbre d’Azumaya sur O(Ω_{𝔰}) dont on note le rang N^{2}. On a en particulier pour χ ∈ Ω_{𝔰} :

n_{χ}.N = dim_{ℂ}(P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ)^{H}

Posons P_{Ω}^{H} = P^{H} ⊗_{ℨ} O(Ω_{𝔰}) : par équivalence de catégories et par extension des scalaires, c’est un module projectif sur e_{𝔰}H(G, H)e_{𝔰} ⊗_{ℨ} O(Ω_{𝔰}). D’après [4, 5,ex. 14], una algèbre d’Azumaya est projective sur son centre, donc P^{H} est aussi projectif sur O(Ω_{𝔰}) : il admet donc un rang (voir paragraphe 1.3 : Ω_{𝔰} est connexe) qui est égal pour tout χ ∈ Ω_{𝔰} à dim_{ℂ}(P_{Ω}^{H} ⊗_{O(Ω_{𝔰}),χ} ℂ) c’est à dire à dim_{ℂ}(P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ)^{H}. □

Ce lemme amène aux questions naturelles suivantes : peut-on étendre ce résultat à tout Ψ_{𝔰} (i.e. a-t-on ϕ_{𝔰}(K_{𝔰}(G)) ⊂ ℤdiag) ? Est-ce que le générateur (r_{χ})_{χ∈Ψ_{𝔰}} est dans l’image de K_{𝔰}(G) ?

1.3. Intermède sur les traces. Définition 1.1. Soit A un anneau commutatif, P un A-module projectif de type fini et u ∈ End_{A} (P). Alors on définit l’application trace sur End_{A} (P) comme la composée :

Tr : End_{A}(P) ⟶^{ν^{−1}} P ⊗_{A} P^{∗} ⟶^{ϵ} A

où P^{∗} = Hom_{A} (P, A), ϵ(p ⊗ p∗) = p^{∗}(p) et ν est le morphisme canonique P ⊗_{A} P^{∗} ⟶ End_{A}(P) dont on voit qu’il est bijectif en réalisant P comme un facteur direct d’un A-module libre de type fini.

On définit alors dim_{A}(P) := Tr(1_{P}). Si P est libre, dim_{A}(P) est juste le A-rang de P.

On s’intéresse au cas particulier où A est l’anneau de fonctions d’une variété algébrique complexe. Soit P un A-module projectif de type fini et u ∈ End_{A}(P), alors pour tout caractère χ : A ⟶ ℂ, u induit une application ℂ-linéaire u_{χ} du ℂ-espace vectoriel de dimension finie P_{χ} := P ⊗_{A,χ} ℂ. Le diagramme suivant est commutatif ((P^{∗})_{χ} ≃ P_{χ}^{∗}) :

\xymatrix{End_{A}(P) \ar[r] \ar@{->>}[d] & P ⊗_{A} P^{∗} \ar[r] \ar@{->>}[d] & A \ar[d]^{χ} \\ End_{ℂ}(P_{χ}) \ar[r] & P_{χ} ⊗_{ℂ} P_{χ}^{∗} \ar[r] & ℂ}

Cela montre que Tr_{ℂ}(u_{χ}) = χ(Tr_{A}(u)). En particulier, dim_{A}(P) apparaît comme une fonction localement constante. Si A est connexe, c’est le rang projectif (voir [1] par exemple).

Considérons le cas d’un épimorphisme fini Y ⟶^{π} X de variétés complexes affines tel que l’inclusion A ↪ B des anneaux de fonctions fasse de B un Amodule projectif de type fini. Soit χ ∈ X un caractère complexe de A, alors le ℂespace vectoriel de dimension finie B ⊗_{A,χ} ℂ est un B-module qui se décompose en somme directe

B ⊗_{A,χ} ℂ = ⨁_{\overline{χ}∈π^{−1}(χ)}(B ⊗_{A,χ} ℂ)\overline{χ}

où (B ⊗_{A,χ} ℂ)\overline{χ} est la partie \overline{χ}-isotypique (i.e. dont tous les sous-quotients irréductibles sont isomorphes à \overline{χ}) du B-module B ⊗_{A,χ} ℂ. Notons m\overline{χ} sa dimension complexe : on aura besoin plus loin du fait suivant : Fait 1.2. Pour tout b ∈ B et tout χ ∈ X,

χ(Tr_{A}(b)) = ∑_{\overline{χ}∈π^{−1}(χ)} m\overline{χ}\overline{χ}(b)

1.4. Classes d’inertie régulières. Caractères. Soit 𝔰 une classe d’inertie, (M, ρ) une paire cuspidale dans 𝔰 et 𝔰_{M} = [M, ρ]_{M} sa M-classe d’inertie, rappelons que le morphisme canonique de variétés Ψ_{𝔰_{M}} ⟶ Ψ_{𝔰} correspond à un morphisme ℨ_{𝔰} ⟶ ℨ_{𝔰_{M}} induisant l’isomorphisme (3). La définition suivante ne dépend pas du “point base” (M, ρ) : Définition 1.2. On dit que la classe d’inertie 𝔰 est régulière si ℨ_{𝔰_{M}} est un module projectif (de type fini) sur ℨ_{𝔰_{M}}^{W_{𝔰_{M}}}.

Lemme 1.3. Soit 𝔰 une classe d’inertie régulière et P ∈ Proj_{f}(G)_{𝔰}. Alors pour tout sous-groupe ouvert compact H, P^{H} est un ℨ_{𝔰}-module projectif de type fini.

Preuve. Le type fini vient de [3, 3.3]. Pour la projectivité on utilise un progénérateur classique du bloc Mod_{𝔰}(G) : choisissons un “point base” (M, ρ) et notons χ_{un} = O(X(M)) l’algèbre de fonctions du tore X(M) munie de l’action canonique de M (appelée caractère universel dans [3]). Choisissons un sous-groupe parabolique Q contenant M et notons P_{𝔰} = i_{M,Q}^{G}(ρ ⊗ χ_{un}). Alors tout projectif de type fini dans Mod_{𝔰}(G) est facteur direct d’une somme finie de copies de P_{𝔰}. Il suffit donc de montrer que P_{𝔰}^{H} est ℨ_{𝔰}-projectif pour tout H. Par les formules de Mackey, on a :

P_{𝔰}^{H} ≃ ⨁_{g∈P \G/H}(ρ ⊗ χ_{un})^{P ∩H^{g}}

⨁_{g∈P \G/H} ρ^{M∩H^{g}} ⊗ χ_{un}

ce qui montre que P_{𝔰}^{H} est libre sur χ_{un} donc ℨ_{𝔰}-projectif par hypothèse de régularité. (En effet χ_{un} est clairement libre sur ℨ_{𝔰_{M}} puisque celle-ci est l’algèbre des fonctions régulières d’un tore quotient de X(M)). □

Ce lemme montre que pour tout P = (V, π) ∈ Proj_{f}(G)_{𝔰}, où 𝔰 est une classe d’inertie régulière, on peut définir un caractère Θ_{P} ∈ H(G)^{∗} ⊗ℨ_{𝔰} à valeurs dans le centre ℨ du bloc Mod_{𝔰}(G) par la formule :

∀f ∈ H(G, H), Θ_{P} (f) := Tr_{ℨ_{𝔰}}(π(f)_{|V^{H}})

On alors la propriété suivante :

Proposition 1.1. Soit 𝔰 une classe d’inertie régulière et P, Q ∈ Proj_{f}(G)_{𝔰}, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Θ_{P} = Θ_{Q}

ii) [P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] = [Q ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] dans le groupe R(G) pour tout caractère complexe χ : ℨ_{𝔰} ⟶ ℂ.

iii) [P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] = [Q ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] dans le groupe R(G) pour tout caractère complexe dans un ensemble dense de Ψ_{𝔰}.

Preuve. Supposons i) vrai. Alors d’après les propriétés de la trace (voir 1.3), les caractères des représentations de longueur finie P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ et Q ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ sont égaux, ce qui est équivalent à ii) d’après l’indépendance linéaire des caractères. Le fait que ii) implique iii) est évident. Le fait que iii) implique i) vient du même argument que précédemment associé au fait que deux fonctions régulières d’une variété complexe sont égales si et seulement si elles le sont sur un ensemble dense. □

Voici un exemple de Θ_{P} : considérons le même progénérateur P_{𝔰} = i_{M,Q}^{G}(ρ ⊗ χ_{un}) que dans la preuve du lemme 1.3. D’après cette preuve, P_{𝔰}^{H} est libre de type fini sur χ_{un} = O(X(M)) : on peut donc définir un caractère \overline{Θ}_{P_{𝔰}} à valeurs dans χ_{un}. Ce caractère peut se calculer par la formule de Van Dijck et on a pour tout caractère \overline{χ} non ramifié de M :

\overline{χ}(\overline{Θ}_{P_{𝔰}}) = Θ_{i_{M,Q}^{G}(ρ.\overline{χ})}

où le membre de droite désigne le caractère ordinaire de la représentation admissible i_{M,Q}^{G}(ρ.\overline{χ}). D’autre part on a :

Θ_{P_{𝔰}} = Tr_{χ_{un}/ℨ_{𝔰}}(\overline{Θ}_{P_{𝔰}})

En particulier, d’après le fait 1.2 et en remarquant que pour tout χ ∈ Ψ_{𝔰}, Θ_{i_{M,Q}^{G}(ρ.\overline{χ})} est indépendant du choix de \overline{χ} dans la préimage de χ par X(M) ⟶ Ψ_{𝔰_{M}} ⟶ Ψ_{𝔰}, on a :

χ(Θ_{P_{𝔰}}) = N.Θ_{i_{M,Q}^{G}(ρ.\overline{χ})}

où N est le rang projectif de χ_{un} en tant que ℨ_{𝔰}-module.

Corollaire 1.1. Soit 𝔰 une classe d’inertie régulière : ϕ_{𝔰}(K(G)) ⊂ ℤdiag

Preuve. D’après le calcul ci-dessus, ϕ_{𝔰}(P_{𝔰}) = N.(r_{χ})_{χ∈Ψ_{𝔰}}. Soit P ∈ Proj_{f}(G), le lemme 1.2 montre qu’il existe un entier N_{P} tel que [P ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] = N_{P} r_{χ} = \frac{N_{P}}{N} [P_{𝔰} ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] pour χ générique, et la proposition 1.1 montre que c’est vrai pour tout χ. □

Remarque . A propos de régularité : l’exemple de [3, 2.18] montre que pour G = GL(n, H) où H est une algèbre à division sur F, toutes les classes d’inertie sont régulières.

Au contraire [3, 2.19] fournit un exemple de non régularité : c’est la classe d’inertie correspondant au bloc de l’Iwahori pour G = SL(n, F). Le bloc de l’Iwahori est l’objet de l’étude d’une section ultèrieure ; on déduira la classification des groupes déployés pour lesquels ce bloc est régulier de [13].

2. Bloc décrit par un type

2.1. Centres... Soit 𝔰 une classe d’inertie, (M, ρ) ∈ 𝔰 et 𝔰_{M} = [M, ρ]_{M}. On suppose qu’il existe un 𝔰-type (J, τ) au sens de [7] couvrant un 𝔰_{M}-type (J_{M}, τ_{M}). Rappelons que ceci entraine (entre autres) l’existence pour chaque sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M d’un morphisme d’algèbres : H(M, τ_{M}) ⟶^{t_{Q}} H(G, τ) rendant le diagramme de foncteurs suivant commutatif :

(5)  [figure: Mod_{𝔰}(G); ∼; 𝔐_{τ}; H_{G} − Mod; Mod_{𝔰_{M}}(M); ∼; 𝔐_{τ_{M}}; _{i{G \atop M,\overline{Q}}}; H_{M} − Mod; H_{G}⊗_{H_{M} ,t_{Q}}−.]

que l’on explique brièvement :

– On a noté H_{G} = H(G, τ) et H_{M} = H(M, τ_{M}). Cette dernière est commutative : (voir [7, 5.5]).

– Les flèches horizontales sont des équivalences de catégories définies par : 𝔐_{τ} (V) = Hom_{J} (τ, V) et 𝔐_{τ_{M}} (U) = Hom_{J_{M}} (τ_{M}, U).

Remarquons que les équivalences de catégories 𝔐_{τ} et 𝔐_{τ_{M}} induisent des isomorphismes ℨ_{𝔰} ⟶^{m_{τ}} Z(H_{G}) et ℨ_{𝔰_{M}} ⟶^{m_{τ_{M}}} H_{M}. D’autre part, soit n ∈ N_{G}(M), on sait (voir [10, 1.9]) que n normalise 𝔰_{M} si et seulement si ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{n} ≃ ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}). Notons donc V_{un} l’espace sous-jacent à ρ_{un} = ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) : pour chaque w ∈ W_{𝔰_{M}} on peut choisir un représentant n_{w} dans N_{G}(M) et un élément \overline{w} ∈ Aut_{ℂ}(V_{un}) réalisant l’isomorphisme entre ρ_{un}^{n_{w}} et ρ_{un}. Ce choix est unique modulo multiplication par un inversible de H_{M}. On obtient un automorphisme d’algèbre :

w : End_{M} (ρ_{un}) → End_{M} (ρ_{un})
Φ ↦ \overline{w}Φ\overline{w}^{−1}

qui ne dépend ni du choix de n_{w} ni de celui de \overline{w}. Ceci définit une action de W_{𝔰_{M}} sur H_{M} = End_{M} (ρ_{un}) et l’isomorphisme m_{τ_{M}} est W_{𝔰_{M}}-équivariant. Pour un caractère χ de H_{M} (identifié à un élément de Ψ_{𝔰_{M}} via m_{τ_{M}}), on note ρ_{χ} := ρ_{un} ⊗_{H_{M} ,χ} ℂ : on a pour tout w ∈ W_{𝔰_{M}} :

w(ρ_{χ}) ≃ ρ_{χ^{w}}

La proposition qui suit paraitra peut-être évidente à qui est familier de [3] mais on en donne quand-même une démonstration (en traduisant dans le langage des algèbres les idées de [3]). On a d’abord besoin du lemme suivant : Lemme 2.1. Soit Q un sous-groupe parabolique contenant M, alors H_{G} est un module libre de rang |W_{𝔰_{M}}| sur H_{M} via le morphisme t_{Q}.

Preuve. Remarquons d’abord que H_{G} est H_{M}-projectif via t_{Q} : le diagramme (5) est équivalent au diagramme obtenu en changeant la flèche verticale de gauche par i_{M,Q}^{G} et celle de droite par Hom_{H_{M} ,t_{Q}} (H_{G}, .) (voir [7]). Comme l’induction parabolique est un foncteur exact, on en déduit la projectivité. Le rang projectif se déduit de la démonstration de [7, 11.5] (qui n’utilise pas les hypothèses [7, 11.2]) : il est égal à |W_{𝔰_{M}}|.

On sait par ailleurs que H_{M} est une algèbre de polynômes de Laurent ; sur de telles algèbres les projectifs de type fini sont libres (voir [11, V.4.10]). □

Proposition 2.1. Soit Q un sous-groupe parabolique contenant M, alors t_{Q} induit un isomorphisme

t_{Q} : H_{M}^{W_{𝔰_{M}}} ⟶^{∼} Z(H_{G})

Cet isomorphisme est en fait indépendant du choix de Q.

Preuve. Pour tout caractère χ de H_{M}, on pose I_{Q}(χ) = H_{G} ⊗_{H_{M} ,t_{Q},χ} ℂ. On aura besoin des faits suivants :

i) Le morphisme H_{G} ⟶ ∏_{χ∈Ω} I_{Q}(χ) est injectif si Ω est dense dans Ψ_{𝔰_{M}}. (Vient du lemme 2.1).

ii) Res_{H_{G},t_{Q}}^{H_{M}} (I_{Q}(χ)) ≃ ⨁_{w∈W_{𝔰_{M}}} χ^{w} pour tout χ en position générale (i.e Stab_{W} (χ) = {1_{W} }). Pour χ quelconque, il subsiste une égalité dans le groupe de Grothendieck des H_{M}-modules de dimension finie. (Vient de la propriété équivalente pour les groupes : celle-ci fait intervenir N_{G}(M)/M tout entier ; il faut projeter sur Mod_{𝔰_{M}}(M) pour obtenir celle qui nous intéresse). iii) I_{Q}(χ) est irréductible pour χ générique.

iv) Pour tout couple de sous-groupes paraboliques Q et Q′, [I_{Q}(χ)] = [I_{Q′}(χ)] dans le groupe de Grothendieck des H_{G}-modules de dimension finie. (Vient encore une fois de la propriété semblable pour les groupes : voir [2]). En particulier, on déduit de iii) que pour χ générique, l’égalité vient en fait d’un isomorphisme de G-modules.

Montrons d’abord que t_{Q}(H_{M}^{W_{𝔰_{M}}}) ⊂ Z(H_{G}). Soit x ∈ H_{M}^{W}, et f ∈ H_{G} : d’après ii) et l’invariance de x par W, on voit que pour χ en position générale, t_{Q}(x) agit à gauche sur H_{G} ⊗_{H_{M} ,t_{Q},χ} ℂ par multiplication par χ(x), ce qui montre que l’image de t_{Q}(x)f − ft_{Q}(x) dans I_{Q}(χ) est nulle pour un tel χ. Par i), on en déduite que t_{Q}(x)f − ft_{Q}(x) = 0 et donc t_{Q}(x) ∈ Z(H_{G}).

Soit maintenant z ∈ Z(H_{G}). Soit M_{B}(z) la matrice de la multiplication par z dans une t_{Q}(H_{M})-base B de H_{G}. D’après iii), la réduction de cette matrice modulo χ est scalaire pour χ générique : elle est donc elle-même scalaire, égale à un certain t_{Q}(x). D’après ii) il est clair que x doit être invariant par W, la surjectivité est donc montrée.

Montrons maintenant que l’isomorphisme ne dépend pas du choix de Q : soit Q′ un autre sous-groupe parabolique contenant M et x ∈ H_{M}^{W}, alors d’après iv) on voit que pour χ générique, l’image de t_{Q}(x) − t_{Q′}(x) dans I_{Q}(χ) est nulle, donc d’après i), t_{Q}(x) = t_{Q′}(x). □

Notation . On notera t l’isomorphisme de la proposition ci-dessus. Il s’inscrit dans un diagramme commutatif d’isomorphismes

\xymatrix{ℨ_{𝔰} \ar[r]^{m_{τ}} \ar[d]^{(3)} & Z(H_{G}) \\ ℨ_{𝔰_{M}}^{W_{𝔰_{M}}} \ar[r]^{m_{τ_{M}}} & H_{M}^{W_{𝔰_{M}}} \ar[u]^{t}}

où la flèche verticale de gauche est l’isomorphisme (3).

La proposition suivante ne sert pas dans la suite ; elle montre que lorsque les sous-groupes paraboliques Q et Q′ sont conjugués par un élément de W_{𝔰_{M}}, alors les morphismes t_{Q} et t_{w(Q)} sont “conjugués” dans H_{G} :

Proposition 2.2. Soit w ∈ W_{𝔰_{M}}, alors il existe T_{w} ∈ H_{G}^{∗} tel que :

∀x ∈ H_{M}, t_{w(Q)}(x) = T_{w}.t_{Q}(w^{−1}(x)).T_{w}^{−1}

Preuve. On passe encore une fois par les représentations de groupes : on sait que pour tout σ ∈ Mod(M) et tout w ∈ N_{G}(M) il y a un isomorphisme canonique évident i_{M,Q}^{G}(σ) ≃ i_{M,w(Q)}^{G}(w(σ)). Par le diagramme suivant, où on note toujours ρ_{un} = ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) :

[figure: i_{M,\overline{Q}}^{G}(ρ_{un}); i_{M,w(\overline{Q})}^{G}(ρ_{un}^{w}); i_{M,w(\overline{Q})}^{G}(ρ_{un}); Φ_{w}; _{\overline{w}_{−1}}]

on définit un isomorphisme de G-modules i_{M,w(\overline{Q})}^{G} (ρ_{un}) ⟶^{Φ_{w}} i_{M,\overline{Q}}^{G} (ρ_{un}) qui est

de plus H_{M}-équivariant si on fait agir x ∈ H_{M} via i_{M,w(\overline{Q})}^{G}(x) sur le membre de

gauche et via i_{M,\overline{Q}}^{G}(x^{w}) sur le membre de droite.

Appliquons maintenant le foncteur 𝔐_{τ} : en utilisant ρ_{un}_{τ_{M}} = H_{M} et le diagramme commutatif 5, on obtient un isomorphisme

H_{G} ⟶^{𝔐_{τ} (Φ_{w})} H_{G}

de (H_{G}, H_{M})-bimodules où l’action de H_{G} est par multiplication à gauche et celle de H_{M} par multiplication à droite par t_{w(Q)}(x) sur le membre de gauche et par t_{Q}(x^{w^{−1}}) sur le membre de droite. Un tel isomorphisme est nécessairement la multiplication par un T_{w} ∈ H_{G}^{∗} vérifiant :

t_{w(Q)}(x).T_{w} = T_{w}.t_{Q}(x^{w^{−1}})
□

2.2. Caractères. On continue avec les mêmes notations.

Lemme 2.2. – Pour tout sous-groupe ouvert compact H de M, ind_{J_{M}}^{M}(τ_{M})^{H}

est un H_{M}-module libre de type fini.

– Pour tout sous-groupe ouvert compact H de G et tout sous-groupe parabolique Q de Levi M, ind_{J}^{G}(τ)^{H} est libre de type fini pour l’action de H_{M} via

H_{M} ⟶^{t_{Q}} H_{G}.

Preuve. Pour le premier point, on peut utiliser le lemme 1.3 puisque 𝔰_{M} est clairement une M-classe d’inertie régulière et ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) est M-projectif. Ceci donne la projectivité et le type fini ; la liberté vient encore de [11, V.4.10].

D’autre part, on sait qu’il existe un isomorphisme :

(6)  ind_{J}^{G}(τ) \underrightarrow{∼} i_{M,\overline{Q}}^{G}(ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}))

qui est équivariant pour l’action de H_{M} via t_{Q} sur le membre de gauche et par induction sur le membre de droite (voir [10]). Ce morphisme avec une décomposition de Mackey semblable à celle de la démonstration du lemme 1.3 montre la deuxième assertion. □

On peut donc définir un caractère Θ_{𝔰_{M}} du M-module ρ_{un} à valeurs dans H_{M} et qui correspond via m_{τ_{M}} au Θ_{ρ_{un}} à valeurs dans ℨ_{𝔰_{M}} défini dans la première partie.

De même, on peut définir pour chaque sous-groupe parabolique Q un caractère \overline{Θ}_{𝔰}^{Q} de la représentation ind_{J}^{G}(τ) à valeurs dans H_{M}.

Lemme 2.3. – \overline{Θ}_{𝔰}^{Q} est indépendant de Q (notation \overline{Θ}_{𝔰}). De plus, il est à

valeurs dans H_{M}^{W_{𝔰}}.

– Si la classe d’inertie 𝔰 est régulière,

Θ_{ind_{J}^{G}(τ)} = t(Tr_{H_{M} /H_{M}^{W}} \overline{Θ}_{𝔰})
= |W_{𝔰_{M}}|t(\overline{Θ}_{𝔰})

en identifiant toujours ℨ_{𝔰} et Z(H_{G}) via m_{τ}.

Preuve. L’indépendance du parabolique vient de ce que pour tout caractère χ de H_{M}, on a par la H_{M}-équivariance de (6) :

χ(\overline{Θ}_{𝔰}^{Q}) = Θ_{i_{M,Q}^{G}(ρ_{χ})} = Θ_{i_{M,Q′}^{G} (ρ_{χ})} = χ(\overline{Θ}_{𝔰}^{Q′})

où les deux Θ du milieu désignent les caractères “ordinaires” des représentations admissibles en indice. Pour voir que les valeurs de \overline{Θ}_{𝔰} sont invariantes par W_{𝔰_{M}}, on écrit de même :

χ^{w}(\overline{Θ}_{𝔰}) = Θ_{i_{M,Q}^{G}(w(ρ_{χ}))} = Θ_{i_{M,Q}^{G}(ρ_{χ})} = χ(\overline{Θ}_{𝔰})

pour tout w ∈ W_{𝔰_{M}}.

La seconde assertion vient de ce que lorsque la classe est régulière, le rang de H_{M} sur H_{M}^{W_{𝔰_{M}}} est |W_{𝔰_{M}}|. □

2.3. Formules classiques. La formule de Van Dijk ([14]) pour les induites paraboliques et la formule de Sally-Frobenius ([12]) pour les induites à support compact admissibles se généralisent simplement en des formules pour Θ_{𝔰_{M}} ou \overline{Θ}_{𝔰}. Notation . Fixons un sous-groupe ouvert compact spécial K de G; pour f ∈ C_{c}^{∞}(G) on définit :

f_{K}(x) = ∫_{K} f(kxk^{−1})dk

Si Q est un sous-groupe parabolique et dq = dm.dn est une mesure de Haar sur Q, on note comme Harish-Chandra :

f^{(Q)}(m) = δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (m) ∫_{N} f(mn)dn

On supposera par la suite que Vol(K, dg) = Vol(K ∩ Q, dq) = 1. Proposition 2.3. Pour tout sous-groupe parabolique Q de sous-groupe de Levi M, on a :

\overline{Θ}_{𝔰}(f) = Θ_{𝔰_{M}}(f_{K}^{(Q)})

Preuve. La démonstration est exactement la même que celle de [14] en utilisant l’isomorphisme H_{M}-équivariant (6). □

La suite de cette section est consacrée à l’adaptation de la formule de Frobenius pour les caractères induits ; cela ne sera pas utilisé par la suite. Notation . Rappelons ici le contexte de [7, (5.5)] concernant le [M, ρ]_{M}-type cuspidal (J_{M}, τ_{M}) et dans lequel nous nous plaçons dorénavant :

– l’ensemble d’entrelacement I_{M}(τ_{M}) := J̃_{M} de τ_{M} dans M est un sousgroupe ouvert compact modulo le centre de M et tel que J_{M} = J̃_{M} ∩ M^{0}.

– il existe une extension τ̃_{M} de τ_{M} à J̃_{M} telle que ρ ≃ indM ; J̃_{M}(τ̃_{M}). Dans un tel contexte, on a un isomorphisme

(7)  I_{ρ} : ℂ[J̃_{M}/J_{M}] \underrightarrow{∼} H_{M}

(qui n’est pas canonique puisqu’il vient de l’isomorphisme

(8)  ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M}) ≃ indM ; J̃_{M}(τ̃_{M} ⊗ ℂ[J̃_{M}/J_{M}])

et dépend donc du prolongement τ̃_{M} de τ_{M}, c’est à dire du “point base” ρ).

Lemme 2.4. Soit H un sous-groupe ouvert compact de M, on pose

Γ_{H} = {x ∈ M, τ_{M}^{J∩H^{x}} ≠ 0}

Alors, J̃_{M}\Γ_{H} est fini.

Preuve. Appliquons les formules de Mackey en utilisant (8) :

ind_{J_{M}}^{M} (τ_{M})^{H} ≃ ⨁_{x∈J̃_{M}\M/H}(τ̃_{M} ⊗ ℂ[J̃_{M}/J_{M}])^{J̃_{M}∩H^{x}}

≃ ⨁_{x∈J̃_{M}\M/H} τ_{M}^{J_{M} ∩H^{x}} ⊗ ℂ[J̃_{M}/J_{M}]

On en déduit : ρ^{H} ≃ ⨁_{x∈J̃_{M}\M/H} τ_{M}^{J_{M} ∩H^{x}} et par admissibilité de ρ le lemme annoncé. □

On définit maintenant la fonction λ_{ρ} ∈ C_{c}^{∞}(G) ⊗ ℂ[J̃_{M}/J_{M}] lisse à support compact et à valeurs dans ℂ[J̃_{M}/J_{M}] par :

λ_{ρ}(x) = \begin{cases}Trτ̃_{M} (x).\overline{x} & si x ∈ J̃_{M} \\ 0 & sinon \end{cases}

où Trτ̃_{M} désigne le caractère de la J̃_{M}-représentation de dimension finie τ̃_{M} et \overline{x} est l’image de x ∈ J̃_{M} dans ℂ[J̃_{M}/J_{M}]. On désignera par la même lettre λ_{ρ} la distribution λ_{ρ}.dm à valeurs dans ℂ[J̃_{M}/J_{M}] et pour tout x ∈ M, λ_{ρ}^{x} est la conjuguée de λ_{ρ} par x définie par :

∀f ∈ C_{c}^{∞}(G), λ_{ρ}^{x}(f) := ∫_{M} f(x.m.x^{−1})λ_{ρ}(m)dm

Proposition 2.4. Soit f ∈ C_{c}^{∞}(M), alors on a la formule suivante où la somme est en fait finie :

Θ_{𝔰_{M}}(f) = I_{ρ} ( ∑_{x∈J̃_{M}\M} λ_{ρ}^{x}(f))

Preuve. C’est essentiellement la même que celle de [12] ; le centre y est supposé compact mais on pallie ici l’inconvénient d’un centre non compact en considérant des caractères à valeurs dans ce centre. □

3. Bloc de l’Iwahori

Cette partie est un cas particulier de la partie précédente dans laquelle un rôle intéressant est joué par les représentations sphériques. On supposera pour simplifier les notations que G est déployé mais cela n’a aucune incidence sur les résultats.

3.1. Préliminaires. On fixe un tore maximal déployé T de groupe de Weyl W, dont on note T^{0} le sous-groupe compact maximal, et un sous-groupe ouvert compact maximal K de G fixant un point spécial de l’appartement associé à T. On choisit un Iwahori I et on note B le sous-groupe de Borel associé à I dans ce contexte.

On note 𝔲 la classe d’inertie [T, 1]_{G}; il est connu que (I, 1) est un 𝔲-type. Voici les correspondances avec les notations de la partie précédente :

(M, ρ) ⟷ (T, 1)
H(G, τ) ⟷ H(G, I)
(J_{M}, τ_{M}) ⟷ (T^{0}, 1)
H(M, τ_{M}) ⟷ H(T, T^{0})
W_{𝔰_{M}} ⟷ W
t_{Q} ⟷ t_{B}
Θ_{𝔰_{M}}, \overline{Θ}_{𝔰} ⟷ Θ_{T^{0}}, \overline{Θ}_{𝔲}
(J̃_{M}, τ̃_{M}) ⟷ (T, 1)
ℂ[J̃_{M}/J_{M}] ⟷ ℂ[T/T^{0}]

On fixe un isomorphisme W -équivariant H(T, T^{0}) ≃ ℂ[T/T^{0}], ce qui n’est en général pas possible dans le contexte général de la partie précédente à moins que W_{𝔰_{M}} ne normalise J̃_{M}. On note toujours t : ℂ[T/T^{0}]^{W} \underrightarrow{∼} Z(H(G, I)) l’isomorphisme obtenu par restriction de l’un queconque des t_{B′} avec B′ un sous-groupe de Borel contenant T. On identifiera Z(H(G, I)) avec le centre ℨ_{𝔲} du bloc de l’Iwahori.

3.2. Régularité. L’hypothèse de régularité de la classe d’inertie 𝔲 s’énonce :

ℂ[T/T^{0}] est projectif de type fini sur ℂ[T/T^{0}]^{W}.

Soit Ǧ le dual de Langlands de G et Ť le tore maximal de Ǧ dual de T (de même groupe de Weil W), alors on a ℂ[T/T^{0}] ≃ O(Ť) et ℂ[T/T^{0}]^{W} ≃ O(Ť)^{W}. L’étude de l’extension O(Ť)^{W} ⊂ O(Ť) dans [13] se traduit par la classification suivante (rappelons que G est déployé) :

Théorème 3.1. (Pittie-Steinberg) 𝔲 est régulière si et seulement si la composante semisimple de Ǧ est un produit de facteurs simples simplement connexes ou de type SO_{2n+1}.

On suppose à partir de maintenant que 𝔲 est régulière. Rappelons (lemme 1.3) que l’on peut alors associer à chaque projectif de type fini de Mod_{𝔲}(G) un caractère à valeurs dans le centre ℨ_{𝔲} de Mod_{𝔲}(G). On notera en particulier Θ_{I} celui de ind_{I}^{G}(1). Rappelons les relations suivantes (2.2,2.3) :

– Θ_{I} = |W |t(\overline{Θ}_{𝔲})

– \overline{Θ}_{𝔲}(f) = Θ_{T^{0}}(f_{K}^{B}), ∀f ∈ C_{c}^{∞}(G).

– Θ_{T^{0}}(h) = ∑_{x∈T/T^{0}} (∫_{x.T^{0}} h(t)dt) x, ∀h ∈ C_{c}^{∞}(T)

3.3. Partie sphérique. Toujours sous l’hypothèse de régularité de 𝔲, on note Θ_{K} le caractère à valeurs dans ℨ_{𝔲} du projectif de type fini ind_{K}^{G}(1) défini grâce au lemme 1.3.

Proposition 3.1. – Θ_{I} = |W |.Θ_{K} où |W | désigne le cardinal de W. – On a ϕ_{𝔲}(ind_{K}^{G} (1)) = (r_{χ})_{χ∈Ψ_{𝔲}}, ce qui se reformule en :

– Pour tout caractère χ du centre ℨ_{𝔲} ≃ Z(H(G, I)) identifié via t à ℂ[T/T^{0}]^{W} et tout prolongement χ̃ de χ à ℂ[T/T^{0}] vu comme représentation lisse de T, on a :

[ind_{K}^{G} (1) ⊗_{ℨ_{𝔲},χ} ℂ] = [i_{T,B}^{G} (χ̃)]

où la notation [.] désigne l’image d’un G-module de longueur finie dans le groupe de Grothendieck de G.

Preuve. On sait d’après le corollaire 1.1 qu’il existe n_{K} ∈ ℕ tel que

ϕ_{𝔲}(ind_{K}^{G} (1)) = n_{K}.(r_{χ})_{χ∈Ψ_{𝔲}}

Chacune des trois assertions de la proposition est équivalente à dire que n_{K} = 1. Il suffit de calculer n_{K} en un seul caractère pour démontrer cette dernière égalité. On donne ici une démonstration pour χ W -régulier dans le langage des groupes p-adiques, mais on peut trouver une démonstration sous une hypothèse plus faible (χ ”spécial”) dans [9] dans le langage des algèbres de Hecke.

– Pour χ caractère de ℂ[T/T^{0}], on notera M_{χ} = ℂ[T/T^{0}] ⊗_{ℂ[T/T^{0}]^{W} ,χ} ℂ et on le considèrera comme une représentation lisse de T. Les caractères de ℂ[T/T^{0}] qui apparaissent dans M_{χ} sont les prolongements de χ à ℂ[T/T^{0}]. Plus précisément, soit χ̃ un de ces prolongements, alors dans le groupe de Grothendieck de T, on a :

[M_{χ}]_{T} = ∑_{w∈W}[χ^{w}]_{T}

– Soit B′ un autre sous-groupe de Borel contenant T, l’égalité ci-dessus montre que

(9)  [M_{χ}]_{T} = [r_{G,B′}^{T} ∘ i_{T,B}^{G} (χ̃)]_{T}

– Considérons la composée suivante :

ind_{K}^{G} (1) ⟶ ind_{I}^{G}(1) ⟶^{∼} i_{T,B}^{G} (ℂ[T/T^{0}])

On sait alors d’une part que ce morphisme est ℂ[T/T^{0}]^{W} -équivariant si on le fait agir sur le terme de gauche par le centre ℨ_{𝔲} via t et sur le terme de droite via induction (voir isomorphisme (6)), et d’autre part que le morphisme obtenu par réciprocité de Frobenius est un isomorphisme (voir [7, (10.3)] par exemple). On en déduit, pour tout caractère χ de ℂ[T/T^{0}]^{W}, que :

(10)  r_{G,B}^{T} (ind_{K}^{G} (1) ⊗_{ℨ_{𝔲},χ} ℂ) ≃ M_{χ}

Pour tout caractère χ̃ de ℂ[T/T^{0}] prolongeant un caractère χ de ℂ[T/T^{0}]^{W}, on sait que i_{T,B}^{G} (χ̃)^{K} est de dimension 1, donc qu’il existe un unique sousquotient irréductible sphérique (i.e. ayant un vecteur non nul fixe par K) π_{χ} de i_{T,B}^{G} (χ̃) (il ne dépend que de χ). De plus, il existe un conjugué χ^{w} de χ̃ tel que π_{χ} est un quotient de i_{T,B}^{G} (χ^{w}). Dans ces conditions, le morphisme ind_{K}^{G} (1) ⟶ i_{T,B}^{G} (χ̃) se factorise :

(11)  ind_{K}^{G} (1) ⊗_{ℨ_{𝔲},χ} ℂ ⟶ i_{T,B}^{G} (χ̃)

car ℨ_{𝔲} (identifié à ℂ[T/T^{0}]^{W} via t) agit sur le membre de droite par le caractère χ. Lemme 3.1. Pour un caractère W -régulier χ (i.e. ayant |W | prolongements distincts à ℂ[T/T^{0}]) de ℂ[T/T^{0}]^{W}, il existe un prolongement χ̃ tel que

ind_{K}^{G} (1) ⊗_{ℨ_{𝔲},χ} ℂ ≃ i_{T,B}^{G} (χ̃)

Preuve. On choisit un prolongement χ̃ de χ à ℂ[T/T^{0}] tel que (avec les notations des remarques ci-dessus) π_{χ} soit un quotient de i_{T,B}^{G} (χ̃). Puisque χ est W - régulier, π_{χ} est l’unique quotient irréductible de i_{T,B}^{G} (χ̃). On en déduit que le morphisme (11) qui lui correspond est surjectif. Appelons N son noyau. Alors, d’après (10) et (9), on voit que r_{G,B}^{T}(N) est nul dans le groupe de Grothendieck de T donc nul tout court. Puisque N appartient au bloc de l’Iwahori, cela implique que N est lui-même nul. □

Ceci démontre la proposition. □

3.4. Lien avec l’isomorphisme de Satake. Dans cette partie, on retrouve (dans le cas particulier où 𝔲 est régulière) un résultat annoncé par X. Lazarus dont l’énoncé est semblable au troisième alinea de la proposition 3.1 sauf qu’il fait agir ℂ[T/T^{0}]^{W} sur ind_{K}^{G} (1) en l’identifiant avec H(G, K) via l’inverse de l’isomorphisme de Satake.

Commençons par rappeler la construction de Satake ([8, 4.2]) :

\begin{matrix}S_{B} : H(G, K) & → & ℂ[T/T^{0}]^{W} \\ f & ↦ & t ↦ δ_{P} ^{\frac{1}{2}} (t) ∫_{U} f(tu)du \end{matrix}

On voit facilement que la formule de S_{B} est indépendante de B; on la notera donc S. Une question naturelle est de se demander si la composition :

ℂ[T/T^{0}]^{W} ⟶^{t} Z(H(G, I)) ⊂ H(G, I) ⟶^{1_{K} ∗ .. ∗ 1_{K}} H(G, K) ⟶^{S} ℂ[T/T^{0}]^{W}

est l’identité. La réponse est oui et passe par le lemme suivant : Lemme 3.2. Pour toute h ∈ Z(H(G, I)), on a :

Θ_{K}(h) = Θ_{I}(1_{K} ∗ h^{∗} ∗ 1_{K})^{∗}

où l’étoile désigne l’involution venant de g ↦ g^{−1}.

Preuve. Remarquons d’abord que 1_{K} ∗ h ∗ 1_{K} = h ∗ 1_{K} = 1_{K} ∗ h. Considérons l’isomorphisme :

\begin{matrix}∗ ind_{K}^{G} (1)^{I} & → & ind_{I}^{G}(1)^{K} \\ f & ↦ & f^{∗} \end{matrix}

où on voit un élément f ∈ ind_{K}^{G} (1)^{I} comme une fonction I-invariante à gauche et K-invariante à droite sur G. L’étoile désigne l’involution venant de g ↦ g^{−1}. Il existe aussi une telle involution sur le centre ℨ_{𝔲} (qui a la même définition si on identifie ℨ_{𝔲} et Z(H(G, I))) et on la note encore : z ↦ z^{∗}. On remarque que l’isomorphisme ci-dessus n’est pas ℨ_{𝔲}-équivariant mais vérifie : (zf)^{∗} = z^{∗}f^{∗}. Notant π_{I} (resp. π_{K}) l’action de H(G) sur ind_{I}^{G}(1) (resp. ind_{K}^{G}(1)), on s’aperçoit que si h ∈ Z(H(G, I)), alors : (π_{I}(h).f)^{∗} = π_{K}(1_{K} ∗ h^{∗}).f^{∗}.

En effet (π_{I}(h).f)^{∗} = (h ∗ f)^{∗} = (f ∗ h)^{∗} = h^{∗} ∗ f^{∗} = (h^{∗} ∗ 1_{K}) ∗ f = π_{K}(1_{K} ∗ h^{∗}).f^{∗}, l’avant dernière égalité venant de ce que f^{∗} est K-invariante à gauche.

On déduit de tout cela que Θ_{K}(h) = Θ_{I}(1_{K} ∗ h^{∗} ∗ 1_{K})^{∗} □

Corollaire 3.1. La composition :

ℂ[T/T^{0}]^{W} ⟶^{t} Z(H(G, I)) ⊂ H(G, I) ⟶^{1_{K} ∗ .. ∗ 1_{K}} H(G, K) ⟶^{S} ℂ[T/T^{0}]^{W}

est l’identité. En particulier, les deux structures de ℂ[T/T^{0}]^{W} -module obtenues sur ind_{K}^{G} (1) via action du centre et isomorphisme t ou via action de H(G, K) et isomorphisme de Satake sont équivalentes.

Preuve. Remarquons tout d’abord que si f est bi-invariante par K alors : f_{K}^{B} = S_{B}(f), ce qui se voit sur les formules, et Θ_{T^{0}}(f_{K}^{B}) = f_{K}^{B} en identifiant H(T, T^{0}) et ℂ[T/T^{0}] et simplement parce que f_{K}^{B} est T^{0}-invariante. On a donc dans ce cas :

\overline{Θ}_{𝔲}(f) = S(f)

Soit maintenant h ∈ Z(H(G, I)), on a :

Θ_{I}(h^{∗}) = |W |.Θ_{K}(h^{∗})  d’après proposition 3.1.
= |W |Θ_{I}(1_{K} ∗ h ∗ 1_{K})^{∗}  d’après le lemme 3.2.
= |W |^{2}t (\overline{Θ}_{𝔲}(1_{K} ∗ h ∗ 1_{K}))^{∗} (voir fin du 3.2.)
= |W |^{2}t (S(1_{K} ∗ h ∗ 1_{K}))^{∗} (voir début de la preuve.)

On peut d’autre part calculer Θ_{I}(h^{∗}) : h^{∗} est centrale dans H(G, I) donc agit par multiplication sur ind_{I}^{G}(1)^{I} ≃ H(G, I) qui est un ℨ_{𝔲}-module libre de rang |W |^{2}, donc Θ_{I}(h^{∗}) = |W |^{2}.h^{∗}. On en déduit, en composant avec ∗ : h = t ∘ S(1_{K} ∗ h ∗ 1_{K}), soit en posant h = t(θ) :

θ = S(1_{K} ∗ t(θ) ∗ 1_{K})
□

Remarque . i) A propos de l’involution ∗ : de manière générale, pour chacune des algèbres ℂ[T/T^{0}], ℂ[T/T^{0}]^{W}, Z(H(G, I)), H(G, K) elle est définie par composition avec l’anti-isomorphisme g ↦ g^{−1}. On voit facilement que t et S commutent avec elle. L’isomorphisme Z(H(G, I)) ≃ ℨ_{𝔲} permet de la transporter sur le centre de Mod_{𝔲}(G) et on peut se demander si on ne peut pas l’y définir plus intrinsèquement.

En fait, on (admet qu’on) peut définir ∗ de la manière suivante sur ℨ(G) : considérons le foncteur contravariant

∼: Mod(G) → Mod(G)
V ↦ Ṽ( contragrédiente)

alors pour tout z ∈ ℨ(G), il existe un unique z^{∗} ∈ ℨ(G) tel que z∗ ; Ṽ = ∼ (z_{V}). (z_{V} désigne l’endomorphisme de V induit par z.)

Comme 1_{T} est isomorphe à sa contragrédiente, on voit que ℨ_{𝔲} est stable par ∗ et qu’on retrouve l’involution qu’on voyait sur Z(H(G, I)). ii) Le corollaire 3.1 est en fait valable sans l’hypothèse de régularité : on remplace le lemme 3.2 par l’énoncé suivant dont la preuve est semblable : Soit h ∈ Z(H(G, I)), χ un caractère de ℂ[T/T^{0}]^{W}, notons π_{J,χ} =

ind_{J}^{G}(1) ⊗_{ℨ,χ} ℂ pour J = K, I, alors on a :

Θ_{π_{K,χ}}(h) = Θ_{π_{I,χ^{∗}}} (1_{K} ∗ h^{∗} ∗ 1_{K})

Le membre de droite se calcule avec la formule de Van Dijk qui coïncide avec celle de Satake dans ce cas précis : supposons χ régulier, on trouve

|W |.χ^{∗} (S(1_{K} ∗ h^{∗} ∗ 1_{K})) = |W |.χ (S(1_{K} ∗ h ∗ 1_{K}))

Celui de gauche peut se calculer dans le cas χ W -régulier grâce à l’isomorphisme du lemme 3.1 dont la preuve ne dépend pas de la régularité de 𝔲 : on trouve en utilisant i_{T,B}^{G} (χ̃)^{I} ≃ H(G, I) ⊗_{ℂ[T/T^{0}],χ̃,t\overline{B}} ℂ et en écrivant h = t(θ) = t\overline{B}(θ) :

Θ_{π_{K,χ}}(h) = |W |.χ(θ)

La densité des caractères W -réguliers permet de conclure.

3.5. Bicommutants. Cette section ne sera pas réutilisée dans la suite ; dans la proposition qui suit, le ii) précise légèrement le résultat de [3, 3.14] dans le cas du bloc de l’Iwahori : l’algèbre d’Azumaya mentionnée dedans est en fait triviale ( i.e. l’algèbre d’endomorphismes d’un certain module ).

Par le fait (voir [3, 3.9]) que la correspondance V ↦ V^{H} définit une équivalence de catégories entre la sous-catégorie abélienne des G-modules V engendrés par leurs points H-fixes V^{H} et la catégorie des H(G, H)-modules, il est clair que End_{H(G,H)}(ind_{I}^{G}(1)^{H}) ≃ H(G, I) et End_{H(G,H)}(ind_{K}^{G} (1)^{H}) ≃ H(G, K) d’où les morphismes d’algèbres suivants (par ”bicommutation”) :

(12)  H(G, H) ⟶ End_{H(G,I)}(ind_{I}^{G}(1)^{H})
(13)  H(G, H) ⟶ End_{ℨ_{𝔲}}(ind_{K}^{G} (1)^{H})

où on a identifié H(G, K) avec ℨ_{𝔲}. Ces morphismes se factorisent par la projection H(G, H) ↦ e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} où e_{I}^{H} est l’idempotent de H(G, H) associé au bloc de l’Iwahori, et on a :

Proposition 3.2. L’algèbre e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} est projective de type fini sur son centre ℨ_{𝔲}.

i) Le morphisme (12) donne un isomorphisme

e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} ⟶^{∼} End_{H(G,I)}(ind_{I}^{G}(1)^{H})

ii) Le morphisme (13) donne un morphisme injectif

e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} ↪ End_{ℨ_{𝔲}}(ind_{K}^{G} (1)^{H})

dont la réduction modulo un caractère χ de ℨ_{𝔲} est un isomorphisme, pour χ générique.

Preuve. Le i) se déduit d’une part de l’(anti)-isomorphisme de H(G, H) × H(G, I)-bimodules :

∗ : ind_{I}^{G}(1)^{H} ≃ ind_{H}^{G} (1)^{I}

et d’autre part du diagramme suivant :

\xymatrix{H(G, H) \ar[r]^{∼} \ar@{->>}[d] & End_{G}(ind_{H}^{G} (1)) \ar@{->>}[d] \\ e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} \ar[r]^{∼} & End_{G}(ind_{H}^{G} (1)_{𝔲}) \ar[r]^{∼} & End_{H(G,I)}(ind_{H}^{G} (1)^{I})}

où V_{𝔲} désigne la composante dans Mod_{𝔲}(G) d’un G-module V.

Par ailleurs, la suite de morphismes

Z(H(G, H)) ⟶^{1_{I} ∗ . ∗ 1_{I}} Z(H(G, I)) ⟶^{1_{K} ∗ . ∗ 1_{K}} H(G, K)

permet d’identifier le centre de e_{I}^{H} ∗ H(G, H) ∗ e_{I}^{H} avec ℨ_{𝔲}. On voit alors que cette algèbre est projective sur son centre grâce à l’isomorphisme de la dernière ligne du diagramme précédent : ind_{H}^{G}(1)^{I} est projectif sur H(G, I) donc facteur direct d’un produit de H(G, I), donc End_{H(G,I)} (ind_{H}^{G} (1)^{I}) est un ℨ_{𝔲}-facteur direct d’un produit de H(G, I), donc est projectif sur ℨ_{𝔲}.

Le ii) peut se déduire de [3, 3.14] (fin de la démonstration) ou (et c’est équivalent) de i) et de l’argument suivant : pour χ générique, on sait que H(G, I)_{χ} (notation évidente) est centrale simple. Son unique module irréductible est H(G, I)⊗_{ℂ[T/T^{0}],\overline{χ}}ℂ pour un prolongement \overline{χ} quelconque de χ à ℂ[T/T^{0}] : on le note X_{χ} puisqu’il est indépendant du prolongement. Par ailleurs, on déduit de 3.3 que

ind_{K}^{G} (1)_{χ}^{H} ≃ ind_{I}^{G}(1)_{χ}^{H} ⊗_{H(G,I)_{χ}} X_{χ}

(en effet, ici l’égalité dans le groupe de Grothendieck est un isomorphisme puisque tout est irréductible) ind_{K}^{G} (1)_{χ}^{H} est donc l’image de ind_{I}^{G} (1)_{χ}^{H} par l’équivalence de Morita entre l’algèbre centrale simple H(G, I)_{χ} et son centre ℂ, donc la réduction modulo χ de l’isomorphisme i) montre que la réduction de ii) modulo χ est un isomorphisme.

Le fait que ii) est injectif se déduit de ce que la réduction est génériquement un isomorphisme. □

4. Application à GL(n)

Le but de cette partie est de généraliser ce qu’on a observé dans le cas de la classe d’inertie de l’Iwahori pour un groupe quelconque (déployé) à toutes les classes d’inertie de GL(n). On utilise pour cela la théorie des types de Bushnell et Kutzko développée dans [5] et [6].

4.1. Le résultat. On note K = GL(N, O_{F}). Soit 𝔰 = [M, ρ]_{G} une classe d’inertie et 𝔰_{M} = [M, ρ]_{M}. On se donne un 𝔰-type (J, τ) couvrant un 𝔰_{M}-type (J_{M}, τ_{M}) tel que J ⊂ K.

Théorème 4.1. Il existe une représentation ρ_{𝔰} de K telle que :

– H(G, ρ_{𝔰}) ≃ ℨ_{𝔰}

– Si χ est un caractère de ℨ_{𝔰}, restriction d’un caractère \overline{χ} de H(M, τ_{M}), lui-même restriction d’un caractère \overline{\overline{χ}} non ramifié de M, alors :

[ind_{K}^{G} (ρ_{𝔰}) ⊗_{ℨ_{𝔰},χ} ℂ] = [ind_{J}^{G}(τ) ⊗_{H(M,τ_{M}),t\overline{Q},\overline{χ}} ℂ] = [i_{M,Q}^{G}(σ.\overline{\overline{χ}})] les égalités ayant lieu dans le groupe de Grothendieck des G-modules de longueur finie.

– ϕ_{𝔰}(ind_{K}^{G} (ρ_{𝔰})) = (r_{χ})_{χ∈Ψ_{𝔰}}

4.2. La démonstration. Cas cuspidal : Soit (J, τ) un type cuspidal avec J ⊂ K : posons ρ_{𝔰} = ind_{J}^{K} (τ) : il est clair que ρ_{𝔰} est irréductible et que H(G, ρ_{𝔰}) ≃ H(G, τ) ≃ ℨ_{𝔰}. Le reste s’exprime de manière triviale dans ce cas.

Cas d’un type simple : (On suppose toujours J ⊂ K). On sait dans ce cas-là (voir [5, 7.6.20]) qu’il existe une extension E du corps F, telle qu’en notant G_{E} = GL(N, E), T_{E} un tore maximal, B_{E} (resp. I_{E}) le sous-groupe de Borel standard (resp. le sous-groupe d’Iwahori standard), il existe des isomorphismes d’algèbres Ψ et Ψ_{1} rendant le diagramme suivant commutatif :

\xymatrix{H(G_{E}, I_{E}) \ar[r]^{Ψ} & H(G, τ) \\ ℂ[T_{E}/T_{E}^{0}] \ar[r]^{Ψ_{1}} \ar[u]^{t\overline{B}} & H(M, τ_{M}) \ar[u]_{t\overline{Q}}}

En particulier, Ψ induit un isomorphisme de ℂ[T_{E}/T_{E}^{0}]^{W_{E}} sur Z(H(G, τ)) ≃ ℨ_{𝔰}.

Notons e_{K} l’image de 1_{GL(N,O_{E})} dans H(G, τ) : e_{K} est un idempotent et appartient à H(K, τ) (par ”préservation” du support) et on peut donc poser

ρ_{𝔰} := e_{K}(ind_{J}^{K} (τ))

On voit que ind_{K}^{G}(ρ_{𝔰})_{τ} ≃ H(G, τ)∗e_{K} par l’équivalence de catégories Mod_{𝔰}(G) ≃ H(G, τ) − Mod, donc :

H(G, ρ_{𝔰}) ≃ End_{H(G,τ)}(H(G, τ) ∗ e_{K})
≃ e_{K} ∗ H(G, τ) ∗ e_{K}
≃ 1_{GL(N,O_{E})} ∗ H(G_{E}, I_{E}) ∗ 1_{GL(N,O_{E})}
≃ ℂ[T_{E}/T_{E}^{0}]^{W_{E}}
≃ ℨ_{𝔰}

Les deux autres alineas du théorème viennent des mêmes arguments (équivalence de catégories entre Mod_{𝔰}(G) et H(G, τ) − Mod, utilisation du diagramme commutatif ci-dessus et de la proposition 3.1).

Cas général : La situation précédente se généralise sans peine au cas où G est un produit de G_{i} = GL(N_{i}, F), M = ∏ M_{i}, J = ∏ J_{i}, τ = ⊗τ_{i}, etc... et où chaque τ_{i} est un type simple pour G_{i}. En effet, on a K = ∏ K_{i}, H(G, τ) = ⊗H(G_{i}, τ_{i}) et on prend ρ_{𝔰} = ⊗ρ_{𝔰_{i}}, qui correspond à l’idempotent e_{K} = ⊗e_{K_{i}} de H(K, τ). :

On sait maintenant (cf [6]) que le cas général se décompose comme ceci : il existe un sous-groupe de Levi L tel que M ⊂ L ⊂ G avec les propriétés suivantes :

i) (J_{L}, τ_{L}) := (J ∩ L, τ_{|J∩L}) est un 𝔰_{L}-type couvrant (J_{M}, τ_{M}) et on est dans la situation d’un produit de types simples (comme ci-dessus).

ii) Tous les morphismes de Bushnell et Kutzko : H(L, τ_{L}) ⟶^{t_{Q}} H(G, τ) (où Q est un sous-groupe parabolique de sous-groupe de Levi L) sont des isomorphismes. De plus, par leurs définitions, on voit qu’ils coïncident sur H(K_{L}, τ_{L}) (ils sont en fait égaux modulo un caractère non-ramifié de M : voir les définitions dans [7, (7.9)]).

iii) En particulier, les inductions paraboliques sont des équivalences de

catégories Mod_{𝔰_{L}}(L) ⟶^{i_{L,Q}^{G}} Mod_{𝔰}(G) (voir [7, (12.4)]) d’équivalences inverses les p_{𝔰_{L}} ∘ r_{G,Q}^{L} où p_{𝔰_{L}} est la “projection” sur le bloc Mod_{𝔰_{L}}(L).

D’après le ii), on peut poser ”canoniquement” e_{K} = t_{Q}(e_{K_{L}}) et donc à nouveau ρ_{𝔰} = e_{K}(ind_{J}^{K} (τ)). Le premier et le troisième alinéas du théorème découlent alors formellement du i), du ii) et de l’équivalence Mod_{𝔰}(G) ≃ H(G, τ) − Mod. Pour le deuxième alinéa, on utilise aussi le iii). □

Références

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[2] I.N. Bernstein et V. Zelevinski. Induced representations on reductive p-adic groups. Ann.Sci.Ec.Norm.Sup, 10, 441–472, 1977.

[3] J.-N. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan, et M.F. Vignras. Reprsentations des groupes rductifs sur un corps local. Travaux en cours. Hermann, Paris, 1984.

[4] Bourbaki. Algbre Commutative. Chapitre II. Hermann, Paris, 1961.

[5] C.J. Bushnell et P.C. Kutzko. The Admissible Dual of GL(n) via open compact groups. Annals of maths. Studies. 129. Princeton university press, 1993.

[6] C.J. Bushnell et P.C. Kutzko. Semisimple types in GL(n). Preprint, 1996.

[7] C.J. Bushnell et P.C. Kutzko. Smooth representations of reductive p-adic groups : Structure via types. Preprint, 1996.

[8] P. Cartier. Representations of p-adic groups : a survey. Proc. Symp. Pure Math., 33, 111–155, 1979.

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[10] J.-F. Dat. Types et induction : cas modulaire. Preprint, 1997.

[11] T.Y. Lam. Serre’s conjecture. Lecture Notes in Math. 635. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

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[13] R. Steinberg. On a theorem of Pittie. Topology, 14, 173–177, 1975.

[14] G. van Dijk. Computation of certain induced characters op p-adic groups. Math. Ann., 199, 229–240, 1972.