Espaces symétriques de Drinfeld et correspondance de Langlands locale

J.-F. Dat

21 novembre 2005

Résumé

We study the Galois action on the equivariant cohomology complex of Drinfeld’s p-adic symmetric spaces and show how it encodes Langlands’ correspondence for the so-called “principal elliptic” representations of GL_{d}. This is the first stage of an expected generalization of Carayol’s non-abelian Lubin-Tate theory from supercuspidal to elliptic representations. In the process we obtain a new proof of Deligne’s weight-monodromy conjecture for those varieties which admit p-adic uniformization by these spaces, we compute Ext groups and cup-products for elliptic representations, and we give a new computation of the compactly supported cohomology of p-adic symmetric spaces.

Nous étudions les complexes de cohomologie équivariants des espaces symétriques p-adiques de Drinfeld munis de leur action de Galois, et nous montrons comment ils permettent de réaliser la correspondance de Langlands locale pour certaines représentations de GL_{d} dites “principales elliptiques”. Il s’agit de la première étape d’une généralisation conjecturale de la théorie de Lubin-Tate non-abélienne de Carayol, qui fournirait une réalisation cohomologique de la correspondance de Langlands pour toutes les représentations elliptiques. Au cours de notre étude, nous obtenons une nouvelle preuve de la conjecture monodromiepoids de Deligne pour les variétés uniformisées par ces espaces, nous calculons les groupes d’extensions entre représentations elliptiques et les cup-produits correspondants, et nous donnons un nouveau calcul de la cohomologie à supports compacts des espaces symétriques p-adiques.

1 Introduction et principaux résultats

Soit K un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle p, dont on fixe une clôture algébrique K^{ca} de complété K̂^{ca}. Pour un entier d > 1, le “demi-plan supérieur” ou “espace symétrique” de Drinfeld est défini dans [17] comme un sous-K-espace analytique rigide de l’espace projectif ℙ^{d−1}. Ses K̂^{ca}-points sont donnés par

Ω_{K}^{d−1}(K̂^{ca}) = ℙ^{d−1}(K̂^{ca}) \ ⋃_{ℍ∈H_{K}} ℍ(K̂^{ca})

où H_{K} désigne l’ensemble des hyperplans K-rationnels de ℙ^{d−1}. Nous désignerons par le même symbole Ω_{K}^{d−1} le K-espace analytique de Berkovich correspondant dont on trouve une description dans [4] ; ses points s’identifient à des classes d’équivalence de semi-normes multiplicatives sur l’anneau de polynômes K[X_{0}, ⋯, X_{d−1}] dont la restriction au sous-espace des polynômes homogènes de degré 1 est une norme.

L’espace analytique Ω_{K}^{d−1} est naturellement muni d’une action de GL_{d}(K) triviale sur le centre, qui est continue au sens de [3, par. 6-7]. Le changement de base Ω_{K}^{d−1,ca} := Ω_{K}^{d−1} ˆ⊗_{K} K̂^{ca} est aussi muni d’une action continue du groupe de Weil W_{K} de K (et même de son groupe de Galois). On s’intéresse à la cohomologie étale à supports compacts de Ω_{K}^{d−1}, munie de son action du groupe GL_{d}(K) × W_{K}. Par des résultats généraux de Berkovich, on sait que l’action de GL_{d}(K) sur ces groupes de cohomologie est lisse. Le formalisme de Berkovich permet aussi, lorsque Λ est un anneau de torsion première à p, de définir un complexe naturel

RΓ_{c} (Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ∈ D_{Λ}^{b} (P GL_{d}(K))

dans la catégorie dérivée des ΛP GL_{d}(K)-modules lisses, et dont les objets de cohomologies sont les H_{c}^{i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ). Nous expliquons sa construction et nous l’adaptons aux coefficients l-adiques dans l’appendice B .

Supposons momentanément que Λ = \overline{ℚ}_{l} et appelons “séries principales elliptiques” les sous-quotients irréductibles de la représentation régulière de GL_{d}(K) dans l’espace \overline{ℚ}_{l}^{∞}[B_{d}(K)] des fonctions localement constantes à valeurs dans \overline{ℚ}_{l} sur les points rationnels de la variété des drapeaux B_{d} de GL_{d}. La correspondance de Langlands locale [31] [22] [24] associe à une représentation lisse irréductible π de GL_{d}(K) une représentation continue σ_{d}(π) de W_{K} dans un \overline{ℚ}_{l}-espace de dimension d. Dans le cas des séries principales elliptiques, la représentation σ_{d}(π) est bien-sûr connue depuis longtemps. Un des résultats principaux de ce texte est le suivant : Théorème 1.1 Pour toute série principale elliptique π de GL_{d}(K), il existe un isomorphisme W_{K}- équivariant

H^{∗} (RHom_{D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b} (P GL_{d}(K))} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}), π)) \underrightarrow{∼} σ_{d}(π) ⊗ | − |^{\frac{d−1}{2}} .

Si π est lisse irréductible mais pas principale elliptique alors le terme de gauche est nul.

Expliquons nos notations et le sens de l’énoncé ; le complexe RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}) est muni d’une action de W_{K}, de sorte que pour toute représentation lisse π de GL_{d}(K), le complexe de \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels

RHom_{D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b} (P GL_{d}(K))} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}), π) ∈ D^{b}(\overline{ℚ}_{l})

est aussi muni d’une action de W_{K}. Rappelons que la catégorie triangulée D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) est équivalente à la catégorie triangulée des \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels ℤ-gradués “à support fini”, une équivalence étant donnée par le foncteur H^{∗} : C^{•} ∈ D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) ↦ ⨁_{i∈ℤ} H^{i}(C^{•}). Ainsi le \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel ℤ-gradué

H^{∗} (RHom_{D_{\overline{ℚ}_{l}}^{b} (P GL_{d}(K))} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}), π))

est muni d’une action de W_{K}. Dans l’énoncé du théorème, on oublie la ℤ-graduation pour se retrouver avec des représentations au sens usuel. Enfin, la notation | − | désigne le caractère non-ramifié de W_{K} qui envoie les Frobenius arithmétiques sur l’ordre q du corps résiduel de K.

Expliquons maintenant ce que l’énoncé du théorème peut avoir de surprenant ; dans [38], Schneider et Stuhler ont calculé les groupes de cohomologie (sans supports) de Ω_{K}^{d−1}, munis de leur action (pas lisse) de GL_{d}(K), pour toute théorie cohomologique satisfaisant certains axiomes. La cohomologie étale à supports compacts ne satisfait pas ces axiomes, mais il est facile de deviner que les H_{c}^{i} se déduisent des H^{2d−2−i} par contragrédiente lisse, ce que nous vérifierons dans la partie 3. Ces H_{c}^{i} se trouvent être des séries principales elliptiques lorsqu’ils sont non nuls, i.e. lorsque i = d − 1, ⋯, 2d − 2. Ainsi, sur les 2^{d−1} séries principales elliptiques seulement d apparaissent dans la cohomologie, mais le théorème dit en substance que toutes sont détectées par le complexe de cohomologie. Quant à l’action de W_{K} sur H_{c}^{d−1+i}, elle est on ne peut plus simple puisqu’elle se fait via le caractère | − |^{−i}. En particulier, l’action de l’inertie I_{K} est triviale en cohomologie. Or, les représentations σ_{d}(π) pour π principale elliptique, sont essentiellement déterminées par leur restriction à I_{K}, elle-même décrite par l’opérateur nilpotent N associé à la partie unipotente de la monodromie. Le théorème dit en substance que l’action de W_{K} sur le complexe de cohomologie est suffisamment non-triviale pour pouvoir récupérer les σ_{d}(π).

Le principe de la preuve du théorème 1.1 n’est pas subtil : on décrit explicitement le complexe RΓ_{c} muni de son action de W_{K}. Il s’avère que l’action de l’inertie est unipotente donnée par un opérateur N dont il faut – entre autres – déterminer l’ordre de nilpotence. En résolvant cette question nous avons été amené à donner une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Itô : Théorème 1.2 Les variétés algébriques sur K uniformisées par Ω_{K}^{d−1} satisfont la conjecture de Deligne sur la pureté de la filtration de monodromie (conjecture Monodromie-Poids). Nous renvoyons à 4.5.1 pour un énoncé plus détaillé. Bien que nous utilisions la suite spectrale de Rapoport-Zink pour les schémas semi-stables, notre preuve est vraiment de nature “théorie des groupes” contrairement à celle d’Itô qui est plus géométrique. Nous obtenons aussi la semi-simplicité des relèvements de Frobenius.

L’ingrédient essentiel de la preuve des théorèmes précédents est le calcul explicite des extensions entre séries principales elliptiques et de leurs ∪-produits. Celui-ci a un sens sur un groupe réductif p-adique G quelconque et est effectué dans la partie 2 dans le cas déployé. Soit B un sous-groupe de Borel de G, on utilise la paramétrisation des sous-quotients irréductibles de C_{\overline{ℚ}_{l}}^{∞}(G/B) par les sous-ensembles de l’ensemble S des racines simples d’un tore maximal T de B dans Lie(B) donnée par

(I ⊆ S) ↦ π_{I} := C_{\overline{ℚ}_{l}}^{∞}(G/P_{I})/ ∑_{J⊃I} C_{\overline{ℚ}_{l}}^{∞}(G/P_{J})

où P_{I} est le parabolique contenant B associé à I, (cf 2.1.3). Voici l’énoncé principal de la partie 2 :

Théorème 1.3 Supposons G semi-simple et posons δ(I, J) = |I ∪ J| − |I ∩ J| pour I, J ⊆ S.

i) Soient I, J deux sous ensembles de S, alors :

Ext_{G}^{∗} (π_{I}, π_{J}) = \{ \begin{matrix}\overline{ℚ}_{l} & si & ∗ = δ(I, J) \\ 0 & si & ∗ ≠ δ(I, J) \end{matrix} .

ii) Soient I, J, K trois sous-ensembles de S tels que δ(I, J) + δ(J, K) = δ(I, K), alors le cup-produit

∪ : Ext_{G}^{δ(I,J)} (π_{I}, π_{J}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}} Ext_{G}^{δ(J,K)} (π_{J}, π_{K}) ⟶ Ext_{G}^{δ(I,K)} (π_{I}, π_{K})

est un isomorphisme.

Signalons que le point i) a aussi été obtenu indépendamment par Orlik dans [34], par une méthode plus directe et moins explicite que la notre. Certains cas particuliers importants de ce point i) avaient été préalablement obtenus par Borel, Casselman et Schneider-Stuhler.

Dans le corps du texte, nous avons énoncé la plupart des résultats pour des anneaux de coefficients plus généraux que \overline{ℚ}_{l}, voir les théorèmes 2.1.4 et 4.1.5. Par exemple pour Λ un corps de caractéristique positive “fortement banale”, 4.1.5 donne un analogue de 1.1 pour la correspondance de Langlands-Vignéras. Ceci complique un peu certains arguments de théorie des représentations, et mêmes certains arguments géométriques : nous avons par exemple été amené à vérifier que le formalisme des cycles évanescents de Rapoport-Zink s’applique encore à certains schémas formels “fortement semi-stables”.

Venons-en maintenant à la généralisation que nous espérons obtenir de ces résultats dans un travail ultérieur. Soit D_{d}^{×} le groupe des inversibles de l’algèbre à division d’invariant 1/d sur K. Drinfeld a attaché à toute représentation irréductible ρ de D_{d}^{×} de caractère central ω_{ρ} : K^{×} ⟶ \overline{ℚ}_{l} d’ordre fini, un \overline{ℚ}_{l}-système local GL_{d}(K)-équivariant L_{ρ} sur Ω_{K}^{d−1}. On peut à nouveau lui associer un complexe RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, L_{ρ}) dans la catégorie dérivée D_{ω_{ρ}}^{b} (GL_{d}(K)) des représentations de caractère central ω_{ρ}. On dit qu’une représentation lisse irréductible de GL_{d}(K) est “elliptique de type ρ” si elle a même caractère infinitésimal que la représentation JL_{d}(ρ) associée à ρ par correspondance de Jacquet-Langlands.

Conjecture 1.3.1 Pour toute série principale elliptique π de type ρ de GL_{d}(K), il existe un isomorphisme W_{K}-équivariant

H^{∗} (RHom_{D_{ωρ}^{b} (GL_{d}(K))} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, L_{ρ}), π)) \underrightarrow{∼} σ_{d}(π) ⊗ | − |^{\frac{d−1}{2}} .

Si π est lisse irréductible mais pas “elliptique de type ρ”, alors le terme de gauche est nul.

Cet énoncé généralise celui de Carayol dans [13] et serait en quelque sorte l’aboutissement de sa “théorie de Lubin-Tate non-abélienne”, au moins du côté des espaces symétriques de Drinfeld. Notons qu’il contient en lui la conjecture Monodromie-Poids (et la semi-simplicité des Frobenius) pour les variétés uniformisées par les revêtements de Drinfeld de Ω_{K}^{d−1}. Les méthodes purement locales et géométriques du présent texte (qui traite le cas ρ = \overline{ℚ}_{l}), seront bien insuffisantes pour le cas général. Néanmoins nous espérons dans un travail ultérieur déduire ce cas général d’un travail en cours de Boyer sur la cohomologie de la tour de Lubin-Tate (où les outils sont fondamentalement de nature globale), via les méthodes de Faltings dans [18], actuellement remaniées et généralisées par Fargues, Genestier et V. Lafforgue (qui, elles, sont de nature purement locales).

Organisation de l’article : Le coeur de ce texte est la partie 4 ; on y prouve les théorèmes 1.1 et 1.2 ci-dessus. Il est conseillé de la lire directement après avoir lu les énoncés et notations des théorèmes 2.1.4 et 3.1.1. La partie 2 est consacrée à la preuve du théorème 1.3. La partie 3 contient le calcul de la cohomologie à supports compacts de Ω_{K}^{d−1} : comme nous n’avons pas su adapter la stratégie de Schneider et Stuhler aux coefficients l-adiques, notre calcul suit une autre méthode que Drinfeld avait utilisée en rang d = 2. Le premier appendice contient quelques lemmes généraux sur les t-catégories utilisés dans la partie 4. Le second fournit les fondements nécessaires pour la partie 4 ; nous exposons le formalisme de cohomologie continue de torsion de Berkovich, puis nous en proposons une extension aux coefficients l-adiques et démontrons une compatibilité aux quotients. Le point-de-vue que nous adoptons est différent de celui de Harris dans [20], [21], et plutôt inspiré de celui de Fargues [19].

Je remercie M. Harris pour les nombreux échanges à propos du contenu de ce texte et V. Berkovich de m’avoir permis d’utiliser ses notes non-publiées. J’ai aussi été aidé au cours de ma rédaction par de nombreuses conversations avec P. Boyer, L. Fargues, G. Henniart, B.C. Ngo, S. Orlik et M. Strauch que je remercie tous. Les idées principales de ce texte sont apparues au cours de longues discussions avec Alain Genestier qui m’a initié aux espaces de Drinfeld. Sans lui, pas une ligne n’aurait été écrite. Ces discussions ont été permises par l’environnement exceptionnel de l’IHES ; je remercie cet institut pour sa longue hospitalité et Laurent Lafforgue pour m’y avoir invité en compagnie de ceux que je viens de remercier.

2 Extensions dans la série principale

2.1 Notations et premier énoncé

2.1.1 Soit G un groupe réductif déployé sur un corps local non-archimédien F dont on fixe un tore maximal déployé T et un sous-groupe de Borel B_{+} de radical unipotent U_{+}. On notera les groupes de points F -rationnels par les caractères non épaissis correspondants G, T, B_{+}. En désignant par X_{∗}(T) le groupe des cocaractères de T, on pose X := X_{∗}(T) ⊗ ℝ. L’ensemble S des racines simples de T dans Lie(U_{+}) sera parfois considéré comme un sous-ensemble du dual X^{∗} de X. Le groupe de Weyl correspondant est noté W. Comme d’habitude, un sous-groupe parabolique sera dit standard s’il contient B_{+} et un sous-groupe de Levi sera dit standard si c’est la composante de Levi contenant T d’un sousgroupe parabolique standard. Les sous-groupes de Levi standards sont en bijection avec les sous-ensembles de S.

2.1.2 Pour J ⊆ S, on notera M_{J} le sous-groupe de Levi standard dont le système de racines de T associé est engendré par J. On a donc M_{J} = Z_{G}(∩_{α∈J} ker α)^{0}. On notera aussi A_{J} le centre connexe de M_{J} et a_{J} := X_{∗}(A_{J}) ⊗ ℝ. On remarquera que a_{∅} = X. En général, l’injection canonique X_{∗}(A_{J}) ⟶ X_{∗}(T) identifie a_{J} à

{x ∈ X, ∀α ∈ J, ⟨x, α⟩ = 0}.

2.1.3 Représentations : Si R est un anneau commutatif tel que p ∈ R^{×}, on dit qu’un R-module V muni d’une action π de G est lisse si le stabilisateur de tout élément est ouvert ; on dit de plus qu’un tel RG-module est admissible si pour tout sous-groupe ouvert compact H, le R-module V^{H} des H-invariants est de type fini. On ommetra souvent le V de nos notations en désignant par π à la fois la représentation de G et son R-module sous-jacent. La catégorie abélienne des RG-modules lisses sera notée Mod_{R}(G). Cette catégorie a suffisamment d’objets projectifs et injectifs. Nous noterons simplement Ext_{RG}^{∗} (−, −) les groupes d’extensions dans cette catégorie.

Soit J ⊂ S. Notons P_{J} le groupe parabolique standard engendré par M_{J} et B_{+}. Pour tout K ⊃ J, on a une injection canonique C_{R}^{∞}(G/P_{K}) ↪ C_{R}^{∞}(G/P_{J}). On pose alors

π_{J}^{R} := C_{R}^{∞}(G/P_{J})/ ( ∑_{K⊃J} C_{R}^{∞}(G/P_{K})) .

C’est une R-représentation admissible de G. Notre but ici est de démontrer le théorème suivant, dans lequel on utilise la notation δ(I, J) pour le cardinal de la différence symétrique Δ(I, J) := (I ∪ J) \ (I ∩ J) entre deux sous-ensembles I, J de S.

Théorème 2.1.4 Supposons G semi-simple et soit R un anneau fortement banal pour G au sens de 2.1.6 ci-dessous.

i) Soient I, J deux sous ensembles de S, alors :

Ext_{RG}^{∗} (π_{I}^{R}, π_{J}^{R}) = \{ \begin{matrix}R & si & ∗ = δ(I, J) \\ 0 & si & ∗ ≠ δ(I, J) \end{matrix} .

ii) Soient I, J, K trois sous-ensembles de S tels que δ(I, J) + δ(J, K) = δ(I, K), alors le cup-produit

∪ : Ext_{RG}^{δ(I,J)} (π_{I}^{R}, π_{J}^{R}) ⊗_{R} Ext_{RG}^{δ(J,K)} (π_{J}^{R}, π_{K}^{R}) ⟶ Ext_{RG}^{δ(I,K)} (π_{I}^{R}, π_{K}^{R})

est un isomorphisme.

Ce théorème sera précisé par la proposition 2.2.11 dans laquelle nous construisons de manière explicite des extensions de Yoneda engendrant les Ext non-triviaux qui sont décrits ci-dessus. Il généralise des résultats précédents de Casselman et Schneider-Stuhler [38, Prop 5.9]. Par ailleurs le point i) a aussi été obtenu indépendamment par S. Orlik via une méthode plus directe mais moins explicite, sous l’hypothèse supplémentaire que R est auto-injectif, mais pour des groupes pas nécessairement déployés.

2.1.5 Bonnes caractéristiques : Suivant une terminologie introduite par Vignéras, on dira qu’un nombre premier l est banal pour G s’il ne divise pas l’ordre d’un sous-groupe compact de G. On notera aussi

N_{G} := (p′-partie du pro-ordre de G) ∈ ℕ^{×}.

Lorsqu’on considère des représentations de G à valeurs dans un corps, l’hypothèse “de caractéristique banale” nous permettra d’utiliser des résultats de finitude cohomologique et de fidélité des foncteurs de Jacquet sur les représentations de la série principale. Mais pour des raisons de calculs d’exposants (cf surtout le lemme 2.3.11), cette hypothèse ne suffira pas pour nos arguments.

Notons ρ ∈ X^{∗}(T) le déterminant de l’action de T sur LieU_{+}. Vu comme élément de X^{∗}, c’est aussi la somme des racines S-positives et on peut écrire ρ = ∑_{α∈S} n_{α}α pour des entiers positifs n_{α}. On dira qu’un nombre premier l est bon pour G si le cardinal q_{F} du corps résiduel k_{F} de F est d’ordre ⩾ sup_{α}(n_{α}) modulo l, ou ce qui est équivalent si l est premier à l’entier

N_{W} := ∏_{k⩽sup(n_{α})}(q_{F}^{k} − 1).

Pour GL(n), on a (n − 1)(n + 1)/4 ⩽ sup(n_{α}) ⩽ n^{2}/4, et on voit donc que pour n ⩾ 4, “bon” implique “banal”. Cependant, en petit rang, il peut exister des l non banals et bons au sens ci-dessus, par exemple pour GL(2).

Définition 2.1.6 Nous dirons dorénavant qu’un anneau R est banal, resp. fortement banal pour G si l’entier pN_{G}, resp. l’entier pN_{G}N_{W} est inversible dans R.

Nous n’utilisons dans ce texte que le calcul pour un groupe semi-simple (et même pour PGL_{n}). Mentionnons tout de même le calcul pour un groupe réductif (déployé).

Corollaire 2.1.7 Supposons G réductif déployé, de centre de dimension d, et R fortement banal pour G. Alors pour tous sous-ensembles I, J de S, on a

Ext_{G}^{∗} (π_{I}^{R}, π_{J}^{R}) = \{ \begin{matrix}R^{(^{d}_{r})} & si & ∗ = δ(J, I) + r, 0 ⩽ r ⩽ d \\ 0 & si & ∗ < δ(J, I) ou ∗ > δ(J, I) + d \end{matrix}

Preuve : (À partir du cas semi-simple) Notons Z le centre de G. Le foncteur d’inflation Mod_{R}(G/Z) ⟶ Mod_{R}(G) est exact et admet pour adjoint à gauche le foncteur des Z-coinvariants

\begin{matrix}Mod_{R}(G) & → & Mod_{R}(G/Z) \\ V & ↦ & V_{Z} := V/⟨v − zv, v ∈ V, z ∈ Z⟩ \end{matrix} .

Ce dernier envoie donc projectifs sur projectifs, et est exact à droite. On a donc la composée de foncteurs dérivés suivante

RHom_{G} (?, π_{I}^{R}) ≃ RHom_{G/Z} (L(? ↦?_{Z}), π_{I}^{R}) .

Comme la restriction à Z d’un RG-module projectif lisse est un RZ-module projectif lisse (puisque l’induction lisse est un adjoint à droite exact de la restriction), on a des isomorphismes L^{q}(? ↦?_{Z}) ≃ H_{q}(Z,?) (groupes d’homologie) pour tout RG-module lisse ?. On en déduit une suite spectrale (E_{r}^{pq})_{r∈ℕ} de deuxième terme

E_{2}^{pq} = Ext_{G/Z}^{p} (H_{q}(Z, π_{J}^{R}), π_{I}^{R})

convergeant vers le gradué de Ext_{G}^{p+q} (π_{J}^{R}, π_{I}^{R}) pour une certaine filtration.

Or, on a des isomorphismes de R(G/Z)-modules lisses

H_{q}(Z, π_{J}^{R}) ≃ π_{J}^{R} ⊗ H_{q}(Z, R),

le terme à la droite du ⊗ étant muni de l’action triviale de G/Z. Par le théorème précédent, il s’ensuit que seule la colonne p = δ(I, J) du terme E_{2}^{pq} est non nulle, et par conséquent la suite spectrale dégénère fortement en un isomorphisme

E_{2}^{δ(I,J)q} = H_{q}(Z, R) \underrightarrow{∼} Ext_{G}^{δ(I,J)+q} (π_{J}^{R}, π_{I}^{R}) .

Rappelons maintenant que Z ≃ ℤ^{d}×Z^{0} où Z^{0} est le sous-groupe compact maximal de Z, dont le pro-ordre est supposé inversible dans R. Ainsi on a un isomorphisme

H_{q}(Z, R) \underrightarrow{∼} H_{q}(ℤ^{d}, R).

Maintenant un calcul classique (par le complexe de Koszul par exemple, voir [11, V.6.4 (ii)]) montre que H_{q}(ℤ^{d}, R) est un R-module libre de dimension (_{q}^{d}) pour q ⩽ d et est nul pour q > d.

□

2.2 Construction explicite d’extensions

Nous commençons cette section par un peu de combinatoire.

2.2.1 Soient J, K deux sous-ensembles de S. Comme ci-dessus, on note

Δ(J, K) := (J ∪ K) \ (J ∩ K)

la différence symétrique de J et K dans S et δ(J, K) son cardinal. Par exemple, Δ(J, S) = J^{c}, le complémentaire de J dans S. On voit facilement que

Δ(J, Δ(J, K)) = K et Δ(J^{c}, K) = Δ(J, K)^{c},

et non moins facilement que

Lemme 2.2.2 Soient I, J, K trois sous-ensembles de S. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Δ(I, J) ⊇ Δ(J, K)

ii) Δ(I, J) = Δ(J, K) ⊔ Δ(K, I)

iii) δ(I, J) = δ(J, K) + δ(K, I)

Preuve : Notons χ_{?} : S ⟶ ℤ la fonction caractéristique d’un sous-ensemble ? de S. On a χ_{Δ(I,J)} = χ_{I} + χ_{J} − 2χ_{I∩J}. Deux calculs immédiats montrent que chacun des deux premiers points est équivalent à l’égalité

χ_{K} − χ_{K∩I} − χ_{K∩J} + χ_{I∩J} = 0.

Notons maintenant pour une fonction f : S ⟶ ℤ sa “somme” par ∫_{S} f := ∑_{s∈S} f(s). Alors δ(I, J) = ∫_{S} χ_{Δ(I,J)}. Un nouveau calcul immédiat montre alors que le point iii) est équivalent à l’égalité

∫_{S} (χ_{K} − χ_{K∩I} − χ_{K∩J} + χ_{I∩J}) = 0.

Mais la fonction sommée est à valeurs ⩾ 0, donc la nullité de sa somme équivaut à sa nullité. □

2.2.3 Soit J ⊆ S. On lui associe une fonction signe

ϵ_{J} : S → {±1}
α ↦ −1 si et seulement si α ∈ J

et un cône ouvert de X

X_{J} := {x ∈ X, ∀α ∈ S, ϵ_{J}(x)⟨x, α⟩ > 0}.

Les X_{J} sont les composantes connexes de X privé des hyperplans orthogonaux aux racines simples. En particulier, X_{∅} est la chambre de Weyl associée à B_{+} et X_{S} est celle associée au Borel opposé à B_{+}. En général, une chambre de Weyl est soit contenue dans soit disjointe d’un cône X_{J}.

Si maintenant J et K sont deux sous-ensembles de S, et si l’on convient de surligner les adhérences pour la topologie réelle de X, on constate que \overline{X_{K}} ∩ \overline{X_{J}} est un cône fermé vectoriellement générateur (ou ce qui est équivalent, contenant un sous-ensemble ouvert) de

a_{Δ(J,K)} = {x ∈ X, ∀α ∈ Δ(J, K), ⟨x, α⟩ = 0}.

Plus précisément, c’est une réunion d’adhérences de chambres paraboliques de a_{Δ(J,K)} (une chambre parabolique de a_{J} est par définition une composante connexe du complémentaire de l’union des hyperplans associés aux racines de A_{J} dans le parabolique standard associé à M_{J}. C’est aussi le a_{J}-intérieur de l’intersection de l’adhérence d’une chambre de Weyl de X avec a_{J}, lorsque cet intérieur est non vide. Ainsi les chambres paraboliques sont en bijection avec les sous-groupes paraboliques de G de Levi M_{J}).

2.2.4 Représentations induites d’un Borel : Par commodité, nous allons supposer que R contient une racine carrée de p, fixée une fois pour toutes. Ceci n’est pas nécessaire pour les constructions qui suivent mais simplifie l’exposition. Cela nous permet en particulier de définir

δ := δ_{B_{+}}^{− \frac{1}{2}}

où δ_{B_{+}} : A_{∅} ⟶ R^{×} est le caractère-module de B_{+}, et de normaliser les induites paraboliques. Lorsque B est un sous-groupe de Borel contenant A_{∅}, nous notons i_{B}^{G} (δ) l’induite parabolique normalisée de δ le long de B. On a i_{B}^{G}(δ) = Ind_{B}^{G} (δδB^{\frac{1}{2}}) ce qui montre que l’on peut définir cette induite sans racine de p.

Rappelons qu’on définit une “distance” d(B, B′) entre deux sous-groupes de Borel contenant A_{∅} par

d(B, B′) := |Σ(A_{∅}, Lie(B)) \ Σ(A_{∅}, Lie(B′))|.

Enfin nous noterons C(B) ⊂ X la chambre de Weyl de X associée au sous-groupe de Borel B. Le lemme suivant est bien connu dans le cas R = ℂ.

Lemme 2.2.5 On suppose que R est un anneau fortement banal pour G, cf 2.1.6 (pour G = GL(n), banal suffit). Soient B, B′ deux sous-groupes de Borel.

i) Hom_{G} (i_{B}^{G}(δ), i_{B′}^{G} (δ)) ≃ R et contient un générateur canonique noté J_{B′|B}, et appelé simplement “opérateur d’entrelacement”. ii) Si d(B, B′′) = d(B, B′) + d(B′, B′′), alors J_{B′′|B′} ∘ J_{B′|B} = J_{B′′|B}. iii) Si B et B′ sont contenus dans un sous-groupe parabolique P dont on note M la composante de

Levi (semi-standard), alors on a J_{B′|B} = i_{P}^{G} (J_{B′_{M} |B_{M}}) où J_{B′_{M} |B_{M}} est l’opérateur d’entrelacement i_{B∩M}^{M} (δ) ⟶ i_{B′∩M}^{M} (δ).

iv) On a équivalence entre les assertions suivantes : (a) i_{B}^{G}(δ) et i_{B′}^{G} (δ) sont isomorphes (ou, ce qui est équivalent par i), J_{B′|B} est un isomorphisme).

(b) C(B) et C(B′) sont contenues dans un même X_{J}, pour un certain J ⊆ S.

v) Si C(B) ⊂ X_{J}, alors il existe une factorisation

J_{\overline{B}|B} : i_{B}^{G}(δ) ↠ π_{J}^{R} ↪ iG ; \overline{B}(δ).

Autrement dit, on a un isomorphisme im J_{\overline{B}|B} \underrightarrow{∼} π_{J}^{R}. (On note \overline{B} le Borel opposé).

Pour alléger cette section, nous reportons la preuve de ce lemme à la section 2.5. Nous fixons dorénavant l’anneau R fortement banal pour G et l’omettrons de la plupart des notations.

Choisissons maintenant pour chaque J ⊆ S un Borel B_{J} tel que C(B_{J}) ⊂ X_{J} et posons

I_{J} := i_{B_{J}}^{G} (δ). (2.2.6)

D’après le lemme précédent, la classe d’isomorphisme de I_{J} ne dépend pas du choix de B_{J} et ses endomorphismes sont tous scalaires. Toujours le lemme précédent nous fournit aussi un opérateur d’entrelacement

J_{J|K} : I_{K} ⟶ I_{J},

dont la classe d’homothétie ne dépend pas des choix. En particulier, la classe d’isomorphisme de son image ne dépend pas non plus de ces choix.

Lemme 2.2.7 Soient I, J, K ⊆ S tels que Δ(I, J) ⊇ Δ(K, J). Alors on a une factorisation à homothétie inversible près

J_{J|I} ∈ R^{×}.(J_{J|K} ∘ J_{K|I})

Preuve : Puisqu’on veut une factorisation à homothétie près, on peut jouer sur les choix des sous-groupes de Borel B_{I}, B_{J} et B_{K}. Il nous suffit donc de montrer qu’on peut les choisir de sorte que

J_{B_{J} |B_{I}} = J_{B_{J} |B_{K}} ∘ J_{B_{K}|B_{I}} .

D’après le point iii) du lemme 2.2.5, il nous suffit de trouver des chambres C_{I} et C_{J} respectivement dans X_{I} et X_{J} reliées par une galerie tendue dont l’une des chambres intermédiaires est dans X_{K}. (Nous renvoyons à [12] pour la notion de galerie tendue et l’usage simple que l’on en fait ci-dessous).

Pour cela, on commence par choisir des chambres C_{I} et C_{K}^{1} telles que \overline{C_{I}} ∩ \overline{C_{K}^{1}} soit une chambre parabolique de \overline{X_{I}} ∩\overline{X_{K}} ⊂ a_{Δ(I,K)}, que nous noterons F_{IK}. De la même manière, on choisit deux chambres C_{J} et C_{K}^{2} dont l’intersection des adhérences est une chambre parabolique F_{JK} de \overline{X_{J}} ∩ \overline{X_{K}} ⊂ a_{Δ(J,K)}. Par définition de nos chambres paraboliques, si x est un point intérieur à F_{IK},

ϵ_{K}(α)⟨x, α⟩ est \{ \begin{matrix}> 0 & si & α ∈ Δ(I, K)^{c} \\ = 0 & si & α ∈ Δ(I, K) \end{matrix}

De même, si y est un point intérieur à F_{JK},

ϵ_{K}(α)⟨y, α⟩ est \{ \begin{matrix}> 0 & si & α ∈ Δ(J, K)^{c} \\ = 0 & si & α ∈ Δ(J, K) \end{matrix}

Comme Δ(I, K) ∩ Δ(J, K) = ∅ (lemme 2.2.2), on en déduit que pour tout point z du segment ouvert ]x, y[ dans X, on a

ϵ_{K}(α)⟨z, α⟩ > 0 pour tout α ∈ S,

de sorte que z ∈ X_{K}. En conséquence, l’enclos des chambres C_{I} et C_{J}, qui contient bien sûr l’enveloppe convexe de F_{JK} ∪F_{IK} a une intersection non vide avec X_{K}, et donc avec au moins une chambre C_{K} ⊂ X_{K}. Par définition de l’enclos, il existe une galerie tendue entre C_{I} et C_{J} passant par C_{K}.

□

2.2.8 Intermède simplicial : Soit E un ensemble fini. On lui associe une petite catégorie P(E) dont les objets sont tous les sous-ensembles de E et les flèches sont les inclusions. On appelle système de coefficients sur P(E) à valeurs dans une catégorie abélienne C tout foncteur contravariant P(E) ⟶^{V} C.

On veut associer un complexe de chaînes à un tel système de coefficients. Il faut pour cela choisir une orientation de P(E). On peut par exemple choisir un ordre total ⩽ sur E et définir pour I ⊂ I′ ⊆ E tels que I′ = I ⊔ {e} un signe ϵ(I, I′) := (−1)^{|{i∈I,i⩽e}|}.

On définit alors le complexe de chaînes C_{∗}(P(E), V) associé au système de coefficients V :

0 ⟶ V(E) ⟶^{d_{|E|}} ⋯ ⟶ ⨁_{|I|=n,I⊆E} V(I) ⟶^{d_{n}} ⨁_{|I|=n−1} V(I) ⟶ ⋯ ⟶ V(∅) ⟶ 0

où

d_{n} = ⨁_{|I|=n} ∑_{I′⊂I} ϵ(I, I′)V(I′ ⊂ I).

Il est bien connu que le complexe de chaînes associé à un système de coefficients constant est acyclique, sauf si E = ∅.

2.2.9 Fixons dorénavant deux sous-ensembles I, J de S. Nous allons définir un système de coefficients V_{I,J} sur la catégorie P(Δ(I, J)) à valeurs dans Mod_{R}(G). Pour cela, posons brutalement pour tout K ⊆ Δ(I, J)

V_{I,J}(K) := im (J_{J^{c}|Δ(I,K)} : I_{Δ(I,K)} ⟶ I_{J^{c}}) .

En écrivant K = Δ(I, Δ(I, K)) et en utilisant le lemme 2.2.2, on obtient Δ(J, Δ(I, K)) = Δ(I, J) \ K, puis en passant au complémentaire, Δ(J^{c}, Δ(I, K)) = K ⊔ Δ(I, J)^{c}. On a donc

K ⊂ K′ ⊆ Δ(I, J) ⇒ Δ(J^{c}, Δ(I, K)) ⊂ Δ(J^{c}, Δ(I, K′))

donc d’après le lemme 2.2.7, on a une inclusion canonique

V_{I,J}(K ⊂ K′) : V_{I,J}(K′) ↪ V_{I,J}(K).

On a donc ainsi défini un système de coefficients V_{I,J}, qui dépend des choix des sous-groupes de Borel B_{J} mais dont la classe d’isomorphisme n’en dépend pas. En supposant fixé un ordre total sur S, on obtient un complexe de chaînes C_{∗}(P(Δ(I, J)), V_{I,J}) de longueur δ(I, J). On peut augmenter ce complexe par le morphisme surjectif suivant : puisque ker (J_{J^{c}|I}) ⊆ ker (J_{I^{c}|I}) (par le lemme 2.2.7), le morphisme I_{I} ⟶ im (J_{I^{c}|I}) = π_{I} du point v) du lemme 2.2.5 se factorise en

V_{I,J}(∅) = im (I_{I} ⟶^{J_{J^{c}|I}} I_{J^{c}}) ⟶ π_{I}

Nous noterons C_{∗}(V_{I,J})^{+} le complexe ainsi augmenté. En faisant le changement de variable K ↦ Δ(I, K) dans la définition du complexe de chaînes, le complexe augmenté C_{∗}(V_{I,J})^{+} s’écrit aussi :

\begin{aligned}0 ⟶ π_{J} ≃ im (J_{J^{c}|J}) ⟶ ⋯ & ⟶^{d_{n+1}} & ⨁_{\begin{matrix}δ(I, K) = n \\ δ(J, K) = δ(I, J) − n \end{matrix}} im (J_{J^{c}|K}) \\ & ⟶^{d_{n}} & ⋯ ⟶ im (J_{J^{c}|I}) ⟶ π_{I} ⟶ 0, \end{aligned} (2.2.10)

le terme π_{I} étant en degré 1 et le terme π_{J} ≃ im (J_{J^{c}|J}) (cet isomorphisme vient de 2.2.5 v)) en degré −δ(I, J).

On peut maintenant énoncer une version explicite du théorème 2.1.4 :

Théorème 2.2.11 Supposons R fortement banal pour G. Soient I, J ⊆ S.

i) Le complexe augmenté C_{∗}(V_{I,J})^{+} de 2.2.10 est acyclique. ii) Soit α_{I,J} ∈ Ext_{RG}^{δ(I,J)} (π_{I}, π_{J}) la classe de C_{∗}(V_{I,J})^{+}. Alors pour tout H ⊆ S tel que δ(H, J) =

δ(H, I) + δ(I, J), le ∪-produit

α_{I,J} ∪ − : Ext_{RG}^{∗} (π_{H}, π_{I}) ⟶ Ext_{RG}^{∗+δ(I,J)} (π_{H}, π_{J})

est un isomorphisme pour ∗ ∈ ℤ. La preuve occupera les sections suivantes. Précisons tout de même comment cet énoncé implique le

théorème 2.1.4. Cela utilise le lemme suivant : Lemme 2.2.12 Supposons R banal pour G et soit I ⊆ S.

i) On a R \underrightarrow{∼} End_{RG} (π_{I}).

ii) Si G est semi-simple, il existe une résolution projective de π_{I} dans Mod_{R}(G) de longueur |S| + 1. Preuve : Pour le point i), choisissons un sous-groupe de Borel B tel C(B) ⊂ X_{I}. D’après 2.2.5 v) on a un monomorphisme de R-modules

End_{RG} (π_{I}) ↪ Hom_{RG} (i_{B}^{G}(δ), iG ; \overline{B}(δ)) .

Mais d’après 2.2.5 i), c’est un isomorphisme et le terme de droite est libre de rang 1 sur R.

Le point ii) est standard ; rappelons les arguments. Puisque l’immeuble de Bruhat-Tits de (G, F) est contractile, son complexe de “chaînes à supports finis” est une résolution de longueur |S| + 1 à gauche du R-module R. Cette résolution est G-équivariante lorsque G est simplement connexe. Dans le cas général, il n’y a pas nécessairement d’orientation équivariante mais Schneider et Stuhler ont introduit une variante G-équivariante de ce complexe de chaînes, cf le premier paragraphe de [40, II.1]. Les composantes de ce complexe sont des sommes d’induites ind_{G_{F}}^{G} (R) où G_{F} est un sous-groupe ouvert compact de G. Ainsi, si on tensorise cette résolution par le R-module libre π_{I}^{R} et si on la munit de l’action diagonale de G, on obtient une résolution de longueur |S|+1 de π_{I}^{R} dont les composantes sont des sommes d’induites du type ind_{G_{F}}^{G} ((π_{I}^{R})_{|G_{F}} ). Ces induites sont des objets projectifs (pas de type fini) de Mod_{R}(G) car le pro-ordre de G_{F} est inversible dans R.

□

2.2.13 Le théorème 2.2.11 implique le théorème 2.1.4 : Commençons par remarquer le cas particulier H = I de 2.2.11 ii) : on obtient un isomorphisme

α_{I,J} ∪ − : Hom_{RG} (π_{I}, π_{I}) \underrightarrow{∼} Ext_{RG}^{δ(I,J)} (π_{I}, π_{J}) ,

ce qui, compte tenu de l’isomorphisme de 2.2.12 i), montre que Ext_{RG}^{δ(I,J)} (π_{I}, π_{J}) est libre de rang 1 sur R et engendré par α_{I,J}.

Il faut maintenant montrer l’annulation des autres Ext. Toujours par le cas particulier ci-dessus du point ii) de 2.2.11, il suffit de prouver que pour tout I,

Ext_{RG}^{∗} (π_{I}, π_{I}) = 0 dès que ∗ > 0.

Appliquons pour cela ce point ii) au cas H = I = J^{c}. On obtient les isomorphismes

Ext_{RG}^{∗} (π_{I}, π_{I}) \underrightarrow{∼} Ext_{RG}^{|S|+∗} (π_{I}, π_{I^{c}}) .

Or par 2.2.12 ii), le terme de droite est nul dès que ∗ > 0. On a donc prouvé le point i) de 2.1.4. Le point ii) de ce même théorème est alors une conséquence immédiate du point ii) de 2.2.11.

2.2.14 L’image de J_{J|K} : Autant pour expliciter un peu les termes du complexe 2.2.10 que pour la preuve du théorème 2.2.11 dans les sections suivantes, nous voulons décrire assez précisément l’image de l’opérateur d’entrelacement J_{J|K} : I_{K} ⟶ I_{J} associé à deux sous-ensembles J, K de S.

Pour cela, nous devons malheureusement compliquer encore un peu les notations. Si T ⊆ S, le groupe de Levi M_{T} est un groupe réductif, muni d’un tore maximal, A_{∅}, et d’une base de son système de racines, T, associée au sous-groupe de Borel B_{+} ∩ M_{T}. La construction 2.1.3 permet donc d’associer à tout sous-ensemble I de T une représentation de M_{T} que nous noterons π_{I,T}. Par exemple, π_{T,T} est la représentation triviale de M_{T}, π_{∅,T} est sa représentation de Steinberg, et pour T = S on a M_{S} = G et on retrouve π_{I,S} = π_{I}.

Lemme 2.2.15 Fixons deux sous-ensembles J, K de S et notons simplement Δ := Δ(J, K). Pour tout sous-groupe parabolique P_{K,J} de G associé à une chambre parabolique (cf 2.2.3) de a_{Δ} contenue dans \overline{X_{J}} ∩ \overline{X_{K}}, on a

im (J_{J|K}) ≃ i_{P_{K,J}}^{G} (δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ}).

(Rappelons que P_{Δ} est le sous-groupe parabolique standard de Levi M_{Δ}).

Preuve : Comme la classe d’isomorphisme de l’image de J_{J|K} ne dépend que de la classe d’homothétie de cet opérateur, nous pouvons jouer sur les choix de B_{J} et B_{K} qui interviennent dans la définition 2.2.6. Choisissons donc ces sous-groupes de Borel de sorte que chacun soit contenu dans P_{K,J}. Il suffit pour cela que les chambres de Weyl associées vérifient C(B_{J}) ⊂ X_{J}, C(B_{K}) ⊂ X_{K} et \overline{C(B_{K})} ∩ \overline{C(B_{J})} = \overline{C(P_{K,J})} en notant C(P_{K,J}) la chambre parabolique de a_{Δ} associée à P_{K,J}.

On déduit alors du point iii) du lemme 2.2.5 l’existence d’un diagramme commutatif

[figure: I_{K} = i_{B_{K}}^{G} (δ); J_{J|K}; I_{J} = i_{B_{J}}^{G} (δ); i_{P_{K,J}}^{G} (i_{M_{Δ}∩B_{K}}^{M_{Δ}} (δ)); i_{P_{K,J}}^{G} (J); i_{P_{K,J}}^{G} (i_{M_{Δ}∩B_{J}}^{M_{Δ}} (δ))]

où

J = J_{M_{Δ}∩B_{J} |M_{Δ}∩B_{K}} : i_{M_{Δ}∩B_{K}}^{M_{Δ}} (δ) ⟶ i_{M_{Δ}∩B_{J}}^{M_{Δ}} (δ)

est l’opérateur d’entrelacement canonique. On a une factorisation δ = δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} δ_{M_{Δ}∩B_{+}}^{− \frac{1}{2}}, et on est donc ramené à prouver que l’image de l’opérateur d’entrelacement

J = J_{M_{Δ}∩B_{K}|M_{Δ}∩B_{J}} : i_{M_{Δ}∩B_{K}}^{M_{Δ}} (δ_{M_{Δ}∩B_{+}}^{− \frac{1}{2}}) ⟶ i_{M_{Δ}∩B_{J}}^{M_{Δ}} (δ_{M_{Δ}∩B_{+}}^{− \frac{1}{2}})

est isomorphe à π_{K∩Δ,Δ}. Mais puisque J ∩ Δ = Δ \ (K ∩ Δ), ceci est le point v) du lemme 2.2.5. □

Corollaire 2.2.16 Le système de coefficients V_{I,J} et le complexe augmenté C_{∗}(V_{I,J})^{+} sont compatibles au changement de scalaires en le sens suivant : si R ⟶^{ψ} R′ est un morphisme d’anneaux fortement banals, alors les morphismes canoniques

V_{I,J}^{R} ⊗_{R,ψ} R′ ⟶ V_{I,J}^{R′}, resp. C_{∗}(V_{I,J}^{R})^{+} ⊗_{R,ψ} R′ ⟶ C^{∗}(V_{I,J}^{R′})^{+}

sont des isomorphismes de systèmes de coefficients sur Δ(I, J) à coefficients dans Mod_{R′}(G), resp. de complexes de R′G-représentations lisses.

Preuve : Il suffit bien-sûr de vérifier l’assertion pour le système de coefficients, puisque le complexe de chaînes lui est associé fonctoriellement (seule l’augmentation demande un argument supplémentaire mais qui ne pose pas de problème). Par le lemme précédent, on est ramené à prouver que pour tout I ⊆ T ⊆ S, l’application π_{I,T}^{R} ⊗_{R,ψ} R′ ⟶ π_{I,T}^{R′} est un isomorphisme de R′G-représentations. Mais cela résulte de l’exactitude à droite du produit tensoriel et de la définition de π_{I,T} comme conoyau de la flèche

⨁_{T ⊇J⊃I} Ind_{P_{J} ∩M_{T}}^{M_{T}} (1) ⟶ Ind_{P_{I}∩M_{T}}^{M_{T}} (1)

puisque cette flèche est clairement compatible à l’extension des scalaires. □

2.3 Le cas R corps algébriquement clos

Dans cette section on suppose que R est un corps algébriquement clos de caractéristique ≠ p, dans lequel on choisit une racine de p pour normaliser les foncteurs paraboliques. Pour un sous-groupe parabolique P de Levi M, on notera i_{P}^{G} et r_{G}^{P} les foncteurs d’induction et restriction paraboliques normalisés.

La caractéristique de R sera toujours supposée banale, cf 2.1.6. La raison essentielle vient du résultat suivant :

Fait 2.3.1 Appelons “bloc principal” de Mod_{R}(G) la sous-catégorie pleine des objets dont tous les sousquotients irréductibles sont de la série principale, c’est-à-dire apparaissent comme sous-quotients d’induites i_{B}^{G} (χ) pour χ caractère non ramifié de T. Lorsque R est de caractéristique banale pour G, alors cette sous-catégorie est “facteur direct” de Mod_{R}(G), et les restrictions des foncteurs r_{G}^{B}, pour B un sous-groupe de Borel , y sont fidèles. Preuve : Lorsque R = ℂ, ceci est une partie du théorème principal de Bernstein dans [9]. La preuve est une élaboration du fait que si une représentation irréductible complexe est cuspidale, c’est-à-dire annulée par tous les foncteurs de restriction parabolique, alors elle est projective dans la catégorie des représentations complexes à caractère central fixé. Cette propriété des cuspidales n’est pas vraie en toutes caractéristiques, mais d’après [42], elle l’est en caractéristiques banales. À partir de là, il est communément admis (voir par exemple [43]) que les arguments de Bernstein s’appliquent de la même manière que dans le cas complexe. □

2.3.2 Séries principales elliptiques : Nous allons tout d’abord préciser et renforcer le lemme 2.2.5 dans le cas d’un corps. Appelons “séries principales elliptiques” les sous-quotients irréductibles de l’induite Ind_{B_{+}}^{G} (1) = i_{B_{+}}^{G}(δ) (bien que cette terminologie soit peut-être un peu usurpée lorsque G ≠ GL(n)). Dans le cas R = ℂ, elles sont classifiées par les sous-ensembles de S, comme on peut le déduire de plusieurs travaux plus ou moins indépendents dont ceux de Rodier dans [36], Langlands (“quotient de Langlands”) ou Bernstein-Zelevinski. Pour GL(n), Vignéras les a classifiées en toutes caractéristiques (≠ p) et dans le cas (fortement) banal, on obtient encore une paramétrisation par les sous-ensembles de S. Toutes ces approches montrent en particulier que ces représentations sont toutes de la forme π_{I}^{R} définie en 2.1.3. Le lemme suivant montre entre autres qu’il en est bien de même sur R de caractéristique fortement banale pour G.

Lemme 2.3.3 R est un corps algébriquement clos de caractéristique fortement banale (pour G = GL(n), “banale” suffit).

i) Pour tout sous-groupe de Borel B, l’induite i_{B}^{G} (δ) a un unique quotient irréductible et toute série principale elliptique est isomorphe à un tel quotient.

ii) On a équivalence entre les assertions suivantes : (a) i_{B}^{G}(δ) et i_{B′}^{G} (δ) sont isomorphes.

(b) leurs quotients irréductibles sont isomorphes

(c) C(B) et C(B′) sont contenues dans un même X_{J}, pour J ⊂ S. iii) Pour tout J ⊆ S, π_{J}^{R} est irréductible. Si C(B) ⊂ X_{J} alors le quotient irréductible de i_{B}^{G} (δ) est

isomorphe à π_{J}^{R}. iv) Soit w_{0} l’élément de plus grande longueur de W_{G}. Alors la contragrédiente de π_{J}^{R} est π_{−w_{0}(J)}^{R}.

La preuve de ce lemme est donnée avec celle de 2.2.5 dans la section 2.5. Remarquons que tous les points peuvent être mis en défaut en caractéristique non banale, même l’irréductibilité des π_{I}^{R}.

Remarque 2.3.4 (Paramètres de Langlands de π_{J}^{ℂ}). On suppose ici que R = ℂ et G = GL(n). D’après le lemme précédent, π_{J} est l’unique quotient irréductible de im (J_{K|J}) pour tout K et donc en particulier

pour K = S. Or d’après le lemme 2.2.15 on a im (J_{S|J}) ≃ iG ; \overline{P_{J^{c}}} (δ_{P_{J^{c}}}^{− \frac{1}{2}} π_{J∩J^{c},J^{c}}) et on peut expliciter π_{J∩J^{c},J^{c}} = St_{M_{J^{c}}} (représentation de Steinberg de M_{J^{c}}). Comme \overline{P_{J^{c}}} est conjugué à P_{−w_{0}(J^{c})} par l’élément de plus grande longueur w_{0} de W_{G}, on obtient que π_{J} est l’unique quotient irréductible de l’induite i_{P_{−w_{0}(J^{c})}}^{G} (δP_{−w_{0}(J^{c})}^{\frac{1}{2}}St_{M_{−w_{0}(J^{c})}}). Ceci donne les paramètres de Langlands de π_{J}.

2.3.5 Exposants : Puisque R est un corps algébriquement clos de caractéristique ≠ p, on sait que toute R-représentation lisse irréductible a un caractère central. En particulier, lorsque π est une Rreprésentation de longueur finie de M_{J}, on note Exp (A_{J}, π) l’ensemble des caractères centraux des sousquotients iréductibles de π. Rappelons que dans ces circonstances on a une décomposition canonique, dite “décomposition isotypique”,

π ≃ ⨁_{χ∈Exp (A_{J} ,π)} π_{χ}, où π_{χ} = {v ∈ π, ∃n ∈ ℕ, ∀z ∈ A_{J}, (π(z) − χ(z))^{n}v = 0}.

On a aussi

Exp (A_{J}, π) = {χ : A_{J} ⟶ R^{×}, Hom_{A_{J}} (χ, π) ≠ 0}.

Lemme 2.3.6 Soient K, J ⊆ S. Les propriétés suivantes pour I ⊆ S sont équivalentes :

i) Hom_{G} (I_{I}, im (J_{J|K})) ≠ 0, ii) π_{I} est un sous-quotient irréductible de im (J_{J|K}), iii) Δ(I, J) ⊇ Δ(J, K).

Preuve : L’implication iii) ⇒ i) est une conséquence de la propriété de factorisation à homothétie près du lemme 2.2.7. L’implication i) ⇒ ii) est immédiate puisque π_{I} est l’unique quotient irréductible de I_{I}, d’après le lemme 2.3.3.

Il nous reste à prouver ii) ⇒ iii). Pour cela, nous allons d’abord calculer Exp (T, r_{G}^{B_{J}} (π_{I})). Par définition de π_{I}, cet ensemble de caractères lisses de T est contenu dans l’orbite W.δ de δ. En utilisant la réciprocité de Frobenius-Casselman [44, II.3.8-2] pour la première ligne ci-dessous, on a

Hom_{RT} (w(δ), r_{G}^{B_{J}} (π_{I})) ≠ 0 ⇔ Hom_{RG} (iG ; \overline{B_{J}} (δ), π_{I}) ≠ 0
⇔ Hom_{RG} (i_{w^{−1}(\overline{B_{J}})}^{G}(δ), π_{I}) ≠ 0
⇔ w^{−1}(−C_{J}) ⊂ X_{I}

grâce à 2.3.3 iv). On a donc

Exp (T, r_{G}^{B_{J}} (π_{I})) = {w(δ), w^{−1}(−C_{J}) ⊂ X_{I}}
= {w(δ), ∀x ∈ −C_{J}, ∀α ∈ S, ϵ_{I}(α)⟨x, w(α)⟩ > 0}

On peut paraphraser la dernière égalité en introduisant le cône polaire D_{J} de C_{J} défini par D_{J} = {y ∈ X^{∗}, ∀x ∈ C_{J}, ⟨x, y⟩ > 0}. C’est aussi le cône engendré par les racines simples correspondant à la chambre de Weyl C_{J} (on appelle parfois D_{J} la chambre obtuse). On peut donc réécrire

Exp (T, r_{G}^{B_{J}} (π_{I})) = {w(δ), ∀α ∈ S, ϵ_{I}(α)w(α) ∈ −D_{J}}. (2.3.7)

Dans la suite, on utilise les notations du lemme 2.2.15. Pour alléger un peu ces notations, on pose σ_{J}^{K} := δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ}. Soit P_{K,J} un sous-groupe parabolique comme dans 2.2.15 et B_{J}, B_{K} ⊂ P_{K,J} deux sousgroupes de Borel tels que C(B_{J}) ⊂ X_{J} et C(B_{K}) ⊂ X_{K}. On va maintenant calculer Exp (r_{G}^{B_{J}} ∘i_{P_{K,J}}^{G}(σ_{J}^{K})). Pour utiliser le lemme géométrique, introduisons le sous-ensemble

W^{J} = {w ∈ W, w(D_{J}^{Δ}) ⊂ D_{J}}

où D_{J}^{Δ} est le cône de (a_{Δ(J,K)})^{⊥} engendré par l’ensemble J ∩ Δ des racines simples correspondant au sous-groupe de Borel B_{J} ∩ M_{Δ} de M_{Δ} (rappelons que Δ = Δ(J, K)). On sait [8, 2.11] que W^{J} est un ensemble de représentants privilégiés des classes à droite de W modulo W (Δ), et le lemme géométrique [8, 2.12] nous assure que

(2.3.8) Exp (T, r_{G}^{B_{J}} ∘ i_{P_{K,J}}^{G} (σ_{J}^{K})) = ⨆_{v∈W^{J}} v. Exp (T, r_{M_{Δ}}^{M_{Δ}∩B_{J}} σ_{J}^{K})

Par ailleurs, la définition de σ_{J}^{K} nous permet de calculer comme 2.3.7

(2.3.9) Exp (T, r_{M_{Δ}}^{M_{Δ}∩B_{J}} σ_{J}^{K}) = {w_{Δ}(δ), w_{Δ} ∈ W (Δ) et ∀α ∈ Δ, ϵ_{K}(α)w_{Δ}(α) ∈ −D_{J}^{Δ}}

Supposons maintenant que π_{I} soit un sous-quotient irréductible de im (J_{J|K}). En particulier, on doit avoir

Exp (T, r_{G}^{B_{J}} (π_{I})) ⊂ Exp (T, r_{G}^{B_{J}} ∘ i_{P_{K,J}}^{G} (σ_{J}^{K})).

Fixons alors χ dans le terme de gauche. Par 2.3.8 et 2.3.9, on peut écrire χ = vw_{Δ}(δ) avec v ∈ W^{J} et w_{Δ} ∈ W (Δ).

Soit α ∈ Δ, par 2.3.9, on a ϵ_{K}(α)w_{Δ}(α) ∈ −D_{J}^{Δ}. Par définition de W^{J}, on a donc aussi ϵ_{K}(α)vw_{Δ}(α) ∈ −D_{J}. Mais par 2.3.7, ceci entraine que ϵ_{K}(α) = ϵ_{I}(α). En d’autres termes : la restriction de ϵ_{I} à Δ(J, K) est l’opposée de celle de ϵ_{J}. Ou autrement dit, Δ(I, J) ⊇ Δ(J, K).

□

2.3.10 Acyclicité des complexes C_{∗}(V_{I,J})^{+} de 2.2.10 : Fixons deux sous-ensembles I, J de S. Nous voulons ici montrer, sous l’hypothèse que R est un corps algébriquement clos de caractéristique fortement banale, l’acyclicité du complexe de chaînes augmenté C_{∗}(V_{I,J})^{+}. Comme la caractéristique de R est banale, le foncteur r_{G}^{B_{+}} est exact et fidèle sur le bloc principal, cf 2.3.1. Il suffit donc de vérifier que r_{G}^{B_{+}}(C_{∗}(V_{I,J}^{+})) est exact. Ce dernier complexe est un complexe de représentations non-ramifiées de longueur finie du tore maximal T, et se décompose donc en une somme directe de ses composantes χ-isotypiques, pour χ caractère non ramifié de T.

r_{G}^{B_{+}}(C_{∗}(V_{I,J})^{+}) = ⨁_{χ∈W.δ} (r_{G}^{B_{+}}C_{∗}(V_{I,J})^{+})_{χ}

Pour calculer ces composantes isotypiques, on remarque d’abord que les représentations r_{G}^{B_{+}} (im (J_{J|K})) sont toutes de multiplicité 1, et donc semisimples. Il s’ensuit simplement que

(r_{G}^{B_{+}}C_{∗}(V_{I,J})^{+})_{χ} ≃ Hom_{T} (χ, r_{G}^{B_{+}}C_{∗}(V_{I,J})^{+}) .

Posons maintenant pour tout K ⊆ Δ(I, J)

V_{I,J,χ}(K) := Hom_{T} (χ, r_{G}^{B_{+}}V_{I,J}(K)) .

Les flèches de transition V_{I,J}(K ⊂ K′) induisent par fonctorialité des flèches

V_{I,J,χ}(K ⊂ K′) : V_{I,J,χ}(K′) ⟶ V_{I,J,χ}(K)

et on obtient ainsi un système de coefficients V_{I,J,χ} sur la catégorie P(Δ(I, J)) à valeurs dans la catégorie des R-espaces vectoriels. On peut augmenter le complexe de chaînes C_{∗}(V_{I,J,χ}) associé par l’application

V_{I,J,χ}(∅) = Hom_{T} (χ, r_{G}^{B_{+}}(I_{I})) ⟶ Hom_{T} (χ, r_{G}^{B_{+}}(π_{I}))

et en notant C_{∗}(V_{I,J,χ})^{+} le complexe ainsi augmenté, on a bien-sûr

C_{∗}(V_{I,J,χ})^{+} = (r_{G}^{B_{+}}C_{∗}(V_{I,J})^{+})_{χ} .

Il nous suffit donc de montrer que pour tout χ le complexe de gauche est acyclique.

Commençons par remarquer que les flèches de transition V_{I,J,χ}(K ⊂ K′) sont injectives (par exactitude de r_{G}^{B_{+}} et exactitude à gauche de Hom_{T} (χ, .), et parce que les flèches V_{I,J}(K ⊂ K′) le sont). Comme les espaces V_{I,J,χ}(K) sont de dimension 0 ou 1, il nous suffira donc de préciser cette dimension pour déterminer le système de coefficients V_{I,J,χ}. Pour cela, notons L l’unique sous-ensemble de S tel que I_{L} ≃ iG ; \overline{B_{+}}(χ) (ou

ce qui est équivalent, tel que π_{L} soit un quotient de iG ; \overline{B_{+}}(χ)). Par réciprocité de Frobenius-Casselman [44, II.3.8-2], on a V_{I,J,χ}(K) ≠ 0 si et seulement si Hom_{G} (I_{L}, im (J_{J^{c}|Δ(I,K)})) ≠ 0. D’après le lemme 2.3.6, ceci est encore équivalent à Δ(L, J^{c}) ⊇ Δ(J^{c}, Δ(I, K)) = K ⊔ Δ(I, J^{c}) (la dernière égalité a été expliquée lors de la définition des V_{I,J}).

En particulier, le système de coefficients V_{I,J,χ} et son complexe augmenté ne sont non nuls que si Δ(L, J^{c}) ⊇ Δ(I, J^{c}). Supposons tout d’abord que Δ(L, J^{c}) ⊋ Δ(I, J^{c}). Dans ce cas-là, L ≠ I donc le complexe augmenté C_{∗}(V_{I,J,χ})^{+} coïncide avec le complexe non-augmenté car Hom_{T} (χ, r_{G}^{B_{+}}(π_{I})) = 0. Or, la discussion précédente montre que le système de coefficients V_{I,J,χ} est supporté par le sous-simplexe des sous-ensembles de Δ(L, J^{c}) \ Δ(I, J^{c}) = Δ(I, L) (lemme 2.2.2) et y est constant. En d’autres termes

C_{∗}(P(Δ(I, J)), V_{I,J,χ}) ≃ C_{∗}(P(Δ(I, L)), R)

et comme on l’a déja rappelé, le complexe de droite est acyclique, puisque I ≠ L.

Supposons maintenant Δ(L, J^{c}) = Δ(I, J^{c}), c’est-à-dire L = I. Alors le système de coefficients V_{I,J,χ} est supporté par {∅} mais l’augmentation est ici un isomorphisme, de sorte que

C_{∗}(V_{I,J,χ})^{+} ≃ (R ⟶^{id} R)

dont l’homologie est bien sûr nulle.

C’est essentiellement dans le lemme suivant qu’intervient vraiment l’hypothèse de bonne caractéristique de 2.1.5.

Lemme 2.3.11 Supposons que la caractéristique de R soit bonne pour G, c’est-à-dire ne divise pas l’entier N_{W} de 2.1.5. Soit J ⊆ S et w ∈ W tel que w(δ)_{|A_{J}} = δ_{|A_{J}}. Alors w ∈ W (J) où W (J) est le groupe de Weyl de M_{J}.

Preuve : Remarquons tout-d’abord que puisque δ est trivial sur le centre de G, il suffit de montrer l’assertion pour G^{ad} := G/Z(G)(K). Nous supposerons donc G adjoint.

Pour un élément x quelconque de X^{∗} nous noterons x_{J} ∈ a_{J}^{∗} son image par la projection canonique X^{∗} ⟶ a_{J}^{∗}. Première étape : sous l’hypothèse de caractéristique, on a pour tout J et tout w :

w(δ)_{|A_{J}} = δ_{|A_{J}} ⇔ w(ρ)_{J} = ρ_{J}.

Rappelons pour cela que δ est défini par ∀t ∈ T, δ(t) := q_{F}^{− \frac{1}{2} val_{F} (ρ(t))}, ou ce qui est équivalent : pour tout cocaractère τ : 𝔾_{m} ⟶ T,

δ(τ(ϖ_{F})) := q_{F}^{− \frac{1}{2} ⟨ρ,τ⟩}

où val_{F}, ϖ_{F} et q_{F} sont respectivement la valuation, une uniformisante et le cardinal du corps résiduel de F, et ⟨., .⟩ : X^{∗}(T) × X_{∗}(T) est l’accouplement canonique.

Comme on s’est ramené au cas adjoint, on peut considérer la famille {ω_{α}}_{α∈S} des co-poids fondamentaux. On a

(w(δ)_{|A_{J}} = δ_{|A_{J}} ) si et seulement si (∀α ∈ J^{c}, w(δ)(ω_{α}(ϖ_{F})) = δ(ω_{α}(ϖ_{F})))
si et seulement si (∀α ∈ J^{c}, q_{F}^{\frac{1}{2} ⟨ρ−w(ρ),ω_{α}⟩} = 1)

D’autre part, identifiant X_{∗}(T) avec un réseau de X, on a

w(ρ)_{J} = ρ_{J} si et seulement si ∀α ∈ J^{c}, ⟨ρ − w(ρ), ω_{α}⟩ = 0

Il nous suffira donc de montrer que pour tout α ∈ S, on a

q_{F}^{\frac{1}{2} ⟨ρ−w(ρ),ω_{α}⟩} = 1 ⇒ ⟨ρ − w(ρ), ω_{α}⟩ = 0.

Pour cela, on remarque que si w_{0} est l’élément de plus grande longueur de W, alors \frac{1}{2}(ρ − w(ρ)) est le déterminant de l’action de T sur Lie(U_{+} ∩ U_{+}^{ww_{0}}), de sorte que

0 ⩽ \frac{1}{2}⟨ρ − w(ρ), ω_{α}⟩ ⩽ ⟨ρ, ω_{α}⟩ = n_{α}.

Deuxième étape : w(ρ)_{J} = ρ_{J} ⇒ w ∈ W (J).

Notons momentanément a^{J∗} le noyau de X^{∗} ⟶ a_{J}^{∗} ; c’est aussi le sous-espace vectoriel de X^{∗} engendré par les racines α ∈ J. La projection X^{∗} ⟶ a_{J}^{∗} admet une section canonique grâce au diagramme suivant

a_{J}^{∗} ⟵^{∼} X^{∗}(M_{J}) ⊗ ℝ ⟶^{res} X^{∗}(M_{∅}) ⊗ ℝ = X^{∗},

et on notera encore a_{J}^{∗} l’image de cette section. Si [−, −] est un produit scalaire sur X invariant sous le groupe de Weyl W, alors a_{J}^{∗} est l’orthogonal de a^{J∗}. On a alors les décompositions orthogonales ρ = ρ^{J} + ρ_{J} ∈ a^{J∗} ⊕ a_{J}^{∗} où ρ^{J} est la demi-somme des racines positives de M_{J}, et w(ρ) = w(ρ)_{J} + w(ρ)^{J}

Soit v un élément de W (J) tel que v(w(ρ)^{J}) soit dans la chambre de Weyl positive de a^{J∗}, c’est à dire : ∀α ∈ J, [α, v(w(ρ)^{J})] ⩾ 0. Comme le produit scalaire est W -invariant, on a v(w(ρ)^{J}) = v(w(ρ))^{J} et v(w(ρ))_{J} = w(ρ)_{J} donc v(w(ρ))_{J} = ρ_{J} par notre hypothèse. Comme par ailleurs vw(ρ) ∈ ρ + ∑_{α>0} ℝ_{−}α, on obtient en soustrayant ρ_{J} et compte tenu de a^{J} ∩ ∑_{α>0} ℝ_{−}α = ∑_{α∈J} ℝ_{−}α :

vw(ρ)^{J} ∈ ρ^{J} + ∑_{α∈J} ℝ_{−}α

En prenant le produit scalaire avec vw(ρ)^{J} on obtient donc :

||vw(ρ)^{J}||^{2} ⩽ [vw(ρ)^{J}, ρ^{J}]

Mais puisque ||vw(ρ)^{J}|| = ||ρ^{J}||, il s’ensuit que vw(ρ)^{J} = ρ^{J}.

On a donc obtenu vw(ρ) = ρ, ce qui équivaut à vw = 1.

□

2.4 Preuve du théorème 2.2.11

2.4.1 Acyclicité des complexes C_{∗}(V_{I,J})^{+} : Nous avons déja traité le cas où R est un corps algébriquement clos dans la section précédente. Nous allons nous ramener à ce cas-là. Pour cela, rappelons le

Fait 2.4.2 Les R-modules sous-jacents aux représentations π_{I}^{R} sont libres.

Preuve : Dans le cas G = GL(n) ceci est prouvé dans [38, Cor. 4.5] (et même pour R = ℤ). L’argument de loc. cit. repose sur la décomposition de Bruhat et fonctionne de la même manière pour n’importe quel groupe déployé. □

Soit maintenant H un pro-p-sous-groupe ouvert de G, distingué dans un compact spécial H_{0} tel que G = H_{0}B_{+}, et ayant des décompositions d’Iwahori relativement à chaque sous-groupe parabolique semistandard. Ces hypothèses permettent de calculer facilement les H-invariants d’une induite parabolique. On sait que la famille de ces sous-groupes engendre la topologie de G et il suffit donc de prouver l’acyclicité des complexes (C_{∗}(V_{I,J}^{R})^{+})^{H} pour tout tel H. Mais grâce au fait ci-dessus et au lemme 2.2.15, on s’aperçoit que le complexe (C_{∗}(V_{I,J}^{R})^{+})^{H} est un complexe de R-modules projectifs de type fini. Comme on sait, 2.2.16, que le complexe est compatible aux changements de scalaires, il nous suffit donc de traiter le cas universel R_{u} := ℤ[\frac{1}{\sqrt{p}N_{G}}]. Dans ce dernier cas, on a pour tout nombre premier l banal une suite exacte de complexes

0 ⟶ C_{∗}(V_{I,J}^{R_{u}})^{+} ⟶^{×l} C_{∗}(V_{I,J}^{R_{u}})^{+} ⟶ C^{∗}(V_{I,J}^{R_{u}/l})^{+} ⟶ 0.

Comme R_{u}/l est isomorphe à 𝔽_{l} ou 𝔽_{l} ×𝔽_{l} et qu’on a déja traité le cas d’un corps de coefficients fortement banal, le complexe de droite est acyclique. On en déduit que la multiplication par l est un isomorphisme sur les R_{u}-modules de cohomologie H_{∗}(V_{I,J}^{R_{u}}). Comme ces derniers sont de type fini, il résulte du lemme de Nakayama qu’ils sont nuls.

2.4.3 Cup-produits et suites spectrales : Afin de prouver le point ii) du théorème 2.2.11, nous rappelons quelques sorites sur les groupes d’extensions, valables dans un contexte beaucoup plus général que le notre.

Soit C une catégorie abélienne ayant assez d’injectifs et soient π, σ et ρ trois objets de C. On se donne aussi un complexe acyclique

C_{n} = π ⟶ C_{n−1} ⟶ ⋯ ⟶ C_{0} ⟶ C_{−1} = σ.

Ce complexe définit un élément α ∈ Ext_{C}^{n} (σ, π) et on s’intéresse au cup-produit par α :

α ∪ − : Ext_{C}^{∗} (ρ, σ) ⟶ Ext_{C}^{n+∗} (ρ, π)

(Lorsqu’on pense le ∪-produit comme une simple composition de morphismes, l’application ci-dessus est bien le ∪-produit à gauche par α).

Nous voulons ici souligner comment ce cup-produit se lit sur la suite spectrale

E_{1}^{pq} = Ext_{C}^{q} (ρ, C_{p}) ⇒ Ext_{C}^{q−p} (ρ, σ)

obtenue en appliquant le foncteur Hom_{C} (ρ, −) à une résolution injective du complexe C_{•} et en filtrant le bicomplexe obtenu par les colonnes. Pour cela, il faut se rappeler que puisque les différentielles d_{r} sont de degrés (−1 − r, −r), il y a sur le bord p = n de la suite spectrale des inclusions E_{∞}^{n∗} ↪ E_{1}^{n∗}. D’autre part, le terme E_{∞}^{n∗} est le dernier quotient de la filtration du terme ∗ − n de l’aboutissement et on a donc une projection canonique Ext_{C}^{∗−n} (ρ, σ) ↠ E_{∞}^{n∗}. La composée de ces deux applications

Ext_{C}^{∗} (ρ, σ) ⟶ E_{∞}^{n,n+∗} ⟶ E_{1}^{n,n+∗} = Ext_{C}^{n+∗} (ρ, π)

est justement le cup-produit à gauche par α.

2.4.4 Preuve de 2.2.11 ii) : Nous utilisons les remarques du paragraphe 2.4.3 précédent : le complexe acyclique C_{∗}(V_{I,J})^{+} explicité en 2.2.10 fournit la suite spectrale

E_{1}^{pq} = Ext_{G}^{q} (π_{H}, ⨁_{\begin{matrix}δ(I, K) = p \\ δ(J, K) = δ(I, J) − p \end{matrix}} im (J_{J^{c}|K})) ⇒ Ext_{G}^{q−p} (π_{H}, π_{I})

Le cup-produit à gauche par α_{I,J} considéré dans 2.2.11 ii) s’identifie alors à la composée

Ext_{G}^{∗} (π_{H}, π_{I}) ⟶ E_{∞}^{δ,δ+∗} ⟶ E_{1}^{δ,δ+∗} = Ext_{G}^{δ+∗} (π_{H}, π_{J})

où on a posé δ := δ(I, J) (on ne confondra pas avec le caractère δ de B_{+} !). Nous allons montrer que pour tout p ≠ δ et tout q, on a E_{1}^{pq} = 0. Ceci impliquera en particulier la dégénérescence en E_{1} de la suite spectrale et donc le fait que la composée ci-dessus est un isomorphisme pour tout ∗ ∈ ℤ, ce qui est bien ce qu’on cherche à prouver.

Soit donc K ⊆ S tel que

δ(I, K) ≠ δ et δ(I, J) = δ(I, K) + δ(K, J),

ou ce qui est équivalent par 2.2.2, tel que

K ≠ J et Δ(K, J) ⊆ Δ(I, J).

Choisissons un sous-groupe parabolique P_{K,J^{c}} comme dans le lemme 2.2.15 dont nous reprenons les notations (notamment Δ := Δ(K, J^{c})). Par réciprocité de Frobenius-Shapiro (c’est une conséquence formelle de la réciprocité de Frobenius et de l’exactitude des foncteurs paraboliques) on a

Ext_{G}^{∗} (π_{H}, im (J_{J^{c}|K})) = Ext_{M_{Δ(J^{c},K)}}^{∗} (r_{G}^{P_{K,J^{c}}} (π_{H}) , δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ}) .

Or d’après le lemme 2.4.5 ci-dessous, le terme de droite est non nul seulement si Δ(H^{c}, J^{c}) = Δ(H, J) ⊆ Δ(J^{c}, K). Il est donc non nul seulement si Δ(J^{c}, K) ⊇ Δ(H, J) ∪ Δ(J^{c}, I). Or, l’hypothèse δ(H, I) + δ(I, J) = δ(H, J) équivaut par 2.2.2 à Δ(I, J) ⊆ Δ(H, J). Puisque Δ(J^{c}, I) = Δ(J, I)^{c}, il s’ensuit que le terme de droite est non-nul seulement si Δ(J^{c}, K) = S, c’est-à-dire si K = J, ce que nous avons exclu.

Lemme 2.4.5 Fixons K, J et I des sous-ensembles de S. Soit P_{K,J} le sous-groupe parabolique associé à une chambre parabolique de a_{Δ(J,K)} contenue dans \overline{X_{J}} ∩ \overline{X_{K}} (comme dans le lemme 2.2.15). Supposons enfin que R est un anneau fortement banal pour G.

Si Ext_{M_{Δ}}^{∗} (r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I}) , δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ}) ≠ 0, alors Δ(I^{c}, J) ⊆ Δ(J, K).

Preuve : Commençons par l’observation générale suivante : si C est une catégorie abélienne avec assez d’injectifs et de projectifs, et ℨ désigne le centre de la catégorie C, alors les groupes Ext_{C}^{∗} (V, W) sont naturellement et canoniquement des ℨ-modules. De plus si z ∈ ℨ agit par un scalaire sur V, resp. W, il agit par ce même scalaire sur Ext_{C}^{∗} (V, W).

Stratégie : Dans notre cas on prend C = Mod_{R}(M_{Δ}) et on va produire, sous l’hypothèse Δ(I^{c}, J) \ Δ(J, K) ≠ ∅, un élément de R[A_{Δ}] agissant par 0 sur r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I}) et par l’identité sur δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ}. La nullité des Ext^{∗} entre ces deux objets en résultera immédiatement.

Première étape : Tout caractère A_{Δ} ⟶ R^{×} induit un morphisme de R-algèbres R[A_{Δ}] ⟶ R. C’est le cas par exemple pour les restrictions des caractères w(δ) à A_{Δ}. D’après le lemme 2.3.11, on a

(2.4.6) Si ker_{R[A_{Δ}]}(δ_{|A_{Δ}}) + ker_{R[A_{Δ}]}(w(δ)_{|A_{Δ}}) ⊊ R[A_{Δ}], alors w ∈ W (Δ).

En effet, supposons que la somme des deux noyaux ci-dessus est un idéal propre de R[A_{Δ}] et choisissons un idéal maximal M de R contenant l’image de ker (w(δ)_{|R[A_{Δ}]}) par δ_{|A_{Δ}}. Alors on a

ker_{R/M[A_{Δ}]}(δ_{|A_{Δ}}) + ker_{R/M[A_{Δ}]}(w(δ)_{|A_{Δ}}) ⊊ R/M[A_{Δ}]

où l’on note encore δ et w(δ) pour leurs composées avec la projection R ⟶ R/M. Puisque les deux noyaux ci-dessus sont des idéaux maximaux, ils coïncident et on a

δ_{|A_{Δ}} = w(δ)_{|A_{Δ}} mod. M.

On peut donc appliquer 2.3.11 au corps R/M.

Deuxième étape : Comme dans la preuve du lemme 2.2.15, on choisit un sous-groupe de Borel B_{J} contenu dans P_{K,J} et tel que C_{J} := C(B_{J}) ⊂ X_{J}. Nous allons montrer que

Si {w ∈ W, w(C_{J}) ⊂ X_{I^{c}}} ∩ W (Δ) ≠ ∅, alors Δ(I^{c}, J) ⊆ Δ(J, K).

En effet, soit w dans l’intersection ci-dessus. Puisque w ∈ W (Δ), il fixe a_{Δ(J,K)} points par points. On a donc \overline{X_{I^{c}}} ∩ \overline{X_{J}} ⊃ w(\overline{C_{J})} ∩ \overline{C_{J}} ⊃ \overline{C_{J}} ∩ a_{Δ(J,K)}. Autrement dit, \overline{X_{I^{c}}} ∩ \overline{X_{J}} contient un cône vectoriellement générateur de a_{Δ(J,K)} (par notre choix de B_{J}). Comme on sait par ailleurs, 2.2.3, que \overline{X_{I^{c}}} ∩ \overline{X_{J}} est un cône fermé générateur de a_{Δ(J,I^{c})}, il s’ensuit que a_{Δ(J,K)} ⊆ a_{Δ(I^{c},J)} et donc que Δ(I^{c}, J) ⊆ Δ(J, K).

Troisième étape : on suppose dorénavant que Δ(I^{c}, J) \ Δ(J, K) ≠ ∅, de sorte que, par l’étape précédente, {w ∈ W, w(C_{J}) ⊂ X_{I^{c}}} ∩ W (Δ) = ∅. Appliquons alors 2.4.6 dans le cas “universel” de l’anneau R_{u} = ℤ[\frac{1}{\sqrt{p}N_{W} N_{G}}]. On obtient une décomposition

1_{R_{u}[A_{Δ}]} = z_{δ} + z^{δ} ∈ ker_{R_{u}[A_{Δ}]}(δ_{|A_{Δ}}) + ∏_{w(C_{J})⊂X_{I^{c}}} ker_{R_{u}[A_{Δ}]}(w(δ)_{|A_{Δ}}).

Comme tout anneau fortement banal R reçoit R_{u}, les éléments z_{δ} et z^{δ} induisent des éléments correspondants dans R[A_{Δ}]. Il est clair que l’action de z_{δ} sur δ_{P_{Δ}}^{− \frac{1}{2}} π_{K∩Δ,Δ} est nulle. Montrons que celle de z^{δ} sur r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I}) est nulle aussi. Par extension des scalaires, il suffit de traiter le cas “universel” R_{u}. Soit H un pro-p-sous-groupe ouvert de M_{Δ}, on sait que r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I})^{H} est un R_{u}-module de type fini, puisque c’est le conoyau de la flèche

⨁_{L⊃I} (r_{G}^{P_{K,J}} ∘ i_{P_{L}}^{G} (δ_{P_{L}}^{− \frac{1}{2}} ))^{H} ⟶ (r_{G}^{P_{K,J}} ∘ i_{P_{I}}^{G} (δ_{P_{I}}^{− \frac{1}{2}} ))^{H} ,

et qu’il est sans torsion, puisque par 2.2.5 v) on a l’inclusion

r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I})^{H} ↪ r_{G}^{P_{K,J}} (I_{I^{c}})^{H}

et que le terme de droite est sans torsion par la formule de Mackey. Pour voir que l’action de z^{δ} est nulle, il suffit donc de le vérifier après extension des scalaires R_{u} ↪ ℂ. Par fidélité du foncteur r_{M_{Δ}}^{B_{J} ∩M_{Δ}}, il suffit encore de vérifier que z^{δ} annule r_{G}^{P_{K,J}} (π_{I}^{ℂ}). Mais ceci résulte du calcul des exposants de r_{G}^{B_{J}} (π_{I}) sur un corps, effectué au-dessus de 2.3.7.

□

2.5 Preuve des lemmes 2.2.5 et 2.3.3

Nous utiliserons ici les bases de la théorie des opérateurs d’entrelacements sur un anneau de coefficients général qui sont décrites dans [14]. Soit B un sous-groupe de Borel et \overline{B} son opposé. Suivant la terminologie de loc. cit. 2.10, un caractère χ de A_{∅} est dit (B, \overline{B})-régulier si

Ann_{R[A_{∅}]}(χ) + ⋂_{1≠w∈W} Ann_{R[A_{∅}]}(χ^{w}) = R[A_{∅}].

Ici le caractère χ est vu comme un caractère de la R-algèbre R[A_{∅}] et la notation Ann désigne l’idéal annulateur d’un R[A_{∅}]-module. Cette notion ne dépend pas du sous-groupe de Borel B et on dira donc simplement que χ est “régulier”. Elle est encore équivalente à

∀w ∈ W, Ann_{R[A_{∅}]}(χ) + Ann_{R[A_{∅}]}(χ^{w}) = R[A_{∅}].

Lemme 2.5.1 Lorsque R est fortement banal pour G, le caractère δ est régulier au sens ci-dessus. Pour G = GL(n), “banal” suffit.

Preuve : Lorsque R est un corps, ceci est le cas particulier J = ∅ du lemme 2.3.11. Nous donnons ici une preuve pour R un anneau, qui permet d’améliorer la restriction sur la caractéristique. Fixons w ≠ 1 ∈ W et soit α ∈ S telle que w(α) ≠ α. Notons α^{∨} : F^{×} ⟶ A_{∅} la coracine associée à α. Alors δ(α^{∨}(ϖ)) = q et δ^{w}(α^{∨}(ϖ)) = q^{l} où l est la somme des coefficients de w^{−1}(α) dans la base S. Soit h le nombre de Coxeter du système de racines de G, on a donc |1 − l| ⩽ h. Supposons que l’entier ∏_{0<r⩽h}(1 − q^{r}) soit inversible dans R. Alors l’entier q − q^{l} est aussi inversible dans R de sorte que l’égalité

1 = \frac{α^{∨}(ϖ) − q}{q^{l} − q} + \frac{q^{l} − α^{∨}(ϖ)}{q^{l} − q}

dans R[A_{∅}] montre bien que Ann_{R[A_{∅}]}(δ) + Ann_{R[A_{∅}]}(δ^{w}) = R[A_{∅}]. L’hypothèse sur R ci-dessus est en général plus faible que l’hypothèse “bon et banal”. Pour GL(n) elle est équivalente à “banal”, par la formule donnant le cardinal de GL_{n}(𝔽_{q}). □

2.5.2 Preuve de 2.2.5 i), ii) et iii) : Fixons deux sous-groupes de Borel B et B′. Par réciprocité de Frobenius, on a Hom_{G} (i_{B}^{G}(δ), i_{B′}^{G} (δ)) ≃ Hom_{A_{∅}} (r_{G}^{B′} ∘ i_{B}^{G}(δ), δ). Mais d’après le lemme géométrique [8, 2.12] et la régularité de δ du lemme précédent, on a

r_{G}^{B′} ∘ i_{B}^{G}(δ) ≃ ⨁_{w∈W} δ^{w}.

On en déduit la première assertion de 2.2.5 i). Pour l’existence et la définition d’un opérateur d’entrelacement “canonique” dans ces circonstances, nous renvoyons à [14, 2.11]. Pour les propriétés 2.2.5 ii) et iii) que ces opérateurs satisfont, nous renvoyons à la proposition 7.8. de loc. cit.

2.5.3 Preuve de 2.3.3 i) : Dans ce paragraphe, R est donc un corps algébriquement clos de caractéristique bonne et banale (ou simplement banale pour GL(n)). D’après 2.3.1, on a une partition

W.δ = ⨆_{π∈JH(i_{B}^{G} (δ))} Exp (A_{∅}, r\overline{B} ; G (π)).

En particulier, JH(i_{B}^{G} (δ)) est sans multiplicités. Soit π un sous-quotient irréductible de i_{B_{+}}^{G} (δ), et soit

w tel que δ^{w} ∈ Exp (A_{∅}, r\overline{B_{+}} ; G (π)). Par réciprocité de Frobenius-Casselman, on a un morphisme non nul i_{B_{+}}^{G} (δ^{w}) = i_{B_{+}^{w^{−1}}}^{G} (δ) ⟶ π, ce qui montre que π est un quotient d’une induite du type i_{B}^{G}(δ).

Fixons maintenant B, alors par les mêmes arguments, une représentation irréductible π de G est un quotient de i_{B}^{G}(δ) si et seulement si δ ∈ Exp (A_{∅}, r\overline{B} ; G (π)). Par la partition ci-dessus, une telle représentation est unique (à isomorphisme près). Puisque Hom_{G}(i_{B}^{G}(δ), i_{B_{+}}^{G} (δ)) ≠ 0, c’est bien un sous-quotient de i_{B_{+}}^{G}(δ).

Remarque : Choisissons un ordre total ⩽ sur l’ensemble P(S) des sous-ensembles de S, raffinant l’ordre induit par la relation d’inclusion. On obtient une filtration décroissante Fil_{I} := ∑_{I⩽K} Ind_{P_{K}}^{G} (1) de Ind_{B_{+}}^{G} (1) dont le gradué est ⨁_{I⊆S} π_{I}^{R} (on peut par exemple le vérifier en calculant les exposants de r_{G}^{B_{+}} (Fil_{I})). Il s’ensuit que dans le groupe de Grothendieck on a l’égalité

Ind_{B_{+}}^{G} (1) = ∑_{I⊆S} π_{I}^{R}

et que les π_{I}^{R} sont à supports disjoints. En particulier, on a long(Ind_{B_{+}}^{G} (1)) ⩾ |P(S)|.

2.5.4 Preuve de 2.3.3 ii) : R est toujours un corps algébriquement clos (fortement) banal. L’implication (a) ⇒ (b) est tautologique. Supposons que i_{B}^{G} (δ) et i_{B′}^{G} (δ) ont leurs uniques quotients irréductibles isomorphes et appelons π (la classe d’isomorphisme de) ce quotient. Montrons que l’opérateur d’entrelacement J_{B′|B}, qui est non nul, doit être surjectif. En effet, son image est non-nulle, et a pour (unique) quotient irréductible π. Si son conoyau était non-nul, il aurait aussi π comme (unique) quotient irréductible, contredisant la multiplicité 1 dans JH(i_{B′}^{G}(δ)). Donc J_{B′|B} est surjectif. On en déduit maintenant qu’il est injectif, puisque pour tout sous-groupe ouvert compact H de G, on a dim_{R}(i_{B}^{G}(δ)^{H}) = dim_{R}(i_{B′}^{G}(δ)^{H}) = |B\G/H|. On a donc prouvé (b) ⇒ (a).

Il nous reste maintenant à montrer que J_{B′|B} est un isomorphisme si et seulement si C′ := C(B′) et C := C(B) sont dans un même X_{J} pour un certain J ⊆ S. Étudions d’abord le cas particulier où les chambres C et C′ sont adjacentes, le mur étant associé à une racine r. Le sous-groupe de Levi M_{r} := Z_{G}(ker r) est un groupe réductif déployé de rang 1 (dont le groupe adjoint n’est autre que P GL(2)). Le caractère δ est (B ∩ M_{r}, B′ ∩ M_{r})-régulier (cf [14, 7.8.ii)]) et on dispose donc d’un opérateur d’entrelacement non nul J_{B′_{M} |B_{M}} : i_{B∩M_{r}}^{G} (δ) ⟶ i_{B′∩M_{r}}^{G} (δ). Après avoir étudié les séries principales (en caractéristique banale) de ces groupes déployés de rang 1, voir par exemple [41], ou [14, 8.4.i)] couplé à la formule pour la mesure de Plancherel des séries principales de SL(2) et P GL(2), on sait que les assertions suivantes sont équivalentes :

i) La représentation i_{B∩M_{r}}^{M_{r}} (δ) est réductible.

ii) L’opérateur J_{B′_{M} |B_{M}} n’est pas inversible.

iii) δ ∘ r^{∨} = q_{F}^{± val_{F}}, égalité de caractères lisses 𝔾_{m}(F) = F^{×} ⟶ R^{×}. Si l(r) désigne la somme des coefficients de r dans la base S, alors la dernière assertion est encore équivalente à : q^{l(r)} = q^{±1}. Comme on l’a déja vu un peu plus haut, sous notre hypothèse de caractéristique banale, ceci équivaut à l(r) = ±1 ou encore r ∈ ±S.

En utilisant maintenant 2.2.5 ii) et iii), on déduit de la discussion précédente que J_{B′|B} est inversible si et seulement si il existe une galerie tendue entre C′ et C dont tous les murs successifs sont distincts des murs associés aux racines simples, autrement dit, une galerie incluse dans une composante connexe de X privé des orthogonaux des racines simples. Une telle composante connexe est un X_{J} et on a obtenu (a) ⇒ (c). Pour la réciproque, il faut encore vérifier que deux chambres quelconques dans X_{J} sont reliées par une galerie tendue dont tous les membres sont dans X_{J}, mais ceci résulte de la convexité de X_{J}.

Remarque : Par ce que l’on vient de prouver et l’absence de multiplicité dans JH(Ind_{B_{+}}^{G} (1)), on obtient long(Ind_{B_{+}}^{G} (1)) = |P(S)|. On déduit donc de la remarque précédente que les représentations π_{I}^{R} sont irréductibles.

2.5.5 Preuve de 2.2.5 iv) : Dans ce paragraphe, R est un anneau fortement banal pour G ou simplement banal pour GL(n). Remarquons que l’assertion (a) de 2.2.5 iv) est équivalente à “J_{B′|B} est un isomorphisme”. Comme la formation de i_{B}^{G}(δ) et la définition de J_{B′|B} sont compatibles à l’extension des scalaires par un morphisme R ⟶ R′, il suffit de considérer le cas “universel” R = ℤ[\frac{1}{\sqrt{p}N_{G}N_{W}} ].

Or, pour tout sous-groupe ouvert compact H, le sous-R-module i_{B}^{G}(δ)^{H} est libre de type fini. Il s’ensuit que J_{B′|B} est un isomorphisme si et seulement si il l’est après réduction à tout corps résiduel de R et donc si et seulement si il l’est après changement des scalaires par un morphisme R ⟶ C où C est algébriquement clos (et nécessairement de caractéristique banale).

Ainsi l’équivalence que l’on doit montrer est une conséquence de celle de 2.3.3 ii) montrée ci-dessus.

2.5.6 Preuve de 2.3.3 iii) et 2.2.5 v) : Dans ce paragraphe, R est un anneau (fortement) banal qui sera parfois supposé être un corps. Nous allons commencer par traiter le cas J = S des énoncés que l’on veut prouver. Dans ce cas, on peut expliciter l’opérateur J_{B_{+}|\overline{B_{+}}} par

J_{B_{+}|\overline{B_{+}}} : iG ; \overline{B_{+}} (δ) = IndG ; \overline{B_{+}} (δ\overline{B_{+}}) → Ind_{B_{+}}^{G} (1) = i_{B_{+}}^{G} (δ) f ↦ ∫_{G/\overline{B_{+}}} f(g)dg .

Sous cette forme, on remarque la factorisation

J_{B_{+}|\overline{B_{+}}} : iG ; \overline{B_{+}} (δ) ↠ 1 = π_{S}^{R} ↪ i_{B_{+}}^{G} (δ)

qui est ce que l’on cherchait.

Fixons maintenant J ⊆ S et choisissons un sous-groupe de Borel B_{J} tel que C(B_{J}) ⊂ X_{J} et \overline{C(B_{J})} ∩ \overline{X_{∅}} = a_{J} ∩ \overline{X_{∅}} (rappelons que X_{∅} est aussi la chambre de Weyl associée à B_{+}). Alors B_{J} et B_{+} sont contenus dans le sous-groupe parabolique standard P_{J} de Levi M_{J} et par 2.2.5 iii), on a un diagramme commutatif

[figure: i_{B_{J}}^{G} (δ); J_{B_{+}|B_{J}}; i_{B_{+}}^{G} (δ); i_{P_{J}}^{G} (i_{\overline{B_{+}}∩M_{J}}^{M_{J}} (δ)); i_{P_{J}}^{G} (J′); i_{P_{J}}^{G} (i_{B_{+}∩M_{J}}^{M_{J}} (δ))]

où J′ est l’opérateur d’entrelacement J_{\overline{B_{+}}∩M_{J} |B_{+}∩M_{J}} : i_{\overline{B_{+}}∩M_{J}}^{M_{J}} (δ) ⟶ i_{B_{+}∩M_{J}}^{M_{J}} (δ). Par la factorisation

δ = δ_{P_{J}}^{− \frac{1}{2}} δ_{B_{+}∩M_{J}}^{− \frac{1}{2}} , et le cas J = S traité précédemment, on obtient donc une factorisation

J_{B_{+}|B_{J}} : i_{B_{J}}^{G} (δ) ↠ i_{P_{J}}^{G} (δ_{P_{J}}^{− \frac{1}{2}} ) = Ind_{P_{J}}^{G} (1) ↪ Ind_{B_{+}}^{G} (1) = i_{B_{+}}^{G} (δ).

Maintenant soit K ⊃ J. Comme dans le lemme 2.2.7 on peut trouver un sous-groupe de Borel B_{K} tel que C(B_{K}) ⊂ X_{K} et \overline{C(B_{K})} ∩ \overline{X_{∅}} = a_{K} ∩ X_{∅}, et de plus d(B_{K}, B_{+}) = d(B_{K}, B_{J}) + d(B_{J}, B_{+}). On obtient alors le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{i_{B_{J}}^{G} (δ) \ar@{->>}[r] & Ind_{P_{J}}^{G} (1) \ar@{^{(}->}[r] & i_{B_{+}}^{G} (δ) \ar[r]^{J_{\overline{B_{J}} |B_{+}}} & iG ; \overline{B_{J}} (δ) \\ i_{B_{K}}^{G} (δ) \ar[u]^{J_{B_{J} |B_{K}}} \ar@{->>}[r] & _{Ind{G \atop P_{K}} (1)} \ar@{^{(}->}[u]}

Lemme 2.5.7 Pour K ≠ J, on a J_{\overline{B_{J}} |B_{J}} ∘ J_{B_{J} |B_{K}} = 0.

Preuve : Soient B et B′ deux sous-groupes de Borel adjacents tels que d(B_{J}, B_{K}) = d(B_{J}, B) + 1 + d(B′, B_{K}) et tels que C(B) ⊂ X_{J} et C(B′) ∩ X_{J} = ∅. Comme on a aussi d(B_{J}, \overline{B_{J}}) = d(B_{J}, B) + 1 + d(B′, \overline{B_{J}}), la composée envisagée s’écrit encore

J_{\overline{B_{J}} |B_{J}} ∘ J_{B_{J} |B_{K}} = J_{\overline{B_{J}} |B′} ∘ J_{B′|B} ∘ J_{B|B_{J}} ∘ J_{B_{J} |B} ∘ J_{B|B′} ∘ J_{B′|B_{K}} .

Par 2.2.5 i), l’endomorphisme J_{B|B_{J}} ∘ J_{B_{J} |B} de i_{B}^{G} (δ) est un scalaire et commute donc au reste. Ainsi la composée envisagée est de la forme

J_{\overline{B_{J}} |B_{J}} ∘ J_{B_{J} |B_{K}} =? ∘ J_{B′|B} ∘ J_{B|B′}∘?

et il nous suffira de prouver que J_{B′|B} ∘ J_{B|B′} = 0. Par hypothèse, la racine α dont le mur sépare C(B) et C(B′) est dans S. Si P est le sous-groupe parabolique contenant B et B′, on a donc par 2.2.5 iii)

J_{B′|B} ∘ J_{B|B′} = i_{P}^{G}(J_{\overline{B}∩M_{α}|B∩M_{α}}J_{B∩M_{α}|\overline{B}∩M_{α}}).

On est donc ramené à montrer que lorsque G est de rang semi-simple 1, on a J_{\overline{B_{+}}|B_{+}} ∘ J_{B_{+}|\overline{B_{+}}} = 0. Lorsque R est un corps algébriquement clos de caractéristique banale, ceci est bien connu. Pour passer au cas général, on se ramène au cas universel R = ℤ[\frac{1}{\sqrt{p}N_{G}N_{W}} ]. Dans ce dernier cas, la composée envisagée est nulle puisque elle l’est sur tous les points de SpecR.

□

Reprenons la preuve de 2.2.5 v) et 2.3.3 iii) là où on l’a interrompue. Rappelons que π_{J} est défini par la suite exacte

⨁_{K⊃J} Ind_{P_{K}}^{G} (1) ⟶ Ind_{P_{J}}^{G} (1) ⟶ π_{J} ⟶ 0.

Ainsi par le lemme et le diagramme qui le précède, on obtient une factorisation

\xymatrix{J_{\overline{B_{J}} |B_{J}} : i_{B_{J}}^{G} (δ) \ar@{->>}[r] & Ind_{P_{J}}^{G} (1) \ar@{->>}[d] \ar[r] & iG ; \overline{B_{J}} (δ) \\ & π_{J}^{R} \ar[ur]^{θ_{R}}} .

Il reste maintenant à vérifier que θ_{R} est injective. Lorsque R est un corps, cela résulte de l’irréductibilité de π_{J}^{R} (cf les deux remarques ci-dessus) et de la non-nullité de J_{\overline{B_{J}} |B_{J}}. Pour passer au cas général, remarquons que la formation de π_{J}^{R} et θ_{R} est compatible au changement de base. De plus on sait par 2.4.2 que pour tout sous-groupe ouvert compact, (π_{J}^{R})^{H} est un R-module libre, de même que iG ; \overline{B_{J}} (δ)^{H}. La propriété d’injectivité n’est pas compatible au changement de base, mais la propriété d’être un plongement localement scindable l’est. Ainsi pour montrer que θ_{R} induit un plongement localement scindable sur les H-invariants, on peut se ramener au cas universel R = ℤ[\frac{1}{\sqrt{p}N_{G}}], puis aux localisés de ce cas universel. Dans ce dernier cas où R est local principal, la condition de scindabilité est équivalente à l’existence d’un mineur inversible pour la matrice de θ_{R} dans des bases quelconques de (π_{J}^{R})^{H} et iG ; \overline{B_{J}} (δ)^{H}. Cette existence est assurée par réduction modulo l’idéal maximal, en utilisant le cas des corps, déja traité.

2.5.8 Preuve de 2.3.3 iv) : Soit B tel que C(B) ⊂ X_{J}, de sorte que π_{J} est l’unique quotient irréductible de i_{B}^{G}(δ). Alors sa contragrédiente π_{J}^{∨} est l’unique sous-représentation irréductible de i_{B}^{G}(δ^{−1}) = i_{w_{0}(B)}^{G}(δ). Mais par 2.2.5 v), celle-ci est aussi l’image de J_{w_{0}(B)|\overline{w_{0}(B)}}. Donc π_{J}^{∨} est l’unique quotient irréductible de

iG ; \overline{w_{0}(B)}(δ) dont la chambre associée est C(\overline{w_{0}(B)}) = −w_{0}(C(B)) et est donc contenue dans X_{−w_{0}(J)}. Donc π_{J}^{∨} ≃ π_{−w_{0}(J)}.

3 Cohomologie à supports compacts de Ω

Nous calculons la cohomologie à supports compacts des espaces symétriques Ω_{K}^{d−1} de Drinfeld par une méthode différente de celle de Schneider et Stuhler ; au-lieu d’utiliser l’arrangement “à l’infini” des sousvariétés linéaires rationnelles de ℙ_{K}^{d−1}, dont le nerf est l’immeuble de Tits, nous utilisons un recouvrement de Ω_{K}^{d−1} par des ouverts “distingués” (au sens de Berkovich) dont le nerf s’identifie à l’immeuble de Bruhat-Tits.

Comme on l’a rappelé dans l’introduction, le calcul [38] concerne les groupes de cohomologie sans supports de Ω_{K}^{d−1}, mais il n’est pas difficile d’en déduire “intuitivement” les groupes de cohomologie à supports compacts, sachant qu’il doivent être “lisses” et “duaux” (autant que faire se peut) des précédents. En fait, le même principe que [38] permet de calculer directement la cohomologie à supports compacts H_{c}^{i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) lorsque Λ est de torsion, voir par exemple le preprint [33] d’Orlik. Mais le passage aux coefficients l-adiques pose de nouveaux problèmes : les ℤ_{l}-modules H_{c}^{q}(Ω_{K}^{d−1,ca}, ℤ_{l}) ne sont pas de type fini et ne sont pas la limite projective des H_{c}^{q}(Ω_{K}^{d−1,ca}, ℤ/l^{n}ℤ). C’est ce qui rend difficile l’adaptation de la stratégie de Schneider et Stuhler. En revanche, pour un ouvert distingué U de ℙ_{K}^{d}, on a bien H_{c}^{q}(U^{ca}, ℤ_{l}) = lim_{⟵} H_{c}^{q}(U^{ca}, ℤ_{l}/l^{n}ℤ_{l}), et c’est ce qui permettra notre calcul.

Notre approche est similaire à celle que Drinfeld a utilisée pour calculer la cohomologie de Ω_{K}^{1}. Bien qu’elle semble distincte de celle de [38], les problèmes combinatoires que nous rencontrerons ont pour l’essentiel déja été résolus par Schneider et Stuhler et la lecture de cette section requiert une bonne connaissance de leurs travaux.

Convention 3.0.9 L’anneau de coefficients Λ sera toujours une ℤ_{l}-algèbre locale de type fini, i.e. un quotient ou une localisation de l’anneau des entiers d’une extension finie de ℚ_{l}, pour un entier l ≠ p.

La définition de la cohomologie à supports compacts d’un espace analytique à valeurs dans un tel anneau est rappelée dans l’appendice B.

Nous noterons, suivant l’usage, ℤ_{l}(1) := lim_{⟵}_{n}(μ_{l^{n}}(K^{ca})) le ℤ_{l}-torseur des l-racines de l’unité. En tant que ℤ_{l}-module, il est non canoniquement isomorphe à ℤ_{l}, et l’action naturelle de W_{K} se fait par le caractère |−| qui envoie les Frobenius géométriques sur q^{−1}. Pour tout ℤ_{l}-module on note aussi M(1) := M ⊗_{ℤ_{l}}ℤ_{l}(1).

3.1 Le recouvrement ouvert de Drinfeld

Nous considérons ici encore Ω_{K}^{d−1} comme un espace de Berkovich. Rappelons sa définition, au moins en termes ensemblistes : nommons l’espace vectoriel V := K^{d} et V^{∗} son dual. Notons respectivement 𝔸(V) et ℙ(V) les K-espaces analytiques associés par Berkovich à V, et S(V^{∗}) = ⨁_{n∈ℕ} S_{n}(V^{∗}) l’algèbre symétrique associée à V. Alors on a les descriptions ensemblistes

𝔸(V) = {K − seminormes multiplicatives S(V^{∗}) ⟶ ℝ_{+}},
ℙ(V) = (𝔸(V) \ {0})/ ∼

où x ∼ y si et seulement si ∃λ > 0, ∀n ∈ ℕ, ∀f ∈ S_{n}(V^{∗}), |f(x)| = λ^{n}|f(y)| (suivant Berkovich, nous notons indifféremment x(f) = |f(x)| pour “la semi-norme x évaluée en la fonction f”.). On renvoie au livre de Berkovich pour la définition des topologies et des faisceaux d’anneaux topologiques correspondants. Posons maintenant

Ω̃(V) := {x ∈ 𝔸(V), x_{|V^{∗}} est une K-norme sur V^{∗}},

alors Ω_{K}^{d−1} s’identifie au sous-espace analytique Ω(V) de ℙ(V) dont l’ensemble sous-jacent est l’image de Ω̃(V).

Fixons comme dans la section précédente une paire de Borel (B, T) et l’ensemble de racines simples S associé. Pour décrire la cohomologie de Ω_{K}^{d−1}, il convient de numéroter S, i.e. de fixer une bijection S \underrightarrow{∼} \{1, ⋯, d − 1\}. On le fait de telle sorte que pour i ∈ \{1, ⋯, d − 1\}, le parabolique P_{S\\{i\}} soit le stabilisateur d’un sous-espace de dimension i de V = K^{d}, pour l’action naturelle de G_{d} = GL_{d}(K) sur K^{d}; cela revient à numéroter la sur-diagonale “de haut en bas”.

Théorème 3.1.1 (Schneider-Stuhler modifié) Λ étant comme en 3.0.9, il y a pour i = 0, ⋯, d − 1 des isomorphismes P GL_{d}(K) × W_{K}-équivariants “canoniques”

H_{c}^{d−1+i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) \underrightarrow{∼} π_{\{1,···,i\}}^{Λ}(−i)

Nous conviendrons que pour i = 0, la représentation π_{{1,···,i}}^{Λ} est π_{∅}^{Λ}. Nous préciserons le sens de “canonique” à la fin de la preuve.

Par la suite nous abrègerons Ω := Ω(V) = Ω_{K}^{d−1} et G := P GL(V).

3.1.2 On notera BT l’immeuble de Bruhat-Tits associé à P GL(V^{∗}) considéré comme ensemble simplicial et |BT | sa réalisation géométrique, considéré comme immeuble euclidien. Rappelons la description ensembliste

|BT | = {classes d’homothétie de K-normes sur V^{∗}}

qui permet de définir à moindres frais l’application de Drinfel’d

\begin{matrix}τ : Ω & → & |BT | \\ x & ↦ & x_{|V} : v ↦ |v(x)| \end{matrix} .

D’après [4], cette application est surjective et continue.

3.1.3 Pour q = 0, ⋯, d, on note BT_{q} l’ensemble des q-simplexes de BT. Si F ⊂ BT est un simplexe, on notera |F | la facette de |BT | associée : on a pour toute paire de simplexes F′ ⊂ F ⇔ |F′| ⊂ \overline{|F |} où \overline{|F |} désigne l’adhérence de |F |. Pour un simplexe F, on notera aussi |F |^{∗} ⊂ |BT | son lien : c’est la réunion des facettes |F′| avec F′ ⊃ F. Si F = {s_{1}, ⋯, s_{n}} avec s_{i} ∈ BT des sommets, on a bien-sûr |F |^{∗} = ∩_{i}|s_{i}|^{∗}. Il s’ensuit que la famille (τ^{−1}(|s|^{∗}))_{s∈BT} de sous-ensembles de Ω est un recouvrement ouvert analytique de Ω dont le nerf est justement BT. De plus, chaque τ^{−1}(|s|^{∗}) est distingué au sens de Berkovich, i.e. peut s’écrire comme différence de deux domaines analytiques compacts.

Le groupe G = P GL(V) agit par automorphismes analytiques sur Ω et simpliciaux sur |BT |. L’application τ est P GL(V)-équivariante. Notre but est évidemment de calculer la cohomologie au moyen du recouvrement par les τ^{−1}(|s|^{∗}). Comme on veut un calcul équivariant et comme il n’existe pas d’orientation P GL(V)-invariante sur BT, on modifie le complexe de Cech usuel selon la procédure introduite par Schneider-Stuhler dans [38] et [40]. En fait, pour nous raccrocher à certains résultats combinatoires de [38], nous utiliserons leur notion de systèmes de coefficients que nous rappelons ci-dessous.

3.2 Systèmes de coefficients sur l’immeuble

3.2.1 Systèmes de coefficients : (voir Schneider-Stuhler [38],[39],[40]). Au complexe simplicial BT est associée une catégorie BT dont les objets sont les simplexes et les morphismes sont induits par les inclusions de simplexes. Par définition, si C est une catégorie, la catégorie Coef_{BT} (C) des systèmes de coefficients à valeurs dans C est la catégorie des foncteurs contravariants BT ⟶ C. Celle-ci est abélienne lorsque C l’est. La catégorie BT est munie d’une action stricte de G = P GL(V). Lorsque C est munie elle-aussi d’une action (pas nécessairement stricte) de G, on en déduit une autre sur Coef_{BT} (C) par la formule X ↦ g_{BT} ∘ X ∘ g^{−1}_{C}. La catégorie Coef_{BT}^{G} (C) des systèmes de coefficients G-équivariants à valeurs dans C est par définition la catégorie des objets G-équivariant de Coef_{BT} C. On rappelle qu’une structure Géquivariante sur un objet X d’une G-catégorie A est une famille d’isomorphismes τ(g) : g_{A}(M) \underrightarrow{∼} M satisfaisant la condition de cocycle usuelle.

3.2.2 Complexes de chaînes : Schneider et Stuhler ont défini dans [40, II.1] une notion de facette orientée de l’immeuble (poly)-simplicial associé à un groupe p-adique quelconque. Dans le cas P GL(V) qui nous intéresse, la définition est plus élémentaire, cf [39, par. 3] : étant donnés deux ordres totaux sur un simplexe de BT, on les déclare équivalents s’ils se déduisent l’un de l’autre par une permutation paire des sommets. Alors un simplexe orienté est par définition un couple (F, c) formé d’un simplexe et d’une classe d’équivalence d’ordres totaux sur ce simplexe. On note BT_{(q)} l’ensemble des facettes orientées de dimension q. Si F′ ⊂ F, on note ∂_{F′}^{F}(c) l’orientation de F′ induite par l’orientation c de F.

Supposons que C est abélienne avec limites directes exactes. Si X est un système de coefficients à valeurs dans C, on lui associe le complexe borné d’objets de C, dit complexe de chaînes de X

C_{c}^{or}(BT, X) := C_{c}^{or}(BT_{(d)}, X) ⟶^{d_{d−1}} ⋯ ⟶^{d_{0}} C_{c}^{or}(BT_{(0)}, X)

où

C_{c}^{or}(BT_{(q)}, X) := ker (Id +α)

avec la définition suivante de α : posons pour toute facette orientée X_{(F,c)} := X_{F}, alors

α : ⨁_{(F,c)∈BT_{(q)}} X_{(F,c)} ⟶ ⨁_{(F,c)∈BT_{(q)}} X_{(F,c)}

est le morphisme induit par X_{(F,c)} ⟶^{Id} X_{(F,−c)}. La différentielle est induite par les morphismes

⨁_{F′⊂F} X_{F′⊂F} : X_{(F,c)} ⟶ ⨁_{F′⊂F} X_{(F′,∂_{F′}^{F} (c))}.

Nous noterons H_{∗}(BT, X) les objets d’homologie du complexe C_{c}^{or}(BT, X).

Rappelons que G agit sur les facettes orientées de BT_{(q)}, q ⩾ 0, de sorte que si X est un système de coefficients G-équivariant, alors pour tout q ⩾ 0, l’objet M := C_{c}^{or}(BT_{(q)}, X) est par construction un objet G-équivariant de C. De plus les différentielles sont compatibles à ces structures G-équivariantes, de sorte que les objets d’homologie H_{∗}(BT, X) sont eux-aussi G-équivariants.

3.2.3 Pour tout simplexe F dans BT, on note

U_{F}^{ca} := τ^{−1}(|F |^{∗}) ˆ⊗K̂^{ca}.

Si p ∈ ℕ, on vérifie que les applications – (F ∈ BT_{•}) ↦ H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ) et

– (F′ ⊂ F) ↦ (H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ) ⟶ H_{c}^{p}(U_{F′}^{ca}, Λ)), (induit par l’immersion ouverte U_{F}^{ca} ⊂ U_{F′}^{ca}) définissent un système de coefficients G-équivariant à valeurs dans les ΛW_{K}-modules que nous noterons simplement F ↦ H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ).

Proposition 3.2.4 Il existe une suite spectrale G × W_{K}-équivariante

E_{1}^{pq} = C_{c}^{or}(BT_{(q)}, F ↦ H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ)) ⇒ H_{c}^{p+q}(Ω^{ca}, Λ)

dont la différentielle d_{1}^{pq} est celle du complexe de chaînes du système de coefficients F ↦ H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ).

Preuve : Dans le cas de torsion, la seule complication par rapport aux arguments standard vient de ce que le nerf du recouvrement BT n’a pas d’orientation G-invariante. C’est justement pour pallier cet inconvénient que Schneider et Stuhler ont introduit leurs facettes orientées.

Dans le cas l-adique, cela fonctionne de la même manière, que l’on suive la définition de Berkovich B.2.1, ou celle de Jannsen-Huber-Fargues B.2.2. Voir [19, 4.2.2] pour des arguments complets dans ce dernier cas (modulo le problème d’orientation). □

3.2.5 Rappelons maintenant l’exemple essentiel de système de coefficients de Λ-modules introduit par Schneider et Stuhler. Pour F simplexe, on note Ĝ_{F} son stabilisateur, G_{F} son fixateur et G_{F}^{+} le pro-p-radical de G_{F} (voir par exemple [38, part 6] où le groupe G_{F}^{+} est noté U_{σ}). Partant alors d’un ΛG-module lisse V on définit un système de coefficients (noté γ_{0}(V) dans [40]) à valeurs dans la catégorie des Λ-modules :

– F ↦ V^{G_{F}^{+}}.

– F′ ⊂ F ↦ V^{G_{F}^{+}} ↪ V^{G_{F′}^{+}} dont l’existence est assurée par l’inclusion G_{F′}^{+} ⊂ G_{F}^{+}. Bien sûr, l’action de G sur V induit une structure G-équivariante sur ce système de coefficients.

Le point clef de la preuve du théorème 3.1.1 est la proposition suivante qui sera prouvée dans la prochaine section : Proposition 3.2.6 Pour 0 ⩽ i ⩽ d − 1, il existe un isomorphisme de systèmes de coefficients Géquivariants en ΛW_{K}-modules

(F ↦ H_{c}^{d−1+i}(U_{F}^{ca}, Λ)) \underrightarrow{∼} (F ↦ (π_{\{1,···,i\}}^{Λ})^{G_{F}^{+}} (−i)) .

De plus, pour p ∉ {d − 1, ⋯, 2d − 2}, on a H_{c}^{p}(U_{F}^{ca}, Λ) = 0 pour toute F.

À partir de là, le théorème 3.1.1 résulte facilement du théorème 6.8 de [38] selon lequel les complexes C_{c}^{or}(BT, F ↦ (π_{I}^{Λ})^{G_{F}^{+}}) sont des résolutions des représentations π_{I}^{Λ}. En effet, la suite spectrale 3.2.4 dégénère alors en des isomorphismes

E_{2}^{∗0} \underrightarrow{∼} H_{c}^{∗}(Ω^{ca}, Λ)

avec E_{2}^{∗0} = π_{{1,···,i}}^{Λ}(−i) si ∗ = d − 1 + i pour 0 ⩽ i ⩽ d − 1 et E_{2}^{∗0} = 0 sinon.

3.3 Arrangements

Nous commençons par quelques préliminaires simpliciaux et homologiques.

3.3.1 Ensembles partiellement ordonnés : Soit (𝔛, ⩽) un ensemble muni d’un ordre partiel. On peut lui associer une catégorie notée encore 𝔛 dont les objets sont les éléments de 𝔛 et les ensembles de morphismes sont singletons ou vides selon que X ⩽ X′ ou non, avec une loi de composition évidente. On appelle système de coefficients sur X à valeurs dans une catégorie abélienne C tout foncteur 𝔛 ⟶ C.

Supposons que 𝔛 admet un plus petit élément Z et notons 𝔛^{(0)} := 𝔛 \ {Z}. On peut associer à 𝔛 l’ensemble simplicial dont les sommets sont les éléments de 𝔛^{(0)} et les n-simplexes sont les sous-ensembles totalement ordonnés à n + 1 éléments de 𝔛^{(0)}. Pour un tel simplexe S on pose X_{S} := max(S) l’élément maximal de S. On notera aussi 𝔛^{(n)} l’ensemble de ces n-simplexes. Un système de coefficients V : X ↦ V_{X} sur 𝔛 induit un système de coefficients sur l’ensemble simplicial associé à 𝔛 en posant :

– V_{S} := V_{X_{S}} et

– pour tout S ⊂ S′, la flèche ι_{S}^{S′} : V_{S} ⟶ V_{S′} est donnée par la flèche associée par V à X_{S} ⩽ X_{S′}.

Soient S ⊂ S′ deux simplexes tels que |S′| = |S| + 1. On définit un signe ϵ_{S,S′} := (−1)^{rang_{S}(X′)} où S′ = S ∪ {X′} et rang_{S}(X′) = |{X ∈ S, X ⩽ X′}|. À un système de coefficients V sur 𝔛 on associe alors le complexe de cochaînes suivant :

(C^{∗}(𝔛, V), ∂^{∗}) : V_{Z} ⟶^{∂^{0}} ⨁_{S∈𝔛^{(0)}} V_{S} ⟶^{∂^{1}} ⋯ ⟶^{∂^{k}} ⨁_{S∈𝔛^{(k)}} V_{S} ⟶^{∂^{k+1}} ⋯

où la différentielle est définie par ∂^{0} = ∑_{X∈𝔛^{(0)}} ι_{Z}^{X} et

∂^{k+1} = ⨁_{S∈𝔛^{(k)}} ( ∑_{S′∈𝔛^{(k+1)},S′⊃S} ϵ_{S,S′}ι_{S}^{S′} ) pour k ⩾ 0.

3.3.2 La catégorie des arrangements : Fixons un K-espace analytique Z compact. On appellera arrangement dans Z tout ensemble fini 𝔛 de sous-espaces analytiques compacts de Z, stable par intersectionnon-vide et contenant Z. En particulier 𝔛 est un ensemble partiellement ordonné pour la contenance (c’est à dire X ⩽ X′ si et seulement si X ⊇ X′) muni d’un plus petit élément, Z. On note U(𝔛) l’ouvert complémentaire U(𝔛) := Z \ ⋃_{X∈𝔛^{(0)}} X, où 𝔛^{(0)} a été défini au paragraphe précédent.

Supposons maintenant donné un second arrangement 𝔛′. Un morphisme d’arrangements 𝔛 ⟶ 𝔛′ est un couple (f, ϕ) où

– f ∈ Aut(Z) est un automorphisme analytique de Z et

– ϕ une application strictement croissante 𝔛 ⟶^{ϕ} 𝔛′ telle que pour tout X ∈ 𝔛, on ait ϕ(X) ⊇ f(X). Nous dirons aussi parfois que “ϕ est un morphisme d’arrangements au-dessus de f”. Notons que sur les ouverts complémentaires, on a U(𝔛′) ⊆ f(U(𝔛)).

Les arrangements de Z munis de la notion de morphisme ci-dessus forment une catégorie notée Arr(Z) sur laquelle le groupe Aut(Z) des automorphismes analytiques de Z agit strictement.

3.3.3 Cohomologie des ouverts complémentaires : On supposera par précaution que tous les espaces analytiques compacts considérés ci-dessous sont “quasi-algébriques”, i.e. satisfont les hypothèses de [3, Cor 5.6]. On sait alors que dans le cas où Λ est l-adique, on a simplement H_{c}^{p}(X^{ca}, Λ) = lim_{⟵} H^{p}(X^{ca}, Λ/𝔪^{n}) et on en déduit les flèches contravariantes H_{c}^{p}(X_{1}^{ca}, Λ) ⟶ H_{c}^{p}(X_{2}^{ca}, Λ) pour X_{2} ⊂ X_{1} par passage à la limite projective. Pour cette raison, nous noterons simplement H^{p} plutôt que H_{c}^{p}, même dans le cas l-adique.

Étant donné un arrangement 𝔛 dans Z, on dispose de systèmes de coefficients X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ) pour p ∈ ℕ. Si on se donne un morphisme d’arrangements (f, ϕ) : 𝔛 ⟶ 𝔛′, on a un morphisme de complexes de cochaînes

C^{∗}(f, ϕ) : C^{∗}(𝔛′, X′ ↦ H^{p}(X′^{ca}, Λ)) ⟶ C^{∗}(𝔛, X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ))

donné par

C^{k}(f, ϕ) = ⨁_{S′∈𝔛′^{(k)}} ∑_{S∈ϕ^{−1}(S′)} f_{S′S}^{∗}

avec f_{S′S}^{∗} : H^{p}(X_{S′}^{ca}, Λ) ⟶ H^{p}(X_{S}^{ca}, Λ) le morphisme induit par la restriction f_{|X_{S}} : X_{S} ⟶ X_{S′}.

Proposition 3.3.4 i) Il existe une suite spectrale W_{K}-équivariante

E_{1}^{pq}(𝔛) = C^{q}(𝔛, X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ)) ⇒ H_{c}^{p+q}(U(𝔛)^{ca}, Λ)

dont la différentielle d_{1}^{pq} est celle du complexe de cochaînes du système de coefficients X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ).

ii) Tout morphisme d’arrangements 𝔛 ⟶^{(f, ϕ)} 𝔛′ induit un morphisme de suites spectrales (E_{r}^{pq})(𝔛′)_{p,q,r} ⟶ (E_{r}^{pq})(𝔛)_{p,q,r} donné par le morphisme C^{∗}(f, ϕ) ci-dessus sur les termes E_{1}^{p∗}(𝔛) et compatible sur l’aboutissement au morphisme H_{c}^{p+q}(U(𝔛′)^{ca}, Λ) ⟶^{f_{!}^{−1}} H_{c}^{p+q}(U(𝔛)^{ca}, Λ) induit par l’immersion f_{|U(𝔛′)}^{−1} :

U(𝔛′) ⟶ U(𝔛).

Preuve : Tout cela est encore une fois standard dans le cas de torsion et nous ommettons la preuve. Dans le cas où Λ est fini sur ℤ_{l} d’idéal maximal 𝔪, il faut rappeler que puisque U(𝔛) est “distingué”, on a d’après [19] 4.1.9 a) et 4.1.15 des isomorphismes

H_{c}^{p}(U(𝔛)^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} lim_{⟵}_{n}H_{c}^{p}(U(𝔛)^{ca}, Λ/𝔪^{n}).

De plus, les systèmes projectifs (H^{p}(X^{ca}, Λ/𝔪^{n}))_{n} sont des systèmes de Λ-modules finis et sont donc lim_{⟵}-acycliques. Ainsi le cas l-adique se déduit du cas de torsion par simple passage à la limite. □

3.3.5 Fonctions associées à un sommet : Après ces préliminaires simpliciaux, revenons au demi-plan. Notre but est d’exhiber pour chaque facette F de l’immeuble un arrangement convenable 𝔛_{F} dans ℙ(V) tel que U_{F} = ℙ(V) \ ∪_{X∈𝔛_{F}^{(0)}}X.

Soit s ∈ BT un sommet de l’immeuble. Choisissons un O_{K}-réseau générateur V^{∗} ⊂ V^{∗} tel que la norme

\begin{matrix}|.|_{V^{∗}} : V^{∗} & → & ℝ_{+} \\ f & ↦ & min\{|x|_{K}, x ∈ K^{∗} t.q. x^{−1}f ∈ V^{∗}\} \end{matrix}

représente le sommet s. Posons alors x_{V^{∗}} := sup_{f∈V^{∗}} |f(x)| pour tout x ∈ 𝔸(V). La fonction

\begin{matrix}[., .]_{s} : (V^{∗} \ \{0\}) × (𝔸(V) \ \{0\}) & → & ℝ_{+} \\ (f, x) & ↦ & \frac{|f(x)|}{x_{V^{∗}} |f|_{V^{∗}}} \end{matrix}

ne dépend que de s (et pas du choix du réseau V^{∗}), et se descend en une fonction

[., .]_{s} : P (V^{∗}) × ℙ(V) ⟶ ℝ_{+}.

Lemme 3.3.6 On a τ^{−1}(s^{∗}) = {x ∈ ℙ(V), ∀f ∈ P (V^{∗}), [f, x]_{s} > q^{−1}}.

Preuve : (Indications.) Si x ∈ Ω(V), on a τ(x) ∈ s^{∗} si et seulement si il existe k ∈ ℕ et des sommets voisins de s et deux-à-deux voisins et distincts s_{1}, ⋯ s_{k} tels que τ(x) soit dans l’enveloppe convexe stricte (la facette) des points s, s_{1}, ⋯, s_{k}. En écrivant les normes des s_{i} en coordonnées, on constatera sans difficultés que l’inégalité de l’énoncé est vérifiée.

Réciproquement, soit x satisfaisant l’inégalité à droite du signe = dans l’énoncé. On remarque tout d’abord que x est nécessairement dans Ω(V), puis qu’on peut récupérer les s_{i} par l’égalité

{s, s_{1}, ⋯, s_{k}} = {sommets t tels que ∀f ∈ P (V^{∗}), [f, x]_{t} > q^{−1}}.
□

3.3.7 Immeuble de Tits : Notons 𝔛^{(0)} l’ensemble de tous les sous-K-espaces vectoriels de V^{∗} propres (i.e. non nuls et différents de V^{∗}) et 𝔛 := 𝔛^{(0)} ∪ {0}. Ces ensembles sont partiellement ordonnés par l’inclusion et le complexe simplicial associé à 𝔛^{(0)} est bien connu : il s’agit de l’immeuble de Tits de P GL(V^{∗}). Il a été muni dans [40] d’une topologie “pro-sphérique” pour laquelle l’action naturelle de P GL(V^{∗}) est continue. Pour W ∈ 𝔛 on définit

W^{⊥} := {x ∈ ℙ(V), ∀f ∈ W, |f(x)| = 0}.

C’est un sous-espace K-analytique projectif de ℙ(V) et c’est ℙ(V) tout entier si W = 0. Pour un sommet s, on définit aussi

H_{s}(W) := {x ∈ ℙ(V), ∀f ∈ W, [f, x]_{s} ⩽ q^{−1}}

Si W = 0 c’est encore ℙ(V) et si W ≠ 0, c’est un domaine analytique compact (au sens de Berkovich) auquel on peut penser comme à un certain “voisinage tubulaire” de W^{⊥}. Nous voulons aussi attacher à une facette F des voisinages tubulaires H_{F} (W) de W^{⊥}. Pour cela, rappelons qu’une telle facette correspond à une suite infinie

(⋯ ⊂ V_{i}^{∗} ⊂ V_{i+1}^{∗} ⊂ ⋯)_{i∈ℤ}

de O-réseaux dans V^{∗} telle que pour tout i ∈ ℤ, V_{i}^{∗} = ϖ_{K}V_{i+q+1}^{∗} où q est la dimension de F. Par ailleurs, un élément x ∈ ℙ(V) est représenté par une semi-norme multiplicative x̃ sur S(V^{∗}). Notons κ(x) le corps des fractions de l’anneau quotient de S(V^{∗}) par l’idéal {f ∈ S(V^{∗}), |f(x)| = 0}. Ce corps est muni d’une norme résiduelle et on a une factorisation :

x̃ : S(V^{∗}) ⟶ κ(x) ⟶^{||_{κ(x)}} ℝ_{+}

dont nous noterons encore x̃ la flèche de gauche. Nous posons alors

H_{F} (W) := {x ∈ ℙ(V), ∀i ∈ ℤ, x̃(W ∩ V_{i+1}^{∗}) ⊆ x̃(V_{i}^{∗})}, (3.3.8)

le choix de x̃ au-dessus de x étant clairement indifférent. Lorsque F = s = (⋯ ϖ_{K}^{−i}V^{∗} ⊂ ϖ_{K}^{−i−1}V^{∗} ⊂ ⋯) est un sommet, la définition coïncide avec la précédente en vertu des équivalences

∀i ∈ ℤ, x̃(W ∩ V_{i+1}^{∗}) ⊆ x̃(V_{i}^{∗}) ⇔ x̃(W ∩ V^{∗}) ⊆ ϖ_{K} x̃(V^{∗})
⇔ ∀f ∈ W t.q. |f|_{V^{∗}} = 1, |f(x)| ⩽ q^{−1}x_{V^{∗}}

Par ailleurs, il est clair que si F′ ⊂ F, alors pour tout W, on a H_{F′}(W) ⊂ H_{F} (W).

Proposition 3.3.9 Notons 𝔛_{F} l’ensemble de tous les fermés H_{F} (W) obtenus pour W parcourant 𝔛.

i) Pour toute facette F, 𝔛_{F} est un arrangement dans ℙ(V) dont l’ouvert complémentaire est U_{F} = τ^{−1}(F^{∗}).

ii) L’application W ↦ H_{F} (W) est strictement croissante et induit pour tout k une bijection :

𝔛^{(k)}/G_{F}^{+} \underrightarrow{∼} 𝔛_{F}^{(k)}.

En particulier lorsque F′ ⊂ F, on obtient une application croissante 𝔛_{F} ⟶ 𝔛_{F′} qui est un morphisme d’arrangement au-dessus de l’identité (cf 3.3.2).

iii) Pour tout g ∈ P GL(V) et toute facette F, l’application W ↦ g^{∗}(W) induit un isomorphisme

d’arrangements 𝔛_{F} \underrightarrow{∼} 𝔛_{gF} au dessus de g. iv) Pour toute facette F et tout W ∈ 𝔛_{+}, l’application canonique H^{q}(H_{F} (W)^{ca}, Λ) ⟶ H^{q}(W^{⊥}^{ca}, Λ)

est un isomorphisme pour tout q ⩾ 0.

Preuve : Soit F une facette représentée par la suite de réseaux (⋯ ⊂ V_{i}^{∗} ⊂ V_{i+1}^{∗} ⊂ ⋯)_{i∈ℤ}. De la définition 3.3.8, on déduit que pour W, W′ ∈ 𝔛^{(0)}, on a

H_{F} (W) = H_{F} (W′) si et seulement si ∀i ∈ ℤ, W ∩ V_{i}^{∗} + V_{i−1}^{∗} = W′ ∩ V_{i}^{∗} + V_{i−1}^{∗}.

Ceci a deux conséquences :

i) Si F′ ⊂ F, on a H_{F′}(W) = H_{F′}(W′) ⇒ H_{F} (W) = H_{F} (W′), ou, en d’autres termes, l’application W ↦ H_{F} (W) se factorise par l’application W ↦ H_{F′}(W).

ii) D’après l’égalité G_{F}^{+} = {g ∈ G, ∀i ∈ ℤ, gV_{i}^{∗} ⊆ V_{i}^{∗} et g_{|V_{i}^{∗}/V_{i−1}^{∗}} = Id}, l’application W ↦ H_{F} (W)

se factorise par 𝔛 ⟶ 𝔛/G_{F}^{+} ⟶ 𝔛_{F}. En particulier, 𝔛_{F} est fini. Pour W, W′ ∈ 𝔛^{(0)}, on veut maintenant trouver W′′ tel que

H_{F} (W) ∩ H_{F} (W′) = H_{F} (W′′).

Pour cela, le sous-espace W′′ ⊂ V^{∗} doit vérifier

∀i ∈ ℤ, W′′ ∩ V_{i}^{∗} + V_{i−1}^{∗} = W ∩ V_{i}^{∗} + W′ ∩ V_{i}^{∗} + V_{i−1}^{∗}.

Il suffit bien-sûr que l’égalité ci-dessus soit vérifiée pour i ∈ {0, ⋯, q + 1} où q est la dimension de F. Plus généralement, on a :

Lemme 3.3.10 Dans le contexte ci-dessus, soit (\overline{W_{i}})_{i=0,···,q+1} une famille de sous-k-espaces vectoriels respectifs des espaces \overline{V_{i}} := V_{i}^{∗}/V_{i−1}^{∗}. Alors il existe un sous-espace W ⊂ V^{∗} tel que pour tout i, l’image de W ∩ V_{i}^{∗} dans \overline{V_{i}} soit \overline{W_{i}}. La preuve de ce lemme se ramène à un simple exercice d’algèbre linéaire sur le k-espace vectoriel ϖ^{−1}V_{0}^{∗}/V_{0}^{∗} que nous laissons au lecteur... Moyennant quoi, l’ensemble 𝔛_{F} est bien un arrangement au sens de 3.3.2.

Dans le cas où F = s est un sommet, la première définition que nous avons donnée de H_{s}(W) et le lemme 3.3.6 montrent que l’ouvert complémentaire de 𝔛_{s} est bien U_{s} = τ^{−1}(s^{∗}). Pour une facette générale, on a τ^{−1}(F^{∗}) = ⋂_{s∈F} τ^{−1}(s^{∗}) et les inclusions H_{s}(W) ⊂ H_{F} (W) pour chaque sommet s ∈ F montrent que l’ouvert complémentaire de 𝔛_{F} est inclus dans τ^{−1}(F^{∗}). Pour montrer l’autre inclusion, c’est un peu plus délicat ; fixons W ∈ 𝔛^{(0)} et convenons de noter \overline{W_{i}} l’image de W ∩ V_{i}^{∗} dans \overline{V_{i}}. En appliquant le lemme précédent, on trouve des sous-espaces W_{i} ⊂ V^{∗} tels que :

∀j ∈ ℤ, l’image de W_{i} ∩ V_{j}^{∗} dans V_{j}^{∗}/V_{j−1}^{∗} = \{ \begin{matrix}\overline{W_{j}} & si & j = i mod q \\ 0 & si & j ≠ i mod q \end{matrix}

On vérifie alors sur les définitions que H_{F} (W) = ⋂_{i=0,···,q+1} H_{F} (W_{i}) et que d’autre part, si s_{i} désigne le sommet de F représenté par le réseau V_{i}^{∗}, alors

H_{F} (W_{i}) = H_{s_{i−1}}(W_{i}).

Il s’ensuit que H_{F} (W) est inclus dans le complémentaire de τ^{−1}(F^{∗}), et on obtient ainsi la deuxième inclusion cherchée. Enfin, la discussion précédente montre aussi que les H_{F} (W) sont des domaines analytiques compacts de ℙ(V) (puisqu’on le sait pour les H_{s_{i−1}}(W_{i})) et la preuve du i) est maintenant achevée.

Passons à ii) : la croissance de W ↦ H_{F} (W) est claire (rappelons que 𝔛 est ordonné par inclusion et 𝔛_{F} par contenance !). Pour voir la stricte croissance, il suffit de remarquer que dim_{K}(W) = ∑_{i=0}^{q+1} dim_{k}(\overline{W_{i}}) et de rappeler que H_{F} (W) = H_{F} (W′) si et seulement si \overline{W_{i}} = \overline{W′_{i}} pour tout i ∈ ℤ. On a déja remarqué que la surjection 𝔛^{(k)} ⟶ 𝔛_{F}^{(k)} se factorise par 𝔛^{(k)} ⟶ 𝔛^{(k)}/G_{F}^{+}. Le fait que l’application 𝔛^{(k)}/G_{F}^{+} ⟶ 𝔛_{F}^{(k)} est une bijection a été montré par Schneider-Stuhler [38, Corollary 6.5.].

Le point iii) est une conséquence évidente des définitions.

Pour la preuve de iv), on s’inspire de l’idée de [38, Prop 1.6] : traduite dans nos notations, elle consiste à exhiber une rétraction p : H_{F} (W) ⟶ W^{⊥} de l’immersion i : W^{⊥} ↪ H_{F} (W) dont les fibres sont des polydisques affinoïdes. En effet, lorsqu’on a une telle rétraction et lorsque Λ est de torsion (première à p), on considère les morphismes canoniques d’adjonction

Λ_{W^{⊥}} ⟶^{can} Rp_{∗}p^{∗}Λ_{W^{⊥}} ⟶^{can} Rp_{∗}i_{∗}i^{∗}p^{∗}Λ_{W^{⊥}} ≃ Λ_{W^{⊥}}.

L’isomorphisme de droite vient de l’égalité p ∘ i = Id_{W^{⊥}} et la composée de ces deux morphismes est l’identité du faisceau Λ_{W^{⊥}}. D’autre part, d’après Berkovich [2, 7.4.2] et notre hypothèse sur les fibres de p, la première flèche est un isomorphisme. La deuxième est donc aussi un isomorphisme et en appliquant le foncteur RΓ(W^{⊥}^{ca}, .) à cette deuxième flèche on obtient le résultat voulu, à savoir que l’application canonique de restriction RΓ(H_{F} (W)^{ca}, Λ) ⟶ RΓ(W^{⊥}^{ca}, Λ) est un isomorphisme. Ceci règle le cas de torsion. Comme les espaces H_{F} (W) et W^{⊥} sont compacts et quasi-algébriques, on déduit le cas λ-adique par passage à la limite grâce aux isomorphismes H^{q}(X^{ca}, Λ) \underrightarrow{∼} lim_{⟵} H^{q}(X^{ca}, Λ/λ^{n}) valable pour de tels espaces.

Pour construire l’application p, on choisit des supplémentaires \overline{Y_{i}} de \overline{W_{i}} dans \overline{V_{i}} pour i = 0, ⋯, q + 1 (avec les notations déja introduites plus haut) et on applique le lemme précédent pour trouver un sousespace Y ⊂ V^{∗} tel que pour tout i = 0, ⋯, q + 1, l’image de Y ∩ V_{i}^{∗} dans \overline{V_{i}} soit \overline{Y_{i}}. On remarque que Y^{⊥} ∩ W^{⊥} = ∅ et dim(Y^{⊥}) + dim(W^{⊥}) = d − 2, de sorte que l’on peut définir p : ℙ(V) \ Y^{⊥} ⟶ W^{⊥} la projection linéaire sur W^{⊥} de centre Y^{⊥}. On a

Y^{⊥} ∩ H_{F} (W) = {x ∈ ℙ(V), x̃(Y) = 0 et ∀i ∈ ℤ, x̃(W ∩ V_{i}^{∗}) ⊆ x̃(V_{i−1}^{∗})}
⊆ {x ∈ ℙ(V), ∀i ∈ ℤ, x̃(V_{i}^{∗}) ⊆ x̃(V_{i−1}^{∗})}
= ∅,

la dernière égalité venant de la non-nullité de x̃ associé à x ∈ ℙ(V). Donc p est bien définie sur H_{F} (W) et il est clair que c’est une rétraction de l’inclusion i : W^{⊥} ↪ H_{F} (W).

On veut maintenant étudier les fibres de p et de p_{|H_{F} (W)}. Pour cela on fixe un élément x de W^{⊥} ⊂ ℙ(V). On note κ̂(x) la complétion du corps résiduel κ(x) en x; la fibre de p au-dessus de x est naturellement munie d’une structure de κ̂(x)-espace analytique affine. Pour expliciter cette structure, notons V_{x} := V ⊗_{K} κ̂(x) et ℙ(V_{x}) le κ̂(x)-espace projectif associé. Notons aussi V_{x}^{∗} = Y_{x} ⊕ W_{x} la décomposition de V_{x}^{∗} := V^{∗} ⊗_{K} κ̂(x) obtenue de la décomposition V^{∗} = Y ⊕ W par extension des scalaires de K à κ̂(x). On notera aussi Y_{x}^{⊥} = {z ∈ ℙ(V_{x}), ∀f ∈ Y_{x}, |f(z)| = 0} le sous-espace projectif “othogonal” associé à Y_{x}; on a évidemment Y_{x}^{⊥} ≃ Y^{⊥} ˆ⊗_{K} κ̂(x). Posons alors

Y (x) = {f ∈ Y_{x}, |f(x)| = 0} ⊆ Y_{x} ⊂ V_{x}^{∗}

(On voit ici x comme un point de l’espace ℙ(V_{x})). La fibre de p en x munie de sa structure de κ̂(x)-espace analytique est

p^{−1}(x) ≃ Y (x)^{⊥} \ Y_{x}^{⊥} ⊂ ℙ(V_{x}).

C’est un espace affine dont l’algèbre de fonctions analytiques est la localisation de l’algèbre graduée S(V_{x}^{∗}/Y (x)) par un générateur, disons f_{x}, de Y_{x}/Y (x). Ainsi l’application

\begin{matrix}α : S(W_{x}) & → & S(V_{x}^{∗}/Y (x))_{f_{x}} \\ f & ↦ & ff_{x}^{−1} \end{matrix}

induit un isomorphisme d’espaces κ̂(x)-affines

α^{∗} : p^{−1}(x) \underrightarrow{∼} 𝔸(W_{x}).

On veut maintenant calculer la fibre de p_{|H_{F} (W)} en x, c’est-à-dire l’image par l’isomorphisme α^{∗} de l’intersection p^{−1}(x) ∩ H_{F} (W).

La suite strictement croissante de O_{K}-réseaux (V_{i}^{∗})_{i∈ℤ} dans le K-espace V^{∗} représentant la facette F induit par extension des scalaires puis passage au quotient une suite croissante de réseaux (X_{i}^{∗})_{i∈ℤ} de O_{κ̂(x)}-réseaux dans le κ̂(x)-espace V_{x}^{∗}/Y (x). Identifions W_{x} avec son image dans V_{x}^{∗}/Y (x) ; notre choix du K-espace Y nous assure que

∀i ∈ ℤ, X_{i}^{∗} = (X_{i}^{∗} ∩ W_{x}) ⊕ (X_{i}^{∗} ∩ (Y_{x}/Y (x))).

Remarquons qu’il existe un unique i ∈ ℤ tel que f_{x} ∈ X_{i}^{∗}∩(Y_{x}/Y (x))\X_{i−1}^{∗}∩(Y_{x}/Y (x)). Nous supposerons, quitte à effectuer un décalage dans la numérotation des réseaux initiaux V_{i}^{∗}, que i = −q − 1. Ceci permet d’écrire pour i = 1, ⋯, q + 1 :

X_{−i}^{∗} = (W_{x} ∩ X_{−i}^{∗}) ⊕ O_{κ̂(x)}.f_{x}

et pour i = 0,

X_{0}^{∗} = (W_{x} ∩ X_{0}^{∗}) ⊕ O_{κ̂(x)}.ϖ_{K}^{−1}f_{x}.

Maintenant, nous pouvons choisir une O_{κ̂(x)}-décomposition

W_{x} ∩ X_{0}^{∗} = L^{0} ⊕ ⋯ ⊕ L^{q}

avec éventuellement L^{i} = 0 pour certains i mais telle que

W_{x} ∩ X_{−1}^{∗} = ϖ_{K}L^{0} ⊕ L^{1} ⋯ ⊕ L^{q}
⋮
W_{x} ∩ X_{−q}^{∗} = ϖ_{K}L^{0} ⊕ ⋯ ⊕ ϖ_{K}L^{q−1} ⊕ L^{q}

Pour un sous-O_{κ̂(x)}-module X de type fini de V_{x}^{∗}/Y (x) et un élément y ∈ p^{−1}(x) vu comme une norme sur l’algèbre S(V_{x}^{∗}/Y (x)), notons

y(X) := sup_{f∈X} |f(y)|.

Alors la condition pour que y ∈ H_{F} (W) s’écrit

(∀i ∈ {0, ⋯, q}, y(W_{x} ∩ X_{−i}) ⩽ y(X_{−i−1}))

ou encore

sup(y(L^{0}), ⋯, y(L^{q}))  ⩽ sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), y(L^{1}) ⋯, y(L^{q}), |f_{x}(y)|)
sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), ⋯, y(L^{q}))  ⩽ sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), q_{K}^{−1}y(L^{1}), y(L^{2}), ⋯, |f_{x}(y)|)
⋮
sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), ⋯, q_{K}^{−1}y(L^{q−1}), y(L^{q})) ⩽ sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), ⋯, q_{K}^{−1}y(L^{q}), |f_{x}(y)|)

Nous allons montrer que ce système d’inégalités est équivalent à la seule inégalité

sup(y(L^{0}), ⋯, y(L^{q})) ⩽ |f_{x}(y)|. (3.3.11)

Tout d’abord, il est clair que si 3.3.11 est vérifiée alors le système d’inégalités ci-dessus l’est aussi. Réciproquement, supposons le système d’inégalités vérifié et notons k ∈ {0, ⋯, q} le plus grand indice tel que y(L^{k}) = sup_{i=0,···,q}(y(L^{i})). Alors la k + 1-ième ligne du système nous dit que y(L^{k}) ⩽ sup(q_{K}^{−1}y(L^{0}), ⋯, q_{K}^{−1}y(L^{k}), y(L^{k+1}), ⋯, y(L^{q}), |f_{x}(y)|). Mais le choix de k entraine alors que y(L^{k}) ⩽ |f_{x}(y)|.

On en déduit que l’isomorphisme α^{∗} envoie p^{−1}(x) ∩ H_{F} (W) sur le polydisque D_{X_{0}} de 𝔸(W_{x}) défini par

D_{X_{0}} := {z ∈ 𝔸(W_{x}), sup_{f∈W_{x}∩X_{0}^{∗}} |f(z)| ⩽ 1}.

□

3.3.12 Le système de suites spectrales 𝔼_{r}^{pq} : D’après la proposition précédente, on a construit un système de coefficients F ↦ 𝔛_{F}, G-équivariant sur BT en arrangements (i.e à valeurs dans la catégorie Arr(ℙ(V)) définie en 3.3.2). Par fonctorialité, on en déduit plusieurs autres systèmes de coefficients G-équivariants comme

– un système en suites spectrales 𝔼_{r}^{pq} : F ↦ E_{r}^{pq}(𝔛_{F}) (cf 3.3.4) dont le 𝔼_{1} est donné par

– des systèmes en complexes de ΛW_{K}-modules 𝔼_{1}^{p∗} : F ↦ C^{∗}(𝔛_{F} , X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ)), et le système des aboutissements est un gradué

– des systèmes F ↦ H_{c}^{p+q}(U_{F}^{ca}, Λ). Introduisons maintenant le sous-ensemble

𝔛(p) := {W ∈ 𝔛, H^{p}(W^{⊥}, Λ) ≠ 0}.

C’est un sous-ensemble partiellement ordonné plein de 𝔛 qui est non-vide seulement si p est pair et ⩽ 2d − 2. Dans ce cas, l’ensemble simplicial associé est profini de dimension d − 1 − p/2, et a été étudié par Schneider et Stuhler [38, prop 3.6.,proof]. Le dictionnaire avec leurs notations est le suivant : 𝔛(p)^{(k)} s’écrirait avec leurs notations N T_{k}^{(d−1−p/2)}. Nous renvoyons à loc. cit, notamment avant leur lemme 3.3., pour la définition précise de la topologie sur 𝔛(p)^{(k)} et nous noterons C^{∞}(𝔛(p)^{(k)}, Λ) le Λ-module des fonctions localement constantes 𝔛(p)^{(k)} ⟶ Λ. Suivant Schneider et Stuhler, on associe à 𝔛(p) le complexe de cochaînes continues (C^{∗}(𝔛(p), Λ), ∂^{∗}) suivant :

Λ ⟶^{∂^{0}} C^{∞}(𝔛(p)^{(0)}, Λ) ⟶^{∂^{1}} ⋯ ⟶^{∂^{k}} C^{∞}(𝔛(p)^{(k)}, Λ) ⟶^{∂^{k+1}} ⋯ ⟶^{∂^{d−1−p/2}} C^{∞}(𝔛(p)^{(d−1−p/2)}, Λ)

où la différentielle est définie comme la somme alternée des applications de dégénéréscence (version continue de 3.3.1). Ce complexe est naturellement un complexe de ΛG-modules lisses admissibles.

Proposition 3.3.13 Il existe pour tout p ∈ ℕ pair et ⩽ 2d−2 un isomorphisme de systèmes de coefficients G-équivariants en complexes de ΛW_{K}-modules :

𝔼_{1}^{p∗} \underrightarrow{∼} (F ↦ C^{∗}(𝔛(p), Λ)^{G_{F}^{+}}(−p/2)) .

Pour p impair, 𝔼_{1}^{p∗} = 0.

Preuve : Commençons par souligner les conséquences suivantes du point iv) de la proposition 3.3.9 : i) La cohomologie de H_{F} (W) est donnée par

H^{p}(H_{F} (W)^{ca}, Λ) ≃ \{ \begin{matrix}Λ(−p/2) & si p ⩽ 2c(W) est pair. \\ 0 & sinon \end{matrix}

où c(W) désigne la codimension du sous-espace W de V^{∗}.

ii) Pour toute facette F et tous W, W′ tels que H_{F} (W′) ⊂ H_{F} (W), l’application

H^{p}(H_{F} (W)^{ca}, Λ) ⟶ H^{p}(H_{F} (W′)^{ca}, Λ)

est un isomorphisme pour tout p ⩽ 2c(W′).

iii) Pour tout W ∈ 𝔛^{(0)} et toutes facettes F′ ⊂ F, l’application canonique

H^{p}(H_{F} (W)^{ca}, Λ) ⟶ H^{p}(H_{F′}(W)^{ca}, Λ)

est un isomorphisme pour tout p.

Fixons maintenant F et introduisons le sous-ensemble

𝔛_{F} (p) = {X ∈ 𝔛_{F} , H^{p}(X^{ca}, Λ) ≠ 0}.

C’est un sous-ensemble partiellement ordonné de 𝔛_{F} tel que X ⩽ X′ ∈ 𝔛_{F} ⇒ X ∈ 𝔛_{F} (par ii) ci-dessus) et qui est non vide seulement si p = 2i est pair et ⩽ 2d − 2 (par i)). Toujours d’après i) et ii) ci-dessus, le système de coefficients X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ) sur 𝔛_{F} est supporté par 𝔛_{F} (p) et y est constant. On a donc une identité de complexes de cochaînes

C^{∗}(𝔛_{F} (p), Λ)(−p/2) \underrightarrow{∼} C^{∗}(𝔛_{F} , X ↦ H^{p}(X^{ca}, Λ))

où Λ dans le terme de gauche désigne le système de coefficients sur 𝔛_{F} (p) constant X ↦ Λ.

De plus, par iii) l’application 𝔛_{F′} ⟶ 𝔛_{F} pour F′ ⊂ F envoie 𝔛_{F′}(p) dans 𝔛_{F} (p) et pour tout g ∈ G, 𝔛_{g(F)}(p) = g(𝔛_{F} (p)). En résumé, le terme 𝔼_{1} est donné en tant que système de coefficients G-équivariant en ΛW_{K}-modules par

𝔼_{1}^{p∗} = (F ↦ C^{∗}(𝔛_{F} (p), Λ)(−p/2)) .

Il résulte maintenant de 3.3.9 ii) que pour tout k ⩾ 0 et toute facette F, l’application canonique 𝔛 ⟶ 𝔛_{F} induit une bijection 𝔛(p)^{(k)}/G_{F}^{+} \underrightarrow{∼} 𝔛_{F} (p)^{(k)}. De cette bijection on tire un isomorphisme de complexes de Λ-modules :

C^{∗}(𝔛_{F} (p), Λ) \underrightarrow{∼} C^{∗}(𝔛(p), Λ)^{G_{F}^{+}}.

Par construction les isomorphismes ainsi obtenus sont compatibles à l’action de G et aux inclusions de facettes : ce sont des isomorphismes de systèmes de coefficients G-équivariants sur BT à valeurs dans les complexes de Λ-modules. On a donc terminé la preuve.

□

Corollaire 3.3.14 Le terme 𝔼_{2} du système de suites spectrales 3.3.12 est donné par

𝔼_{2}^{pq} ≃ \{ \begin{matrix}F ↦ (π_{\{1,···,p/2\}}^{Λ})^{G_{F}^{+}} (−p/2) & si p ⩽ 2d − 2 est pair et q = d − 1 − p/2 \\ 0 & sinon \end{matrix}

Preuve : D’après Schneider et Stuhler [38, lemma 4.1], la cohomologie du complexe C^{∗}(𝔛(p), Λ) est concentrée en degré d − 1 − p/2 et est isomorphe à π_{{1,···,p/2}}^{Λ}(−p/2). □

3.3.15 Fin de la preuve de la proposition 3.2.6 : D’après le corollaire précédent, le système de suites spectrales (ou si l’on préfère, la suite spectrale en systèmes de coefficients) 𝔼_{r}^{pq} dégénère en 𝔼_{2} et fournit des isomorphismes

𝔼_{2}^{2i,d−1−i} \underrightarrow{∼} (F ↦ H^{d−1+i}(U_{F}^{ca}, Λ)) .

Précisons de manière informelle ce que les isomorphismes du théorème 3.1.1 ont de canonique. La description de la cohomologie de ℙ^{d} et des morphismes de restriction de celle-ci à celle des sous-variétés linéaire est canonique. Les suites spectrales que nous utilisons dégénèrent toutes fortement en des isomorphismes. Pour les obtenir, il y a des choix d’orientations sur les nerfs des recouvrements utilisés. Dans le cas des 𝔛_{F}, on manipule des posets et il y a un choix d’orientation “naturel” que nous avons fait. Dans le cas de BT, l’utilisation des facettes orientées règle le problème des signes. Il reste que la définition des π_{I}^{Λ} dépend du choix de la paire de Borel (B, T), mais il en dépend canoniquement !

4 Complexe de cohomologie et représentations Galoisiennes

Ici encore, l’anneau Λ est une ℤ_{l}-algèbre locale que l’on supposera soit de type fini en tant que ℤ_{l}- module, soit extension algébrique de ℚ_{l}.

4.1 Énoncé du théorème

On rappelle qu’on a fixé une paire de Borel (B, T) dans GL_{d}(K) et numéroté l’ensemble des racines S correspondant au-dessus du théorème 3.1.1 qui décrit la cohomologie de Ω_{K}^{d−1}.

4.1.1 Représentations Galoisiennes associées aux π_{I}^{Λ} : Soit V le Λ-module Λ ⊕ Λ(1) ⊕ ⋯ ⊕ Λ(d − 1). Il est muni de l’action τ_{ss}^{Λ} de W_{K}, somme directe des caractères w ↦ |w|^{i}. Lorsque Λ est banal pour GL_{d}(K), nous allons définir des représentations τ_{I}^{Λ} de W_{K} sur V.

Soit (E_{ij})_{0⩽i,j⩽d−1} la base canonique de l’algèbre M_{d}(Λ) des matrices d×d sur Λ. Pour chaque I ⊆ S, on note N_{I} la matrice nilpotente

N_{I} := ∑_{i∈I^{c}} E_{i,i−1}

où I^{c} := S \ I désigne le complémentaire de I dans S. La matrice N_{I} définit un morphisme V ⟶ V (−1). Si μ ∈ ℤ_{l}(1), l’endomorphisme N_{I} ⊗ μ de V est nilpotent d’ordre ⩽ d et on peut donc prendre son exponentielle puisque d! est inversible dans Λ supposé banal.

Choisissons alors un relèvement de Frobenius géométrique ϕ, ce qui nous permet d’écrire tout w ∈ W_{K} sous la forme unique w = ϕ^{ν(w)}i_{ϕ}(w) où ν(w) ∈ ℤ et i_{ϕ}(w) ∈ I_{K}, et notons t_{l} : I_{K} ⟶ ℤ_{l}(1) la projection vers le l-quotient de I_{K}. Un calcul rapide montre que pour chaque I ⊆ S, la formule

w ∈ W_{K} ↦ τ_{I}^{Λ,ϕ}(w) := τ_{ss}^{Λ}(w).exp(N_{I} ⊗ t_{l}(i_{ϕ}(w))) ∈ End_{Λ} (V)

définit une représentation de W_{K} sur V. Comme la notation le suggère, celle-ci dépend du choix de ϕ mais un autre calcul (un peu moins rapide, cf [16, 8.4.2]) montre que sa classe n’en dépend pas. Nous noterons donc simplement τ_{I}^{Λ} cette classe.

Lorsque I = ∅, la représentation τ_{∅}^{Λ} est donc la représentation “spéciale” Sp_{d}^{Λ} de dimension d de W_{K}. Avec un peu de combinatoire, on peut exprimer toutes les τ_{I}^{Λ} en fonction des représentations spéciales de dimension plus petite que d. Pour cela, munissons l’ensemble {0, ⋯, d − 1} d’une structure de graphe orienté en déclarant que x → y si et seulement si (x ⩽ y et {x + 1, ⋯, y} ⊂ I^{c}). En particulier, on a x → x pour tout x. La partition de {0, ⋯, d − 1} en composantes connexes s’écrit

{0, …, i_{1} − 1} ⊔ {i_{1}, ⋯, i_{2} − 1} ⊔ ⋯ ⊔ {i_{|I|}, ⋯, d − 1}

où I = {i_{1}, ⋯, i_{|I|}} ⊂ {1, ⋯, d − 1}. Convenons de poser i_{0} := 0 et i_{|I|+1} := d. Alors la longueur de la k-ème composante connexe est d_{k} := i_{k+1} − i_{k} où 0 ⩽ k ⩽ |I|. La somme des d_{k} est égale à d et on retrouve les i_{k} par la formule i_{k} = d_{0} + ⋯ + d_{k−1}. Ceci étant, on vérifie la formule élémentaire suivante :

τ_{I}^{Λ} ≃ ⨁_{k=0}^{|I|} Sp_{d_{k}}^{Λ}(i_{k}).

Fait 4.1.2 Lorsque Λ = \overline{ℚ}_{l}, resp. Λ = \overline{𝔽}_{l} avec l banal pour GL_{d}(K), la classe de représentations σ_{d}(π_{I}) := τ_{I} ⊗ | − |^{\frac{1−d}{2}} est celle associée à π_{I} par la correspondance de Langlands, resp. de Langlands-Vignéras.

Preuve : Donnons tout d’abord quelques explications sur l’énoncé. La correspondance de Langlands n’est “bien définie” que pour Λ = ℂ. Il se trouve que la variante “de Hecke” π ↦ σ_{d}(π) ⊗ | − |^{\frac{d−1}{2}} est invariante par l’action naturelle des automorphismes de ℂ et se transporte donc à \overline{ℚ}_{l} sans ambiguïté [25]. Par contre, pour obtenir une correspondance de Langlands sur \overline{ℚ}_{l}, il faut choisir une racine de p. De même pour la correspondance de Langlands-Vignéras sur \overline{𝔽}_{l}. Nous supposerons implicitement qu’un tel choix a été effectué. Tout cela est bien connu des spécialistes ; nous ommettons ici les explications car nous ne considérons que des cas particulièrement simples de ces correspondances.

Supposons Λ = \overline{ℚ}_{l}. Pour déterminer la correspondante de Langlands de π_{I}, il faut calculer ses paramètres de Langlands. Ceci a été fait dans la remarque 2.3.4 : on y obtient que π_{I} est l’unique quotient irréductible de l’induite i_{P_{−w_{0}(I^{c})}}^{G} (δP_{−w_{0}(I^{c})}^{\frac{1}{2}}St_{M_{−w_{0}(I^{c})}}), où w_{0} désigne l’élément de plus grande longueur de W = 𝔖_{d}. Dans le cas présent, on a simplement −w_{0}(s) = d − s pour tout s ∈ S = {1, ⋯, d − 1}.

Pour traduire ceci en termes de produits à la Zelevinski, on utilise les notations précédentes I = {i_{1}, ⋯, i_{|I|}} et d_{k} := i_{k+1} − i_{k}. Le sous-groupe de Levi M_{−w_{0}(I^{c})} de GL_{d}(K) s’identifie à GL_{d_{|I|}}(K) × ⋯ × GL_{d_{0}}(K) et un calcul élémentaire du module de P_{−w_{0}(I^{c})} montre que

i_{M_{−w_{0}(I^{c})}}^{G_{d}} (δP_{−w_{0}(I^{c})}^{\frac{1}{2}}St_{M_{−w_{0}(I^{c})}}) = |det|^{n_{|I|}}St_{G_{d_{|I|}}} × ⋯ × |det|^{n_{0}}St_{G_{d_{0}}}

en posant pour tout k = 0, ⋯, |I|,

n_{k} := (−d_{|I|} − ⋯ − d_{k+1} + d_{k−1} + ⋯ + d_{0})/2
= i_{k} + (d_{k} − d)/2

On en déduit la formule suivante pour σ_{d}(π_{I}), cf [26, 2.9]

σ_{d}(π_{I}) = | − |^{n_{|I|}}σ_{d_{|I|}}(St_{G_{d_{|I|}}}) ⊕ ⋯ ⊕ | − |^{n_{0}}σ_{d_{0}}(St_{G_{d_{0}}} ),

et on rappelle que pour tout k, on a avec nos conventions

σ_{d_{k}}(St_{G_{d_{k}}}) = Sp_{d_{k}} ⊗ | − |^{\frac{1−d_{k}}{2}} .

On en conclut que σ_{d}(π_{I}) = | − |^{(1−d)/2}τ_{I}^{\overline{ℚ}_{l}}. On déduit le cas \overline{𝔽}_{l} par réduction modulo l, car l est supposé banal. □

4.1.3 Le complexe de cohomologie : Notons P G_{d} := P GL_{d}(K). L’action de G_{d} sur Ω_{K}^{d−1,ca} se factorise par P G_{d}. Notons aussi D^{b}(ΛP G_{d}) la catégorie dérivée de la catégorie abélienne des Λ-représentations lisses de P G_{d}. Les résultats de l’appendice B, cf notamment B.2.6, permettent de définir un complexe

RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ∈ D^{b}(ΛP G_{d})

muni d’une action de W_{K}, et dont les modules de cohomologie s’identifient canoniquement aux modules H_{c}^{i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ). Une propriété importante de ce complexe est la suivante : supposons que Γ ⊂ P G_{d} soit un sous-groupe discret et sans torsion de P G_{d}. On sait alors que Γ agit librement sur Ω_{K}^{d−1} et qu’on peut munir Ω_{K}^{d−1}/Γ d’une structure de K-espace analytique telle que le quotient Ω_{K}^{d−1} ⟶ Ω_{K}^{d−1}/Γ soit un revêtement analytique Galoisien. Dans ces conditions, la proposition B.3.1 montre l’existence d’un isomorphisme W_{K}-équivariant dans D^{b}(Λ)

(4.1.4) Λ ⊗_{Λ[Γ]}^{L} RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, Λ)

où nous avons fait l’abus de noter encore RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ∈ D^{b}(ΛΓ) l’image du complexe précédemment défini par le foncteur “d’oubli” D^{b}(ΛP G_{d}) ⟶ D^{b}(ΛΓ), où le produit tensoriel est pris pour l’augmentation Λ[Γ] ⟶ Λ, et où nous avons noté RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, Λ) ∈ D^{b}(Λ) le complexe de cohomologie de l’espace Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ.

Comme dans l’introduction, on a le foncteur

H^{∗} : D^{b}(Λ) → {Λ − modules} C^{•} ↦ ⨁_{i∈ℤ} H^{i}(C^{•}) .

Le théorème principal de ce travail est le suivant :

Théorème 4.1.5 Supposons Λ fortement banal pour GL_{d}(K), au sens de 2.1.6. Pour tout I ⊆ S, il existe un isomorphisme W_{K}-équivariant dans D^{b}(Λ)

RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), π_{I}^{Λ}) [1 − d] \underrightarrow{∼} ⨁_{k=0}^{|I|} Sp_{d_{k}}(i_{k})[−|I| + 2k]

dont on déduit un isomorphisme de ΛW_{K}-modules

H^{∗}(RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), π_{I}^{Λ})) \underrightarrow{∼} τ_{I}^{Λ}.

On en déduit le théorème 1.1 grâce à 4.1.2 ci-dessus.

4.2 Action de W_{K} sur le complexe de cohomologie

Dans cette section, on explicite le morphisme γ : W_{K} ⟶ End_{D^{b}(P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) qui définit

l’action de W_{K} sur RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ).

Commençons par la remarque suivante concernant la restriction de γ à I_{K} :

Lemme 4.2.1 La restriction γ_{|I_{K}} se factorise par le l-quotient I_{K} ⟶^{t_{l}} ℤ_{l}(1). En particulier, si d! est inversible dans Λ (par exemple si Λ est banal), il existe un unique morphisme W_{K}-équivariant

N : RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ⟶ RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)(−1)

“nilpotent” d’ordre ⩽ d et tel que

∀i ∈ I_{K}, γ(i) = exp (N ⊗ t_{l}(i)).

Preuve : D’après la description 3.1.1, l’inertie agit trivialement sur les objets de cohomologie de RΓ_{c}. On a donc γ(I_{K}) ⊂ U := 1 + N où N désigne le noyau du morphisme canonique de Λ-algèbres

End_{D^{b}(P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) ⟶^{can} ∏_{i=0}^{d−1} End_{P G_{d}} (H_{c}^{d−1+i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) .

Le point i) du lemme A.1.4 montre dans un contexte général que N est formé d’éléments nilpotents d’ordre ⩽ d.

Supposons que Λ = ℤ_{l}. D’après le résultat général A.2.1, le groupe U est un pro-l-groupe, pourvu que Ext_{ℤ_{l}P G_{d}}^{q−p} (H_{c}^{q}, H_{c}^{p}) . soit un ℤ_{l}-module de type fini pour tous p, q ∈ ℤ. Or, par [38, Thm 6.8], on sait que les H_{c}^{q} admettent des résolutions de longueur finie par des représentations induites à supports compacts de Λ-représentations finies de sous-groupes ouverts compacts K_{j}. Ces dernières admettent elle-mêmes des résolutions par des ΛK_{j}-modules lisses projectifs de type fini, si bien qu’on obtient au final des résolutions (en général infinie) des H_{c}^{q} par des induites compactes de représentations projectives de type fini. Comme par ailleurs les H_{c}^{q} sont Λ-admissibles, on en déduit que chaque Ext_{ΛP G_{d}}^{q−k} (H_{c}^{q}, H_{c}^{k}) est de type fini sur Λ.

Ainsi dans le cas Λ = ℤ_{l}, le groupe U est pro-l, et comme tout morphisme entre groupes profinis est automatiquement continu, γ_{|I_{K}} est continu et par conséquent se factorise par ℤ_{l}(1). Comme RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ≃ RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, ℤ_{l}) ⊗_{ℤ_{l}}^{L} Λ, on en déduit la même factorisation pour tout Λ.

Dans le cas où d! est inversible, le morphisme N := log(γ(μ)) ⊗ μ^{−1} ∈ N (−1) est indépendant du choix d’un générateur topologique μ de ℤ_{l}(1), et par densité de ℤ dans ℤ_{l}, l’action de I_{K} est bien donnée par la formule de l’énoncé.

Enfin, pour tout w ∈ W_{K}, l’égalité γ(w)log(γ(μ))γ(w^{−1}) = |w|log(γ(u)) s’écrit encore γ(w)(−1)∘N = N ∘ γ(w), d’où la W_{K}-équivariance de N.

□

Pour expliciter l’action de W_{K}, et en particulier le morphisme N, sur le complexe de cohomologie, nous supposerons dorénavant Λ fortement banal pour GL_{d}(K). La première étape consiste à remarquer que le complexe RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) est scindable. Proposition 4.2.2 Il existe un isomorphisme dans D^{b}(ΛP G_{d})

RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) \underrightarrow{∼} ⨁_{i=0}^{d−1} π_{\{1,···,i\}}^{Λ}(−i)[−d + 1 − i]

qui induit en cohomologie les isomorphismes de Schneider-Stuhler 3.1.1. Empressons-nous de préciser qu’un tel isomorphisme est loin d’être unique, mais nous en exhiberons certains meilleurs que les autres. Nous allons donner deux preuves indépendantes de ce fait. La première repose sur un critère général de scindage et sur un calcul explicite des groupes d’extensions entre les diverses représentations π_{I}, I ⊆ S : on obtient un argument purement algébrique qui montre que tout complexe de représentations lisses de P G_{d} ayant pour cohomologie les H_{c}^{i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) est scindable. La deuxième est d’origine plus géométrique car on utilise l’action d’un relèvement de Frobenius sur RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) ; elle donne plus d’informations qui seront utiles par la suite.

Preuve algébrique : Nous utiliserons le critère suivant permettant de scinder un complexe cohomologiquement borné C^{•} d’une catégorie dérivée assez générale. La preuve est facile et est donnée en A.1 : c’est le corollaire A.1.3 spécialisé dans notre situation.

Si pour tout couple (i, j) ∈ ℤ^{2}, on a Ext^{i−j−1} (H^{i}(C^{•}), H^{j}(C^{•})) = 0, alors C^{•} est scindable.

D’après le théorème 2.1.4 et la description 3.1.1 de la cohomologie de Ω_{K}^{d−1}, on a pour i, j ∈ {0, ⋯, d− 1}

Ext_{P G_{d}}^{∗} (H_{c}^{d−1+i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), H_{c}^{d−1+j}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) = \{ \begin{matrix}Λ & si & ∗ = |i − j| \\ 0 & si & ∗ ≠ |i − j| \end{matrix}

ce qui implique en particulier que le critère de scindage ci-dessus est vérifié. □

Preuve géométrique : Soit ϕ un relèvement de Frobenius géométrique. La description de Schneider-Stuhler montre que pour i = 0, ⋯, d − 1, l’endomorphisme H^{d−1+i}(γ(ϕ)) induit par γ(ϕ) sur H_{c}^{d−1+i}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) est la multiplication par q^{i}. Comme Λ est supposé banal, l’entier q^{j} − q^{i} est inversible dans Λ pour tous 0 ⩽ i < j ⩽ d−1 et on a donc l’égalité (X −q^{i})Λ[X]+(X −q^{j})Λ[X] = Λ[X]. On peut alors encore utiliser un résultat très général sur les complexes donné par le lemme A.1.4. Ce résultat assure que

i) γ(ϕ) est annulé par le polynôme ∏_{i=0}^{d−1}(X −q^{i}) et par conséquent est un endomorphisme semi-simple de RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ).

ii) Il existe un unique isomorphisme comme dans la proposition

α_{ϕ} : RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) \underrightarrow{∼} ⨁_{i=0}^{d−1} π_{\{1,···,i\}}^{Λ}(−i)[−d + 1 − i] (4.2.3)

tel que de plus, l’endomorphisme α_{ϕ}^{−1}γ(ϕ)α_{ϕ} de l’objet ⨁_{i=0}^{d−1} π_{{1,···,i}}^{Λ}(−i)[−d + 1 − i] soit donné par la multiplication par q^{i} sur chaque π_{{1,···,i}}^{Λ}(−i)[−d + 1 − i].

□

Un isomorphisme α comme dans la proposition ci-dessus sera appelé un scindage^{1} de RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ). Tout scindage induit en particulier un isomorphisme

α_{∗} : End_{D^{b}(P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) \underrightarrow{∼} End_{D^{b}(P G_{d})} (⨁_{i=0}^{d−1} π_{\{1,···,i\}}^{Λ}(−i)[−i]) .

1La terminologie adoptée ici coïncide bien avec celle de la section A.1, malgré la formulation légèrement différente.

Il se trouve qu’on peut décrire très explicitement le membre de droite. On peut tout d’abord le réécrire

End_{D^{b}(P G_{d})} (⨁_{i=0}^{d−1} π_{{1,···,i}}^{Λ}(−i)[−i]) = ⨁_{0⩽i⩽j⩽d−1} Ext_{P G_{d}}^{j−i} (π_{{1,···,j}}^{Λ}, π_{{1,···,i}}^{Λ}) (j − i)

le produit sur le terme de droite étant le ∪-produit. On peut donc utiliser le théorème 2.1.4. Choisissons pour i = 0, ⋯, d − 1 des générateurs

β_{i,i+1} ∈ Ext_{P G_{d}}^{1} (π_{{1,···,i+1}}^{Λ}, π_{{1,···,i}}^{Λ}) (4.2.4)

et posons pour tous 0 ⩽ i < j ⩽ d − 1

β_{i,j} := β_{i,i+1} ∪ ⋯ ∪ β_{j−1,j} ∈ Ext_{P G_{d}}^{j−i} (π_{{1,···,j}}^{Λ}, π_{{1,···,i}}^{Λ}) .

C’est donc un générateur du Λ-module de droite, d’après 2.1.4. Enfin pour i = 0, ⋯, d − 1, soit β_{ii} l’élément unité de l’anneau Ext_{P G_{d}}^{0}(π_{{1,···,i}}^{Λ}, π_{{1,···,i}}^{Λ}). Notons maintenant T_{d}(Λ) la Λ-algèbre des matrices d × d triangulaires supérieures, et (E_{ij})_{0⩽i⩽j⩽d−1} sa base “canonique”. Nous avons tout fait pour que l’application Λ-linéaire

\begin{matrix}β : T_{d}(Λ) & → & ⨁_{0⩽i⩽j⩽d−1} Ext_{P G_{d}}^{j−i} (π_{\{1,···,j\}}^{Λ}, π_{\{1,···,i\}}^{Λ}) \\ E_{ij} & ↦ & β_{ij} \end{matrix} (4.2.5)

soit un isomorphisme de Λ-algèbres. Celui-ci dépend du choix de générateurs 4.2.4 ; un autre choix reviendrait à composer β avec la conjugaison par une matrice diagonale inversible. Introduisons maintenant l’algèbre T̃_{d}(Λ) = ⨁_{i⩽j} Λ(j − i) des matrices triangulaires supérieures “tordues”. Par la discussion précédente, tout scindage α de RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) et tout choix de générateurs 4.2.4 induisent donc un isomorphisme

β̃^{−1}α_{∗} : End_{D^{b}(P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) \underrightarrow{∼} T̃_{d}(Λ).

On veut maintenant expliciter l’action de W_{K} sur RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) au moyen d’un tel isomorphisme. Remarquons que les contragrédientes des représentations τ_{I}^{Λ,ϕ} : W_{K} ⟶ End_{Λ} (V) que nous avons explicitement définies en 4.1.1 se factorisent par des morphismes τ̌_{I}^{Λ,ϕ} : W_{K} ⟶ T̃_{d}(Λ).

Proposition 4.2.6 Pour tout relèvement de Frobenius géométrique ϕ, il existe un unique scindage α_{ϕ} de RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) et un unique choix de générateurs 4.2.4 définissant un isomorphisme β_{ϕ} comme en 4.2.5 tels que le diagramme suivant soit commutatif

\xymatrix{End_{D^{b}(P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ)) \ar[r]^{β̃_{ϕ}^{−1}α_{ϕ∗}} & T̃_{d}(Λ) \\ W_{K} \ar[u]^{γ} \ar[ur]_{τ̌_{∅}^{Λ,ϕ}}}

De plus, le choix de générateurs (et donc β_{ϕ}) est en fait indépendant de ϕ.

Rappelons ici que τ_{∅}^{Λ,ϕ} correspond à la représentation “spéciale” (indécomposable) de dimension d de W_{K}. En particulier cette proposition montre que l’inertie n’agit pas trivialement sur RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ) bien qu’elle agisse trivialement sur les groupes de cohomologie.

Début de la preuve : Commençons par prouver les propriétés d’unicité. En ce qui concerne le scindage, nous n’avons pas d’autre choix que de prendre celui de 4.2.3 puisque c’est l’unique scindage qui “diagonalise” ϕ, au sens où pour tout choix de β, la matrice β̃^{−1}α_{ϕ∗}(ϕ) est diagonale d’éléments diagonaux β̃^{−1}α_{ϕ∗}(ϕ)_{ii} = q^{i} pour i = 0, ⋯, d − 1. Supposons maintenant qu’on ait trouvé un β_{ϕ}, associé à un certain choix de générateurs, rendant commutatif le diagramme de l’énoncé. Changer ce choix revient à conjuguer β_{ϕ} par une matrice diagonale non centrale. Or, β̃_{ϕ}^{−1}α_{ϕ∗}(N) est un nilpotent régulier donc son centralisateur dans le groupe des matrices diagonales est justement le sous-groupe des matrices centrales. On en déduit l’unicité de β_{ϕ}. Montrons maintenant que β_{ϕ} doit être indépendant de ϕ. Soit i ∈ I_{K}, rappelons que par [16, 8.4.2] on a

∀w ∈ W_{K}, τ_{∅}^{Λ,iϕ}(w) = τ_{∅}^{Λ,ϕ}(i)^{\frac{1}{1−q}} τ_{∅}^{Λ,ϕ}(w)τ_{∅}^{Λ,ϕ}(i)^{\frac{1}{q−1}} .

De même, en utilisant la propriété γ(ϕ)γ(i)γ(ϕ)^{−1} = γ(i)^{q}, on vérifie que

α_{iϕ} = α_{ϕ} ∘ ad(γ(i)^{\frac{1}{1−q}}).

(On utilise le fait que d! ∈ Λ^{×} et que γ(i) est unipotent d’ordre ⩽ d pour définir ses puissances rationnelles.) À partir de ces deux équations, un calcul montre que β_{iϕ} fait aussi commuter le diagramme de l’énoncé et par unicité on en conclut que β_{ϕ} = β_{iϕ}.

Passons maintenant à l’existence de β, et pour cela, commençons avec β quelconque. Remarquons que par définition de α_{ϕ}, l’isomorphisme

β̃^{−1}α_{ϕ∗} : End_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}) \underrightarrow{∼} ⨁_{0⩽i⩽j⩽d−1} Λ(j − i)

transporte l’action de ϕ par conjugaison sur son action “naturelle” sur le membre de droite. On veut alors expliciter le morphisme N du lemme 4.2.1. Avec les notations de la preuve de ce lemme, l’isomorphisme β̃^{−1}α_{ϕ∗} ci-dessus induit un isomorphisme

N (−1) \underrightarrow{∼} ⨁_{0⩽i<j⩽d−1} Λ(j − i − 1).

Le morphisme N est W_{K}-équivariant donc son image β̃α_{ϕ∗}(N) appartient au sous-Λ-module ⨁_{j−i=1} Λ du membre de droite ; c’est une matrice “sur-diagonale” de la forme β̃^{−1}α_{ϕ∗}(N) = ∑_{i=1}^{d−1} a_{i}E_{i−1,i}. Une telle matrice est conjuguée par une matrice diagonale à l’élément régulier N_{∅} = ∑_{i=1}^{d−1} E_{i,i−1} si et seulement si le produit ∏_{i=1}^{d−1} a_{i} est inversible dans Λ, ou encore si et seulement si l’image de β̃^{−1}α_{ϕ∗}(N)^{d−1} dans T_{d}(Λ/𝔪) est non nulle, en notant 𝔪 l’idéal maximal de Λ.

En résumé la proposition 4.2.6 est équivalente à la suivante (avec les notations de la preuve du lemme 4.2.1) : Proposition 4.2.7 Si 𝔪 désigne l’idéal maximal de Λ, N^{d−1} ∉ 𝔪N (−1). Évidemment dans le cas où Λ est un corps, cela dit simplement que N^{d−1} est non-nul. La preuve de cette proposition occupe la section suivante.

4.3 Utilisation de la suite spectrale de Rapoport-Zink

La stratégie pour prouver 4.2.7 repose sur la suite spectrale de Rapoport-Zink [35] associée aux schémas formels semi-stables du type Ω_{K}^{d−1}/Γ où Γ ⊂ P GL_{d}(K) est un sous-groupe discret sans torsion. En fait, si l’on s’intéresse seulement au cas où Λ est un corps l-adique, on pourrait s’en sortir en prenant Γ cocompact, de sorte que, le quotient étant alors algébrisable, on pourrait utiliser verbatim [35]. Mais pour traiter le cas entier ou de torsion, il faut contrôler certains dénominateurs et cela s’avère plus facile si l’on quotiente par un sous-groupe discret plus simple ; nous utiliserons un sous-groupe discret cocompact et sans torsion d’un tore maximal de P G_{d}. Le schéma formel obtenu Ω̂/Γ n’est plus algébrisable, mais nous allons vérifier que le formalisme de Rapoport-Zink s’y applique sans problèmes. Les définitions et résultats qui suivent ne sont certainement pas optimaux, mais suffiront pour nos affaires.

Définition 4.3.1 Un schéma formel 𝔛 quasi-séparé au-dessus de Spf(O_{K}) sera dit fortement semi-stable si :

i) localement pour la topologie de Zariski, 𝔛 est étale au-dessus d’un Spf(O_{K}⟨T_{1}, ⋯, T_{n}⟩/(T_{1} × ⋯ × T_{m} − ϖ)).

ii) Les composantes irréductibles de la fibre spéciale Y = 𝔛 ×_{O_{K}} k sont propres et lisses de dimension constante sur k.

Soit I l’ensemble des composantes irréductibles de Y. On met une structure simpliciale sur I en déclarant qu’un sous-ensemble J ⊂ I est un simplexe si Y_{J} := ⋂_{j∈J} Y_{j} ≠ ∅. Dans ce cas, si d − 1 désigne la dimension commune des composantes irréductibles de Y, alors Y_{J} est une sous-variété lisse de pure dimension d − |J|. On note I^{(m)} l’ensemble des simplexes de dimension m − 1 (donc de cardinal m) de I.

Notons maintenant X la fibre générique au sens de Berkovich de 𝔛 : c’est un espace K-analytique lisse.

Proposition 4.3.2 Soit 𝔛 un schéma formel fortement semi-stable sur O_{K}. Les W_{K}-modules H_{c}^{q}(X^{ca}, Λ) sont modérément ramifiés et il existe une suite spectrale

E_{1}^{−r,q+r} = ⨁_{k⩾sup(0,−r)} ⨁_{J∈I^{(r+2k+1)}} H^{q+1−|J|}(Y_{J}^{ca}, Λ(−r − k)) ⇒ H_{c}^{q}(X^{ca}, Λ)

dont la différentielle d_{1} de degré (−1, 1) en (r, q) s’écrit

d_{1}^{−r,q+r} = ∑_{k⩾sup(0,−r)}(−1)^{k} ∑_{J∈I^{(r+2k+1)}} ( ∑_{K⊃J} ε_{JK}Res_{JK})

+ ∑_{k⩾sup(0,−r+1)}(−1)^{r+k} ∑_{J∈I^{(r+2k+1)}} ( ∑_{K⊂J} ε_{JK}Gys_{JK})

où

Res_{JK} : H^{q+1−|J|}(Y_{J}^{ca}, Λ) ⟶ H^{q+1−|J|}(Y_{K}^{ca}, Λ) = H^{(q+1)+1−|K|}(Y_{K}^{ca}, Λ)

est le morphisme de restriction associé à Y_{K} ↪ Y_{J} lorsque J ⊂ K,

Gys_{JK} : H^{q+1−|J|}(Y_{J}^{ca}, Λ) ⟶ H^{q+1−|J|+2}(Y_{K}^{ca}, Λ(1)) = H^{(q+1)+1−|K|}(Y_{K}^{ca}, Λ(1))

est le morphisme de Gysin associé à Y_{J} ↪ Y_{K} lorsque K ⊂ J, et les ε_{J,K} sont des signes donnés par le choix d’une orientation de l’ensemble simplicial I^{(•)}.

De plus, si μ est un générateur topologique de ℤ_{l}(1), l’action de μ − 1 sur l’aboutissement est induite par l’endomorphisme ν de degré (−2, 0) en (r, q) défini par

ν^{−r,q+r} = ∑_{k⩾sup(0,−r+1)} ∑_{J∈I^{(r+2k+1)}} Id_{H^{q+1−|J|}(Y_{J}^{ca},Λ(−r−k)))} ⊗μ

Preuve : Supposons tout d’abord Λ fini. Par définition, un schéma formel 𝔛 fortement semi-stable est localement de présentation finie. On peut donc lui appliquer le formalisme des cycles évanescents de Berkovich [3]. Celui-ci fournit en particulier deux foncteurs

– cycles évanescents absolus : RΨ_{η} : D^{+}(X, Λ) ⟶ D^{+}(Y^{ca}, ΛW_{K}) où le terme de droite désigne la catégorie dérivée des Λ-faisceaux étales W_{K}-équivariants sur Y^{ca}.

– cycles évanescents non-ramifiés RΨ : D^{+}(X, Λ) ⟶ D^{+}(Y^{ca}, ΛW_{k}) où W_{k} est le groupe de Weil de

k (libre engendré par le Frobenius). Ceux-ci seraient notés \overline{i}_{k^{s}}^{∗}RΘ dans la notation de Berkovich. Ces foncteurs satisfont la relation RΨ(−) \underrightarrow{∼} RHom_{I_{K}} (Λ, RΨ_{η}(−)), voir [3, 4.8]. D’après notre hypothèse, les composantes irréductibles de la fibre spéciale Y sont propres. D’après Berkovich [7, 2.5], on a donc un isomorphisme RΓ_{c}(Y^{ca}, RΨ_{η}(Λ)) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(X^{ca}, Λ). (4.3.6)

Notons que la cohomologie “à supports compacts” de Y^{ca} qui apparaît dans le membre de gauche est définie de manière naïve comme le foncteur dérivé des sections à support propres, car Y^{ca} est réunion croissante de fermés de type fini, donc propres ; il n’est donc pas question de “compactifier” Y^{ca}. Soit 𝔘 un sous-schéma formel ouvert de 𝔛 muni d’un morphisme étale 𝔘 ⟶ Spf(O_{K}⟨T_{1}, ⋯, T_{n}⟩/(T_{1}×⋯×T_{m}−ϖ)). Le théorème de comparaison de Berkovich [3, 5.1] et le théorème de pureté de Rapoport-Zink [35, 2.21,2.25] montrent que I_{K} agit trivialement sur les faisceaux de cohomologie R^{q}Ψ_{η}(Λ)_{|(Y^{ca}∩𝔘)}. Comme 𝔛 est supposé recouvert par de tels ouverts, l’action de I_{K} sur les R^{q}Ψ_{η}(Λ) est elle-aussi triviale.

À partir de là et de 4.3.6, on peut appliquer le formalisme développé par Rapoport-Zink dans la section 1 de [35]. En suivant la section 2 de loc. cit., on remarque que l’existence de la suite spectrale annoncée est une conséquence formelle de l’existence d’isomorphismes

R^{q}Ψ(Λ) \underrightarrow{∼} a_{q,∗}Λ(−q) où a_{q} : ⨆_{J∈I^{(q)}} Y_{J} ⟶ Y (4.3.7)

rendant commutatifs les diagrammes

\xymatrix{R^{q+1}Ψ(Λ) \ar[r] \ar[d] & R^{q}Ψ(Λ)[2] \ar[d] \\ a_{q+1,∗}Λ(−q − 1) \ar[r]^{Gys} & a_{q,∗}Λ(−q)[2]} et \xymatrix{R^{q}Ψ(Λ)(q) \ar[r]^{θ} \ar[d] & R^{q+1}Ψ(Λ)(q + 1) \ar[d] \\ a_{q,∗}Λ \ar[r]^{Res} & a_{q+1,∗}Λ} .

Dans le premier diagramme, la flèche du haut est l’extension canonique donnée par le complexe τ_{⩽q}τ_{>q}RΨ et celle du bas est une somme alternée de morphismes de Gysin (obtenus grâce à la pureté, cf [35, p. 36]). Dans le second diagramme le morphisme θ est le cup-produit par l’extension canonique Λ ⟶ Λ(1)[1] cf [35, p. 26] et la flèche du bas est une somme alternée de morphismes de restrictions. Les deux sommes alternées dépendent de l’orientation choisie sur l’ensemble simplicial I^{(•)} et les isomorphismes 4.3.7 doivent donc en dépendre aussi. Fixons dorénavant une telle orientation.

D’après la section 2 de Rapoport-Zink [35] et le théorème de comparaison de Berkovich, on a pour toute carte 𝔘 comme ci-dessus, des isomorphismes

R^{q}Ψ(Λ)_{|𝔘∩Y^{ca}} \underrightarrow{∼} a_{q,∗}Λ(−q)_{|𝔘∩Y^{ca}} (4.3.8)

rendant commutatifs les diagrammes correspondants. Comme les deux diagrammes en question sont de nature locale, il suffira, pour conclure, de recoller les isomorphismes (4.3.8). De plus, ces isomorphismes pour q > 1 sont déduits du cas q = 1 par cup-produit, cf [28]. Il nous suffit donc de recoller les isomorphismes

R^{1}Ψ(Λ)_{|𝔘∩Y^{ca}} \underrightarrow{∼} a_{1,∗}Λ(−1)_{|𝔘∩Y^{ca}}.

En fait, nous allons suivre T. Saito dans [37, Prop 1.1.2] pour construire un morphisme a_{1,∗}Λ ⟶ RΨ(Λ)(1) qui induit sur chaque ouvert 𝔘 l’inverse de l’isomorphisme ci-dessus.

Pour cela, nous supposerons Λ = ℤ/l^{n}ℤ, le cas général (Λ fini) s’en déduisant par fonctorialité. Soit Y_{i} une composante irréductible de Y. Elle est donnée par un idéal localement principal I_{i} du faisceau d’anneaux adiques O_{𝔛}. En particulier, sur une carte formelle 𝔘 = Spf(O_{𝔘}) de 𝔛 comme ci-dessus, l’idéal I_{i}O_{𝔘} est engendré par un élément f_{i,𝔘} ∈ O_{𝔘}. Cet élément est inversible dans l’algèbre affinoïde O_{U} := O_{𝔘} ⊗_{O} K de l’espace rigide U fibre générique de 𝔘. La suite exacte de Kummer fournit un morphisme bord

O_{U}^{×} ⟶^{∂} H^{1}(U, Λ(1))

que l’on peut composer avec l’application canonique (donnée par définition même des cycles évanescents de Berkovich)

H^{1}(U, Λ) ⟶ Γ(𝔘 ∩ Y^{ca}, R^{1}Ψ(Λ)).

On obtient ainsi un élément ∂f_{i,𝔘} ∈ Γ(𝔘 ∩ Y^{ca}, R^{1}Ψ(Λ))(1). Si 𝔚 est un ouvert étale de 𝔘 disjoint de Y_{i} et suffisamment petit pour que H^{1}(𝔚, Λ) = 0, alors l’élément (∂f_{i,𝔘})_{|𝔚} est nul car f_{i,𝔘} est inversible dans O_{𝔚}. Ainsi, ∂f_{i,𝔘} est à support dans Y_{i}, i.e. appartient au module Γ_{Y_{i}^{ca}}(𝔘 ∩ Y^{ca}, RΨ^{1}(Λ))(1). On en déduit par adjonction un morphisme de faisceaux i_{Y_{i},∗}(Λ)_{|𝔘} ⟶ R^{1}Ψ(Λ)(1)_{|𝔘}. Or, le générateur f_{i,𝔘} de I_{i}O_{𝔘} est unique à multiplication par un inversible de O_{𝔘} près. En recouvrant 𝔘 par des ouverts étales 𝔚 tels que H^{1}(𝔚, Λ) = 0, on en déduit que ∂f_{i,𝔘} est en fait indépendant du choix de l’équation locale f_{i,𝔘} de Y_{i}. On peut donc recoller les morphismes ainsi obtenus pour toutes les cartes formelles 𝔘 comme ci-dessus pour en déduire un morphisme global i_{Y_{i},,∗}Λ ⟶ RΨ^{1}(Λ)(1).

Par construction et par [37, 1.1.2], la somme a_{1,∗}(Λ) ⟶ RΨ(Λ)(1) de ces morphismes induit sur chaque carte 𝔘 l’isomorphisme inverse de 4.3.8 pour q = 1.

Expliquons maintenant comment passer au cas où Λ est plat sur ℤ_{l}. Il suffit bien-sûr de traiter le cas ℤ_{l}. Remarquons que lorsque 𝔛 est quasicompact (et donc I est fini), on a H_{c}^{q}(X^{ca}, ℤ_{l}) \underrightarrow{∼} lim_{⟵}H_{c}^{q}(X^{ca}, ℤ/l^{n}ℤ) et les systèmes projectifs H^{q}(Y^{ca}, ℤ/l^{n}ℤ) sont AR-l-adiques ; on en déduit par passage à la limite comme dans le cas algébrique la suite spectrale voulue pour Λ = ℤ_{l}. Dans le cas général, on choisit une suite croissante (I_{n})_{n∈ℕ} de sous-ensembles finis de I dont la réunion est I. Notons Y_{n} les fermés de la fibre spéciale et X_{n} les ouverts de X correspondants. D’après [7, Cor 2.5], il y a des isomorphismes canoniques RΓ_{Y_{n}}(Y^{ca}, RΨ_{η}(ℤ/l^{n}ℤ)) \underrightarrow{∼} RΓ\overline{X_{n}}(X^{ca}, ℤ/l^{m}ℤ) dont la “limite inductive” est l’isomorphisme 4.3.6. D’après la description des cycles évanescents, on a donc pour tous n et m une suite spectrale comme dans l’énoncé sauf que l’on y remplace H^{∗}(Y_{J}^{ca}, Λ) par H_{Y_{n}}^{∗}(Y_{J}^{ca}, ℤ/l^{m}ℤ) dans le terme E_{1} et H^{∗}(X^{ca}, Λ) par H∗ ; \overline{X_{n}}(X^{ca}, ℤ/l^{m}ℤ) dans l’aboutissement. Puisque l’ensemble des J ⊂ I tels que Y_{J} ∩ Y_{n} ≠ ∅ est fini, on obtient en passant à la limite projective sur m une suite spectrale similaire avec ℤ_{l} à la place de ℤ/l^{m}ℤ. On a alors un système de suites spectrales indexé par n dont la limite inductive est la suite spectrale voulue.

□

4.3.3 Preuve de la proposition 4.2.7 : Dans les cas particuliers (r, q) = (d−1, d−1) et (r, q) = (1−d, d−1), la description de la différentielle et de l’opérateur ν de la suite spectrale 4.3.2 s’insèrent dans le diagramme suivant :

\xymatrix{E_{1}^{1−d,2d−2} = Λ[I^{(d)}](1 − d) \ar[d]_{d_{1}^{1−d,2d−2}} \ar[r]^{ν^{d−1}=μ^{d−1}} & Λ[I^{(d)}] = E_{1}^{d−1,0} \\ E_{1}^{2−d,2d−2} = Λ[I^{(d−1)}](1 − d) & Λ[I^{(d−1)}] = E_{1}^{d−2,0} \ar[u]_{d_{1}^{d−2,0}}}

où Λ[?] désigne le Λ-module des fonctions à support fini sur l’ensemble ? et

d_{1}^{1−d,2d−2}(f)(K) = ∑_{J⊃K} ε_{JK}.f(J) et d_{1}^{d−2,0}(g)(J) = ∑_{K⊂J} ε_{JK}.g(K).

Munissons alors Λ[?] de la forme bilinéaire “canonique” pour laquelle la base ? est autoduale, et posons ′E_{1}^{1−d,d−2} := E_{1}^{1−d,2d−2}(d − 1) ainsi que ′d_{1}^{1−d,2d−2} := d_{1}^{1−d,2d−2}(d − 1). On constate que ′d_{1}^{1−d,2d−2} et d_{1}^{d−2,0} sont adjointes l’une de l’autre. En particulier, on a im (d_{1}^{d−2,0}) ⊂ ker (′d_{1}^{1−d,2d−2})^{⊥}. Puisque E_{2}^{1−d,2d−2} = ker d_{1}^{1−d,2d−2} et E_{2}^{d−1,0} = coker d_{1}^{d−2,0}, on en déduit le lemme suivant Lemme 4.3.4 (Rappelons que 𝔪 est l’idéal maximal de Λ)

Si ⟨ker (′d_{1}^{1−d,2d−2}), ker (′d_{1}^{1−d,2d−2})⟩ ⊊ 𝔪, alors ν^{d−1} (E_{2}^{1−d,2d−2}) ⊊ 𝔪.E_{2}^{d−1,0}.

Venons-en maintenant à la situation qui nous intéresse, à savoir 𝔛 = Ω̂_{K}^{d−1}/Γ où Ω̂_{K}^{d−1} est le modèle formel de Deligne (ou Drinfeld) de Ω_{K}^{d−1} (cf [10]) et Γ est un sous-groupe discret sans torsion de P GL_{d}(K). Lorsque Γ = {1}, on sait que Ω̂_{K}^{d−1} est fortement semi-stable au sens de 4.3.1. L’ensemble I des composantes irréductibles est en bijection avec l’ensemble BT des sommets de l’immeuble de Bruhat-Tits de P GL_{d}(K), et la structure simpliciale BT^{(•)} qui en découle est celle de Bruhat-Tits. Par exemple, BT^{(d)} est l’ensemble des chambres de l’immeuble et BT^{(d−1)} celui des murs (facettes de codimension 1). En général, pour que 𝔛 = Ω̂_{K}^{d−1}/Γ soit fortement semi-stable, il faut et il suffit que l’étoile d’un sommet soit contenue dans un domaine fondamental de Γ dans BT^{(•)} (sinon il y a des points doubles). On a alors I^{(m)} = Γ\BT^{(m)}. Nous fixons une orientation SL_{d}(K)-équivariante de BT^{(•)} de la manière suivante : on choisit d’abord un ordre sur les sommets d’une chambre Δ et on le transporte à toute autre chambre par l’action transitive de SL_{d}(K), sans ambiguïté puisque le stabilisateur et le fixateur de Δ coïncident dans SL_{d}(K) ; on obtient donc une orientation sur chaque simplexe maximal et on vérifie que ces orientations se recollent bien le long des murs. L’orientation de BT^{(•)} obtenue est équivariante par tout Γ discret sans-torsion et induit donc une orientation de Γ\BT^{(•)}.

Fixons un tore maximal T, notons A l’ensemble des sommets de l’appartement de BT associé, et A^{(•)} l’ensemble simplicial engendré par A. Fixons aussi une chambre Δ dans A^{(d)}. Nous noterons A_{+}^{(d)}, resp. A_{−}^{(d)}, l’ensemble des chambres de A^{(d)} qui sont à distance paire, resp. impaire de Δ.

Lemme 4.3.5 Soit Γ un sous-groupe discret sans torsion et cocompact de T tel que le quotient Ω̂_{K}^{d−1}/Γ soit fortement semi-stable. Alors les fonctions caractéristiques 1_{A_{±}^{(d)}} de A_{±}^{(d)} dans BT^{(d)} définissent deux

éléments de ′E_{1}^{1−d,2d−2} tels que,

i) avec notre choix d’orientation, 1_{A_{+}^{(d)}} − 1_{A_{−}^{(d)}} ∈ ker ′d_{1}^{1−d,2d−2}

ii) ⟨(1_{A_{+}^{(d)}} − 1_{A_{−}^{(d)}}), (1_{A_{+}^{(d)}} − 1_{A_{−}^{(d)}})⟩ = |Γ\A^{(d)}|.

Preuve : Le fait que ces fonctions caractéristiques induisent des éléments de E_{1}^{1−d,2d−2} = Λ[Γ\BT^{(d)}] découle de

– A_{+}^{(d)} et A_{−}^{(d)} sont stables par Γ puisque un domaine fondamental de Γ contient l’étoile d’un sommet.

– Γ a un nombre fini d’orbites dans A^{(d)} puisqu’il est cocompact dans T.

Montrons maintenant le point i). Soit M un mur de BT^{(d−1)}. L’ensemble des chambres de Γ\A^{(d−1)} contenant Γ.M est non vide seulement si M ∈ A^{(d−1)}, auquel cas il contient deux éléments, ΓΔ_{+} et ΓΔ_{−} où Δ_{+} et Δ_{−} sont les chambres mitoyennes de A^{(d)} contenant M, la première paire et la seconde impaire. On a alors

′d_{1}^{1−d,2d−2}(1_{A_{+}^{(d)}} − 1_{A_{−}^{(d)}})(M) = ε_{ΓΔ_{+},Γ.M} − ε_{ΓΔ_{−},Γ.M}.

Mais par définition de notre orientation, puisque Δ_{+} se déduit de Δ_{−} par un élément de SL_{d}(K) laissant fixe le mur mitoyen, on a ε_{ΓΔ_{+},Γ.M} = ε_{Δ_{+},M} = ε_{Δ_{−},M} = ε_{ΓΔ_{−},Γ.M}.

Le point ii) est immédiat, vue la définition de la forme bilinéaire ⟨., .⟩ sur ′E_{1}^{1−d,2d−2}. □

Remarquons qu’il est facile de choisir Γ tel que |Γ\A^{(d)}| soit inversible dans Λ. C’est par exemple le cas pour le réseau engendré par les α^{∨}(ϖ_{K}) où α^{∨} parcourt les racines simples de T : dans ce cas on a en effet |Γ\A^{(d)}| = |W_{G}| = d! qui est inversible dans l’anneau banal Λ.

Pour appliquer les deux lemmes précédents à notre problème, il nous faut montrer la dégéneresence de la suite spectrale.

Lemme 4.3.6 (On rappelle que Λ est en particulier banal pour P GL_{d}(K)). Pour tout Γ discret sans torsion dans P GL_{d}(K), la suite spectrale de Rapoport-Zink de la proposition 4.3.2 associée à 𝔛 = Ω̂_{K}^{d−1}/Γ dégénère en E_{2}.

Preuve : Dans le cas où Λ est une extension de ℚ_{l}, la dégénérescence est vraie pour tout 𝔛, grâce au théorème de pureté des H^{∗}(Y_{I}^{ca}, ℚ_{l}) de Deligne et a un argument de poids classique. Pour un 𝔛 général, il n’y a pas de théorie des poids “à valeurs dans Λ”, mais dans notre cas les variétés Y_{J} ont une cohomologie particulièrement simple : nous allons expliquer (rappeler) pourquoi pour tout J, on a

i) H^{∗}(Y_{J}^{ca}, Λ) est non nul seulement si ∗ ∈ 2ℕ et 0 ⩽ ∗ ⩽ 2d − 2|J|.

ii) Le Frobenius géométrique σ agit sur H^{2i}(Y_{J}^{ca}, Λ) par multiplication par q^{i}.

À partir de là, la dégénérescence est une conséquence de l’argument de poids habituel, compte tenu du fait que pour un anneau banal et pour 0 ⩽ i < j ⩽ d − 1, on a Λ[X] = (X − q^{i})Λ[X] + (X − q^{j})Λ[X].

Rappelons tout d’abord la structure de Y_{J} : soit B^{n} la k-variété obtenue en éclatant ℙ^{n} le long du produit des (idéaux définissant ses) sous-variétés linéaires k-rationnelles. Alors pour tout J, les composantes connexes de Y_{J} sont de la forme B^{d_{1}} × ⋯ × B^{d_{|J|}} avec d_{1} + ⋯ + d_{|J|} = d − |J|, cf [29, par. 6]. Il suffit donc de prouver les deux assertions ci-dessus pour les variétés B^{n}. Mais on peut obtenir ces variétés selon la suite d’éclatements plus agréables suivante (cf [29, par. 4]) :

B^{n} = Y_{n−1} ⟶^{ψ_{n−1}} Y_{n−2} ⟶ ⋯ ⟶ Y_{1} ⟶^{ψ_{1}} Y_{0} = ℙ^{n}

où Y_{m+1} est l’éclaté de Y_{m} le long de la réunion Z_{m} des transformés stricts des sous-variétés linéaires de dimension m de ℙ^{n} dans Y_{m}. L’avantage est qu’à chaque étape, la sous-variété Z_{m} le long de laquelle on éclate est lisse de pure dimension m.

Alors d’après [SGA5], VII, 8.5 : on a pour tout m des suites exactes :

0 ⟶ H^{∗+2m−2n}(Z_{m}^{ca}, Λ) ⟶ H^{∗−2}(ψ_{m}^{∗}(Z_{m})^{ca}, Λ) ⊕ H^{∗}(Y_{m}^{ca}, Λ) ⟶ H^{∗}(Y_{m+1}^{ca}, Λ) ⟶ 0.

Or, par construction, les composantes connexes de Z_{m} sont toutes isomorphes à B^{m}. De plus, ψ_{m} : ψ_{m}^{∗}(Z_{m}) ⟶ Z_{m} est un ℙ^{n−m−1}-fibré. On montre alors les deux assertions annoncées par double récurrence sur n et m.

Appliquons ceci à la suite spectrale de Rapoport-Zink : on obtient que E_{1}^{−r,m+r} est non-nul seulement si m + r est pair auquel cas l’action du Frobenius géométrique σ sur E_{1}^{−r,m+r} est la multiplication par q^{(m+r)/2}. Rappelons que 0 ⩽ m+r ⩽ 2d−2 et, sous l’hypothèse Λ banal, on a Λ[X] = (X −q^{i})Λ[X]+(X − q^{j})Λ[X] pour tous 0 ⩽ i, j ⩽ d−1. Comme les différentielles d_{n}^{−r,m+r} sont des applications σ-équivariantes E_{n}^{−r,m+r} ⟶ E_{n}^{−r+n,m+r−n+1}, elles sont nulles dès que n ⩾ 2.

□

D’après les trois lemmes précédents, si Γ est le sous-groupe discret sans torsion et cocompact de T engendré par les α^{∨}(ϖ_{K}), alors sur le terme E_{∞} = E_{2} de la suite spectrale de Rapoport-Zink du quotient Ω̂_{K}^{d−1}/Γ, on a :

ν^{d−1} (E_{∞}^{1−d,2d−2}) ⊊ 𝔪.E_{∞}^{d−1,0}

D’après la dernière assertion de la proposition 4.3.2, l’action de (μ − 1)^{d−1} sur H^{d−1}(Ω^{d−1,ca}/Γ, Λ) se factorise selon le diagramme

\xymatrix{H^{d−1}(Ω^{d−1,ca}/Γ, Λ) \ar[r]^{(μ−1)^{d−1}} \ar[d]_{can} & H^{d−1}(Ω^{d−1,ca}/Γ, Λ) \\ E_{∞}^{1−d,2d−2} \ar[r]^{ν^{d−1}} & E_{∞}^{d−1,0} \ar[u]_{can}}

D’après la preuve du lemme précédent, le monomorphisme de droite est scindé : son image est le sousmodule des invariants sous un Frobenius géométrique ϕ et un facteur direct est donné par ker (∏_{i=1}^{d−1}(ϕ − q^{i})). Il s’ensuit que

(μ − 1)^{d−1} ∉ 𝔪End_{Λ} (H^{d−1}(Ω^{d−1,ca}/Γ, Λ)) .

D’après le théorème B.3.1, on en déduit que

(γ(μ) − 1)^{d−1} ∉ 𝔪End_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω^{d−1,ca}, Λ)) .

Mais puisque (γ(μ) − 1)^{d−1} = log(γ(μ))^{d−1} = (N ⊗ μ)^{d−1}, on en déduit la proposition 4.2.7.

4.4 Preuve du théorème

Fixons I ⊆ S, et choisissons un relèvement de Frobenius ϕ. Le scindage α_{ϕ} de la proposition 4.2.6 induit le premier isomorphisme de Λ-modules suivant :

RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), π_{I}^{Λ}) \underrightarrow{∼} ⨁_{i=0}^{d−1} RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (π_{\{1,···,i\}}^{Λ}(−i), π_{I}^{Λ}) [d − 1 + i]

≃ ⨁_{i=0}^{d−1} Ext_{P G_{d}}^{δ(i,I)} (π_{{1,···,i}}^{Λ}, π_{I}^{Λ}) (i)[d − 1 + i − δ(i, I)]

et le second est une conséquence de 2.1.4 i) ; on y a posé δ(i, I) := δ({1, ⋯, i}, I). De plus, par définition de α_{ϕ}, ces isomorphismes sont ϕ-équivariants. Choisissons pour chaque Λ-droite Ext_{P G_{d}}^{δ(i,I)} (π_{{1,···,i}}^{Λ}, π_{I}^{Λ}) un générateur e_{i}, de manière à simplifier un peu l’écriture en :

RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), π_{I}^{Λ}) [1 − d] ≃ ⨁_{i=0}^{d−1} e_{i} ⊗ Λ(i)[i − δ(i, I)].

L’action de N (à droite) est donnée par ∪-produit par l’élément

α_{ϕ,∗}(N) = ∑_{i=0}^{d−1} β_{i,i+1} ∈ ⨁_{i=0}^{d−1} Ext_{P G_{d}}^{1} (π_{{1,···,i+1}}^{Λ}, π_{{1,···,i}}^{Λ})

où les β_{i,i+1} sont le système de générateurs 4.2.4 associé à l’isomorphisme β_{ϕ} de la proposition 4.2.6. On a donc pour tout i = 0, ⋯, d − 1

N.e_{i} = e_{i} ∪ α_{ϕ,∗}(N) = e_{i} ∪ β_{i,i+1} ∈ Λe_{i+1}.

La formule 2.1.4 ii) nous montre alors que N.e_{i} ∈ Λ^{×}e_{i+1} si on a l’additivité des δ suivante :

δ(i + 1, I) = δ(i, I) + δ({1, ⋯, i}, {1, ⋯, i + 1}) = δ(i, I) + 1,

et est nul sinon. L’additivité des δ peut encore s’écrire :

i + 1 − δ(i + 1, I) = i − δ(i, I).

Lemme 4.4.1 La fonction i ∈ {0, ⋯, d − 1} ↦ ∂(i) := i − δ(i, I) croît de ∂(0) = −|I| à ∂(d − 1) = |I|. Ses sauts non-nuls sont égaux à 2. Pour tout 0 ⩽ k ⩽ |I|, on a

∂^{−1}(−|I| + 2k) = {i_{k}, ⋯, i_{k+1} − 1}

où I = {i_{1}, ⋯, i_{|I|}} et on a posé i_{0} := 0 et i_{|I|+1} := d.

Preuve : Élémentaire. □

Le lemme permet de réécrire

RHom_{D^{b}(ΛP G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, Λ), π_{I}^{Λ}) [1 − d] ≃ ⨁_{k=0}^{|I|} ( ⨁_{i=i_{k}}^{i_{k+1}−1} e_{i} ⊗ Λ(i)) [−|I| + 2k]

et la discussion qui le précède montre que l’action de N se fait degré par degré, et que pour un degré −|I| + 2k fixé et pour i_{k} < j < i_{k+1}, elle induit un isomorphisme e_{j−1} ⊗ Λ(j − 1) \underrightarrow{∼} e_{j} ⊗ Λ(j). Ceci achève la preuve du théorème 4.1.5.

4.5 Application aux variétés uniformisées par Ω_{K}^{d−1}

Soit Γ un sous-groupe discret sans-torsion et cocompact dans P G_{d}. On sait depuis Mustafin [32] que le quotient analytique Ω_{K}^{d−1}/Γ s’identifie alors à l’analytification d’une variété propre et lisse sur K. Par les théorèmes de type GAGA de Berkovich [2, 7.1], on peut identifier la cohomologie du quotient analytique avec celle de la variété algébrique correspondante. Les espaces de cohomologie l-adique H^{p}(Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l}) sont donc des représentations de dimension finie l-adiques continues de W_{K}. Leurs semisimplifiées ont été calculées par Schneider et Stuhler dans [38]. L’action continue de W_{K} munit chacun d’eux d’un opérateur nilpotent, par le théorème de “la monodromie unipotente” de Grothendieck. Ces opérateurs de monodromie sont décrits par la conjecture “monodromie-poids” démontrée par Ito [29] dans le cas qui nous intéresse ici : on a donc une description des espaces de cohomologie à Frobenius-semisimplification près.

Notre étude du complexe de cohomologie permet bien-sûr de retrouver la description de Schneider-Stuhler, mais fournit aussi une preuve très différente de celle d’Ito de la conjecture Monodromie-Poids, et montre aussi que tout relèvement de Frobenius agit de manière semi-simple.

Corollaire 4.5.1 Soit Γ un sous-groupe discret cocompact et sans-torsion de P GL_{d}(K) et m_{St} la multiplicité de la représentation de Steinberg dans la représentation admissible \overline{ℚ}_{l}^{∞}[P G_{d}/Γ]. Alors on a un isomorphisme W_{K}-équivariant dans D^{b}(\overline{ℚ}_{l}) :

RΓ (Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l}) ≃ (⨁_{i=0}^{d−1} \overline{ℚ}_{l}(−i)[−2i]) ⊕ (Sp_{d}^{\overline{ℚ}_{l}})^{m_{St}} (1 − d)[1 − d].

En particulier, la conjecture Monodromie-Poids est satisfaite par les H^{i}(Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l}) et l’action d’un relèvement de Frobenius y est semi-simple.

Preuve : Si V est une \overline{ℚ}_{l}-représentation lisse de P G_{d}, on a des isomorphismes canoniques

Hom_{P G_{d}} (V, \overline{ℚ}_{l}^{∞}[P G_{d}/Γ]) \underrightarrow{∼} Hom_{Γ} (V, \overline{ℚ}_{l}) \underrightarrow{∼} (V ⊗_{\overline{ℚ}_{l}[Γ]} \overline{ℚ}_{l})^{∗}

où l’étoile désigne le dual d’un \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriel. Comme la restriction d’une représentation lisse projective de P G_{d} à Γ est encore projective, et comme le passage au dual est un foncteur exact, on peut dériver ces isomorphimes pour en déduire :

RHom_{D^{b}(\overline{ℚ}_{l}P G_{d})} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}), \overline{ℚ}_{l}^{∞}[P G_{d}/Γ]) \underrightarrow{∼} (RΓ_{c}(Ω_{K}^{d−1,ca}, \overline{ℚ}_{l}) ⊗_{\overline{ℚ}_{l}[Γ]}^{L} \overline{ℚ}_{l})^{∗} .

D’après 4.1.4, le membre de droite est W_{K}-isomorphe à RΓ(Ω_{K}^{d−1,ca}/Γ, \overline{ℚ}_{l})^{∗}. Par ailleurs, la représentation admissible \overline{ℚ}_{l}^{∞}[P G_{d}/Γ] de P G_{d} est semi-simple et ses constituents sont unitarisables. Les seules représentations elliptiques unitarisables sont la triviale et la Steinberg. La première apparaît avec multiplicité 1 dans \overline{ℚ}_{l}^{∞}[P G_{d}/Γ]. Il ne reste plus qu’à appliquer le théorème 4.1.5 en tenant compte du passage au dual ; on obtient la formule annoncée, et on vérifie facilement que la conjecture Monodromie-Poids est satisfaite. □

A Sorites sur les complexes

A.1 Critères de scindage d’un complexe

Le but de cette section est de donner des critères de scindage d’un complexe cohomologiquement borné d’une catégorie dérivée. Ces critères sont très simples et certainement bien connus des spécialistes – comme l’a signalé G. Laumon à l’auteur, on trouve déja dans Deligne [15] un énoncé semblable à A.1.4 ci-dessous, mais un peu trop différent pour être cité tel quel. Le cadre naturel, un peu plus général, est celui des t-catégories.

A.1.1 Soit D une catégorie triangulée munie d’une t-structure (D^{⩽0}, D^{⩾0}) non-dégénérée, cf [1, 1.3.7.]. On utilise les notations habituelles : τ_{⩽q} et τ_{⩾q} pour les endofoncteurs de troncation et H^{q} := τ_{⩽q}τ_{⩾q}[q] = τ_{⩾q}τ_{⩽q}[q] = τ_{⩾0}τ_{⩽0} ∘ [q] les (endo)foncteurs cohomologiques. On note aussi D^{+}, resp. D^{−} et D^{b} les souscatégories triangulées formées des objets X tels que H^{q}(X) = 0 pour q << 0, resp. q >> 0, resp. q << 0 ou q >> 0 (dans ce dernier cas X est dit “cohomologiquement borné”).

Nous dirons qu’un objet X est scindable, s’il est cohomologiquement borné et s’il existe un isomorphisme dans D

α : X \underrightarrow{∼} ⨁_{q} H^{q}(X)[−q].

Un tel isomorphisme sera appelé un scindage s’il induit l’identité en cohomologie, c’est-à-dire si pour tout q ∈ ℤ, on a H^{q}(α) = Id_{H^{q}(X)}.

Lemme A.1.2 Soit X ∈ D^{−}. Fixons q ∈ ℤ et supposons que Hom_{D} (H^{l}(X)[k], H^{q}(X)) = 0 pour tout couple d’entiers (l, k) tel que l + k = q − 1. Alors l’application

H^{q} : Hom_{D} (X, H^{q}(X)[−q]) ⟶ Hom_{D} (H^{q}(X), H^{q}(X))

est surjective.

Preuve : Quitte à décaler, on peut supposer que q = 0, ce que nous ferons. L’application en question s’inscrit dans un diagramme

\xymatrix{Hom_{D} (X, H^{0}(X)) \ar[r]^{H^{0}} \ar[d]_{τ_{⩽0}} & Hom_{D} (H^{0}(X), H^{0}(X)) \\ _{Hom_{D} (τ_{⩽0}(X), H^{0}(X))} \ar[ur]_{τ_{⩾0}}}

où la flèche notée τ_{⩾0} est bijective et la flèche notée τ_{⩽0} est la composition avec le morphisme canonique τ_{⩽0}(X) ⟶ X. Ainsi, l’application de l’énoncé est surjective si et seulement si pour tout morphisme γ : τ_{⩽0}(X) ⟶ H^{0}(X), on peut compléter le diagramme suivant

[figure: τ_{>0}(X)[−1]; −1; τ_{⩽0}(X); can; γ; X; ϕ; can; H^{0}(X)].

Une condition nécessaire est bien-sûr que γ ∘ −1 = 0, et l’axiome de l’octaèdre montre que cette condition est suffisante. Nous allons en fait montrer par récurrence sur l’entier n ∈ ℤ tel que X ∈ D^{⩽n} que l’hypothèse de l’énoncé (c’est-à-dire : Hom_{D} (H^{l}(X)[k], H^{0}(X)) = 0 pour tout couple d’entiers (l, k) tel que l + k = −1) implique

Hom_{D} (τ_{>0}(X)[−1], H^{0}(X)) = 0,

ce qui sera suffisant pour prouver le lemme.

Remarquons que si n ⩽ 0, on a τ_{>0}(X) = 0 et la propriété cherchée est immédiate. Supposons donc n > 0 et la propriété montrée pour n − 1. Soit X ∈ D^{⩽n}. L’objet τ_{<n}(X) est dans D^{⩽n−1} et vérifie l’hypothèse du lemme, on peut donc lui appliquer l’hypothèse de récurrence. Le triangle distingué τ_{>0}τ_{<n}(X) ⟶ τ_{>0}(X) ⟶ H^{n}(X)[−n] fournit une suite exacte

Hom_{D} (H^{n}(X)[−1 − n], H^{0}(X)) ⟶ Hom_{D} (τ_{>0}(X)[−1], H^{0}(X))
⟶ Hom_{D} (τ_{>0}τ_{<n}(X)[−1], H^{0}(X)) .

Le premier terme est nul par hypothèse, ainsi que le dernier par hypothèse de récurrence (remarquer que la flèche canonique H^{0}(τ_{<n}(X)) ⟶ H^{0}(X) est un isomorphisme), le terme du milieu est donc nul aussi. □

Corollaire A.1.3 Soit X ∈ D cohomologiquement borné. Supposons que

Hom_{D} (H^{l}(X)[k], H^{q}(X)) = 0

pour tout triplet d’entiers (q, l, k) tel que l + k = q − 1. Alors X est scindable.

Preuve : D’après le lemme précédent, pour tout q ∈ ℤ on peut trouver α_{q} : X ⟶ H^{q}(X)[−q] tel que H^{q}(α_{q}) = Id_{H^{q}(X)}. Le morphisme somme

⨁_{q} α_{q} : X ⟶ ⨁_{q} H^{q}(X)[−q]

induit l’identité en cohomologie et par conséquent est un isomorphisme, car la t-structure est nondégénérée. □

Dans le lemme suivant on suppose de plus que D est R-linéaire pour un anneau commutatif R fixé.

Lemme A.1.4 Soit X un objet cohomologiquement borné de D et ϕ ∈ End_{D} (X). On suppose donnée une famille de polynômes P_{q}(T) ∈ R[T], q ∈ ℤ, presque tous égaux à 1, et tels que pour tout q ∈ ℤ, on ait P_{q}(H^{q}(ϕ)) = 0 dans End_{D} (H^{q}(X)).

i) Posons P (T) := ∏_{q∈ℤ} P_{q}(T), alors on a P (ϕ) = 0 dans End_{D} (X).

ii) Supposons de plus que pour tous p ≠ q, on a P_{q}R[X] + P_{p}R[X] = R[X]. Alors il existe un unique

scindage

α : X ⟶ ⨁_{q} H^{q}(X)[−q]

tel que αϕα^{−1} = ⨁_{q} H^{q}(ϕ)[−q].

Preuve : Pour le point i) on procède par récurrence sur l’amplitude cohomologique de X en utilisant le résultat auxiliaire suivant :

Soient a ∈ ℤ et P_{−}(T), P_{+}(T) ∈ R[T] deux polynômes tels que P_{−}(τ_{⩽a}(ϕ)) = 0 dans End_{D} (τ_{⩽a}(X)) et P_{+}(τ_{>a}(ϕ)) = 0 dans End_{D} (τ_{>a}(X)). Alors P_{−}P_{+}(ϕ) = 0 dans End_{D} (X).

Nous laisserons la récurrence au lecteur, mais nous allons montrer l’assertion ci-dessus. On définit un morphisme ψ_{−} : τ_{>a}(X) ⟶ X par le diagramme commutatif suivant :

[figure: τ_{⩽a}(X); ι_{a}; τ_{⩽a}(P_{−}(ϕ))=0; X; ρ_{a}; P_{−}(ϕ); τ_{>a}(X); ψ_{−}; +1; τ_{⩽a}(X); X; τ_{>a}(X); +1]

L’existence de ψ_{−} est assurée par la suite exacte

Hom_{D} (τ_{>a}(X), X) ⟶ Hom_{D} (X, X) ⟶ Hom_{D} (τ_{⩽a}(X), X) .

De même on définit ψ_{+} : X ⟶ τ_{⩽a}(X) par le diagramme

[figure: τ_{⩽a}(X); ι_{a}; X; ρ_{a}; P_{+}(ϕ); ψ_{+}; τ_{>a}(X); +1; τ_{>a}(P_{+}(ϕ))=0; τ_{⩽a}(X); X; τ_{>a}(X); +1] .

On calcule alors (P_{−}P_{+})(ϕ) = P_{−}(ϕ) ∘ P_{+}(ϕ) = ψ_{−} ∘ ρ_{a} ∘ ι_{a} ∘ ψ_{+} = 0 car ρ_{a} ∘ ι_{a} = 0.

Pour l’existence dans le point ii), on procède encore par récurrence sur l’amplitude cohomologique de X en utilisant le résultat auxiliaire suivant :

En gardant les notations ci-dessus, supposons que P_{−}(X)R[X] + P_{+}(X)R[X] = R[X]. Alors il existe un isomorphisme

α_{a} : X \underrightarrow{∼} τ_{⩽a}(X) ⊕ τ_{>a}(X)

tel que τ_{⩽a}(α_{a}) = Id_{τ_{⩽a}(X)}, τ_{>a}(α_{a}) = Id_{τ_{>a}(X)} et α_{a}ϕα_{a}^{−1} = τ_{⩽a}(ϕ) ⊕ τ_{>a}(ϕ).

Nous laissons à nouveau la récurrence au lecteur, mais nous prouvons cette assertion. Pour cela, remarquons que quitte à remplacer P_{−}, resp. P_{+}, par un de ses multiples dans R[X], on peut supposer P_{−}(X) + P_{+}(X) = 1. Nous allons montrer que les morphismes

α_{a} : X ⟶^{ψ_{+} ⊕ ρ_{a}} τ_{⩽a}(X) ⊕ τ_{>a}(X) et β_{a} : τ_{⩽a}(X) ⊕ τ_{>a}(X) ⟶^{ι_{a} ⊕ ψ_{−}} X

sont inverses l’un de l’autre. On a d’abord β_{a} ∘ α_{a} = ψ_{−}ρ_{a} + ι_{a}ψ_{+} = P_{−}(ϕ) + P_{+}(ϕ) = Id_{X}. Par ailleurs α_{a} ∘β_{a} = ψ_{+}ι_{a} ⊕ρ_{a}ψ_{−}. Montrons que ρ_{a}ψ_{−} = Id_{τ_{>a}(X)}, le raisonnement sera identique et omis pour ψ_{+}ι_{a}. Tout d’abord, puisque τ_{>a}(P_{+}(ϕ)) = 0, on a τ_{>a}(P_{−}(ϕ)) = Id_{τ_{>a}(X)}. Il nous suffira donc de montrer que le triangle du bas du diagramme suivant est commutatif

\xymatrix{X \ar[r]^{ρ_{a}} \ar[d]_{P_{−}(ϕ)} & τ_{>a}(X) \ar@{.>}[dl]_{ψ_{−}} \ar[d]^{τ_{>a}(P_{−}(ϕ))=Id} \\ X \ar[r] & τ_{>a}(X)}

sachant que celui du haut l’est, par définition. La commutativité de celui du haut et du carré extérieur donnent l’égalité ρ_{a}ψ_{−}ρ_{a} = τ_{>a}(P_{−}(ϕ)) ∘ ρ_{a} dans Hom_{D} (X, τ_{>a}(X)). En appliquant le foncteur τ_{>a} et en tenant compte de ce que τ_{>a}(ρ_{a}) = Id_{τ_{>a}(X)} (en identifiant τ_{>a}(τ_{>a}(X)) et τ_{>a}(X)) et de ce que τ_{>a}(ρ_{a}ψ_{−}) = ρ_{a}ψ_{−}, on obtient l’égalité cherchée ρ_{a}ψ = τ_{>a}(P_{−}(ϕ)).

L’isomorphisme α_{a} ainsi construit vérifie bien τ_{⩽a}(α_{a}) = Id_{τ_{⩽a}(X)} et τ_{>a}(α_{a}) = Id_{τ_{>a}(X)}. On calcule aussi α_{a}ϕβ_{a} = ρ_{a}ϕψ_{−} ⊕ ψ_{+}ϕι_{a}. Or, ρ_{a}ϕψ_{−} = τ_{>a}(ϕψ_{−}ρ_{a}) = τ_{>a}(ϕ)τ_{>a}(P_{−}(ϕ)) = τ_{>a}(ϕ) et de même on calcule ψ_{+}ϕι_{a} = τ_{⩽a}(ϕ).

Il reste à voir l’unicité de α dans le point ii). Soit β un second isomorphisme vérifiant les propriétés requises par le point ii). L’automorphisme βα^{−1} de ⨁ H^{q}(X)[−q] commute à l’endomorphisme H(ϕ) := ⨁ H^{q}(ϕ)[−q]. Soit S ⊂ ℤ le support cohomologique de X. Fixons des polynômes (Q_{q})_{q∈S} tels que

Q_{q} ∈ ∏_{p≠q} P_{p}.R[X] et ∑_{q∈S} Q_{q} = 1.

Alors l’endomorphime Q_{q}(H(ϕ)) est nul sur les H^{p}(X)[−p], p ≠ q et envoie H^{q}(X)[−q] identiquement dans lui-même. Comme l’automorphisme βα^{−1} commute aux Q_{q}(H(ϕ)), il est de la forme ⨁_{q} γ_{q}[q] avec γ_{q} ∈ End_{D} (H^{q}(X)) . Mais comme il doit aussi induire l’identité en cohomologie on a γ_{q} = Id_{H^{q}(X)} et par suite βα^{−1} = Id.

□

Remarque A.1.5 La preuve du point i) montre plus précisément que si on se donne deux endomorphismes ϕ_{−}, ϕ_{+} de X tels que τ_{⩽a}(ϕ_{−}) = 0 et τ_{>a}(ϕ_{+}) = 0, alors la composée ϕ_{−}ϕ_{+} est nulle dans End_{D} (X). (Mais pas nécessairement celle dans l’autre sens !)

Remarque A.1.6 Toujours la même preuve montre encore que si ϕ ∈ Hom_{D} (Y, X) est un morphisme tel que τ_{⩽a}(ϕ) = 0, resp. τ_{>a}(ϕ) = 0, alors ϕ se factorise par la flèche en pointillés du diagramme

\xymatrix{Y \ar[d]_{ρ_{a}} \ar[r]^{ϕ} & X \\ τ_{>a}(Y) \ar@{.>}[ur]} , resp. \xymatrix{Y \ar@{.>}[dr] \ar[r]^{ϕ} & X \\ & τ_{⩽a}(X) \ar[u]_{ι_{a}}}

A.2 Endomorphismes cohomologiquement triviaux

On reprend le contexte précédent. Si X ∈ D^{b}, on définit

N (X) := ker (End_{D} (X) ⟶ ∏_{q∈ℤ} End_{D} (H^{q}(X))) .

D’après le point i) de A.1.4, cet idéal bilatère de End_{D} (X) est formé d’éléments nilpotents d’ordre au plus la longueur n de l’amplitude cohomologique de X. Soit maintenant U(X) := 1 + N (X) le groupe des automorphismes qui induisent l’identité en cohomologie.

Lemme A.2.1 Supposons que la catégorie triangulée D est ℤ_{l}-linéaire et que pour tous p, q ∈ ℤ, le ℤ_{l}- module Hom_{D} (H^{p}(X)[−p], H^{q}(X)[−q]) est de type fini. Alors le ℤ_{l}-module End_{D} (X) est de type fini et le groupe U(X) est un pro-l-groupe.

Preuve : Les suites spectrales habituelles montrent que le ℤ_{l}-module End_{D} (X) est un sous-quotient de ⨁_{p,q} Hom_{D} (H^{p}(X)[−p], H^{q}(X)[−q]), donc la première assertion est immédiate.

Notons A la ℤ_{l}-algèbre End_{D}(X). Comme A est l-adiquement complète, l’ensemble A_{i} := 1+l^{i}A est un sous-groupe normal d’indice fini de A^{×} et le morphisme canonique A^{×} ⟶ lim_{⟵}A/A_{i} est un isomorphisme,

ce qui montre que A^{×} est un groupe profini. De plus, son sous-groupe ouvert A_{1} est pro-l.

Le sous-groupe U(X) ⊂ A^{×} est manifestement fermé, donc est profini. Pour voir qu’il est pro-l, il suffit de vérifier que les éléments de U(X)/U(X) ∩ A_{1} sont d’ordre une puissance de l. Or si x ∈ N (X), on a (1 + x)^{l^{k}} = 1 + x^{l^{k}} [modl] et x^{l^{k}} = 0 pour l^{k} plus grand que la longueur de l’amplitude cohomologique de X. □

On peut donner une idée un peu plus précise de la structure de U(X). Pour un entier i ⩾ 1, posons plus généralement

N_{i}(X) := ker (End_{D} (X) ⟶ ∏_{q∈ℤ} End_{D} (τ_{[q,q+i−1]}(X))) ,

où on a noté τ_{[q,q+i−1]} := τ_{⩾q}τ_{⩽q+i−1} = τ_{⩽q+i−1}τ_{⩾q}. On obtient ainsi une suite décroissante N (X) = N_{1}(X) ⊃ ⋯ ⊃ N_{n}(X) ⊃ N_{n+1}(X) = 0 d’idéaux bilatères de End_{D} (X). La remarque A.1.5 montre que pour tous i, j ⩾ 1 on a N_{i}(X) ∘ N_{j}(X) ⊂ N_{i+j}(X), ce qui fait de N_{0}(X) := End_{D} (X) un anneau filtré. On en déduit aussi une suite décroissante de groupes U_{1}(X) = U(X) ⊃ ⋯ ⊃ U_{i}(X) := 1 + N_{i}(X) ⊃ · · ·. Pour tous i, j ⩾ 1, on vérifie que [U_{i}(X), U_{j}(X)] ⊂ U_{i+j}(X) (les crochets désignent le groupe engendré par les commutateurs). En particulier, la suite est normale et les quotients successifs sont abéliens. En fait l’application évidente N_{i}(X)/N_{i+1}(X) ⟶ U_{i}(X)/U_{i+1}(X) est un isomorphisme de groupes abéliens. Lorsque la catégorie est ℤ_{l}-linéaire et vérifie la condition du lemme A.2.1, l’isomorphisme est continu.

Quant à la question de déterminer plus précisément le quotient N_{i}(X)/N_{i+1}(X), cela semble plus délicat. Pour i = 0, 1, 2, on peut montrer que ce quotient s’identifie canoniquement à un sous-quotient de ∏_{p−q=i} Hom_{D} (H^{p}(X)[−p], H^{q}(X)[−q]). (C’est trivial pour i = 0 et cela utilise la remarque A.1.6 pour i = 1, 2).

B Cohomologie équivariante des espaces de Berkovich

Dans cette partie, le contexte est le suivant : on suppose qu’un groupe localement profini G agit sur un espace K-analytique X, au sens de Berkovich. Celui-ci a défini une notion de continuité pour une telle action, et tout un formalisme cohomologique étale-G-équivariant “continu”. C’est l’existence de ce formalisme qui nous pousse à utiliser les espaces de Berkovich et leur cohomologie étale plutôt que les espaces rigides, ou les espaces adiques de Huber. Il ne fait cependant aucun doute qu’un formalisme similaire existe dans le cadre des espaces de Huber.

Lorsque Λ est un anneau de torsion première à p, le formalisme en question fournit, entre autres, un complexe canonique de la catégorie dérivée bornée des ΛG-modules lisses dont la cohomologie est la cohomologie étale de X à coefficients dans Λ, munie de son action canonique de G.

Le but de cette partie est d’exposer ce formalisme en grande partie non-publié – bien que déja utilisé dans [20], [21] et [23] – puis d’en donner une variante l-adique dans un langage inspiré de la cohomologie étale continue de Jannsen [30] [27] [19], et enfin d’interpréter certaines suites spectrales de type Hochschild-Serre construites par Fargues dans [19] comme des égalités de complexes de cohomologie dans certaines catégories dérivées.

B.1 Coefficients de torsion

Cette section est un bref exposé d’un manuscrit non publié de Berkovich [5]. Les imprécisions et erreurs éventuelles ci-dessous sont de la seule responsabilité de l’auteur de ces lignes.

B.1.1 Une topologie sur Aut(X) : Soit X un espace K-analytique. Berkovich munit dans [3, part 6] le groupe d’automorphismes analytiques Aut(X) de X d’une certaine topologie totalement discontinue. Par définition de cette topologie, tout ouvert distingué de X (i.e. qui est différence de deux domaines analytiques compacts de X) est stabilisé par un sous-groupe ouvert de Aut(X). L’idée maîtresse de Berkovich dans ce contexte est que tout ouvert étale “distingué” est aussi “stabilisé” par un sous-groupe ouvert de Aut(X). Tentons d’expliquer ce que cela signifie.

Par définition, un ouvert étale (au sens de [2]) (U, f) est dit distingué s’il peut se factoriser U ⟶^{i}

\overline{U} ⟶^{f\overline{U}} X où \overline{U} est quasi-étale (au sens de [3]) et compact et i fait de U un ouvert distingué de \overline{U}. Alors d’après [3, Key Lemma 7.2.], pour un tel ouvert étale il existe un voisinage de Id_{X} dans Aut(X) et, pour tout ϕ dans ce voisinage, un isomorphisme canonique i_{ϕ} : (U, f) \underrightarrow{∼} ϕ^{−1}(U, f). En particulier, il existe un sous-groupe ouvert Aut_{U}(X) de Aut(X) et une action canonique

Aut_{U}(X) ⟶^{β_{U}} Aut(U) (B.1.2)

compatible avec f : il suffit de poser β_{U}(ϕ) : (U, f) ⟶^{i_{ϕ}} ϕ^{−1}(U, f) ⟶^{can} (U, f). C’est ce que nous entendons par la phrase “Aut_{U}(X) stabilise (U, f)”.

B.1.3 Faisceaux étales G-équivariants : Soit X un espace K-analytique et X̃_{et} le topos étale défini dans [2]. On se donne aussi un groupe discret G agissant sur X par automorphismes analytiques. Une structure G-équivariante sur un faisceau étale F ∈ X̃_{et} est la donnée d’une famille d’isomorphismes τ_{F}(h) : h_{∗}F \underrightarrow{∼} F, h ∈ G vérifiant la condition de cocycle τ_{F}(h′h) = τ_{F}(h′)∘h′_{∗}(τ_{F}(h)). Le signe = est légèrement abusif ici ; il suppose qu’on a identifié les foncteurs h′_{∗} ∘ h_{∗} et (h′h)_{∗} qui sont seulement “canoniquement isomorphes”. Le couple (F, τ_{F}) est appelé faisceau (étale) G-équivariant sur X. La catégorie évidente formée par ces faisceaux G-équivariants est un topos que l’on note X̃_{et}(G).

Maintenant, supposons que G est un groupe topologique et que le morphisme G ⟶^{act} Aut(X) est continu. Si (F, τ) est un faisceau G-équivariant, et (U, f) un ouvert étale distingué, l’action β_{U} de B.1.2 munit F(U) d’une action du sous-groupe ouvert G_{U} := act^{−1}(Aut_{U}(X)) de G. Berkovich dit alors que (F, τ) est discret si l’une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée (voir aussi [21, Part. 2]) :

– Pour tout morphisme étale U ⟶^{f} X et toute section s ∈ F(U), tout point u ∈ U admet un voisinage distingué U tel que le stabilisateur de s_{|U} dans G_{U} soit ouvert (définition qui ne dépend pas du choix de G_{U}).

– Pour tout morphisme quasi-étale \overline{U} ⟶^{f} X (voir [3, part 3]) avec \overline{U} compact, le G\overline{U}-ensemble f^{∗}F(\overline{U}) est discret (i.e. les stabilisateurs sont ouverts).

La terminologie “faisceau G-discret” de Berkovich diffère de celle de la théorie des représentations qui emploierait plutot les termes lisse ou localement constant (mais elle évite les conflits terminologiques avec la théorie des faisceaux). Lorsque la topologie de G est discrète, tout faisceau G-équivariant est G-discret.

Convention B.1.4 Nous appellerons simplement “faisceau G-équivariant” ce que Berkovich appelle “faisceau G-équivariant G-discret”, et nous appellerons “faisceau G_{disc}-équivariant” ce qui est généralement appelé “faisceau G-équivariant”.

Ces deux terminologies sont compatibles si l’on pense à G_{disc} comme à “G muni de la topologie discrète”. Les faisceaux étales G-équivariants forment un topos que nous noterons X̃_{et}(G). On a des morphismes de topos

X̃_{et} ⟶^{(ω_{X} , ind_{X})} X̃_{et}(G_{disc}) ⟶^{(ι_{X} , ∞_{X})} X̃_{et}(G).

Le foncteur ω_{X} : X̃_{et}(G_{disc}) ⟶ X̃_{et} est l’oubli de la structure équivariante et son adjoint à droite est le foncteur d’induction qui à un faisceau F associe le faisceau ∏_{g∈G} g_{∗}F muni de sa structure équivariante naturelle. Le foncteur ι_{X} : X̃_{et}(G) ⟶ X̃_{et}(G_{disc}) est le plongement pleinement fidèle “canonique” et son adjoint à droite est le foncteur de “lissification” ∞_{X} qui associe à un faisceau G_{disc}-équivariant F le faisceau ∞_{X}(F) engendré par le préfaisceau sur les ouverts étales distingués U ↦ F(U)^{∞} (où la notation F(U)^{∞} représente le sous-G_{U}-ensemble discret maximal de F(U)), muni de la structure G-équivariante induite par celle de F. En particulier, pour tout ouvert étale U ⟶ X stabilisé par un sous-groupe ouvert G_{U} de G, on a

Γ_{!}(U, ∞_{X}(F)) = Γ_{!}(U, F)^{∞}

en désignant par Γ_{!} les sections à supports compacts.

Si X ⟶^{ϕ} Y est un morphisme G-équivariant d’espaces analytiques, on a deux morphismes de topos

X̃_{et} ⟶^{(ϕ^{∗}, ϕ_{∗})} Ỹ_{et} et X̃_{et}(G_{disc}) ⟶^{(ϕ^{disc,∗}, ϕ_{∗}^{disc})} Ỹ_{et}(G_{disc}) et un carré 2-commutatif (ϕ^{disc,∗}, ϕ_{∗}^{disc})∘(ω_{X}, ind_{X}) ≃

(ω_{Y} , ind_{Y}) ∘ (ϕ^{∗}, ϕ_{∗}). Par contre le foncteur ϕ_{∗}^{disc} ne préserve pas en général le caractère discret d’une structure G-équivariante et on n’a donc pas de foncteur ϕ_{∗}^{∞} : X̃_{et}(G) ⟶ Ỹ_{et}(G) raisonnable.

Cependant, une vérification élémentaire montre que le foncteur ϕ_{!} image directe à supports propres induit un foncteur ϕ_{!}^{disc} qui préserve le caractère discret d’une structure G-équivariante et induit donc à son tour un foncteur ϕ_{!}^{∞} : X̃_{et}(G) ⟶ Ỹ_{et}(G).

Remarquons enfin que les foncteurs fibres en les points de X forment un système conservatif sur chacun des trois topos X̃_{et}, X̃_{et}(G_{disc}) et X̃_{et}(G).

B.1.5 Compatibilités cohomologiques : Fixons maintenant un anneau commutatif unitaire Λ et, pour tout topos T , notons Mod_{Λ}(T ) la catégorie des Λ-modules de T . C’est une catégorie abélienne qui possède suffisamment d’objets injectifs. On notera aussi D_{Λ}^{+}(T ) la catégorie dérivée des complexes bornés inférieurement de Mod_{Λ}(T ) et D_{Λ}^{b}(T ) la sous-catégorie triangulée des objets cohomologiquement bornés de celle-ci.

Par exemple, les objets de Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) sont les faisceaux en Λ-modules G-équivariants. Par la dernière remarque ci-dessus, une suite de morphismes dans Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) est exacte si et seulement si elle l’est dans Mod_{Λ}(X̃_{et}(G_{disc})) si et seulement si la suite de morphismes de faisceaux sous-jacente l’est.

On a les foncteurs exacts à gauche “images directes à supports propres” ϕ_{!}^{∞} : Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(Ỹ_{et}(G)) et “sections globales à support compact”

Γ_{!}^{∞}(X, −) : Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(G),

où Mod_{Λ}(G) désigne la catégorie des ΛG-modules lisses dont on note aussi D_{Λ}^{+}(G) la catégorie dérivée. La question naturelle qui se pose est de savoir si ces foncteurs ont la bonne cohomologie, c’est-à-dire celle des foncteurs usuels ϕ_{!} et Γ_{!}.

Lorsque G est discret, il n’y a pas de problème : on vérifie en effet qu’un faisceau G_{disc}-équivariant F est ϕ_{!}^{disc}-acyclique (resp. Γ_{!}^{disc}-acyclique) si et seulement si son faisceau sous-jacent ω_{X}F est ϕ_{!}-acyclique, resp. Γ_{!}-acyclique. Les isomorphismes de foncteurs ϕ_{!}∘ω_{X} ≃ ω_{Y} ∘ϕ_{!}^{disc} et Γ_{!}(X, −)∘ω_{X} ≃ ω_{pt}∘Γ_{!}^{disc}(X, −) se dérivent donc en des isomorphismes Rϕ_{!} ∘ ω_{X} ≃ ω_{Y} ∘ Rϕ_{!}^{disc} et RΓ_{!}(X, −) ∘ ω_{X} ≃ ω_{pt} ∘ RΓ_{!}^{disc}(X, −).

Dans le cas où G est topologique, on a bien-sûr des isomorphismes de foncteurs ϕ_{!}^{disc} ∘ ι_{X} ≃ ι_{Y} ∘ ϕ_{!}^{∞} et Γ_{!}^{disc}(X, −) ∘ ι_{X} ≃ ι_{pt} ∘ Γ_{!}^{disc}(X, −), mais il n’est pas vrai en général que pour tout faisceau G-équivariant F acyclique dans Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)), le faisceau sous-jacent ω_{X}ι_{X}F le soit dans Mod_{Λ}(X̃_{et}). Cependant, pour pouvoir dériver ces isomorphismes de foncteurs, il suffit de prouver que tout faisceau G-équivariant F se plonge dans un faisceau G-équivariant dont le faisceau sous-jacent est acyclique pour les foncteurs ϕ_{!} et Γ_{!}.

Pour cela, Berkovich utilise une construction de [SGA4, exp. XVII, par. 4.2] généralisant une construction bien connue de Godement dans le cadre topologique usuel. Choisissons un point géométrique au-dessus de chaque x ∈ X; les foncteurs fibres en ces points forment une famille conservative indexée par X de points du topos X̃_{et}. Par composition, on en déduit une famille conservative de points du topos X̃_{et}(G). Notons alors [X] l’ensemble X muni de la topologie discrète et Top[X] le topos associé. La famille de points ci-dessus n’est autre qu’un morphisme de topos (ν^{∗}, ν_{∗}) : Top[X] ⟶ X̃_{et}(G) et la flèche d’adjonction 1 ⟶ ν_{∗} ∘ ν^{∗} est un monomorphisme, par définition de “conservatif”. Voici le résultat crucial de Berkovich :

Proposition B.1.6 Pour tout groupe abélien G sur Top[X], le faisceau ω_{X}ι_{X}ν_{∗}(G) sous-jacent à l’objet ν_{∗}(G) de Mod_{ℤ}(X̃_{et}(G)) est acyclique pour les foncteurs Γ_{!} et ϕ_{!}.

On en déduit immédiatement

Corollaire B.1.7 On a Rϕ_{!}^{disc} ∘ ι_{X} = ι_{Y} ∘ Rϕ_{!}^{∞} et RΓ_{!}^{disc}(X, −) ∘ ι_{X} = ι_{pt} ∘ RΓ_{!}^{∞}(X, −)

Appliquant le résultat de finitude cohomologique de [2, 5.3.8] on obtient, lorsque Λ est de torsion et K est algébriquement clos, le foncteur

RΓ_{!}^{∞}(X, −) : D_{Λ}^{b}(X̃_{et}(G)) ⟶ D_{Λ}^{b}(G).

Nous noterons parfois simplement RΓ_{c}(X, −) ou même RΓ_{c} ce foncteur.

B.2 Coefficients l-adiques

L’auteur ne connait pas de formalisme l-adique complet pour les espaces analytiques, c’est-à-dire l’existence pour chaque espace analytique X d’une catégorie triangulée D_{c}^{b}(X, \overline{ℚ}_{l}) stable par les “six opérations”. Berkovich a défini des groupes de cohomologie l-adique à supports compacts pour un ℚ_{l}- faisceau “lisse” (non publié). Il a aussi montré que lorsqu’un tel faisceau est muni d’une action d’un groupe localement pro-p et que l’espace analytique est “quasi-algébrique”, alors l’action obtenue en cohomologie est lisse, voir [19, 4.1.19].

Néanmoins, ces groupes de cohomologie ne sont pas définis par des foncteurs dérivés. Or, pour le présent article, nous avons évidemment besoin d’un formalisme en catégories dérivées. Ainsi nous allons, en suivant des idées originales de Jannsen [30] reprises par Huber [27] puis Fargues [19, 4.1], attacher à un espace analytique raisonnable X muni d’une action continue d’un groupe G localement pro-p-fini, un complexe RΓ_{c}^{∞}(X, \overline{ℚ}_{l}) ∈ D^{b}(\overline{ℚ}_{l}G) canonique dans la catégorie dérivée des \overline{ℚ}_{l}G-modules lisses et qui calcule la cohomologie l-adique de X munie de l’action de G.

Notons que dans le cas qui nous intéresse pour cet article, à savoir l’action de GL_{d}(K) sur Ω_{K}^{d−1}, Harris a construit dans [20] un complexe de représentations lisses ayant la cohomologie souhaitée et l’a notamment utilisé pour définir une suite spectrale d’uniformisation. Sa construction est ad hoc et se généralise mal car elle repose sur l’existence d’un recouvrement par des ouverts distingués quasi-algébriques de nerf l’immeuble de Bruhat-Tits. Quoiqu’il en soit, il résultera des arguments qui suivent que son complexe est un représentant de notre RΓ_{c}^{∞}.

B.2.1 La définition de Berkovich : Fixons un anneau Λ de valuation discrète, complet et de caractéristique résiduelle ≠ p, dont on note 𝔪 l’idéal maximal. Soit X un espace K-analytique. Nous conviendrons ici d’appeler un système projectif (F_{n})_{n} de Λ-faisceaux sur X un “Λ-système local” si

i) ∀n ∈ ℕ, F_{n} est un faisceau étale localement constant fini en Λ/𝔪^{n}-modules.

ii) ∀m ⩾ n, F_{m} ⊗ Λ/𝔪^{n} \underrightarrow{∼} F_{n}.

Notons 𝕌(X) l’ensemble des ouverts distingués de X. Berkovich définit pour tout q ∈ ℕ

H_{c}^{q}(X, (F_{n})_{n}) := lim ; ⟶_{U∈𝕌(X)} lim ; ⟵_{n} H_{c}^{q}(U, F_{n}).

Nous poserons aussi

H_{c}^{q}(X, Λ) := H_{c}^{q}(X, (Λ/𝔪^{n})_{n}) et H_{c}^{q}(X, Q) := Q ⊗ H_{c}^{q}(X, Λ)

pour toute extension algébrique Q du corps des fractions de Λ.

B.2.2 La définition de Jannsen-Huber-Fargues : Commençons par quelques généralités : si T est un topos, on appelle Λ_{•}-module de T tout système projectif (F_{n})_{n∈ℕ} de Λ-modules de T vérifiant 𝔪^{n}F_{n} = 0 pour tout n ∈ ℕ. Ces objets, munis d’une notion évidente de morphismes, forment une catégorie abélienne Mod_{Λ_{•}}(T ) qui, par des arguments généraux sur les systèmes projectifs [30, (1.1)], possède assez d’objets injectifs. Le foncteur bête Mod_{Λ}(T ) ⟶ Mod_{Λ_{•}}(T ) qui envoie un Λ-module F sur le système des F/𝔪^{n}F admet un adjoint à droite

lim_{⟵}^{T} : Mod_{Λ_{•}}(T ) → Mod_{Λ}(T )
(F_{n})_{n∈ℕ} ↦ lim ; ⟵_{n} F_{n}

qui est donc exact à gauche. Si F est un foncteur de source Mod_{Λ}(T ), on notera F_{•} le foncteur composé F_{•} := F ∘ lim_{⟵}^{T} de source Mod_{Λ_{•}}(T ).

Dans le cas du topos X̃_{et}, les objets de Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}) seront simplement appelés “Λ_{•}-faisceaux étales sur X”. Le foncteur “sections à supports compacts”

Γ_{!,•}(X, −) := Γ_{!}(X, −) ∘ lim_{⟵}^{X} : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}) ⟶ Mod_{Λ}(·) .

est exact à gauche et on peut donc considérer son foncteur dérivé RΓ_{!,•}(X, −). Si de plus un groupe discret G agit sur X, on note Γ_{!}^{eq}(X, −) : Mod_{Λ}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(G) le foncteur des sections à supports compacts et on en déduit un foncteur Γ_{!,•}^{eq}(X, −) (parfois noté simplement Γ_{!,•}^{eq}) exact à gauche. D’après L. Fargues, on a alors :

Fait B.2.3 Avec les notations ci-dessus,

i) [19, 4.1.4] RΓ_{!,•} = RΓ_{!} ∘ Rlim_{⟵}^{X}, et de même RΓ_{!,•}^{eq} = RΓ_{!}^{eq} ∘ Rlim_{⟵}^{X(G)}, ce qui permet dans chacun des cas de calculer la cohomologie d’un système (F_{n})_{n} comme l’hypercohomologie d’un complexe de Λ-faisceaux, resp. G-équivariants.

ii) [19, lemme 4.2.6] RΓ_{!,•} ∘ ω_{X} ≃ ω_{pt} ∘ RΓ_{!,•}^{eq}. iii) [19, 4.1.9] Si (F_{n})_{n} est un Λ-système local, on a

R^{q}Γ_{!,•}(X, (F_{n})_{n}) \underrightarrow{∼} H_{c}^{q}(X, (F_{n})_{n}),

le terme de droite désignant la cohomologie définie par Berkovich. Par la troisième propriété ci-dessus, le complexe

RΓ_{!,•}^{eq}(X, (Λ/𝔪^{n})_{n}) ∈ D_{Λ}^{b}(G)

calcule la cohomologie de X à coefficients dans Λ munie de son action de G et possède de bonnes propriétés de fonctorialité (par exemple compatibilité à l’action d’un autre groupe ou de Galois). On veut maintenant adapter la construction précédente au cas où G est topologique et agit continûment sur X.

B.2.4 Actions lisses d’un groupe topologique : on suppose dorénavant que G est localement profini et agit continûment sur X. Il y a donc lieu de distinguer les topos X̃_{et}(G_{disc}) et X̃_{et}(G) comme au paragraphe B.1.3. Nous remplacerons la notation eq du paragraphe précédent par la notation disc : on a donc un foncteur

Γ_{!,•}^{disc}(X, −) : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G_{disc})) ⟶ Mod_{Λ}(G_{disc}) .

Une construction analogue fournit le foncteur exact à gauche

Γ_{!,•}^{∞}(X, −) := Γ_{!}^{∞}(X, −) ∘ lim_{⟵}^{X(G)} : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(G)

où l’on rappelle que Mod_{Λ}(G) désigne la catégorie des ΛG-modules lisses. Il faut prendre garde au fait que le morphisme canonique ι_{X} ∘ lim_{⟵}^{X(G)} ⟶ lim_{⟵}^{X(G_{disc})} ∘ ι_{X} n’est pas en général un isomorphisme. Par

contre il induit un isomorphisme lim_{⟵}^{X(G)} \underrightarrow{∼} ∞_{X} ∘ lim_{⟵}^{X(G_{disc})} ∘ ι_{X} comme on le vérifie aisément sur les définitions. De même, la transformation naturelle

Φ : ι_{·} ∘ Γ_{!,•}^{∞} ⟶ Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}

n’est pas un isomorphisme mais son adjointe

Ψ : Γ_{!,•}^{∞} ⟶ ∞ ∘ Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}

est un isomorphisme de foncteurs.

Proposition B.2.5 On suppose que G est localement pro-p.

i) La transformation naturelle Ψ induit pour tout q ∈ ℕ des isomorphismes

R^{q}Ψ : R^{q}Γ_{!,•}^{∞} ⟶ ∞ ∘ R^{q}Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}

entre foncteurs Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) ⟶ Mod_{Λ}(G). ii) Supposons X quasi-algébrique et soit (F_{n})_{n} un Λ-système local G-équivariant. Alors la transforma-

tion naturelle Φ induit un isomorphisme

RΦ((F_{n})_{n}) : ι_{pt}RΓ_{!,•}^{∞}(X, (F_{n})_{n}) ⟶ RΓ_{!,•}^{disc}(X, (ι_{X}F_{n})_{n})

En particulier, on a des isomorphismes canoniques de ΛG-modules (lisses)

R^{q}Γ_{!,•}^{∞}(X, (F_{n})_{n}) \underrightarrow{∼} H_{c}^{q}(X, (F_{n})_{n}).

iii) Sous les hypothèses précédentes on a pour m ∈ ℕ^{×} des isomorphismes canoniques

RΓ_{!,•}^{∞}(X, (F_{n})_{n}) ⊗_{Λ}^{L} Λ/𝔪^{m} \underrightarrow{∼} RΓ_{!}^{∞}(X, F_{m}).

iv) On a RΓ_{!,•}^{∞} = RΓ_{!}^{∞} ∘ Rlim_{⟵}^{X(G)}.

Avant de prouver cette proposition, introduisons les notations utilisées dans la section 4 :

Notation B.2.6 Soit Λ un anneau commutatif unitaire tel que p ∈ Λ^{×}. Si Λ est de torsion, on notera

RΓ_{c}(X, Λ) := RΓ_{!}^{∞}(X, Λ) ∈ D_{Λ}^{b}(G).

Si Λ est complet de valuation discrète, Q est une extension algébrique de Frac(Λ), et sous les hypothèse supplémentaires que X est quasi-algébrique et G localement pro-p, on pose

RΓ_{c}(X, Λ) := RΓ_{!,•}^{∞}(X, (Λ/𝔪^{n})_{n}) et RΓ_{c}(X, Q) := Q ⊗_{Λ} RΓ_{c}(X, Λ).

Le reste de cette section est consacré à la preuve de la proposition B.2.5. Nous aurons besoin du lemme technique suivant :

Lemme B.2.7 On a R(Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}) = RΓ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}.

que nous admettrons momentanément.

B.2.8 Preuve de B.2.5 i) : Admettant le lemme précédent, le problème à régler est le suivant : le foncteur de lissification ∞ n’est pas exact sur la catégorie des ΛG_{disc}-modules et “dériver” l’isomorphisme Ψ : Γ_{!,•}^{∞} \underrightarrow{∼} ∞∘Γ_{!,•}^{disc}∘ι_{X}, devrait donc faire intervenir le foncteur R∞. Ce qu’affirme le point i) qu’on veut prouver, c’est qu’il n’en est rien. La preuve est technique mais l’idée est simple : on va voir que le foncteur Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X} envoie la catégorie Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) dans une sous-catégorie ∞-acyclique de Mod_{Λ}(G_{disc}).

Pour formaliser tout ça, nous devons introduire auparavant une certaine catégorie de ΛG-modules, intermédiaire entre la catégorie lisse et la catégorie de tous les ΛG-modules.

Modules sur l’algèbre de distributions : Soit G un groupe localement pro-p et Λ un anneau tel que p ∈ Λ^{×}. Notons D_{Λ}(G), resp. H_{Λ}(G), l’algèbre de convolution des mesures, resp. mesures localement constantes, à support compact et à valeurs dans Λ sur G. L’anneau H_{Λ}(G) n’a pas d’unité mais assez d’idempotents et on sait que la catégorie des ΛG-modules lisses est canoniquement isomorphe à la catégorie des H_{Λ}(G)- modules lisses (appelés aussi non-dégénérés ou unitaux). L’anneau D_{Λ}(G) est unitaire et contient les anneaux Λ[G] et H_{Λ}(G). On a D_{Λ}(G) ∗ H_{Λ}(G) = H_{Λ}(G) de sorte que toute structure de H_{Λ}(G)-module lisse s’étend canoniquement en une structure de D_{Λ}(G)-module : en effet, si M est un H_{Λ}(G)-module lisse, m ∈ M et d ∈ D_{Λ}(G), on pose d.m := (d ∗ e).m, expression qui ne dépend pas du choix de l’idempotent e de H_{Λ}(G) fixant m. On obtient le foncteur ι_{∞}^{D} du système de foncteurs suivant :

\xymatrix{ & D_{Λ}(G) − mod \ar[dl]^{∞_{D}} \ar[dr]^{ι_{D}^{disc}} \\ Mod_{Λ}(G) \ar@{-->}[ur]^{ι_{∞}^{D}} \ar[rr]^{ι_{∞}^{disc}} &  & Mod_{Λ}(G_{disc}) \ar[ll]^{∞_{disc}}}

Les autres foncteurs ι sont des foncteurs d’oublis. Les foncteurs ∞ sont des foncteurs de lissification ; celui qui est noté ∞_{disc} est le foncteur de lissification “habituel” que nous notons ailleurs simplement ∞ et qui à un ΛG_{disc}-module associe le sous-module de ses vecteurs lisses. On définit ∞_{D} pour tout D_{Λ}(G)-module M par la formule

∞_{D}(M) := lim ; ⟶_{H⊂G} e_{H}M,

la limite étant prise sur un système de voisinages de l’unité formé de pro-p-sous-groupes ouverts, et la notation e_{H} désignant l’idempotent de H_{Λ}(G) associé à H. L’avantage d’avoir introduit la catégorie D_{Λ}(G) − mod est que le foncteur ∞_{D} y est exact. Cependant, on prendra garde au fait qu’en général, ∞_{D}(M) ≠ ∞_{disc}(ι_{D}^{disc}(M)). Néanmoins cet inconvénient sera inoffensif pour l’utilisation que nous ferons de ces objets. La motivation pour introduire l’anneau D_{Λ}(G) est la remarque suivante : soit (M_{n})_{n} un système projectif de ΛG-modules lisses. Le ΛG_{disc}-module “limite projective” lim_{⟵}M_{n} n’est en général pas lisse, mais est canoniquement muni d’une structure de D_{Λ}(G)-module. De plus on a ∞_{D}(lim_{⟵}M_{n}) =

∞_{disc}(ι_{D}^{disc}(lim_{⟵}M_{n})).

On obtient de cette manière un foncteur de la catégorie des systèmes projectifs de ΛG-modules lisses vers celle des D_{Λ}(G)-modules. En particulier, si (F_{n})_{n} est un Λ_{•}-faisceau G-équivariant, on a une structure de D_{Λ}(G)-module sur lim_{⟵} Γ_{!}^{disc}(X, ι_{X}F_{n}). Or, puisque les foncteurs de sections Γ(U, −) commutent aux

limites projectives dans X̃_{et}(G_{disc}) (comme dans X̃_{et}), on a une inclusion

Γ_{!,•}^{disc}(X, (ι_{X}F_{n})_{n}) = Γ_{!}^{disc}(X, lim_{⟵}^{X̃_{et}(G_{disc})}ι_{X}F_{n}) ⊆ lim_{⟵} Γ_{!}^{disc}(X, ι_{X}F_{n}).

Puisque les mesures de D_{Λ}(G) sont à supports compacts, le sous-ΛG-module Γ_{!}^{disc}(X, lim_{⟵}^{X̃_{et}(G_{disc})}ι_{X}F_{n}) est stable par D_{Λ}(G), de sorte qu’on obtient un foncteur

Γ_{!,•}^{D} : Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) → D_{Λ}(G) − mod
(F_{n})_{n} ↦ Γ_{!}^{disc}(X, lim ; ⟵_{n} ι_{X}F_{n})

qui “factorise” Ψ en deux isomorphismes de foncteurs :

Ψ^{D} : Γ_{!,•}^{∞} \underrightarrow{∼} ∞_{D} ∘ Γ_{!,•}^{D} et Φ_{D} : ι_{D}^{disc} ∘ Γ_{!,•}^{D} \underrightarrow{∼} Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X},

que l’on peut dériver en

RΨ^{D} : RΓ_{!,•}^{∞} \underrightarrow{∼} ∞_{D} ∘ RΓ_{!,•}^{D} et RΦ_{D} : ι_{D}^{disc} ∘ RΓ_{!,•}^{D} \underrightarrow{∼} RΓ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X},

en utilisant l’exactitude de ∞_{D} pour la première et le lemme B.2.7 pour la deuxième. Soit maintenant q ∈ ℕ, en combinant les divers isomorphismes ci-dessus on obtient

R^{q}Γ_{!,•}^{∞} \underrightarrow{∼} ∞_{D} ∘ R^{q}Γ_{!,•}^{D} ≃ ∞_{disc} ∘ ι_{D}^{disc} ∘ R^{q}Γ_{!,•}^{D} \underrightarrow{∼} ∞ ∘ R^{q}Γ_{!,•}^{disc} ∘ ι_{X}.

B.2.9 Preuve de B.2.5 ii) et iii) : Remarquons tout d’abord que d’après le point i), R^{q}Γ_{c}^{∞}(X, (F_{n})_{n}) est différent de R^{q}Γ_{c}(X, (F_{n})_{n}) dès que ce dernier n’est pas lisse pour l’action de G, ce qui est par exemple le cas pour le système (j_{!}(ℤ/l^{n}))_{n} où j est l’inclusion de Ω_{K}^{d−1} dans ℙ_{K}^{d−1}.

Cependant on sait par Berkovich (voir aussi [19, 4.1.19]) que sous l’hypothèse technique de quasialgébricité de X, cf [19, 4.1.11], et parce que nous avons supposé G localement pro-p et p ∈ Λ^{×}, l’action de G sur les groupes de cohomologie à supports compacts d’un Λ-système local G-équivariant (F_{n})_{n} est lisse. On en déduit le point ii). À partir de là, il suffit pour prouver le point iii) d’y remplacer RΓ_{!,•}^{∞} par RΓ_{!,•} et RΓ_{!}^{∞} par RΓ_{!}. Dans ce cas on trouve les arguments dans la preuve de [19, 4.1.17].

B.2.10 Preuve du lemme B.2.7 et de B.2.5 iv) : commençons par marier les techniques de Berkovich à celles de Jannsen. On utilise le morphisme de topos (ν^{∗}, ν_{∗}) : Top[X] ⟶ X̃_{et}(G) de la proposition B.1.6. Soit (F_{n})_{n} un objet de Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)). D’après [30, (1.1)], on peut choisir un plongement de ν^{∗}(F_{n})_{n} dans un objet injectif (I_{n})_{n} de Mod_{Λ_{•}}(Top[X]). Puisque [X] est un ensemble conservatif de points, on a par adjonction un plongement de (F_{n})_{n} dans ν_{∗}(I_{n})_{n} qui est un objet injectif de Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)). Or, on a

lim_{⟵}^{X(G)}(ν_{∗}(I_{n})_{n}) ≃ ν_{∗}(lim_{⟵}^{Top[X]}I_{n}).

par commutation des images directes et des produits. Ainsi, d’après la proposition B.1.6, le Λ-faisceau lim_{⟵}^{X(G)}(ν_{∗}(I_{n})_{n}) est Γ_{!}-acyclique. On a donc vérifié que le foncteur lim_{⟵}^{X(G)} envoie assez d’objets injectifs sur des objets Γ_{!}-acycliques, et on en déduit le point iv) de B.2.5.

Passons à la preuve du lemme B.2.7. Il s’agit de voir que ι_{X} envoie suffisamment d’objets de la catégorie Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) sur des objets Γ_{!,•}^{disc}-acycliques de Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G_{disc})). Soit 𝕌(X) l’ensemble des ouverts distingués de X. D’après [19, Prop. 4.1.8], on a pour tout objet (G_{n})_{n} de Mod_{Λ_{•}}(X̃_{et}(G)) et tout p > 0 une suite exacte de Λ-modules

0 ⟶ lim ; ⟶_{U∈𝕌(X)} R^{1} lim ; ⟵_{n} R^{p−1}Γ_{!}(U, ω_{X}ι_{X}G_{n}) ⟶ ω_{pt}R^{p}Γ_{!,•}^{disc}(X, (ι_{X}G_{n})_{n}) ⟶ lim ; ⟶_{U∈𝕌(X)} lim ; ⟵_{n} R^{p}Γ_{!}(U, ω_{X}ι_{X}G_{n}) ⟶ 0

de laquelle on tire que si pour tout U ∈ 𝕌(X), les faisceaux ω_{X}ι_{X}G_{n} sont tous Γ_{!}(U, −)-acycliques et le système projectif de Λ-modules (Γ_{!}(U, ω_{X}ι_{X}G_{n}))_{n} satisfait la condition de Mittag-Leffler, alors le système (ι_{X}G_{n})_{n} est Γ_{!,•}^{disc}-acyclique. Or pour un système (I_{n})_{n} construit comme dans [30, (1.1)], les applications de transitions Γ_{!}(U, ω_{X}ι_{X}I_{n}) ⟶ Γ_{!}(U, ω_{X}ι_{X}I_{m}) sont même surjectives. Un tel système (I_{n})_{n} est donc Γ_{!,•}^{disc}-acyclique.

B.3 Suites spectrales de Hochschild-Serre

Dans cette section, on s’intéresse à la situation suivante : un groupe discret G agit librement et proprement sur un K-espace analytique X. On sait alors former le quotient X/G, cf [6, lemma 4], et l’application quotient X ⟶^{p} X/G est un revêtement analytique Galoisien de groupe G. En particulier, p est donc étale. Dans ce contexte, [19, 4.4] montre que pour un “faisceau l-adique” ou sur un anneau Gorenstein fini, il existe une suite spectrale de Hochschild-Serre, c’est-à-dire du type :

E_{2}^{pq} = Ext_{G}^{p} (H_{c}^{q}(X, p^{∗}F), 1) ⇒ H_{c}^{−q−p}(X/G, F)^{∗}.

Nous avons besoin d’une interprétation en termes de catégories dérivées de cette suite spectrale. Ceci nous conduira d’ailleurs à donner une preuve différente de celle de [19, 4.4]. Le résultat principal de cette section s’énonce ainsi (les notations seront expliquées au fil de la preuve) :

Proposition B.3.1 Soit G un groupe discret agissant librement et proprement sur un K-espace analytique X et p : X ⟶ X/G le quotient. On suppose K algébriquement clos. Si Λ est un anneau de torsion première à p ou un anneau l-adique, alors il existe un isomorphisme de foncteurs D_{Λ}^{b}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ D^{−}(Λ),

resp. D_{Λ_{•}}^{b}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ D^{−}(Λ)

Φ : Λ ⊗_{Λ[G]}^{L} (RΓ_{c}^{eq}(X, p^{∗}(.))) \underrightarrow{∼} RΓ_{c}(X/G, .),

où Γ_{c} désigne le foncteur Γ_{!}, resp Γ_{!,•} des sections précédentes.

L’hypothèse sur K n’est pas incontournable : il suffirait de supposer que la dimension cohomologique des Gal(K^{ca}/K)-modules de l-torsions est bornée pour obtenir les résultats de cette section sur un anneau de l-torsion ou l-adique. Quoiqu’il en soit, avec cette hypothèse on sait que :

– H_{c}^{q}(X, F) = 0 pour q > 2 dim(X) et tout faisceau abélien de torsion, [2, 5.3.8].

– H_{c}^{q}(X, (F_{n})) = 0 pour q > 2 dim(X) + 1 pour tout Λ_{•}-faisceau étale comme en B.2.2, si Λ est un anneau l-adique, l ≠ p, [19, 4.1.9.(b)].

B.3.2 Quelques sorites :

Remarquons tout d’abord que comme l’action de G sur X/G est triviale, la catégorie Mod_{Λ}({ \atop X/G_{et}}(G)) des Λ-faisceaux G-équivariants sur X/G est équivalente à la catégorie Mod_{Λ[G]}({ \atop X/G_{et}}) des faisceaux étales en Λ[G]-modules sur X/G. Ainsi le foncteur θ : Mod_{Λ}(·) ⟶ Mod_{Λ}(G) qui munit un Λ-module de l’action triviale de G induit aussi un foncteur θ : Mod_{Λ}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ Mod_{Λ}({ \atop X/G_{et}}(G)). Ces foncteurs ont pour adjoints à gauche les foncteurs M ↦ Λ ⊗_{Λ[G]} M, resp. F ↦ Λ ⊗_{Λ[G]} F où le morphisme Λ[G] ⟶ Λ est l’augmentation habituelle. La même discussion s’applique verbatim aux catégories de Λ_{•}-modules.

Notation : pour éviter les confusions nous utiliserons les notations Γ_{c}, resp. Γ_{c}^{eq}, pour désigner le foncteur des sections à support compact lorsqu’on le voit à valeurs dans les Λ-modules, resp. dans les ΛG-modules. Par exemple, on a Γ_{c}^{eq}(X/G, θ(−)) = θ ∘ Γ_{c}(X/G, −) Les mêmes notations s’appliquent aux Λ_{•}-faisceaux et aux foncteurs Γ_{c} := Γ_{!,•} = Γ_{!} ∘ lim_{⟵}.

B.3.3 Le morphisme Φ : Comme p est un morphisme étale, le foncteur p^{∗} : { \atop X/G_{et}}(G) ⟶ X̃_{et}(G) a un adjoint à gauche exact p_{!}, voir [2, 5.4.2(ii)]. Le morphisme d’adjonction p_{!}p^{∗} ⟶ Id induit donc un morphisme de foncteurs Mod_{Λ}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ Mod_{Λ}(G)

Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θ(−)) ⟶ θ(Γ_{c}(X/G, −)).

Lorsque Λ est de torsion, par les résultats de finitude cohomologique rappelés plus haut, on peut dériver ceci en un morphisme de foncteurs D_{Λ}^{b}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ D_{Λ}^{b}(G)

RΓ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θ(.)) ⟶ θ(RΓ_{c}(X/G, .))

qui par adjonction fournit un morphisme canonique de foncteurs D_{Λ}^{b}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ D^{−}(Λ)

Φ : Λ ⊗_{Λ[G]}^{L} (RΓ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θ(.))) ⟶ RΓ_{c}(X/G, .)

Lorsque Λ est l-adique, on construit Φ de la manière suivante : on vérifie d’abord (voir preuve de [19, 4.2.7]) que pour tout morphisme étale U ⟶^{f} V et tout Λ_{•}-faisceau sur V, l’isomorphisme évident f^{∗}lim_{⟵}(F_{n}) \underrightarrow{∼} lim_{⟵}(f^{∗}(F_{n})) se dérive en un isomorphisme f^{∗}Rlim_{⟵}(F_{n}) \underrightarrow{∼} Rlim_{⟵}(f^{∗}(F_{n})). On en déduit alors un morphisme fonctoriel en (F_{n})_{n}

RΓ_{c}(V, (f^{∗}F_{n})_{n}) ≃ RΓ_{!}(V, Rlim_{⟵}(f^{∗}F_{n}))
≃ RΓ_{!}(V, f^{∗}Rlim_{⟵}(F_{n})) ⟶ RΓ_{!}(U, Rlim_{⟵}(F_{n})) = RΓ_{c}(U, (F_{n})_{n}),

la flèche du milieu étant encore induite par l’adjonction f_{!}f^{∗} ⟶ Id.

Appliquant ceci au morphisme p, et compte tenu de la finitude cohomologique rappelée plus haut, on obtient formellement de la même manière que pour les faisceaux de torsion un morphisme de foncteurs

D_{Λ_{•}}^{b}({ \atop X/G_{et}}) ⟶ D^{−}(Λ) :

Φ : Λ ⊗_{Λ[G]}^{L} (RΓ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θ(.))) ⟶ RΓ_{c}(X/G, .)

Proposition B.3.4 Dans les deux cas considérés, Φ est un isomorphisme de foncteurs.

Preuve : Nous dirons qu’un faisceau, resp. un Λ_{•}-faisceau, F sur X/G_{et} est :

– Γ_{c}-acyclique s’il est Γ_{c}(U, −)-acyclique pour tout morphisme étale U ⟶ X/G.

– Γ_{c,et}^{∨}-acyclique, resp. Γ_{c,loc}^{∨}-acyclique si pour tout morphisme surjectif \xymatrix{U \ar@{->>}[r] & V} étale, resp. localement iso, entre ouverts étales au-dessus de X/G, le complexe de Cech “dual”

\xymatrix{⋯ \ar[r] \ar[r] \ar[r] & Γ_{c}(U ×_{V} U, F) \ar[r] \ar[r] & Γ_{c}(U, F) \ar[r] & Γ_{c}(V, F) \ar[r] & 0}

est acyclique. Un morphisme U ⟶^{f} V est dit localement-iso si tout point de U admet un voisinage ouvert U tel que f_{|U} : U ⟶ f(U) est un isomorphisme. Un tel morphisme est en particulier étale.

Lemme B.3.5 Tout faisceau de torsion, resp. Λ_{•}-faisceau, sur X/G_{et} admet une résolution bornée par des faisceaux Γ_{c}-acycliques et Γ_{c,et}^{∨}-acycliques, resp. par des Λ_{•}-faisceaux Γ_{c}-acycliques et Γ_{c,loc}^{∨}-acycliques.

Laissons ce lemme de côté et commençons la preuve de la proposition. Fixons un objet F de Mod_{Λ}({ \atop X/G_{et}}) ou de Mod_{Λ_{•}}({ \atop X/G_{et}}), et soit F ↪ J^{•} une résolution bornée de F comme dans le lemme ci-dessus. Par définition on a :

RΓ_{c}(X/G, F) = Γ_{c}(X/G, J^{•}) et RΓ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θF) = Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θJ^{•})

(en remarquant que p^{∗}θ(J^{•}) est une résolution de p^{∗}θ(F) par des G-faisceaux Γ_{c}^{eq}(X, .)-acycliques). La proposition est alors une conséquence immédiate du lemme suivant :

Lemme B.3.6 Soit J un faisceau de torsion, resp Λ_{•}-faisceau, Γ_{c,loc}^{∨}-acyclique sur X/G_{et}. Alors

i) Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θJ) est un Λ[G]-module acyclique pour le foncteur Λ ⊗_{Λ[G]} −.

ii) Le morphisme canonique Λ ⊗_{Λ[G]} Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θJ) ⟶ Γ_{c}(X/G, J) est un isomorphisme.

Prouvons ce lemme. Soit U ⟶^{f} X/G un morphisme étale. Considérons le produit cartésien U ×_{X/G} X ⟶^{π_{X}} X comme un ouvert étale G-équivariant sur X en le munissant de l’action Id ×act_{X}. Le Λmodule Γ_{c}(U ×_{X/G} X, p^{∗}θF) est alors naturellement muni d’une action de G et nous noterons Γ_{c}^{eq}(U ×_{X/G} X, p^{∗}θF) pour préciser que l’on tient compte de cette action. La première projection fournit un morphisme équivariant Γ_{c}^{eq}(U ×_{X/G} X, p^{∗}θF) ⟶ θ(Γ_{c}(U, F)). Dans le cas U = X/G, ce morphisme est celui qui induit notre morphisme Φ.

Supposons maintenant que le morphisme f se factorise U ⟶^{f′} X ⟶^{p} X/G. Alors le morphisme d’espaces analytiques au-dessus de U

\begin{matrix}U × G & → & U ×_{X/G} X \\ (u, g) & ↦ & (u, g.f′(u)) \end{matrix}

est un isomorphisme G-équivariant si l’on munit U × G de l’action par translation à gauche sur le second terme, qui s’inscrit dans le diagramme :

\xymatrix{U \ar[r]^{Id ×f′} \ar[dr]_{Id ×1_{G}} & U ×_{X/G} X \ar[r]^{π_{U}} & U \\ & U × G \ar[u]^{∼} \ar[ur]_{π_{U}}} .

On en déduit, dans le cas de torsion comme dans le cas des Λ_{•}-faisceaux, un isomorphisme de Λ[G]-modules fonctoriel en F :

Λ[G] ⊗_{Λ} Γ_{c}(U, F) \underrightarrow{∼} Γ_{c}^{eq}(U ×_{X/G} X, p^{∗}θF)

qui s’inscrit dans un diagramme

\xymatrix{Γ_{c}(U, F) \ar[r]^{(Id ×f′)_{!}} \ar[dr]_{1_{G}⊗Id} & Γ_{c}^{eq}(U ×_{X/G} X, F) \ar[r]^{π_{U,!}} & θΓ_{c}(U, F) \\  & Λ[G] ⊗_{Λ} Γ_{c}(U, F) \ar[u]^{∼} \ar[ur]_{aug⊗Id}}

où le triangle de droite est G-équivariant mais pas celui de gauche en général. Remarquons que l’isomorphisme ci-dessus dépend de la section f′ de f contrairement à l’isomorphisme obtenu en composant avec le foncteur Λ ⊗_{Λ[G]} −

Γ_{c}(U, F) \underrightarrow{∼} Λ ⊗_{Λ[G]} Γ_{c}^{eq}(U ×_{X/G} X, p^{∗}θF)

qui n’est autre que l’inverse du morphisme adjoint au morphisme noté π_{U,!} dans le diagramme. Notons maintenant X^{(0)} := X/G et pour tout i > 0 définissons par récurrence

X^{(i)} := X^{(i−1)} ×_{X/G} X et p^{(i)} : X^{(i)} ⟶ X/G la projection canonique.

Appliquant la discussion précédente au morphisme étale f = p^{(i)}, on obtient pour i ⩾ 1 des isomorphismes

Λ[G] ⊗_{Λ} Γ_{c}(X^{(i)}, F) \underrightarrow{∼} Γ_{c}^{eq}(X^{(i+1)}, p^{∗}θF)

(dépendant du choix d’une projection X^{(i)} ⟶ X) et des isomorphismes

Λ ⊗_{Λ[G]} Γ_{c}^{eq}(X^{(i+1)}, p^{∗}(θF)) \underrightarrow{∼} Γ_{c}(X^{(i)}, F)

canoniques, donc en particulier compatibles aux différentes projections X^{(i)} ⟶ X^{(i−1)}.

Par ailleurs, on peut écrire le complexe de Cech “dual” d’un faisceau F sur X/G_{et} associé à un recouvrement X ×_{X/G} U ⟶^{π_{U}} U sous la forme

⋯ ⟶ Γ_{c}(X^{(i)} ×_{X/G} U, F) ⟶ Γ_{c}(X^{(i−1)} ×_{X/G} U, F) ⟶ ⋯ ⟶ Γ_{c}(X ×_{X/G} U, F) ⟶^{π_{U,!}} Γ_{c}(U, F)

où les différentielles sont données par des sommes alternées (dont la forme précise ne nous importe pas) de morphismes associés aux projections X^{(i)} ⟶ X^{(i−1)}. Ce complexe est naturel par rapport aux X/Gmorphismes V ⟶^{ϕ} U. En particulier pour V = X ⟶^{ϕ = p} U = X/G, on obtient un morphisme de complexes

\xymatrix{⋯ \ar[r] & θΓ_{c}(X^{(i)}, J) \ar[r] & ⋯ \ar[r] & θΓ_{c}(X, J) \ar[r] & θΓ_{c}(X/G, J) \\ ⋯ \ar[r] & Γ_{c}^{eq}(X^{(i+1)}, p^{∗}θJ) \ar[r] \ar[u]^{(Id ×p)_{!}} & ⋯ \ar[r] & Γ_{c}^{eq}(X^{(2)}, p^{∗}θJ) \ar[r] \ar[u]^{(Id ×p)_{!}} & Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θJ) \ar[u]^{p_{!}}}

où on a rajouté les symboles eq et θ pour tenir compte de l’action de G. Par hypothèse, le faisceau J est Γ_{c,loc}^{∨}-acyclique, de sorte que les deux lignes du diagramme ci-dessus sont exactes. D’après la discussion précédente les termes Γ_{c}^{eq}(X^{(i)}, p^{∗}θJ) pour i ⩾ 2 sont de la forme Λ[G] ⊗_{Λ} M pour un Λ-module M et sont donc acycliques pour le foncteur Λ ⊗_{Λ[G]} −. On a donc des isomorphismes dans D^{−}(Λ) :

Λ ⊗_{Λ[G]}^{L} Γ_{c}^{eq}(X, p^{∗}θJ)
≃ (⋯ ⟶ Λ ⊗_{Λ[G]} Γ_{c}^{eq}(X^{(i+1)}, p^{∗}θJ) ⟶ ⋯ ⟶ Λ ⊗_{Λ[G]} Γ_{c}^{eq}(X^{(2)}, p^{∗}θJ))
≃ (⋯ ⟶ Γ_{c}(X^{(i)}, J) ⟶ ⋯ ⟶ Γ_{c}(X, J))
≃ Γ_{c}(X/G, J).

D’où le lemme, puis la proposition.

Il reste maintenant à prouver le lemme B.3.5.

Cas Λ de torsion : dans ce cas, ceci doit être bien connu. Tronquons une résolution injective de F en degré 2 dim(X) et notons J^{•} le complexe obtenu. Comme on sait que les foncteurs Γ_{c}(U, −) pour U ouvert étale de X/G sont de dimension cohomologique ⩽ 2 dim(X), les faisceaux J^{i} sont Γ_{c}-acycliques au sens donné plus haut. Remarquons maintenant que le complexe de Cech “dual” défini plus haut associé au recouvrement étale U ⟶^{f} V n’est autre que l’image par le foncteur Γ_{c}(V, −) du complexe de faisceaux donné par :

⋯ ⟶ f_{!}^{(i+1)}f^{(i+1)}^{∗}J ⟶^{d_{i+1}} f_{!}^{(i)}f^{(i)}^{∗}J ⟶ ⋯ ⟶^{d_{1}} f_{!}f^{∗}J ⟶^{d_{0}} J

où f^{(i)} désigne la projection U ×_{V} ⋯×_{V} U ⟶ V (i facteurs) et les différentielles sont des sommes alternées des morphismes induits par les différentes projections. Ce complexe est exact comme on le vérifie aisément sur les fibres. Montrons alors que le complexe de Cech “dual” est lui aussi exact : soit n ⩾ 0, tronquons le complexe de faisceaux ci-dessus en degré −n − 2 dim(X) − 1 :

C_{−n−2 dim(X)−1} ⟶ f_{!}^{(n+2 dim(X))}f^{(n+2 dim(X))}^{∗}J ⟶ ⋯ ⟶ J ,

on obtient une résolution du premier terme C_{−n−2 dim(X)−1} par des faisceaux Γ_{c}-acycliques. En appliquant le foncteur Γ_{c}(V, −) on obtient un complexe dont la cohomologie est

H^{q} = H_{c}^{n+2 dim(X)+1+q}(V, C_{−n−2 dim(X)})

qui est nul pour q ⩾ −n. Ceci montre l’exactitude du complexe de Cech “dual” en degré −n.

Cas Λ anneau l-adique : Soit (F_{n})_{n} ∈ Mod_{Λ_{•}}(X/G_{et}). Comme auparavant, tronquons une résolution de (F_{n})_{n} par des objets injectifs de Mod_{Λ_{•}}(X/G_{et}) en degré 2 dim(X) + 1. Le complexe obtenu (J_{n})_{n}^{•} est formé de Λ_{•}-faisceaux Γ_{c}-acycliques pour la même raison que dans le cas de torsion. On sait par ailleurs que le foncteur lim_{⟵}^{X/G} est aussi de dimension cohomologique ⩽ 2 dim(X) + 1. Une façon de le voir est la suivante : en raisonnant sur les fibres on voit que

dim.coh.(lim_{⟵}^{X/G}) ⩽ sup_{U⟶X/G} dim.coh.(Γ(U, −) ∘ lim_{⟵}^{U})

et pour tout U ⟶ X/G, on a R(Γ(U, −) ∘ lim_{⟵}^{U}) = R(lim_{⟵} ∘ Γ(U, −)) = Rlim_{⟵} ∘ RΓ(U, −) où l’on sait que lim_{⟵} : Mod(Λ_{•}) ⟶ Mod(Λ) est de dimension cohomologique ⩽ 1 et que Γ(U, −) est de dimension cohomologique 2 dim(X).

Ainsi les Λ_{•}-faisceaux (J_{n})_{n}^{i} sont aussi lim_{⟵}-acycliques, et par conséquent les Λ-faisceaux (lim_{⟵}J_{n})^{i} sont Γ_{!}(U, −)-acycliques pour tout morphisme étale U ⟶ X, puisqu’on a la factorisation RΓ_{c}(U, −) = RΓ_{!}(U, −) ∘ Rlim_{⟵}. On aimerait alors conclure par le même raisonnement que dans le cas de torsion que

les Λ-faisceaux (lim_{⟵}J_{n})^{i} sont Γ_{!,et}^{∨}-acycliques (ce qui est équivalent à dire que les Λ_{•}-faisceaux (J_{n})_{n}^{i} sont Γ_{c,et}^{∨}-acycliques). Mais il nous manque la finitude cohomologique des foncteurs Γ_{!}(V, −) sur les catégories de Λ-faisceaux (Λ n’est pas de torsion).

L’auteur ne sait pas si l’assertion du lemme est vraie pour les revêtements U ⟶^{f} V étales quelconques. Mais dans le cas où f est un isomorphisme local, on peut procéder de la manière suivante. Introduisons le site V_{loc} dont les objets sont les isomorphismes locaux W ⟶ V, avec la définition habituelle d’un

recouvrement. On a des morphisme de sites évidents V_{et} ⟶^{ρ^{V}} V_{loc} ⟶^{μ^{V}} |V | où |V | est le site topologique de V. Les foncteurs μ_{∗}^{V} et μ^{V} ^{∗} induisent des équivalences réciproques de topos. Il s’ensuit que le foncteur Γ_{!}^{loc}(V, −) des sections à support compact sur Mod_{Λ}(Ṽ_{loc}) est de dimension cohomologique ⩽ dim(V) = dim(X), et ceci quel que soit l’anneau Λ.

On a une factorisation Γ_{c}(V, −) = Γ_{!}^{loc}(V, −) ∘ ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}}. Montrons maintenant que le foncteur

exact à gauche ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}} : Mod_{Λ_{•}}(Ṽ_{et}) ⟶ Mod_{Λ}(Ṽ_{loc}) est de dimension cohomologique finie : on

remarque d’abord que ρ_{∗}^{V} ∘lim_{⟵}^{V_{et}} = lim_{⟵}^{V_{loc}} ∘ρ_{∗}^{V} et que le foncteur lim_{⟵}^{V_{loc}} est de dimension cohomologique ⩽ dim(V) + 1 = dim(X) + 1 pour la même raison que plus haut. En dérivant on obtient

R(ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}}) = R(lim_{⟵}^{V_{loc}} ∘ ρ_{∗}^{V}) = Rlim_{⟵}^{V_{loc}} ∘ Rρ_{∗}^{V} ,

la seconde égalité venant de ce que ρ_{∗}^{V} envoie injectifs sur injectifs puisqu’il a un adjoint à gauche exact. Maintenant pour tout faisceau abélien étale F, et tout x ∈ V la fibre de R^{q}ρ_{∗}^{V} (F) en x est donnée comme dans [2, 4.2.4] (et avec les notations de loc. cit.)par

R^{q}ρ_{∗}^{V} (F)_{x} ≃ H^{q}(Gal(H(x)^{ca}/H(x)), F_{x}).

D’après [2, 2.5.1] et notre hypothèse K algébriquement clos, on en déduit que ρ_{∗}^{V} est de dimension cohomologique ⩽ dim(X) sur la catégorie Mod_{Λ_{•}}(Ṽ_{et}). On a donc obtenu que le foncteur ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}} est

de dimension cohomologique ⩽ 2 dim(X) + 1. Il s’ensuit que les Λ_{•}-faisceaux (J_{n})_{n}^{i} sont acycliques pour ce foncteur et par conséquent que les Λ-faisceaux ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}}(J_{n})^{i} sur V_{loc} sont Γ_{!}^{loc}(V, −)-acycliques !

À partir de là, on prouve par un raisonnement similaire au cas de torsion que les faisceaux ρ_{∗}^{V} ∘ lim_{⟵}^{V_{et}}(J_{n})^{i} sur V_{loc} sont Γ_{!,loc}^{∨}-acycliques, ce qui est encore équivalent à dire que les Λ_{•}-faisceaux (J_{n})_{n}^{i} sont Γ_{c,loc}^{∨}-acycliques au sens du lemme.

□

Corollaire B.3.7 Soit F un Λ-faisceau étale sur X/G si Λ est de torsion ou un Λ-système local si Λ est l-adique. Il existe une suite spectrale

E_{2}^{pq} = Tor_{p}^{G}(Λ, H_{c}^{q}(X, p^{∗}F)) ⇒ H_{c}^{q−p}(X/G, F).

Remarquons que lorsque Λ est un corps ou un anneau Gorenstein, ou F est l-adique, on obtient en dualisant la suite spectrale [19, 4.4.1].

Références

[1] J. Bernstein, A. Beilinson et P. Deligne. Analyse et topologie sur les espaces singuliers (I : Faisceaux Pervers). Volume 100 d’Astérisque.

[2] V.G. Berkovich. Étale cohomology for non-archimedean analytic spaces. Publ. Math. I.H.É.S, 78 :1– 159, 1993.

[3] V.G. Berkovich. Vanishing cycles for formal schemes. Invent. Math., 115 :539–571, 1994.

[4] V.G. Berkovich. The automorphism group of the Drinfeld half-space. C. R. Acad. Sci. Paris, 321 :1127–1132, 1995.

[5] V.G. Berkovich. Etale equivariant sheaves on p-adic analytic spaces. 1995.

[6] V.G. Berkovich. On the comparison theorem for etale cohomology of non-archimedean analytic spaces. Israel J. Math., 92 :45–60, 1995.

[7] V.G. Berkovich. Vanishing cycles for formal schemes II. Invent. Math., 125 :367–390, 1996.

[8] I.N. Bernstein and A.V. Zelevinski. Induced representations of reductive p-adic groups. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 10 :441–472, 1977.

[9] J. Bernstein. Le centre de Bernstein. In J. Bernstein, P. Deligne, D. Kazhdan, and M.F. Vignéras, editors, Représentations des groupes réductifs sur un corps local, Travaux en cours. Hermann, 1984.

[10] J.-F. Boutot and H. Carayol. Uniformisation p-adique des courbes de Shimura : les théorèmes de Cerednik et Drinfeld. In Courbes modulaires et courbes de Shimura, volume 196-197 d’Astérisque, pages 45–158. S.M.F, 1991.

[11] K.S. Brown. Cohomology of groups. Volume 87 des Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1982.

[12] F. Bruhat et J. Tits. Groupes Réductifs sur un corps local I. Volume 41. IHES, 1972.

[13] H. Carayol. Non-abelian Lubin-Tate theory. In L. Clozel and J.S. Milne, editors, Automorphic forms, Shimura varieties and L-functions, volume II, pages 15–39. Academic Press, 1990.

[14] J.-F. Dat. ν-tempered representations of p-adic groups I : l-adic case. to appear in Duke Math. J., 2004.

[15] P. Deligne. Théorèmes de Lefschetz et critères de dégénerescence de suites spectrales. Publ. Math. I.H.É.S, 35 :259–278, 1968.

[16] P. Deligne. Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L. In Modular functions of one variable II, number 349 in L.N.M., pages 501–597. Springer, 1972.

[17] V.G. Drinfeld. Elliptic modules. Math. U.S.S.R. Sbornik, 23 :561–592, 1974.

[18] G. Faltings. A relation between two moduli spaces studied by Drinfeld. preprint, 2001.

[19] L. Fargues. Cohomologie d’espaces de modules de groupes p-divisibles et correspondances de Langlands locale. Number ? in Astérisque. S.M.F., Paris, 2003.

[20] M. Harris. Supercuspidal representations in the cohomology of Drinfeld’s upper half space ; elaboration of Carayol’s program. Invent. Math., 129 :75–119, 1997.

[21] M. Harris. Cohomological automorphic forms on GL(n). J. Math. Kyoto Univ., 39 :299–318, 1999.

[22] M. Harris and R. Taylor. The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Number 151 in Ann. of Math. studies. Princeton Univ. Press, 2001.

[23] T. Hausberger. Uniformisation des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler et preuve de la conjecture de Drinfeld-Carayol. Ann. Inst. Fourier, ? : ?, 2004.

[24] G. Henniart. Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL(n) sur un corps p-adique. Invent. Math., 139 :439–455, 2000.

[25] G. Henniart. Sur la conjecture de Langlands locale pour GL(n). J. théorie nombres Bordeaux, 13 :167–187, 2001.

[26] G. Henniart. Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour GL(n). Bull. Soc. math. France, 130(4) :587–602, 2002.

[27] R. Huber. A comparison theorem for l-adic cohomology. Compositio Math., 112 :217–235, 1998.

[28] L. Illusie. Autour du théorème de monodromie locale. In Périodes p-adiques, number 223 in Astérisque, pages 9–57. S.M.F, 1994.

[29] T. Ito. Weight-monodromy conjecture for p-adically uniformized varieties. To appear in Invent. Math., 2003.

[30] U. Jannsen. Continuous étale cohomology. Math. Ann., 280 :207–245, 1988.

[31] G. Laumon, M. Rapoport, and U. Stuhler. D-elliptic sheaves and the Langlands correspondence. Invent. Math., 113 :217–338, 1993.

[32] G.A. Mustafin. Nonarchimedean uniformization. Math. U.S.S.R. Sbornik, 34 :187–214, 1978.

[33] S. Orlik. The cohomology of period domains for reductive groups over local fields. Preprint univ. Leipzig, 2002.

[34] S. Orlik. On extensions of generalized Steinberg representations. preprint Univ. Leipzig, 2004.

[35] M. Rapoport and T. Zink. Über die lokale Zetafunktion von Shimuravarietäten, Monodromiefiltration und verschwindende Zyklen in ungleicher Characteristik. Invent. Math., 68 :21–101, 1982.

[36] F. Rodier. Décomposition de la série principale d’un groupe réductif p-adique. Lect. Notes in Math., 880 :408–424, 1981.

[37] T. Saito. Weight spectral sequences qnd independence of l. J. Institut Math. Jussieu, 1(4), 2002.

[38] P. Schneider and U. Stuhler. The cohomology of p-adic symmetric spaces. Invent. Math., 105 :47–122, 1991.

[39] P. Schneider and U. Stuhler. Resolutions for smooth representations of p-adic GL(n). J. reine angew. Math., 436 :19–32, 1993.

[40] P. Schneider and U. Stuhler. Representation theory and sheaves on the Bruhat-Tits building. Publ. Math. I.H.É.S, 85 :97–191, 1995.

[41] M.-F. Vignéras. Représentations modulaires de GL(2, F) en caractéristique l, F corps p-adique, p ≠ l. Composito Math., 72 :33–66, 1989.

[42] M.-F. Vignéras. Cohomology of sheaves on the building and R-representations. Invent. Math., 127 :349–373, 1997.

[43] M.-F. Vignéras. Modular representations of p-adic groups and of affine Hecke algebras. I.C.M., III :667–677, 2002.

[44] M.F. Vignéras. Représentations l-modulaires d’un groupe p-adique avec l différent de p. Number 137 in Progress in Math. Birkhäuser, 1996.