Finitude pour les représentations lisses de groupes p-adiques

J.-F. Dat

2 septembre 2007

Résumé

We study basic properties of the category of smooth representations of a p-adic group G with coefficients in any commutative ring R in which p is invertible. Our main purpose is to prove that Hecke algebras are noetherian whenever R is ; this question arose naturally with Bernstein’s fundamental work [3] for R = ℂ, in which case he proved this noetherian property. In a first step, we prove that noetherianity would follow from a generalization of the so-called second adjointness property between parabolic functors, also due to Bernstein for complex representations. Then, to attack this second adjointness, we introduce and study “parahoric functors” between representations of groups of integral points of smooth integral models of G and of their “Levi” subgroups. Applying our general study to Bruhat-Tits parahoric models, we get second adjointness for minimal parabolic groups. For non-minimal parabolic subgroups, we have to restrict to classical and linear groups, and use smooth models associated with Bushnell-Kutzko and Stevens semi-simple characters. The same strategy should apply to “tame” groups, using Yu’s smooth models and generic characters.

Table des matières

1 Introduction 1

2 Décompositions à la Iwahori et induction parahorique 5

3 Commutation aux foncteurs paraboliques 12

4 Noethérianité 19

5 Modèles entiers lisses 26

6 Paraboliques minimaux, niveau zéro 37

7 Le cas de GL(N) 38

8 Groupes classiques 44

9 Groupes modérés 49

A Décomposition “par le niveau” de Mod_{R}(G) 50

1 Introduction

1.1 Le problème : Soit K un corps local non archimédien d’anneau des entiers O et de corps résiduel fini k de caractéristique p, et G un groupe algébrique réductif connexe défini sur K. On pose^{1} G := G(K). Si H est un sous-groupe ouvert compact de G, on peut former l’anneau de Hecke H(G, H) := ℤ[H\G/H] des doubles classes de H dans G. Un célèbre théorème de Bernstein [3] affirme qu’après extension des scalaires de ℤ à ℂ, ces anneaux sont noethériens. La preuve de Bernstein est très indirecte car il étudie principalement la catégorie Mod_{ℂ}(G) des représentations complexes lisses de G. Le principe fondamental qui soutient toute sa théorie est qu’une représentation irréductible supercuspidale complexe est un objet projectif (“modulo le centre”) de Mod_{ℂ}(G). Ainsi, la même preuve devrait fournir le même résultat après extension des scalaires à n’importe quel corps de caractéristique suffisamment grande (banale dans la terminologie de Vignéras [28]), mais ne fonctionnera pas pour un corps de caractéristique non-banale, sans parler du cas d’un anneau. Il est pourtant naturel de s’attendre à ce que ces anneaux de Hecke vérifient une propriété de type “théorème de Hilbert” : R noethérien ⇒ R[H\G/H] noethérien. C’est ce que nous étudions – entre autres – dans cet article, avec l’hypothèse supplémentaire que p est inversible dans R, car notre méthode aussi passe par l’étude de la catégorie Mod_{R}(G) des RG-modules lisses et que pour faire le lien avec les algèbres de Hecke, on a besoin de l’existence d’une mesure de Haar à valeurs dans R, comme dans [30, I.2].

0Classification AMS : 20E50

Bien sûr, l’intérêt de passer par la catégorie Mod_{R}(G) vient des foncteurs d’induction et restriction paraboliques qui permettent de faire des raisonnements par récurrence sur le rang semi-simple de G. Si P est un K-sous-groupe parabolique de G et M un sous-groupe de Levi de P, la réciprocité de Frobenius nous dit que la “restriction” parabolique r_{G,P}^{M} est adjointe à gauche de l’induction i_{M,P}^{G}. Dans un article non publié [2] mais bien connu des spécialistes, Bernstein a découvert (avec surprise) que pour les représentations complexes, il existe une deuxième propriété d’adjonction, entre le foncteur i_{M,P}^{G} à gauche et le foncteur δ_{P} r_{G,\overline{P}}^{M} à droite, où \overline{P} est le parabolique opposé à P par rapport à M et δ_{P} le module de P. Bushnell a publié [13] une preuve différente de cette deuxième adjonction, mais chacune de ces preuves repose de manière cruciale sur la propriété de noethérianité des algèbres de Hecke complexes.

1.2 Principaux théorèmes : Dans le présent article nous procédons en sens inverse. Dans la section 4 nous prouvons en effet, pour un anneau de coefficients R noethérien et où p est inversible, que la deuxième adjonction implique la noethérianité :

Théorème 1.3 Si pour tout sous-groupe parabolique de tout sous-groupe de Levi de G, les foncteurs paraboliques vérifient la seconde adjonction, alors la catégorie Mod_{R}(G) est noethérienne et, pour tout pro-p-sous-groupe ouvert H de G, l’algèbre de Hecke H_{R}(G, H) est noethérienne.

La preuve de ce résultat utilise les propriétés des représentations à coefficients dans des corps valués étudiées dans [16].

Dès lors, la majeure partie de cet article vise à établir la propriété de seconde adjonction. Pour cela on utilise un nouvel outil baptisé induction parahorique. Identifions l’immeuble étendu B(M, K) de M à un sous-M-espace de celui de G. Si x ∈ B(M, K), on définit un certain idempotent ε_{x,P} dans l’algèbre ℤ[\frac{1}{p}]G_{x} des ℤ[\frac{1}{p}]-distributions sur le fixateur G_{x} de x dans G, normalisé par le fixateur M_{x} de x dans M. Par produit tensoriel avec le (M_{x}, G_{x})-bimodule ε_{x,P} C_{R}^{∞}(G_{x}), on obtient des foncteurs d’induction I_{x,P} et restriction R_{x,P} entre M_{x}-modules lisses et G_{x}-modules lisses à coefficients dans R. La motivation initiale pour introduire ces foncteurs vient des relations de commutation remarquables suivantes ; dans le cas où P est minimal (cf. 6.2 ii) et 3.6), il existe des isomorphismes de foncteurs :

(1.4) ind_{G_{x}}^{G} ∘ I_{x,P} ≃ i_{M,P}^{G} ∘ ind_{M_{x}}^{M} et Res_{M}^{M_{x}} ∘ r_{G,P}^{M} ≃ R_{x,P} ∘ Res_{G}^{G_{x}}.

Notons que ceci est nouveau aussi pour R = ℂ. Nous expliquons alors en 3.9 comment la seconde adjonction (pour les sous-groupes paraboliques minimaux) découle de ces formules.

Malheureusement, il semble que ces relations de commutation entre foncteurs paraboliques et parahoriques soient spécifiques aux paraboliques minimaux. En général on introduit la notion d’idempotent P -bon de RM, cf 3.8. Il s’agit grosso-modo d’un idempotent ε pour lequel il existe un élément x de B(M, K) tel que ε ∈ RM_{x} et que les foncteurs suivants soient isomorphes (on sera plus précis dans le texte)

1De manière générale, nous noterons les K-schémas par des lettres calligraphiées et leurs K-points par les lettres ordinaires correspondantes.

ε.Res_{M}^{M_{x}} ∘ r_{G,P}^{M} ≃ ε.R_{x,P} ∘ Res_{G}^{G_{x}}.

S’il existe “suffisamment” de tels idempotents (i.e. s’ils engendrent la catégorie Mod_{R}(M)), alors d’après 3.9, la seconde adjonction est vérifiée pour P.

Reste donc à produire des familles génératrices d’idempotents P -bons. Ceci semble une tâche ardue en général, aussi difficile que la construction de strates ou types “raffiné(e)s”. Pour un groupe linéaire ou classique, nous montrons dans les sections 7 et 8 que la famille des idempotents associés aux caractères semi-simples de Stevens [26] convient. Nous devons au passage prouver des résultats apparemment nouveaux dans cette théorie (propositions 7.4 et 8.4). On obtient donc pour tout anneau de coefficients R où p est inversible :

Théorème 1.5 Soit G un groupe linéaire, classique (on suppose alors p ≠ 2), ou de rang relatif 1. Pour tout sous-groupe parabolique de tout sous-groupe de Levi, les foncteurs paraboliques associés vérifient la seconde adjonction.

Ici, par groupe “classique” on entend le groupe des automorphismes d’un espace vectoriel préservant une forme bilinéaire ou hermitienne non-dégénérée. Ces groupes sont en particulier quasi-déployés. Outre la propriété de noethérianité 1.3, on a aussi les conséquences suivantes :

Corollaire 1.6 Avec la même hypothèse sur G,

i) Pour R noethérien, les foncteurs de restriction parabolique de Jacquet préservent la Radmissibilité, cf. 3.9 i).

ii) Support uniforme : Pour tout pro-p-sous-groupe H de G il existe un sous-ensemble S_{H} de G, compact modulo le centre et indépendant de l’anneau R supportant toutes les fonctions cuspidales dans C_{R}^{c}(H\G/H), cf. 3.10.

iii) Irréductibilité générique : Si R est un corps algébriquement clos, alors pour tout sous-groupe parabolique P = MU et toute π ∈ Irr_{R}(M), la famille i_{M,P}^{G} (πψ) pour ψ : M/M^{c} ⟶ R^{×} est génériquement irréductible, cf. 4.12.

Signalons que le dernier point pour R de caractéristique non nulle n’est nouveau que lorsque K est aussi de caractéristique non nulle, cf. [16]. Quant au point ii), il peut être utile à ceux qui s’intéressent aux congruences entre formes automorphes.

L’ingrédient essentiel pour produire des idempotents P -bons est une sorte de généralisation d’un résultat de Howlett-Lehrer [20] où l’on remplace les foncteurs paraboliques des groupes de Lie finis par nos foncteurs parahoriques pour des modèles entiers de G, cf. partie 5, qui dans les applications seront les modèles de Bruhat-Tits (cas minimal) ou les modèles entiers associés aux types de Bushnell-Kutzko-Stevens (cas général pour les groupes classiques). On peut aussi appliquer cet ingrédient aux modèles entiers de Yu [32] associés à ses types “modérés” [32], voir la partie 9. Manque alors un résultat d’exhaustivité, analogue de 7.5 et 8.5. Une preuve d’une variante d’un tel résultat a été récemment donnée par Kim [21] sous l’hypothèse que p soit suffisamment grand, mais repose sur des arguments transcendants (formule de Plancherel, germes de caractères...), et il n’est pas clair que l’on puisse en tirer ce qui nous est nécessaire ici.

Enfin, on obtient aussi quelques résultats partiels sans conditions sur G; outre la seconde adjonction pour les paraboliques minimaux déjà mentionnée, on prouve la noethérianité de la sous-catégorie pleine de Mod_{R}(G) des objets “de niveau zéro”, ainsi que la seconde adjonction des foncteurs paraboliques restreints à ces sous-catégories, cf. 6.3.

1.7 Organisation de l’article : L’induction parahorique est définie dans la première section. C’est un cas particulier d’”induction” pour des groupes munis d’une décomposition d’Iwahori “abstraite”, et c’est par une discussion de cette situation générale que la section commence ; le résultat fondamental est la proposition 2.2.

La partie 3 étudie les propriétés de commutation entre foncteurs parahoriques et foncteurs paraboliques (notamment 3.6). On y dégage la notion d’idempotent P -bon, et on prouve la seconde adjonction en 3.9, sous réserve qu’il existe “suffisamment” de tels idempotents. Puis dans la partie 4, on prouve que “la seconde adjonction implique la noetherianité”.

Dans la partie 5 on considère des modèles entiers lisses de G et on étudie une version de l’induction parahorique pour ces groupes. On prouve alors un énoncé d’indépendence du sousgroupe parahorique 5.8, analogue à l’énoncé principal de [20] sur l’indépendance du sous-groupe parabolique pour l’induction parabolique des groupes finis.

Dans la partie 6, on spécialise la précédente aux modèles de Bruhat-Tits et on applique les résultats obtenus aux foncteurs paraboliques minimaux et aux représentations de niveau zéro. Dans les parties 7 et 8, on spécialise la partie 5 aux modèles entiers associés aux caractères semi-simples de Stevens, et on prouve le théorème 1.5. Dans la partie 9 on spécialise la partie 5 aux modèles entiers de Yu et à ses caractères génériques ; il ne manque qu’un résultat crucial d’exhaustivité pour en déduire la noetherianité.

Remerciements : je remercie B. Lemaire pour quelques discussions sur les strates et autres modèles entiers, S. Stevens pour quelques explications sur sa théorie, et G. Henniart pour son intérêt dans ce travail. Je remercie aussi M.-F. Vignéras pour m’avoir transmis ce problème de noetherianité, qu’elle a abordé dans [29]. Signalons aussi, outre les travaux non-publiés de Bernstein sur ce sujet (à peine évoqués dans [2, 5.4, Rk 1]) une autre approche imaginée par Bezrukavnikov, très naturelle mais qui à ma connaissance n’a pas abouti, consistant à essayer de prouver la noetherianité du gradué des algèbres de Hecke pour une certaine filtration “géométrique” [4, II-2].

1.8 Notations : Pour tout groupe localement compact totalement discontinu H et tout anneau commutatif R on note :

– C_{R}^{∞,c}(H), le R-module des fonctions localement constantes à valeurs dans R et à support compact. Une R-forme linéaire sur C_{R}^{∞,c}(H) est appelée “R-distribution sur H” et l’accouplement entre une fonction f et une distribution μ est traditionnellement noté ∫ fμ. On a un plongement du commutant End_{RH} (C_{R}^{∞,c}(H)) des translations à droite par H dans le module des R-distributions sur H, qui à un endomorphisme A associe la distribution μ définie par ∫ fμ := A(f)(1). Les distributions qui sont dans l’image de ce plongement sont dites “essentiellement compactes à droite” et sont caractérisées par la propriété que pour toute fonction f ∈ C_{R}^{∞,c}(H), la fonction μ ∗ f : h ↦ ∫ (ρ(h).f)μ est à support compact, où ρ(h) désigne la translation à droite. L’isomorphisme réciproque envoie une distribution essentiellement compacte à droite μ sur l’endomorphisme A : f ↦ μ∗f, et le produit déduit de la composition des endomorphismes est appelé “produit de convolution”.

– RH le R-module des R-distributions à support compact. Comme une telle distribution est en particulier essentiellement compacte (à droite et à gauche), le produit de convolution précédent se restreint à RH (indépendamment du côté choisi) et en fait une R-algèbre avec unité. Lorsque H est fini, on peut identifier RH à l’algèbre de groupe R[H] en envoyant une distribution μ sur la combinaison linéaire ∑_{h∈H}(∫ χ_{h}μ)h où χ_{h} est la fonction caractéristique de {h}. Lorsque H est compact, on peut choisir une base de voisinages de l’unité (H_{n})_{n∈ℕ} formée de sous-groupes normaux. La formation de RH étant covariante en H, on a un morphisme canonique RH ⟶ lim_{⟵} R[H/H_{n}] qui est un isomorphisme de R-algèbres. Enfin, si K est un sous-groupe de H, le morphisme RK ⟶ RH est injectif, et lorsque K est ouvert, le RK-module à gauche RH est libre et tout système de représentants de K\H en forme une base. Par ailleurs, l’application inverse h ↦ h^{−1} de H induit un antiautomorphisme de RH que nous noterons μ ↦ μ̌, et qui permet de passer des modules à droite aux modules à gauche.

– Mod_{R}(H) la catégorie des représentations lisses de H à coefficients dans R, dont les objets sont les R-modules munis d’une action de H telle que le stabilisateur d’un élément soit ouvert. Notons que pour tout R-module V, on a une application RH ⟶ Hom_{R}(C^{∞}(H, V), V) qui à une distribution μ associe l’application R-linéaire ∫ −μ : C^{∞}(H, V) ⟶^{rest} C^{∞}(C, V) ≃ C^{∞}(C, R) ⊗ V ⟶^{μ ⊗ Id} V où C est n’importe quel sous-ensemble compact ouvert de H contenant le support de μ. Tout objet de Mod_{R}(H) est canoniquement muni d’une action à gauche de RH donnée par μ.v := ∫ (h ↦ hv)μ. Ceci induit un plongement pleinement fidèle Mod_{R}(H) ↪ Mod(RH). S’il existe une mesure de Haar dh sur H à valeurs dans R – au sens de Vignéras [30, I.3] – alors le sous-R-module H_{R}(H) := C_{R}^{∞,c}(H)dh de RH formé des distributions localement constantes est un idéal bilatère de RH engendré par ses idempotents, et l’image essentielle de Mod_{R}(H) dans Mod(RH) s’identifie à la catégorie des modules “non-dégénérés” sur H_{R}(H).

Si K est un sous-groupe compact de H de pro-ordre inversible dans R, la mesure de Haar dk de volume total 1 sur K définit un idempotent de RH que nous noterons e_{K}. Son action sur un objet (π, V) de Mod_{R}(G) est donc donnée par e_{K}.v = ∫_{K} π(k)vdk.

Enfin, si A est un anneau, on note Z(A) son centre, on appelle A-module un module à gauche sur A, et si B est un autre anneau, on appelle (A, B)-bimodule un groupe abélien muni d’une action à gauche de A et à droite de B.

2 Décompositions à la Iwahori et induction parahorique

Au début de cette section, la lettre G ne désigne pas nécessairement un groupe réductif padique.

Définition 2.1 Soit G un groupe profini, muni de deux sous-groupes fermés U et \overline{U} normalisés par un troisième sous-groupe fermé M. Nous dirons que le triplet (U, M, \overline{U}) induit une décomposition d’Iwahori de G si :

i) L’application produit U × M × \overline{U} ⟶ G est bijective.

ii) Il existe une base (G_{i})_{i∈ℕ} de voisinages de G formée de sous-groupes ouverts normaux de la forme G_{i} = (U ∩ G_{i})(M ∩ G_{i})(\overline{U} ∩ G_{i}).

On obtient par exemple de telles décompositions lorsque \overline{U}, U, M et G sont les points entiers de groupes algébriques affines lisses \overline{U}, U, M et G définis sur un anneau complet de valuation discrète à corps résiduel fini tels que l’application produit U × M × \overline{U} ⟶ G est une immersion ouverte induisant un isomorphisme des fibres spéciales (voir aussi 5.16).

Proposition 2.2 Soit G un groupe profini muni d’une décomposition d’Iwahori G = UM\overline{U} comme ci-dessus. On suppose que M contient un sous-groupe ouvert normal M^{†} tel que l’ensemble G^{†} := UM^{†}\overline{U} soit un pro-p sous-groupe (ouvert) de G. Alors il existe une unique distribution centrale inversible z_{U,\overline{U}} ∈ Z(ℤ[\frac{1}{p}]M)^{×} telle que la distribution z_{U,\overline{U}}^{−1}e_{U}e\overline{U} soit un idempotent de l’anneau ℤ[\frac{1}{p}]G.

Preuve : Comme première conséquence de la décomposition d’Iwahori, l’application

\begin{matrix}ℤ[\frac{1}{p}]M & → & e_{U}ℤ[\frac{1}{p}]Ge\overline{U} \\ f & ↦ & e_{U}fe\overline{U} \end{matrix} (2.3)

est un isomorphisme de ℤ[\frac{1}{p}]M-modules. En effet, lorsque G est fini, l’axiome i) de 2.1 implique

que la multiplication induit un isomorphisme de ℤ[\frac{1}{p}]-modules ℤ[\frac{1}{p}][U] ⊗ ℤ[\frac{1}{p}][M] ⊗ ℤ[\frac{1}{p}][\overline{U}] \underrightarrow{∼} ℤ[\frac{1}{p}][G], et le fait que 2.3 est bijectif s’en déduit par multiplication par les idempotents e_{U} à gauche et e\overline{U} à droite. Lorsque G est profini, l’axiome ii) de 2.1 donne une présentation de G sous la forme G ≃ lim_{⟵}G/G_{i} où les G/G_{i} sont des groupes finis munis de décompositions d’Iwahori

G/G_{i} = U/(U ∩ G_{i}).M/(M ∩ G_{i}).\overline{U}/(\overline{U} ∩ G_{i}). L’application 2.3 est alors la limite projective des applications correspondantes pour les G/G_{i} et est donc un isomorphisme. Notons au passage que si G n’est pas fini, le morphisme ℤ[\frac{1}{p}]U ⊗ ℤ[\frac{1}{p}]M ⊗ ℤ[\frac{1}{p}]\overline{U} ⟶ ℤ[\frac{1}{p}]G est toujours injectif, mais pas surjectif ; son image est dense pour la topologie de la limite projective.

Par 2.3, il existe un unique élément z_{U,\overline{U}} ∈ ℤ[\frac{1}{p}]M tel que

e_{U}e\overline{U}e_{U}e\overline{U} = e_{U}z_{U,\overline{U}}e\overline{U} = z_{U,\overline{U}}e_{U}e\overline{U}.

Par unicité et puisque M normalise U et \overline{U}, cet élément est central dans ℤ[\frac{1}{p}]M. Reste à prouver qu’il est inversible. Par application de ce qui précède à G^{†}, on constate que z_{U,\overline{U}} ∈ RM^{†}, et ceci nous ramène au cas où G est un pro-p-groupe. Il nous suffit alors de prouver que pour tout i la distribution lisse z_{U,\overline{U}} ∗ e_{M∩G_{i}} est un élément inversible dans l’anneau ℤ[\frac{1}{p}][M/M ∩ G_{i}], et ceci nous ramène au cas où G est fini.

Supposons dorénavant que G est un p-groupe fini. Pour montrer que z_{U,\overline{U}} est inversible, il suffit de prouver que la multiplication à gauche par z_{U,\overline{U}} dans le ℤ[\frac{1}{p}]-module libre de type fini ℤ[\frac{1}{p}][M] a un déterminant inversible, car alors elle sera surjective et son image contiendra l’unité. Il suffit donc de montrer que pour tout corps R de caractéristique différente de p, l’image z_{U,\overline{U}}^{R} de z_{U,\overline{U}} dans R[M] est inversible.

Supposons d’abord simplement que R est une ℤ[\frac{1}{p}]-algèbre commutative et notons I_{M}^{G} le foncteur

\begin{matrix}I_{M}^{G} : Mod_{R}(M) & → & Mod_{R}(G) \\ W & ↦ & R[G]e_{U}e\overline{U} ⊗_{R[M]} W \end{matrix}

où l’on considère R[G]e_{U}e\overline{U} comme R[M]-module à droite et R[G]-module à gauche par la formule (g, m).f := gfm. L’isomorphisme 2.3 induit l’isomorphisme

\begin{matrix}R[M] & → & e_{U}R[G]e_{U}e\overline{U} \\ f & ↦ & e_{U}fe_{U}e\overline{U} \end{matrix}

puisque e_{U}f = e_{U}fe_{U}. Celui-ci induit à son tour un isomorphisme de RM-modules W \underrightarrow{∼} e_{U}I_{M}^{G} (W) pour tout W ∈ Mod_{R}(M). Par ailleurs, puisque

R[G]e_{U}R[G]e_{U}e\overline{U} = R[G]e_{U}e\overline{U},

le sous-R-module e_{U}I_{M}^{G}(W) engendre I_{M}^{G}(W) en tant que RG-module. On en déduit que I_{M}^{G} envoie indécomposables sur indécomposables. En effet, toute RG-décomposition non-triviale I_{M}^{G} (W) = I_{1} ⊕ I_{2}, induit une RM-décomposition W ≃ e_{U}I_{1} ⊕ e_{U}I_{2}, mais puisque I_{1} et I_{2} sont inclus dans le sous-RG-module engendré par e_{U}I_{1} ⊕ e_{U}I_{2}, on a e_{U}I_{1} ≠ 0 et e_{U}I_{2} ≠ 0. Il en découle encore que I_{M}^{G} envoie objets irréductibles de Mod_{R}(M) sur objets irréductibles de Mod_{R}(G). En effet, si W est irréductible, le morphisme structural R ⟶ End_{ℤ}(W) se factorise par un corps quotient \overline{R} de R, et donc I_{M}^{G} (W) est semi-simple par le lemme de Maschke. Étant indécomposable par ce qui précède, il est donc irréductible.

Maintenant, nous prétendons que l’application M-équivariante à droite et à gauche

\begin{matrix}R[M] & → & e\overline{U}R[G]e_{U}e\overline{U} \\ f & ↦ & e\overline{U}fe_{U}e\overline{U} \end{matrix}

est aussi un isomorphisme. Notons d’abord que par 2.3 elle est surjective. On en construit alors un inverse comme ceci : la restriction des fonctions R[G] ⟶ R[M\overline{U}] est une application M\overline{U}- équivariante à droite et à gauche qui induit une application M-équivariante à droite et à gauche e\overline{U}R[G]e\overline{U} ⟶ e\overline{U}R[M\overline{U}]e\overline{U} = R[M\overline{U}/\overline{U}] ≃ R[M], le dernier isomophisme étant induit par l’application m\overline{u} ↦ m. Celle-ci, multipliée par |U|, induit l’inverse cherchée, puisque si f ∈ R[M] alors (e\overline{U}fe_{U}e\overline{U})_{|M\overline{U}} = \frac{1}{|U|}fe\overline{U}, et puisque on a déja remarqué la surjectivité.

L’application précédente induit pour tout W ∈ Mod_{R}(G) un isomorphisme de RM-modules W \underrightarrow{∼} e\overline{U}I_{M}^{G} (W). En particulier pour W irréductible, le R-module e\overline{U}I_{M}^{G} (W) étant non-nul, il engendre le RG-module irréductible I_{M}^{G} (W). Ainsi le morphisme de RG-modules

R[G]e\overline{U}e_{U}e\overline{U} ⊗_{R[M]} W ⟶ R[G]e_{U}e\overline{U} ⊗_{R[M]} W. (2.4)

induit par l’inclusion R[G]e\overline{U}e_{U}e\overline{U} ⊂ R[G]e_{U}e\overline{U} est surjectif dès que W est irréductible.

Supposons maintenant que R est un corps. Comme la catégorie Mod_{R}(M) est semi-simple, le morphisme 2.4 est surjectif pour tout W ∈ Mod_{R}(M). De plus, comme tout objet de Mod_{R}(M) est projectif et donc R[M]-plat, il est aussi injectif. C’est donc un isomorphisme pour tout W, et en particulier pour W = R[M], ce qui nous fournit l’égalité

R[G]e\overline{U}e_{U}e\overline{U} = R[G]e_{U}e\overline{U}.

Ainsi, toujours sous l’hypothèse que R est un corps, il existe f ∈ R[G] telle que fe\overline{U}e_{U}e\overline{U} = e_{U}e\overline{U}. On peut choisir f telle que f = e_{U}fe\overline{U} et on peut alors écrire f = e_{U}f_{M}^{R}e\overline{U} = f_{M}^{R}e_{U}e\overline{U} avec f_{M}^{R} ∈ R[M]. On a alors f_{M}^{R}z_{U,\overline{U}}^{R}e_{U}e\overline{U} = f_{M}^{R}e_{U}e\overline{U}e_{U}e\overline{U} = e_{U}e\overline{U}. Par l’isomorphisme 2.3, ceci montre que f_{M}^{R} est un inverse de z_{U,\overline{U}}^{R} dans R[M].

□

2.5 Exemple de calcul de l’élément z_{U,\overline{U}} pour SL(2) : Nous incluons ce calcul explicite en réponse à une question de G. Henniart : on suppose que G est le pro-p-radical du sous-groupe d’Iwahori “standard” de SL(2, ℚ_{p}), c’est-à-dire le groupe formé des matrices à coefficients entiers dont la réduction modulo p est unipotente supérieure. On prend alors pour U le groupe des matrices de G qui sont unipotentes supérieures et pour \overline{U} celui des unipotentes inférieures. Pour M on prend le groupe des matrices diagonales. On a donc des isomorphismes

\begin{matrix}m : 1 + pℤ_{p} & → & M \\ z & ↦ & ( \begin{matrix}z^{−1} & 0 \\ 0 & z \end{matrix} ) \end{matrix} , \begin{matrix}u : ℤ_{p} & → & U \\ x & ↦ & ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \end{matrix} et \begin{matrix}\overline{u} : ℤ_{p} & → & \overline{U} \\ y & ↦ & ( \begin{matrix}1 & 0 \\ py & 1 \end{matrix} ) . \end{matrix}

Un calcul élémentaire montre que l’unique élément m de M tel que \overline{u}(y)u(x) ∈ Um\overline{U} est m(1+pxy). On peut alors exprimer la distribution z_{U,\overline{U}} sous la forme

z_{U,\overline{U}} = ∫_{ℤ_{p}×ℤ_{p}}(1 + pxy)dxdy,

ce qui signifie que si ϕ est une fonction lisse sur M, alors < z_{U,\overline{U}}, ϕ >= ∫_{ℤ_{p}×ℤ_{p}} ϕ(1 + pxy)dxdy où dx et dy sont les mesures de Haar normalisées. En particulier si M_{n} est l’image de 1+p^{n+1}ℤ_{p} dans M par l’isomorphisme précédemment décrit, on obtient en notant 1_{A} la fonction caractéristique d’un sous-ensemble A :

z_{U,\overline{U}} ∗ 1_{M_{n}} = ∑_{z∈ℤ/p^{n}ℤ} a(z)1_{m(1+pz)M_{n}}

où a(z) = \frac{1}{p^{2n}} #\{(x, y) ∈ ℤ/p^{n}ℤ^{2}, xy = z\}.

2.6 Foncteurs associés : On considère par la suite un groupe profini G muni d’une décomposition d’Iwahori G = UM\overline{U} satisfaisant à l’hypothèse de la proposition 2.2. Au (RG, RM)-bimodule lisse E_{U\overline{U}} := C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} est associé le couple de foncteurs adjoints (I_{U\overline{U}}, R_{U\overline{U}}) défini par :

I_{U\overline{U}} : Mod_{R}(M) → Mod_{R}(G)_{A ↦ E_{U\overline{U}} ⊗_{RM} A} et R_{U\overline{U}} : Mod_{R}(G) → Mod_{R}(M)

B ↦ Hom_{RG}(E_{U\overline{U}}, B)^{∞}

et au (RM, RG)-bimodule E′_{U\overline{U}} := e_{U}e\overline{U}C_{R}^{∞}(G) est associé le couple adjoint (R′_{U\overline{U}}, I′_{U\overline{U}}) où

I′_{U\overline{U}} : Mod_{R}(M) → Mod_{R}(G) A ↦ Hom_{RM} (E′_{U\overline{U}}, A)^{∞} et \begin{matrix}R′_{U\overline{U}} : Mod_{R}(G) & → & Mod_{R}(M) \\ B & ↦ & E′_{U\overline{U}} ⊗_{RG} B \end{matrix} .

Le signe ∞ désigne la partie lisse du RG ou RM-module concerné.

Choisissons une mesure de Haar à valeurs dans R sur G et munissons C_{R}^{∞}(G) du produit de convolution associé ; ceci permet de le faire agir sur tout objet B ∈ Mod_{R}(G) (voir le paragraphe “notations”). On introduit aussi le foncteur R_{U\overline{U}}^{∘} : B ↦ e_{U}e\overline{U}B ainsi que les transformations naturelles R_{U\overline{U}}^{∘} ⟶ R_{U\overline{U}} et R′_{U\overline{U}} ⟶ R_{U\overline{U}}^{∘} respectivement induites par les composées

e_{U}e\overline{U}B ↪ B \underrightarrow{∼} Hom_{G}(C_{R}^{∞}(G), B)^{∞} ⟶^{rest} Hom_{G}(E_{U\overline{U}}, B)^{∞}

et

E′_{U\overline{U}} ⊗_{RG} B ⟶ C_{R}^{∞}(G) ⊗_{RG} B \underrightarrow{∼} B ⟶^{e_{U} e\overline{U}} e_{U}e\overline{U}B

où les isomorphismes intermédaires sont donnés par l’action de C_{R}^{∞}(G) sur B.

Nous allons maintenant définir une transformation naturelle I_{U\overline{U}} ⟶ I′_{\overline{U}U}. Pour cela introduisons le morphisme de R(G × G)-modules

φ : \begin{matrix}C_{R}^{∞}(G) ⊗_{R} A & → & Hom_{R}(C_{R}^{∞}(G), A)^{∞} \\ f ⊗ a & ↦ & (h ↦ (h ∗ f^{∨})(1).a) \end{matrix}

où A est un R-module et f^{∨} est déduite de f par g ↦ g^{−1}. Celui-ci est un isomorphisme, un inverse étant donné en envoyant un morphisme Φ sur la fonction g ↦ Φ(g.e_{H}) ∈ C^{∞}(G, A) = C_{R}^{∞}(G)⊗_{R} A où H est n’importe quel sous-groupe ouvert compact normal de G tel que Φ soit fixe par H. Via l’inclusion C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊂ C_{R}^{∞}(G), on obtient un morphisme de R(G × M)-modules

φ_{U\overline{U}} : C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊗_{R} A ⟶ Hom_{R}(e\overline{U}e_{U}C_{R}^{∞}(G), A)^{∞}.

Si A est un RM-module, on peut considérer la composée

C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊗_{RM} A ⟶^{Tr_{M}} (C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊗_{R} A)^{M} ⟶^{φ_{U\overline{U}}} Hom_{RM} (e\overline{U}e_{U}C_{R}^{∞}(G), A)^{∞}

où Tr_{M} est l’application trace f ⊗ a ↦ ∫_{M}(ρ(m)f ⊗ ma)dm associée à une mesure de Haar dm sur M. Cette composée définit la transformation naturelle I_{U\overline{U}} ⟶ I′_{\overline{U}U} annoncée.

Corollaire 2.7 Les trois transformations naturelles ci-dessus sont des isomorphismes de foncteurs R′_{U\overline{U}} \underrightarrow{∼} R_{U\overline{U}}^{∘} \underrightarrow{∼} R_{U\overline{U}} , et I_{U\overline{U}} \underrightarrow{∼} I′_{U\overline{U}}.

Preuve : Concernant les foncteurs de “restriction”, on définit des transformations naturelles dans l’autre sens R_{U\overline{U}} ⟶ R_{U\overline{U}}^{∘} et R_{U\overline{U}}^{∘} ⟶ R′_{U\overline{U}} respectivement par

Hom_{G}(E_{U\overline{U}}, B)^{∞} ⟶^{(e_{U} e\overline{U})^{∗}} Hom_{G}(C_{R}^{∞}(G), B)^{∞} \underrightarrow{∼} B ⟶^{e_{U} e\overline{U}} e_{U}e\overline{U}B

et

e_{U}e\overline{U}B ↪ B \underrightarrow{∼} C_{R}^{∞}(G) ⊗_{RG} B ⟶^{e_{U} e\overline{U} ⊗ Id} E′_{U\overline{U}} ⊗_{RG} B.

D’après la proposition 2.2, les composées avec les morphismes précédemment définis sont égales à l’action de z_{U\overline{U}}, laquelle est inversible.

Pour l’assertion concernant I et I′, on commence par prouver l’inversibilité de φ_{U\overline{U}}. Pour cela on remarque que, par la propriété d’idempotence de z_{U\overline{U}}^{−1}e_{U}e\overline{U}, l’image de l’application ψ_{U\overline{U}} : Hom_{R}(e\overline{U}e_{U}C_{R}^{∞}(G), A) ⟶ Hom_{R}(C_{R}^{∞}(G), A) donnée par Φ ↦ (f ↦ Φ(z_{U\overline{U}}^{−1}e\overline{U}e_{U}f)) est contenue dans e_{U}e\overline{U}Hom_{R}(C_{R}^{∞}(G), A) (action à gauche de RG sur le Hom déduite de l’action à gauche de RG sur C_{R}^{∞}(G), via g ↦ g^{−1}), et que ψ_{U\overline{U}} induit un isomorphisme Hom_{R} (e\overline{U}e_{U}C_{R}^{∞}(G), A) \underrightarrow{∼} (e_{U}e\overline{U})Hom_{R}(C_{R}^{∞}(G), A) inverse de l’application de restriction. Ainsi l’inversibilité de φ_{U\overline{U}} découle de celle de φ.

Il reste à prouver l’inversibilité du morphisme trace

Tr_{M} : C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊗_{RM} A ⟶ (C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} ⊗_{R} A)^{M}.

Fixons une suite (G_{i})_{i∈ℕ} de sous-groupes de G comme dans le point ii) de 2.1 et posons G^{i} := G/G_{i}, U^{i} := U/(U ∩G_{i}), etc... Par G-équivariance de Tr_{M}, il suffit de tester l’inversibilité de sa restriction aux G_{i}-invariants pour tout i. Comme e_{G_{i}}e_{U}e\overline{U} = e_{U}e\overline{U}e_{M_{i}}, cette restriction s’identifie à un scalaire inversible près au morphisme trace usuel du groupe fini M^{i}

Tr_{M^{i}} : R[G^{i}]e_{U^{i}}e\overline{U}^{i} ⊗_{RM^{i}} A^{M_{i}} ⟶ (R[G^{i}]e_{U^{i}}e\overline{U}^{i} ⊗_{R} A^{M_{i}})^{M^{i}} .

Il ne reste plus qu’à appliquer le lemme suivant.

□

Lemme 2.8 Soit M un groupe fini et R un anneau commutatif. Pour toute paire de R[M]-modules (B, A), si B est projectif alors l’application trace

\begin{matrix}Tr_{M} : (B ⊗_{R} A)_{M} & → & (B ⊗_{R} A)^{M} \\ b ⊗ a & ↦ & ∑_{m} mb ⊗ ma \end{matrix}

est un isomorphisme de R-modules.

Preuve : Puisque la trace est fonctorielle en B et compatible aux sommes directes, on se ramène au cas où B est libre de rang 1 sur R[M]. Dans ce cas, l’application

\begin{matrix}(R[M] ⊗_{R} A)^{M} & → & (R[M] ⊗ A)_{M} \\ ∑_{m} m ⊗ a_{m} & ↦ & 1 ⊗ a_{1} \end{matrix}

est inverse de la trace. □

Remarque : avec les notations de la preuve du corollaire 2.7 et en abrégeant “infl” pour “inflation”, on peut vérifier que pour tout i le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{Mod_{R}(M^{i}) \ar[r]^{infl} \ar[d]^{I_{U^{i}\overline{U^{i}}}} & Mod_{R}(M) \ar[d]^{I_{U\overline{U}}} \\ Mod_{R}(G^{i}) \ar[r]^{infl} & Mod_{R}(G)}

On étudie maintenant la dépendance des foncteurs ci-dessus en la décomposition d’Iwahori de G :

Lemme 2.9 Soit G = V M\overline{V} une seconde décomposition d’Iwahori de G telle que G^{†} = V M^{†}\overline{V}, et “compatible” à la décomposition G = UM\overline{U}, au sens où V = (V ∩U)(V ∩\overline{U}), U = (U ∩V)(U ∩\overline{V}), \overline{V} = (\overline{V} ∩ U)(\overline{V} ∩ \overline{U}) et \overline{U} = (\overline{U} ∩ V)(\overline{U} ∩ \overline{V}). Alors l’application

\begin{matrix}C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} & → & C_{R}^{∞}(G)e_{V} e\overline{V} \\ f & ↦ & f ∗ e\overline{V} \end{matrix}

est un isomorphisme de (RG, RM)-bimodules.

Preuve : En effet, on a

e_{U}e\overline{U}e\overline{V} = e_{U}e_{V} e\overline{U}e\overline{V} = e_{U}e_{V} e\overline{V}

ce qui montre que l’application est bien définie et qu’elle est surjective puisque les inclusions

C_{R}^{∞}(G)e_{V} e\overline{V} e_{V} e\overline{V} ⊆ C_{R}^{∞}(G)e_{U}e_{V} e\overline{V} ⊆ C_{R}^{∞}(G)e_{V} e\overline{V}

sont des égalités par la proposition précédente. Elle est de plus injective, car l’application f ↦ f ∗ z_{U,\overline{U}}^{−1}e_{U}e\overline{U} en est un inverse à droite. □

Appliquons ce lemme au cas particulier V = \overline{U} et \overline{V} = U ; on obtient un isomorphisme entre les bimodules E_{U\overline{U}} et E_{\overline{U}U}, qui induit à son tour des isomorphismes de foncteurs R_{U\overline{U}} \underrightarrow{∼} R_{\overline{U}U} et I_{U\overline{U}} \underrightarrow{∼} I_{\overline{U}U}. En d’autres termes, ces foncteurs ne dépendent pas, à isomorphisme explicite près, de l’ordre entre U et \overline{U} et nous noterons simplement I_{M}^{G} := I_{U\overline{U}} et R_{G}^{M} := R_{U\overline{U}}.

Corollaire 2.10 Sous les hypothèses de la proposition 2.2 et avec les notations ci-dessus, i) Les foncteurs I_{M}^{G} et R_{G}^{M} sont adjoints des deux côtés. ii) Le morphisme de (RM, RM)-bimodules

\begin{matrix}C_{R}^{∞}(M) & → & e_{U}e\overline{U}C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U} \\ f & ↦ & e_{U}e\overline{U}fe_{U}e\overline{U} \end{matrix}

induit un isomorphisme de foncteurs Id_{Mod_{R}(M)} \underrightarrow{∼} R_{G}^{M} ∘ I_{M}^{G}.

iii) Le foncteur I_{M}^{G} envoie objets irréductibles sur objets irréductibles.

Preuve : La première assertion découle du corollaire 2.7 et du lemme précédent. Pour la deuxième assertion, il suffit de vérifier que le morphisme décrit est un isomorphisme. Or, la décomposition d’Iwahori montre qu’il est surjectif, et la propriété 2.2 de presqu’idempotence de e_{U}e\overline{U} montre qu’il est injectif. La troisième assertion a été démontrée au cours de la preuve de la proposition 2.2 dans le cas où G est fini d’ordre une puissance de p. Le cas où G est pro-p s’ensuit, par l’axiome ii) de 2.1. Dans le cas général, il faut commencer par vérifier la propriété de commutation aux foncteurs d’oublis Res_{G}^{G^{†}} ∘ I_{M}^{G} ≃ I_{M^{†}}^{G^{†}} ∘ Res_{M}^{M^{†}}. Pour cela, remarquons que, par définition, l’application qui à g associe l’unique m ∈ M tel que g ∈ Um\overline{U} induit une bijection G^{†}\G \underrightarrow{∼} M^{†}\M. Il s’ensuit que l’application C_{R}^{∞}(G^{†}) ⊗_{RM^{†}} RM ⟶ C_{R}^{∞}(G) donnée par l’action de RM à droite sur C_{R}^{∞}(G) est un isomorphisme de R(G^{†} × M)-modules qui se restreint en un isomorphisme C_{R}^{∞}(G^{†})e_{U}e\overline{U} ⊗_{RM^{†}} RM ⟶ C_{R}^{∞}(G)e_{U}e\overline{U}. Ce dernier induit à son tour un isomorphisme de foncteurs I_{M^{†}}^{G^{†}} ∘Res_{M}^{M^{†}} \underrightarrow{∼} Res_{G}^{G^{†}} ∘ I_{M}^{G}

Fixons ensuite W ∈ Mod_{R}(M) irréductible. Sa restriction à M^{†} est semi-simple et de longueur finie. Par l’isomorphisme précédent, le point iii) pour G^{†} et le point ii), on a la propriété suivante : pour tout sous-RG^{†}-module V de I_{M}^{G}(W), on a long_{RG^{†}}(V) = long_{RM^{†}}(R_{G}^{M} (V)). Ainsi, si V est un sous RG-module non-nul, alors le RM-module R_{G}^{M} (V) est non-nul et, par exactitude de R_{G}^{M}, est un sous-module de R_{G}^{M} (I_{M}^{G} (W)) ≃ W donc lui est égal. On en déduit que long_{RG^{†}}(I_{M}^{G} (W)) = long_{RG^{†}}(V) et donc V = I_{M}^{G}W. □

2.11 Induction parahorique : Reprenons les notations de l’introduction. Au K-groupe réductif G, Bruhat et Tits ont associé un immeuble affine “étendu” B(G, K), muni d’une action “affine” de G. Cet immeuble n’est défini qu’à isomorphisme près ; en fait le groupe des automorphismes affines et G-équivariants de B(G, K) s’identifie canoniquement au ℝ-espace vectoriel a_{G} := X_{∗}(Z(G))⊗ℝ, voir [12, 4.2.16].

Si M est un K-sous-groupe de Levi de G, alors la réunion des appartements de B(G, K) associés aux K-tores déployés maximaux de M est un immeuble étendu pour M relativement à K, [12, 4.2.18]. Nous le noterons donc B(M, K) ; il est muni d’une action de a_{M} commutant à M que nous noterons (x, λ) ↦ x + λ où λ ∈ a_{M} et x ∈ B(M, K).

Si x ∈ B(G, K), on note G_{x} son stabilisateur dans G; c’est un sous-groupe ouvert compact de G. La théorie de Bruhat et Tits (notre référence sera [27, 3.4]) associe à x un modèle entier lisse G_{x} de G tel que G_{x}(O) = G_{x}. Par lissité, la réduction ϖ : G_{x} = G_{x}(O) ⟶ G_{x}(k) est surjective. On pose G_{x}^{+} := ϖ^{−1}(^{u}G_{x,k}(k)) où ^{u}G_{x,k} désigne le radical unipotent de la fibre spéciale G_{x,k} de G_{x}; c’est un pro-p-sous-groupe ouvert et normal de G_{x}, parfois appelé pro-p-radical. Supposons de plus que x ∈ B(M, K) ; le même procédé que ci-dessus fournit un pro-p-radical M_{x}^{+} qui fort heureusement coïncide avec l’intersection M ∩ G_{x}^{+} (voir aussi la fin du paragraphe 5.2 pour une situation plus générale). De manière générale, pour tout sous-groupe H de G, on notera H_{x} := H ∩ G_{x} et H_{x}^{+} := H ∩ G_{x}^{+}.

Soit P = MU un K-sous-groupe parabolique et \overline{P} = M\overline{U} son opposé par rapport à M (i.e. l’unique sous-groupe parabolique de G tel que P ∩ \overline{P} = M). Si x ∈ B(M, K), on sait [12, 4.6.8] (voir aussi 5.16) que G_{x}^{+} admet une décomposition d’Iwahori G_{x}^{+} = U_{x}^{+}M_{x}^{+}\overline{U}_{x}^{+} au sens de 2.1. Il s’ensuit que le groupe G_{x,P} := G_{x}^{+}P_{x} admet la décomposition d’Iwahori U_{x}M_{x}\overline{U}_{x}^{+} et satisfait à l’hypothèse de la proposition 2.2 avec M_{x}^{+} pour M^{†}. Celle-ci nous fournit donc un élément, unique,

(2.12) z_{x,P} ∈ Z(RM_{x})^{×} tel que z_{x,P} e_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+} est un idempotent de RG_{x,P} .

On obtient aussi deux foncteurs reliant Mod_{R}(M_{x}) et Mod_{R}(G_{x}) qui sont adjoints des deux côtés : (2.13) I_{x,P} := ind_{G_{x,P}}^{G_{x}} ∘ I_{M_{x}}^{G_{x,P}} et R_{x,P} := R_{G_{x,P}}^{M_{x}} ∘ Res_{G_{x}}^{G_{x,P}}

avec les notations du corollaire 2.10.

Par un léger abus de langage que nous expliquons ci-dessous, nous dirons que G_{x,P} est un sous-groupe parahorique de G_{x}. Le foncteur I_{x,P} mérite alors le nom d’induction parahorique en ce qu’il relie les représentations de M_{x} et G_{x} en passant par le groupe parahorique G_{x,P}, comme l’induction parabolique relie les représentations de M à G en passant par P. L’innocent foncteur d’inflation des représentations de M à P est ici remplacé par le foncteur I_{M_{x}}^{G_{x,P}}. Ce dernier n’est pas si facile à définir mais partage certaines des propriétés de l’inflation : il envoie irréductibles sur irréductibles et la composée avec son adjoint est l’identité de Mod_{R}(M_{x}), cf. 2.7.

Dans la terminologie de Bruhat-Tits [12, 5.2.6], un sous-groupe parahorique de G est un sousgroupe de la forme ϖ^{−1}(P_{k}(k)), où P_{k} est un k-sous-groupe parabolique de la composante neutre de la fibre spéciale G_{x,k}^{∘}. En posant M_{x}^{∘} = ϖ^{−1}(M_{x,k}^{∘}(k)), on a une application surjective (voir aussi le paragraphe 5.18 pour une généralisation)

{K-ss-gpes paraboliques contenant M} ⟶ {k-ss-gpes paraboliques contenant M_{x,k}^{∘}}
||

{ss-gpes parahoriques de G_{x} contenant M_{x}^{∘}}

qui n’est injective que si x est un sommet hyperspécial. Dans la terminologie usuelle, le sousgroupe parahorique associé à un parabolique Q = MV s’écrit G_{x}^{+}M_{x}^{∘}V_{x}, tandis que dans cet article, nous appelons sous-groupe parahorique les sous-groupes de la forme G_{x,Q} := G_{x}^{+}M_{x}V_{x}; les deux terminologies peuvent différer mais sont “en bijection”. Quoiqu’il en soit, le petit diagramme ci-dessus montre qu’un même sous-groupe parahorique peut être associé à deux sous-groupes paraboliques contenant M différents. Malgré les apparences, nos foncteurs d’induction-restriction ne dépendent, eux, que du parahorique :

Lemme 2.14 Si Q = M.V et P = M.U sont deux sous-groupes paraboliques tels que G_{x,P} = G_{x,Q}, les foncteurs I_{x,P} et I_{x,Q} sont canoniquement isomorphes.

Preuve : D’après [27, 3.1], les décompositions d’Iwahori G_{x,P} = U_{x}M_{x}\overline{U}_{x}^{+} et G_{x,Q} = V_{x}M_{x}\overline{V} _{x}^{+} sont “compatibles” au sens du lemme 2.9. Il suffit donc d’appliquer ce lemme. □

Une fois réglé ce problème, une autre question apparaît naturellement : les foncteurs parahoriques dépendent-ils du sous-groupe parahorique considéré ? Dans le cas des groupes réductifs finis (sur 𝔽_{p}), Howlett et Lehrer ont montré dans [20] que l’induction parabolique pour les représentations à coefficients dans ℤ[\frac{1}{p}] ne dépend pas du choix du parabolique contenant un Levi donné. En s’inspirant de leur preuve, on est amené à la question suivante :

Question 2.15 Soit P = MU un K-sous-groupe parabolique de G. A-t-on pour tout x ∈ B(M, K)

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}} ∈ (ℤ[\frac{1}{p}]G_{x})e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}} et e_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+} ∈ e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}(ℤ[\frac{1}{p}]G_{x})?

Si cette question avait une réponse affirmative, alors l’application

\begin{matrix}e_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+}C^{∞}(G_{x}) & → & e_{\overline{U}_{x}}e_{U_{x}^{+}}C^{∞}(G_{x}) \\ f & ↦ & e_{\overline{U}_{x}} ∗ f \end{matrix}

serait un isomorphisme de (M_{x}, G_{x})-bimodules et induirait des isomorphismes I_{x,P} \underrightarrow{∼} I_{x,\overline{P}}. Mais l’intérêt principal de la question 2.15 apparaitra dans la prochaine section. Le seul cas où nous pouvons lui donner une réponse positive “sans restriction” est celui où P est minimal, cf. 6.2.

3 Commutation aux foncteurs paraboliques

Soit P un sous-groupe parabolique de G et P = MU une décomposition de Levi. Rappelons que le foncteur de Jacquet (ou restriction parabolique) associe à V ∈ Mod_{R}(G) le M-module lisse V_{U} := V/V (U) où V (U) := ⋃_{K⊂U} ker e_{K} où K décrit l’ensemble des sous-groupe ouverts compacts de U. On notera aussi parfois r_{G,P}^{M} ce foncteur et i_{M,P}^{G} son adjoint à droite (induction parabolique), ainsi que j_{U} : V ⟶ V_{U} la surjection canonique. Nos conventions sur les immeubles sont celles du paragraphe 2.11, et on note toujours \overline{P} = M\overline{U} le parabolique de G opposé à P par rapport à M.

Proposition 3.1 Soit P = MU un sous-groupe parabolique et y ∈ B(M, K). Soit ε un idempotent de RM_{y} et ε̃:= z_{y,P}^{−1} e_{U_{y}}e\overline{U}_{y}^{+}ε l’idempotent de RG_{y} associé. Supposons que pour tout x ∈ y + a_{M}, on a

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}ε ∈ (RG_{x})e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}ε et εe_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+} ∈ εe_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}(RG_{x}).

Alors pour tout objet V ∈ Mod_{R}(G), la projection canonique V ⟶^{j_{U}} V_{U} induit un isomorphisme ε̃V \underrightarrow{∼} εV_{U} de R-modules.

Rappelons que pour tout x ∈ y + a_{M}, on a M_{x} = M_{y} de sorte que l’idempotent ε, vu dans RG_{x}, commute aux idempotents e_{U_{x}}, e_{\overline{U}_{x}} etc...

Preuve : L’application j_{U} étant M_{y}-équivariante, elle envoie bien ε̃V dans εV_{U}. Fixons un élément z_{M} du centre de M dont l’action par conjugaison sur \overline{U}, resp. U, soit strictement contractante, resp. dilatante, c’est-à-dire que pour toute paire de sous-groupes ouverts compacts \overline{U}_{1}, \overline{U}_{2} de \overline{U}, resp U_{1}, U_{2} de U, il existe n ∈ ℕ tel que z_{M}^{n} \overline{U}_{1}z_{M}^{−n} ⊂ \overline{U}_{2}, resp. z_{M}^{n}U_{1}z_{M}^{−n} ⊃ U_{2}. L’action de z_{M} sur B(M, K) est la translation par un vecteur noté \overline{z}_{M} ∈ a_{M}. On s’intéresse au comportement de U_{x}^{(+)} et \overline{U}_{x}^{(+)} lorsque x décrit la demi-droite d’origine y et de vecteur directeur \overline{z}_{M}. On note pour cela x(t) := y + t\overline{z}_{M} pour t ∈ ℝ_{+}.

Lemme 3.2 Il existe un ensemble discret I_{y} = {0 ⩽ t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{n} < ⋯} ⊂ ℝ_{+} tel que si t ∈]t_{i}, t_{i+1}[ alors :

– U_{x(t)} = U_{x(t)}^{+} = U_{x(t_{i})} = U_{x(t_{i+1})}^{+}

– \overline{U}_{x(t)} = \overline{U}_{x(t)}^{+} = \overline{U}_{x(t_{i})}^{+} = \overline{U}_{x(t_{i+1})}

et tel que pour tout i, on a U_{x(t_{i})}^{+} ⊊ U_{x(t_{i})} et \overline{U}_{x(t_{i})}^{+} ⊊ \overline{U}_{x(t_{i})}.

Preuve : Voir [23, 6.7]. □

En particulier, les applications t ↦ U_{x(t)}^{(+)} et t ↦ \overline{U}_{x(t)}^{(+)} sont respectivement croissante et décroissante. En fait, comme z_{M} dilate U et contracte \overline{U},

Fait 3.3 On a ⋃_{t⩾0} U_{x(t)}^{(+)} = U et ⋂_{t⩾0} \overline{U}_{x(t)}^{(+)} = 1.

Soit maintenant V ∈ Mod(G), on veut montrer d’abord que ε̃V ∩V (U) = 0. Soit w un élément de cette intersection, alors par définition de V (U) et par le fait précédent, l’ensemble

{t ∈ ℝ_{+}, e_{U_{x(t)}}w = 0}

n’est pas vide. Il admet donc une borne inférieure t_{w} qui, par 3.2 (semi-continuité supérieure) lui appartient. On a alors t_{w} = 0 ou t_{w} ∈ I_{y} \{0}. Le premier cas est trivial : on obtient e_{U_{y}}w = w = 0. Dans le deuxième cas, on considère l’élément w′ = e_{U_{x(tw)}^{+}}w, alors

– w′ ≠ 0 car il existe ε > 0 tel que U_{x(t_{w})}^{+} = U_{x(t_{w}−ε)} d’après 3.2.

– w′ ∈ e_{U_{x(tw)}^{+}}e\overline{U}_{y}^{+}εV ⊂ e_{U_{x(tw)}^{+}}e_{\overline{U}_{x(tw)}}εV car \overline{U}_{x(t_{w})} ⊂ \overline{U}_{y}^{+}, toujours par 3.2.

On a donc w′ = e_{U_{x(tw)}^{+}}e_{\overline{U}_{x(tw)}}εv pour un certain v ∈ V, et e_{U_{x(tw)}}w′ = 0 par minimalité de t_{w} et 3.2 à nouveau. Or par la première hypothèse de l’énoncé de 3.1, il existe ϕ ∈ RG_{x(t_{w})} tel que ϕe_{U_{x(tw)}}w′ = w′ ce qui contredit la non-nullité de w′. On a donc obtenu l’injectivité de la restriction de j_{U} à ε̃V.

Pour la surjectivité, fixons v ∈ V et remarquons que pour t assez grand, précisément lorsque e\overline{U}_{x(t)}^{+}v = v, l’élément e\overline{U}_{x(t)}^{+}v de V a la même image que v dans V/V (U). On a donc V_{U} =

∪_{t∈ℝ_{+}}j_{U}(e\overline{U}_{x(t)}^{+}V). En conséquence, si on fixe maintenant w ∈ εV_{U}, l’ensemble

J_{w} := \{t ∈ ℝ_{+}, w ∈ j_{U}(e\overline{U}_{x(t)}^{+}ε V)\}

est non vide et admet une borne inférieure t_{w} qui comme précédemment appartient à J_{w} et à I_{y}. Supposons t_{w} ≠ 0 et fixons v ∈ V tel que j_{U}(e\overline{U}_{x(tw)}^{+}εv) = w. D’après notre deuxième hypothèse, il existe f ∈ RG_{x(t_{w})} telle que e_{U_{x(tw)}}e\overline{U}_{x(tw)}^{+}ε = e_{U_{x(tw)}}e_{\overline{U}_{x(tw)}}εf. Il s’ensuit que

w = j_{U}(e_{U_{x(tw)}}e\overline{U}_{x(tw)}^{+}εv) = j_{U}(e_{U_{x(tw)}}e_{\overline{U}_{x(tw)}}εfv) = j_{U}(e_{\overline{U}_{x(tw)}}εfv)

ce qui contredit la minimalité de t_{w}, car \overline{U}_{x(t_{w})}^{+} ⊊ \overline{U}_{x(t_{w})} = \overline{U}_{x(t_{w}−ε)}^{+}, pour ε assez petit. On en déduit que t_{w} = 0, donc εV_{U} = j_{U}(e\overline{U}_{y}^{+}εV) = j_{U}(ε̃V). □

Il ressort de cette preuve que la première hypothèse de 3.1 assure l’injectivité de j_{U} : ε̃V ⟶ εV_{U} tandis que la seconde hypothèse implique sa surjectivité.

Remarque 3.4 Comme cas particulier de la proposition précédente, et sous les mêmes hypothèses, l’application

\begin{matrix}C_{R}^{∞,c}(G) & → & C_{R}^{∞,c}(G/U) \\ f & ↦ & (g ↦ ∫_{U} f(gu)du) \end{matrix}

induit un isomorphisme C_{R}^{∞,c}(G)ˇε̃ \underrightarrow{∼} C_{R}^{∞,c}(G/U)ε̌ de RG-modules. (Rappelons que le ˇ désigne l’anti-involution de l’algèbre de distributions d’un groupe induite par le passage à l’inverse).

En effet, l’application f ↦ (g ↦ ∫_{U} f(gu)du) se factorise par la projection sur les U-coinvariants (pour l’action de U par translation à droite) et induit un isomorphisme C_{R}^{∞,c}(G)_{U} \underrightarrow{∼} C_{R}^{∞,c}(G/U).

3.5 Transformations naturelles : Comme précédemment, on fixe un sous-groupe parabolique P = MU et un point x ∈ B(M, K). La famille des applications canoniques j_{U}(V) : e_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+}V ⟶ V_{U} pour V objet de Mod_{R}(G) définit une transformation naturelle

R_{x,P} ∘ Res_{G}^{G_{x}} ⟶ Res_{M}^{M_{x}} ∘ r_{G,P}^{M} .

Nous allons maintenant définir aussi une transformation naturelle

ind_{G_{x}}^{G} ∘ I_{x,P} ⟶ i_{M,P}^{G} ∘ ind_{M_{x}}^{M}.

Soit (τ_{x}, V_{τ_{x}}) un objet de Mod_{R}(M_{x}) et explicitons :

i_{M,P}^{G} (ind_{M_{x}}^{M} (τ_{x})) := \{ \begin{matrix}fonctions lisses f : G ⟶ V_{τ_{x}} à support compact modulo U \\ t.q. ∀u ∈ U, ∀m ∈ M_{x}, τ_{x}(m)f(gum) = f(g) \end{matrix} \}
≃ (C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{R} V_{τ_{x}})^{M_{x}}

où M_{x} agit sur le produit tensoriel par ρ ⊗ τ_{x} (avec ρ la translation à droite des fonctions). Explicitons aussi

ind_{G_{x}}^{G} ∘ I_{x,P} (τ_{x}) ≃ C_{R}^{∞,c}(G) ⊗_{RG_{x}} I_{x,P} (τ_{x})
≃ C_{R}^{∞,c}(G)e\overline{U}_{x}^{+}e_{U_{x}} ⊗_{RM_{x}} τ_{x}

où le premier isomorphisme est donné par [30, I.5.2.c)] et le second s’ensuit par l’expression I_{x,P} (τ_{x}) = C_{R}^{∞}(G_{x})e\overline{U}_{x}^{+}e_{U_{x}} ⊗_{RM_{x}} τ_{x} donnée par le lemme 2.9. La transformation naturelle cherchée est définie par la composée

C_{R}^{∞,c}(G)e\overline{U}_{x}^{+}e_{U_{x}} ⊗_{RM_{x}} τ_{x} \underrightarrow{∫_{U}} C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{RM_{x}} τ_{x}
= (C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{R} τ_{x})_{M_{x}} ⟶^{Tr_{Mx}} (C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{R} τ_{x})^{M_{x}}

où l’application ∫_{U} est donnée par la moyennation à droite le long de U sur le premier facteur (comme dans la remarque 3.4), l’action de M_{x} sur le troisième terme est donnée par ρ ⊗ τ_{x}, et le symbole Tr_{M_{x}} désigne l’action (relative à un choix de mesure de Haar sur M_{x}) de la fonction 1_{M_{x}} ∈ C_{R}^{∞}(M_{x}) sur C_{R}^{∞,c}(G/U)⊗_{R}τ_{x}, laquelle action se factorise par les M_{x}-coinvariants et aboutit dans les M_{x}-invariants.

Reprenons maintenant les notations de la proposition 3.1 et notons Mod(εRM_{x}ε) la catégorie des modules sur l’anneau εRM_{x}ε = εRM_{y}ε, où x ∈ y + a_{M}. On a la paire de foncteurs

\begin{matrix}T_{ε} : Mod(εRM_{x}ε) & → & Mod_{R}(M_{x}) \\ B & ↦ & C_{R}^{∞}(M_{x})ε ⊗_{εRM_{x}ε} B \end{matrix} et \begin{matrix}ε : Mod_{R}(M_{x}) & → & Mod(εRM_{x}ε) \\ V & ↦ & ε.V \end{matrix} .

Corollaire 3.6 Sous les mêmes hypothèses que la proposition 3.1, pour tout x ∈ y + a_{M}, les transformations naturelles définies ci-dessus induisent des isomorphismes de foncteurs

i) ε.R_{x,P} ∘ Res_{G}^{G_{x}} \underrightarrow{∼} ε.Res_{M}^{M_{x}} ∘ r_{G,P}^{M}, et

ii) ind_{G_{x}}^{G} ∘ I_{x,P} ∘ Tε̌ \underrightarrow{∼} i_{M,P}^{G} ∘ ind_{M_{x}}^{M} ∘ Tε̌

Preuve : Vue la définition de la transformation naturelle du point i), l’assertion de ce point i) découle de la proposition 3.1 appliquée à x au lieu de y (l’hypothèse de 3.1 est en effet “invariante” par translation sous a_{M}).

Le deuxième point ne se déduit pas formellement du premier par adjonction. Montrons tout d’abord que l’application Tr_{M_{x}} définie au-dessus est un isomorphisme. Comme cette application commute aux sommes directes, on peut supposer τ_{x} de type fini et choisir un pro-p-sous-groupe ouvert normal M_{x,r} de M_{x} dans le noyau de τ_{x} et dont on note \overline{M_{x}} := M_{x}/M_{x,r} le quotient. On a alors une factorisation Tr_{M_{x}} = Tr\overline{M_{x}} ∘ Tr_{M_{x,r}}. Puisque M_{x,r} est pro-p et p est inversible dans R, Tr_{M_{x,r}} est un isomorphisme, et on a

Tr_{M_{x,r}} : (C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{R} τ_{x})_{M_{x,r}} \underrightarrow{∼} (C_{R}^{∞,c}(G/U) ⊗_{R} τ_{x})^{M_{x,r}} ≃ C_{R}^{∞,c}(G/UM_{x,r}) ⊗_{R} τ_{x}.

On est donc ramené à étudier la trace sous le groupe fini \overline{M_{x}}. D’après le lemme 2.8, il nous suffira de prouver que le R[\overline{M_{x}}]-module C_{R}^{∞,c}(G/UM_{x,r}) est projectif. Fixons un sous-groupe ouvert compact H de G et décomposons ce dernier en la somme directe des R[\overline{M_{x}}]-sous-modules

C_{R}^{∞,c}(HgUM_{x}/UM_{x,r})

pour g décrivant H\G/UM_{x}. Fixons alors g, et choisissons une suite décroissante et d’intersection triviale (H_{n})_{n∈ℕ} de pro-p-sous-groupes ouverts et normaux dans H assez petits pour que g^{−1}H_{i}g∩ UM_{x} ⊂ UM_{x,r} pour tout i. Alors, pour tout i, l’action de \overline{M_{x}} sur l’ensemble H_{i}\HgUM_{x}/UM_{x,r} est libre, et donc le R[\overline{M_{x}}]-module B_{i} := R[M_{x,r}U\M_{x}UgH/H_{i}] est libre et en particulier projectif. Comme H_{i} est pro-p, l’inclusion B_{i} ↪ B_{i+1} est scindée sur R[\overline{M_{x}}] pour tout i, donc la limite inductive lim ; ⟶_{i} B_{i} = C_{R}^{∞,c}(M_{x,r}U\M_{x}UgH) est aussi un R[\overline{M_{x}}]-module projectif.

Montrons maintenant que si τ_{x} est de la forme Tε̌(B) pour un ε̌RM_{x}ε̌-module B, alors le morphisme ∫_{U} est un isomorphisme. En effet, ce morphisme s’identifie à la moyennation le long de U à droite sur le premier facteur :

C_{R}^{∞,c}(G)e\overline{U}_{x}^{+}e_{U_{x}} ε̌⊗_{ε̌RM_{x}ε̌} B \underrightarrow{∫_{U}} C_{R}^{∞,c}(G/U)ε̌⊗_{ε̌RM_{x}ε̌} B,

laquelle est un isomorphisme d’après la remarque 3.4. Ceci achève la preuve du point ii). □

Avant d’énoncer le corollaire suivant, rappelons un peu d’abstract nonsense :

Lemme 3.7 Soit H un groupe localement p-profini et E une famille d’idempotents de RH. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) C_{R}^{∞,c}(H) = ∑_{ε∈E} C_{R}^{∞,c}(H)ε̌.

ii) Pour tout objet W de Mod_{R}(H) on a ∑_{ε∈E} εW = W. Elles impliquent les propriétés équivalentes suivantes : iii) H_{R}(H) = ∑_{ε∈E} H_{R}(H)ε̌H_{R}(H), iv) Pour tout objet W de Mod_{R}(H) non-nul, il existe ε ∈ E tel que ε̌W ≠ 0,

et leur sont équivalentes si E est de plus stable par conjugaison. Elles impliquent aussi la propriété

v) La famille de RH-modules lisses C_{R}^{∞,c}(H)ε̌ engendre la catégorie Mod_{R}(H), et lui sont équivalentes si, en plus de la stabilité par conjugaison, tout ε ∈ E est à support dans un sous-groupe compact. Lorsqu’elles sont vérifiées, on dira que E est une famille génératrice d’idempotents de RH.

Preuve : L’équivalence entre i) et ii) vient de ce qu’en appliquant l’application inverse de M au point i), on obtient l’égalité C_{R}^{∞,c}(M) = ∑_{ε∈E} εC_{R}^{∞,c}(M) qui est à la fois un cas particulier et le cas universel de ii). Les implications i) ⇒ iii) ⇒ iv) sont immédiates une fois qu’on a remarqué que pour tout W ∈ Mod_{R}(H) on a H_{R}(H)W = W. De plus on obtient iv) ⇒ iii) en appliquant iv) à W := H_{R}(H)/(∑_{ε∈E} H_{R}(H)ε̌H_{R}(H).

Pour l’implication iv) ⇒ v), puisque les C_{R}^{∞,c}(H)ε̌ sont projectifs, ils engendrent Mod_{R}(H) si pour tout objet non-nul W on peut trouver ε tel que Hom_{H} (C_{R}^{∞,c}(H)ε̌, W) ≠ 0. Or on a une injection ε̌W ↪ Hom_{H} (C_{R}^{∞,c}(H)ε̌, W) qui envoie w sur f ↦ fw. Réciproquement, supposons v), fixons W et choisissons ε ∈ E et A non-nul dans Hom_{H} (C_{R}^{∞,c}(H)ε̌, W). Si le support de ε est inclus dans un sous-groupe compact, il existe K ⊂ H compact ouvert tel que e_{K}ε = εe_{K} et A(e_{K} ε̌) ≠ 0. Mais alors A(e_{K} ε̌) ∈ ε̌W^{K} donc ε̌W ≠ 0. Ainsi, v) ⇒ iv) sous l’hypothèse que chaque ε a un support contenu dans un sous-groupe compact. Enfin, puisque H_{R}(H)ε̌H_{R}(H) = ∑_{h∈H} H_{R}(H)ε̌δ_{h} = ∑_{h∈H} H_{R}(H)ε̌^{h}, on voit que si E est stable par conjugaison alors iii) ⇒ i). □

L’exemple le plus simple de famille génératrice est le singleton {1}.

Définition 3.8 Soit P = MU un sous-groupe parabolique. Un idempotent ε de RM sera dit P -bon s’il existe y_{ε} ∈ B(M, K) tel que ε ∈ RM_{y_{ε}} et les hypothèses de la proposition 3.1 sont vérifiées.

Remarquons que si ε est un idempotent P -bon, alors ε̌ est \overline{P} -bon.

Pour le corollaire suivant, une RG-représentation lisse V est dite admissible si pour tout sousgroupe ouvert H, le R-module V^{H} des invariants sous H est de type fini.

Corollaire 3.9 Soit P = MU un sous-groupe parabolique. Supposons qu’il existe une famille génératrice E d’idempotents P -bons de RM. Alors

i) Propriétés de finitude : l’induction parabolique i_{M,P}^{G} respecte la propriété d’être de type fini, et la restriction parabolique r_{G,P}^{M} celle d’être admissible. De plus, pour tout pro-p-sous-

groupe ouvert H de G admettant une (P, \overline{P})-décomposition, l’application canonique V^{H} ⟶^{j_{U}} r_{G,P}^{M} (V)^{H∩M} est surjective.

ii) Seconde adjonction : le foncteur δ_{P}^{−1}r_{G,P}^{M} est adjoint à droite du foncteur i_{M,\overline{P}}^{G} d’induction par rapport au parabolique opposé \overline{P} tordu par le module. De plus, pour tout objet V de Mod_{R}(G), on a r_{G,P}^{M} V = 0 si et seulement si r_{G,\overline{P}}^{M} V = 0.

Preuve : Remarquons pour commencer, que si une telle famille E existe, alors on peut en déduire une autre, génératrice aussi, et dont les éléments sont des idempotents lisses, i.e. dans H_{R}(M) : en effet, si ε ∈ E et M_{y_{ε},r} est un pro-p-sous-groupe ouvert normal de M_{y_{ε}}, alors ε commute à e_{M_{yε,r}} (qui est central dans RM_{y_{ε}}) et le produit εe_{M_{yε,r}} est donc un idempotent lisse. La famille obtenue en prenant pour chaque ε une base de voisinages de l’unité formée de tels sous-groupes ouverts normaux dans M_{y_{ε}} est génératrice et satisfait à l’hypothèse de l’énoncé. Nous supposerons désormais que les idempotents de E sont lisses.

Soit ε ∈ E et ε̃ l’idempotent de RG_{y_{ε}} associé. Par construction cet idempotent est lisse dans RG puisque ε l’est dans RM. Il s’ensuit que la représentation C_{R}^{∞,c}(G)ˇε̃ est de type fini, puisque quotient d’une représentation du type C_{R}^{∞,c}(G/H) pour H ouvert compact. Or, d’après le corollaire 3.6 ii) appliqué au ε̌RM_{y_{ε}} ε̌-module libre de rang 1, on a

i_{M,P}^{G} (C_{R}^{∞,c}(M)ε̌) ≃ C_{R}^{∞,c}(G)ˇε̃,

de sorte que l’induite parabolique de la représentation C_{R}^{∞,c}(M)ε̌ est de type fini. D’après notre hypothèse et 3.7 v), la famille des C_{R}^{∞,c}(M)ε̌ est génératrice dans la catégorie Mod_{R}(M). Puisque l’induction parabolique est un foncteur exact, on en déduit qu’elle envoie objets de type fini sur objets de type fini.

Pour montrer l’”admissibilité” de la restriction parabolique, il suffit bien-sûr de prouver la dernière assertion du point i). Fixons donc H = (H ∩ \overline{U})H_{M}(H ∩ U) un pro-p-sous-groupe ouvert de G. On veut montrer que la restriction de j_{U} à V^{H} ⟶ (V_{U})^{H_{M}} est surjective. Par définition des U-coinvariants il suffit de prouver la surjectivité de V^{H_{M} (H∩\overline{U})} ⟶ (V_{U})^{H_{M}}, et puisque les H_{M}- invariants s’obtiennent comme image de l’action de l’idempotent e_{H_{M}}, il suffit encore de prouver la surjectivité de V^{H∩\overline{U}} ⟶ V_{U}. Pour cela, en vertu de 3.7 ii), il suffit de voir que pour tout ε ∈ E, l’image j_{U}(V^{H∩\overline{U}}) contient εV_{U}. Choisissons alors y_{ε} tel que \overline{U}_{y_{ε}}^{+} ⊃ H ∩ \overline{U}. On a

j_{U}(V^{H∩\overline{U}}) ⊃ j_{U}(e\overline{U}_{yε}^{+} V) ⊃ j_{U}(ε̃V) = εV_{U},

d’où la surjectivité recherchée.

Venons-en maintenant à la propriété de seconde adjonction. En déroulant la définition du foncteur d’induction parabolique, on peut en trouver un adjoint à droite. Ceci est dû à Bernstein [2] et nécessite sa notion de “complétion” : pour W ∈ Mod_{R}(G) on définit sa complétion Ŵ par

Ŵ := Hom_{G}(H_{R}(G), W)

Le R-module obtenu Ŵ est muni de la structure de RG-module (à gauche) déduite de la structure de RG-module à droite sur H_{R}(G) donnée par produit à droite. L’action de G sous-jacente n’est en général pas lisse. Dans l’autre sens on a un foncteur “lissification” Mod(RG) ⟶ Mod_{R}(G) qui à un RG-module V associe le sous-module des vecteurs lisses V^{∞}. Notons que l’application (f ⊗ v) ∈ (H_{R}(G) ⊗_{RG} V) ↦ fv ∈ V^{∞} est un isomorphisme de RG-modules, sont un inverse est donné en envoyant v ∈ V^{∞} sur e_{H} ⊗ v pour n’importe quel H ouvert pro-p tel que v ∈ V^{H}.

Le foncteur “complétion” de Mod_{R}(G) dans Mod(RG) est un adjoint à droite du foncteur “lissification”. Plus précisément, pour V ∈ Mod(RG) on a une application canonique V ⟶ V̂^{∞} qui envoie v ∈ V sur le morphisme (f ↦ fv) ∈ V̂^{∞} et, partant d’un module lisse W, on a une application canonique Ŵ^{∞} = H_{R}(G) ⊗_{RG} Ŵ ⟶ W donnée par (f ⊗ ŵ) ↦ ŵ(f). Ces deux applications induisent des isomorphismes réciproques Hom_{G}(V, Ŵ) ≃ Hom_{G}(V^{∞}, W). Remarquons aussi que la flèche Ŵ^{∞} ⟶ W est un isomorphisme, i.e. on a Ŵ^{∞} = W.

Soit maintenant (π, V) ∈ Mod_{R}(M) et notons encore π l’inflation de π à \overline{P}. Par définition on a i_{M,\overline{P}}^{G} (V) = C^{∞}(G, V)\overline{P} où \overline{P} agit sur une fonction f par (\overline{p}f)(g) = π(\overline{p})(f(g\overline{p})). Si d\overline{p} désigne une mesure de Haar à gauche, l’application R-linéaire

\begin{matrix}∫ : C^{∞,c}(G, V) & → & C^{∞}(G, V)\overline{P} \\ f & ↦ & (g ↦ ∫\overline{P} π(\overline{p})f(g\overline{p})d\overline{p}) \end{matrix}

induit une application G-équivariante C^{∞,c}(G, δ−1 ; \overline{P}V)\overline{P} ⟶ C^{∞}(G, V)\overline{P}, où δ\overline{P} = δ_{P}^{−1} désigne le caractère-module de \overline{P} défini par ρ(\overline{p}_{1})d\overline{p} = δ\overline{P} (\overline{p}_{1})^{−1}d\overline{p}. En utilisant la décomposition de Cartan (G = G_{0}\overline{P} pour G_{0} compact spécial), on vérifie que c’est un isomorphisme. En effet, si j désigne l’inclusion de G_{0} dans G et \overline{P}_{0} l’intersection de \overline{P} et G_{0}, on a un carré commutatif

[figure: C^{∞,c}(G, δ−1 ; \overline{P}V)\overline{P}; C^{∞}(G, V)\overline{P}; j^{∗}; C^{∞}(G_{0}, V)\overline{P_{0}}; _{Tr_{P_{0}}}; j_{!}; C^{∞}(G_{0}, V)\overline{P_{0}}]

où les flèches verticales sont des isomorphismes de RG_{0}-modules et l’application trace Tr_{P_{0}} a déja été rencontrée au-dessus des corollaires 2.7 et 3.6. Comme dans ces deux corollaires on se ramène au lemme 2.8 pour prouver l’inversibilité de Tr_{P_{0}}.

On a donc pour tout W ∈ Mod_{R}(G) :

Hom_{G}(i_{M,\overline{P}}^{G} (V), W) ≃ Hom_{G}((C_{R}^{∞,c}(G) ⊗_{R} δ_{P} V)\overline{P} , W)
= Hom_{R}(C_{R}^{∞,c}(G) ⊗_{R} δ_{P} V, W)^{G×\overline{P}}
≃ Hom_{R}(δ_{P} V, Hom_{R}(C_{R}^{∞,c}(G), W))^{G×\overline{P}}
= Hom\overline{P} (δ_{P} V, Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G), W))
= Hom\overline{P} (δ_{P} V, Ŵ)
= Hom_{M} (δ_{P} V, Ŵ \overline{U})
= Hom_{M} (δ_{P} V, (Ŵ \overline{U})^{∞})

(Prendre garde que dans la dernière ligne, Ŵ désigne la complétion de W en tant que G-module et (Ŵ \overline{U})^{∞} désigne la partie lisse de Ŵ \overline{U} en tant que M-module.) Ceci montre que le foncteur i_{M,\overline{P}}^{G}

est adjoint à gauche du foncteur W ↦ δ_{P}^{−1} (Ŵ \overline{U})^{∞}. Nous allons maintenant expliciter une flèche M-équivariante (Ŵ \overline{U})^{∞} ⟶ W_{U} fonctorielle en W. Pour ce faire, prenons un sous-groupe ouvert compact U_{c} de U, et considérons la composée

\overline{j}_{U} : (Ŵ \overline{U})^{∞} ⟶^{e_{Uc}} W ⟶^{j_{U}} W_{U}.

La première flèche est donnée par action de e_{U_{c}} à gauche ; son image est dans la partie lisse W de Ŵ, car pour tout w ∈ (Ŵ \overline{U})^{∞}, on peut trouver H = (H ∩ U)H_{M}(H ∩ \overline{U}) tel que (H ∩ U) ⊂ U_{c} et H_{M} fixe w, qui est aussi fixé par \overline{U} donc par \overline{U} ∩H. Par définition de j_{U}, la composée \overline{j}_{U} ci-dessus est indépendante du choix de U_{c}, et par suite est M-équivariante et fonctorielle en W.

Puisque la famille E est supposée génératrice et en vertu de 3.7 ii), pour montrer que \overline{j}_{U} est un isomorphisme, il suffit de vérifier que pour tout ε ∈ E, la restriction de \overline{j}_{U} induit un Risomorphisme ε(Ŵ \overline{U})^{∞} \underrightarrow{∼} εW_{U}. Choisissons un point y de B(M, K) tel que ε ∈ RM_{y} et que l’hypothèse de la proposition 3.1 soit vérifiée. Dans la factorisation de \overline{j_{U}}

ε(Ŵ \overline{U})^{∞} ⟶^{e_{Uy}} ε̃W ⟶^{j_{U}} εW_{U},

on sait déja par la proposition 3.1 que la flèche de droite est un isomorphisme. Pour étudier la flèche de gauche, remarquons tout d’abord que par définition de Ŵ, on a Ŵ \overline{U} = Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G)\overline{U}, W), où les \overline{U}-coinvariants sont pris pour la translation à droite sur C_{R}^{∞,c}(G). On a donc εŴ \overline{U} ≃ Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G)\overline{U}ε, W) et par ailleurs, on a aussi ε̃W ≃ Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G)ε̃, W). Notons que la flèche e_{U_{y}} : Ŵ ⟶ e_{U_{y}} Ŵ s’identifie à la flèche Hom_{G} (H_{R}(G), W) ⟶ Hom_{G} (H_{R}(G)e_{U_{y}}, W) duale de

l’inclusion H_{R}(G)e_{u_{y}} ⊂ H_{R}(G). Ainsi, via les identifications ci-dessus, la flèche ε(Ŵ \overline{U})^{∞} ⟶^{e_{Uy}} ε̃W ci-dessus devient la flèche

Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G)\overline{U}ε, W) ⟶^{j∗ ; \overline{U}} Hom_{G}(C_{R}^{∞,c}(G)ε̃, W)

duale de la flèche j\overline{U} : C_{R}^{∞,c}(G)ε̃ ⟶ C_{R}^{∞,c}(G)\overline{U}ε. Mais celle-ci, comme dans la remarque 3.4, est un isomorphisme. En effet, puisque ε est supposé P-bon, l’idempotent ε̌ est lui-même \overline{P}-bon comme on le remarque en appliquant g ↦ g^{−1} aux hypothèses de la proposition 3.1.

□

Avant d’énoncer le prochain résultat, rappelons qu’une fonction φ ∈ C_{R}^{∞}(G) est dite cuspidale (à gauche) si pour tout sous-groupe parabolique P = MU de G, on a ∫_{U} f(ug)du = 0 quel que soit g ∈ G.

Proposition 3.10 Supposons que pour tout sous-groupe parabolique P = MU de G, il existe une famille génératrice d’idempotents P -bons de RM. Alors pour tout pro-p-sous-groupe ouvert H de G il existe un sous-ensemble S_{H} de G, compact modulo le centre et indépendant de la R-algèbre R supportant toutes les fonctions cuspidales dans C_{R}^{c}(H\G/H).

Preuve : Fixons pour commencer un sous-groupe parabolique P = MU. D’après notre hypothèse, il existe un ensemble fini E_{H} d’idempotents P -bons de RM et, pour chaque ε ∈ E_{H} une distribution localement constante à support compact f_{ε} ∈ H_{R}(M), de sorte qu’on ait l’égalité e_{H∩M} = ∑_{ε∈E_{H}} εf_{ε} dans H_{R}(M). Choisissons un sous-groupe ouvert compact \overline{U}_{H} de \overline{U} suffisamment petit pour avoir les égalités e_{\overline{U}_{H}} εf_{ε}e_{H} = εf_{ε}e_{H} dans H_{R}(G) pour tout ε ∈ E_{H}, puis choisissons pour chaque ε ∈ E_{H} un point y_{ε} ∈ B(M, K) tel que \overline{U}_{y_{ε}} ⊂ \overline{U}_{H}. Choisissons enfin un sous-groupe ouvert compact U_{H} suffisamment grand pour contenir chaque U_{y_{ε}}. On a alors l’égalité dans H_{R}(G) :

e_{U_{H}} e_{H} = e_{U_{H}} ∑_{ε∈E_{H}} ε̃_{y_{ε}}f_{ε}e_{H}.

Appliquons cette égalité à un élément H-invariant v d’une représentation V ∈ Mod_{R}(G) dans le noyau de la projection j_{U} sur V_{U}. Chaque f_{ε}v est encore dans ker j_{U}, donc par définition de “P -bon” et par 3.1, on obtient e_{U_{H}} v = 0.

Soit maintenant φ ∈ C_{R}^{c}(H\G/H) une fonction cuspidale. Pour tout parabolique P, on a donc e_{U_{H}} ∗ φ = 0. Il s’ensuit que pour tout élément g ∈ G tel que U_{H} ⊂ gHg^{−1}, on a

e_{H} ∗ g^{−1}φ(1) = ∫_{H} φ(gh)e_{H} = φ(g) = 0. (3.11)

Quitte à remplacer H par un de ses sous-groupes ouverts, on peut supposer qu’il existe un sousgroupe parabolique minimal P_{0} = M_{0}U_{0} et un sous-groupe compact M_{0}-spécial G_{0} de G contenant et normalisant H. On a alors les décomposition de Cartan G = G_{0}P_{0} et d’Iwasawa G = G_{0}M_{0}^{+}G_{0} où M_{0}^{+} désigne l’ensemble des éléments de M_{0} dont l’action par conjugaison sur U_{0} est contractante. Vu les conditions que doivent respecter les sous-groupes compacts U_{H}, on peut supposer que pour toute paire de sous-groupes paraboliques P et P′ conjugués par k ∈ G_{0}, les sousgroupes compacts U_{H} et U′_{H} sont aussi conjugués par k. Ainsi l’ensemble C_{H} des g ∈ G vérifiant g^{−1}U_{H}g \ H ≠ ∅ pour tout sous-groupe parabolique P est une réunion de G_{0}-doubles classes.

D’après 3.11, la proposition sera prouvée si l’on montre que C_{H} est compact modulo le centre de G, ou de manière équivalente que C_{H} ∩ M_{0}^{+} est compact modulo le centre de G. Or C_{H} ∩ M_{0}^{+} est inclus dans l’intersection pour P maximal et contenant P_{0} des

C_{H,P} := {m ∈ M_{0}^{+}, m^{−1}U_{H}m \ H ≠ ∅}

et le fait que cette intersection est compacte modulo le centre est un résultat classique. Par exemple, l’image de cette intersection par l’application habituelle H_{0} : M_{0} ⟶ a_{M_{0}}^{∗} (voir par exemple [16, 2.7]) est contenue dans un polyèdre compact modulo a_{G}^{∗} défini par des inégalités du type ⟨α, x⟩ ⩾ 0 et ⟨ω_{α}, x⟩ ⩽ λ_{α} où α décrit une base des racines de P_{0}, ω_{α} décrit la base duale pour un produit scalaire invariant et les λ_{α} sont des réels positifs qui dépendent des U_{H} et (U ∩ H).

□

Pour terminer cette section, voici une étape facile pour construire des familles génératrices d’idempotents P -bons. Néanmoins, on ne s’en servira pas dans la suite.

Lemme 3.12 Supposons que pour tout sous-groupe parabolique Q = N V contenant P, il existe une famille E_{Q} d’idempotents Q-bons de RN qui engendre la partie cuspidale de Mod_{R}(N), dans le sens suivant : pour tout objet V cuspidal de Mod_{R}(N), il existe ε ∈ E tel que εV ≠ 0. Alors il existe une famille génératrice E d’idempotents P -bons de RM.

Preuve : Pour tout Q et tout ε ∈ E_{Q}, on choisit un point y ∈ B(N, K) adapté à ε et tel que (V ∩ M)_{y} = (V ∩ M)_{y}^{+} et (\overline{V} ∩ M)_{y} = (\overline{V} ∩ M)_{y}^{+}. On pose alors ε_{M} := z_{y,Q∩M}^{−1}e_{(V ∩M)_{y}}e_{(\overline{V} ∩M)_{y}^{+}}ε. C’est un idempotent de RM_{y}. Si x ∈ y + A_{M}, on a

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{M} = e_{V_{x}^{+}}e_{\overline{V}_{x}}z^{−1}ε ∈ RG_{x}e_{V_{x}}e_{\overline{V}_{x}}ε = RG_{x}e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{M}

et de même on vérifie ε_{M}e_{U_{x}}e\overline{U}_{x}^{+} ∈ ε_{M}e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}RG_{x}. L’idempotent ε_{M} est donc P -bon. Appelons E l’ensemble des ε_{M} obtenus en faisant varier Q, ε ∈ E_{Q} et en saturant par M-conjugaison. Il nous reste à vérifier que cette famille E est génératrice. Puisqu’on a saturé par conjugaison, il suffit par 3.7 de montrer que pour tout objet W de Mod_{R}(M), il existe un ε_{M} tel que ε_{M}W ≠ {0}. Soit alors Q = VN un parabolique contenant P et maximal pour la propriété W_{V ∩M} ≠ 0. Alors la représentation W_{V ∩M} ∈ Mod_{R}(N) est cuspidale et par hypothèse il existe ε ∈ E_{Q} tel que ε(W_{V ∩M}) ≠ 0. Or par la proposition 3.1, on a ε_{M}W \underrightarrow{∼} ε(W_{V ∩M}).

□

4 Noethérianité

Cette section est logiquement indépendante des autres. Sauf précision supplémentaire, R y désigne toujours une ℤ[\frac{1}{p}]-algèbre noethérienne. Nous allons prouver que la seconde adjonction implique la noetherianité. Commençons par une mise au point :

Lemme 4.1 Pour un objet V de Mod_{R}(G), les propriétés suivantes sont équivalentes : i) Pour tout pro-p-sous-groupe ouvert H, le e_{H}H_{R}(G)e_{H}-module V^{H} est noethérien. ii) Tout sous-objet W de V engendré par ses invariants sous un sous-groupe ouvert de G est de

type fini sur G. Une représentation V satisfaisant ces propriétés sera dite localement noethérienne.

Preuve : i) ⇒ ii) : soit W ⊂ V et H un pro-p-sous-groupe ouvert de G tel que W^{H} engendre W. Alors W^{H} ⊂ V^{H} est un sous-e_{H}H_{R}(G)e_{H}-module donc est de type fini. Or, tout sous-ensemble de W^{H} engendrant W^{H} sur e_{H}H_{R}(G)e_{H} engendre W sur G.

ii) ⇒ i) : fixons H ⊂ G pro-p et ouvert, et M un sous-e_{H}H_{R}(G)e_{H}-module de V^{H}. Le Gmodule ⟨M⟩_{G} engendré par M satisfait (⟨M⟩_{G})^{H} = M. Soit v_{1}, ⋯, v_{n} des générateurs de ⟨M⟩_{G}. On peut les écrire v_{i} = ∑ g_{ij}m_{ij} pour des éléments g_{ij} ∈ G et m_{ij} ∈ M. Donc les m_{ij} obtenus (en nombre fini) engendrent M sur e_{H}H_{R}(G)e_{H}.

□

Pour le lemme suivant, rappelons que pour tout objet V ∈ Mod_{R}(G), la restriction de l’action de G à son centre Z_{G} munit V d’une structure de RZ_{G}-module pour laquelle l’action de G est RZ_{G}- linéaire. Ici, conformément à nos conventions, RZ_{G} désigne l’algèbre des distributions à support compact sur Z_{G}. C’est la limite projective des R-algèbres de type fini (et donc noethériennes par le théorème de Hilbert) R[Z_{G}/Z_{G} ∩ H] pour H parcourant les sous-groupes ouverts de G.

Lemme 4.2 Si V ∈ Mod_{R}(G) est cuspidale et de type fini, alors V est RZ_{G}-admissible, et donc localement noethérienne.

Preuve : (voir aussi [29, A.1.1]). Soit W ⊂ V un sous-objet et H un pro-p-sous-groupe ouvert tel que W et V soient respectivement engendrés par W^{H} et V^{H}. Si v ∈ V^{H}, alors par définition de la cuspidalité, la fonction g ↦ e_{H}gv est à support compact modulo Z_{G}, donc le e_{H}H_{R}(G)e_{H}-module engendré par v est de type fini sur l’anneau R[Z_{G}/Z_{G} ∩ H]. Ainsi, puisque V^{H} est de type fini sur e_{H}H_{R}(G)e_{H}, il est aussi de type fini sur R[Z_{G}/Z_{G} ∩ H]. D’où la RZ_{G}-admissibilité de V. Mais alors par noethérianité de R[Z_{G}/Z_{G} ∩ H], le R-module W^{H} est de type fini sur R[Z_{G}/Z_{G} ∩ H], donc a fortiori de type fini sur e_{H}H_{R}(G)e_{H}. Ainsi W est bien de type fini sur G. Donc V est localement nothérienne. □

Dans la suite de cette section, on soumet le groupe réductif G à l’hypothèse suivante que nous appellerons (Adj) :

Pour tout sous-groupe parabolique Q = NV de tout sous-groupe de Levi M de G, le foncteur i_{N,\overline{Q}}^{M} est adjoint à gauche du foncteur δ_{Q}^{−1}r_{M,Q}^{N}.

D’après le corollaire 3.9, cette hypothèse est vérifiée si pour tout parabolique P = MU de G, il existe une famille génératrice d’idempotents P -bons de RM, au sens de 3.7 et 3.8. Nous allons prouver :

Proposition 4.3 Sous l’hypothèse (Adj), tout V ∈ Mod_{R}(G) de type fini est localement noethérien.

En prenant V = ind_{H}^{G} (1), on en déduit :

Corollaire 4.4 (Toujours sous la même hypothèse) Pour tout pro-p-sous-groupe ouvert, l’algèbre de Hecke e_{H}H_{R}(G)e_{H} est noethérienne.

Par ailleurs, on étendra dans l’appendice A, des résultats de Vignéras, Moy et Prasad de décomposition de la catégorie Mod_{R}(G) par le “niveau”. Ces résultats montrent qu’une représentation lisse de type fini V de G est localement noethérienne si et seulement si elle est noethérienne, de sorte que :

Corollaire 4.5 Sous l’hypothèse (Adj) et sous l’hypothèse de validité des constructions de Moy et Prasad (voir appendice A), la catégorie Mod_{R}(G) est noethérienne, i.e. tout sous-objet d’un objet de type fini est de type fini.

La suite de cette section est dévolue à la preuve de la proposition 4.3. La première étape consistera, par un argument de récurrence, à se ramener à V de la forme i_{P}^{G} (W) pour une représentation cuspidale de type fini W du quotient de Levi d’un sous-groupe parabolique P et à prouver la type-finitude de tout sous-quotient cuspidal d’une telle représentation. Ce cas particulier est traité au lemme 4.10. Signalons que nous démontrons au passage quelques résultats d’un intérêt indépendant, comme par exemple 4.8 ou 4.13. Nous préciserons autant que possible à chaque étape ce qui dépend effectivement de l’hypothèse (Adj).

Première hypothèse de récurrence : Si le rang semi-simple relatif de G est nul, toute représentation de G est cuspidale donc la proposition 4.3 découle du lemme 4.2. Nous ferons donc l’hypothèse de récurrence :

(HR1) l’énoncé de 4.3 est vrai pour tout sous-groupe de Levi strict de G.

Pour manier cette hypothèse de récurrence, il sera commode d’utiliser le langage des sousgroupes paraboliques standard. On fixe donc un K-sous-groupe parabolique minimal P_{0} = M_{0}U_{0} de G; les sous-groupes paraboliques standard sont ceux qui contiennent P_{0} et les sous-groupes de Levi standard sont leurs composantes de Levi qui contiennent M_{0}. Comme les sous-groupes paraboliques standard sont uniquement déterminés par leur composante de Levi standard, on ommettra de préciser le parabolique dans les notations : on notera r_{G}^{M} pour r_{G,P}^{M} et \overline{r_{G}^{M}} pour r_{G,\overline{P}}^{M}, etc... On notera de plus M < G pour “M sous-groupe de Levi standard de G”.

Lemme 4.6 Les foncteurs de restriction parabolique préservent les propriétés d’être de type fini ou d’être engendré par ses invariants sous un sous-groupe ouvert. Sous l’hypothèse (Adj), il en est de même pour l’induction parabolique.

Preuve : Le fait que la restriction parabolique respecte la type-finitude est une conséquence immédiate et classique de la décomposition de Cartan. Pour voir que, sous l’hypothèse (Adj), l’induction i_{M}^{G} respecte la type finitude, rappelons qu’un objet V ∈ Mod_{R}(G) est de type fini si et seulement si pour tout système inductif filtrant (dénombrable) (V_{i})_{i∈I}, l’application canonique lim_{⟶}Hom_{G}(V, V_{i}) ⟶^{γ_{V}} Hom_{G}(V, lim_{⟶}V_{i}) est surjective. Si V = i_{M}^{G} (W) pour W dans Mod_{R}(M), alors

par la seconde adjonction et le fait que \overline{r_{G}^{M}} commute aux limites inductives (puisqu’il est adjoint à gauche de \overline{i_{M}^{G}}), on a un diagramme commutatif :

[figure: Hom_{G}(V, lim_{⟶}V_{i}); γ_{V}; lim_{⟶}Hom_{G}(V, V_{i}); Hom_{M} (W, δ_{M}(lim_{⟶}\overline{r_{G}^{M}}(V_{i}))); γ_{W}; lim_{⟶}Hom_{M} (W, δ_{M} \overline{r_{G}^{M}}(V_{i}))] .

Si W est de type fini dans Mod_{R}(M), l’application γ_{W} est surjective donc γ_{V} aussi et V est de type fini.

La deuxième propriété annoncée dans l’énoncé est une conséquence de la première : vérifions-le pour i_{M}^{G} par exemple : un objet W ∈ Mod_{R}(M) est engendré par ses H_{M}-invariants s’il existe un R-module U et un épimorphisme ind_{H_{M}}^{M}(1)⊗U ⟶ W. Comme ind_{H_{M}}^{M}(1) est de type fini, il en est de même de i_{M}^{G}(ind_{H_{M}}^{M}(1)) par le point précédent et il existe donc un sous-groupe H ouvert dans G, un entier n > 0 et un épimorphisme ind_{H}^{G} (1)^{n} ⟶ i_{M}^{G} (ind_{H_{M}}^{M} (1)). Puisque i_{M}^{G} admet un adjoint à droite, il commute aux limites inductives et on obtient un épimorphisme ind_{H}^{G}(1)⊗U^{n} ⟶ i_{M}^{G}(W). □

Notons L(G) l’ensemble fini des sous-groupes de Levi standard. On le munit d’un ordre total ⩽ raffinant l’ordre partiel défini par l’inclusion. On obtient donc une numérotation L(G) = {M_{0}, ⋯, M_{g} = G} telle que M_{i} ⊂ M_{j} implique i < j.

Lemme 4.7 Sous l’hypothèse (Adj) il existe une filtration du foncteur identité de Mod_{R}(G)

{0} = F_{−1} ⊆ F_{0} ⊆ F_{1} ⊆ ⋯ ⊆ F_{g} = Id_{Mod_{R}(G)}

telle que pour V ∈ Mod_{R}(G), on ait :

i) pour tout i = 0, ⋯, g, le gradué G_{i}(V) := F_{i}(V)/F_{i−1}(V) est un quotient d’un objet de la forme i_{M_{i}}^{G}(W) pour un quotient cuspidal W de δ_{M_{i}} \overline{r_{G}^{M_{i}}}(V).

ii) les G_{i}(V) sont de type fini, resp. engendrés par leurs invariants sous un sous-groupe ouvert suffisamment petit, si V l’est.

Preuve : Pour M sous-groupe de Levi standard de G, l’hypothèse (Adj) fournit une transformation naturelle i_{M}^{G} ∘ δ_{M} \overline{r_{G}^{M}} ⟶^{adj} Id_{Mod_{R}(G)} entre endofoncteurs de Mod_{R}(G). Rappelons que la catégorie des endofoncteurs d’une catégorie abélienne est abélienne, ce qui nous permet de poser

G_{M} := coker (i_{M}^{G} ∘ δ_{M} \overline{r_{G}^{M}} ⟶^{adj} Id_{Mod_{R}(G)}) ,

le conoyau, dans la catégorie des endofoncteurs de Mod_{R}(G), de la flèche d’adjonction précédente. Posons alors pour tout i ⩾ 0

F_{i} := ker (Id_{Mod_{R}(G)} ⟶ G_{M_{i}} ∘ G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}}) .

On obtient une filtration du foncteur identité de Mod_{R}(G) dont les gradués vérifient

F_{i}/F_{i−1} ≃ ker (G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}} ⟶ G_{M_{i}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}})
≃ im (i_{M_{i}}^{G} ∘ δ_{M_{i}} \overline{r_{G}^{M_{i}}} ∘ G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}} ⟶^{adj} G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}}).

Maintenant, remarquons que la flèche \overline{r_{G}^{M}} ∘ i_{M}^{G} ∘ δ_{M} \overline{r_{G}^{M}} ⟶^{\overline{r^{M}_{G}} (adj)} \overline{r_{G}^{M}} est un épimorphisme de

foncteurs, puisque par définition de l’adjonction et torsion par δ_{M}^{−1}, la composée \overline{r_{G}^{M}} ⟶^{(adj)′\overline{r^{M}_{G}}} \overline{r_{G}^{M}} ∘

i_{M}^{G} ∘δ_{M} \overline{r_{G}^{M}} ⟶^{\overline{r^{M}_{G}} (adj)} \overline{r_{G}^{M}} est l’identité (en notant adj′ la flèche d’adjonction Id_{Mod_{R}(M)} ⟶ δ_{M} \overline{r_{G}^{M}} ∘i_{M}^{G}).

Ainsi, \overline{r_{G}^{M}} ∘ G_{M} = 0. Puisque G_{M_{i}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}} est un quotient de G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}}, on voit alors

par une récurrence immédiate que \overline{r_{G}^{M_{j}}} ∘ G_{M_{i}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}} = 0 pour tout j ⩽ i. En particulier, \overline{r_{G}^{M_{i}}} ∘ G_{M_{i−1}} ∘ ⋯ ∘ G_{M_{0}}(V) est un M_{i}-module cuspidal pour tout V ∈ Mod_{R}(G). Pour un tel V, la filtration F_{∗}(V) remplit le cahier des charges du point i) et le point ii) en découle par le lemme 4.6.

Remarquons que de la description des gradués F_{i}/F_{i−1} et de l’exactitude des foncteurs paraboliques, on déduit que

F_{i} = F_{i−1} + im (i_{M_{i}}^{G} ∘ δ_{M_{i}} \overline{r_{G}^{M_{i}}} ⟶^{adj} Id_{Mod_{R}(G)}) ,

d’où par récurrence

F_{i} = ∑_{j=0}^{i} im (i_{M_{j}}^{G} ∘ δ_{M_{j}} \overline{r_{G}^{M_{j}}} ⟶^{adj} Id_{Mod_{R}(G)}) .

□

D’après ce lemme, pour montrer que tout RG-module V de type fini est localement noethérien, il suffit de le faire pour V de la forme i_{M}^{G} (W) avec W cuspidal de type fini. Le cas M = G a été réglé par le lemme 4.2 et nous allons étudier le cas général par récurrence descendante sur le rang de M : fixant M, on fait donc l’hypothèse

(HR2) : les représentations de la forme i_{N}^{G} (V) avec V cuspidale de type fini d’un sous-groupe de Levi N de rang supérieur à celui de M sont localement noethériennes

Soit alors U ⊂ i_{M}^{G} (W) un sous RG-module engendré par ses invariants sous un sous-groupe ouvert suffisamment petit ; on veut montrer que U est de type fini.

Nous allons utiliser le fait que i_{M}^{G}(W) est muni d’une structure supplémentaire, à savoir l’action par fonctorialité de l’algèbre des distributions à support compact RZ_{M} du centre de M. Notons B_{M} la sous-R-algèbre de RZ_{M} formée des éléments invariants sous le groupe fini N_{G}(M)/M. Nous allons nous ramener au cas où le sous-module U de i_{M}^{G} (W) est B_{M}-stable. Ceci nous sera permis par le lemme suivant, qui ne nécessite pas l’hypothèse (Adj) :

Lemme 4.8 Soient P, Q deux sous-groupes paraboliques de composante de Levi M. Alors pour tout élément b ∈ B_{M} = (RZ_{M})^{N_{G}(M)} et tout morphisme G-équivariant φ : i_{P}^{G}(X) ⟶ i_{Q}^{G}(Y) où X et Y sont deux objets cuspidaux de Mod_{R}(M), le diagramme suivant commute :

\xymatrix{i_{P}^{G}(X) \ar[r]^{φ} \ar[d]_{i_{P}^{G} (b_{X})} & i_{Q}^{G}(Y) \ar[d]^{i_{Q}^{G} (b_{Y} )} \\ i_{P}^{G}(X) \ar[r]^{φ} & i_{Q}^{G}(Y)}

où b_{X}, resp. b_{Y}, désigne l’endomorphisme de X, resp. Y, donné par l’action de b.

Preuve : Notons Adj(ψ) : r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(X) ⟶ Y le morphisme adjoint (pour la réciprocité de Frobenius) d’un morphisme ψ : i_{P}^{G}(X) ⟶ i_{Q}^{G}(Y). En déroulant la définition, on calcule simplement que

Adj(φ ∘ i_{P}^{G}(b_{X})) = Adj(φ) ∘ r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(b_{X})

et

Adj(i_{P}^{G}(b_{Y}) ∘ φ) = b_{Y} ∘ Adj(φ) = Adj(φ) ∘ b_{r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(X)}.

Il nous suffira donc de prouver que la différence r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(b_{X})−b_{r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(X)} est nulle dans End_{M}(r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(X)), et pour cela il convient de considérer cette différence comme l’évaluation en X d’un endomorphisme δ_{b} := r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(b_{?}) − b_{r_{Q}^{M}i_{P}^{G}(?)} du foncteur r_{Q}^{M}i_{P}^{G} de la catégorie Cusp_{R}(M) des objets cuspi-

daux de M dans elle-même. Rappelons [1] que ce foncteur possède une filtration dont le gradué est (à isomorphisme près) la somme directe des foncteurs ad(w) de conjugaison par un élément w ∈ N_{G}(M)/M. L’endomorphisme δ_{b} respecte cette filtration et son gradué est la somme directe des ad(w)(b_{?}) − b_{ad(w)(?)}, laquelle est nulle puisque b est supposé invariant par N_{G}(M). Le gradué de δ_{b} étant donc nul, il suffira pour prouver que δ_{b} est lui-même nul de montrer que pour deux éléments distincts w et w′ de N_{G}(M)/M on a

Hom(ad(w), ad(w′)) = 0 (4.9)

(i.e., il n’y a pas de morphisme non nul entre les foncteurs de conjugaison par w et w′).

Pour ce faire, on peut bien-sûr supposer w′ = 1. Notons que le R-module Hom(ad(w), Id) est naturellement un module sur RZ_{M} (et plus généralement sur le centre de la catégorie Cusp_{R}(M)), l’action étant donnée (z.α)_{X} := z_{X} ∘ α_{X} = α_{X} ∘ z_{ad(w)(X)}. Comme α est un morphisme de foncteurs, on a aussi z_{X} ∘ α_{X} = α_{X} ∘ ad(w)(z_{X}) = α_{X} ∘ w(z)_{ad(w)(X)}. En d’autres termes, pour tout z ∈ Z_{M}, le RZ_{M}-module Hom(ad(w), Id) est tué par (z − w(z)).

Fixons maintenant α ∈ Hom (ad(w), Id). Commençons par l’évaluer en un objet cuspidal X de la forme X = ind_{M^{c}}^{M} (Y) où M^{c} désigne le sous-groupe de M engendré par les sous-groupes compacts. On a des isomorphismes de R-modules

Hom_{M} (Ad w(X), X) ≃ Hom_{M} (ind_{M^{c}}^{M} (Ad w(Y)), X)
≃ Hom_{M^{c}} (Ad w(Y), Y) ⊗_{R} R[M/M^{c}]

Via le dernier isomorphisme, l’action de z ∈ Z_{M} sur Hom_{M} (Ad w(X), X) envoie le sous-module Hom_{M^{c}}(Ad w(Y), Y)⊗(mM^{c}) sur le sous-module Hom_{M^{c}}(Ad w(Y), Y)⊗(zmM^{c}). En particulier, choisissant un élément z ∈ Z_{M} tel que zM^{c} ≠ w(zM^{c}) on obtient que (z − w(z)) agit sans torsion sur Hom_{M}(Ad w(X), X), et par conséquent α_{X} = 0. Maintenant, pour un objet quelconque X ∈ Cusp_{R}(M), l’application de réciprocité X̃ := ind_{M^{c}}^{M} (X_{|M^{c}}) ⟶ X est un épimorphisme ; par ce qui précède on a donc α_{X} = 0, et finalement α = 0.

□

Revenons à U ⊂ i_{M}^{G} (W) et posons

U_{M} := ∑_{N∼M} im (i_{N}^{G} ∘ δ_{N} \overline{r_{G}^{N}}(U) ⟶^{Adj} U) ⊂ U,

la somme portant sur les sous-groupes de Levi standard associés à M. Par 4.6 et l’hypothèse de récurrence (HR1), U_{M} est de type fini, et il nous suffit donc de prouver que U/U_{M} est de type fini. Soit alors Ũ := B_{M}.U la somme des translatés de U sous B_{M}. Notons que par exactitude des foncteurs paraboliques on a

im (i_{N}^{G} ∘ δ_{N} \overline{r_{G}^{N}}(Ũ) ⟶^{Adj} Ũ) = B_{M}. im (i_{N}^{G} ∘ δ_{N} \overline{r_{G}^{N}}(U) ⟶^{Adj} U)

pour tout N < G. Si de plus N est associé à M, alors par le lemme précédent le sous-objet im (i_{N}^{G} ∘ δ_{N} \overline{r_{G}^{N}}(U) ⟶^{Adj} U) de i_{M}^{G} (W) est déjà stable par B_{M}. On en déduit que U_{M} = Ũ_{M}, et on est donc ramené à prouver que Ũ/Ũ_{M} est noethérien. Appliquons la filtration 4.7 à Ũ/Ũ_{M}. Par définition de Ũ_{M} et puisque W est cuspidale, les seuls gradués non nuls correspondent à des M_{i} de rang strictement supérieur à celui de M. De plus un tel gradué G_{i}(Ũ/Ũ_{M}) est d’après 4.7 i) un quotient de l’image par i_{M_{i}}^{G} d’un quotient cuspidal de δ_{M_{i}} \overline{r_{G}^{M_{i}}}(Ũ). Or \overline{r_{G}^{M_{i}}}(Ũ) est un sous-objet de

\overline{r_{G}^{M_{i}}}(i_{M}^{G} (W)) engendré par ses invariants sous un sous-groupe ouvert, donc est de type fini pour i < g en vertu de l’hypothèse de récurrence (HR1) appliquée à δ_{M_{i}} \overline{r_{G}^{M_{i}}}(i_{M}^{G} (W)) (qui est de type fini sur M_{i}). Mais alors d’après l’hypothèse de récurrence (HR2), G_{i}(Ũ/Ũ_{M}) est noethérien. Il reste à prouver que le dernier quotient de la filtration G_{g}(Ũ/Ũ_{M}) (le quotient cuspidal) est aussi noethérien. D’après le lemme 4.2 il suffit de prouver que G_{g}(Ũ) est de type fini sur G. Comme ce dernier est supposé engendré par ses invariants sous un sous-groupe ouvert, il suffit encore, toujours d’après ce lemme, de prouver qu’il est RZ_{G}-admissible. Il nous suffira donc d’appliquer le lemme suivant, que nous énonçons sous des hypothèses plus faibles que (Adj) :

Lemme 4.10 Supposons que G admette des sous-groupes discrets cocompacts, ou que l’hypothèse (Adj) soit satisfaite. Si W ∈ Mod_{R}(M) est cuspidale de type fini alors tout B_{M}G-sous-quotient cuspidal de l’induite i_{M}^{G} (W) est RZ_{G}-admissible.

Preuve : Soit X un tel sous-quotient. D’après 4.2, on sait que W est RZ_{M}-admissible et donc B_{M}-admissible (noter ici que l’action de Z_{M} sur W se factorise par un quotient discret Z_{M}/(Z_{M} ∩ H_{M}) pour H_{M} ouvert tel que W^{H_{M}} engendre W, donc que l’action de RZ_{M} se factorise par un quotient noethérien et idem pour celle de B_{M}). Puisque l’induction i_{M}^{G} respecte l’admissibilité, la représentation i_{M}^{G} (W) est elle-aussi B_{M}-admissible, et par conséquent X l’est aussi. Notons que l’action de RZ_{G} sur X est la restriction de celle de B_{M} via l’inclusion canonique RZ_{G} ↪ B_{M}.

Fixons maintenant un pro-p-sous-groupe ouvert H de G. On vient de voir que X^{H} est un B_{M}-module de type fini ; il admet donc une filtration finie par des B_{M}-sous-modules de quotients successifs de la forme B_{M}/𝔓 pour un idéal premier 𝔓 de B_{M}. Ainsi, pour montrer qu’il est de type fini sur RZ_{G}, il suffira de prouver que pour tout idéal premier 𝔓 de B_{M} dans le support de X^{H}, le morphisme composé RZ_{G} ⟶ B_{M}/𝔓 est fini.

Pour un tel idéal, nous noterons K_{𝔓} le corps résiduel du localisé (B_{M})_{𝔓}.

Première étape : si 𝔓 est dans le support du B_{M}-module fini X^{H}, alors l’induite i_{M}^{G}(W ⊗_{B_{M}} K_{𝔓}) possède un K_{𝔓}G-sous-quotient cuspidal non-nul.

Comme le foncteur “localisation en 𝔓” est exact et commute aux foncteurs paraboliques (euxmême exacts), le (B_{M})_{𝔓}G-module X_{𝔓} est un sous-quotient cuspidal non-nul de Y_{𝔓} := i_{M}^{G}(W ⊗_{B_{M}} (B_{M})_{𝔓}). Soient U ⊂ V ⊂ Y_{𝔓} tels que V/U = X_{𝔓}. Par le lemme de Nakayama, on a U^{H} ∩ 𝔓V^{H} ⊊ V^{H} et par le lemme d’Artin-Rees, il existe un entier k tel que 𝔓^{k}Y_{𝔓}^{H} ∩ V^{H} ⊂ 𝔓V^{H}. Ainsi le quotient U/(𝔓V + U) est un sous-quotient cuspidal non nul de Y_{𝔓}/𝔓^{k} = i_{M}^{G}(W ⊗_{B_{M}} (B_{M})_{𝔓}/𝔓^{k}).

Posons Y_{k} := Y_{𝔓}/𝔓^{k} et fixons U_{k} ⊂ V_{k} ⊂ Y_{k} de quotient non-nul et cuspidal. On a une suite exacte

(V_{k} ∩ 𝔓Y_{k})/(U_{k} ∩ 𝔓Y_{k}) ↪ V_{k}/U_{k} ↠ (V_{k} + 𝔓Y_{k})/(U_{k} + 𝔓Y_{k})

dans laquelle le terme de gauche est un sous-quotient de 𝔓Y_{k} et celui de droite est un sous-quotient de Y_{1} = Y_{k}/𝔓. Choisissons un système de r générateurs (r ∈ ℕ) de l’idéal 𝔓; il lui est associé un épimorphisme Y_{k−1}^{r} ⟶ 𝔓Y_{k} pour chaque k > 1. On voit donc par récurrence descendante que Y_{1} admet un sous-quotient cuspidal non-nul.

Deuxième étape : si B_{M}/𝔓 n’est pas fini sur RZ_{G} alors il existe une valuation ν : K_{𝔓}^{×} ⟶ ℝ et telle que ν(B_{M}/𝔓) ⊈ ℝ_{+} et ν(RZ_{G}) ⊆ ℝ_{+}.

Pour abréger, notons R_{G} l’image de RZ_{G} dans B_{M}/𝔓 et K_{G} son corps de fractions. Soit d le degré de transcendance de K_{𝔓} sur K_{G}. Deux cas se présentent :

Si d > 0, alors on choisit x ∈ B_{M}/𝔓 transcendant sur K_{G}, on pose ν(x) = −1 et on étend de manière arbitraire la valuation obtenue en une valuation de K_{𝔓} triviale sur K_{G}.

Si d = 0, notons R̃_{G} la clôture intégrale de R_{G} dans K_{𝔓}. Puisque B_{M}/𝔓 est de type fini comme algèbre sur R_{G}, il n’est pas inclus dans R̃_{G} (sinon, il serait fini puisqu’entier et contredirait notre hypothèse). L’anneau R̃_{G} n’est pas nécessairement noethérien, mais il est “de Krull” [7, Par.4, Ex. 14], donc est l’intersection des localisés en ses idéaux premiers de hauteur 1 [8, Par 1, n.6, Thm. 4]. On peut donc trouver un tel localisé ne contenant pas B_{M}/𝔓. Or ce localisé est normal lui aussi donc est un anneau de valuation discrète. La valuation associée s’étend au corps de fractions, qui par hypothèse n’est autre que K_{𝔓}, en une valuation satisfaisant les conditions voulues.

Fin de la preuve : Notons que W ⊗_{B_{M}} K_{𝔓} est une K_{𝔓}G-représentation admissible et de type fini, donc de longueur finie. Supposons que B_{M}/𝔓 n’est pas fini sur RZ_{G} et choisissons une valuation ν de K_{𝔓} comme ci-dessus, puis prolongeons-la en une valuation \overline{ν} d’une clôture algébrique \overline{K_{𝔓}} de K_{𝔓}. Les caractères centraux des sous-quotients simples de W ⊗_{B_{M}} K_{𝔓} sont les prolongements RZ_{M} ⟶ \overline{K_{𝔓}} du morphisme tautologique B_{M} ⟶ K_{𝔓}. Soit ω un tel caractère central. La propriété ν(B_{M}/𝔓) ⊈ ℝ_{+} entraine que \overline{ν}(ω(RZ_{M})) ⊈ ℝ_{+}, et par conséquent la composée \overline{ν} ∘ ω n’est pas identiquement nulle sur Z_{M}. La propriété ν(R_{G}) ⊆ ℝ_{+} entraine que (\overline{ν} ∘ ω)_{|Z_{G}} ≡ 0. Comme Z_{G}(Z_{M} ∩ G^{c}) est d’indice fini dans Z_{M} (où G^{c} désigne le sous-groupe de G engendré par les éléments compacts), il s’ensuit que la composée (\overline{ν} ∘ ω)_{|Z_{M} ∩G^{c}} n’est pas identiquement nulle. Le lemme ci-dessous montre alors que l’induite i_{M}^{G}(W ⊗_{B_{M}} K_{𝔓}) ne peut pas avoir de sous-quotient cuspidal, et par la première étape, que 𝔓 n’est pas dans le support de X^{H}.

□

Lemme 4.11 Supposons que G admette des sous-groupes discrets cocompacts, ou que l’hypothèse (Adj) soit satisfaite. Soit K un corps algébriquement clos et σ ∈ Irr_{K}(G) cuspidale, de caractère central ω_{σ}. Supposons qu’il existe une valuation ν de K telle que ν(p) = 0 et telle que la restriction (ν ∘ ω_{σ})_{|Z_{M} ∩G^{c}} ne soit pas identiquement nulle. Alors l’induite i_{M}^{G} (σ) n’a pas de sous-quotient cuspidal.

Preuve : La composée ν ∘ ω_{σ} est un élément non nul de l’espace vectoriel

a_{M}^{G}^{∗} := Hom(M/M^{c}, ℝ)/Hom(G/G^{c}, ℝ).

Nous renvoyons à [16, 2.2] pour la définition des chambres de Weyl (a_{Q}^{∗})^{+} dans a_{M}^{G}^{∗} associées aux sous-groupes paraboliques Q dont M est une composante de Levi. Il existe un Q tel que ν ∘ω_{σ} soit dans l’adhérence \overline{(a_{Q}^{∗})^{+}} de (a_{Q}^{∗})^{+}. Cette adhérence est réunion disjointe [16, (2.3)] de chambres de Weyl de sous-groupes paraboliques O contenant Q, i.e.

\overline{(a_{Q}^{∗})^{+}} = ⨆_{Q⊆O⊆G}(a_{O}^{∗})^{+}.

Soit O l’unique sous-groupe parabolique contenant Q tel que ν ∘ ω_{σ} ∈ (a_{O}^{∗})^{+}. Par notre hypothèse sur la restriction (ν ∘ ω_{σ})_{|Z_{M} ∩G^{c}}, on a O ≠ G. Soit N sa composante de Levi contenant M. En vertu du lemme 4.12 ci-dessous lorsque l’hypothèse (Adj) est vérifiée, ou de [16, 4.5] lorsque G admet des sous-groupes discrets cocompacts, nous pouvons appliquer [16, 3.16] qui nous dit que les représentations i_{M,Q}^{G}(σ) et i_{M,N∩Q}^{N}(σ) ont la même longueur ; plus précisément, tout sous-quotient irréductible de la seconde s’induit irréductiblement par le foncteur i_{N,O}^{G}. Il s’ensuit que l’induite i_{M,Q}^{G}(σ) ne peut pas avoir de sous-quotient cuspidal. Mais alors, d’après le lemme 4.13 ci-dessous, il en va de même pour i_{M}^{G} (σ). □

Dans la preuve ci-dessus, nous avons fait appel à [16, 3.16] qui suppose vérifiée l’une des trois propriétés équivalentes de [16, 3.14]. Pour les besoins du lemme ci-dessus, on peut supposer K de caractéristique non-nulle, et la propriété (i) de [16, 3.14] (“ν-discret implique cuspidal”) est prouvée en [16, 4.5] sous la condition que G possède un sous-groupe discret cocompact. Le lemme suivant montre comment l’hypothèse (Adj) implique directement cette propriété.

Lemme 4.12 Supposons l’hypothèse (Adj) satisfaite. Soit K un corps muni d’une valuation discrète ν telle que ν(p) = 0. Soit (π, V) une représentation admissible dans Mod_{K}(G) dont les coefficients matriciels tendent essentiellement vers 0 à l’infini pour la norme associée à ν (cf. [16, 3.18] où une telle représentation est dite ν-discrète). Alors π est cuspidale.

Preuve : Soit O l’anneau de la valuation ν et ϖ une uniformisante. Par [16, Prop 6.3], il existe un sous-O-module G-stable et O-admissible ω ⊂ V qui engendre V sur K. Puisque les coefficients matriciels tendent essentiellement vers 0, il en est de même des applications f_{v} : g ∈ G ↦ e_{H}gv ∈ ω pour v ∈ ω et H prop-p-sous-groupe ouvert, en le sens suivant :

∀n ∈ ℕ, f_{v}^{−1}(ω \ ϖ^{n}ω) est compact modulo le centre.

En d’autres termes, chaque ω/ϖ^{n}ω est cuspidal. Puisque les foncteurs r_{G}^{M} ont des adjoints à gauche, il commutent aux limites projectives et par conséquent la limite lim ; ⟵_{n} ω/ϖ^{n}ω est cuspidale

elle-aussi. Or, par admissibilité de ω, la flèche canonique ω ⟶ lim ; ⟵_{n} ω/ϖ^{n}ω est injective et ω et

donc π sont cuspidales. □

Lemme 4.13 Supposons que G admette des sous-groupes discrets cocompacts, ou que l’hypothèse (Adj) soit satisfaite. Soient P, Q deux sous-groupes paraboliques ayant un sous-groupe de Levi commun M, et σ une représentation irréductible de M à coefficients dans un corps k de caractéristique différente de p. Alors dans le groupe de Grothendieck des k-représentations lisses de longueur finie de G, on a [i_{P}^{G}(σ)] = [i_{Q}^{G}(σ)]. ^{2}

Preuve : Il suffit de le prouver pour P et Q adjacents, ce qui nous ramène au cas où ils sont maximaux, et donc opposés. Comme la propriété que l’on veut prouver est stable par changement de corps de base, on peut supposer k algébriquement clos, puis étendre les scalaires au corps des fractions K_{G} de k[G/G^{c}], et tordre par le caractère universel ψ_{un}^{G} : G ⟶ k[G/G^{c}]. On est ainsi ramené à prouver que dans le groupe de Grothendieck des K_{G}-représentations de longueur finie, on a [i_{P}^{G}(σ_{K_{G}} ⊗ ψ_{un}^{G}_{|M})] = [i_{Q}^{G}(σ_{K_{G}} ⊗ ψ_{un}^{G}_{|M})].

Notons K_{M} := k(M/M^{c}) et ψ_{un} le caractère non ramifié universel M ⟶ k[M/M^{c}]. Notons aussi ρ : k[M/M^{c}] ⟶ k[G/G^{c}] le morphisme induit par l’inclusion M ⊂ G, de sorte que ψ_{un}^{G}_{|M} = ρ ∘ ψ_{un}, et soit O le localisé de k[M/M^{c}] en le noyau de ρ. Comme M est maintenant un sous-groupe de Levi maximal de G, O est un anneau de valuation discrète de corps des fractions K_{M} et de corps résiduel K_{G}. De plus, i_{P}^{G}(σ_{K_{G}} ⊗ ψ_{un}^{G}) est la réduction modulo l’idéal maximal de O du OG-module i_{P}^{G}(σ_{O} ⊗ ψ_{un}), et de même avec Q à la place de P. On peut alors appliquer le principe de Brauer-Nesbitt, dont la preuve dans [30, II.5.11.b] pour le triplet (\overline{ℤ}_{l}, \overline{ℚ}_{l}, \overline{𝔽}_{l}) s’adapte sans problème à notre triplet (O, K_{M}, K_{G}). Il nous suffit donc de prouver que dans le groupe de Grothendieck des K_{M}-représentations de longueur finie, on a [i_{P}^{G}(σ_{K_{M}} ⊗ ψ_{un})] = [i_{Q}^{G}(σ_{K_{M}} ⊗ ψ_{un})].

Or ces représentations sont même isomorphes puisqu’elles sont irréductibles [16, 5.1] et reliées par un opérateur d’entrelacement non nul [16, 7.3]. □

5 Modèles entiers lisses

On note toujours G un groupe réductif connexe sur K. Le radical unipotent d’un sous-groupe parabolique noté P sera toujours noté U. La composante de Levi commune à une paire de sousgroupes paraboliques opposés notée (P, \overline{P}) sera toujours notée M. Nous appellerons modèle de G sur O_{K} tout schéma en groupes lisse sur O_{K} à fibres connexes, et muni d’une identification de sa fibre générique avec G. Fixons un tel modèle \underline{G}. Pour un sous-groupe fermé H de G nous noterons \underline{H} son adhérence schématique dans \underline{G}; ses points entiers sont donc donnés par \underline{H}(O_{K}) = H(K) ∩ \underline{G}(O_{K}).

5.1 Sous-groupes \underline{G}-admissibles : Nous dirons qu’un K-tore S de G est \underline{G}-admissible s’il se prolonge en un sous-tore de \underline{G}. Comme tout sous-tore de \underline{G} est fermé [17, Exp. VIII. Cor 5.7], il revient au même de demander que \underline{S} soit un tore.

D’autre part, un sous-groupe de Levi M de G sera dit \underline{G}-admissible s’il est obtenu comme centralisateur dans G d’un tore K-déployé \underline{G}-admissible, disons S. Rappelons [17, Exp. XI, Cor. 5.3] que le foncteur ”centralisateur de \underline{S} dans \underline{G}” est représentable par un sous-schéma fermé de \underline{G} lisse sur O_{K}. En particulier sa fibre générique est schématiquement dense, et il s’ensuit que ce centralisateur n’est autre que \underline{M}. Ainsi la fibre spéciale de \underline{M} est le centralisateur de \underline{S}_{k} dans \underline{G}_{k}, donc est connexe, puisque \underline{G}_{k} l’est, et \underline{M} est finalement un modèle de M.

Pour définir ce qu’est un sous-groupe parabolique \underline{G}-admissible, il nous faut quelques notations supplémentaires. Si S est un K-tore déployé de G normalisant un sous-groupe algébrique fermé H de G, on notera Φ(S, H) l’ensemble des poids non nuls de S dans l’algèbre de Lie de H. C’est un sous-ensemble du réseau X^{∗}(S) des caractères rationnels de S. Nous dirons qu’un tel ensemble est unipotent s’il existe une forme linéaire réelle v^{∗} ∈ Hom(X^{∗}(S), ℝ) ne prenant que des valeurs strictement positives sur cet ensemble. Maintenant, un sous-groupe parabolique P de G sera dit \underline{G}-admissible s’il contient un tore déployé \underline{G}-admissible S dont le centralisateur est une composante de Levi de P et tel que l’ensemble Φ(S, U) soit unipotent. Notons que le sous-groupe parabolique \overline{P} opposé à P par rapport à S est aussi \underline{G}-admissible. Une telle paire opposée (P, \overline{P}) sera dite, elle aussi, \underline{G}-admissible.

2Un résultat similaire a été obtenu indépendamment par A. Minguez dans le paragraphe 2.1.14 de sa thèse (Orsay, 2006).

Remarques : il résulte de [5, Thm. 4.15.a)] que tout sous-groupe de Levi admissible est la composante de Levi commune d’une paire \underline{G}-admissible de sous-groupes paraboliques opposés. De plus, si M est un sous-groupe de Levi dont le tore central déployé maximal est \underline{G}-admissible, alors il résulte de [5, Thm. 4.15.b)] que tout parabolique P ayant M comme composante de Levi est \underline{G}-admissible. Pour tous les modèles que nous considèrerons dans les sections suivantes, les sousgroupes de Levi admissibles auront cette propriété d’admissibilité de leur tore central déployé maximal.

5.2 Dilatations : Nous utiliserons souvent la technique élégante de dilatation due à Raynaud, [6, 3.2], et introduite dans le présent contexte par Yu [32]. Rappelons brièvement que si \underline{X} est un O_{K}-schéma et Y est un sous-schéma fermé de la fibre spéciale \underline{X}_{k} de \underline{X}, alors la dilatation de Y dans \underline{X} est la restriction \underline{X}_{Y} ⟶^{φ_{Y}} \underline{X} de l’éclatement de \underline{X} le long de Y à l’ouvert de cet éclatement où le pull-back du faisceau d’idéaux définissant Y est localement engendré par une uniformisante ϖ_{K} de O_{K}. Elle est caractérisée par la propriété universelle suivante [6, 3.2 Prop. 1(b)] : la paire (\underline{X}_{Y} , φ_{Y}) est l’objet final de la catégorie des paires (Z, φ) formées d’un O_{K}-schéma plat Z et d’un O_{K}-morphisme Z ⟶^{φ} X dont la fibre spéciale se factorise par Y. Voici une conséquence importante de cette propriété universelle :

Fait 5.3 Soit f : \underline{X}′ ⟶ \underline{X} un morphisme de O_{K}-schémas et Y un sous-schéma fermé de \underline{X}_{k} dont nous noterons Y′ l’image réciproque dans \underline{X} ′_{k}. Alors on a une flèche canonique \underline{X} ′_{Y′} ⟶^{f_{Y}} \underline{X}_{Y} ×\underline{X} \underline{X}′ qui identifie \underline{X} ′_{Y′} à l’adhérence schématique de la fibre générique de \underline{X}_{Y} ×\underline{X} \underline{X}′, c’est-à-dire au fermé de \underline{X}_{Y} ×\underline{X} \underline{X}′ défini par l’idéal de ϖ_{K}-torsion. En particulier lorsque X est O_{K}-plat et f est plat, alors f_{Y} est un isomorphisme.

On peut s’en servir pour vérifier la commutation aux produits [6, 3.2 Prop. 2(d)] qui assure que si X est un O_{K}-schéma en groupes et Y est un sous-k-schéma en groupes de \underline{X}_{k} alors \underline{X}_{Y} est canoniquement un O_{K}-schéma en groupes et le morphisme de dilatation est un morphisme de O_{K}-schémas en groupes. Voici une autre propriété utile des dilatations.

Fait 5.4 Supposons que \underline{X} est lisse sur O_{K} et Y est lisse sur k. Alors \underline{X}_{Y} est lisse sur O_{K} et la fibre spéciale \underline{X}_{Y} _{k} ⟶ Y de φ_{Y} est un fibré vectoriel sur Y. Si de plus \underline{X} et Y sont des groupes, alors \underline{X}_{Y} _{k} est une extension de Y par un groupe vectoriel.

La lissité est due à [6, 3.2 Prop. 3]. Nous reportons la preuve des autres assertions à 5.17 pour alléger ce paragraphe et revenir aux modèles de G. De ce que l’on vient de rappeler résulte que lorsqu’on dilate un sous-groupe lisse et connexe de la fibre spéciale d’un modèle de G, on obtient un nouveau modèle de G.

Soit \underline{G}^{†} ⟶^{ν\underline{G}} \underline{G} la dilatation dans \underline{G} du radical unipotent ^{u}\underline{G}_{k} de la fibre spéciale de \underline{G}. Le schéma \underline{G}^{†} est donc un modèle de G tel que \underline{G}^{†}(O_{K}) = \{g ∈ \underline{G}(O_{K}), g mod ϖ ∈ ^{u}G_{k}(k)\}. Convenons de noter \underline{H}^{†} l’adhérence schématique dans \underline{G}^{†} d’un sous-groupe fermé H de G. La restriction de ν\underline{G} induit un morphisme \underline{H}^{†} ⟶ \underline{H} qui par 5.3 s’identifie à la dilatation dans \underline{H} de \underline{H}_{k} ∩^{u}\underline{G}_{k}.

Dans le cas où H = M est un sous-groupe de Levi admissible, alors \underline{M}_{k} est de la forme Z_{\underline{G}_{k}}(\underline{S}_{k}) pour un tore \underline{S}_{k}, et on a l’égalité ^{u}\underline{M}_{k} = \underline{M}_{k} ∩^{u}\underline{G}_{k} d’après [17, Exp XIX, 1.3]. Le morphisme

\underline{M}^{†} ⟶^{ν\underline{G}} \underline{M} coïncide donc avec le morphisme de dilatation ν\underline{M} du radical unipotent de la fibre spéciale de \underline{M}, ce qui montre que la notation \underline{M}^{†} n’est pas ambigüe dans ce cas.

5.5 Résultats principaux de cette section : Nous allons d’abord énoncer les résultats dont nous aurons besoin pour la suite de cet article, puis nous donnerons les preuves. Dorénavant, nous notons avec des lettres droites les ensembles de points entiers, par exemple \underline{H} = \underline{H}(O_{K}). Remarquons que \underline{H} est un pro-p-groupe si et seulement si \underline{H}_{k} est unipotent. En particulier, \underline{H}^{†} := \underline{H}^{†}(O_{K}) est un pro-p-groupe. La preuve du lemme suivant sera donnée en 5.20.

Lemme 5.6 Soit R un anneau commutatif unitaire où p est inversible. Pour un idempotent central ε de R\underline{G}, les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) ε ∈ R\underline{G}^{†}e\underline{U}_{†}R\underline{G}^{†} pour tout sous-groupe parabolique \underline{G}-admissible P = MU de G.

ii) ε ∈ R\underline{G}^{†}e\underline{U}_{†}e\overline{\underline{U}}_{†}R\underline{G}^{†} pour une paire \underline{G}-admissible de sous-groupes paraboliques opposés mini-

maux (P, \overline{P}) de G Un idempotent satisfaisant ces propriétés sera dit essentiellement de niveau zéro.

Remarque : L’expression R\underline{G}^{†}e† ; \underline{U}R\underline{G}^{†} désigne le R-module engendré par les distributions du type φ ∗ e\underline{U}_{†} ∗ ψ où φ, ψ ∈ R\underline{G}^{†}. Cette remarque s’applique à toutes les expressions de ce genre que l’on rencontrera dans la suite de ce paragraphe.

Remarquons aussi que l’idempotent associé à un caractère lisse θ : \underline{G}^{†} ⟶ R^{×} normalisé par \underline{G} est essentiellement de niveau zéro si et seulement si θ_{|\underline{U}^{†}} et θ_{|\overline{\underline{U}}^{†}} sont triviaux pour au moins une paire de paraboliques opposés \underline{G}-admissibles minimaux. Le lemme suivant étudie une situation plus générale, que l’on rencontre souvent dans la théorie des types.

Proposition 5.7 Soit \underline{G}^{∗} un sous-groupe ouvert normal de \underline{G} tel que [\underline{G}^{†}, \underline{G}^{†}] ⊆ \underline{G}^{∗} ⊆ \underline{G}^{†} et soit θ : \underline{G}^{∗} ⟶ R^{×} un caractère lisse normalisé par \underline{G}. On suppose que pour une paire \underline{G}-admissible (P, \overline{P}) de sous-groupes paraboliques opposés minimaux, on a

i) θ_{|\underline{U}^{∗}} et θ_{|\overline{\underline{U}}^{∗}} sont triviaux (où le signe ∗ indique que l’on prend l’intersection avec \underline{G}^{∗}).

ii) L’accouplement \begin{matrix}\underline{U}^{†}/\underline{U}^{∗} × \overline{\underline{U}}^{†}/\overline{\underline{U}}^{∗} & → & R^{×} \\ (u, v) & ↦ & θ([u, v]) \end{matrix} est non-dégénéré.

Alors l’idempotent central [θ] de R\underline{G}^{†} associé à θ est essentiellement de niveau zéro.

La preuve de cette proposition est donnée en 5.28. Dans les exemples que l’auteur connait, le groupe \underline{G}^{∗} est le groupe des points entiers d’un modèle lisse connexe \underline{G}^{∗} obtenu par dilatation dans \underline{G} d’un sous-groupe normal compris entre [^{u}\underline{G}_{k},^{u}\underline{G}_{k}] et ^{u}\underline{G}_{k}.

Si M est un sous-groupe de Levi \underline{G}-admissible de G, on a vu que \underline{M} est un modèle lisse connexe de M. On peut donc appliquer à \underline{M} la notion d’idempotent essentiellement de niveau 0 de R\underline{M} définie en 5.6.

Le théorème suivant est une généralisation du théorème principal de [20].

Théorème 5.8 Soit \underline{G} un modèle lisse et connexe de G et (P, \overline{P}) une paire \underline{G}-admissible de sousgroupes paraboliques opposés de G. Pour tout idempotent central essentiellement de niveau zéro ε de R\underline{M}, on a

e\underline{U}_{†}e\overline{\underline{U}}ε ∈ R\underline{G}e\underline{U}e\overline{\underline{U}}ε.

Ce résultat général ne sera toutefois pas suffisant pour les applications. On se donne maintenant un autre modèle lisse connexe \underline{G}′ de G ainsi qu’un morphisme \underline{G}′ ⟶^{φ} \underline{G} de O_{K}-schémas en groupes dont la fibre générique est un isomorphisme.

Fait 5.9 Le noyau de φ_{k} : \underline{G}′_{k} ⟶ \underline{G}_{k} est unipotent. En particulier les tores \underline{G}′-admissibles sont aussi \underline{G}-admissibles, et il en est donc de même des autres objets ”admissibles” introduits en 5.1.

En effet, en vertu de [17, Exp. XVII, Thm. 4.6.1 ] il suffit de prouver que ce noyau ne contient aucun sous-groupe algébrique isomorphe à μ_{l} pour un premier l. Or, il résulte du théorème 3.6 combiné avec le corollaire 6.6 de l’exposé IX de [17] que toute immersion μ_{l} ⟶^{ι_{k}} \underline{G}′_{k} se relève en une immersion μ_{l} ⟶^{ι} \underline{G}′. Ainsi la composée φ ∘ ι est une immersion sur la fibre générique et nulle sur la fibre spéciale, contredisant le corollaire 5.2 de ce même exposé.

Nous décorerons d’un ′ les objets définis comme ci-dessus relatifs à \underline{G}′. Par exemple, \underline{G}′^{†} désignera la dilatation du radical unipotent de \underline{G}′. Dans le corollaire suivant on fait l’hypothèse que \underline{G}′ ∩ \underline{G}^{†} ⊇ \underline{G′}^{†}. Celle-ci est satisfaite en particulier (et même équivalente si l’on remplace O_{K} par son hensélisé strict) lorsque la composée \underline{G}′^{†} ⟶ \underline{G} se factorise par \underline{G}^{†}, ce qui équivaut à la condition φ(^{u}\underline{G}′_{k}) ⊆ ^{u}\underline{G}_{k}. De plus, l’égalité \underline{G}′ ∩\underline{G}^{†} = \underline{G′}^{†} est satisfaite si le diagramme commutatif obtenu est de surcroît cartésien, ce qui équivaut à la condition φ^{−1}(^{u}\underline{G}_{k}) = ^{u}\underline{G}′_{k}, en vertu de la dernière assertion de 5.3.

La situation un peu alambiquée étudiée dans le résultat suivant est, encore une fois, motivée par les exemples connus de la théorie des types.

Corollaire 5.10 Gardons les notations ci-dessus avec l’hypothèse \underline{G}′ ∩ \underline{G}^{†} ⊇ \underline{G′}^{†}. Soit ε′ un idempotent central essentiellement de niveau zéro de R\underline{M}′, et supposons qu’il existe un idempotent ε′ de R\underline{G}′^{†}, centralisé par \underline{G}′ et satisfaisant aux propriétés suivantes :

i) e\underline{\overline{U}′}_{†}ε′e\underline{U}_{′}_{†} = e\underline{\overline{U}′}_{†}ε′e\underline{U}_{′}_{†} et e\underline{U}_{′}_{†}ε′e\underline{\overline{U}}_{′}_{†} = e\underline{U}_{′}_{†}ε′e\underline{\overline{U}}_{′}_{†}.

ii) l’ensemble d’entrelacement Int\underline{U}(ε′) := \{u ∈ \underline{U}, ε′uε′ ≠ 0\} est égal à \underline{U}′. Alors

e\underline{U}_{†}e\overline{\underline{U}}ε′ ∈ R\underline{G}e\underline{U}e\overline{\underline{U}}ε′.

La suite de cette section est consacrée aux preuves des résultats ci-dessus.

5.11 Construction de sous-groupes paraboliques \underline{G}-admissibles : Commençons par rappeler quelques constructions de Borel et Tits. Soit S un K-tore déployé dans G. Si Ω est un sous-ensemble de X^{∗}(S), nous noterons Ω̃ l’ensemble des demi-droites ouvertes de l’espace vectoriel réel X^{∗}(S) ⊗ ℝ contenant un élément de Ω. Reprenant la terminologie de Bruhat-Tits [12, 1.1.2], un élément de Φ̃(S, G) sera appelée rayon radiciel de S dans G. À tout rayon radiciel α̃ ∈ Φ̃(S, G) est associé un K-sous-groupe algébrique fermé connexe U S ; α̃ de G, dont les poids de S dans l’algèbre de Lie appartiennent à α̃, et qui est maximal pour ces propriétés cf. [12, 1.1.3]. On prolonge cette définition à α̃ = 0 en posant U_{0}^{S} := Z_{G}(S) le centralisateur de S dans G. Plus généralement, si Ω ⊂ Φ(S, G) ∪ {0}, on note U_{Ω}^{S} le sous-groupe fermé de G engendré par les U S ; α̃ pour α̃ ∈ Ω̃. Une propriété de ces constructions est que, si T est un sous tore de S et π : X^{∗}(S) ⟶ X^{∗}(T ) désigne la projection duale, alors celle-ci se restreint en une surjection π : Φ(S, G) ∪ {0} ⟶ Φ(T , G) ∪ {0} et on a U_{Ω}^{T} = U_{π^{−1}(Ω)}^{S} pour tout Ω ⊂ Φ(T , G) ∪ {0}.

Rappelons qu’un sous-ensemble Ω de Φ := Φ(S, G) est dit parabolique s’il est l’intersection de Φ avec un demi-espace fermé, et unipotent s’il est l’intersection de Φ avec un demi-espace ouvert. Si v^{∗} ∈ V^{∗} est une forme linéaire sur V, la composante de Levi du sous-ensemble parabolique Ω = Ω(v^{∗}) := {α ∈ Φ, v^{∗}(α) ⩾ 0} est par définition Ω^{0} = Ω^{0}(v^{∗}) := {α ∈ Φ, v^{∗}(α) = 0} = Ω(v^{∗}) ∩ (−Ω(v^{∗})), tandis que sa composante unipotente est Ω^{+} = Ω^{+}(v^{∗}) := {α ∈ Φ, v^{∗}(α) > 0} et sa composante unipotente opposée est Ω^{−} = Ω^{−}(v^{∗}) := −Ω(v^{∗})^{+} = Φ \ Ω(v^{∗}). Le groupe P_{Ω}^{S} := U_{Ω∪{0}}^{S} est un sous-groupe parabolique de G dont le radical unipotent est U_{Ω^{+}}^{S} et la composante de Levi est M_{Ω}^{S} := U_{Ω^{0}∪{0}}^{S}. L’opposé de P_{Ω}^{S} par rapport à M_{Ω}^{S} est P_{−Ω}^{S} dont le radical unipotent est U_{Ω^{−}}^{S}.

Notons que Φ(S, P_{Ω}^{S}) = Ω et Φ(S, U_{Ω^{+}}^{S}) = Ω^{+}. Ainsi un sous-groupe parabolique de G contenant S est de la forme P_{Ω}^{S} si et seulement si le sous-ensemble Φ(S, P) de Φ(S, G) est parabolique.

Lemme 5.12 Gardons les notations ci-dessus et supposons que le tore déployé S est \underline{G}-admissible. Alors pour tout sous-ensemble parabolique Ω de Φ(S, G), la paire de sous-groupes paraboliques opposés (P_{Ω}^{S}, P_{−Ω}^{S}) est \underline{G}-admissible.

Preuve : Par hypothèse \underline{S} est un tore, et on a Φ(S, G) = Φ(\underline{S}_{k}, \underline{G}_{k}) ⊂ X^{∗}(\underline{S}). Fixons un sousensemble parabolique Ω et posons \underline{S}_{Ω} := (∩_{α∈Ω^{0}} ker α)^{∘}, le ∘ désignant la composante connexe de l’identité. C’est un sous-tore de \underline{S} et on a dualement une projection π : X^{∗}(\underline{S}) ⟶ X^{∗}(\underline{S}_{Ω}). Par définition on a π^{−1}({0}) ∩ Φ(S, G) = Ω^{0} ∪ {0} et il s’ensuit que Z_{G}(S_{Ω}) = U_{0}^{S_{Ω}} = U_{Ω^{0}∪{0}}^{S} = M_{Ω}. En particulier, M_{Ω} est un sous-groupe de Levi \underline{G}-admissible. Soit v^{∗} une forme linéaire sur X^{∗}(S) définissant le sous-groupe parabolique Ω comme expliqué ci-dessus. Comme le noyau de π est par définition engendré par Ω^{0} et comme v^{∗} annule Ω^{0}, celle-ci se descend en une forme linéaire v_{Ω}^{∗} : X^{∗}(S_{Ω}) ⟶ ℝ. Il s’ensuit que π(Ω), resp. π(Ω^{+}), est le sous-ensemble parabolique, resp. unipotent, de Φ(S_{Ω}, G) associé à v_{Ω}^{∗}. Or, π(Ω^{+}) = Φ(S_{Ω}, U_{Ω^{+}}), et on en déduit que la paire opposée (P_{Ω}, P_{−Ω}) est \underline{G}-admissible. □

5.13 Propriétés des tores déployés \underline{G}-admissibles maximaux : Rappelons que si \underline{S} est un O_{K}- tore, alors tout morphisme \underline{S}_{k} ⟶ \underline{G}_{k} se relève de manière unique à conjugaison près en un morphisme \underline{S} ⟶ \underline{G}, voir [17, Exp. IX, Thm 3.6]. De plus, si l’on est parti d’une immersion alors un tel relèvement est aussi une immersion, par [17, Exp. IX, Cor. 6.6]. En particulier les sous-tores déployés maximaux de la fibre spéciale de \underline{G}_{k} se relèvent en des sous-tores déployés de \underline{G}, nécessairement fermés par [17, Exp. VIII, Cor. 5.7]. Leurs fibres génériques sont des tores déployés, qui ne sont généralement pas maximaux en tant que tores déployés de G, mais maximaux en tant que tores déployés \underline{G}-admissibles. Le même argument montre que tout tore déployé \underline{G}- admissible maximal est obtenu de cette manière et, comme les tores déployés maximaux de la fibre spéciale sont conjugués sous \underline{G}(k), il résulte de [17, Exp. XI, Thm 5.2 bis] que les tores déployés \underline{G}-admissibles maximaux de G sont conjugués sous \underline{G}(O_{K}).

Lemme 5.14 Soit S un tore déployé \underline{G}-admissible maximal. Un sous-groupe parabolique P de G, resp. une paire (P, \overline{P}) de sous-groupes paraboliques opposés de G, est \underline{G}-admissible si et seulement s’il existe un sous-ensemble parabolique Ω de Φ(S, G) et un élément de \underline{G}(O_{K}) conjuguant P, resp. (P, \overline{P}), à P_{Ω}^{S}, resp. à (P_{Ω}^{S}, P_{−Ω}^{S}).

Preuve : Soit (P, \overline{P}) une paire \underline{G}-admissible de sous-groupes paraboliques opposés. On peut donc trouver un tore T déployé \underline{G}-admissible dont le centralisateur est la composante de Levi commune M et tel que Φ(T , U) soit un sous-ensemble unipotent de X^{∗}(T ). Il résulte alors de [5, Thm. 4.15.a)] que U_{Φ(T ,P)}^{T} est un sous-groupe parabolique de G de composante de Levi Z_{G}(T ) = M. Comme on a évidemment U ⊆ U_{Φ(T ,U)}^{T}, il s’ensuit que P = P_{Φ(T ,P)}^{T}.

Maintenant, comme la fibre spéciale de \underline{T} est conjuguée par un élément de \underline{G}_{k}(k) à un sous-tore de \underline{S}_{k}, il résulte de [17, Exp. XI, Thm 5.2 bis] que T est lui-même conjugué par un élément de \underline{G}(O_{K}) à un sous-tore de S. Ainsi quitte à conjuguer, on peut supposer S ⊃ T et on a dualement une projection π : X^{∗}(S) ⟶ X^{∗}(T ). Posons alors Ω := Φ(S, G) ∩ π^{−1}Φ(T , P). C’est un sousensemble parabolique (défini par la composition de π avec n’importe quelle forme linéaire sur X^{∗}(T ) définissant le sous-ensemble parabolique Φ(T , P)), et par ce qui précède on a P = P_{Ω}^{S}. On en déduit au passage que Ω = Φ(S, P). □

Les sous-groupes paraboliques \underline{G}-admissibles de la forme P_{Ω}^{S} pour S tore déployé \underline{G}-admissible maximal seront appelés S-semi-standard. Le lemme ci-dessus nous permet de nous raccrocher à une étude de Bruhat et Tits.

Corollaire 5.15 (Bruhat-Tits) Soit (P, \overline{P}) une paire \underline{G}-admissible de sous-groupes paraboliques opposés de G. Alors

i) le morphisme produit induit un isomorphisme \underline{U} ⋊ \underline{M} ⟶ \underline{P}.

ii) le morphisme produit induit une immersion ouverte \underline{C} := \underline{U} × \underline{M} × \overline{\underline{U}} ⟶^{μ} \underline{G}. En particulier, \underline{U} et \overline{\underline{U}} sont lisses et connexes. De plus l’image de μ est le complémentaire d’un diviseur.

iii) le morphisme produit induit un isomorphisme (^{u}\underline{G}_{k} ∩\underline{U}_{k})×(^{u}\underline{G}_{k} ∩\underline{M}_{k})×(^{u}\underline{G}_{k} ∩\overline{\underline{U}_{k}}) \underrightarrow{∼} ^{u}\underline{G}_{k}, et de plus on a ^{u}\underline{G}_{k} ∩ \underline{M}_{k} = ^{u}\underline{M}_{k}.

iv) Supposons que P et \overline{P} sont S-semi-standards et soit Q un autre sous-groupe parabolique \underline{G}-admissible S-semi-standard, de radical unipotent V. Alors l’application produit (\underline{V} ∩ \underline{U}) × (\underline{V} ∩ \underline{M}) × (\underline{V} ∩ \underline{\overline{U}}) ⟶ \underline{V} est bijective.

Preuve : Choisissons une représentation fidèle de \underline{G} sur un O_{K}-module libre de type fini A, c’està-dire une immersion fermée \underline{G} ↪ GL(A). D’après 5.14, on peut supposer que la paire (P, \overline{P}) est semi-standard relativement au choix d’un tore déployé \underline{G}-admissible maximal S. Le tore \underline{S} agit donc sur A. Nous sommes donc dans le contexte de [12, 2.2] et pouvons appliquer les résultats qui y sont démontrés. Ainsi les deux premiers points sont donnés par [12, 2.2.3 ii) et iii)]. Pour le troisième point, la décomposition de^{u}\underline{G}_{k} est donnée par [12, 1.1.11] et la relation entre les radicaux unipotents a déjà été mentionnée plus haut. Une fois choisis des sous-ensembles paraboliques Ω et Θ de Φ(S, G) tels que P = P_{Ω}^{S} et Q = P_{Θ}, le point iv) est donné par [12, 2.2.3 i)]. □

Le lemme suivant est une source d’exemples de groupes munis d’une décomposition d’Iwahori au sens de 2.1.

Lemme 5.16 Soit (P, \overline{P}) une paire \underline{G}-admissible de paraboliques opposés, et \underline{G}′ ⟶^{φ} \underline{G} la dilatation dans \underline{G} d’un sous-groupe lisse connexe H_{k} de \underline{G}_{k} de la forme (H_{k} ∩\underline{U}_{k})(H_{k} ∩\underline{M}_{k})(H_{k} ∩\overline{\underline{U}}_{k}). Alors le triplet (\underline{U}′, \underline{M}′, \underline{\overline{U}}′) induit une décomposition d’Iwahori de \underline{G}′ = \underline{G}′(O_{K}) au sens de 2.1.

Preuve : Il est sous-entendu dans l’énoncé que les notations \underline{U}′, \underline{M}′ et \underline{\overline{U}}′ désignent les groupes de points entiers des adhérences schématiques respectives \underline{U}′, \underline{M}′ et \underline{\overline{U}}′ de U, M et \overline{U} dans \underline{G}′. Ces groupes sont bien fermés dans \underline{G}′ et il est clair que \underline{M}′ normalise \underline{U}′ et \underline{\overline{U}}′.

Montrons qu’ils satisfont le point i) de 2.1. Considérons pour cela le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{\underline{U}′ × \underline{M}′ × \underline{\overline{U}}′ \ar[d]_{φ} \ar[r]^{μ′} & \underline{G}′ \ar[d]^{φ} \\ \underline{U} × \underline{M} × \underline{\overline{U}} \ar[r]^{μ} & \underline{G}}

dans lequel les flèches horizontales sont données par le morphisme produit dans le groupe ambiant (\underline{G}′ en haut et \underline{G} en bas) et les flèches verticales sont induites par φ. D’après 5.3, la restriction \underline{U}′ ⟶ \underline{U} de φ s’identifie à la dilatation de H_{k} ∩ \underline{U}_{k} dans \underline{U}, et de même pour M et \overline{U}. Par commutation des dilatations aux produits [6, 3.2. Prop 2(d)], le morphisme φ de gauche est donc la dilatation du produit (H_{k} ∩\underline{U}_{k})×(H_{k} ∩\underline{M}_{k})×(H_{k} ∩\overline{\underline{U}}_{k}). Comme μ est une immersion par 5.15 ii), notre hypothèse sur H_{k} implique que μ^{−1}(H_{k}) = (H_{k} ∩ \underline{U}_{k}) × (H_{k} ∩ \underline{M}_{k}) × (H_{k} ∩ \overline{\underline{U}}_{k}). Comme μ est une immersion ouverte par 5.15 ii), et donc un morphisme plat, il résulte de la dernière assertion de 5.3 que le diagramme est cartésien.

Notons alors, comme dans 5.15 ii), \underline{C} := \underline{U} × \underline{M} × \underline{\overline{U}} et de même avec des ′. Soit d ∈ O_{K}[\underline{G}] une équation du diviseur complémentaire de \underline{C} dans \underline{G}. On a donc O_{K}[\underline{C}] = O_{K}[\underline{G}][1/d] et O_{K}[\underline{C}′] = O_{K}[\underline{G}′][1/d]. Comme le support H_{k} de la dilatation effectuée dans \underline{G} est disjoint du diviseur d = 0, l’élément d est inversible dans le localisé O_{K}[\underline{G}′]_{(ϖ)} de O_{K}[\underline{G}′] en l’idéal engendré par une uniformisante ϖ de O_{K}, et on a donc O_{K}[\underline{C}′]_{(ϖ)} ≃ O_{K}[\underline{G}′]_{(ϖ)}. En particulier μ′ induit une bijection \underline{C}′(O_{K}) ⟶ \underline{G}′(O_{K}). D’où le point i) de 2.1.

Pour obtenir le point ii), on remarque que la discussion ci-dessus s’applique à la dilatation \underline{G}^{1} ⟶ \underline{G} de l’unité de \underline{G}_{k} dans \underline{G}, et par récurrence, aux dilatations successives \underline{G}^{n} ⟶ \underline{G}^{n−1} de l’unité de la fibre spéciale. Or les groupes \underline{G}^{n} = \underline{G}^{n}(O_{K}) sont les groupes de congruences de \underline{G}; ils sont normaux et forment un système de voisinages ouverts de l’unité, cf. [32, 2.8]. □

5.17 Preuve de 5.4 : Notons O\underline{X} le faisceau d’anneaux structural de \underline{X} et I le faisceau d’idéaux définissant Y dans \underline{X}. Ce dernier contient donc ϖO\underline{X}, et le quotient I_{k} := I/ϖO\underline{X} est l’idéal qui définit Y dans \underline{X}_{k}. Par définition, le morphisme \underline{X}_{Y} ⟶ \underline{X} est le spectre relatif du faisceau de O\underline{X} -algèbres (⨁_{n∈ℕ} I^{n})_{(ϖ_{1})} des éléments de degré 0 dans le localisé du faiscau d’anneaux gradué ⨁_{n∈ℕ} I^{n} en la section constante de valeur ϖ de I (en degré 1 donc noté ϖ_{1} pour éviter toute ambiguïté). Ainsi la fibre spéciale \underline{X}_{Y} _{k}, qui est canoniquement isomorphe à \underline{X}_{Y} ⊗\underline{X} Y puisque φ_{Y} _{k} se factorise par Y , est le spectre relatif du faisceau de O_{Y} -algèbres (⨁_{n∈ℕ} I^{n}/I^{n+1})_{(ϖ_{1})} des éléments de degré 0 dans le localisé en ϖ_{1} (ou plus précisément son image dans I/I^{2}) de l’anneau gradué ⨁_{n∈ℕ} I^{n}/I^{n+1}.

Maintenant, nos hypothèses de lissité impliquent que les immersions Y ↪ \underline{X}_{k} et Y ↪ \underline{X} sont régulières, [19, Prop. 19.1.1]. Ceci signifie en particulier que

– l’on a une suite exacte ϖ_{1}O_{Y} ↪ I/I^{2} ↠ I_{k}/I_{k}^{2} de O_{Y} -modules localement libres de type fini (ici ϖ_{1} désigne l’image de ϖ dans I/I^{2}) [19, Prop. 19.1.5 iii)].

– le morphisme évident de O_{Y} -algèbres graduées Sym_{O_{Y}} (I/I^{2}) ⟶ ⨁_{n∈ℕ} I^{n}/I^{n+1} est un

isomorphisme [19, Prop. 16.9.4]. Maintenant, si l’on dispose d’un scindage ι : I_{k}/I_{k}^{2} ⟶ I/I^{2} de la suite exacte ci-dessus, alors le morphisme de O_{Y} -algèbres Sym_{O_{Y}} (I_{k}/I_{k}^{2}) ⟶ (Sym_{O_{Y}} (I/I^{2}))_{(ϖ_{1})} qui envoie une section s de I_{k}/I_{k}^{2} sur \frac{ι(s)}{ϖ_{1}} est un isomorphisme. Comme de tels scindages existent localement sur Y, il s’ensuit que le morphisme \underline{X}_{Y} _{k} ⟶ Y est un fibré vectoriel, localement isomorphe au fibré normal de Y dans \underline{X}_{k}. En particulier c’est un épimorphisme.

Supposons maintenant que \underline{X} et Y sont des schémas en groupes affines lisses et notons N le noyau de l’épimorphisme de k-groupes \underline{X}_{Y} _{k} ⟶ Y. On veut montrer que N est un groupe vectoriel. Pour cela il faut quelqu’information sur le coproduit de O_{\underline{X}_{Y}}. Celui-ci est induit, avant localisation, par l’application graduée ⨁_{n∈ℕ} I^{n} ⟶ ⨁_{n∈ℕ}(I ⊗ O\underline{X} + O\underline{X} ⊗ I)^{n} donnée sur chaque composante par le coproduit de O\underline{X}. En particulier, il respecte la filtration naturelle de O_{\underline{X}_{Y}}

donnée par O_{\underline{X}_{Y}}^{⩽n} := im ((⨁_{m⩽n} I^{m}) ⟶ O_{\underline{X}_{Y}} ). Soit alors J l’idéal de O\underline{X}, resp. J_{k} l’idéal de O_{\underline{X}_{k}}, associé à la section unité de \underline{X}_{k}. Par la discussion qui précède, on a donc une suite exacte ϖ_{1}.k ↪ I/J I ↠ I_{k}/J_{k}I_{k} de k-espaces vectoriels, tandis que N est le spectre de la k-algèbre O_{N} := (Sym_{k}(I/J I))_{(ϖ_{1})} des éléments de degré 0 dans la localisation de l’algèbre de polynômes Sym_{k}(I/J I) en l’élément ϖ_{1}, image de ϖ dans I/J I. Maintenant, la counité O_{N} ⟶ k est induite par l’application k-linéaire ε : I/J I ⟶ k qui envoie un élément i ∈ I sur l’image dans k de l’entier ϖ^{−1}ε\underline{X} (i) où ε\underline{X} : O\underline{X} ⟶ O désigne la counité de \underline{X}. Comme l’application linéaire ε envoie ϖ_{1} sur 1, elle scinde la suite exacte ci-dessus, d’où des isomorphismes canoniques ker ε \underrightarrow{∼} I_{k}/J_{k}I_{k} et Sym_{k}(ker ε) \underrightarrow{∼} O_{N}. Ce dernier isomorphisme étant compatible à la filtration usuelle de Sym et à la filtration sur O_{N} image de celle définie plus haut sur O_{\underline{X}_{Y}}, on en déduit que le coproduit sur Sym(ker ε) envoie ker ε dans ker ε ⊗ k + k ⊗ ker ε. Mais alors, comme on le voit en utilisant les égalités μ_{N} ∘ (ε_{N} ⊗ Id) ∘ Δ_{N} = μ_{N} ∘ (Id ⊗ε_{N}) ∘ Δ_{N} = Id (où Δ_{N}, μ_{N} et ε_{N} désignent respectivement le coproduit, le produit et la counité de O_{N}), il s’ensuit que le coproduit est donné sur ker ε par la formule Δ_{N}(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x. Donc N est le k-schéma en groupes vectoriel sous-jacent au k-espace normal de Y dans \underline{X}_{k} en l’unité de Y.

5.18 Dilatations associées aux sous-groupes paraboliques \underline{G}-admissibles : Si P est un sousgroupe parabolique \underline{G}-admissible de G, le groupe P̃_{k} := ^{u}\underline{G}_{k}\underline{P}_{k} est un sous-groupe parabolique de \underline{G}_{k}. Plus précisément, supposons P = P_{Ω}^{S} comme dans 5.14, et introduisons le quotient réductif q\underline{G}_{k} := \underline{G}_{k}/^{u}\underline{G}_{k} de \underline{G}_{k} et son système de racines Φ_{†} := Φ(\underline{S}_{k},^{q}\underline{G}_{k}) ⊆ Φ ⊂ V. Il résulte alors des définitions que P̃_{k}/^{u}\underline{G}_{k} est le parabolique de ^{q}\underline{G}_{k} contenant \underline{S}_{k} et associé au sous-ensemble parabolique Ω_{†} := Ω ∩ Φ_{†} de Φ_{†}. L’application

\{Paraboliques \underline{G}-admissibles de G\} ⟶ \{Paraboliques de \underline{G}_{k}\}

ainsi obtenue est croissante pour la relation de contenance, surjective, mais généralement pas injective. Nous appelons co-rang résiduel de P dans \underline{G} le co-rang du parabolique associé P̃_{k} dans \underline{G}_{k}, c’est-à-dire la différence des k-rangs semi-simples de \underline{G}_{k} et P̃_{k}. Il est toujours inférieur ou égal au co-rang de P dans G.

On considère maintenant \underline{G}_{P} ⟶^{ν_{P}} \underline{G} la dilatation dans \underline{G} de P̃_{k}. Ainsi le O_{K}-schéma \underline{G}_{P} est un modèle lisse connexe de G. Notons que P a un corang résiduel nul dans \underline{G}_{P} et que ν_{P} est un isomorphisme si et seulement si P a un corang résiduel nul dans \underline{G}. Le lemme 5.9 montre que les tores \underline{G}_{P}-admissibles sont exactement les \underline{G}_{P}(O_{K})-conjugués des tores \underline{G}-admissibles qui sont contenus dans P. En particulier, si P est S-semi-standard, alors tous les sous-groupes paraboliques S-semi-standard sont \underline{G}_{P}-admissibles.

Soit \underline{G}_{P}^{†} ⟶ \underline{G}_{P} la dilatation du radical unipotent de la fibre spéciale de \underline{G}_{P}. D’après le lemme 5.4, ce radical unipotent est l’image réciproque du radical unipotent ^{u}P̃_{k} de P̃_{k}. La propriété universelle des dilatations montre donc que la composée \underline{G}_{P}^{†} ⟶ \underline{G}_{P} ⟶ \underline{G} s’identifie à la dilatation de ^{u}P̃_{k} dans \underline{G}. On a donc, par définition, \underline{G}_{P} = \underline{G}^{†}\underline{P} et \underline{G}_{P}^{†} = \underline{G}^{†}\underline{U}, et par 5.16, le triplet (\underline{\overline{U}}^{†}, \underline{M}, \underline{U}), resp. (\underline{\overline{U}}^{†}, \underline{M}^{†}, \underline{U}), induit une décomposition d’Iwahori de \underline{G}_{P}, resp. \underline{G}_{P}^{†}.

Si maintenant Q ⊂ P est un autre sous-groupe parabolique admissible, alors le même argument que ci-dessus montre qu’il existe un isomorphisme canonique (\underline{G}_{P})_{Q} \underrightarrow{∼} \underline{G}_{Q} qui identifie la

composée (\underline{G}_{P})_{Q} ⟶ \underline{G}_{P} ⟶ \underline{G} à \underline{G}_{Q} ⟶^{ν_{Q}} \underline{G}.

Enfin, si Q est un autre sous-groupe parabolique \underline{G}-admissible, la projection \underline{G} ⟶ ^{q}\underline{G}_{k}(k) induit une bijection des doubles classes :

\underline{Q}\\underline{G}/\underline{G}_{P} ≃ \underline{G}_{Q}\\underline{G}/\underline{P} \underrightarrow{∼} Q̃_{k}\\underline{G}_{k}/P̃_{k}.

Précisons cela dans le cas où Q et P sont semi-standard pour un choix de tore déployé maximal \underline{S} dans \underline{G}. D’après [17, Exp. XI, Cor. 5.3.bis], le O_{K}-foncteur en groupes “normalisateur de \underline{S} dans \underline{G}” est représentable par un schéma lisse sur O_{K}. On sait [12, 1.1.13] que le groupe de Weyl W (Φ_{†}) s’identifie à W (\underline{S}_{k}, \underline{G}_{k}) := N\underline{G}(\underline{S})(k)/Z\underline{G}(\underline{S})(k). Par lissité, on peut donc relever chaque w ∈ W (\underline{S}_{k}, \underline{G}_{k}) en une O_{K}-section n_{w} de N\underline{G}(\underline{S}). On obtient donc, en relevant la décomposition de Bruhat de \underline{G}_{k} relativement à la paire de sous-groupes paraboliques (P̃_{k}, Q̃_{k}), la décomposition

\underline{G} = ⨆_{w∈[W (\underline{S}_{k},Q̃_{k})\W (\underline{S}_{k},\underline{G}_{k})/W (\underline{S}_{k},P̃_{k})]} \underline{Q}n_{w}\underline{P} \underline{G}^{†} (5.19)

où les crochets désignent un ensemble de représentants des doubles classes dans W (\underline{S}_{k}, \underline{G}_{k}).

5.20 Preuve du lemme 5.6 : Montrons d’abord l’implication i) ⇒ ii) de ce lemme. Fixons une paire (P, \overline{P}) comme dans 5.6 ii). Sous l’hypothèse 5.6 i), on a ε ∈ R\underline{G}^{†}e\underline{U}_{†}R\underline{G}^{†} ∩ R\underline{G}^{†}e\underline{\overline{U}}_{†}R\underline{G}^{†}

donc ε ∈ R\underline{G}^{†}e\underline{U}_{†}R\underline{G}^{†}e\underline{\overline{U}}_{†}R\underline{G}^{†} puisque ε est idempotent. En vertu du point iii) de 5.15, on peut

appliquer le lemme 5.16 à \underline{G}′ = \underline{G}^{†} pour obtenir une décomposition d’Iwahori \underline{G}^{†} = \underline{U}^{†}\underline{M}^{†}\underline{\overline{U}}^{†}, et donc e\underline{U}_{†}R\underline{G}^{†}e\underline{\overline{U}}_{†} = R\underline{M}^{†}e\underline{U}_{†}e\underline{\overline{U}}_{†}.

Montrons maintenant l’implication ii) ⇒ i) de 5.6. Soit Q un sous-groupe parabolique \underline{G}- admissible de radical unipotent V. On peut supposer grâce à 5.14 que Q est S-semi-standard pour un tore déployé \underline{G}-admissible maximal S. Notons \underline{G}^{s} la dilatation de ^{u}\underline{G}_{k}\underline{S}_{k} dans \underline{G}. Remarquons que pour tout rayon radiciel α̃ ∈ Φ(S, G), on a (avec une notation évidente) U † ; α̃ = U s ; α̃. Appliquons alors à \underline{G}^{s} le point iv) du corollaire 5.15 avec P minimal et S-semi-standard. On a donc V ∩ M = \{1\}, et on obtient pour les idempotents associés e_{V^{†}} = e_{V^{†}∩U}e_{V^{†}∩\overline{U}}.

5.21 Preuve de 5.8 : réduction au co-rang résiduel 1 : Commençons par remarquer que l’énoncé de 5.8 est vide lorsque P est de corang résiduel nul dans G, puisqu’on a alors \underline{U} = \underline{U}^{†}. Nous supposerons donc ce corang résiduel strictement positif et nous allons nous ramener au cas où il vaut 1. Pour cela, il sera pratique de supposer, comme nous le permet le lemme 5.14, que la paire (P, \overline{P}) est S-semi-standard, i.e. de la forme (P_{Ω}^{S}, P_{−Ω}^{S}) pour un choix de tore déployé \underline{G}-admissible maximal S dans G et un sous-ensemble parabolique Ω de Φ(S, G).

Rappelons alors qu’on peut trouver une suite Ω_{0} := −Ω, Ω_{1}, ⋯, Ω_{r} := Ω de sous-ensembles paraboliques de Φ(S, G), de composante de Levi commune Ω^{0} et tels que

i) pour tout i, la réunion Θ_{i} := Ω_{i−1} ∪ Ω_{i} est un sous-ensemble parabolique engendrant un sous-espace vectoriel réel Vect_{ℝ}(Ω^{0}) de X^{∗}(S) ⊗ ℝ de codimension 1 dans Vect_{ℝ}(Θ_{i}^{0}).

ii) la suite Ω^{+} ∩ Ω_{i}^{+} est strictement croissante. (Pour mémoire : les paraboliques dont la composante de Levi contient Ω^{0} sont de la forme Ω(v^{∗}) pour v^{∗} ∈ Vect_{ℝ}(Ω^{0})^{⊥}. Les classes d’équivalence pour la relation Ω(v_{1}^{∗}) = Ω(v_{2}^{∗}) sur Vect_{ℝ}(Ω^{0})^{⊥} sont les facettes d’une décomposition en cônes convexes. Les cônes ouverts (chambres) correspondent aux paraboliques de Levi Ω^{0}. On obtient des Ω_{i} comme dans l’énoncé en choisissant une galerie tendue (i.e. de longueur minimale, cf. [11, 1.1]) entre les cônes correspondant à Ω et −Ω.)

Posons alors \underline{G}_{i} := \underline{G}_{P_{Θ_{i}}}. Par construction, P est de co-rang résiduel ⩽ 1 dans chaque \underline{G}_{i}.

Lemme 5.22 Supposons que pour chaque i, l’énoncé de 5.8 est vérifié lorsqu’on remplace \underline{G} par \underline{G}_{i}. Alors l’énoncé de 5.8 est vérifié pour \underline{G}.

Preuve : Restant cohérents avec le système de notations utilisé jusqu’ici, nous notons \underline{U}_{i}, resp. \underline{U}_{i}^{†}, l’adhérence schématique de U dans \underline{G}_{i}, resp. dans \underline{G}_{i}^{†}. Insistons sur le fait que le † de \underline{G}_{i}^{†} se rapporte à \underline{G}_{i} et non à \underline{G}, cf. plus haut. En particulier \underline{U}_{i}^{†} est généralement distinct de \underline{U}^{†} ∩ \underline{G}_{i}.

Nous allons prouver

\underline{\overline{U}}_{1} = \underline{\overline{U}}, \underline{\overline{U}}_{r}^{†} = \underline{\overline{U}}^{†} et ∀i = 1, ⋯, r, \underline{\overline{U}}_{i}^{†} = \underline{\overline{U}}_{i+1} (5.23)

et symétriquement \underline{U}_{1}^{†} = \underline{U}^{†}, \underline{U}_{r} = \underline{U} et ∀i = 1, ⋯, r, \underline{U}_{i} = \underline{U}_{i+1}^{†} (5.24)

De 5.23 nous retiendrons en particulier e\underline{\overline{U}} = e_{\underline{\overline{U}}_{i}}e\underline{\overline{U}} pour tout i = 1, ⋯, r, de sorte que l’hypothèse du lemme nous donne

∀i = 1, ⋯, r, e\underline{U}{† \atop i}e\underline{\overline{U}} ∈ R\underline{G}_{i}e_{\underline{U}_{i}}e\underline{\overline{U}}.

On termine alors la preuve du lemme en écrivant grâce à 5.24

e\underline{U}_{†}e\underline{\overline{U}} = e\underline{U}{† \atop 1}e\underline{\overline{U}} ∈ R\underline{G}e_{\underline{U}_{1}}e\underline{\overline{U}} = R\underline{G}e\underline{U}{† \atop 2}e\underline{\overline{U}} ⊂ R\underline{G}e_{\underline{U}_{2}}e\underline{\overline{U}} ⋯ ⊂ R\underline{G}e_{\underline{U}_{r}}e\underline{\overline{U}} = R\underline{G}e\underline{U}e\underline{\overline{U}}

où les ⋯ désignent une récurrence évidente. Reste donc à prouver 5.23 et 5.24. Pour des raisons de symétrie,on se contentera de prouver 5.24. Vue la définition de G_{r}, l’égalité \underline{U}_{r} = \underline{U} équivaut à la relation Ω^{+} ⊆ Θ_{r}, laquelle est vraie puisque Θ_{r} ⊃ Ω. Vue la définition de G_{1}^{†}, l’égalité \underline{U}_{1}^{†} = \underline{U}^{†} équivaut à la relation Ω^{+} ⊆ −Θ_{1}, laquelle est assurée par Θ_{1} ⊃ Ω_{0} = −Ω. Enfin pour i = 1, ⋯, r, vues les définitions de G_{i} et G_{i+1}^{†}, l’égalité \underline{U}_{i} = \underline{U}_{i+1}^{†} équivaut à l’identité Ω^{+} ∩ Θ_{i} = Ω^{+} ∩ Θ_{i+1}^{+}. Or,

Ω^{+} ∩ Θ_{i+1}^{+} = Ω^{+} ∩ (Ω_{i}^{+} ∩ Ω_{i+1}^{+}) = Ω^{+} ∩ Ω_{i}^{+}

par la propriété ii) de la suite (Ω_{i})_{i}, tandis que

Ω^{+} ∩ Θ_{i} = Ω^{+} ∩ (Ω_{i} ∪ Ω_{i−1}) = Ω^{+} ∩ (Ω_{i}^{+} ∪ Ω_{i−1}^{+}) = Ω^{+} ∩ Ω_{i}^{+},

par cette même propriété ii) (la deuxième égalité vient de Ω^{+} ∩ Ω^{0} = ∅).

□

5.25 Preuve de 5.8 : récurrence : Nous allons effectuer une double récurrence, la première portant sur le rang semisimple résiduel de \underline{G} (c’est-à-dire le k-rang semisimple de \underline{G}_{k}), la deuxième portant sur le rang semisimple de la paire (P, \overline{P}).

L’amorce de la première récurrence ne pose pas de problème puisque lorsque \underline{G} est de rang semisimple résiduel nul, on a pour tout sous-groupe parabolique \underline{G}-admissible P l’identité \underline{U}^{†} = \underline{U}, donc l’énoncé de 5.8 est trivial. Fixons donc un modèle \underline{G} et supposons 5.8 prouvé pour les modèles de rang semisimple résiduel strictement inférieur à celui de \underline{G}. Alors d’après le paragraphe précédent, 5.8 est vrai pour toute paire (P, \overline{P}) de corang résiduel strictement supérieur à 1 ; en effet les modèles intermédiaires \underline{G}_{i} sont alors de rang résiduel strictement inférieur à celui de \underline{G}. Fixons alors une paire (P, \overline{P}) de corang résiduel égal à 1. Notre deuxième hypothèse de récurrence sera que 5.8 est connu pour toute paire (P′, \overline{P}′) contenue dans (P, \overline{P}). Le raisonnement qui suit justifiera à la fois l’amorce et le pas de cette deuxième récurrence.

D’après 5.14, on peut supposer que la paire (P, \overline{P}) est semi-standard relativement au choix d’un tore déployé \underline{G}-admissible maximal S de G. Enfin, en l’absence d’ambiguïté, nous allègerons les notations en cessant de souligner les groupes de points entiers ; \underline{G} devient donc G, \underline{U}^{†} devient U^{†}, etc...

Comme dans [20], le principe de la preuve repose sur l’égalité suivante dans RG :

[U : U^{†}]e_{U^{†}}e\overline{U}e_{U}e\overline{U} = e_{U^{†}}e\overline{U}e_{U^{†}}e\overline{U} + ∑_{u∈U/U^{†}\\{1\}} e_{U^{†}}e\overline{U}ue_{U^{†}}e\overline{U}.

D’après 2.2 appliqué à G\overline{P} = U^{†}M^{†}\overline{U}, il existe un élément central inversible z_{P} dans RM tel que e_{U^{†}}e\overline{U}e_{U^{†}}e\overline{U} = z_{P}e_{U^{†}}e\overline{U}. Ainsi pour prouver l’énoncé de 5.8, il suffira de prouver que pour tout u ∈ U \ U^{†}, on a X(u) := εe_{U^{†}}e\overline{U}ue_{U^{†}}e\overline{U}ε ∈ RGe_{U}e\overline{U}ε. (5.26)

D’après la décomposition de Bruhat 5.19 relative au sous-groupe parabolique \overline{P} et appliquée à u, il existe un élément n_{w} ∈ N\underline{G}(\underline{S})(O_{K}), des éléments \overline{u}_{i} ∈ \overline{U} et m_{i} ∈ M pour i = 1, 2 et un élément g^{†} ∈ G^{†} tels que u = m_{1}\overline{u}_{1}n_{w}\overline{u}_{2}m_{2}g^{†}. Comme u est dans U \ U^{†} qui est contenu dans G \ \overline{P} G^{†}, l’image w de n_{w} dans W (S_{k},^{q}\underline{G}_{k}) n’appartient pas à W (S_{k},^{q}\underline{M}_{k}). Puisque M normalise \overline{U} et U^{†}, il s’ensuit que

X(u) ∈ RM.εe_{U^{†}}e\overline{U}n_{w}.RG^{†}.e\overline{U}εRM.

Utilisons maintenant l’hypothèse faite sur ε d’être “essentiellement de niveau 0” ; comme le groupe M ∩^{w}U (où on a posé ^{w}U := n_{w}Un_{w}^{−1}) est le radical unipotent du sous-groupe parabolique M ∩ wP de M et comme M ∩^{w}U^{†} = (M ∩^{w}U)^{†}, elle nous permet d’écrire que ε ∈ RM^{†}e_{M∩^{w}U^{†}}RM^{†}. On en déduit

X(u) ∈ RM.εe_{U^{†}}e_{M∩^{w}U^{†}}e\overline{U}n_{w}.RG^{†}.e\overline{U}εRM.

On décompose maintenant le premier e\overline{U} en un produit e_{\overline{U}∩^{w}U}e_{\overline{U}∩^{w}M}e_{\overline{U}∩^{w}\overline{U}} grâce au point iv) de 5.15 appliqué à (P, Q) ↦ (^{w}P, P). En remarquant que e_{\overline{U}∩^{w}\overline{U}}n_{w}.RG^{†}.e\overline{U} ⊆ n_{w}R(\overline{U}.G^{†}).e\overline{U} = n_{w}.RG^{†}.e\overline{U}, on obtient

X(u) ∈ RM.εe_{U^{†}}e_{M∩^{w}U^{†}}e_{\overline{U}∩^{w}U}e_{\overline{U}∩^{w}M}n_{w}.RG^{†}.e\overline{U}εRM.

Observons que le produit e_{U∩^{w}U^{†}}e_{M∩^{w}U^{†}}e_{\overline{U}∩^{w}U} est l’idempotent associé au pro-p-groupe^{w}U^{†}(^{w}U∩ \overline{U}) et s’écrit encore e_{^{w}U^{†}}e_{\overline{U}∩^{w}U} = e_{\overline{U}∩^{w}U}e_{^{w}U^{†}}. Ainsi, en décomposant e_{U^{†}} = e_{U^{†}∩^{w}\overline{U}}e_{U^{†}∩^{w}M}e_{U^{†}∩^{w}U}, puis en faisant commuter à n_{w}, on obtient, avec la notation X^{w} := w^{−1}Xw = ^{w^{−1}}X, la première ligne de

X(u) ∈ (RM.εe_{U^{†}∩^{w}\overline{U}} n_{w}) e_{M∩U^{†w}}(e_{U∩\overline{U}^{w}} e_{U^{†}})e_{M∩\overline{U}^{w}}.RG^{†}.e\overline{U}εRM
⊂ RG.e_{M∩U^{†w}}e_{U∩\overline{U}^{w}}e_{M∩\overline{U}^{w}}e_{U^{†}}.RG^{†}.e\overline{U}εRM
= RG.e_{M∩U^{†w}}e_{U∩\overline{U}^{w}}e_{M∩\overline{U}^{w}}e_{U^{†}}e\overline{U}εRM
= RG.e_{M∩U^{†w}}e_{U∩\overline{U}^{w}}e_{U^{†}}e\overline{U}e_{M∩\overline{U}^{w}}.εRM
= RG.e_{U∩\overline{U}^{w}}(e_{U^{†}}e_{M∩U^{†w}})(e\overline{U}e_{M∩\overline{U}^{w}}).εRM (∗)

Dans la deuxième ligne, on fait commuter e_{M∩\overline{U}^{w}} et e_{U^{†}} car M normalise U^{†}. À la troisième ligne, on utilise la décomposition à la Iwahori G^{†} = U^{†}M^{†}\overline{U}^{†} pour écrire e_{U^{†}}.RG^{†}.e\overline{U} = e_{U^{†}}e\overline{U}.RM^{†}. La quatrième ligne vient encore du fait que M normalise U^{†} et \overline{U}, et la dernière vient du fait que M^{†} normalise le groupe U^{†}(U ∩ \overline{U}^{w}) puisqu’il normalise U, U^{†} et agit trivialement sur le quotient.

Deux cas se présentent maintenant : supposons tout d’abord que M ∩ P^{w} soit un sousgroupe parabolique propre de M et posons P′ := (M ∩ P^{w})U. C’est un sous-groupe parabolique de G strictement contenu dans P. Il est S-semistandard, associé au sous-ensemble parabolique Φ(S, P′) = Φ(S, U)∪(Φ(S, M)∩^{w}Φ(S, P)), donc \underline{G}-admissible par 5.12. Son radical unipotent est U′ := (M ∩ U^{w})U, sa composante de Levi semi-standard est L := M ∩ M^{w}, et son opposé semistandard est \overline{P}′ := (M ∩ \overline{P}^{w})\overline{U}. La décomposition d’Iwahori M^{†} = (M^{†} ∩ U^{w})L^{†}(M^{†} ∩ \overline{U}^{w}) nous fournit une unique distribution ε_{L} dans RL^{†} telle que e_{M^{†}∩U^{w}}εe_{M^{†}∩\overline{U}^{w}} = e_{M^{†}∩U^{w}}ε_{L}e_{M^{†}∩\overline{U}^{w}}. Par unicité et par la proposition 2.2, ε_{L} est un idempotent central de RL^{†}. Vérifions que ε_{L} est essentiellement de niveau 0, et fixons pour cela un sous-groupe parabolique S-semistandard minimal R de G dont le radical unipotent V contient U′. Par la définition 5.6, on a ε ∈ RM^{†}e_{M^{†}∩\overline{V}} e_{M^{†}∩V} RM^{†}. On en déduit

e_{M^{†}∩U^{w}}εe_{M^{†}∩\overline{U}^{w}} ∈ e_{M^{†}∩U^{w}}RM^{†}e_{M^{†}∩\overline{V}} e_{M^{†}∩V} RM^{†}e_{M^{†}∩\overline{U}^{w}}
= e_{M^{†}∩U^{w}}RL^{†}e_{M^{†}∩\overline{U}^{w}}e_{L^{†}∩\overline{V}} e_{L^{†}∩V} e_{M^{†}∩U^{w}}RL^{†}e_{M^{†}∩\overline{U}^{w}}
= e_{M^{†}∩U^{w}}RL^{†}e_{L^{†}∩\overline{V}} e_{L^{†}∩V} RL^{†}e_{M^{†}∩\overline{U}^{w}}

On a utilisé la décomposition M^{†} = (M^{†} ∩U^{w})L^{†}(M^{†} ∩\overline{U}^{w}) pour changer M en L dans la seconde ligne, et on a appliqué 2.2 à cette même décomposition pour passer à la troisième ligne. Par l’unicité de cette décomposition, il s’ensuit que ε_{L} ∈ RL^{†}e_{L^{†}∩\overline{V}} e_{L^{†}∩V} RL^{†}, autrement dit, ε_{L} est essentiellement de niveau 0 dans RL. On peut donc appliquer notre deuxième hypothèse de récurrence à la paire (P′, \overline{P}′) et pour l’idempotent ε_{L}; celle-ci nous dit que e_{U′}_{†}e\overline{U}′ε_{L} ∈ RGe_{U′}e\overline{U}′ε_{L}. Or d’après 5.15 iv) appliqué à Q = P′ ou Q = \overline{P}′, on a les égalités U′ = U(M ∩ U^{w}) et \overline{U′} = \overline{U}(M ∩ \overline{U}^{w}), et d’après ce même point appliqué à Q = P′ et au modèle de G déduit de \underline{G} par dilatation de \underline{S}_{k}.^{u}\underline{G}_{k}, on a l’égalité U′^{†} = U^{†}(M ∩ U^{†}^{w}). Par ailleurs, comme ε est central dans RM, on a par définition de ε_{L} l’égalité e_{M∩U^{†}^{w}}e_{M∩\underline{U}^{w}}ε = e_{M∩U^{†}^{w}}e_{M∩\underline{U}^{w}}ε_{L}, et on obtient finalement, à partir de la ligne (∗)

X(u) ∈ RG.(e_{U}e_{M∩U^{w}})(e\overline{U}e_{M∩\overline{U}^{w}}).εRM
⊂ RGe_{U}e\overline{U}ε

toujours en utilisant le fait que M normalise U et \overline{U}.

Supposons au contraire que M ∩ P^{w} = M, ou de manière équivalente, que M = w^{−1}Mw, c’est-à-dire que n_{w} normalise M. C’est ici qu’intervient l’hypothèse de corang résiduel 1. Celle-ci dit que ^{q}\underline{M}_{k} est un sous-groupe de Levi maximal (et propre) de ^{q}\underline{G}_{k}, donc est la composante de

Levi d’exactement deux sous-groupes paraboliques, à savoir P̃_{k} et ˜ \overline{P}_{k}. Puisque n_{w} normalise ^{q}\underline{M}_{k} et puisque w n’est pas dans W (\underline{S}_{k}, \underline{M}_{k}), il s’ensuit que la conjugaison par n_{w} échange les sousgroupes paraboliques P̃_{k} et ˜ \overline{P}_{k}. Par conséquent, la conjugaison par n_{w} induit un isomorphisme G_{P} \underrightarrow{∼} G\overline{P}, induisant à son tour un isomorphisme G_{P}^{†} \underrightarrow{∼} G† ; \overline{P} qui sur les point entiers signifie simplement que w^{−1}G^{†}\overline{U}w = G^{†}U. On en tire immédiatement que U = U^{†}(U ∩ \overline{U}^{w}), et la ligne (∗) ci-dessus nous donne

X(u) ∈ RG.e_{U}e\overline{U}ε.

On a donc terminé la preuve de 5.26 et par là celle du théorème 5.8.

5.27 Preuve du corollaire 5.10 : Comme dans la preuve précédente, nous allégeons les notations en ne soulignant pas les groupes de points entiers. On a donc U′ ⊂ U et \overline{U}′ ⊂ \overline{U}. De plus l’hypothèse G′ ∩ G^{†} ⊇ G′^{†} entraine U′ ∩ U^{†} ⊇ U′^{†}, comme on le voit en prenant l’intersection avec U(K). D’après la proposition 2.2 appliquée à la décomposition d’Iwahori G† ; \overline{P} = U^{†}M^{†}\overline{U}, on a e_{U^{†}}e\overline{U} ∈ RGe\overline{U}e_{U^{†}}e\overline{U}. On a donc e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGe\overline{U}e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ = RGe\overline{U}ε′e_{U^{†}}ε′e\overline{U}, et grâce à l’hypothèse i), il vient

e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGe\overline{U}ε′e_{U^{†}}ε′e\overline{U}.

D’après l’hypothèse ii) sur l’entrelacement de ε′, on a donc e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGε′e_{U′∩U^{†}}ε′e\overline{U}, et par l’inclusion U^{†}∩U′ ⊇ U′^{†} et le fait que ε′ est centralisé par G′, on en déduit e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGε′e_{U′}_{†}ε′e\overline{U}. Utilisant à nouveau l’hypothèse i) et le fait que ε′ commute à e\overline{U}′, on obtient que e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGε′e_{U′}_{†}e_{\overline{U}}′ε′e\overline{U}. D’après le théorème 5.8 appliqué à \underline{G}′ et ε′, on a e_{U′}_{†}e\overline{U}′ε′ ∈ RG′e_{U′}e\overline{U}′ε′. Utilisant à nouveau le fait que ε′ commute à e\overline{U}′, l’hypothèse i), puis le fait que ε′ est centralisé par G′, on en déduit que

e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGε′ RG′ e_{U′}e_{\overline{U}}′ε′e\overline{U} = RGε′ RG′ e_{U′}ε′e\overline{U} = RGε′e_{U′}ε′e\overline{U}.

Or, par l’hypothèse ii) sur l’entrelacement, on a ε′e_{U′}u ε′ = 0 pour tout u ∈ U \ U′, et donc ε′e_{U′}ε′ = [U : U′]^{−1}ε′e_{U}ε′. On en déduit, moyennant une ultime application de l’hypothèse i), que

e_{U^{†}}e\overline{U}ε′ ∈ RGe_{U}ε′e\overline{U} = RGe_{U}e\overline{U}ε′.

5.28 Preuve de 5.7 : Comme dans les preuves précédentes, nous allégeons les notations en ne soulignant pas les groupes de points entiers. Pour un caractère χ : U^{†}/U^{∗} ⟶ R^{×}, on note [χ] l’idempotent de RU^{†} associé. L’hypothèse ii) implique que R est suffisamment gros pour que ∑_{χ}[χ] = e_{U^{∗}}, la somme étant sur tous les caractères χ. On a donc l’égalité dans RG^{†}

[θ] = ∑_{χ}[χ][θ].

Fixons maintenant un tel caractère χ ainsi qu’un élément u ∈ \overline{U}^{†} et calculons l’expression [χ]u[χ][θ]. On a

|U^{†}/U^{∗}|.[χ]u[χ][θ] = ∑_{v∈U^{†}/U^{∗}} χ^{−1}(v)e_{U^{∗}}vu[χ][θ]
= ∑_{v} χ^{−1}(v)e_{U^{∗}}vuv^{−1}χ(v)[χ][θ]
= e_{U^{∗}}u ∑_{v}[u^{−1}, v][χ][θ] = e_{U^{∗}}u ∑_{v} θ([u^{−1}, v])[χ][θ]

D’après le ii) de notre hypothèse, la somme ∑_{v} θ([u^{−1}, v]) est nulle sauf si u ∈ \overline{U}^{∗}. On en déduit que

|\overline{U}^{†}/\overline{U}^{∗}|[χ]e\overline{U}_{†}[χ][θ] = ∑_{u∈\overline{U}^{†}/\overline{U}^{∗}}[χ]e\overline{U}^{∗}u[χ][θ]
= [χ]e\overline{U}^{∗}[χ][θ] = [χ][θ]

et donc que

[θ] = ∑_{χ}[χ][θ] = |\overline{U}^{†}/\overline{U}^{∗}| ∑_{χ}[χ]e\overline{U}_{†}[χ][θ]
∈ RG^{†}e\overline{U}_{†}RG^{†}

De même on prouve que [θ] ∈ RG^{†}e_{U^{†}}RG^{†}. On en déduit alors que [θ = [θ][θ] appartient à RG^{†}e\overline{U}_{†}RG^{†}e_{U^{†}}RG^{†}. Or par la décomposition d’Iwahori G^{†} = \overline{U}^{†}M^{†}U^{†}, ce dernier R-module s’écrit encore RG^{†}e\overline{U}_{†}e_{U^{†}}RG^{†}. Il s’ensuit que [θ] vérifie le point ii) de la définition 5.6.

6 Paraboliques minimaux, niveau zéro

Nous reprenons maintenant les notations du paragraphe 2.11, tout en conservant les conventions de la section précédente concernant les sous-groupes paraboliques. En particulier si x ∈ B(G, K), on note G_{x} le modèle lisse de G associé à x par Bruhat-Tits, et G_{x}^{∘} sa composante neutre. Commençons par la remarque suivante :

Remarque 6.1 Soit x ∈ B(G, K) et M un sous-groupe de Levi de G. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) x ∈ B(M, K)

ii) L’adhérence schématique dans G_{x} du tore déployé maximal du centre de M est un tore. iii) M est G_{x}^{∘}-admissible au sens de 5.1. Il sensuit qu’une paire de sous-groupes paraboliques opposés est G_{x}^{∘}-admissible si et seulement si sa composante de Levi commune l’est.

Preuve : Par construction des groupes de Bruhat-Tits, G_{x} a la propriété suivante : les tores déployés G_{x}^{∘}-admissibles maximaux de G sont exactement les tores déployés maximaux de G dont l’appartement associé contient x. Prouvons alors i) ⇒ ii). Supposons x ∈ B(M, K). On peut alors trouver un tore déployé maximal de M dont l’appartement associé contient x. Celui-ci est G_{x}^{∘}-admissible, et contient la partie déployée du centre de M. Donc celle-ci est aussi G_{x}^{∘}-admissible. L’implication ii) ⇒ iii) est tautologique, vue la définition d’admissibilité. Prouvons maintenant iii) ⇒ i). D’aprés 5.14 on peut trouver un tore déployé G_{x}^{∘}-admissible maximal contenu dans M. Ce tore est déployé maximal dans G, son appartement contient le point x et est contenu dans l’immeuble B(M, K) de M. Enfin, la dernière assertion découle de la remarque finale du paragraphe 5.1. □

Proposition 6.2 Soit (P, \overline{P}) une paire de sous-groupes paraboliques opposés de G et x un point de l’immeuble B(M, K) de leur composante de Levi commune.

i) (niveau zéro) e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}e_{M_{x}^{+}} ∈ (RG_{x})e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}e_{M_{x}^{+}}.

ii) Si P est minimal, alors e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}} ∈ (RG_{x})e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}.

Preuve : Remarquons pour commencer que les groupes U_{x} et \overline{U}_{x} obtenus par adhérence schématique de U dans G_{x} sont connexes donc contenus dans G_{x}^{∘}. Pour le voir, on peut se ramener aux adhérences de groupes radiciels U_{α,x}, lesquelles sont explicitées par Bruhat-Tits (construction en [12, 4.3 et 5.2.2] et propriété d’immersion fermée de [12, 3.8.1 (S2)]) qui montrent que leurs schémas sous-jacents sont des vectoriels sur O_{K}. Comme G_{x}^{+} = (G_{x}^{∘})^{†}(O_{K}), on voit que tous les idempotents de l’énoncé sont en réalité dans G_{x}^{∘}.

Dans le point i), l’idempotent e_{M_{x}^{+}} est clairement “essentiellement de niveau zéro” au sens de 5.6, donc on peut appliquer le théorème 5.8. Dans le point ii), on remarque que l’idempotent 1_{M_{x}^{+}} (élément unité) satisfait aussi les hypothèses de 5.6 puisque M n’a pas de sous-groupe parabolique M_{x}^{∘}-admissible propre. □

En combinant ce corollaire avec 3.6, on obtient bien la propriété de commutation 1.4 annoncée dans l’introduction pour les paraboliques minimaux, et par 3.9, la propriété de seconde adjonction dans ce cas.

En ce qui concerne le niveau zéro, voici le résultat obtenu :

Proposition 6.3 Soit Mod_{R}(G)_{0} la sous-catégorie pleine de Mod_{R}(G) formée des objets engendrés par la réunion de leurs G_{x}^{+}-invariants, pour x ∈ B(G, K) (objets de “niveau zéro”), et Mod_{R}(G)_{>0} celle des objets dont tous les G_{x}^{+}-invariants sont nuls, pour x ∈ B(G, K) (objets de “niveau strictement positif”).

i) On a une décomposition Mod_{R}(G) = Mod_{R}(G)_{0} ⊕ Mod_{R}(G)_{>0}.

ii) Les foncteurs paraboliques envoient objets de niveau zéro, resp. positif, sur objets de niveau

zéro, resp. positif. iii) Pour tout sous-groupe parabolique P de G, la restriction du foncteur r_{G,P}^{M} à la catégorie

Mod_{R}(G)_{0} est adjointe à droite de la restriction du foncteur δ_{P} i_{M,\overline{P}}^{G} à la catégorie Mod_{R}(M)_{0}.

iv) La catégorie Mod_{R}(G)_{0} est noethérienne.

Preuve : La décomposition du point i) est expliquée dans l’appendice. Pour le point ii), soit P = MU un sous-groupe parabolique. D’après le corollaire précédent et 3.6, on a i_{M,P}^{G}(ind_{M_{x}^{+}}^{M}(R)) ≃ ind_{G_{x}^{+}}^{G_{x}} (R) pour tout x ∈ B(M, K). Le foncteur i_{M,P}^{G} étant exact, on en déduit qu’il envoie

Mod_{R}(M)_{0} dans Mod_{R}(G)_{0}. Étant aussi fidèle, et puisque toute G-orbite dans B(G, K) rencontre B(M, K), il envoie aussi Mod_{R}(M)_{>0} dans Mod_{R}(G)_{>0}. Par réciprocité de Frobenius, on en déduit les propriétés analogues pour r_{G,P}^{M}.

Pour le point iii), on recopie la preuve de 3.9 en utilisant le fait que les e_{M_{x}^{+}} pour x ∈ B(M, K) forment une famille génératrice de Mod_{R}(M)_{0} d’idempotents P -bons. Enfin, les arguments de la partie 4 montrent que iii) implique iv). □

7 Le cas de GL(N)

Pour coller aux notations de Bushnell, Kutzko et Stevens, nous noterons F le corps local que nous notions K jusqu’ici.

7.1 Dictionnaire Bruhat-Tits/Bushnell-Kutzko : Ce dictionnaire est très bien expliqué dans [9] auquel on renvoie le lecteur pour les détails. Soit V un F -espace vectoriel. Une fonction réseau sur V relativement à F est une fonction Λ de ℝ dans l’ensemble des O_{F} -réseaux de V, qui est décroissante, continue à gauche, et telle que Λ(r + v_{F}) = 𝔓_{F} Λ(r) pour tout r ∈ ℝ, où v_{F} ∈ ℝ_{+} désigne la valuation d’une uniformisante de F. L’ensemble FR_{F} (V) de ces fonctions est muni d’une action de G et d’une action de ℝ par translations que nous noterons Λ ↦ Λ[t] : r ↦ Λ(r−t). Soit G le F -schéma en groupes des automorphismes F -linéaires de V, dont le groupe des points rationnels est G = Aut_{F} (V). D’après [9, Prop. 2.4], il y a une application naturelle B(G, F) ⟶ FR_{F} (V). Celle-ci est bijective, G-équivariante, et ℝ-équivariante si on identifie X_{∗}(Z(G))⊗ℝ à ℝ en envoyant un endomorphisme scalaire de V sur l’opposé de la valuation de ce scalaire.

Notons A := End_{F} (V). Une fonction réseau Λ ∈ FR_{F} (V) détermine une fonction réseau 𝔞(Λ) ∈ FR_{F} (A) définie par 𝔞_{r}(Λ) = {x ∈ A, ∀u ∈ ℝ, xΛ(u) ⊆ Λ(r + u)} pour r ∈ ℝ. On note aussi 𝔞_{r+}(Λ) := ⋃_{s>r} 𝔞_{s}(Λ). Alors 𝔞_{0}(Λ) est un ordre héréditaire, 𝔞_{0+}(Λ) est son radical de Jacobson et tous les 𝔞_{r}(Λ) en sont des idéaux fractionnaires. Posons aussi 𝔲_{0}(Λ) := 𝔞_{0}(Λ)^{×}, c’est un sous-groupe compact ouvert de GL(V) dont la famille 𝔲_{r}(Λ) := 1 + 𝔞_{r}(Λ) pour r > 0 est une filtration par des pro-p-sous-groupes ouverts normaux. Si x ∈ B(G, F) est le point correspondant à Λ, on a 𝔲_{0}(Λ) = G_{x} et 𝔲_{0+}(Λ) = G_{x}^{+}, et d’après [9, Appendice A], la filtration G_{x,r} := 𝔲_{r}(Λ), r ⩾ 0 est celle de Moy et Prasad.

Si M ⊂ G est le sous-groupe de Levi correspondant à une décomposition V = ⨁_{i∈I} V_{i}, le “sousimmeuble” B(M, F) de B(G, F) s’identifie au sous-ensemble des fonctions réseaux décomposées par M au sens où pour tout nombre réel r, on a Λ(r) = ⨁_{i∈I} Λ(r)∩V_{i}. Soit x le point de B(M, F) associé à une telle fonction réseau, alors l’ensemble x + a_{M} est l’ensemble des fonctions réseau de la forme ⨁ Λ_{i}[t_{i}] où les t_{i} sont des nombres réels.

Nous dirons que Λ est rationnelle si ses sauts sont dans ℚv_{F} ⊂ ℝ. Il existe alors un plus petit entier positif e = e(Λ) tel que la fonction Λ̃ : r ↦ Λ(er/v_{F}) soit une suite de réseaux au sens de Bushnell-Kutzko [15, 2.1] La période de Λ̃ est justement e(Λ). Réciproquement, une suite de réseaux détermine une unique fonction réseau ; il suffit de rendre la période égale à v_{F}.

7.2 Strates et caractères semi-simples : Soit V un espace vectoriel sur F et A = End_{F} (V). Une strate dans V est un quadruplet [Λ, n, r, γ] où Λ est une fonction réseau, n et r des nombres réels positifs tels que r ⩽ n, et γ un élément de 𝔞_{−n}(Λ). On définit l’équivalence de telles strates comme dans le cas des suites de réseaux considéré par Bushnell et Kutzko. D’ailleurs, lorsque Λ est rationnelle et n ∈ \frac{v_{F}}{e(Λ)}ℕ, seul cas que l’on considèrera ici, le quadruplet [Λ̃, \frac{e(Λ)}{v_{F}}n, \frac{e(Λ)}{v_{F}}r, γ] est une honnête strate au sens de [14, 3.1]. On dira alors que [Λ, n, r, γ] est fondamentale, simple, semi-simple si [Λ̃, \frac{e(Λ)}{v_{F}}n, \frac{e(Λ)}{v_{F}}r, γ] l’est, au sens de [14, Ch. 1] ou [26, Sec. 1].

À toute strate [Λ, n, 0, β] simple, resp. semi-simple, Bushnell et Kutzko [15, Ch. 5], resp. Stevens [26, Sec. 3], associent deux sous-ordres 𝔧(Λ, β) ⊇ 𝔥(Λ, β) de 𝔞_{0}(Λ), et un ensemble fini de caractères dits simples, resp. semi-simples, du sous-groupe H^{+}(Λ, β) := 𝔥(Λ, β) ∩ 𝔲_{0+}(Λ) de J(Λ, β) := 𝔧(Λ, β) ∩ 𝔲_{0}(Λ).

Comme le groupe H^{+}(Λ, β) est un pro-p-groupe, les caractères simples ou semi-simples sont à valeurs dans l’anneau ℤ_{p−cycl} des entiers de l’extension p^{∞}-cyclotomique de ℚ. Rappelons aussi que leur définition dépend du choix d’un caractère ψ : F/𝔓_{F} ⟶ ℤ_{p−cycl}^{×}.

Proposition 7.3 Soit [Λ, n, 0, β] une strate semi-simple et (P, \overline{P}) une paire de sous-groupes paraboliques opposés de G = GL(V) de composante de Levi commune M. Supposons que M contienne le groupe F [β]^{×} et que B(M, F) contienne le point x de B(G, F) associé à Λ. Soit θ ∈ C(Λ, 0, β), θ_{M} sa restriction à H^{+}(Λ, β) ∩ M et ε_{θ_{M}} l’idempotent de RM_{x} associé, où R = ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}]. On a

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} ∈ RG_{x}e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} .

La preuve de cette proposition sera donnée en 7.6. Partons maintenant d’une paire opposée (P, \overline{P}) dans G et notons V = ⨁_{i∈I} V_{i} la décomposition de V associée à leur composante de Levi commune M. Donnons-nous pour chaque i une strate semi-simple [Λ_{i}, n_{i}, 0, β_{i}] dans End_{F} (V_{i}) et un caractère semi-simple θ_{i} ∈ C(Λ_{i}, 0, β_{i}). La collection des Λ_{i} correspond à un point de B(M, F) et la collection des caractères simples nous fournit un idempotent ε ∈ RM_{x} que nous qualifierons de semi-simple. Nous prouverons la proposition suivante en 7.11.

Proposition 7.4 Soit Λ := ⨁_{i∈I} Λ_{i}. Il existe une strate semisimple [Λ, n, 0, β] avec F [β]^{×} ⊂ M et un caractère semi-simple θ ∈ C(Λ, 0, β) tel que ε_{θ_{M}} = ε.

En appliquant ce résultat aux collections translatées Λ_{i}[t_{i}], avec t_{i} ∈ ℚ, on en déduit que l’idempotent ε est P -bon au sens de 3.8. Enfin, la proposition suivante sera prouvée en même temps que son analogue pour les groupes classiques 8.5 au paragraphe 8.11.

Proposition 7.5 (Stevens, Bushnell-Kutzko) La famille des idempotents semi-simples engendre la catégorie Mod_{R}(M), où R = ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}].

Avant de prouver ces trois propositions, expliquons comment descendre ces résultats à ℤ[\frac{1}{p}]. Remarquons que le groupe Γ_{p} := Gal(ℚ_{p−cycl}|ℚ) agit sur les caractères ψ : F/𝔓_{F} ⟶ ℤ_{p−cycl}^{×}. Soit [Λ, n, 0, β] une strate semi-simple, on peut donc avec des notations évidentes considérer l’ensemble

\overline{C}(Λ, 0, β) := ⋃_{γ∈Γ_{p}} C_{ψ^{γ}} (Λ, 0, β).

Cet ensemble est inclus dans l’ensembles des caractères de H^{+}(Λ, β) qui sont triviaux sur 𝔲_{n}(Λ), donc il est fini. Alors la somme

ε_{Λ,β} := ∑_{θ∈\overline{C}(Λ,0,β)} ε_{θ}

est un idempotent de ℤ[\frac{1}{p}]G_{x} (où x correspond à Λ). La proposition 7.5 implique que la famille des idempotents de la forme ×_{i∈I}ε_{Λ_{i},β_{i}} ∈ ℤ[\frac{1}{p}]M_{x} engendre Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(M), et les propositions 7.3 et 7.4 assurent que ces idempotents sont P -bons au sens de 3.8.

7.6 Preuve de la proposition 7.3 : Nous voulons appliquer les énoncés “généraux” 5.7 et 5.10. Notons pour cela A(β) := End_{F [β]} (V) ⊂ A = End_{F} (V), et 𝔞_{r}(Λ, β) := A(β) ∩ 𝔞_{r}(Λ) pour r ∈ ℝ. On sait alors que 𝔞_{0}(Λ, β) est un O_{F} -ordre héréditaire dans la F -algèbre semi-simple A(β) et que 𝔞_{0+}(Λ, β) est son radical de Jacobson. De même notons 𝔧_{r}(Λ, β) := 𝔧(Λ, β) ∩ 𝔞_{r}(Λ). On sait que 𝔧_{0+}(Λ, β) est le radical de Jacobson de 𝔧(Λ, β) et on a par définition l’égalité 𝔧(Λ, β) = 𝔧_{0+}(Λ, β) + 𝔞_{0}(Λ, β).

Lemme 7.7 Soit B une O_{F} -algèbre finie et plate. Nous notons B_{k_{F}} := B ⊗ k_{F} sa réduction modulo ϖ_{F} et rad(B) son radical.

i) Le foncteur sur les O_{F} -algèbres qui à R associe (B ⊗ R)^{×} est représentable par un schéma en groupes affine B^{×} lisse et à fibres connexes sur O_{F}.

ii) Le radical unipotent ^{u}B_{k_{F}}^{×} de la fibre spéciale de B^{×} représente le foncteur sur les k_{F} -algèbres

qui à R associe le sous-groupe 1 + rad(B_{k_{F}}) ⊗ R de (B_{k_{F}} ⊗ R)^{×}. iii) Si C est une sous-O_{F} -algèbre de B qui est facteur direct en tant que O_{F} -module, alors le

morphisme C^{×} ⟶ B^{×} induit par l’inclusion C ⊂ B est une immersion fermée.

Preuve : Prouvons i). Posons B^{∗} := Hom_{O_{F}}(B, O_{F}). Le foncteur R ↦ (B⊗_{O_{F}} R) est représenté par le spectre de l’algèbre de polynômes Sym_{O_{F}} (B^{∗}). Soit δ_{B} ∈ Sym_{O_{F}}^{r_{B}} (B^{∗}) la fonction polynômiale sur B, de degré le rang r_{B} de B sur O_{F}, qui à b associe le déterminant de la multiplication à gauche par b dans B. Alors le foncteur envisagé est représenté par le spectre de l’algèbre Sym_{O_{F}} (B^{∗})_{δ_{B}} localisée de Sym_{O_{F}} (B^{∗}) en δ_{B}. Il s’agit d’un ouvert d’un espace affine, qui est donc lisse et connexe. Comme cette construction commute à tout changement de base, ses fibres sont aussi connexes. Prouvons alors iii) : par hypothèse, l’application B^{∗} ⟶^{ρ} C^{∗} duale de l’inclusion est surjective. Il en est donc de même de l’application Sym_{O_{F}} (B^{∗}) ⟶^{Sym(ρ)} Sym_{O_{F}} (C^{∗}) sur les algèbres de fonctions. Comme l’inclusion C ↪ B est scindée sur O_{F}, la fonction δ_{C} divise la fonction ρ(δ_{B}) dans l’anneau Sym_{O_{F}} (C^{∗}). Si l’on choisit un épimorphisme de C-modules (à gauche) C^{n} ⟶ B, alors comme celui-ci est scindé sur O_{F}, on en déduit que ρ(δ_{B}) divise δ_{C}^{n}. Il s’ensuit que la surjection Sym(ρ) se restreint en une surjection Sym_{O_{F}} (B^{∗})_{δ_{B}} ↠ Sym_{O_{F}} (C^{∗})_{δ_{C}}, ce qui prouve iii).

Prouvons ii). Notons que le sous-ensemble 1 + rad(B_{k_{F}}) ⊗ R est bien un sous-groupe car rad(B_{k_{F}}) est un idéal nilpotent de B_{k_{F}}. Le foncteur envisagé est représentable par l’espace affine sur k_{F} associé à rad(B_{k_{F}}). Il admet une filtration décroissante et finie par les foncteurs R ↦ (1 + rad(B_{k_{F}})^{i} ⊗ R), i ∈ ℕ, dont les quotients successifs sont des groupes vectoriels. C’est donc un sous-groupe algébrique unipotent et connexe de B_{k_{F}}^{×}, qui par ailleurs est clairement distingué. Il est donc contenu dans le radical unipotent de B_{k_{F}}^{×}. De plus le groupe algébrique quotient est

le groupe algébrique \overline{B}^{×} associé à la k_{F} -algèbre semisimple \overline{B} := B_{k_{F}} /rad(B_{k_{F}}). Comme k_{F} est parfait, le centre de cette dernière est une extension séparable de k_{F} et le groupe algébrique qui lui est associé est donc réductif. □

Nous noterons G_{x}, resp. G_{β,x}, le O_{F} -schéma en groupes associé à 𝔞_{0}(Λ), resp. 𝔞_{0}(Λ, β) et J celui associé à 𝔧(Λ, β). Les relations de contenance de ces ordres induisent d’une part un morphisme φ : J ⟶ G_{x} qui sur la fibre générique induit l’identité de GL(V) et d’autre part un morphisme ψ : G_{β,x} ⟶ J. Comme 𝔞_{0}(Λ, β) = A(β) ∩ 𝔧(Λ, β) = A(β) ∩ 𝔞_{0}(Λ), les plongements 𝔞_{0}(Λ, β) ↪ 𝔧(Λ, β) et 𝔞_{0}(Λ, β) ↪ 𝔞(Λ) sont scindés sur O_{F}, donc les morphismes ψ et φ ∘ ψ sont des immersions fermées, en vertu du point iii) du lemme précédent.

Remarque 7.8 Notons les propriétés suivantes de ces morphismes, pour référence ultérieure :

i) On a φ_{k_{F}}^{−1}(^{u}G_{x,k_{F}}) = ^{u}J_{k_{F}} (ou, de manière équivalente, J^{†}(O_{F}) = J^{+}(Λ, β) := G_{x}^{+} ∩ J(Λ, β)).

ii) La fibre spéciale de ψ induit un isomorphisme des quotients réductifs ^{q}G_{β,x,k_{F}} \underrightarrow{∼} ^{q}J_{k_{F}}.

En effet, compte tenu du point ii) du lemme précédent, la première assertion découle du fait que 𝔞_{0+}(Λ) ∩ 𝔧(Λ, β) est le radical de Jacobson de 𝔧(Λ, β) et la deuxième découle des égalités 𝔧(Λ, β) = 𝔧_{0+}(Λ, β) + 𝔞_{0}(Λ, β) et 𝔞_{0+}(Λ, β) = 𝔞_{0}(Λ, β) ∩ 𝔧_{0+}(Λ, β).

Décrivons maintenant les objets admissibles au sens de 5.1 relativement au modèle J de G.

Lemme 7.9 Si L est un sous-groupe de Levi de G, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) L est J -admissible au sens de 5.1. ii) Le tore déployé maximal du centre de L est J -admissible. iii) x ∈ B(L, F) et L contient un conjugué sous J(Λ, β) du groupe F [β]^{×}. Il s’ensuit qu’une paire de sous-groupes paraboliques opposés de G est J -admissible si et seulement si sa composante de Levi commune l’est.

Preuve : Prouvons d’abord iii) ⇒ ii). Fixons un sous-groupe de Levi L comme dans le point iii) ; en vertu de l’hypothèse x ∈ B(L, F) et de la remarque 6.1, l’adhérence schématique Z(L)_{x} dans G_{x} du centre Z(L) de L est un tore. Par ailleurs on peut supposer, quitte à conjuguer par un élément de J(Λ, β), que L ⊃ F [β]^{×}. Dans ce cas Z(L) est inclus dans le centralisateur de β, i.e. le sous-F -groupe algébrique G_{β} de G des éléments inversibles de la F -algèbre A(β). Notons que G_{β,x} est un modèle de G_{β} qui s’identifie, via l’immersion fermée φ ∘ ψ, à l’adhérence schématique de G_{β} dans G_{x}. Il s’ensuit que l’immersion Z(L)_{x} ↪ G_{x} se factorise par G_{β,x}. En d’autres termes, l’adhérence de Z(L) dans G_{β,x} est un tore. Mais puisque ψ est une immersion fermée, on en déduit que son adhérence dans J aussi est un tore.

Comme l’implication ii) → i) est tautologique, il ne reste qu’à prouver i) ⇒ iii). Partons donc d’un sous-groupe de Levi J -admissible L de G. D’après 5.9 et grâce au morphisme φ, il est aussi G_{x}-admissible, donc par la remarque 6.1, on a x ∈ B(L, F). Choisissons un tore déployé T de G dont le centralisateur est L et qui se prolonge en un tore T_{x} de J. Comme l’immersion fermée G_{β,x,k_{F}} ⟶ J_{k_{F}} induit un isomorphisme des quotients réductifs, c.f. remarque 7.8, il résulte de [17, Exp. XVII Th. 5.1.1 i)a)] que G_{β,x,k_{F}} contient un tore T′_{x,k_{F}} relevant l’image de T_{x,k_{F}} dans son quotient réductif. Mais alors, d’après [17, Exp. XVII Th. 5.6.1 c)], les tores T′_{x,k_{F}} et T_{x,k_{F}} de J_{k_{F}} sont conjugués par un élément de J (k_{F}). Par [17, Exp IX, Thm 3.6bis], il s’ensuit que T_{x} est conjugué par un élément de j ∈ J (O_{F}) = J(Λ, β) à un sous-tore de G_{β,x}. Par conséquent, ^{j}T est un F -tore de G_{β}, donc centralise le centre de G_{β}, lequel se trouve ainsi contenu dans ^{j}L. Il s’ensuit que L contient le conjugué par j^{−1} de F [β]^{×}.

La dernière assertion résulte de la remarque finale du paragraphe 5.1. □

Rappelons maintenant les résultats suivants de la théorie des types :

Fait 7.10 (Stevens) Avec les hypothèses et notations de la proposition 7.3, i) J(Λ, β) normalise H^{+}(Λ, β) et θ. ii) H^{+}(Λ, β) a la décomposition d’Iwahori par rapport à P, \overline{P} et les restrictions de tout caractère

semi-simple dans C(Λ, 0, β) à H^{+} ∩ U, H^{+} ∩ \overline{U} sont triviales. iii) [J^{+}(Λ, β), J^{+}(Λ, β)] ⊆ H^{+}(Λ, β) ⊆ J^{+}(Λ, β) et l’application (u, \overline{u}) ↦ θ([u, \overline{u}]) induit un

accouplement non-dégénéré

(J^{+} ∩ U)/(H^{+} ∩ U) × (J^{+} ∩ \overline{U})/(H^{+} ∩ \overline{U}) ⟶ R^{×}.

iv) Écrivons V = ⨁ V_{i} la décomposition associée à M et β = ⊕_{i}β_{i} la décomposition de β correspondante. Alors H^{+}(Λ, β)∩M = ∏_{i} H^{+}(Λ_{i}, β_{i}) et la restriction de tout caractère semisimple dans C(Λ, 0, β) à H^{+} ∩ M est un produit de caractères semi-simples dans C(Λ_{i}, 0, β_{i}).

v) L’ensemble d’entrelacement Int_{G_{x}}(θ) de θ dans G_{x} est J(Λ, β).

Preuve : (références et commentaires) le premier point est prouvé en [26, Coro 3.12 (iii)] et [26, Lemma 3.15.(iii)], et le dernier point découle de [26, Thm 3.22] (qui calcule l’entrelacement dans tout G). Le point iv) est une conséquence à peu près directe de la définition [26, 3.13] d’un caractère semi-simple et de la proposition 3.4 de [26]. La décomposition d’Iwahori du groupe H^{+} et des caractères semisimples dans le point ii) découle de leur définition inductive, suivant le même argument que [14, 7.1.19] (qui est le cas simple), [15, Prop 5.2.ii)] ou [26, Lemma 3.15 i)]. Enfin le point iii) se déduit de [26, Prop. 3.24] et du point ii) suivant la même observation que [14, 7.2.3 (i)].

□

Terminons maintenant la preuve de la proposition 7.3. Fixons une paire de sous-groupes paraboliques opposés J -admissible minimale (Q, \overline{Q}) de G, de composante de Levi commune L; par 7.9 on a x ∈ B(L, F) et on peut supposer, quitte à conjuguer par un élément de J(Λ, β), que F [β]^{×} ⊂ L. On peut donc appliquer les points i), ii) et iii) ci-dessus à Q à la place de P, et obtenir grâce à 5.7 que tout idempotent de RJ(Λ, β) associé à un caractère semi-simple est “essentiellement de niveau zéro”, au sens de 5.6. D’après le point iv) ci-dessus, l’idempotent ε_{θ_{M}} de R(J(Λ, β) ∩ M) est donc essentiellement de niveau 0 pour le modèle lisse de M obtenu comme adhérence schématique de M dans J. Mais d’après le point ii) à nouveau, le point v), et le point i) de la remarque 7.8, les hypothèses du corollaire 5.10 sont satisfaites pour le morphisme φ : J ⟶ G_{x} et pour ε′ = ε_{θ}. Il ne reste donc plus qu’à appliquer ce corollaire.

7.11 Preuve de la proposition 7.4 : Ce résultat ne figure explicitement ni dans [26], ni dans [15], mais découle pourtant des techniques développées dans ces deux articles. La discussion qui suit entend en convaincre le lecteur déjà familier de ces techniques.

Introduisons la famille de sous-groupes H^{r}(Λ, β) := 𝔥(Λ, β) ∩ 𝔲_{r}(Λ) pour r ∈ ℝ_{+}. Cette famille est décroissante et ses sauts appartiennent à \frac{1}{e(Λ)}ℕ. Pour r ∈ ℝ, nous conviendrons de noter r+, resp. r− le plus petit saut strictement plus grand que r, resp. le plus grand saut strictement plus petit que r. Lorsque r est inférieur à l’entier k_{0}(β, Λ) = k_{0}(β) défini en [26, (3.6)], Stevens définit [26, 3.13] un ensemble de caractères complexes C(Λ, r, β) du groupe H^{r+}(Λ, β), pour r ∈ ℝ_{+}. D’après [26], Rk 3.14.ii) et Lemma 3.15.i), les applications de restriction C(Λ, r, β) ⟶ C(Λ, r′, β) pour 0 ⩽ r ⩽ r′ < k_{0}(β) sont surjectives. On peut donc prolonger la notation à tout r ∈ ℝ_{+} en définissant C(Λ, r, β) comme l’ensemble des restrictions à H^{r+}(Λ, β) des caractères dans C(Λ, 0, β). En particulier, pour r ⩾ \frac{n}{2}, on a H^{r+}(Λ, β) = 𝔲_{r+}(Λ) et C(Λ, r, β) = \{ψ_{β}_{|H^{r+}}\}, où ψ_{β} : 𝔲_{\frac{n}{2} +}(Λ) ⟶ ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}]^{×} est le caractère x ↦ ψ(Tr(β(x − 1)) associé à β et ψ. De plus, par [26, 3.14.(ii)], on a C(Λ, r, β) = C(Λ, r, γ) pour toute strate [Λ, n, r, γ] semi-simple, équivalente à [Λ, n, r, β] et telle que F [γ]^{×} ⊂ M(β) où M(β) est le sous-groupe de Levi de G associé à la décomposition isotypique de V comme module sur l’algèbre semi-simple F [β] ⊂ A.

Revenons à l’énoncé de 7.4. Posons n := max(n_{β_{i}})_{i∈I} et notons M le sous-groupe de Levi associé à la décomposition Λ = ⨁_{i∈I} Λ_{i}. La strate semi-simple ∏_{i}[Λ_{i}, n_{β_{i}}, 0, β_{i}] pour M découpe un sous-groupe de Levi M(β) ⊂ M dont nous noterons V = ⨁_{j∈J_{β}} V_{j} la décomposition associée. On a donc une application surjective J_{β} ⟶ I qui à j associe l’unique i(j) tel que V_{j} ⊂ Λ_{i(j)} ⊗ F, et des décompositions Λ_{i} = ⨁_{j↦i} Λ_{i} ∩ V_{j}.

La proposition 7.4 que nous voulons démontrer est le cas particulier t = 0 de l’énoncé suivant :

Lemme 7.12 Pour tout nombre réel 0 ⩽ t ⩽ n, il existe une strate semi-simple [Λ, n, t, γ^{t}] avec F [γ^{t}]^{×} ⊂ M(β) ⊂ M(γ^{t}), et un caractère semi-simple θ^{t} ∈ C(Λ, 0, γ^{t}) tels que

– H^{t+}(Λ, γ^{t}) ∩ M = ∏_{i} H^{t+}(Λ_{i}, β_{i}),

– θ_{|H^{t+}(Λ,γ^{t})∩M}^{t} = ∏_{i} θ_{i}_{|H^{t+}(Λ_{i},β_{i})}

Preuve : Il suffit bien sûr de prouver cet énoncé lorsque t est un saut de la filtration des H^{r}(Λ, β), 0 ⩽ r ⩽ n. Le premier saut dans l’ordre décroissant est t = n, pour lequel il suffit de prendre la strate nulle [Λ, n, n, γ^{n} = 0] et le caractère trivial de H^{+}(Λ, γ^{n}) = 𝔲_{0+}(Λ).

Supposons donc l’énoncé connu pour t et déduisons-le pour t−. Écrivons γ^{t} = ⨁_{i∈I} γ_{i}^{t} la décomposition de γ^{t} comme élément de M. Comme en 7.10 iv), pour tout r ∈ ℝ_{+} on a H^{r+}(Λ, γ^{t})∩ M = ∏_{i} H^{r+}(Λ_{i}, γ_{i}^{t}) et si θ ∈ C(Λ, r, γ^{t}), alors θ_{|H^{r+}(Λ,γ^{t})∩M} est un produit sur i de caractères semi-simples dans C(Λ_{i}, r, γ_{i}^{t}). On déduit alors du lemme 7.13 ci-dessous et de l’hypothèse de récurrence que H^{t}(Λ, γ^{t})∩M = ∏_{i} H^{t}(Λ_{i}, β_{i}). Il existe donc un élément b = ⨁_{i} b_{i} ∈ ⨁_{i} 𝔞_{−t}(Λ_{i}) ⊂ 𝔞_{−t}(Λ) tel que

θ_{|H^{t}(Λ,γ^{t})∩M}^{t}.ψ_{b}_{|H^{t}(Λ,γ^{t})∩M} = ∏_{i∈I} θ_{i}_{|H^{t}(Λ_{i},β_{i})},

où ψ_{b} est le caractère de 𝔲_{t}(Λ)/𝔲_{t+}(Λ) associé à ψ et b. En fait, par décomposition d’Iwahori 7.10 ii) des caractères semi-simples, on peut supposer que chaque b_{i} se décompose en b_{i} = ⨁_{j↦i} b_{j} avec b_{j} ∈ 𝔞_{−t}(Λ_{i} ∩ V_{j}) et j ∈ J_{β}, de sorte que pour tout j ∈ J_{β}, on a

θ_{|H^{t}(Λ_{j},γ_{j}^{t})}^{t}.ψ_{b_{j}}_{|H^{t}(Λ_{j},γ_{j}^{t})} = θ_{i(j)}_{|H^{t}(Λ_{j},β_{j})}

où les deux θ ainsi restreints sont des caractères simples.

Soit alors V = ⨁_{k∈K_{t}} V_{k} la décomposition déterminée par l’algèbre semi-simple F [γ^{t}] (correspondant au Levi M(γ^{t})). Puisque M(γ^{t}) ⊃ M(β), on a une application surjective J_{β} ⟶ K_{t} qui à j associe l’unique k(j) tel que V_{j} ⊂ V_{k(j)}. On a aussi la décomposition en produit de corps F [γ^{t}] ≃ ∏_{k∈K_{t}} E_{k}. Choisissons alors pour chaque k ∈ K_{t} une corestriction modérée s_{k} : End_{F} (V_{k}) ⟶ End_{E_{k}} (V_{k}). Puisque F [γ^{t}]^{×} ⊂ M(β), celle-ci induit par restriction une corestriction modérée s_{j} : End_{F} (V_{j}) ⟶ End_{E_{k}} (V_{j}) pour tout j tel que k = k(j). D’après [15, 4.6], la E_{k(j)}-strate [Λ_{j}, t, t−, s_{j}(b_{j})] est équivalente à une strate simple, éventuellement nulle. On en déduit que pour tout k ∈ K_{t}, la E_{k}-strate [Λ_{k}, t, t−, s_{k}(b_{k})], où Λ_{k} = ⨁_{j↦k} Λ_{j} et b_{k} := ⨁_{j↦k} b_{j} est équivalente à une strate semi-simple (voir le commentaire de [26] qui suit la remarque 3.3.iii)). Par [26, 3.5], il s’ensuit que la strate [Λ, n, t−, γ^{t} + b] est équivalente à une strate semi-simple, disons [Λ, n, t−, γ^{t−}]. En outre, comme dans la preuve de [26, 3.4], on peut choisit γ^{t−} tel que F [γ^{t−}]^{×} ⊂ M(β). D’après [26, Rk 3.14.(i)], on a H^{t}(Λ, γ^{t−}) = H^{t}(Λ, γ^{t}) et C(Λ, t−, γ^{t−}) = ψ_{b}.C(Λ, t−, γ^{t}). Comme l’application de restriction des caractères induit une surjection C(Λ, 0, γ^{t−}) ⟶ C(Λ, t−, γ^{t−}) on peut choisir un θ^{t−} ∈ C(Λ, 0, γ^{t−}) tel que

θ_{|H^{t}(Λ,γ^{t−})}^{t−} = (ψ_{b}θ^{t})_{|H^{t}(Λ,γ^{t})}.

Ainsi la strate semisimple [Λ, n, t−, γ^{t−}] et le caractère θ^{t−} satisfont aux requêtes du lemme pour le nombre réel t−. Comme il y a un nombre fini de sauts dans l’intervalle [0, n], ceci achève la preuve du lemme. □

Nous avons utilisé dans cette preuve le lemme suivant qui est une généralisation au cas semisimple de [14, 3.5.9].

Lemme 7.13 Soient [Λ, n, 0, β_{i}], i = 1, 2, deux strates semi-simples et r > 0 telles que H^{r+}(Λ, β_{1}) = H^{r+}(Λ, β_{2}), et C(Λ, r, β_{1}) ∩ C(Λ, r, β_{2}) ≠ ∅. Alors H^{r}(Λ, β_{1}) = H^{r}(Λ, β_{2}).

Preuve : Choisissons, comme nous le permet la preuve de la proposition 3.4 de [26], deux strates [Λ, n, 2r, γ_{i}] semi-simples avec γ_{i} ∈ M(β_{i}), et respectivement équivalentes à [Λ, n, 2r, β_{i}]. On sait alors que pour tout t ⩾ r, on a 𝔥^{t}(Λ, β_{i}) = 𝔥^{t}(Λ, γ_{i}) et C(Λ, 2t, β_{i}) = C(Λ, 2t, γ_{i}). En particulier, puisque pour tous t ⩾ t′ l’application de restriction C(Λ, t′, β_{i}) ⟶ C(Λ, t, β_{i}) est surjective, on a C(Λ, 2r, γ_{1}) ∩ C(Λ, 2r, γ_{2}) ≠ ∅. Soit θ un élément de cette intersection, le théorème 3.22 de [26] calcule l’ensemble d’entrelacement de θ dans G et nous fournit l’égalité

Γ_{2r}(Λ, γ_{1})G_{γ_{1}}Γ_{2r}(Λ, γ_{1}) = Γ_{2r}(Λ, γ_{2})G_{γ_{2}}Γ_{2r}(Λ, γ_{2})

avec les notations de loc. cit. En prenant l’intersection avec 𝔞_{r}(Λ) et en prenant la clôture additive, on obtient l’indépendance de i de l’ensemble suivant :

(𝔞_{r}(Λ) ∩ A_{γ_{i}}) + (𝔞_{r}(Λ) ∩ A_{γ_{i}})(𝔫_{−2r}(Λ, γ_{i}) ∩ 𝔞_{r_{i}−2r}(Λ)) + (𝔞_{r}(Λ) ∩ A_{γ_{i}})𝔧^{\frac{r_{i}}{2}} (Λ, γ_{i}) (7.14)

où on a posé r_{i} := k_{0}(γ_{i}, Λ) (cf. [26, (3.6)]). Soit r′_{i} := 2r − \frac{r_{i}}{2} < r. On a

(𝔞_{r′_{i}}(Λ) ∩ A_{γ_{i}})(𝔫_{−2r}(Λ, γ_{i}) ∩ 𝔞_{r_{i}−2r}(Λ)) ⊂ (𝔫_{− \frac{r_{i}}{2}} (Λ, γ_{i}) ∩ 𝔞_{\frac{r_{i}}{2}} (Λ))
⊂ 𝔧^{\frac{r_{i}}{2}} (Λ, γ_{i})

par [26, 3.10.i)], donc

(𝔞_{r}(Λ) ∩ A_{γ_{i}})(𝔫_{−2r}(Λ, γ_{i}) ∩ 𝔞_{r_{i}−2r}(Λ)) ⊂ (𝔞_{r−r′_{i}}(Λ) ∩ A_{γ_{i}})𝔧^{\frac{r_{i}}{2}} (Λ, γ_{i})
⊂ 𝔥^{\frac{r_{i}}{2} +}(Λ, γ_{i}) ⊂ 𝔥^{r+}(Λ, γ_{i})

par [26, 3.11.i)]. De plus, par [26, 3.11.ii)], on a (𝔞_{r}(Λ)∩A_{γ_{i}})𝔧^{\frac{r_{i}}{2}} (Λ, γ_{i}) ⊂ 𝔥^{r+}(Λ, γ_{i}). Ajoutons alors à l’ensemble 7.14 le groupe 𝔥^{r+}(Λ, γ_{i}) qui par hypothèse est aussi indépendant de i. On obtient que l’ensemble (𝔞_{r}(Λ) ∩ A_{γ_{i}}) + 𝔥^{r+}(Λ, γ_{i}) est indépendant de i. Mais celui-ci n’est autre que 𝔥^{r}(Λ, γ_{i}) puisque r_{i} > 2r. □

8 Groupes classiques

Nous adoptons les notations de Stevens dans [26]. Cette fois le corps de base, que nous notions K précédemment sera noté F_{0} et sera supposé être le corps des points fixes d’une involution x ↦ \overline{x} sur un corps F de caractéristique résiduelle différente de 2. On n’écarte pas le cas où F_{0} = F et l’involution est l’identité. Soit V un F -espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire h ε-hermitienne (pour ε = ±1) non dégénérée. La F -algèbre A est munie de l’anti-involution “adjoint pour h” qui prolonge l’involution donnée sur F et que nous noterons encore x ↦ \overline{x}. Notons G̃ le F -groupe GL(V) ; alors cette anti-involution munit le F_{0}-schéma en groupes Res_{F |F_{0}}(G̃) d’une involution σ dont le sous-schéma des points fixes G s’identifie au F_{0}-schéma en groupes unitaire, orthogonal ou symplectique associé à (V, h).

8.1 Immeuble et fonctions réseaux autoduales : La référence ici est [10]. Pour un O_{F} -réseau L de V, on note L^{#} := {v ∈ V, h(v, L) ⊂ 𝔓_{F} }, et pour une fonction réseau Λ ∈ FR_{F} (V), on note Λ^{#} la fontion réseau r ↦ Λ((−r)+)^{#}. La bijection naturelle B(Res_{F |F_{0}}(G̃), F_{0}) = B(G̃, F) \underrightarrow{∼} FR_{F} (V) est compatible avec les involutions σ sur B(Res_{F |F_{0}}(G̃), F_{0}) et # sur FR_{F} (V). Par l’hypothèse de caractéristique résiduelle ≠ 2, elle induit en prenant les invariants une application bijective et G-équivariante B(G, F_{0}) ⟶ FR_{F} (V)^{#}.

Si Λ ∈ FR_{F} (V)^{#}, on a \overline{𝔞_{r}(Λ)} = 𝔞_{r}(Λ), resp. σ(𝔲_{r}(Λ)) = 𝔲_{r}(Λ), pour tout r ∈ ℝ, resp. r ∈ ℝ_{+}. Si x ∈ B(G, F_{0}) correspond à Λ, alors G_{x} = G ∩ 𝔲_{0}(Λ) = 𝔲_{0}(Λ)^{σ} et G_{x}^{+} = G ∩ 𝔲_{0+}(Λ) = 𝔲_{0+}(Λ)^{σ}, et les spécialistes s’accordent à penser que la filtration (𝔲_{r}(Λ)^{σ})_{r∈ℝ_{+}} coïncide avec celle de Moy et Prasad (G_{x,r})_{r∈ℝ} (ce qui ne nous importe guère ici).

Un sous-groupe de Levi M de G correspond à une décomposition h-orthogonale V = ⨁_{i∈I}(V_{i}⊕ V_{−i}) ⨁ V_{0} où h_{|V_{0}×V_{0}} est non-dégénérée et pour chaque i ∈ I, V_{i} est totalement isotrope et h_{|V_{i}×V_{−i}} est un accouplement parfait. On a alors M := M(F_{0}) ≃ ∏_{i∈I} Aut_{F} (V_{i}) × Aut_{F} (V_{0})^{σ}. Le sous-immeuble B(M, F_{0}) correspond aux fonctions réseau Λ qui sont décomposées sous la forme Λ = ⨁_{i∈I}(Λ_{i} ⊕ Λ_{−i}) ⨁ Λ_{0} où Λ_{0} ∈ FR_{F} (V_{0})^{#} et les Λ_{±i} ∈ FR_{F} (V_{±i}) sont telles que Λ_{−i} = Λ_{i}^{#}. Si x est le point correspondant à Λ, alors le sous-espace affine x + a_{M} de B(M, F_{0}) est l’ensemble des Λ′ de la forme ⨁_{i∈I}(Λ_{i}[t_{i}] ⊕ Λ_{i}[t_{i}]^{#}) ⨁ Λ_{0} où t_{i} ∈ ℝ.

8.2 Strates semi-simples autoduales : Une F -strate [Λ, n, r, γ] dans V est dite autoduale si Λ = Λ^{#} et \overline{γ} = −γ. Soit [Λ, n, r, β] une strate semi-simple et autoduale. La sous-algèbre F [β] ⊂ A est stable par x ↦ \overline{x} et l’ensemble de ses idempotents centraux primitifs aussi. On peut donc arranger la décomposition de V associée à β sous la forme V = ⨁_{i∈I_{β}}(V_{i} ⊕ V_{−i}) ⨁_{j∈J_{β}} V_{j} où les espaces indexés par I_{β} ∪ J_{β} sont deux à deux orthogonaux et pour i ∈ I_{β}, V_{i} et V_{−i} sont isotropes maximaux dans V_{i} ⊕ V_{−i}. Suivant Stevens, la strate semisimple autoduale [Λ, n, r, β] est dite gauche (skew en anglais), si I_{β} = ∅, c’est-à-dire si β est elliptique.

Dans [26, 3.6], Stevens définit les caractères semi-simples pour G associés à une strate semisimple gauche [Λ, n, 0, β]. L’hypothèse gauche n’est pas nécessaire pour cette définition, il suffit de supposer la strate autoduale ; le point est que pour tout r > 0 , on peut trouver une strate semi-simple autoduale [Λ, n, r, γ] équivalente à [Λ, n, r, β], avec de plus γ dans le Levi de GL(V) découpé par β (combiner [26, 3.4] et [25, (1.10)]). Il s’ensuit que les ordres 𝔥(Λ, β) et 𝔧(Λ, β) sont stables par l’involution x ↦ \overline{x}, les groupes H^{r+}(Λ, β) et J^{r+}(Λ, β) sont stables par σ, ainsi que les ensembles de caractères semi-simples C(Λ, r, β). Un caractère semi-simple de H^{r+}(Λ, β)^{σ} est alors, par définition, la restriction d’un caractère semi-simple σ-invariant de H^{r+}(Λ, β)^{σ}.

Proposition 8.3 Soit [Λ, n, 0, β] une strate semi-simple autoduale et (P, \overline{P}) une paire de sousgroupes paraboliques opposés de G de composante de Levi commune M. Supposons que M contienne le groupe (F [β]^{×})^{σ} et que B(M, F_{0}) contienne le point x de B(G, F_{0}) associé à Λ. Soit θ ∈ C(Λ, 0, β)^{σ}, θ_{M} sa restriction à H^{+}(Λ, β)^{σ} ∩ M et ε_{θ_{M}} l’idempotent de RM_{x} associé, où R = ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}]. On a

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} ∈ RG_{x}e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} .

Nous prouverons cette proposition en 8.6. Partons maintenant d’une paire opposée (P, \overline{P}) dans G et notons V = ⨁_{i∈I}(V_{i}⊕V_{−i}) ⨁ V_{0} la décomposition orthogonale de V associée à leur composante de Levi commune M. Donnons-nous pour chaque i ≠ 0 une strate semi-simple [Λ_{i}, n_{i}, 0, β_{i}] dans End_{F} (V_{i}) et un caractère semi-simple θ_{i} ∈ C(Λ_{i}, 0, β_{i}), ainsi qu’une strate semi-simple autoduale [Λ_{0}, n_{0}, 0, β_{0}] et un caractère semi-simple θ_{0} ∈ C(Λ_{0}, 0, β_{0})^{σ}. La collection des Λ_{i} correspond à un point de B(M, F_{0}) et la collection des caractères semi-simples nous fournit un idempotent ε ∈ RM_{x} que nous qualifierons de semi-simple. La proposition suivante est l’analogue pour les groupes classiques de la proposition 7.4 et sera prouvée en 8.10.

Proposition 8.4 Soit Λ := ⨁_{i∈I}(Λ_{i} ⊕ Λ_{−i}^{#}) ⨁ Λ_{0}. Il existe une strate semisimple autoduale [Λ, n, 0, β] avec (F [β]^{×})^{σ} ⊂ M et un caractère semi-simple θ ∈ C(Λ, 0, β)^{σ} tel que ε_{θ_{M}} = ε.

En appliquant ce résultat aux collections translatées Λ_{i}[t_{i}], avec t_{i} ∈ ℚ pour i ≠ 0, on en déduit que l’idempotent ε est P -bon au sens de 3.8. Ceci étant, l’essentiel des arguments menant à la proposition suivante est dû à Stevens. Nous l’expliquerons en 8.11.

Proposition 8.5 Les idempotents semi-simples forment une famille génératrice de la catégorie Mod_{R}(M).

8.6 Preuve de la proposition 8.3 : Comme dans la preuve de la proposition 7.3, on veut appliquer 5.7 et 5.10. Rappelons que dans ladite preuve, nous avons introduit et utilisé des morphismes de O_{F} -schémas en groupes lisses

G̃_{β,x} \underrightarrow{ψ̃} J̃ \underrightarrow{φ̃} G̃_{x}

(on rajoute ici des pour être cohérent avec les notations du paragraphe 8.1). Comme les ordres auxquels ils sont associés, ces schémas en groupes sont munis d’une action semi-linéaire de σ. Appliquons-leur le foncteur Res_{O_{F} |O_{F_{0}}} (−)^{σ}. On sait que la restriction des scalaires préserve la lissité, et d’après [18, 3.4] et l’hypothèse de caractéristique résiduelle ≠ 2, le passage aux σinvariants aussi. On obtient donc des morphismes de O_{F_{0}}-schémas en groupes lisses

G_{β,x} ⟶^{ψ} J ⟶^{φ} G_{x},

le premier et la composée des deux étant des immersions fermées, le second induisant un isomorphisme des fibres génériques. Les points entiers sont donnés par G_{x}(O_{F_{0}}) = G_{x} et J (O_{F_{0}}) = J(Λ, β)^{σ}. En particulier G_{x} est le modèle lisse de G associé par Bruhat-Tits à x ∈ B(G, F). Vient maintenant une difficulté technique par rapport au cas linéaire : si la restriction des scalaires préserve la connexité, il n’en va pas de même du passage aux σ-invariants. En fait, dans les cas unitaires et symplectiques, où G est connexe et simplement connexe, on sait par [12, Prop. 4.6.32] que G_{x} et G_{β,x} sont connexes et donc, comme on va le voir dans le lemme ci-dessous, J l’est aussi. Dans le cas orthogonal impair, G est connexe mais pas simplement connexe et les G_{x} et G_{β,x} peuvent ne pas être connexes. Dans le cas orthogonal pair, G lui-même n’est déjà pas connexe ! Dans le lemme ci-dessous, l’adjectif ”réductif” ne sous-entend pas ”connexe”.

Lemme 8.7 Notons k le corps résiduel de O_{F_{0}} :

i) On a φ_{k}^{−1}(^{u}G_{x,k}) = ^{u}J_{k} (ou, de manière équivalente, J^{†}(O_{F_{0}}) = G_{x}^{+} ∩ J(Λ, β)).

ii) La fibre spéciale de ψ induit un isomorphisme des quotients réductifs ^{q}G_{β,x,k} \underrightarrow{∼} ^{q}J_{k}.

iii) La fibre spéciale de ψ induit un isomorphisme π_{0}(G_{β,x,k}) \underrightarrow{∼} π_{0}(J_{k})

Preuve : Notons J̆, Ğ_{x} et Ğ_{x,β} les O_{F_{0}}-schémas en groupes obtenus par restriction des scalaires de O_{F} à O_{F_{0}} dans les O_{F} -schémas en groupes J̃, G̃_{x} et G̃_{x,β}. Ils sont associés, selon la procédure de 7.7 i), aux mêmes anneaux respectifs 𝔧(Λ, β), 𝔞_{0}(Λ) et 𝔞_{0}(Λ, β), mais vus comme O_{F_{0}}-ordres. Ainsi par les mêmes arguments que pour la remarque 7.8, on a les propriétés :

i) φ̆_{k}^{−1}(^{u}Ğ_{x,k}) = ^{u}J̆_{k}.

ii) La fibre spéciale de ψ̆ induit un isomorphisme des quotients réductifs ^{q}Ğ_{β,x,k} \underrightarrow{∼} ^{q}J̆_{k}. Notons que les radicaux unipotents de ces k-groupes sont stables sous l’involution σ et l’isomorphisme des quotients réductifs est compatible à l’action résiduelle de σ. Ainsi, pour prouver les assertions i) et ii) du lemme, il suffit de prouver que pour chacun des groupes Ğ_{x,k}, Ğ_{x,β,k} et J̆_{k}, les σ-invariants du radical unipotent, resp. du quotient réductif, sont le radical unipotent, resp. le quotient réductif (éventuellement non connexe), des σ-invariants.

Pour cela, l’ingrédient essentiel est : soit N_{k} un groupe unipotent sur un corps parfait de caractéristique différente de 2 et σ une involution. Alors H^{1}(⟨σ⟩, N_{k}) = 0, et si de plus N_{k} est lisse et connexe, alors N_{k}^{σ} l’est aussi. En effet, utilisant une série centrale caractéristique, l’assertion sur le H^{1} se dévisse immédiatement au cas abélien où elle est évidente. Pour l’assertion de connexité, on peut commencer par étendre les scalaires à une clôture algébrique. Utilisant ensuite une série centrale caractéristique dont les sous-quotients sont des produits de 𝔾_{a} [17, Exp. 4.1.1 iii) et 4.1.5] et la nullité du H^{1} qu’on vient de vérifier, on est ramené au cas N_{k} ≃ 𝔾_{a}^{r}. On peut alors diagonaliser la matrice de σ et réduire encore au cas r = 1 où c’est évident.

Appliquons ceci à J̆_{k}, les cas de Ğ_{x,k} et Ğ_{x,β,k} étant similaires. Par l’assertion de connexité ci-dessus, (^{u}J̆_{k})^{σ} est connexe, et donc est contenu dans ^{u}J_{k}. Par ailleurs, on sait [24, Thm. 2.1] que le groupe des invariants d’un groupe réductif sur un corps de caractéristique différente de 2 sous une involution est réductif, donc (^{q}J̆_{k})^{σ} est réductif. Mais l’assertion de nullité du H^{1} ci-dessus montre qu’en appliquant le foncteur des σ-invariants, la suite exacte ^{u}J̆_{k} ↪ J̆_{k} ↠ ^{q}J̆_{k} reste exacte. Il s’ensuit que (^{u}J̆_{k})^{σ} = ^{u}J_{k} et (^{q}J̆_{k})^{σ} = ^{q}J_{k}. Ceci clôt la preuve des points i) et ii). Par ailleurs, le point iii) est une conséquence du point ii).

□

Lemme 8.8 Si L est un sous-groupe de Levi de G, les propriétés suivantes sont équivalentes : i) L est J^{∘}-admissible au sens de 5.1. ii) Le tore déployé maximal du centre de L est J^{∘}-admissible. iii) x ∈ B(L, F_{0}) et L contient un conjugué sous J(Λ, β) du groupe (F [β]^{×})σ. Il s’ensuit qu’une paire de sous-groupes paraboliques opposés de G est J -admissible si et seulement si sa composante de Levi commune l’est.

Preuve : Pour iii) ⇒ ii), on raisonne comme dans la preuve du lemme 7.9, en remplaçant le centre Z(L) par le tore déployé maximal de ce centre, et en utilisant le fait que son adhérence schématique dans G_{x}, resp. G_{β,x} ou J, est un tore si et seulement si son adhérence schématique dans G_{x}^{∘}, resp. G_{β,x}^{∘} ou J^{∘}, en est un (grâce à [17, Exp. VIII, Cor. 5.7]). Pour i) ⇒ iii), on raisonne comme dans la preuve de 7.9, le point clef étant donné par 8.7 ii) au lieu de 7.8 ii). □

Pour suivre la stratégie de la preuve de 7.3, l’analogue de 7.10 est :

Fait 8.9 (Stevens) Avec les hypothèses et notations de la proposition 7.3, i) J(Λ, β)^{σ} normalise H^{+}(Λ, β)^{σ} et θ. ii) H^{+}(Λ, β)^{σ} a la décomposition d’Iwahori par rapport à P, \overline{P} et les restrictions de tout ca-

ractère semi-simple dans C(Λ, 0, β)^{σ} à H^{+} ∩ U, H^{+} ∩ \overline{U} sont triviales. iii) [J^{+}(Λ, β)^{σ}, J^{+}(Λ, β)^{σ}] ⊆ H^{+}(Λ, β)^{σ} ⊆ J^{+}(Λ, β)^{σ} et l’application (u, \overline{u}) ↦ θ([u, \overline{u}]) induit

un accouplement non-dégénéré

(J^{+} ∩ U)/(H^{+} ∩ U) × (J^{+} ∩ \overline{U})/(H^{+} ∩ \overline{U}) ⟶ R^{×}.

iv) Écrivons V = ⨁_{i}(V_{i} ⊕ V_{i}) ⨁ V_{0} la décomposition orthogonale de V associée à M, β = ⊕_{i}(β_{i} ⊕ β_{−i}) ⊕ β_{0} la décomposition de β correspondante, et identifions M à ∏_{i} GL(V_{i}) × GL(V_{0})^{σ}. Alors H^{+}(Λ, β) ∩ M ≃ ∏_{i} H^{+}(Λ_{i}, β_{i}) × H^{+}(Λ_{0}, β_{0})^{σ} et la restriction de tout caractère semi-simple dans C(Λ, 0, β) à H^{+} ∩ M s’identifie à un produit de caractères semisimples dans C(Λ_{i}, 0, β_{i}) par un caractère semi-simple autodual dans C(Λ_{0}, 0, β_{0})^{σ}.

v) L’ensemble d’entrelacement Int_{G_{x}}(θ) de θ dans G_{x} est J(Λ, β)^{σ}.

Preuve : (références et commentaires) les deux premiers points découlent immédiatement des points correspondants de 7.10. Le point iii) est prouvé dans [26, 3.28]. Le point iv) se prouve comme le point correspondant de 7.10, en combinant [25, (1.10)] et [26, Prop 3.4]. Enfin, le dernier point découle de [26, Thm 3.27] qui calcule l’entrelacement dans tout G. □

Terminons maintenant la preuve de la proposition 8.3. On raisonne comme dans le cas linéaire, sauf qu’il faut tenir compte de la non-connexité éventuelle de G_{x} et J. On remarque que les points ii), iii) et iv) de 8.9 concernent des objets relatifs à J^{∘} et on peut toujours restreindre le point i) à J^{∘}(O_{F_{0}}). On en déduit en particulier comme dans le cas linéaire que ε_{θ_{M}} est un idempotent essentiellement de niveau zéro pour le modèle lisse de M obtenu par adhérence schématique dans J^{∘}. Le point v) nous donne Int_{G_{x}^{∘}}(θ) = J(Λ, β)^{σ} ∩ G_{x}^{∘}, ce qui, compte tenu de ce que U_{x} est connexe (voir preuve de 6.2) implique Int_{U_{x}}(ε_{θ}) = J (O_{F_{0}}) ∩ U_{x}. Ainsi, vu 8.7 i), pour pouvoir appliquer 5.10 au morphisme J^{∘} ⟶ G_{x}^{∘}, avec ε′ := ε_{θ_{M}} et ε′ := ε_{θ}, puis terminer la preuve de 8.3 comme dans le cas linéaire, il reste à prouver l’égalité J (O_{F_{0}}) ∩ U_{x} = J^{∘}(O_{F_{0}}) ∩ U_{x}. Il suffit pour cela de voir que l’adhérence schématique de U dans J est connexe. Or, celle-ci est la partie σ-invariante de l’adhérence schématique de Res_{F |F_{0}}(Ũ) dans Res_{O_{F} |O_{F_{0}}} (J̃), laquelle est connexe par 5.15 ii), puisque Res_{O_{F} |O_{F_{0}}} (J̃) est connexe. On conclut donc grâce à l’assertion de connexité de l’énoncé en italiques de la preuve du lemme 8.7.

8.10 Preuve de la proposition 8.4 : On peut faire le même raisonnement inductif que dans le lemme 7.12, en demandant que les strates intermédiaires [Λ, n, t, γ^{t}] vérifient γ^{t} = −\overline{γ^{t}} et que les caractères θ^{t} ∈ C(Λ, 0, γ^{t}) soient invariants par σ. Pour assurer la propriété requise des γ^{t−} dans la construction inductive, on utilise [25, (1.10)]. L’invariance des caractères θ^{t−} sous σ est alors automatique par décomposition d’Iwahori.

8.11 Preuve de la proposition 8.5 : Le groupe M est un produit de groupes linéaires et d’un groupe classique, il suffit donc de traiter chacun de ces groupes séparément. En fait nous ne traiterons que le cas classique car c’est le cadre dans lequel les outils nécessaires ont été développés par Stevens (notamment le lemme 5.4. de [26]). Nous laisserons le lecteur se convaincre que la même preuve fonctionne dans le cas linéaire, en admettant que les outils correspondants sont encore valables (ils sont en fait plus faciles à obtenir et souvent, un analogue “simple” se trouve dans [14, Ch. 8.1]).

Supposons donc M = G, R = ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}] et V ∈ Mod_{R}(G). On veut trouver un idempotent semi-simple ε tel que εV ≠ 0. Il suffit bien sûr de le faire pour V irréductible. Quitte à étendre les scalaires on peut supposer que V est définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p.

Donnons-nous une strate [Λ, n, r, β] semi-simple autoduale avec r ⩽ n et un caractère θ ∈ C(Λ, r, β)^{σ} tels que ε_{θ}V ≠ 0. Remarquons que pour r assez grand, il existe de telles données. Choisissons un prolongement θ̃ ∈ C(Λ, r−, β) de θ. Nous noterons A_{−} := {x ∈ A = End_{F} (V), x = −\overline{x}\} et 𝔞_{•}(Λ)_{−} := A_{−} ∩ 𝔞_{•}(Λ). Comme dans le début de la preuve du théorème 5.1 de [26], il existe un élément c ∈ 𝔞_{−r}(Λ)_{−} tel que le caractère ϑ := θ̃ψ_{c}_{|H^{r}(Λ,β)^{σ}} apparaisse dans V_{|H^{r}(Λ,β)^{σ}}. Décomposons F [β] = ∏_{i∈I_{β}}(E_{i} × E_{−i}) × ∏_{j∈J_{β}} E_{j} en un produit de corps où l’involution x ↦ \overline{x} identifie E_{i} et E_{−i} et stabilise chaque E_{j}. On a aussi la décomposition orthogonale V = ⨁_{i∈I_{β}}(V_{i}⊕ V_{−i}) ⨁_{j∈J_{β}} V_{j} selon les idempotents primitifs de ce produit. Par le même argument que le lemme 5.2 et le paragraphe qui le suit dans [26], on peut supposer que c se décompose en c = ⨁_{i∈I_{β}}(c_{i} ⊕ \overline{c_{i}}) ⨁_{j∈J_{β}} b_{j} avec c_{i} ∈ 𝔞_{−r}(Λ_{i}) pour i ∈ I_{β} et c_{j} ∈ 𝔞_{−r}(Λ_{j})_{−} pour j ∈ J_{β}.

Choisissons des corestrictions modérées s_{k} : End_{F} (V_{k}) ⟶ End_{E_{k}} (V_{k}) pour k ∈ I_{β} ⊔ J_{β}. On définit comme dans [26, (5.3)] la F [β]-strate dérivée (autoduale) [Λ, r, r−, s(c)] comme la somme

⨁_{i∈I_{β}}([Λ_{i}, r, r−, s_{i}(c_{i})] ⊕ [Λ_{−i}, r, r−, s_{i}(c_{−i})]) ⨁_{j∈J_{β}}[Λ_{j}, r, r−, s_{j}(c_{j})].

L’élément s(c) est donc dans l’algèbre A_{β} ⊂ A centralisatrice de β et vérifie \overline{s(c)} = −s(c).

Lemme 8.12 [25, Thm 4.4] Il existe une F [β]-strate autoduale semi-simple [Λ′, r, r−, α′] dans V telle que

s(c) + (𝔞_{−(r_{−})}(Λ) ∩ A_{β}) ⊂ α′ + (𝔞_{−(r_{−})}(Λ′) ∩ A_{β}) .

Preuve : Cet énoncé est une “somme” d’énoncés analogues pour chaque i ∈ I_{β}, j ∈ J_{β}. Nous traitons seulement le cas j ∈ J_{β}, les autres cas se traitant de la même manière mais sans les complications “autoduales”. D’après [25, Prop 4.2], il existe une E_{j}-fontion réseau autoduale dans V_{j} telle que 𝔞_{−(r_{−})}(Λ_{j}) ⊂ 𝔞_{−(r_{−})}(Λ′_{j}) et s_{j}(c_{j}) ∈ 𝔞_{−r}(Λ_{j})_{−} soit “de réduction semisimple” (voir loc. cit pour le sens de cette expression). Si cette réduction est nulle, on a s_{j}(c_{j}) ∈ 𝔞_{−(r_{−})}(Λ′_{j}) et on peut prendre α′_{j} = 0. Sinon, le réel r est nécessairement de la forme n/e(Λ′_{j}) et on peut suivre la procédure de la preuve de [25, Thm 4.4]. □

Pour terminer la preuve de la proposition 8.5, l’outil fondamental est le lemme suivant qui n’est énoncé que pour les strates gauches dans [26], mais dont la preuve s’étend aux strates autoduales :

Lemme 8.13 [26, Lemma 5.4] Soit [Λ′, r′, r′_{−}, α′] une F [β]-strate autoduale dans V telle que

s(c) + (𝔞_{−(r_{−})}(Λ) ∩ A_{β}) ⊂ α′ + (𝔞_{−(r′_{−})}(Λ′) ∩ A_{β}) .

Alors il existe θ̃′ ∈ C(Λ′, r′−, β) et c′ ∈ 𝔞_{−r′}(Λ′) de corestriction s(c′) = α′ tels que la représentation V contienne le caractère ϑ′ := θ′ψ_{c′}_{|H^{r′} (Λ′,β)^{σ}}. Si de plus α′ = 0, alors on peut choisir c′ = 0.

Preuve : Nous nous contenterons de remarquer que les arguments de type “théorie des représentations” de la preuve de Stevens (lemme 5.9 de [26]) concernent des représentations de pro-p-groupes et restent valables dans notre situation où ℂ est remplacé par un corps algébriquement clos de caractéristique différente de p. On pourrait aussi facilement remplacer ces arguments en prouvant

ε_{θ̃ψ_{c}} ∈ RGε_{θ̃′ψ′_{c′}} RG

de manière analogue à la preuve de la proposition 5.7. □

Appliquons ce lemme à la strate [Λ′, r, r−, α′] du lemme 8.12. D’après [26, Lemma 3.5], la strate [Λ′, n, r−, β + c′] est équivalente à une strate semi-simple, disons [Λ′, n, r−, β′] et par [26, Rk 3.14.ii)], on a ϑ′ ∈ C(Λ′, r−, β).

On a donc une procédure pour baisser strictement le “niveau” d’un caractère semi-simple autodual intervenant dans V. Cependant, il n’est pas encore clair que cette procédure produise après plusieurs itérations un caractère semi-simple autodual de “niveau” 0 ; on peut en effet supposer les r rationnels, mais on ne contrôle pas les dénominateurs. Pour les contrôler, il faut appliquer le lemme 8.13 dans la situation où

i) θ̃ intervient dans V et c = 0.

ii) Λ′ est une somme sur i, j de fonctions-réseaux optimales (au sens de Moy-Prasad, cf. [25, (4.3)] dans le contexte présent), r′ ⩽ r est tel que 𝔞_{−r′_{−}}(Λ′) ⊃ 𝔞_{−r_{−}}(Λ) et α′ = 0.

L’existence de telle strates optimales est donnée par [25, (4.3)]. Le lemme 8.13 nous dit alors que V contient un caractère de C(Λ′, r′−, β), mais cette fois Λ′ est somme de strates optimales et sa période est bornée par un entier dépendant seulement de dim_{F} (V). Ainsi les r ∈ ℚ qui sont des sauts pour de telles strates ont leur dénominateurs bornés, et la procédure de raffinement ci-dessus produit bien un caractère dans un certain C(Λ, 0, β) intervenant dans V.

9 Groupes modérés

Dans cette section, le corps de base redevient K et le groupe réductif connexe G est supposé modérément ramifié. Nous allons appliquer les résultats généraux de la partie 5 aux caractères génériques introduits par Yu dans [31].

9.1 Groupes de Yu : Suivant [31, sec. 2], un sous-groupe fermé G^{0} de G est appelé sous-groupe de Levi tordu modéré si après extension des scalaires de K à une extension modérément ramifiée, il devient un sous-groupe de Levi. On sait alors –toujours de manière non canonique, mais peu importe– identifier B(G^{0}, K) à un sous-ensemble de B(G, K), et ce de telle sorte que pour un point x ∈ B(G^{0}, K), on ait G_{x}^{0} = G^{0} ∩ G_{x} et G_{x}^{0+} = G^{0} ∩ G_{x}^{+}.

Étant donnée une suite de sous-groupes de Levi tordus modérément ramifiés G⃗ := {G^{0} ⊂ G^{1} ⊂ ⋯ ⊂ G^{d} := G}, et une suite r⃗ = {0 ⩽ r_{0} ⩽ ⋯ ⩽ r_{d}}, Yu définit dans [31, sec 2] un groupe G⃗_{x,r⃗} qu’il réalise dans dans [32, sec 10] comme groupe des points entiers d’un modèle lisse G⃗_{x,r⃗} de G sur O_{K}.

D’après [32, Prop. 10.4], la fibre spéciale de G⃗_{x,r⃗} est unipotente si r_{0} > 0. Dans le cas contraire r_{0} = 0, il y a une immersion fermée G_{x}^{0} ↪ G⃗_{x,r⃗} qui induit sur les fibres spéciales un isomorphisme des quotients réductifs. Comme dans la preuve du lemme 7.9, on en déduit qu’un sous-groupe de Levi M de G est G⃗_{x,r⃗}^{∘}-admissible si et seulement si i) x ∈ B(M, K), ii) M contient la composante neutre Z(G^{0})^{∘} du centre de G^{0} éventuellement conjugué par un élément de G_{x,r⃗}. On en déduit aussi que G⃗_{x,r⃗}^{†}(O_{K}) = G_{x,r⃗}^{+} := G_{x,r⃗} ∩ G_{x}^{+}.

9.2 Caractères génériques : Gardons les notations précédentes et donnons-nous aussi une suite ϕ⃗ := {ϕ_{0}, ⋯, ϕ_{d}} où chaque ϕ_{i} est un caractère de G^{i} := G^{i}(F) qu’on supposera G^{i+1}-générique (pour i < d), au sens de [31, sec. 5]. On suppose que la suite r⃗ des niveaux r_{i} des ϕ_{i} vérifie 0 < r_{0} < ⋯ < r_{d−1} ⩽ r_{d}, on pose s_{i} := r_{i}/2 et on note s⃗ := (0, s_{0}, ⋯, s_{d−1}) et s⃗+ := (0+, s_{0}+, ⋯, s_{d−1}+).

Selon [31, Prop 4.1], la donnée de ϕ⃗ définit un caractère θ = ∏_{i} ϕ̂_{i} de G⃗_{x,s⃗+}, normalisé par G⃗_{x,s⃗}, et tel que i) Int_{G_{x}}(θ) = G⃗_{x,s⃗}, cf. [31, Prop 4.1]

ii) la forme bilinéaire (x, y) ↦ θ([x, y]) sur G⃗_{x,s⃗}^{+}/G⃗_{x,s⃗+} est non dégénérée ; c’est la somme de i = 0 à d − 1 des assertions de non-dégénérescence de [31, 11.1] appliquées à (G^{i}, G^{i+1})_{r_{i},s_{i}} et ϕ̂_{i}.

Soit alors M un sous-groupe de Levi G⃗_{x,r⃗}^{∘}-admissible contenant Z(G^{0})^{∘}, et (P, \overline{P}) une paire de sous-groupes paraboliques opposés de Levi commun M. Il résulte immédiatement des définitions qu’on a une décomposition d’Iwahori G⃗_{x,s⃗+} = U⃗_{x,s⃗+}M⃗_{x,s⃗+} \overline{U}_{x,s⃗+} pour laquelle les restrictions θ_{|U⃗_{x,s⃗+}} et θ_{|\overline{U}_{x,s⃗+}} sont triviales. De plus, le groupe M⃗_{x,s⃗+} est le groupe de Yu associé à la suite de

sous-groupes de Levi modérés M⃗ := {M ∩ G^{0} ⊂ ⋯ ⊂ M ∩ G^{d} = M} de M et à la suite de “réels” s⃗+, et la restriction θ_{M} := θ_{|M⃗_{x,s⃗+}} est le caractère associé à la suite de caractères génériques ϕ⃗_{|M⃗}.

On a donc rassemblé tous les ingrédients pour prouver de la même manière que pour les groupes linéaires et classiques la proposition suivante qui est un analogue de 7.3 et 8.3 :

Proposition 9.3 Gardons les notations ci-dessus, posons R = ℤ_{p−cycl}[\frac{1}{p}], et notons ε_{θ_{M}} l’idempotent de RM⃗_{x,s⃗} associé à θ_{M}. Alors

e_{U_{x}^{+}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} ∈ RG_{x}e_{U_{x}}e_{\overline{U}_{x}}ε_{θ_{M}} .

Preuve : Par ce qui précède et par 5.7, ε_{θ_{M}} est un idempotent essentiellement de niveau zéro pour le modèle lisse M⃗_{x,s⃗}^{∘} de M. Par ce qui précède encore, on peut appliquer 5.10 avec G′ = G⃗_{x,s⃗}^{∘} et G = G_{x}^{∘}, et ε′ = ε_{θ_{M}} et ε′ = ε_{θ}. On omet les détails en renvoyant aux preuves de 7.3 et 8.3. □

Remarquons maintenant que G^{0} contient la composante neutre du centre de M et par conséquent, l’intersection B(G^{0}, K) ∩ B(M, K) est stable par translations sous a_{M}. Appliquant la proposition précédente aux points de x + a_{M}, on en déduit que l’idempotent ε_{θ_{M}} de RM⃗_{x,r⃗} est P -bon au sens de 3.8. Les résultats obtenus récemment par Ju-Lee Kim sur l’exhaustivité de la construction de Yu pour les groupes modérés (ceux dont tous les tores sont modérément ramifiés) laissent espérer que la famille des idempotents du type ε_{θ_{M}} comme ci-dessus soit génératrice dans Mod_{R}(M). Néanmoins ses arguments sont de nature analytique et n’impliquent pas directement cette propriété. Il faudrait plutôt des arguments algébriques de type ”raffinement de strates”, comme dans la théorie de Bushnell-Kutzko.

A Décomposition “par le niveau” de Mod_{R}(G)

Le but de cette section est d’étendre à la catégorie Mod_{R}(G) la décomposition “par le niveau”, implicite dans les travaux de Moy et Prasad lorsque R = ℂ et explicitée dans le cas où R est un corps par Vignéras dans [30, II.5].

Les arguments reposent in fine sur les constructions de Moy et Prasad dans [23], et notamment sur la comparaison entre deux familles de filtrations concernant le groupe et l’algèbre de Lie. Pour cette comparaison, des hypothèses sont nécessaires, cf. le commentaire qui suit [32, Cor 5.6.]. Ces hypothèses, peu contraignantes, sont vérifiées dans tous les cas considérés dans le présent article, et quoiqu’il en soit, Yu explique dans [32, 5-6] comment modifier la construction originale de Moy-Prasad dans le cas général.

A.1 Décomposition de catégories abéliennes : Nous rappelons ici un peu d’abstract nonsense. Soit C une catégorie abélienne avec limites inductives exactes. Pour une famille (Q_{n})_{n∈ℕ} d’objets de C on considère les propriétés suivantes :

– (PROJ) Chaque Q_{n} est projectif et de type fini (“compact”).

– (DISJ) Si n ≠ m, alors Hom_{C} (Q_{n}, Q_{m}) = 0.

– (GEN) Pour tout objet V de C, on a Hom_{C} (⨁_{n} Q_{n}, V) ≠ 0.

Par ailleurs, pour tout objet V de C, posons

V_{n} := ∑_{ϕ∈Hom_{G} (Q_{n},V)} im ϕ ⊆ V,

un sous-objet de V. Les propriétés (PROJ) et (GEN) impliquent que V = ∑_{n} V_{n}. La propriété (DISJ), toujours avec (PROJ), assure que la somme est directe, i.e. V = ⨁_{n} V_{n}. On peut paraphraser cela en introduisant la sous-catégorie pleine C_{n} de C formée des objets vérifiant Hom_{C} (Q_{m}, V) = 0 pour tout m ≠ n. On obtient en effet une décomposition de C en une somme directe de sous-catégories “facteurs directs” C ≃ ⨁_{n} C_{n}.

Plus généralement, pour I ⊂ ℕ, notons C_{I} la sous-catégorie pleine de C formée des objets vérifiant Hom_{C} (Q_{m}, V) = 0 pour m ∉ I. Alors C_{I} est une sous-catégorie “facteur direct” de C.

A.2 Types non raffinés de Moy-Prasad et décomposition de Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(G) : Soit x ∈ B(G, K). Moy et Prasad ont défini ([22], [23] et [30, II.5]), une certaine filtration décroissante de G_{x} par des pro-p-sous-groupes ouverts G_{x,r}, r ∈ ℝ_{>0}. Les sauts de cette filtration sont discrets et on a des relations de commutateurs (G_{x,r}, G_{x,s}) ⊂ G_{x,r+s}. Si l’on convient de noter G_{x,r^{+}} := ⋃_{s>r} G_{x,s}, alors G_{x,0^{+}} = G_{x}^{+}, et pour tout r > 0, le groupe fini G_{x,r}/G_{x,r^{+}} est naturellement un 𝔽_{p}-espace vectoriel. Ils ont ensuite défini certains caractères complexes des gradués G_{x,r}/G_{x,r^{+}} appelés types non raffinés minimaux de niveau r, dont nous noterons l’ensemble NR_{x,r}. Ces caractères sont donc à valeurs dans l’extension ℤ[\frac{1}{p}, ζ_{p}] si ζ_{p} est une racine p-ième de l’unité. Enfin, Moy et Prasad ont défini un ensemble P O de “points optimaux” dans l’immeuble, fini modulo action de G, et nous noterons (r_{n})_{n∈ℕ} une énumération des sauts des filtrations associées aux points de P O.

Posons maintenant Q_{0} := ⨁_{x} ind_{G_{x,0^{+}}}^{G} (ℤ[\frac{1}{p}]) où x décrit un ensemble (fini) de représentants des G-orbites de sommets de I. Pour r ∈ ℝ_{+}, posons (comme dans la remarque de [30, p. 136])

P (r) := ⨁_{x∈P O,χ∈NR_{x,r}} ind_{G_{x,r}}^{G} (χ)

que l’on voit comme une représentation de type fini à coefficients dans ℤ[\frac{1}{p}].

Lemme A.3 La famille Q_{n} := P (r_{n}), n ∈ ℕ d’objets de Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(G) vérifie les propriétés (PROJ), (GEN) et (DISJ).

Preuve : D’après [30, II.5], pour tout corps algébriquement clos R de caractéristique ≠ p, la famille de représentations (Q_{n} ⊗_{ℤ[ \frac{1}{p}]} R)_{n∈ℕ} de Mod_{R}(G) vérifie les propriétés (PROJ), (DISJ) [30, II.5.8] et (GEN) [30, II.5.3] de la section précédente. Nous allons montrer que cela implique formellement qu’il en est de même de la famille (Q_{n})_{n∈ℕ} dans Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(G).

(PROJ) : En tant que somme d’induites de ℤ[\frac{1}{p}]-représentations de type fini de pro-p-sous-groupes ouverts, P (r) est projective et de type fini dans Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(G).

(DISJ) : puisque Q_{m} est sans torsion, Hom_{G}(Q_{n}, Q_{m}) ↪ Hom_{G}(Q_{n} ⊗ ℂ, Q_{m} ⊗ ℂ). Ce dernier est nul par [30, II.5.8] appliqué à R = ℂ.

(GEN) : soit V un objet de Mod_{ℤ[ \frac{1}{p}]}(G) tel qu’il existe l ≠ p premier tel que V_{l} := \{v ∈ V, lv = 0} ≠ 0. On peut voir V_{l} comme une 𝔽_{l}-représentation de G. On sait alors par [30, II.5.3] qu’il existe n ∈ ℕ et un morphisme non nul ϕ : Q_{n} ⟶ V_{l} ⊗ \overline{𝔽}_{l}. Par engendrement fini de Q_{n}, ce morphisme se factorise par V_{l} ⊗ 𝔽_{l^{k}} pour un certain k ∈ ℕ. D’où un morphisme non nul Q_{n} ⟶ (V_{l})^{k} et par suite l’existence d’un morphisme non nul Q_{n} ⟶ V_{l} que l’on peut composer avec l’injection V_{l} ↪ V.

Si maintenant V_{l} = 0 pour tout l ≠ p, c’est à dire si V n’a pas de torsion, V se plonge dans V ⊗ ℚ. Comme précédemment on déduit de [30, II.5.3] l’existence d’un morphisme non nul Q_{n} ⟶ V ⊗ ℚ. Par engendrement fini de Q_{n}, on peut multiplier par un “dénominateur commun” pour obtenir un morphisme à image dans V.

□

Bien sûr on obtient des décompositions similaires en étendant les scalaires à toute ℤ[\frac{1}{p}]-algèbre R. On obtient aussi la décomposition annoncée dans la preuve de 6.3. Enfin, on déduit de cette décomposition que si une représentation est engendrée par ses invariants sous un sous-groupe ouvert compact, alors tous ses sous-objets ont la même propriété (événtuellement pour un sousgroupe ouvert compact plus petit). Ceci justifie le corollaire 4.5.

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